Гранично-элементное моделирование нестационарных трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛИТВИНЧУК СВЕТЛАНА ЮРЬЕВНА

ГРА11ИЧНО-ЭЛЕМЕПТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАР1ИЛХ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ II ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Специальность 01,02.04 -Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород-2006

Работа выполнена и Научно-исследоваггельском институте механики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет нм. Н.И.Лобачевского»

Научные руководителя: Заслуженный деятель наук» РФ, доктор физико-математических наук,

профессор Баженов Валентин Георгиевич

кандидат технических наук,

доиент Пгумиоа Леонид Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Угадчиков Андрее Григорьевич

доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев Владимир Иванович

Ведущая организация: Южный научный центр РАН (г. Ростов на Дону)

Зашита состоится 28 декабря 2006 г, в 13:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Л. И. Лобачевского по адресу: 603950, Н-Иов город, пр.'Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в фу ндаме) стальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан 25 ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09

Б. В.Тру хин

Современные потребности машиностроения, строительства и др. стимулируют щучен не распространения волн в трехмерных телах произвольной геометрии. Учет эффектов последействия еще более усложняет волновые картины и снижает эффективность многих расчетных методов. Одним го современных методов численно-аналитического анализа динамических задач трехмерной теории упругости и вязкоупругости является метод граничных элементов (МГЭ). БиблиометричеекмЙ анализ показывает, что МГЭ по востребованности уверенно занимает третью позицию (после метода конечных элементов и метода конечных разностей) среди численных методов. Разработка подходов метода граничных интегральных уравнений (ГНУ) и МГЭ для решения трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости представляет актуальную проблему.

Цель работы состоит в развитии МГЭ-методикн в сочетании с преобразованием Лапласа для решения трехмерных задач динамики упругих и вязкоупругих многосвязных тел при заданных на их поверхности нестационарных силовых, кинематических или силовых и кинематических условий: н разработке соответствующих алгоритмов н программ и в расчете динамического деформирования трехмерных вязкоулругих тел и сред.

Методика исследований оеновяна на сведении краевых задач трехмерной линейной теории упругости и вязкоупругости к ГИУ (прямого подхода) с применением преобразования Лапласа; на детально проработанных численных МГЭ-схемах в сочетании с методами численного интегрирования по Гауссу, ко л локации, ч ¡«елейного обращения преобразования Лапласа и т.п.

Достоверность результатов диссертационной работа основана на строгом использовании математической теории упругости и вязкоупругости; на корректной редукции исходных динамических краевых задач к системам ГИУ; на разработке и использовании устойчивых, высокоточных ГЭ-метэдик и ГЭ-схем для численного анализа; на сравнении результатов решения модельных и прикладных задач с точными решениями и результатами других исследователей.

Научная новизна работы

[-1а основе МГЭ в сочетании с преобразованием Лапласа развита численная методика для решения трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости в случае заданных на поверхности тела нестационарных силовых, кинематических или силовых и кинематических условий. Методика позволяет организовать эффективный ■ процесс определения неизвестных граничных перемещений и поверхностных ам. Реализован алгоритм учета физической симметрии задачи, не приводящий к смене типа краевой задачи и

локальный алгоритм вычисления на границе тензора напряжений, не использующий операцию дифференцирования.

В трехмерной постановке проведен анализ нестационарного напряженного состояния рада вязкоупругнх тел и сред. Дано уточнение прежнего представления о волновых картинах для соответствующих задач.

Практическая значимость результатов исследования состоит в детальной методической проработке ГЭ-схемы прямого подхода метала ШУ в сочетании с преобразованием Далласа и создании ГЭ программного обеспечения для расчета полей перемещений и напряжений в изотропных трехмерных телах и средах, находящихся поз действием нестационарных силовых и кинематических импульсов; решении динамических задач трехмерной изотропной теории упругости и вязкоупругости.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода и соответствующее

программное обеспечение для расчета нестационарных нолей перемещений н

напряжений в трехмерных изотропных вязкоупругнх телах и средах.

2. ГЭ-решение и анализ следующих задач;

- торцевой удар по призматическому вязкоупругому телу с жестко закрепленным концом;

- действие давления на кубическую полость в вязкоупругом пространстве;

- действие давления на границе сферической полости, расположенной еиутри вязкоупругого куба;

- растяжение вязкоупругой плиты с цилинлро-коническим отверстием;

- действие давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединение двух толстостенных вязкоупругнх цилиндров).

Аппобация работы

Результат» диссертационной работы докладывались на II Всероссийской конференции «Организационные, философские к технические проблемы современных машиностроительных производств» (Рузаевка, 2001}. IX Нижегородской сессии молодых ученых {Сэров, 2004); Всероссийской научной конференции, посвященной памяти профессора А.И, Весницкого (Н.Новгород, 2004); VJ international congress on mathematical modeling (Nizhny Novgorod, Russia. 2004); IX Всероссийском съезде no теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006 г.).

Публикация

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10J.

Структур* н объем работу

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы ю 132 наименований. Общий объем диссертации составляет 163 страницы машинописного тексте.

На различных этапах работа поддерживалась грантом РФФИ (код 94.01-01178); грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ {№ 96-1598156 1997-1999 гг.; № 00-15-99029 2000-2002 гг.; К» НШ-1136.2003.8 2003-2004 гг.; ЛЬ НЩ-6391.1006.8 2006-2007 гг.); ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники», мероприятие 1.12. Развитие систсчы ведущих научных школ как среды генерации знаний и подготовки научно-педагогических кадров высшей квалификации (XII очередь — Научные школы). Приоритетное направление «Энергетика н энергосбережение» (гос. контракт № 02.445.11,7044, шифр «РИ-! 12/001/404» 200S г.); программой Минобразования и науки РФ ((Развитие потенциала высшей школы (2006-2008 гг.) проект РНП.2.1.2.3556,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ по применению МГЭ к решению динамических трехмерных задач теории упругости и вязкоупругости; обоснование актуальности темы диссертационной работы; формулировки целей работы и основных положений, которые выносятся на защиту.

МГЭ в его нынешнем виде появился в работе Н.И. Мусхелншвилн в 1937 году, а затем в 1940 году в работе А.Я. Горпдае и А.К. Рухадзе. Терминами ГНУ н МГЭ соответствующие подходы обязаны работам Т.А. Cruse (1973), P.K. Benerjee, С.А. Brebbia, R. Buuerlleld, J. Domingucs (1977). Математическому обоснованию - работам В.Д. Купрадзс, которые стали возможны благодаря результатам А. Зигмунда. А. Кальдсрона, С.Г. Мнхлина по теории сингулярных интегральных операторов.

Первыми применили ГИУ для упру годинам ики Т.А. Ciuse н F.J. Rizzo(l968). Использовалось интегральное преобразование Лапласа. Соответствующая формулировка ГИУ с интегральным преобразованием Фурье была представлена J. Dommguez (1978). Первая форм улиров ка граничного элемента не посредственно во временной области была представлена W J. М ans ur(1983) и использовалась для скалярного волнового ура в нения и упругодннаы ики с нуле выминачальнымиуслошимн.Обобщеиие этой форм улиров ки для начальны хусловнйотл ичных от нуля было представлено Н. Antes (19S5)i Сравнительное исследование разных формулировок приводится в работе G.D. Manolis (1983).

Сложившиеся два подхода при решении краевых задач для волнового уравнения,

двумерной те op ии у пру гости-вря мой с решением задачи непосредственно во врем ешюй области ti подходе использованием обратного преобразования при решении задачи в изображениях по Лапласу (Фурье)-были перенесены на решение трехмерных задач. В большинстве случаев используется методе применением преобразования Лапласа. Эта формулировка развивается благодаря пртенежяо принципа соответствия задач упругости и вязкоупругости. В работе G.V. Naraynan, D.E. Beskos были проанализированы восемь различных методов обращения преобразования Лапласа, н метод Дурбина был выбрал как наиболее подходящий для решения нестационарных динамических задач.

Распространению подхода, использующего преобразование Лапласа по временной переменной на численное решение трехмерных динамических задач теории упругости, способствовала работа 11.3. Ройтфзрба и Чу Вьет Кыонг (1976). Первая численная методика решения трехмерных нестационарных динамических задач изотропной теории упругости с использованием шаговой процедуры была детально разработана и доведена до устойчивых численных результатов в 80-е годы в работах А.Г. Угодчмиовз, U.M. Хуторянского с соавторами (Л. Л, Игумнов, О. П. Николаев, В.В. Ту рилов). Среди первых работ по численному анализу трехмерных у пру го динамических задач этого направления можно назвать работы D.L. Karabalis. D.E. ßeskos. S, Ahmad, P.K. Banerjce.

В дальнейшем применением МГЭ к трехмерным динамическим задачам упругости и вяэкоулругости занимались Ш.Н, Айталиев, Л.А. Алексеева, В.А. Бабешке, И.М. Буравлев, А.О. Ватульян, U.E. Жаибырбаев, Л.А. Игумнов, А.Н. Соловьев, Н.М, ХуторянскиЯ, Н. Antes, D.E. Beskos, H.B, Coda, J. Dommguez, L. Gaul, L.J, Gray, M. Kogl, G.D. Мало! is, M. Marrens, A.D. Mesquita, G. H. Pauiino, M. Sharcz, A. Sutradhar и др.

В главе I дана постановка задачи и описано построение ГНУ прямого подхода в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа,

Первые вязкоупругие теории были предложены в ] 874 Больиманом иМейером для изотропных вязкоу пру г их сред. В настоящее время в вяз коу пру гости дом инируют два подхода описания завис им остимежду напряжениям но деформацией: теория Больцмана-Вольтера-записывается интегральное уравнение наследственного типа итеорни M ейера дифференциальных моделей.

В первом параграфе рассматривается однородное тело £1 в трехмерном евклидовом пространстве Д* с декартовой системой координат OxlxixJ. Границу тела обозначим через Г. Предполагается, чго £1 является изотропным вязкоупругим телом. Вводятся обозначения для параметров материала; р - плотность материала, Х(/) и р(0 - функции Ламе материала. Динамическое состояние тела П описывается следующей системой дифференциальных уравнений я перемещениях:

|1(0*Д|ф:,<) + а<() + |* (/))*§го<1<11У«{х,/) = рй(х,0>. (1)

где символ означает свертку Стилтьеса по времени I. В уравнениях (1) и(хуг) — вектор перемещений точки = в момент времени I. Конкретный вид функций ц(() и ¡Ц/)

определяется вязкоупругой моделью материала. Рассматривается случай пропорциональных функций памяти и введем обозначения О, (/) = рс\ (»)> (У) = рс] (I). Функции памяти классических вязкоупругих моделей (Максвелла, Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела) имеют вид:

0{<) =С{0)е'1'*, ЛО^ЛОХ!-«""'). С(0 = С(=о)+(С(0)-, где у и р величины, обратные характерным временам релаксации и ползучесгн соответственно.

Модифицированная теория вязкоупругтсти предполагает использование наследственных ядер следующего типа:

НО = ?><*) + ^(О **>{')■

4

В работе рассматриваются два случая таких ядер:

еК/) = А1п—, ?(/) = *—--, 0 <« < 1.

Г(1-а)

Вводится вектор напряжений '„(-М) в точке л на элементарной площадке с единичной нормалью я(л-) (если Г, то под я{лг) понимается единичный вектор внешней по отношению к П нормали к границе Г):

д «(*)

Рассматриваются следующие типы граничных условий для П: и1 С*, О = /, (д, г), ле Г"; 1,(х,1) = gt^x,í), хеГ°; 1, (*,/) = а^ (*)»,(*. г), згеГ* 1-и. Здесь Г" н Г" - частн границы Г тела П, по которым заданы соответственно перемещения и поверхностные силы; Г* - гранш(а, по которой задана упругая связь. Функции /, (х,г) ц Ц, (*,') являются заданными функциями координат и времени, коэффициенты характеризуют свойства упругой связи. В дальнейшем интегральные представления рассматриваются в терминах преобразования Лапласа с параметром р. Для расчета нестационарных задач в явном времени заключительным является этап обратного преобразования Лапласа.

Во втором параграфе дано описание метода решения: ГИУ с совместным применением интегрального преобразования Лапласа. Вектор перемещений во внутренних

7

точках области связан следующим образом с граничными значениями перемещений и усилий (формула Сомнльякы):

г г (3)

1 = 1,2,3, xeíi,

Здесь ff и - соответственно компоненты тензоров фундаментальных и сингулярных решений уравнения (!)■ Тензор Г выражается через тензор U с помощью оператора напряжений 7j,;

T(x,y,p) = ir„it,V(x,ytp)]T .

где верхний значок "г*означает транспонирование.

Формула Сомнльяны (3) даст следующее ГИУ:

с,(*)«,(*,Р ) + fГДх.у,р (лр \d,S = fu^íx-у, р V,(у,р )ävS,

i г (4)

/-1,23, 1er.

Интеграл в левой частя (4) является сингулярным, то есть понимается в смысле главного значения по Коши, а коэффициент при внеинтегральном члене определяется регуляризацией ГНУ,размером области О и формой границы Г.

ГИУ (4) позволяет разработать эффективную численную методику для определения неизвестных амгинлуд граничных перемещений и поверхностных «li. Решением исходной начально-краевой задачи будет вектор-фуикиия «(ос,/), полученная путем применения к решению (3), (4) обратного преобразования Лапласа.

В главе II описана методика численного решения и приведены результаты тестовых экспериментов,

МГЭ сформировался в современный универсальный численно-аналитический метод благодаря усилиям целого ряда исследователей: СМ. Алейникова, А.Я. Александрова, D.M. Александрова, Л.А. Алексеевой, Ю.П. Артюхина, Ю.Л. Еормота, Э.С. Венцеля, Ю.В, Всрюжского, С.П, Гавелн, Р.В. Гольдигтейиа, Д,П. Грибова, Б.М. Зиновьева, Ю.Д. Копсйкииа, M.fi Лазарева, А.Н. Лннькова, В.М. Лиховцева, М.Д Мартынекко, Ю.А. Мельникова, C.B. Михайлова, Н.Ф. Морозова, О.П. Николаева, А.О. Daty-льяиа, М.В. Паукшто, П.И. Перлнна, Е.Е. Победрн, И.З. Ройтфарба, А.Н. Соловьева, В.И. Тараканова, В.В. Турилова, А.Г. Угодчнкова, Н.М. Хуторянекого, Г.И, Яха, Е. Atareen, H. Antes, P.K. Banerjee, A.A. Becker, D.E. Besfcos, G. Bonnet, R. Bulterfîeld, C.A. Brebbia, T.A. С ruse, J. Domíngucs, L. Gaul, G.C, Hsiao, M.A. Jaswon, N. Kamiya, S. Kobayashi, M. Kogl, J.C. Lachar, W.J. Mansur, G. de Mey, D, Nardini. K. Onishi, F.J. Rizzo, M. Schanz, R.P. Shaw, M. Symm, M, Tanaka, J.C.F. Telles, W.S. Ventorini, J.O, Watson W.L. Wendland, A. Werfer, L.C. Wrobel, и др.

Чтобы ввести ГЭ-дискрстизацию, рассматривается регуляризованное по П.И. Перлину ГИУ. Базовый процесс ГЭ-днскретнзации состоит в разбиении поверхности на ГЭ (рие. 1), каждый да которых отображается на базовый элемент (рис. 3). Треугольные элементы (рис. 2) рассматриваются как вырожденные четырехугольники.

Элемент границы отображается на свой базовый мемент с помощью геометрических узлов границы области и биквадрагичных функций формы. Естественный базис, метрический тензор и единичная нормаль ГЭ определяются однозначно. Неизвестные граничные поля интерполируются через узловые значения; перемещения через угловые узлы, з поверхностные силы выбираются постоянными на элементе. Коллокаиня ГНУ проводится во всех неизвестных узлах ГЭ-сетки. Решение сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Матрица системы для однородного тела полностью заполненная н несимметричная. Элементы матрицы получаются с помощью схем численного интегрирования, выбираемых в зависимости от того, каким является интеграл ~ несингулярным или сингулярным. Несингулярные интегралы получаются, когда коллокационная точка не принадлежит элементу, что позволяет применять стандартные квадратуры гауссовского типа. В силу поведения фундаментальных и сингулярных решений варьируется количество используемых точек Гаусса в зависимости от расстояния между коллокационной точкой н элементом (относительно характерной длины элемента). Для более точного вычисления коэффициентов дискретных аналогов ГИУ использован адаптивный алгоритм численного интегрирования, когда происходит автоматическое подразбиение ГЭ (рис, 4) и соответствующего базового элемента (рис. 5).

Рнс, 1

Рис,2

Рис. 3

Рис.4

Рис.5

Сингулярные интегралы появляются в случаях попадания коллокациоиных точек на элемент интегрирования. Тогда с помощью преобразования в параметрических координатах (Лаша-Ватсона и Даффи) интегралы сводятся к несингулярным: соответствующие треугольные элементы (рнс. 6 н рис. 7) отображаются ка базов ьШ элемент в плоскости (г]1,г;г >

i fi,

с+п

„X г * > i

(-О

FT

/г

'"'"Г

fS

Рис. 6

C-I)

Рис.7

Итоговая система линеПиых алгебраических уравнений решается методом Гаусса. Для численного обращения преобразования Лапласа используется алгоритм Дурбина. Для вычисления тензора напряжений на границе тела используется локальный способ, причем днфферениировашге не требуется, а используется теорема Стокса.

Для демонстрации возможностей ГЭ-методикн приводятся результаты расчета тестовых задач теории упругости и вязкоупругости. МГЭ-решения сравниваются с аналитическими решениями и с результатами других авторов.

Действие нестационарной нагрузки на поверхности сферической полости и шара. Сфера (рис. 8) аппроксимирована 384 ГЭ и ее ГЭ-сетка построена в результате проекции с равномерной сетки куба, вписанного в сферу. Выбраны три плоскости симметрии (xj-jf^jrj^O). Расчеты проведены для следующих видов нагрузок: р=ч при ' е(0,1]; р=1 при [>\ и p=t при l £[0,1]; р=2-/ при t ell,2).

Для модели стандартного вяэкоупругого тела длительные модули в четыре раза меньше мгновенных.

На рис. 9, 10 приведены кривые спектральной функции и функции перемещений для упругого случая задачи о шаре соответственно. Форма нагрузки при Г £[0,1] ; р~ 1 при f> 1, IIa рнс. II, 12 представлены аналогичные кривые для модели стандартного вязкоупругого тела, причем кривая 1 соответствует у = 0,05; кривая 2 - у »0,1; кривая 3 -

Рис.8

Г = 1; кривая 4 - у = 100. На рис. 12 виден процесс перестройки волновых картин перемещений при переходе свойегв среды с мгновенных модулей на длительные.

Рис. 9 Рис.10

Рис. 11 Рис. 12

Результаты численных экспериментов для шара сравнивались с расчетами других авторов. Результаты численных экспериментов для сферы сравнивались с точными решениями. Методика продемонстрировала высокую точность - ошибка численных результатов и разброс решений по граничным элементам меньше 1%.

В главе Ш приведены ГЭ-решення прикладных задач. При решении задач в приведенных величинах предполагалось, что i = ej^a'', р = р^,ра'. и = Еи^ /раа, где а - характерный геометрический размер, р„ - максимальная амплитуда нагрузки.

Для задачи о торцевом ударе (рис. 13) по призматическому телу (3x1x1м) с лсестко закрепленным концом на рис. 14, 15 показаны результаты решения в упругом случае, причем величина силы р = 1 Н/м2, плотность р = 7850кг/м3, коэффициент Пуассона г = 0, модуль Юнга Е = 2,11 -10"Па, Использована равномерная сетка с 224 ГЭ. Кривая 2

соответствует ГЭ-решению, а кривая I — аналитическому решению. Достигнутая точность выше имеющихся результатов других авторов.

Поведение перемещений дм стойко-вязкого тела продемонстрировано на рис. 16, 17 (для кривой 1 р ~ 0,05; для кривой 1 р = 0,3; для кривой 3 р = Ъ\ для кривой 4 = 100; для кривой 5 /?= 500). С уменьшением характерного времени ползучести гс или ростом р = 1/ге материал все более отчетливо начинает вести себя как упругий материал на длительных модулях. Прн Р -+■ а> 0) получаем чисто упругий случай.

Рис. 13

Рис, 14

Рис. 16 Рис. 17

Поведение перемещений для вязкоупругого тела с мгновенной упругостью продемонстрировано на рис. 18, 19 {для кривой 1 7=0,01; для кривой 2 т™0,3; для кривой 3 у -10; для кривой 4 т = 100). С уменьшением характерных времен релаксации г„ или ростом

материал все болте отчетливо начинает вести себя как упругий на длительных модулях. На рис. 18 показано, как перестраивается картина отклика в перемещениях. Отклик перемещений на длительных модулях имеет и большую амплитуду, и больший период колебаний.

Перемещения дня модифицированной степенной модели показаны на рис. 20, 21 (при ¿=17 для кривой I <г=0,3; для кривой 2 о=0,7; для кривой 3 а=0,95). С приближением наследственного ядра к ядру Больцмана отклик и качественно и количественно описывает упругий отклик.

Рис. 18

orneg

Рис, 19

Рис.20

Рис. 21

Соответствующий отклик напряжений в упругом случае, полученный для равномерной ГЭ-сетки с 224 элементами представлен на рис, 22. На аналитическое решение (кривая 1) наложено решение, полученное в исследованиях других авторов на основе метода ЬиЫсЬ (кривая 3), построенное на адаптированной сетке из 324 треугольных ГЭ, и полученное в диссертации (кривая 2), построенное на равномерной сетке из 224 четырехугольных ГЭ. Влияние вязкости .на отклик напряжений, снятых с жестко закрепленного конца представлено на рис. 23-25 соответственно для моделей Кельвина-

Фойгта (для кривой I /М>505; для кривой 2 >5=3; для кривой 3 ^—100; для кривой 4 ¿£=500), стандартного вязкоупругого тела (для кривой 1 >=0,01, для кривой 2 для кривой 3

у-10; для кривой 4 у= 100) и степенной модели (прн ¿»17 для кривой 1 «=0,3; для кривой 2 а~0,7; для кривой 3 а=0,95). Тенденция, выявленная на картинах полей перемещений, прослеживается и в картинах полей напряжений.

1

«.ОН

Р1

н

Рис. 22

Рис, 23

Рис. 24 Рис. 23

Решение задачи о дамениц на кубическую п&чость с ребрам I (рис. 26) продемонстрировано на рис. 27—30. Интенсивность давления /?((>*Л 0 5/ 5 \.р(<) = 1,/ > 1.

Коэффициент Пуассона ^ = 0,25. Параметры вязкоупругнх моделей выбираны следующие: Максвелла у = 0,05; Кельвина-Фойгта р = 3; стандартного вязкоупругого тела 7 = 0,05 и длигельные модули в четыре раза меньше мгновенных;

Рис.26

логарифмическая Л = степенная £ = ], а » 0,9. Кроме того, полагалось, что = 1,р = I.

Граница полости разбита на 1176 прямоугольных ГЭ, Выбраны три плоскости симметрии (дг, =дг, =0). Приведены графики перемещений ы, граничных точек полости при а = 2(1 + V)/. Буквами отмечены кривые, относящиеся соответственно к точкам А, В, С, изображенным на рис. 26. На рис. 27 приведены графики для упругой модели. На рис. 28 кривые 1 соответствуют модели Максвелла, кривые 2 - модели ЕСельвина-ФоПгта. Па рис. 29 кривые I соответствуют степесшой модели, кривые 2 -модели стандартного еязкоупругого тела. [1а рис. 30 приведены кривые для логарифмической модели. Результаты других авторов приведены в виде пунктирных линий. Для упругой модели, а также моделей Максвелла, Кельвина-Фойгга и стандартною вязкоупругого тела с течением времени граничные перемещения стремятся к

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29 Рис. 30

соответствующим статическим решениям. Использование наследственное ядра в виде слабосингулярноП модели может привести как к значительным количественным отличиям вязкоупругих полей перемещений от упругих (степенная модель), так и к значительным

качественным и количественным отличиям {логарифмическая модель): начальный этап деформирования повторяет картину поля перемещения для случая степенной модели, но отсутствует статический этап деформирования. Полученные результаты для упругого случая позволяют говорить, что достигнутая точность расчетов выше, чем это было получено на основе шаговой МГЭ-схемы другими авторами.

Решение задачи о действии давления на границе сферической полости, расположенной внутри еяэкоупругого куба (рис. 3 L) продемонстрировано на рис. 32—36.

Взята интенсивность давления 3> lli pi»=t, 0 </ £ 1, pit) = 1,/г 1 и

безразмерные параметры задачи Z. = 2,Д = 0,5,с, =2. Выбраны три плоскости симметрии

( j, = .г, = jr, = 0). Вся ГЭ-сетка состоит из 1200 элементов.

Параметры вязкоулрупк моделей такие же как в предыдущей задаче. На рис. 32 представлены графики и, для упругой модели в точках А и С. Hi рис. 33 представлены графики и, в точках В н D. Наибольшие смещения имеет центральная точка В, а наибольшую амплитуду колебаний точка D. На рис. 34, 35 кривые I соответствуют степенной модели, кривые 2 - модели стандартного вязкоупругого тела. На рис. 36 приведены кривые для логарифмической модели. Решение упругой задачи, полученное другими авторами методом гранично-временных элементов, приведено в виде пунктирных линий.

Рис.31

-00%

Рпс.32

Рис. 36

Рис. 34 Рис. 35

До момента отражения волн от граней куба перемещения совпадают с аналитическими значении ми перемещений в бесконечно К среда от действия нормального давления на границе сферической полости.

Использование логарифмической модели и качественно и количественно изменило процесс деформирования, притом, что начальный этап деформирования повторил случай степенной модели. Сравнение результатов аля упругого случая показало, что с увеличением временного интервала метод гранично-временных элементов накапливает ошибку (результаты для точки А) и происходит усреднение расчетного результата (интервал приведенного времени от 4,5 до 5).

Решение задачи о растяжении плиты с щииндро-хоническим отверстием приведено на рнс. 33-41. Нагрузка равномерно распределена по двум противоположным ториам плиты. Размеры конструкции выражены через радиус г = 0,01м цилиндрической части отверстия н проставлены на рнс. 37. Закон изменения во времени интенсивности нагрузки имеет вил

Рис. 37

р(/} = 0£(йЛ />(/) =■ р\ / 2 Л где г'=40 икс, 07 Па.

Расчеты проведаны для плиты со следующими характеристиками: плотность /? = 2,73х 10'кг/м'; коэффициент Пуассона и-0,3; модуль сдвига ¿1 = 2,75x10"1 Па. Выбраны две плоскости симметрии (дг|= хг=0). На всей поверхности тела построена сетка из 424 ГЭ. Имеется сравнение полученных результатов для упругого случая с результатами других авторов, полученными методом ГИУ в явном времени.

При решении вязкоупругой задачи выбраны следующие приведенные характеристики упругого материала р = 0,375; р =0,375; X = 0,75, что соответствует приведенному /■ = 0,057.

Вязкоулругие свойства материала выбирались в рамках регулярных классических моделей (модель Максвелла, Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела), а также модифицированной степенной модели. На рис. 33 представлены результаты расчетов аи в точке 2 для случая, когда свойства материала описываются моделью стандартного вязкоупругого тела, причем кривая I соответствует упругому случаю, кривая 2 - у = 0,01; кривая 3 - ^ = 0,3; кривая 4 - = 10 и кривая 5 - ^ = 100. На рис. 39 представлены результаты расчетов гг,, в точке 3, когда свойства материала описываются моделью стандартного вязкоупругого тела, причем кривая 1 соответствует упругому случаю. На рис, 40 представлены результаты расчетов н, в точке 3 для случая, когда свойства материала описываются моделью Кельвина—Фойгга, причем кривая 1 соответствует упругому случаю, кривая 2 - /} = 0.05; кривая 3 - /Г = 0,5; кривая 4-/3 = 3» кривая 5 - 0 = 100. На рис. 41 представлены результаты расчетов щ в точке 3, причем кривая 1 соответствует упругой модели, кривая 2 - модели Максвелла (у =0,08), кривая 3 - модели Кельвина-Фойгга (¿М00), кривая 4 - модели стандартного вязкоупругого тела (у-0,01), кривая 5 - модифицированной степенной модели (Ар 17, а=0,95).

Jdfiil

0.2 0.4 ОЛ

йтеДО)

РИС.40 РИС.41

На рисунках численно описан эффект перестройки волновых картин перемещений и напряжений при переходе с мгновенных модулей на длительные.

Решение задачи о действии давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана ^ (соединении двух толстостенных

-5*1 | Ф2г\ .

Т

В

{is*. ''--.S— Hih

в

iî-r-г-^F

¿t. I

4r

4r - ir

Xi

m

Рис. 42

цилиндров) (рис. 42) представлено »а рис, 43-45.

Полые толстостенные цилиндры пересекаются под прямым утлом (рис. 42). Параметры материала конструкции выбраны следующие: плотность р = 7,8 • 10J кг/м';

коэффициент Пуассона с = 0,3 ; модуль сдвига fi = 8,08 ■ 10'° Па. Интенсивность давления изменяется по закону: р(<) -tp' !t при 0 £ Г £ /' и p(i) = р" при /аf", где /* - время линейного нарастания pit) от нуля до максимального значения р' = 10' Па. Рассмотрены три значения параметра Г : t] =50мкс, /J = 100 икс и = 200 мкс. Размеры конструкции выражены через радиус г=0,05м внутренней цилиндрической поверхности н показаны на рис. 42. Выбраны четыре плоскости симметрии Cjc, = X] =0,*, = х, = -*,), что позволило в качестве основного фрагмента границы взять 1/16 часть поверхности конструкции, которая была разбита на 70 ГЭ. На всей поверхности тела построена сетка из 1120 элементов. Первоначально решалась статическая задача, а затем динамическая. На рис. 43 представлены графики изменения приведенного значения напряжения if,, = / р', во времени Г = Cjf' la =3218,5 м/с, а = 0,160925 м) в точке Е

для трех значений параметра V (кривая 1 соответствует кривая 2 - fj , кривая 3 - /,'). Для всех трех видов нагружеиия прослеживается сложный колебательный процесс около статического значения сг,, = 6,4-10'Па. На рис. 44 изображены трафики изменения напряжения cF„ для случая i^, когда выбрана модель стандартного вязкоупругого тела, причем параметры материала предыдущей упругой задачи взяты как длительные модули модели, а мгновенные модули в четыре раза больше (кривая 2 соответствует у = 0,01; кривая 3 - у = о,1; кривая 4 - у = 1; кривая 5 - у = 100; кривая 6- / = 500; кривая 1 соответствует упругому случаю). Графики на рис. 44 демонстрируют эффект перестройки волновых картин напряжений при переходе с мгновенных модулей на длительные. Результаты численных исследований в упругом случае сравнивались с результатами других авторов, полученные на основе МГЭ подхода в явном времени. На начальном этапе наблюдается хорошее совпадение.

Основные результаты и выводы

1. Развита методика численного решения систем ГНУ прямого подхода с применением интегрального преобразования Лапласа для расчета нестационарных полей перемещений и напряжений в трехмерных изотропных вязкоупругпх телах. Создано ГЭ про грам иное обеспечение.

2. Получены ГЭ-решення и проведен анализ тестовых и прикладных задач, в том числе:

- торцевой удар по призматическому вязкоупругому телу с жестко закрепленным концом;

- действие давления на кубическую полость в вязкоугтругом пространстве;

- действие давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба;

- растяжение вязкоупругой плиты с цклиндро-коническим отверстием;

- действие давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединение двух толстостенных вязкоупругих цилиндров).

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Игумнов Л.А,, Литвинчук C.IO. Построение граничных интегральных уравнений для голоморфного вектора при решении методом потенциала трехмерных задач упругого равновесия И Сборник материалов II Всероссийской конференции «Организационные, философские н технические проблемы современных машиностроительных производств», Рузаевка.— 2001. - С. 57.

2. Игумнов Л.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Литвинчук, С.Ю., Сенников В.М. Применение шгтегрального подхода в числсшю-аналпгнческом моделировании распространения ударных импульсов в многослойном упругом полупространстве И Проблемы прочности и пластичности; Межвуз. сборник / Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. -2003, - Вып. 65. - С. 15-25.

3. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю,, Белов А.А, Численное исследование волновых полей в слоистом полупространстве от действующей по нормали поверхностной сосредоточенной силы // IX Нижегородской сессии молодых ученых. Математические науки: тез псы докладов. Сэров. - 2004. -С. 14.

4. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю, Ануфриев А.А, Численное решение осеснмметричных задач деформирования конструкций методом гранично-времениых элементов // IX Нижегородской сессии молодых ученых. Математические науки: тезисы докладов. Сэров,-2004.-С. II,

5. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю, Белов А.А., Ануфриев А.А Гранично-элементное моделирование динамического деформирования трехмерных элементов конструкций // Волновая динамика машин и конструкций. Всероссийская научная конференция, посвященная памяти профессора А.И. Весницкого, (Н.Новгорол, 1-5 нюня 2004 г.). Тезисы докладов. Н.Новгород - 2004, - С. 8.

6. Jgumnov L.A., Litvinchuk S.U., Anufriev А.А. Mathematical modeling of deformation processes of three-dimensional elements constructions on Ihe basis of boundary- time elements method // Book of abstracts VI international congress on mathematical modciing. September 20-26,2004. Nizhny Novgorod, Russia. - 2004, - P, 313.

7. Игумнов Л.А., Белов A.A., Ануфриев A.A., Литвинчук С.Ю,, АмениикиИ А.В., Ермолаев М.Д. Гранично-элементная методика расчета трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости и вязкоупругости Н Проблемы прочности н

пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород; Иэд-во Нижегородского ун-та. — 2005. -Вып. 67.-С. 91-101.

8. Игумнов Л.А., Белов A.A., Лкгвннчук С.Ю., Аменнцкий A.B. Гранично-элементное моделирование нестационарного динамического деформирования трехмерных элементов конструкций // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. Серия Механика. / Н.Новгород: Изд-во ИНГУ. - 2006. - Выл. 1(7) - С. 76-89.

9. Лнтвинчук С.Ю. Гранично-элементные расчеты динамических краевых задач трехмерных теорий упругости и вязкоупругости Н IX Всероссийский съезд по теоретической н прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006), Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. -2006.-С. 134-135.

10. Игумнов Л.А., Белов A.A., Лнтвинчук С.Ю. Об исследовании влияния вязкости материала из волновые поля перемещений и напряжений методом граничных элементов // Проблемы прочности и пластичности; Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. - 2006. - Вып. 68, - С. 120-131.

Подписано а печать 16.11.2006. ДСП, Формат 60*84 Ш6. Б> мага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,5. Уч.игд, 2,3 л. Зак. . Тир. 100.

Лаборатория миож, техники ННГУ. 603950, Н. Новгород, пр, Гагарина, 23,

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I Основные соотношения теории упругости и вязкоупругости.

1.1 Теория упругости однородного тела.

1.2. Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости.

1.3. Численное обращение преобразования Лапласа.

1.4. Исследование методом Дурбина фундаментальных матриц- 40 решений трехмерной модифицированной теории вязкоупругости.

1.5. Граничные интегральные уравнения вязкоупругости.

Глава II Методика гранично-элементного моделирования.

2.1. Гранично-элементная дискретизация.

2.2. Учет симметрии задачи.

2.3. Вычисление тензора напряжений на границе тела.

2.4. Программная реализация.

2.5. Решение тестовых задач.

Глава III Решение прикладных задач.

3.1 Задача о торцевом ударе призматического тела с жестко закрепленным концом.

3.2. Решение задачи о скачке давления внутри кубической полости.

3.3. Задача о действии нестационарного давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоунругого куба.

3.4. Задача о динамической концентрации напряжений в плите с цилиндро-коническим отверстием.

3.5. Решение задачи о действии давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединении двух толстостенных цилиндров).

Современные потребности машиностроения, строительства и др. стимулируют изучение распространения волн в трехмерных телах произвольной геометрии. Учет эффектов последействия еще более усложняет волновые картины и снижает эффективность многих расчетных методов. Одним из современных методов численно-аналитического анализа динамических задач трехмерной теории упругости и вязкоупругости является метод граничных элементов (МГЭ). Библиометрический анализ показывает, что МГЭ по востребованности уверенно занимает третью позицию (после метода конечных элементов и метода конечных разностей) среди численных методов.

С историей методов ГИУ и МГЭ можно познакомиться по работам [6, 7, 10, 28, 35, 36, 40, 43, 56, 57, 60, 72, 77, 78, 83, 97, 99, 100, 109, 125, 131]. Введением в современное состояние вопроса могут быть публикации [33, 73, 76-80, 84-86,94, 95, 101, 106, 108, 116, 117, 120, 121, 128, 131].

Специфика МГЭ - это понижение размерности пространства в записи интегрального уравнения. Это приводит к более эффективной численной дискретизации.

Основные достижения и современное состояние численных методов отражены в учебниках и монографиях [3, 4, 5, 13, 14, 51, 52, 54, 64, 65] и др.

МГЭ в его нынешнем виде впервые появился в работе II.И. Мусхелишвили в 1937 году, а затем в 1940 году в работе А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе.

Уменьшение размерности ведет к системам линейных алгебраических уравнений меньшего порядка, меньшему количеству компьютерных затрат и более эффективному вычислению. Этот эффект наиболее очевиден, когда область неограничена. МГЭ автоматически моделирует поведение на бесконечности без необходимости развертывания сетки для аппроксимации области. Так как в МГЭ нет необходимости иметь дело с внутренней сеткой, то настройка сетки намного проще.

Ведущая роль МГЭ как специализированного и альтернативного метода по сравнению со всеми другими численными методами для дифференциальных уравнений в частных производных является бесспорной. После «изобретения технологии» в конце 1960-х - начале 1970-х гг. число публикаций по МГЭ было мало, но скорость их роста вела себя экспоненциально. Рост достиг точки перегиба около 1991 года. После чего ежегодные публикации продолжали расти, но с меньшей скоростью. Признаком зрелости технологии является постоянство ее продукции. Число ежегодных публикаций МГЭ достигло устойчивого уровня.

Термин МГЭ имеет два смысла: узкий и широкий. В узком смысле МГЭ - это численная методика, основанная на методе взвешенных невязок. Используемая функция невязок - фундаментальное решение исходного уравнения. Можно также рассматривать МГЭ как численное решение ГИУ, основанное на формуле Грина, в которой кусочно-элементная концепция МКЭ используется для дискретизации. Более широко МГЭ используется как универсальный термин для разнообразных численных методов, которые используют граничную или подобную граничной дискретизацию.

Развитие теории сингулярных интегральных уравнений началось благодаря введению понятий сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Идея интерпретации сингулярного интеграла была введена Коши в 1814 г. В современном научном обороте такой интеграл называется существующим в смысле «главного значения Коши». Гиперсингулярный интеграл существует в смысле «конечной части Лдамара». Это понятие было введено Ж.С. Адамаром в 1908 г. Исследование одномерного сингулярного интегрального уравнения (с ядром Коши) было заложено в работах Гильберта (1904, 1905) и Пуанкаре (1910). Начало исследования восходит к работе Ю.В. Сохотского (1873).

Для теории упругости важный шаг к получению формулы Грина был сделан Э. Бетти в 1872 г., когда он ввел теорему взаимности. Рэлей в дальнейшем применил теорему к стационарным упругодинамическим задачам. К. Сомильяна в 1885 г. разработал интегральное представление для перемещений, которое является вариантом формулы Грина. Первые интегральные уравнения первого рода с несущей поверхностью потенциалов, лежащей за пределами исследуемой области, в теории упругости построили A. Nadai (1922) и Н. Zimmermann (1886). Первые интегральные уравнения второго рода в задачах теории упругости были получены Фредгольмом (1906) и Лауричеллой (1907, 1909) при решении первой краевой задачи для изотропного упругого тела. В случае второй краевой задачи интегральные уравнения второго рода с ядрами, имеющими интегрируемую особенность, получаются с помощью антенного потенциала Вейля.

Комплексные представления интегрального уравнения для теории упругости сформулировал Г.В. Колосов (1909), дальнейшее развитие связано с Н.И. Мусхелишвили (1966, 1968), С.Г. Михлиным (1934) и Д.И. Шерманом (1936, 1940).

С точки зрения разработки приближенных методов важной была работа У. Рида в 1908 г. Основываясь на идеях У. Рица, Э. Треффтц предложил граничный метод, известный как метод Треффтца.

Таким образом, можно отметить, что при формировании метода граничных решений существуют два основных подхода: первый основан на граничных интегральных уравнениях (ГИУ), а второй - на использовании полной системы решений.

П.И. Мусхелешвили не только вывел и исследовал новые комплексные уравнения в 1934 г., но и указал в 1937 г., как их решать численно. Его идея в 1940 г. была реализована А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе. Они использовали все атрибуты метода, который ныне известен как МГЭ. Работы Н.И. Мусхелешвили и А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе - пионерские работы по МГЭ.

В работе [27] Б.Г. Кореневым проведен анализ метода, названного методом «компенсирующих нагрузок» и выяснена его связь с вариационным методом Треффтца. Независимо от Б.Г. Коренева аналогичный метод к решению задач теории упругости был предложен А.Я. Александровым (1946). Здесь, в отличие от первых работ Б.Г. Коренева, неизвестные располагались на контуре области, что приводило к появлению сингулярных интегралов. Сингулярные интегральные уравнения автором в явном виде не записывались, использовались их алгебраические аналоги. Таким образом, А.Я. Александров был в числе тех, кто первым предложил одну из схем численного решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих при использовании упругих потенциалов, и первым довел решение некоторых задач «до числа». Такой же метод в 1949 г. был опубликован С.Е. Massonnet, который систематически занимался его развитием и первым произвел расчеты с помощью ЭВМ. С.Е. Massonnet были выполнены численные решения для двух случаев. В первом случае использовалось интегральное уравнение Фредгольма второго рода для решения задач кручения. Во втором случае задачи двумерной теории упругости были решены, используя распределение радиального поля напряжения.

Теория Фредгольма дала теории потенциала задач теории упругости начальную математическую базу. Н.И. Мусхелишвили [44, 45], И.Н. Векуа [8], Н. П. Векуа [9], В.Д. Купрадзе [30, 57] и С.Г. Михлиным [41] обеспечили обоснование теории векторных упругих потенциалов через изучение сингулярных интегральных уравнений. Такие работы стали возможны благодаря результатам А. Зигмунда, А Кальдерона (1952, 1956), С.Г. Михлина [115, 43] по теории сингулярных интегральных операторов; расширению теоретических основ (запись потенциалов без применения фундаментальных решений) - работам А. Кальдерона (1963), Р. Сил и (1966), А. Хермандера (1967).

В.Д. Купрадзе [30, 31] для нахождения приближенного решения теории потенциала и упругости для статических и динамических задач использовал «метод функциональных уравнений», который допускает несколько формулировок. Методику В.Д. Купрадзе распределения фундаментальных решений на внешней вспомогательной границе рассматривают как основу «метода фундаментальных решений».

Исторически первыми стали разрабатываться непрямые методы -Л.Я. Александров (1946), С.Е. Massonnet (1949), Р.К. Banerjee (1970), J.O. Watson и G.R. Tomlin (1973). Но рост численных решений ГИУ начался с работ F.J. Rizzo (1967). Он использовал формулу Сомильяны для упругостатических задач. Последователем F.J. Rizzo в нахождении численных решений стал Т.A. Cruse (2001). F.J. Rizzo и D.J. Shippy в 1968 г. первыми пытались решить задачу теории упругости с включениями, задачи для плоских анизотропных тел в 1970 г. Используя преобразование Лапласа и численное обращение Лапласа, они решали задачи теплопроводности (1970) и квазистатические вязкоупругие задачи (1971). Т.A. Cruse в 1968 г. опубликовал две статьи с результатами по ГИУ в упругодинамике [88, 89] и по трехмерным задачам трещин.

Первоначально ГЭ-программы использовали кусочно-постоянные элементы. В 1972 г. Riccardella сделал первый шаг в анализе задачи плоской деформации с использованием линейных элементов. В дальнейшем Т.А. Cruse (1974) обобщил эту модель для случая трехмерного упругого анализа напряжений.

В 1971 г. Т.А. Cruse назвал методы, которые используют потенциалы простого и двойного слоя в фиктивных плотностях, «непрямыми методами потенциалов» и методы, которые использовали формулу Грина, типа третьего тождества Грина и интеграл Сомильяны - «прямым методом потенциала». Однако, «прямой метод потенциала» позднее стал называться «метод ГИУ». В 1977 г. С.A. Brebbia стал говорить о решении ГИУ, используя «граничные элементы». В том же году М.А. Jaswon и G.T. Symm издали первую книгу по численному решению ГИУ [103]. Терминами ГИУ и МГЭ соответствующие подходы обязаны работам Т.А. Cruse (1973), Р.К.

Benerjee, С.A. Brebbia, R. Butterfield, J. Domingues (1977). Работа J.C. Lachat и J.O. Watson (1976) является первой работой, переносящей идеи МКЭ в МГЭ. В 1978 С.A. Brebbia издал первый учебник по МГЭ [81]. Книга содержала ряд компьютерных кодов, разработанные J. Dominguez (1978). В 1984 г. С.А. Brebbia основал журнал «Engineering Analysis—Innovations in Computational Techniques». В нем публиковались работы, использующие граничный элемент. В 1989 г. журнал был переименован в «Engineering Analysis with Boundary Elements» и стал специализированным журналом по МГЭ.

ГИУ смешанной задачи теории упругости, содержащие внеинтегральный член на всей поверхности, были предложены А.Г. Угодчиковым и Н.М. Хуторянским в 1979 году [58]. Уравнения непрямой формулировки независимо предложены в 1979 году N.J. Altiero, S.D. Gavazza в работах [70, 71]. В случае, когда куски поверхности имеют общие точки, аналог ГИУ непрямой формулировки использовался в 1931-1933 гг. Ж. Жиро, который с исчерпывающей полнотой исследовал указанный класс задач для эллиптических уравнений общего вида.

Книга А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского [58] была первой книгой по МГЭ, содержащей результаты расчетов трехмерных нестационарных динамических задач изотропной теории упругости и программный код, созданный Н.М. Хуторянским и В.В. Туриловым, с помощью которого эти устойчивые результаты получены.

При решении МГЭ динамических задач сформировалось два подхода к учету переменной времени: применение интегрального преобразования Лапласа (или Фурье) по времени с решением задачи в изображениях и численным обращением интегрального преобразования; в явном учете переменной времени с использованием шаговых по времени процедур. Оба подхода первоначально были применены для решения плоских задач о дифракции акустических волн на препятствиях в идеальной сжимаемой жидкости [74, 111, 112]. Распространение подхода МГЭ с преобразованием Лапласа на решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах М. Friedman (1962), R.P. Shaw (1979). Дальнейшее развитие методика получила в работах [111, 112]. Была, в частности, улучшена точность численного обращения преобразования Лапласа - применен метод Дурбина [93]. В работе [118] были проанализированы восемь различных методов обращения преобразования Лапласа и метод Дурбина был выбран как наиболее подходящий для решения нестационарных динамических задач.

Распространение подхода МГЭ с преобразованием Лапласа на численное решение трехмерных динамических задач теории упругости было осуществлено в работе [53]. В ней проведено тестирование предложенной методики путем сравнения численного решения с точным в пространстве изображений.

В работе D.M. Cole, D.D. Kosloff, J.В. Minster (1978) шаговый подход был применен для исследования антиплоской деформации. Развитие шагового подхода для решения произвольных двумерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах [110, 119]. В них авторы использовали аналитическое интегрирование по времени. В работе [110] было проведено сравнение первого и второго подходов на решении конкретной двумерной нестационарной динамической задачи.

Впервые численная методика для расчета нестационарного динамического деформирования трехмерных упругих элементов конструкций с использованием шаговой процедуры была детально разработана в работах [58] и реализована в виде программы. Среди первых работ этого подхода по численному анализу трехмерных упругодинамических задач можно назвать работу D.L. Karabalis и D.E. Beskos [104]. Но лишь с работы [69] зарубежным специалистам удалось устранить все выявившиеся существенные проблемы гранично-элементного моделирования.

В последние 15 лет МГЭ подробно исследовались, был написан целый ряд монографий по МГЭ: Ш.М. Айталиев, Л.А. Алексеева, Ш.А.

Дильдабаев, Н.Б. Жанбырбаев (1992), С.М. Алейников (2000), A.M. Линьков (1999), B.C. Рябенький (1986, 2002), С.Г. Михлин, Н.Ф. Морозов, М.В. Паукшто (1994), F. Aliabadi (2001), Н. Antes и P.D. Panagiotopoulos (1992), V. Sladek и J. Sladek (1989), Р.К. Benerjee (1994), D.E. Beskos (1991), G. Bonnet (1999), Чандра и Мукержее (1997), Т.A. Cruse (1988) и Кейн (1994). В результате МГЭ сейчас гораздо более понятны. В частности, кажущийся выигрыш в размерности далеко не однозначен, поскольку в МГЭ используются целиком заполненные матрицы, а в МКЭ - разреженные симметричные матрицы. МГЭ эффективны (сами по себе или в сочетании с МКЭ) для решения задач со сложной или изменяющейся дискретизацией области (анализ механики разрушения, распространение трещин, оптимизация формы, идентификация дефектов), для неограниченных сред с определенными формами, для которых известны фундаментальные решения, удовлетворяющие соответствующим граничным условиям, и для поверхностных нелинейных явлений (например, в механике контакта и износа). Гибкость МКЭ в отношении нелинейных или гетерогенных определяющих свойств остается недостижимой при использовании МГЭ.

Необходимо отметить особо несколько книг и статей об интегральных уравнениях в теории потенциала и упругости, т.к. они написаны выдающимися математиками, такими как O.D. Kellogg (1929), Н.И. Мусхелишвили (1953), С.Г. Михлин (1957) и В.Д. Купрадзе (1965) и, как сейчас понятно, сыграли ключевую роль в становлении методов ГИУ и МГЭ.

Классические формулировки метода ГИУ с их дискретной реализацией и традиционные варианты МГЭ давно зарекомендовали себя как успешные подходы для решения трехмерных изотропных задач динамической теории упругости.

Разработка подходов метода ГИУ и МГЭ для решения трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости представляет актуальную проблему.

Цель работы состоит в развитии МГЭ-методики в сочетании с преобразованием Лапласа для решения трехмерных задач динамики упругих и вязкоупругих многосвязных тел при заданных на их поверхности нестационарных силовых, кинематических или силовых и кинематических условий; в разработке соответствующих алгоритмов и программ и в расчете динамического деформирования трехмерных вязкоупругих тел и сред.

Научная новизна работы заключается в развитии на основе МГЭ в сочетании с преобразованием Лапласа численной методики для решения трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости в случае заданных на поверхности тела нестационарных силовых, кинематических или силовых и кинематических условий. Методика позволяет организовать эффективный процесс определения неизвестных граничных перемещений и поверхностных сил. Реализован алгоритм учета физической симметрии задачи, не приводящий к смене типа краевой задачи и локальный алгоритм вычисления на границе тензора напряжений, не использующий операцию дифференцирования.

В трехмерной постановке проведен анализ нестационарного напряженного состояния ряда вязкоупругих тел и сред. Дано уточнение прежнего представления о волновых картинах для соответствующих задач.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на строгом использовании математической теории упругости и вязкоупругости; на корректной редукции исходных динамических краевых задач к системам ГИУ; на разработке и использовании устойчивых, высокоточных ГЭ-методик и ГЭ-схем для численного анализа; на сравнении результатов решения модельных и прикладных задач с точными решениями и результатами других исследователей.

Практическая значимость результатов исследования состоит в детальной методической проработке ГЭ-схемы прямого подхода метода ГИУ в сочетании с преобразованием Лапласа и создании ГЭ программного обеспечения для расчета нолей перемещений и напряжений в изотропных трехмерных телах и средах, находящихся под действием нестационарных силовых и кинематических импульсов; решении динамических задач трехмерной изотропной теории упругости и вязкоупругости.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода и соответствующее программное обеспечение для расчета нестационарных полей перемещений и напряжений в трехмерных изотропных вязкоупругих телах и средах.

2. ГЭ-решение и анализ следующих задач:

- торцевой удар по призматическому вязкоупругому телу с жестко закрепленным концом;

- действие давления на кубическую полость в вязкоупругом пространстве;

- действие давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба;

- растяжение вязкоупругой плиты с цилиндро-коническим отверстием;

- действие давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединение двух толстостенных вязкоупругих цилиндров).

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на II Всероссийской конференции «Организационные, философские и технические проблемы современных машиностроительных производств» (Рузаевка, 2001); IX Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2004); Всероссийской научной конференции, посвященной памяти профессора А.И. Весницкого (Н.Новгород, 2004); VI international congress on mathematical modeling (Nizhny Novgorod, Russia, 2004); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17-25,37, 102].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 132 наименований. Общий объем диссертации составляет 163 страницы машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода с применением интегрального преобразования Лапласа для расчета нестационарных полей перемещений и напряжений в трехмерных изотропных вязкоупругих телах. Создано ГЭ программное обеспечение.

2. Получены ГЭ-решения и проведен анализ тестовых и прикладных задач, в том числе:

- торцевой удар по призматическому вязкоупругому телу с жестко закрепленным концом;

- действие давления на кубическую полость в вязкоупругом пространстве;

- действие давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба;

- растяжение вязкоупругой плиты с цилиндро-коническим отверстием;

- действие давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединение двух толстостенных вязкоупругих цилиндров).

1. Адлуцкий, В.Я. Исследование напряженно-деформированного состояния тел сложной формы методом граничных интегральных уравнений: автореферат канд. дисс. / Адлуцкий В.Я. -Днепропетровск, 1984.

2. Александров, А.Я. Решение основных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений / А.Я. Александров. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. - М.: Наука, 1975.-С.З-24.

3. Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. М.: Наука, 1986.-744 с.

4. Бакулин, B.II. Динамические задачи нелинейной теории оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии / В.II. Бакулин, И.Ф. Образцов, В.А. Потоиахин. М.: Наука, Физматлит, 1998.

5. Бахвалов, Н.С. Численные методы / II.C. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: 11аука, 1987. - 598 с.

6. Бенерджи, П.К. Методы граничных элементов в прикладных науках / П.К. Бенерджи, Р. Батерфилд. М.: Мир, 1984.-494 с.

7. Бурчуладзе, Т.В. Развитие метода потенциала в теории упругости / Т.В. Бурчуладзе, Т.Г. Гегелия. Тбилиси: Мецниереба, 1985. - 228 с.

8. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа.-М.: Гостехихдат, 1948.

9. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи / Н.П. Векуа. М.: Физматгиз, 1970.

10. Ю.Верюжский, Ю.В. Метод интегральных уравнений в механике деформируемых твердых тел / Ю.В. Верюжский // Учебное пособие. -Киев: Межвуз. полиграф, предпр. при КИНХ, 1977. 120 с.

11. ЬВерюжский, Ю.В. Метод потенциала в статических задачах строительной механики / Ю.В. Верюжский. М., 1981.

12. Гавеля, С.П. О расчетных методах исследования проблем теории упругости с помощью метода потенциалов / С.П. Гавеля // Препринт Днепропетр. ун-та.-Днепропетровск, 1978.-С. 1-13.

13. И.Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984.

14. Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов и др.. М.: Наука, 1976. - 400 с.

15. Гольдштейн, Р.В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде / Р.В. Гольдштейн // Механика твердого тела. 1979. - № 3. - С. 111-126.1 б.Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. М., 1975. - 407 с.

16. Использование методов эквивалентирования, агрегирования и декомпозиции при математическом моделировании и оптимизации атомных энергетических установок. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1978.- 154 с.

17. Коренев, Б.Г. К вопросу о применении способа компенсирующих нагрузок / Б.Г. Коренев // ПММ. 1942. - Т. 6. - С. 91 -94.

18. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. М.: Мир, 1987. - 328 с.

19. Крылов, В.И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращению преобразования Лапласа / В.И. Крылов, Н.С. Скобля. М., 1974.-224 с.

20. Купрадзе, В.Д. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач / В.Д. Купрадзе, М.А. Алексидзе // ЖВМи МФ. 1964. - Т. 4, № 4. - С. 683-715.

21. Купрадзе, В.Д. Методы потенциала в теории упругости / В.Д. Купрадзе. М. Физматгиз, 1963. - 472 с.

22. Лазарев, М.И. Метод граничных интегральных уравнений. Алгоритмы и их реализация / М.И. Лазарев // Информационный материал, НИВЦ АН СССР. Пущино-на-Оке, 1984. - 54 с.

23. Лазарев, М.И. Потенциалы линейных операторов и некоторые приемы редукции краевых задач к граничным уравнениям / М.И. Лазарев // Научный центр биологических исследований АН СССР. Пущино, 1985.-19 с.

24. Линьков, A.M. Дополнение. О становлении метода граничных элементов / A.M. Линьков // В кн. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. Пер. с англ. М.: Мир, 1987.-328 с.

25. Линьков, A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / A.M. Линьков. Спб.: Наука, 1999. -382 с.

26. Локшин, А.А. Математическая теория распространения волн в средах с памятью / А.А. Локшин, Ю.В. Суворова. М.: МГУ, 1982. - 152 с.

27. Мельников, Ю.А. Построение функций Грина некоторых граничных задач математической физики / Ю.А. Мельников, Р.Д. Красникова. -Днепропетровск: ДГУ, 1981. 55 с.

28. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения в теории упругости / С.Г. Михлин, Н.Ф. Морозов, Н.В. Паукшто. СПб., 1994. - 272 с.

29. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения / С.Г. Михлин. М.: Гостехиздат, 1949.

30. Михлин, С.Г. Метод граничных интегральных уравнений. Серия: Механика / С.Г. Михлин // Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978.-Вып. 15.-209 с.

31. Михлин, С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С.Г. Михлин. М.: Физматгиз, 1962. - 264 с.

32. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости /11.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

33. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

34. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение / A.M. Нахушев. М. Физматлит, 2003. - 272 с.

35. Николаев, О.П. Разработка и применение модифицированной методики граничных элементов для трехмерных смешанных задач упругого равновесия: автореф. канд. дисс. / Николаев Олег Петрович. Горький: ГГУ, 1983.

36. Партон, В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин.-М.: Наука, 1981 -688 с.

37. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1977. - 312 с.

38. Пириев, II.П. Две задачи о распространении возмущений в вязкоупругих телах / II.П. Пириев // Исследование вопр. теории упругости и пластичности. Баку: Эли, 1978. - С. 77-82.

39. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б.Е. Победря. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 343 с.

40. Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортон. М.: Мир, 1972. - 418 с.

41. Ройтфарб, И.З. Численный метод решения пространственных динамических задач теории упругости на основе метода потенциала / И.З. Ройтфарб, Тю Вьет Кыонг // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник. - 1976. - С. 32-38.

42. Самарский, А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. -М.: Наука, 1989.-430 с.

43. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, Л.Л. Килбас, О.И. Маричев. Минск, 1987.-688 с.

44. Сологуб, B.C. Развитие теории эллиптических уравнений в XVIII и XIX столетиях / B.C. Сологуб. Киев: Наукова Думка, 1975. - 279 с.

45. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В.Д. Купрадзе и др.; ред. В.Д. Куирадзе. Изд. 2-е. -М.: Наука, 1976.-664 с.

46. Угодчиков, А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. -Казань: Изд-во Казанск. ун та, 1986. - 295 с.

47. Хведелидзе, Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения / Б.В. Хведелидзе // Тр. Тбилис. мат. ин-та АН ГССР. -1956.-№23.-С. 3-158.

48. Хуторянский, Н.М. Метод гранично-временных элементов в пространственных задачах нестационарной динамики упругих и вязкоупругих тел: автореф. дисс.доктора техн. наук: 01.02.04 / Хуторянский Наум Маркович. Рига, 1988. - 32 с.

49. Шишкин, В.П. Интегральная формула для вычисления напряжений в некоторых точках границы области / В.П. Шишкин, В.В. Латышев. -Минск, 1980. 10 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 2155-81.

50. Шокин, Ю.И. Метод дифференциальною приближения. Применение к газовой динамике / Ю.И. Шокин, II.H. Яненко. Новосибирск: Наука, 1985.-364 с.

51. Яненко, Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / II.H. Яненко. Новосибирск: Наука. Сибирское отд., 1967. - 195 с.

52. Abate, J. On the Laguerre-method for numerically inverting Laplace transforms / J. Abate, G. Choudhury, W. Whitt // INFORMS Journal of Computing. 1996. - № 8. - P. 413-427.

53. Abate, J. The Fourier-series method for inverting transforms of probability distributions / J. Abate, W. Whitt // Queueing Systems. 1992. - № 10. -P. 5-88.

54. Achenbach, J.D. A three parameter viscoplastic model particularly suited for dynamic problems / J.D. Achenbach, C.C. Chao // J.Mech and Phys.Solids. - 1962. - Vol. 10, № 3. - P. 245-252.

55. Ahmad, S. Time-domain transient elastodynamic analysis of 3-d solids by BEM / S. Ahmad, P.K. Banerjee // Int. J. Num. Meth. Eng. 1988. -Vol.26.-P. 1709-1728.

56. Altiero, N.J. An effective boundary-integral approach for the mixed boundary value problems of linear elastostatics / N.J. Altiero, S.D. Gavazza // Appl. Math. Modell. 1979. - Vol. 3, № 2. - P. 99-104.

57. Altiero, N.J. On a unified boundary-integral equation method / N.J. Altiero, S.D. Gavazza//J. Elast. 1980. - Vol. 10,№ l.-P. 2-8.

58. Antes, H. The boundary integral Approach to static and dynamic contact problems / II. Antes, P.D. Panagiotopoulos // Int. Series of Numerical Mathematics 108,-Birkhauser, Basel, 1992.-313 p.

59. Ashraf, Ali Boundary element method: application in sound and vibration / Ali Ashraf, C. Rajakumar. Taylor, 2004.

60. Banaugh, R.P. Diffraction of steady acoustic waves by surfaces of arbitrary shape / R.P. Banaugh, W. Goldsmith // J. Acoust. Soc. Amer. 1963. -Vol.35.-P. 1590- 1601.

61. Beskos, D. Boundary element advances in solid mechanics / D. Beskos, G. Maiser. Springer, 2003. - 307 p.

62. Beskos, D.E. Boundary Element Methods in Dynamic Analysis / D.E. Beskos // Applied Mechanics Review. 1987. - Vol. 40, № 1. - P. 1 -23.

63. Beskos, D.E. Boundary element methods in dynamic analysis: Part II 19861996 / D.E. Beskos // Appl. Mech. Reviews. 1997. - Vol. 50.-P. 149197.

64. Bonnet, M. Boundary integral equation methods for elastic and plastic problems / M. Bonnet // Encyclopedia of Computational Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd. 2004. - Vol. 2. - P. 719-749.

65. Bonnet, M. Boundary integral equation methods for solids and fluids / M. Bonnet.-Wiley, 1999.-391 p.

66. Brebbia, C. A. The boundaiy element method for engineers / C.A. Brebbia. London / New York: Pentech Press / Halstead Press. - 1978.

67. Carini, A. Boundary Integral Equation Analysis in Linear Viscoelasticity: Variational and Saddle Point Formulations / A. Carini, M. Diligenti, G. Maier // Computational Mechanics. 1991. - № 8. - P. 87-98.

68. Cheng, A.H.-D. Heritage and early history of the boundary element method / A.H.-D. Cheng, D.T. Cheng // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2005. - Vol. 29. - P. 268-302.

69. Cohen, A. Adaptive Wavelet Techniques in Numerical Simulation / A. Cohen, W. Dahmen, R. DeVore // Encyclopedia of Computational Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd. 2004. - Vol. 1. - P. 157-198.

70. Costabel, M. Developments in Boundary Element Methods for Time-Dependent Problems / M. Costabel // Problems and Methods in Mathematical Physics, Leipzig. 1994. - P. 17-32.

71. Costabel, M. Time-dependent problems with the boundary integral equation method / M. Costabel // Encyclopedia of Computational Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd. 2004. - Vol. 1. - P. 703-719.

72. Cruse, T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostafics / T.A. Cruse // Int. J. Solids and Structures. 1969. - № 6. - P. 1259-1274.

73. Cruse, T.A. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part I. / T.A. Cruse, F.J. Rizzo // J. Math. Anal, Applic. 1968 -№ 22. - P. 244-259.

74. Cruse, T.A. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part II / T.A. Cruse, F.J. Rizzo // J. Math. Anal, Applic. 1968 - № 22, 2. - P. 341-355.

75. Cruse, T.A. Three mensional elastic stress analysis of a fracture specimen with edge crack / T.A. Cruse, W. Vanburen // Int. J. of Fracture Mechanics. -1971.-Vol. 7, № l.-P. 1-15.

76. Davies, B. Integral Transforms and Their Applications (3rd edn). / B. Davies. Springer: New York, 2002.

77. Duffy, D.G. On the numerical inversion of Laplace Transform: comparison of three new methods on characteristic problems from applications / D.G. Duffy // ACM Transactions on Mathematical Software. 1993. - № 19. -P.333 -359.

78. Durbin, F. Numerical inversion of Laplace transfonns: an efficient improvement to Dubner and Abate's method / F. Durbin // The Computer Journal. 1974. - Vol. 17,4. - P. 371-376.

79. Faraji, A. Elastic and elastoplastic contact analysis: using boundary elements and mathematical programming / A. Faraji. 2005. - 121 p.

80. Ferri Aliabadi The boundary element method: applications in solids and structures / Ferri Aliabadi. John Wiley, 2002. - 598 p.

81. Gaul, L. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists / L. Gaul, M. Kogl, M. Wagner// Berlin Springer, 2003.-488 p.

82. Ghoch, S.L. // Revue Roumaine des seinces technigres Serie de mecanicue appliquce. 1971,- Vol. 16, №5.

83. Hellinger, E. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten / E. I lellinger, O. Toeplitz // Enzyklopadie Math. Wiss. II. -C. 13. Leipzig-Berlin: Verlag B.G. Teubner, 1928.-322 s.

84. Hsiao, G.C. Boundary Element Methods / G.C. Hsiao // An Overview

85. Hsiao, G.C. Boundaiy element methods: foundation and error analysis / G.C. Hsiao, W.L. Wendland // Encyclopedia of Computational Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd. 2004. - Vol. 1. - P. 339-374.

86. Jaswon, M.A. Integral equation methods in potential theory and elastostatics / M.A. Jaswon, G.T. Symm. London: Academic Press, 1977.

87. Kompis, V. Selected topics in boundary integral formulations for solids an fluids / V. Kompis. Springer, 2002. - 232 p. - ISBN 3-211-83693-4.

88. Lachat, J.C. Effective numerical treatment of boundary integral equations: a formulation fot three-dimensional elastostatics / J.C. Lachat, J.O. Watson // Int. J. Numer. Mech. Eng. 1976. -№ 10. - P. 991-1005.

89. Linkov, A.M. Complex hypersingular BEM in plane elasticity problems / A.M. Linkov, S.G. Mogilevskaya // Singular integrals in boundary element methods / Eds. V. Sladek, J. Slader. Southempton: Computational Mechanics Publications. 1998. - 299-364.

90. Lonseth, A.T. Sources and applications of integral equations / A.T. Lonseth // SI AM Rev. 1977. - Vol. 19, № 2. - C. 241 -278.

91. Manolis, G.D. A comparative study on three boundary element method approaches to problem in elastodynamics / G.D. Manolis // Int. J. Num. Meth. Eng. 1983. -Vol. 19, 1. - P. 73 - 91.

92. Manolis, G.D. Dynamic stress concentration studies by the boundary integral equations method / G.D. Manolis, D.E. Beskos // Proc. 2nd Int. Symp. Innov. Num. Analysis in Appl. Eng. Sci. / Ed. by R.P. Shaw et al. -Virginia.-1980.-P. 459-463.

93. Manolis, G.D. Dynamic stress concentration studies by the boundary integrals and Laplace transform / G.D. Manolis, D.E. Beskos // Int. J. Num. Meth. Eng. 1981. - Vol. 17,4. - P. 573-599.

94. Mansur, W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the Boundary Element Method / W.J. Mansur // Phd thesis, University of Southampton, 1983.

95. Mansur, W.J. Transient Elastodynamics Using a Time-Stepping Technique / W.J. Mansur, C.A. Brebbia // In Boundary Elements. Berlin, Springer-Verla, 1983.-P. 677-698.

96. Michlin, S.G. Singular Integraloperatoren / S.G. Michlin, S. Propdorf. -Berlin: Akademie-Verlag, 1980. 514 p.

97. Mukherjee, S. Boundary methods: elements, contours and nodes / S. Mukherjee, Yu Xie Mukherjee. Marcel Dekker Inc., 2005. - 220 p.

98. Mukherjee, S. Boundary Element methods in solid mechanics a tribute to Frank Rizzo / S. Mukherjee // Electronic Journal of Boundary Elements. -2003.-Vol. 1, № l.-P. 47-55.

99. Narayanan, G.V. Numerical operational methods for time-dependent linear problems / G.V. Narayanan, D.E. Beskos // Int. J. Num. Meth. Eng. -1982. Vol.18 (12). - P. 1829-1854.

100. Niwa, Y. An application of the integral equation method to two-dimensional elastodynamics / Y. Niwa, T. Fukui, S. Kato // Theor. Appl. Mech. Univ. of Tokio press. - 1980. - Vol. 28. - P. 281 - 290.

101. Qin, Q.H. The Trefftz finite and boundary element method / Q.H. Qin. -WIT Press, 2000. 296 p. - ISBN 1-85312-855-4.

102. Rizzo, F.J. Springs, formulas and flatland: a path to boundary integral methods in elasticity / F. Rizzo // Electronic Journal of Boundary Elements. -2003.-Vol. 1, № l.-P. 1-7.

103. Rizzo, F.J. An advanced boundary integral equation method for three-dimensional thermoelasticity / F.J. Rizzo, D.J. Shippy // Int. J. Num. Meth. Eng.- 1977.-Vol. 11, № 11.-P. 1753-1768.

104. Rossikhin, Y.A. Applications of Fractional Calculus to Dynamic Probk Linear and Nonlinear Hereditary Mechanics of Solids / Y.A. Rossikhin, Shitikova // Appl. Mech. Review. 1997. - Vol. 50(1). - P. 15-67.

105. Schanz, M. Л New Visco- and Elastodynamic Time Domain Boundary Element Formulation / M. Schanz, H. Antes // Computational Mechanics. -1997.-Vol. 20(5).-P. 452-459.

106. Schanz, M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua / M. Schanz // Berlin Springer, 2001. 170 p.

107. Sim, W.J. Linear Viscoelastic Analysis in Time Domain by Boundary Element Method / W.J. Sim, B.M. Kwak // Computers & Structures. -1988.-Vol. 29(4).-P. 531-539.

108. Tanaka, M. New Integral Equation Approach to Viscoelastic Problems / M. Tanaka // Computational Aspects, Vol. 3; Topics in Boundary Element Research, Chapter 2 / Springer, Berlin, Heidelberg, 1987. P. 25-35.

109. Telles, J.C.F. A report on some boundary element adventures / J.C.F. Telles // Electronic Journal of Boundary Elements. 2003. - Vol. 1, № 1. -P. 56-60.

110. Valko, P.P., Vojta BL. The List. 2001; http://pumpjack.tamu.edu/valko

111. Watson, J. The analysis of three dimensional problems of elasticity by integral representation of displacement / J. Watson // In: Variational Methods in engineering, v.2 / Southampto, Univ. Press. 1973. - P. 91519156.

112. Watson, J.O. Boundary elements from 1960 to present day / J.O. Watson // Electronic Journal of Boundary Elements. 2003. - Vol. 1, № 1. - P. 3446.

113. Wolf, J.P. Time-Domain Boundary Element Method in Viscoelasticity with Application to a Spherical Cavity / J.P. Wolf, G.R. Dabre // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 1986. -№ 5. - P. 138-148.