Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел

Карелин, Иван Сергеевич

Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Карелин, Иван Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел»

Автореферат диссертации на тему "Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел"

005045704

На правах рукописи

КАРЕЛИН ИВАН СЕРГЕЕВИЧ

ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ПОРОУПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

1 4 к ЮН 2012

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 2012

005045704

Работа выполнена в «Научно-исследовательском институте механики» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Игумнов Леонид Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Александров Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев Владимир Иванович

Ведущая организация: Южный научный центр РАН

Защита состоится 28 июня 2012 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета. Автореферат разослан 26 мая 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 доктор физико-математических наук,

(г. Ростов-на-Дону)

профессор

Л.А. Игумнов

Пористые материалы широко распространены в природе и технике: насыщенные газом или жидкостью грунты и горные породы, конструкционные и строительные материалы и т.п. В связи с этим в развитии механики пористых материалов заинтересованы специалисты химических, нефтехимических отраслей, специалисты по reo- и биомеханике и т.д. Значительный интерес представляет исследование волновых процессов в пороупругих телах.

Математическое моделирование многокомпонентных сред восходит к работе Л.Эйлера. За прошедшее время не построена общепринятая модель. Принципиальной особенностью пористой среды является учет механизма втекания или вытекания наполнителя (жидкости, газа) в область, формируемую порами. Такое явление особенно важно при рассмотрении волновых процессов. Динамическое поведение наполнителя усложняет модель среды.

Началом исследований волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Я.И. Френкеля (1944). Косачевским Л.Я. в 1959 году было показано, что теория М. Био (1956), как и подход Я.И. Френкеля, опирается на те же соотношения между напряжениями и деформациями, но отличается большей общностью. Анализ работ М.Био и Я.И. Френкеля в 2005 году был проведен S.K. Pride и S. Garambois, которые также установили общность предложенных теорий.

Вслед за Я.И. Френкелем интерес к изучению волн в пористых насыщенных средах стимулировали работы следующих авторов: К. Цвиккер и К. Костен (1952), Дж. Гиртсма и Д. Смит (1961), Л.М. Дорогиницкая и др. (1964), П.П. Золотарев (1963), В.Н. Николаевский (1963), В.П. Степанов (1963), С. МсСапп и D.M. МсСапп, (1969) и многие другие. Состояние вопроса раскрыто в работах R. de Boer (2000), М.Schanz (2001, 2009), Н.С. Городецкой (2005), В.Н. Николаевского (2005).

Ключевым результатом в распространении волн в полностью насыщенной пористой среде стало предсказание существования трех типов

волн: быстрой и медленной продольных волн и поперечной волны. Медленная продольная волна свойственна именно пористой среде.

Работы по изучению распространения волн в пористых телах и средах опираются на метод нормальных мод, лучевые методы, метод контурных интегралов. Среди численных методов традиционно активно используются методы конечных элементов и конечных разностей.

В работе рассматриваются краевые задачи динамики пороупругих тел, которые могут быть строго сведены к решению граничных интегральных уравнений (ГИУ). Решение возникающих сингулярных ГИУ ориентировано на метод граничных элементов (МГЭ). Известное преимущество МГЭ позволяет преодолеть ограничения ряда аналитических и численно-аналитических методов относительно форм границы, полостей и т.п. Для рассматриваемого класса краевых задач высокая точность получаемых результатов обеспечивается применением МГЭ. Можно подчеркнуть, что исследование волновых процессов в полубесконечых телах является естественным для применения ГИУ и МГЭ.

Цель работы заключается в развитии МГЭ методики и программного обеспечения на основе интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики составных пороупругих тел, а также исследования динамического деформирования составных пороупругих тел.

Методика исследований основана на ГИУ прямого подхода для трехмерной линейной теории пороупругости; на интегральном преобразовании Лапласа и численном обращении этого преобразования на основе метода Дурбина; на МГЭ, использующем регуляризованное ГИУ, согласованную поэлементную аппроксимацию границы и граничных функций, численное поэлементное интегрирование по Гауссу и т.п.

Достоверность исследований основана на эквивалентности исходной краевой задачи в частных производных математической теории пороупругости системе используемых ГИУ; на применении для численных исследований регуляризованных ГИУ; на детально проработанных алгоритмах МГЭ-подхода; на анализе сходимости ГЭ-решений и сравнении полученных результатов с аналитическими решениями и ГЭ-решениями других авторов.

Научную новизну работы составляют: ГЭ-моделирование краевых задач составных тел трехмерной динамической пороупругости на основе согласованной поэлементной аппроксимации на обобщенных четырехугольных элементах, в то время как другими авторами используется изопараметрический подход на основе треугольных элементов; ГЭ-моделирование в сочетании с методом Дурбина численного обращения преобразования Лапласа, поддерживаемое оригинальным программным обеспечением ГЭ-подхода; ГЭ-решения в трехмерной постановке волновых задач о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на составное пороупругое полупространство; ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамическом отклике порового потока.

Практическая значимость результатов исследования состоит в комплексном развитии методов Дурбина и граничных элементов с целью получения устойчивых высокоточных численных решений краевых задач трехмерной теории пороупругости; в создании МГЭ программного обеспечения для анализа динамики составных трехмерных пороупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа; в ГЭ-решении в трехмерной постановке задачи о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на составное пороупругое полупространство; в ГЭ-моделировании эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика и программное обеспечение ГЭ-решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина для анализа динамики трехмерных составных пороупругих тел.

2. ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

3. ГЭ-решение следующих волновых задач:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности составных пороупругих полупространств.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова (Н.Новгород, 2006); XII, XIII, XIV, XV, XVI Нижегородских сессиях молодых ученых - математические науки (Н.Новгород, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011); XII, XIII, XIV Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008, 2009, 2010); XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С.-Петербург, 2009); XVI, XVII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2010, 2011, 2012); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011).

Публикации По теме диссертации опубликовано 20 работ. В журналах, рекомендуемых ВАК для защит кандидатских диссертаций, опубликовано 7 работ [1-7]: две работы [5, 7] выполнены без соавторов; 5 работ [1-4, 6] опубликованы в соавторстве. В работах [2-4, 6]

И.С. Карелину принадлежит получение численных результатов. В работе [1] И.С. Карелину принадлежит выбор расчетной ГЭ-схемы.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 132 наименований. Общий объем диссертации составляет 138 страниц машинописного текста, включая 5 таблиц. 147 рисунков.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-3367.2008.8 2008-2009 гг.; № НШ-4807.2010.8. 2010-2011гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (ГК №П2222 от 11 ноября 2009г., ГК №П27 от 25 марта 2010г., ГК №П1185 от 27 августа 2009г., ГК №П217 от 22 июля 2009г., ГК №02.740.11.0410 от 30 сентября 2009г., ГК №14.740.11.0872 от 29 апреля 2011г.); грантами РФФИ (№ 10-08-01017-а, № 12-08-00984-а).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткое состояние вопроса по теориям Био и МГЭ и их применению к решению задач динамики; обоснование актуальности темы диссертационной работы; формулировки цели работы и основных положений, которые выносятся на защиту.

Состояние вопроса по применению методов ГИУ и МГЭ к решению задач пороупругости до 2000г. раскрыто в работе М. Chopra (2001). Среди последующих исследований отметим работы авторов М. Schanz; D. Pryl; D.-Shebg J. и др.; M. Bouchon; J.-S. Pan; J.-F.Lu, D.-S. Jeng, S. Williams; D. Soares, J.C.F. Telles, W.J. Mansur; O. Maeso, J.J. Aznarez, F. Garcia; S.E. Kattis, D.E. Beckos, A.H.-D. Cheng; T. Senjuntichai, S. Mani, R.K.N.D. Rajapakse; J. Liang, H. You, V.W. Lee и др. Применение методов ГИУ и МГЭ к решению краевых задач динамики пороупругих тел находится в стадии становления. Так в работах Л.А.Игумнова с соавторами установлены неточности в записи сингулярных решений для одной из

пороупругих моделей, приводящие к существенным ошибкам в ГЭ-расчетах.

В главе I подробно описана система уравнений полной сжимаемой модели Био, когда в качестве базовых функций выбраны поровое давление и перемещение упругого скелета; сформулирована математическая модель краевой задачи в изображениях по Лапласу; приведены матрицы фундаментальных и сингулярных решений; представлена схема построения ГИУ прямого подхода; дано описание ГЭ-методики.

В первом параграфе введены понятия пористости; представлены деформации в скелете через линейные геометрические соотношения Коши; физические соотношения (связь напряжений, деформаций, порового давления) с введением параметров, характеризующих взаимодействие между скелетом и наполнителем; даны понятия эффективного напряжения, изменение объема текучей среды на единицу исходного объема; приведены уравнения неразрывности и движения; записан динамический вариант закона Дарси и т.п. Итоговая система дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу для полной сжимаемой модели Био имеет вид:

— РаР)*Щл = ~«> '"> У = !>3'

' К

р_ кР/Ф2*2

ф15+52к(ра+фр/У

где и, р - изображения вектора перемещений и порового давления; запись \ijij означает дифференцирование )-ой компоненты вектора и по /-ой и 7-ой координатам; 5 - параметр преобразования Лапласа; С, К -константы упругости; ф - пористость; к - проницаемость; а -эффективный коэффициент напряжений; p,pa,pf- плотности пористого

скелета, присоединенной массы и жидкой среды; Рьа - плотности источников.

Во втором параграфе сформулирована математическая модель пороупругой динамической краевой задачи для составного трехмерного тела.

В третьем параграфе представлены матрицы фундаментальных и сингулярных решений для дифференциальных уравнений полной модели Био. Приведено выделение следующих сингулярных составляющих компонент матриц

Ш-

-о' т -е/

0 -р ' \.1и\

> '.7=1,4.

4ф г'* 4яг2

'■> 8л£(1 - у)

е,=

1 + у

7 8л£(1 - у) 2

{аг(1-2и)(глг,-пу)-2/3(1-у)(гпгу- +«,)}-,

' Г 1-й

ог + /7(1-2и)1 1 1-у \г

Т- = У

-[(1-2у)5у +3г^]гп + (1 -2|/)(гу/7,-

где V- коэффициент Пуассона; Е - модуль Юнга; ги- означает производную по г -ой координате от радиус-вектора г; г,п - производная по нормали п; Зу - символ Кронекера.

Подчеркнем, что выделенные особенности содержатся в фундаментальных и сингулярных решениях трехмерной упругой статики и идеальной несжимаемой жидкости. Принципиальным для пороупругой динамики является тот факт, что для одной матрицы особенности по координатам разных компонент могут быть разные. Для соответствующих матриц фундаментальных и сингулярных решений задач трехмерной

упругой статики, идеальной несжимаемой жидкости и трехмерной упругой динамики все компоненты одной матрицы имеют один порядок особенности по координатам.

В четвертом параграфе дано описание МГЭ, как метода решения ГИУ прямого подхода, совместно с применением интегрального преобразования Лапласа по времени и методом Дурбина численного обращения. На основе аналитического одномерного пороупругого решения численно продемонстрирован эффект возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока пороупругого стержня.

Глава II содержит описание программного обеспечения ГЭ-моделирования трехмерных краевых задач пороупругости с применением интегрального преобразования; примеры ГЭ-решения модельных задач; ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в трехмерном призматическом пороупругом теле.

В первом параграфе дано описание программного обеспечения. Представлена функциональная схема, выделены три группы модулей: управляющая программа, функциональные и обслуживающие модули. Функциональные модули сгруппированы по ключевым этапам ГЭ-схемы. Описаны возможности по организации параллельных вычислений. В качестве примера эксплуатации программного обеспечения приведен вариант входного потока задания для решения задачи о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец составного пороупругого призматического тела.

Во втором параграфе решена задача о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец однородного упругого призматического тела. Задача решена для демонстрации новых возможностей программного обеспечения: повышение точности получаемых результатов по сравнению с другими авторами.

В третьем параграфе решена задача о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец однородного пороупругого тела. Результаты расчетов сравниваются с аналитическим решением и ГЭ-

решением других авторов. Задача послужила полигоном для выбора рабочей ГЭ-сетки к задаче о составном теле, кроме того дано ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в откликах поровых давления и потока. Для этих целей рассмотрено составное пороупругое призматическое тело длиной 9м (рис. 1) со следующими

параметрами материала

К=8Л09 Н/м2,

6=6-109 Н / м2,

/7=2458 кг/м , <¿=0.19

К ^3.6-Ю9 Н/м2,

/Су=1000 кг/м ,

КГ=Ъ.ЪЛ(У Н/м1, к = 3.6-10 ш лГ/(#-с). На рис. 2-3 представлены ГЭ-решения — графики поровых давления р и потока ц в точке А. Маркировка кривых принята в зависимости от значения коэффициента проницаемости: о - к = 1.9 • 10~10, А - к = 1.9 • КГ7, □- к = 1.9 • 10"6.

Рис. 1

Граничные условия: На нагруженном торце: Известные:

г, = 0,г2 =0,/3 =-1/(г), р = 0 Неизвестные: «,(' = 1*3). <7

На остальных гранях Г.,(у = 1,5):

Гу±дс4

Известные:

ик =0, (, =0 (¡' = 1,3,1 * к), =0 Неизвестные: и, =0 (/= 1,3,/1к =0,р

На ребрах: Известные:

и] =0, и1 =0, =0 (¿ = 1,3,/*у,/= Неизвестные: и, = 0 (/= 1,3,;'*¿,1*5), ¡1 =0,1, = 0, д

0.5 0.4 г, 0.3 0.2

сх

0.1

0 -0.1

2 3

Рис.2

4 5

х 10"'

Рис. 3

По динамическим откликам поровых давления и потока видно, что с ростом значения параметра проницаемости можно продемонстрировать эффект возбуждения в пороупругом теле медленной продольной волны: происходит падение амплитуды динамического отклика порового давления с параллельным нарастанием амплитуды динамического отклика порового потока.

В четвертом параграфе решена задача о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец составного пороупругого тела: при разных значениях модуля Юнга представлены отклики перемещений на торце действия силы и в плоскости контакта, а также представлены отклики давлений в плоскости контакта и на закрепленном торце.

В главе III приведены ГЭ-решения задач о полупространстве.

Первый параграф содержит ГЭ-решение задачи о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного пороупругого полупространства. Задача использована для подбора рабочей ГЭ-сетки: приведены решения на разных сетках, и дано сравнение с решением другого автора. Задача решена с введением фиктивной контактной границы параллельно дневной поверхности. Дано исследование влияния второй компоненты (наполнителя) пороупругого материала на поверхностные волны: сравниваются упругие и пороупругие отклики соответствующих задач. Показано влияние коэффициента проницаемости на скорость волны Рэлея. На примере откликов поровых давления и потока на фиктивной границе (точка Е) продемонстрирован эффект возбуждения третьей волны в пороупругом полупространстве. Для этих целей рассмотрена задача, изображенная на рис. 4. Для составного пороупругого полупространства при

условии полного контакта слоев принималась толщина

Рис. 4

верхнего слоя /г=4м и выбирались следующие краевые условия: на дневную поверхность полупространства на участке abed размером

бмхбм действует сила г3 =-1+{t)H I м1, где 1+(/) - функция Хевисайда, а остальная часть дневной поверхности свободна от поверхностной силы при нулевом значении порового давления на всей дневной поверхности. В качестве параметров пороупругого материала была взята скальная порода с

параметрами ¿Г=8-109 Я/м2, ЛГ^З.6-109 Я/м2, G = 6109 Н/м2,

к =3.6-КГ10 л«4 /(Я-с), ф = 0.19, /0 = 2458 кг/ л?, pf = \Q№ кг/мъ, 9 2

^=3.3-10 Н/м . ГЭ-сетка на четверти геометрии состоит из 792 элементов на верхнем слое и 688 элементов на нижнем слое. На рис. 5-6 представлены поровые давление р и поток q в точке Е, при этом маркировка кривых принята в зависимости от значения параметра проницаемости к: о - к = 1.9 Ю-10, Д- к = 1.9 Ю-7, □ - к = 1.9-Ю-6.

0 5 04 0 J « 0.2 S 0.1 а 0 -0.1 -0.2

01234567 0123456

хЮ"1 x!0J

Рис. 5 Рис. 6

Во втором параграфе решена задача о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность двухслойного пороупругого полупространства: рассмотрены случаи с более жестким и более мягким верхним слоем по отношению к опорному полупространству — однородное полупространство, на котором располагается слой. Дано сравнение ГЭ-результатов с результатами других авторов. При условии полного контакта слоев выбирались следующие краевые условия: на дневной поверхности составного полупространства на участке abed (рис.

4) размером 1лгх1л< действует сила = -1000-1+(7)///.а( , где 1+(г) -функция Хевисайда, а остальная часть дневной поверхности свободна от поверхностной силы при нулевом значении порового давления на всей дневной поверхности. Исследовался динамический отклик на дневной поверхности составного полупространства при удалении от источника силы на Юм. Толщина верхнего слоя принималась Л=10м. ГЭ-сетка на четверти геометрии состоит из 816 элементов для верхнего слоя и 688 элементов для нижнего слоя. В качестве верхнего слоя взят песок с

параметрами АГ = 2.1-108 НIм2, С=9.8-107 Н/м2, /3 = 1884кг/л/3, «5 = 0.48, ^=1.Ы010Я/л2, ру = 1000кг/м3, Ау=3.3-109 Н/м2, к =3.55 • 10~9 м4 !{Н ■ с), в качестве материала опорного полупространства взята скальная порода с параметрами АГ=8-109 Н 1м2, б;=6-109 Н/м2, р =2458кг/л/3, ^=0.19> АГ^=3.6109 Н/м2, Р/ = \ткг/мЪ, АГу=3.3-109 Н/м2, к =3.6 • 10-|Ол<4 /(Я • с). На рис. 7 представлено вертикальное перемещение во времени в исследуемой точке.

х 10"7

Рис. 7

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы 1. Развита методика и создано программное обеспечение для численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с

методом Дурбина для анализа динамики трехмерных составных пороупругих тел.

2. Дано ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

3. Получены ГЭ-решения следующих волновых задач:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности составных пороупругих полупространств.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации

опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Аменицкий A.B., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2008. Вып.70. С. 71-78.

2. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Граничные интегральные уравнения для решения динамических задач трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2009. Вып.71. С. 164-171.

3. Белов A.A., Игумнов JI.A., Карелин И.С., Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Электронный журнал «Труды МАИ». 2010. Выпуск № 40. С. 1-20.

4. Белов A.A., Карелин И.С. Частные решения динамической пороупругости в одномерной постановке // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2010. Вып. 72. С. 159-164.

5. Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование частных аналитических решений трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2010. Вып. 72. С.165-168.

6. Игумнов JI.A., Карелин И.С. Решение трехмерных задач динамической теории пороупругости методом граничных элементов с применением параллельных вычислений // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. Сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. С. 153-157.

7. Карелин И.С. Моделирование динамики пороупругих составных тел методом граничных элементов с использованием параллельных вычислений: Доклады X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. №4(4). С.1518-1519.

Другие публикации

8. Аменицкий A.B., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование распространения волн в среде Био // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XII международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 2008. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2008. Т. С.9-12.

9. Игумнов Л.А., Карелин И.С. Численное решение краевых задач трехмерной динамической теории пороупругости методом ГИУ // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XXIII Международной конференции СПб: 28 сентября — 1 октября 2009г. Изд-во ООО «НИЦ МОРИНТЕХ». С.93.

10. Игумнов Л.А., Карелин И.С. Численное решение краевых задач трехмерной динамической теории пороупругости методом ГИУ // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и

конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXIII Международной конференции BEM&FEM-2009. СПб: 28 сентября - 01 октября 2009г. Изд-во ООО «НИЦ МОРИНТЕХ». С.182-185.

11. Белов A.A., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Численное моделирование волн в пороупругих телах и средах // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XIII международной конференции, Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2009. С.ЗЗ.

12. Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Численное моделирование волн в пороупругих телах и средах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции, Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2009. С.27-31.

13. Воробцов И.В., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Применение метода ГИУ для решения задач трехмерной динамической теории пороупругости // 14 Нижегородская сессия молодых ученых — математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2009 г. С.32.

14. Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С., Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ч.: ГУП «ИПК «Чувашия». 2010. T.l. С.21-23.

15. Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементный анализ динамики трехмерных пористо-упругих тел // 15 Нижегородская сессия молодых ученых — Технические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2010 г. С.29.

16. Игумнов Л.А., Карелин И.С. Моделирование поверхностных волн на границе пороупругого полупространства // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XIV международной конференции, Ростов-на-Дону, 19-24 июня 2010г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2010. С.39.

17. Игумнов JI.A., Карелин И.С. Моделирование поверхностных волн на границе пороупругого полупространства // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV межд.конф., Ростов-на-Дону, 19-24 июня 2010г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2010. С.129-133.

18. Воробцов И.В., Белов А.А., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование распространения пороупругих волн // 15 Нижегородская сессия молодых ученых — математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2010 г. - С.47.

19. Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование поверхностных волн для пористо-упругого полупространства // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. М.: ООО «ТР-принт. 2011. T.l. С.82.

20. Карелин И.С. Моделирование динамики пороупругих составных тел методом граничных элементов с использованием параллельных вычислений // Современные методы механики — X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. С.59-60.

Подписано в печать 21.05.2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 340. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе дизайна и цифровой печати РИУ ННГУ им. Н.И. Лобачевского 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Карелин, Иван Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Постановки задач, метод и методика решения.

1.1. Математическая модель теории Био.

1.2. Постановка краевой задачи пороупругой динамики.

1.2.1. Численное обращение преобразования Лапласа.

1.3. Фундаментальные и сингулярные решения для дифференциальных уравнений полной модели Био.

1.4. Построение гранично-элементной схемы и модельные решения.

1.4.1. Граничное интегральное уравнение.

1.4.2. Гранично-элементная дискретизация.

1.4.3. Моделирование медленной волны в одномерном случае.

Глава И. Программная реализация и модельные примеры.

2.1. Программная реализация.

2.2. Задача о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец однородного упругого призматического тела.

2.3. Задача о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец однородного пороупругого тела.

2.4. Задача о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец составного пороупругого тела.

Глава III. Гранично-элементное моделирование поверхностных волн.

3.1. Задача о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности однородного пороупругого полупространства.

3.1.1. Гранично-элементное моделирование третьей волны.

3.2. Задача о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность двухслойного пороупругого полупространства.

3.2.1. Случай мягкого слоя, расположенного на полупространстве.

3.2.2. Случай жесткого слоя, расположенного на полупространстве.

Введение диссертация по механике, на тему "Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел"

Пористые материалы широко распространены в природе и технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты и горные породы, конструкционные и строительные материалы и т.п. В развитии механики пористых материалов заинтересованы специалисты химических, нефтехимических отраслей, а также специалисты по механике грунтов и биомеханике. Значительный интерес представляет исследование волновых процессов в пороупругих телах.

Математическое моделирование многокомпонентных сред восходит к работе Л.Эйлера. За прошедшее время не построена общепринятая модель. Принципиальной особенностью пористой среды является учет механизма втекание или вытекание наполнителя (жидкости, газа) в область, формируемую порами. Такое явление особенно важно при рассмотрении волновых процессов. Динамическое поведение наполнителя усложняет модель среды.

Вслед за Я.И. Френкелем интерес к изучению волн в пористых насыщенных средах стимулировали работы К. Цвиккер и К. Костен (1952), Дж. Гиртсма и Д. Смит (1961), Л.М. Дорогиницкая и др. (1964), П.П. Золотарев (1963), В.Н. Николаевский (1963), В.П. Степанов (1963), С. МсСапп и D.M. МсСапп, (1969) и многие другие. Однако наиболее значимыми принято считать две работы М.Био (1956). Состояние вопроса можно составить по работам R. de Boer (2000), M.Schanz (2001, 2009), Н.С. Городецкой (2005), В.Н. Николаевского (2005).

Ключевым результатом в распространении волн в полностью насыщенной пористой среде стало предсказание существования трех типов волн: быстрой и медленной продольных волн и поперечной волны. Быстрая продольная и поперечная волны по своей природе близки к волнам в упругой среде. Медленная продольная волна свойственна именно пористой среде. Она обладает значительными дисперсией и затуханием. Вызывается такая волна перемещением частиц наполнителя (жидкости, газа) относительно упругого скелета.

Работа посвящена изучению распространения волн в составных пороупругих телах, в частности, численному исследованию проявления медленной продольной волны. Краевые задачи, решаются методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Для решения ГИУ применяется метод граничных элементов (МГЭ). Избранные схема редукции и дискретная модель при решении краевой задачи позволяют преодолеть ограничения аналитических и численно-аналитических методов относительно форм границы. Высокая точность получаемых результатов на основе ГИУ и МГЭ необходима для рассматриваемого класса задач. Исследование волновых процессов в полубесконечных телах является естественным для применяемого подхода, в отличии от таких универсальных численных методов, как метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).

В исследованиях применяется модель Био пороупругой среды. Теория Био учитывает взаимодействие фаз (скелета и наполнителя). Исторически именно на основе теории Био предсказано существование в пористой среде трех типов волн. Роль медленной волны наиболее ясно проявляется в случае большой сжимаемости среды, заполняющей поровое пространство. Экспериментально волну сложно обнаружить в естественных пористых средах. Трудности обнаружения связаны с тем, что она имеет значительно меньшую амплитуду, чем быстрая продольная волна. Игнорирование медленной волны приводит к значительным ошибкам при оценке затухания быстрой продольной и поперечной волн. Теория Био качественно и количественно правильно предсказывает скорости, амплитуды и частотные зависимости затухания всех трех типов волн в различных полностью насыщенных пористых средах.

Можно показать, что теория Био является частным случаем линеаризованной теории смесей [39]. В работе [115] дано интересующее нас сравнение теорий. Утверждается, что подходы совпадают для случая несжимаемых составляющих, если пренебречь мнимой плотностью массы. Однако необходимо подчеркнуть, что, при всей схожести обоих подходов, теории сильно разняться в том, как в них моделируется взаимодействие твердого тела (скелета) и текучей среды (наполнителя).

После исследований Боуэна [39] и Вильмански (1998-2006) модель Био можно признать термодинамически адекватным способом линейного описания динамики насыщенных пористых сред. Разнообразие в подходах по учету пористости шире чем отмечено здесь, но, как правило, авторы сопоставляют свои результаты с теорией Био. Поэтому значение теории Био с подобными исследованиями только возрастает [75, 82, 83].

Применение теории Био позволяет решить ряд частных задач. Так, в [61] рассмотрена задача о действии скорости в виде функции Хэвисайда на полубесконечный столб грунта. В работе получено решение в замкнутой форме для предельных случаев нулевого и бесконечного усилия в текучей среде (компоненте). Решение Грэга в лапласовой области с последующим численным обращением привело к решению уравнений Био [69] и было сопоставлено с одномерным КЭ-решением в [68]. Решение в частотной области для конечного одномерного столба, нагруженного торцевой силой и давлением в порах, приведено в [45, 46] в сравнении с ГЭ-решением. На основе теории пористых сред в [49] было выведено аналитическое одномерное решение для полубесконечно длинного столба с несжимаемыми составляющими.

Решение задачи о действии ударной силы на одномерный столб при шаговом нагружении можно найти в [113]. Это решение выводится из лапласовой области, а история отклика находится с помощью метода квадратуры свертки, предложенного Любичем [86, 87]. Распространение этого полуаналитического решения на поровязкоупругий материал по теории Био можно найти в [114]. С помощью этого одномерного решения можно отслеживать прохождение обеих волн сжатия: быстрой и медленной (волны Био). В других аналитических решениях из [49, 125] не удается проследить медленную волну (решение из [65] базируется на несжимаемой модели при этом рассматривается сильно диссипативный материал).

Для тестирования численных процедур активно используется решение о квазистатическом поведении скважины [53, 54]. Его динамический вариант гораздо более сложен. В [119] приводится решение в лапласовой области с численным обращением для условий плоской деформации. Распространение на случай вязкоупругого скелета можно найти в [129]. В [84] приводится трехмерное решение в цилиндрических координатах в частотной области. Авторы проводят и численное обращение. Аналогичное решение для скважины в трещиноватых скальных породах приводится в [126, 127] в лапласовой области с последующим обратным преобразованием. Микросейсмические явления, появляющиеся в результате попадания скважинных текучих сред в окружающий пористый резервуар, аналитически исследованы в [57].

Первая работа по рассеянию в пористых средах принадлежит Берриману [29]. Та же задача рассмотрена и в [94], но уже с использованием упрощенной пороупругой модели, взятой из работы [29]. Рассеяние внутри скважины рассматривается в [66]. Почти аналитические решения по рассеиванию при пористом рассеивателе, либо цилиндре имеются в [65, 67]. Рассеивание и дифракция плоских волн сдвига неглубоким округлым ущельем рассмотрено в [79]. Рассеяние волн круглой трещиной в пористой среде исследовано в [59]. Коэффициент интенсивности динамического напряжения для нагружения по моде 1 дисковидной трещины в бесконечном пороупругом твердом теле рассчитан в [74].

В машиностроении часто используются специальные решения для элементов конструкций. Такие конструктивные элементы с помощью пороупругого определяющего уравнения были разработаны на основе теории Био. В монографии [42] рассматриваются колебания, большие прогибы и устойчивость пороупругих балок. Теория пластин на основе допущений Кирхгофа и при использовании теории Био опубликована в [123, 124]. В книге [42] дается теория пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа. В [41] разработана теория пороупругих пластин, основанная на гипотезах Миндлина.

Более сложными задачами являются задачи о полупространстве. Однако из первых исследований двумерной задачи о возмущении пороупругого полупространства при воздействии импульсной линейной нагрузки и круговой равномерной поверхностной нагрузки можно найти соответственно в [96, 97]. Поверхностные усилия и перемещения были рассмотрены только для скелета. Исследовались интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Результат исследования - сложные интегралы, даже при больших временах. Газетас и Петракис [60] рассмотрели задачу о пороупругом полупространстве при качании бесконечно длинной жесткой полосы. Решение было получено в частотной области. В след за этой работой Halpern и Christiano [63] опубликовали свои решение. Необходимое обратное преобразование было выполнено численно. В следующей работе Halpern и Christiano [64] дали решение для полупространства с жесткой пластиной, лежащей на поверхности. Серия работ по этой задаче, но с различными нагрузками были опубликованы в [71-73]. В [130] получено решение для заглубленного жесткого диска. Решение состоит из нескольких интегральных уравнений, которые решаются численно. В [81] исследованы поверхностные смещения и напряжения полупространств, нагруженных падающими волнами сжатия или сдвига при допущении о невязкой текучей среде.

В [100] рассматривалась задача Лэмба для пороупругих материалов в частотной области. Это решение обсуждалось в [120], где отмечается, что краевые условия необходимо задавать не только в виде вектора суммарного напряжения, но и в виде давления в порах. Поэтому в [120] получены другие решения, к примеру, меньшие смещения, чем [100]. Решение для слоистого полупространства с нагрузкой, действующей на жесткий диск, приводится в частотной области в цилиндрических координатах в [98, 99].

В отличие от перечисленных выше решений, где нагрузка действует на поверхность, в [118] опубликовано решение для двумерного пороупругого полупространства с заглубленной нагрузкой, т.е., дается функция Грина, которая в принципе применима в ГЭ-формулировках. Это решение получается с помощью преобразования Фурье относительно горизонтальной координаты и времени. Вертикальная координата не преобразуется. Обратное преобразование выполняется численно. Аналогично в [105] было получено решение для плоской многослойной пороупругой среды под действием заглубленной гармонической по времени нагрузки или источника текучей среды. Примененный метод решения обсуждается в [77]. В [38] представлено подобное, но полуаналитическое решение той же задачи с приложением, описанным в [37]. В отличие от решения в [105], при получении решения для аппроксимации по горизонтальной координате использован КЭ-подход. Таким образом, только решения из [189] и из [105] можно использовать в качестве функции Грина полупространства. В [70] приведено решение в трехмерной постановке для полупространства под действием заглубленной нагрузки в цилиндрических координатах. Решение найдено в частотной области при наложении на фундаментальное решение для пространства. Распространение волн в слоистом полупространстве в частотной области описано в [50].

В настоящее время преобладают работы по изучению колебаний в пористых средах с применением метода нормальных мод, лучевого метода, а также метода контурных интегралов. Все возрастающие требования к строгости подходов значительно усложняет схемы решения задач. Возможности методов ГИУ и МГЭ позволяют успешно моделировать динамику пороупругих тел.

О современном состоянии применяемого в работе подхода можно составить представление по следующим работам [5, 26, 30, 36, 58, 62, 103, 116]. Специально подчеркнем, что МГЭ как дискретная схема решения краевой задачи впервые появился в работе Н.И. Мусхелишвили в 1937 году. Традиционно отличаемая черта метода - работа только с границей исследуемого тела, т.е. производится дискретизация лишь поверхности тела, что позволяет понизить размерность задачи на единицу. Эффективность метода наиболее очевидна, когда область неограничена. Метод автоматически удовлетворяет условиям на бесконечности. Настройка гранично-элементной сетки намного проще, чем конечно-разностной и конечно-элементной [5, 26, 30, 36, 58, 62, 103, 116]. После МКЭ и МКР роль МГЭ, по сравнению со всеми другими численными методами решения краевых задач, является бесспорной [5, 26, 30, 36, 58, 62, 103, 116].

Применение метода ГИУ и МГЭ к решению краевых задач трехмерной пороупругости находится на стадии становления [24, 111]. Развитие метода сопровождается не только интересными и практически важными результатами, но и неточностями и ошибками. Так, например, используемые в [111] ГИУ не являются решением исходной начально-краевой задачи. Возникшая проблема в ядрах ГИУ обнаружена и решена в работах [8, 102]. Причина допущенной ошибки объяснена в работе [1].

Среди последующих исследований отметим работы авторов М. Schanz; D. Pryl; D.-Shebg J. и др.; M. Bouchon; J.-S. Pan; J.-F.Lu, D.-S. Jeng, S. Williams; D. Soares, J.C.F. Telles, W.J. Mansur; O. Maeso, J.J. Aznarez, F.

Garcia; S.E. Kattis, D.E. Beckos, A.H.-D. Cheng; T. Senjuntichai, S. Mani, R.K.N.D. Rajapakse; J. Liang, H. You, V.W. Lee и др.

Моделирование нестационарного поведения в методе граничных элементов условно можно разделить на два подхода: решение во временной области с помощью шаговой схемы по времени [92] и решение в области интегральных преобразований через преобразования Лапласа или Фурье с последующим обратным преобразованием [47]. Возможности шаговых схем, зачастую, существенно ограничены отсутствием матриц фундаментальных решений, записанных во времени. Часто такие матрицы можно построить только в изображениях по Фурье и Лапласу. Поэтому, первые ГЭ-формулировки для пороупругодинамики на базе теории Био были опубликованы в изображениях по Лапласу [90, 91]. Близкая (по базовым функциям) к исследованиям этой работы ГЭ-формулировка в частотной области была опубликована в [46] и [55]. Несингулярная формулировка в частотной области представлена в [132] для моделирования рассеяния волн. Несингулярное интегральное уравнение получается при вычитании интегрального уравнения упругостатики внутренней части рассеивателя из пороупругого уравнения. На основе того же приема представлена ГЭ-формулировка, называемая как два с половиной мерная [85].

Формулировка во временной области была разработана в [128]. Подход имеет ограничение: отсутствует демпфирование между скелетом и наполнителем. Другая формулировка с временной зависимостью была предложена в [44] на базе аналитического обратного преобразования Лапласа фундаментальных решений. Как способ компьютерного моделирования эта формулировка не эффективна из-за больших временных затрат. В [108, 107, 110] используется метод квадратуры свертки, предложенный Любичем [86, 87], для построения шаговой ГЭ-формулировки для задач пороупругодинамики на основе фундаментальных решений в преобразованиях по Лапласу.

Кроме отмеченных ГЭ-формулировок существуют приближенные ГЭ-формулировки [121, 122], опирающиеся на подход Нардини-Бреббия. Пока в этом подходе используется лишь упрощенная модель и статический закон Дарси.

Одним из приложений пороупругой ГЭ-формулировки в частотной области является анализ систем дамба-резервуар. Первые двумерные расчеты были опубликованы в [89] и [56]. В трехмерной постановке этот подход опубликован в [27]. Отклик осесимметричных оснований в пороупругих средах в частотной области был проанализирован с помощью МГЭ в [48]. Другое приложение с использованием пороупругодинамической ГЭ-формулировки приводится в [88] для свай в грунте. Приложение к анализу бурения туннелей опубликовано Каттисом [76], где вместо теории Био использовано упрощение из [93].

Все вышеупомянутые ГЭ-формулировки относятся к прямому подходу метода. В пороупругодинамике возможно применение также непрямого подхода [104]. В [117] описано его применение в задаче о жестком включении в пороупругое полупространство. Рассеяние сдвиговых волн в [80] также анализируется на основе непрямой пороупругой ГЭ-формулировки.

Основные положения, выносимые на защиту

2. ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

3. ГЭ-решение следующих волновых задач:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова (Н.Новгород, 2006); XII, XIII, XIV, XV, XVI Нижегородских сессиях молодых ученых -математические науки (Н.Новгород, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011); XII, XIII, XIV Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008, 2009, 2010); XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С.Петербург, 2009); XVI, XVII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2010, 2011, 2012); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20]. В изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

1. Развита методика и создано программное обеспечение для численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина для анализа динамики трехмерных составных пороупругих тел.

3. Получены ГЭ-решения следующих волновых задач:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Карелин, Иван Сергеевич, Нижний Новгород

1. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Граничные интегральные уравнения для решения динамических задач трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2009. Вып.71. С. 164-171.

2. Аменицкий A.B., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2008. Вып.70. С. 71-78.

3. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян A.B. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Наука, Физматлит, 2009. 318 с.

4. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

5. Белов A.A. Гранично-элементное моделирование динамики составных вязкоупругих тел на основе модифицированных методов квадратур сверток и Дурбина: автореф. дис. .канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Белов Александр Александрович. -Нижний Новгород, 2008. 20 с.

6. Белов A.A., Игумнов JT.A., Карелин И.С. Гранично-элементный анализ динамики трехмерных пористо-упругих тел // 15 Нижегородская сессия молодых ученых Технические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2010 г. С.29.

7. Белов A.A., Игумнов JI.A., Карелин И.С., Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Электронный журнал «Труды МАИ». 2010. Выпуск № 40. С. 120.

8. Белов A.A., Карелин И.С. Частные решения динамической пороупругости в одномерной постановке // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2010. Вып. 72. С. 159-164.

9. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 608 с.

10. Воробцов И.В., Белов A.A., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование распространения пороупругих волн // 15 Нижегородская сессия молодых ученых математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2010 г. - С.47.

11. Воробцов И.В., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Применение метода ГИУ для решения задач трехмерной динамической теории пороупругости //14 Нижегородская сессия молодых ученых -математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2009 г. С.32.

12. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. Учеб. пособ. для вузов. М.: Физматлит. 2004. 472 с.

13. Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование частных аналитических решений трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2010. Вып. 72. С.165-168.

14. Новацкий В. Теория упругости // М. Мир. 1975. 872 с.

15. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986. 295с.

16. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids // North Holland. 1980.

17. Aliabadi F. The boundary element method: applications in solids and structures. John Wiley, 2002. - 598 p.

18. Aznárez J.J., Maeso O., Domínguez J. BE analysis of bottom sediments in dynamic fluid-structure interaction problems // Eng. Anal. Bound. Elem. 2006. 30(2). P. 124-136.

19. Berryman J.G. Confirmation of Biot's theory // Appl. Phy. Lett. 1980. 37(4). P.382-384.

20. Berryman J.G. Scattering by a spherical inhomogeneity in a fluid-saturated porous medium // J. Math. Phys. 1985. 26(6). P. 1408-1419.

21. Beskos D., Maiser G. Boundary element advances in solid mechanics. Berlin: Springer, 2003. 307 p.

22. Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 1941. 12(2). P. 155-164.

23. Biot M.A. Theory of deformation of a porous viscoelastic anisotropic solid // J. Appl. Phys. 1956. 27(5). P.459-467.

24. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid//J. Appl. Phys. 1955. 26(2). P.182-185.

25. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range // J. Acoust. Soc. Am. 1987. 82(5). P. 1758-1762.

26. Bonnet M, Frang A. Analyse des solides deformables par la methoderdes elements finis // Ecole polytechnique campus de l'université de Montréal 2500, chemin de Polytechnique Montréal, Qc Canada, 2006. 300 p.

27. Bougacha S., Roesset J.M., Tassoulas J.T. Dynamic stiffness of foundations on fluid-filled poroelastic stratum // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(8). P.1649-1662.

28. Bougacha S., Tassoulas J.T., Roesset J.M. Analysis of foundations on fluid-filled poroelastic stratum // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(8). P. 1632-1648.

29. Bowen R.M. Compressible porous media models by use of the theory of mixtures // Int. J. Engng. Sci. 1982. 20(6). P.697-735.

30. Breshears C. The Art of Concurrency: A Thread Monkey's Guide to Writing Parallel Applications. O'Reilly Media Inc., 2009. 285p.

31. Busse A., Schanz M., Antes H. A poroelastic Mindlin plate // Proc. Appl. Math. Mech. 2003. 3(1). P.260-261.

32. Cederbaum G., Li L., Schulgasser K. Poroelastic Structures. Elsevier, Amsterdam, 2000.

33. Chapman B., Jost G., Van Der Pas R. Using OpenMP: Portable Shared Memory Parallel Programming. MIT Press, 2007. 353p.

34. Chen J., Dargush G.F. Boundary element method for dynamic poroelastic and thermoelastic analysis // Internat. J. Solids Structures. 1995. 32(15). P.2257-2278.

35. Cheng A.H.-D., Abousleiman Y. Intrinsic poroelasticity constants and a semilinear model // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 2008. 32(7). P.803-831.

36. Cheng A.H.-D., Badmus T., Beskos D.E. Integral equations for dynamic poroelasticity in frequency domain with BEM solution // J. Engrg. Mech., ASCE. 1991. 117(5). P.l 136-1157.

37. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem, I. Aust. // J. Math. Anal. Appl. 1968. 22(1). P.244-259.

38. Degrande G., De Roeck G., Van Den Broeck P. Wave propagation in layered dry, saturated and unsaturated poroelastic media // Internat. J. Solids Structures. 1998. 35(34-35). P.4753-4778.

39. Deresiewicz H. The Effect of Boundaries on Wave Propagation in a Liquid-Filled Porous Solid: IV. Surface Waves in a Half-Space // Bulletin of the Seismological Society of America. 1962. 52, P. 627638.

40. Deresiewicz H.: The Effect of Boundaries on Wave Propagation in a Liquid-Filled Porous Solid: II. Love Wave in a Porous Layer // Bulletin of the Seismological Society of America. 1961. 51. P. 5159.

41. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of Poroelasticity // Comprehensive Rock Engineering: Principles. Vol.11. Practice & Projects, chapter 5. Pergamon Press, 1993. P. 113-171.

42. Detournay E., Cheng A.H.-D. Poroelastic response of a borehole in a non-hydrostatic stress field // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1988. 25(3). P.178-182.

43. Domínguez J. Boundary element approach for dynamic poroelastic problems // Int. J. Numer. Methods. Engrg. 1992. 35(2). P.307-324.

44. Domínguez J., Maeso O. Earthquake analysis of arch dams. II: Dam-water-foundation interaction // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(3). P.513-530.

45. Edelmann I. An analytical interpretation of liquid injection induced microseismicity in porous reservoirs // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.566-573.

46. Faraji A. Elastic and elastoplastic contact analysis: using boundary elements and mathematical programming. 2005. 121 p.

47. Galvin R.J., Gurevich B. Scattering of a longitudinal wave by a circular crack in a fluid-saturated porous media // Internat. J. Solids Structures. 2007. 44(22-23). P.7389-7398.

48. Gazetas G., Petrakis E. Offshore caissons on porous saturated soil // In S. Parkash, editor, Proc. of Int. Conf. on Recent Advances in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics. University of Missouri-Rolla, Rolla. 1981. P.381-386.

49. Grag S.K., Nafeh A.H., Good A.J. Compressional waves in fluid-saturated elastic porous media // J. Appl. Phys. 1974. 45(5). P. 19681974.

50. Ha-Duong T. On Retarded Potential Boundary Integral Equations and their Discretisation // In: Topics in Computational Wave propagation (Eds. M. Ainsworth, P. Davies et al. Berlin: SpringerVerlag. 2003. P.301-336.

51. Halpern M.R., Christiano P. Response of poroelastic halfspace to steady-state harmonic surface tractions // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1986. №10. P.609-632.

52. Halpern M.R., Christiano P. Steady-state harmonic response of a ridgid plate bearing on a liquid-saturated poroelastic halfspace // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1986. №14. P.439-454.

53. Hasheminejad S.M., Avazmohammadi R. Acoustic diffraction by a pair of poroelastic cylinders // Z. Angew. Math. Mech. 2006. 86(8). P.589-605.

54. Hasheminejad S.M., Hosseini H. Nonaxisymmetric interaction of a spherical radiator in a fluid-filled permeable borehole // Internat. J. Solids Structures. 2008. 45(1). P.24-47.

55. Hasheminejad S.M., Mehdizadeh S. Acoustic radiation from a finite spherical source placed in fluid near a poroelastic sphere // Arch. Appl. Mech. 2004. 74(1-2). P.59-74.

56. Hiremath M.S., Sandhu R.S., Morland L.W., and W. E. Wolfe. Analysis of onedimensional wave propagation in a fluid-saturated finite soil column // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1988. №12. P.121-139.

57. Hong S.J., Sandhu R.S., Wolfe W.E. On Grag's solution of Biot's equations for wave propagation in a one-dimensional fluid-saturated elastic porous solid // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1988. №12. P.627-637.

58. Jin B., Liu H. Dynamic response of a poroelastic half space to horizontal buried loading. Internat // J. Solids Structures. 2001. 38(44-45). P.8053-8064.

59. Jin B., Liu H. Horizontal vibrations of a disk on a poroelastic halfspace // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2000. 19(4). P.269-275.

60. Jin B., Liu H. Rocking vibrations of rigid disk on saturated poroelastic medium // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2000. 19(7). P.469-472.

61. Jin B., Liu H. Vertical dynamic response of a disk on a saturated poroelastic halfspace // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 1999. 18(6). P.437-443.

62. Jin B., Zhong Z. Dynamic stress intensity factor (Mode I) of a penny-shaped crack in infinite poroelastic solid // Int. J. Engng. Sci. 2002. 40(6). P.637-646.

63. Johnson D.L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media // Journal of Fluid Mechanics. 1987. 176. P.379^102.

64. Kattis S.E., Beskos D.E., Cheng A.H.-D. 2D dynamic response of unlined andlined tunnels in poroelastic soil to harmonic body waves // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 2003. 32(1). P.97-110.

65. Kausel E. Discussion on 'dynamic response of a multi-layered poroelastic medium' // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1996. 25(10). P.l 165-1167.

66. Kim Y.K., Kingsbury H.B. Dynamic characterization of poroelastic materials // Exp. Mech. 1979. 19(7). P. 252-258.

67. Liang J., Ba Z., Lee V.W. Diffraction of plane SV waves by a shallow ciculararc canyon in a saturated poroelastic half-space // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.582-610.

68. Liang J., You H., Lee V.W. Scattering of SV waves by a canyon in a fluid-saturated, poroelastic layered half-space, modeled using the indirect boundary element method // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.611-625.

69. Lin C.-H., Lee V.W., Trifunac M.D. The reflection of plane waves in a poroelastic half-space saturated with inviscid fluid // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2005. 25(3). P.205-223.

70. Lopatnikov S.L., Cheng A.H.-D. Macroscopic Lagrangian formulation of poroelasticity with porosity dynamics // J. Mech. Phys. Solids. 2004. 52(12). P.2801-2839.

71. Lopatnikov S.L., Cheng A.H.-D. Variational formulation of fluid infiltrated porous material in thermal and mechanical equilibrium // Mech. Matls. 2002. 34(11). P.685-704.

72. Lu J.-F., Jeng D.-S. Dynamic analysis of an infinite cylindrical hole in a saturated poroelastic medium // Arch. Appl. Mech. 2006. 76(5-6). P.263-276.

73. Lu J.-F., Jeng D.-S., Williams S. A 2.5-D dynamic model for a saturated porous medium: Part II. Boundary element method // Internat. J. Solids Structures. 2008. 45(2). P.359-377.

74. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus //Numer. Math. I. 1988. 52(2). P.129-145.

75. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus //Numer. Math. II. 1988. 52(4). P.413-425.

76. Maeso O., Aznarez J.J., Garcia F. Dynamic impedances of piles and group of piles in saturated soils // Comput. & Structures. 2005. 83(10-11). P.769-782.

77. Maeso O., Dominguez J. Earthquake analysis of arch dams. I: Dam-foundation interaction // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(3). P.496-512.

78. Manolis G.D., Beskos D.E. Corrections and additions to the paper "Integral formulation and fundamental solutions of dynamic poroelasticity and thermoelasticity" // Acta Mech. 1990. 83(3-4). P.223-226.

79. Manolis G.D., Beskos D.E. Integral formulation and fundamental solutions of dynamic poroelasticity and thermoelasticity // Acta Mech. 1989. 76(1-2). P.89-104.

80. Mansur W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the Boundary Element Method // Phd thesis, University of Southampton, 1983.

81. Mei C.C., Foda M.A. Wind-induced response in a fluid-filled poroelastic solid with a free surface a boundary layer theory // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1981. 66(3). P.597-631.

82. Mei C.C., Si B.I., Cai D. Scattering of simple harmonic waves by a circular cavity in a fluid-infiltrated poroelastic medium // Wave Motion. 1984. 6(3). P.265-278.

83. Pao Y.-H. Elastic Waves in Solids // Journal of Applied Mechanics, ASME. 1983. 50. P. 1152-1164.

84. Paul S. On the displacements produced in a porous elastic half-space by an impulsive line load (non-dissipative case) // Pure and Appl. Geophysics. 1976. 114(4). P.605-614.

85. Paul S. On the disturbance produced in a semi-infinite poroelastic medium by a surface load. Pure and Appl. Geophysics. 1976. 114(4). P.615-627.

86. Philippacopoulos A.J. Axisymmetric vibrations of disk resting on saturated layered half-space // J. Engrg. Mech. ASCE. 1989. 115(10). P.2301-2322.

87. Philippacopoulos A.J. Buried point source in a poroelastic half-space // J. Engrg. Mech, ASCE. 1997. 123(8). P.860-869.

88. Philippacopoulos A.J. Lamb's problem for fluid-saturated, porous media//Bull. Seismol. Soc. Am. 1988. 78(2). P.908-923.

89. Plona T.J. Observation of a second bulk compressional wave in porous medium at ultrasonic frequencies // Appl. Phy. Lett. 1980. 36(4). P.259-261.

90. Pryl D. Influences of Poroelasticity on Wave Propagation: A Time Stepping Boundary Element. Formulation Herausgegeben vom Mechanik-Zentrum der Technischen Universität Braunschweig. 2005. 128 p.

91. Qin Q.H. Green's function and Boundary elements of multifield materials. Elsevier, 2007. 254 p.

92. Rajapakse R.K.N.D., Senjuntichai T. An indirect boundary integral equation method for poroelasticity // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1995. 19(9). P.587-614.

93. Rajapakse R.K.N.D., Senjuntichai T. Dynamic response of a multi-layered poroelastic medium // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1995. №24. P.703-722.

94. Ridgway Scott L., Clark T., Bagheri B. Scientific Parallel Computing. Princeton University Press, 2005. 374p.

95. Schanz M. Application of 3-d Boundary Element formulation to wave propagation in poroelastic solids // Eng. Anal. Bound. Elem. 2001.25(4-5). P.363-376.

96. Schanz M. Poroelastodynamics: linear models, analytical solution, and numerical methods // Applied mechanics reviews. 2008. 3. 43 p.

97. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua: A Boundary Element Approach, volume 2 of Lecture Notes in Applied Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2001.

98. Schanz M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua. Berlin: Springer, 2001. 170 p.

99. Schanz M., Antes H. Waves in poroelastic half space: Boundary element analyses Porous media: theory, experiments, and numerical applications //Berlin. Springer. 2002. P. 383-412.

100. Schanz M., Cheng A. H.-D. Transient wave propagation in a one-dimensional poroelastic column // Acta Mech. 2000. 145(1-4). P.l-18.

101. Schanz M., Cheng A.H.-D. Dynamic analysis of a one-dimensional poroviscoelastic column// J. of Appl. Mech. 2001. 68(2). P. 192-198.

102. Schanz M., Diebels S. A comparative study of Biot's theory and the linear Theory of Porous Media for wave propagation problems // Acta Mech. 2003. 161(3-4). P.213-235.

103. Schanz M., Steinbach O. Boundary Element Analysis. Berlin: Springer, 2007. 354 p.

104. Senjuntichai T., Mani S., Rajapakse R. K. N. D. Vertical vibration of an embedded rigid foundation in a poroelastic soil // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.626-636.

105. Senjuntichai T., Rajapakse R.K.N.D. Dynamic Green's functions of homogeneous poroelastic half-plane // J. Engrg. Mech., ASCE. 1994. 120(11). P.2381-2404.

106. Senjuntichai T., Rajapakse R.K.N.D. Transient response of a circular cavity in a poroelastic medium // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1993. 17(6). P.357-383.

107. Sharma M.D. Comments on "Lamb's problem for fluid-saturated porous media" // Bull. Seismol. Soc. Am. 1992. 82(5). P.2263-2273.

108. Soares D., Telles J.C.F., Mansur W.J. A time-domain boundary element formulation for the dynamic analysis of non-linear porous media // Eng. Anal. Bound. Elem. 2006. 30(5). P.363-370.

109. Teiles J.C.F. The Boundary Element Method Applied to Inelastic Problems. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

110. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of fissured poroelastic plates // Arch. Appl. Mech. 1993. 63(6). P.413^23.

111. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of poroelastic plates // Acta Mech. 1994. №103. P. 191-203.

112. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamic behavior of saturated poroviscoelastic media // Acta Mech. 1992. 95(1-4). P. 185-195.

113. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamic poroelastic soil column and borehole problem analysis // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 1992. 11(6). P.335-345.

114. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamics of saturated rocks. IV: Column and borehole problems // J. Engrg. Mech., ASCE. 1992. 118(9). P. 1795-1813.

115. Wiebe Th., Antes H. A time domain integral formulation of dynamic poroelasticity // Acta Mech. 1991. 90(1-4). P.25-137.

116. Xie K.H., Liu G.-B., Shi Z.-Y. Dynamic response of partially sealed circular tunnel in viscoelastic saturated soil // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2004. 24(12). P. 1003-1011.

117. Zeng X., Rajapakse R.K.N.D. Vertical vibrations of a rigid disk embedded in a poroelastic medium // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1999. 23(15). P.2075-2095.

118. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate. // Int. J. of Solids and Structures. 2004. V. 41. P. 3653-3674.

119. Zimmerman D., Stern M. Boundary element solution of 3-D wave scatter problems in a poroelastic medium // Eng. Anal. Bound. Elem. 1993. 12(4). P.223-240.