Динамические задачи для пороупругих сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На прапах рукописи

005534634

Ляпин Александр Александрович Динамические задачи для пороупругих сред

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

10 ОКТ 2013

Ростов-па-Дону - 2013

005534634

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович.

Официальные оппоненты: Сумбатян Межлум Альбертович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», заведующий кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Суворова Татьяна Виссарионовна, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения», профессор кафедры «Высшая математика - 1».

Ведущая организация: Кубанский государственный университет.

Защита состоится «29» октября 2013г. в 17 30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.00 при Южном федеральном университете (ЮФУ), расположенном по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссер тацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «25» сентября 2013г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Проблематика описания напряженно-деформированного состояния пороупругих тел в режиме установившихся гармонических колебаний является актуальной и важной задачей механики деформируемого твердого тела. Физические свойства различных пористых композитов, биологических тканей, грунтов и горных пород требуют учета анизотропии в соответствующих математических моделях. Современные вычислительные технологии позволяют анализировать подобные задачи различными методами, среди которых необходимо выделить методы конечных и граничных элементов.

Начало исследования деформирования пороупругих сред относится к середине XX века. Первыми работами в данной области по праву считаются труды М.А. Био. На сегодняшний день в данной области механики деформируемого твердого тела уже проведено большое число как теоретических, так и практических исследований. Возникает все больше областей знания, где модели поро-упругой насыщенной среды могут быть эффективно применены для анализа динамических процессов. Так, например, многие волновые процессы, протекающие в водонасыщенном грунте, могут быть эффективно описаны этими моделями, а наличие в среде полостей либо нсоднородностей требует разработки соответствующих методов решения таких задач.

Многие исследуемые среды в своей структуре могут содержать какие-либо неоднородности, полости или же дефекты типа трещин. Для учета нсоднородностей необходимо использовать соответствующие методы анализа такого вида геометрии объектов. Одним из эффективных методов анализа динамического поведения пороупругих еред с неоднородностями является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем метод граничных элементов.

Другой популярной областью применения моделей пороунругости является исследование задач биомеханики. Так, некоторые биологические ткани, такие

как костная ткань, но своей природе также обладают пористой структурой и насыщены биологической жидкостью. Моделирование колебаний в изотропных одномерных нороупругих структурах создает необходимый теоретический фундамент для развития неинвазивных методов (в первую очередь акустических) диагностики сращивания костного регенерата в месте перелома. В задачах о ремоделировании костной ткани требуется заранее знать функции распределения неоднородных характеристик для правильной оценки состояния костного регенерата в зоне перелома. В случае биологических объектов такая информация неизвестна и требует соответствующего анализа и механизма определения. Метод акустического зондирования заключается в том, что исследуемый объект подвергается осциллирующему во времени механическому воздействию на определенной частоте и но снятой информации о перемещениях или ускорениях на некотором участке границы делается вывод о распределении той или иной характеристики. Изучению данных задач для нороупругих сред посвящено крайне мало работ. Более того, построенное в рамках представленной диссертационной работы обобщенное соотношение взаимности для пороупругой насыщенной жидкостью среды является совершенно новым результатом, позволяющим достаточно просто формулировать интегральные уравнения в итерационных процессах для определения характеристик неоднородной пороупругой среды.

Цели и задачи диссертационной работы:

Основной целью представляемой диссертационной работы является исследование динамических процессов, протекающих в нороупругих насыщенных жидкостью средах, анализ влияния параметра связанности на динамическое поведение, а также разработка метода реконструкции неоднородных нороупругих характеристик по данным акустического зондирования.

Научная новизна.

Научная новизна работы состоит в разработке методов решения, построении операторных соотношений и и терационных процессов в коэффициентных

обратных задачах для идентификации неоднородных одномерных характеристик пороупругих тел в режиме установившихся колебаний.

Сформулировано обобщенное динамическое соотношение взаимности и вариационный принцип для иороунругой среды в режиме установившихся колебаний.

Проанализироано влияние коэффициента связанности среды на динамическое поведение.

Построены фундаментальные решения для трансверсально-изотропной по-роупругой среды и осуществлен вывод и анализ граничных интегральных уравнений для полуплоскости с полостью.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая ценность результатов исследования состоит в выводе вариационной постановки задач пороуиругости, обобщенного динамического соотношения взаимности для пороупругих сред в режиме установившихся колебаний, разработке методов реконструкции одномерных неоднородных характеристик иороунругой среды и методов решения задач о колебаниях анизотропных пороупругих тел при наличии полости произвольной формы.

Методы исследования.

Методы исследования задач о колебаниях пороупругих тел с полостью основаны на построении явных и неявных представлений фундаментальных решений и сведении к системам нерегулярных интегральных уравнений.

Методы исследования обратных задач о реконструкции неоднородных характеристик по данным акустического зондирования основаны на построении итерационного процесса, на каждом шаге которого решается прямая задача, а поправки определяются из решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Достоверность и апробация результатов.

Достоверность представленных результатов основана на строгом аналитическом аппарате математической теории пороуиругости, применении извсст-

ных эффективных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений, сравнении полученных результатов с известными классическими решениями, а также проведении достаточного числа вычислительных экспериментов по реконструкции неоднородных характеристик нороупругих тел.

Результаты диссертационной работы прошли апробацию и были доложены на следующих всероссийских и международных конференциях: VI, VII Всероссийская школа-семинар (п. Дивноморское, 2011, 2012 гг.), XV, XVI международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" (г. Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.), международная научно-практическая конференция "Строигельство-2011", "Строительство-2012" (г. Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.), международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики" (г. Новосибирск, 2012 г.), XXII международная научная школа им. С.А. Христиановича "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (г. Алушта, 2012 г.).

Публикации.

По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 3 работы из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 150 наименований общим объемом 127 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Введение содержит краткий исторический очерк развития пороупруго-сти, как теории, исследующей связанные ноля между деформациями упругого скелета и течением норовой жидкости сквозь него. Приведен ряд работ, посвященных применению теории пороупругости в геомеханике и биомеханике для изучения множества различных динамических процессов, встречающихся в широком наборе задач для естественных и синтетических материалов.

В задачах со сложной геометрией для решения применяется технология МГЭ, которая в своей основе опирается на метод граничных интегральных уравнений. Среди многих монографий, посвященных различным аспектам методам граничных уравнений и элементов, отмстим работы Т. Крузе и Ф. Риццо, П. Бенсрджи и Р. Баттерфилда, К. Бреббия, Ж. Тсллеса и Л. Вроубела, JI.A. Игумнова, В.А. Баженова, М.А. Сумбатяна, А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского, В.З. Партона и П.И. Перлина.

Вопросам распространения волн в нороупругих средах посвящено множество работ отечественных ученых. Среди работ последних лет можно отмстить труды О.Ю. Болдыревой, A.A. Губайдуллина, Л.Б. Маслова, Т.В. Суворовой, М.А. Сумбатяна и многих других.

Анализу фундаментальных решений в нестационарных задачах для нороупругих сред посвящены работы зарубежных и отечественных ученых, в частности в работах Новгородской школы механиков, среди которых можно выделить работы J1.A. Игумнова, A.B. Аменицкого, A.A. Белова [Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А. Гранично-элементный анализ динамической осадки пороунругой колонны // Проблемы прочности и пластичности. 2010. 72. -С. 154-158.], где проанализированы фундаментальные решения для среды Био в нестационарном режиме. Построению фундаментальных решений для линейных моделей и их исследованию посвящены работы М.А. Алексидзе, В.А. Ба-бешко, М.О. БашелсГппвнли, Т.В. Бурчуладзс, А.О. Ватульяна, Т.Г. Гсгслиа,

П.С. Диневой, A.B. Капцова, С.В. Кузнецова, В.Д. Купрадзе, A.B. Наседкина, Д.Г. Натрошвили, Т.В. Рангелова, В.И. Сторожева и многих других авторов.

Коэффициентные обратные задачи для неоднородных тел исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: A.C. Алексеев, О.М. Алифанов, А.Ю. Аниконов, A.B. Бакушинский, A.J1. Бухгейм, А.О. Ватульян, А. М. Денисов, С.И. Кабанихин, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, В.Г. Яхно, G. Chavent, В. Jadamba, С. Kravaris, C.R. Lee, S.A. Lukasievicz, и др.

Глава 1 посвящена обзору моделей движения пороупругой среды, а также некоторым важным вопросам ее динамического поведения. В параграфах 1.1-1.5 рассматриваются две различных постановки модели движения пороупру-гого континуума, которые чаще всего встречаются в литературе. Представлен анализ приведенных моделей, а также рассмотрены постановки задач об установившихся колебаниях с частотой ш пороупругого тела объема V, ограпичепного поверхностью S = S\ U 52 = Sa U Su = Su U Sp для обеих моделей.

Система уравнений в первой постановке имеет вид [Biot М. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 1956. -V. 28. -P. 168-178.]:

+ (A + /¿)<sm + Qw{,sm = (Piiw2< + Pi2w2«4) - iub{ubm - u{n), Qu"s,sm + Rulsm = (P12^2Ki + P22^Uím) + ¿w6«t - Ufm)\

Граничные условия:

amjnm =PhX e SU

af = p.x £ Si,

(2)

u\ = 0,x £ S2, ujrii = 0, x 6 S2.

Здесь иьт, u{n - компоненты векторов смещений твердой и жидкой фракций, A,n,Q,R - материальные константы, рп, Р\2, Р22 - характеристики распределения плотности материала, b - параметр, характеризующий диссипацию в среде.

Система уравнений во второй постановке имеет вид [Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем: монография. - Иваново: ПресСто. 2010. - 204 с.]:

Л

(3)

Граничные условия:

{С„зЫЩ,.1 ~ Ап)р)щ = е Ба

и,, = о,х е вп, р = о, х е Я,,-

(4)

Здесь и„ - компоненты вектора смещений среды, р давление норовой жидкости, C¿jи - компоненты тензора упругих модулей, р,р/ - плотность материала и жидкости соответственно, Ау - компоненты тензора модулей Био, Ки - компоненты тензора коэффициентов проницаемости среды, Гу - компоненты тензора, зависящего от частоты колебаний и коэффициентов проницаемости среды, ф -пористость материала, Д - гидростатическая константа.

В параграфе 1.6 представлен вывод обобщенного соотношения взаимности для неоднородных анизотропных пороупругих сред, позволяющего формулировать интегральные уравнения для задач реконструкции различных характеристик среды, а также применять его для формулировки интегральных представлений решений в задачах, когда исследуемая среда содержит полость. Верхний индекс в представлении отвечает за состояние среды.

' (вМ - - ¿(Л( 1)р(2) - АРУ1)))^

5

/Г(2) _ г(1) ч (2) (1) _/.(2) _ Л(1Ь/ (2) (1) , II) (2)

14,у Ы пуки к,I т^ КЛту Лт])\Р ит,з + Р ит,})

(5)

-{Рщтз - - + р^гй^Ч4 + (<] -

- Щ)Л(а) + /М - /М + /(1)Р(2) - = 0;

Здесь /,„, / - компоненты массовых сил в среде.

Эту форму соотношения взаимности можно использовать для построения итерационных процессов и получения соответствующих интегральных уравнений для определения поправок для искомых коэффициентов.

Важным результатом, описанным в параграфе 1.7, является вывод аналога вариационного принципа Лагранжа для пороупругой среды. Данный принцип был получен на основе введения кинематически возможных полей смещений и порового давления и дальнейшего преобразования исходной системы. Полученный аналог функционала Лагранжа позволяет единообразно вывести системы уравнений и граничные условия для различных упрощенных моделей.

Полученное вариационное уравнение имеет вид 6Ь = 0, причем функционал Ь представим в форме:

Ь

{-г^СцыЩ^Щ,] + Ацрии + кщ +

V 1 „ 1 1 (6)

+ +т-ги)

5/,

}цм18.

Параграф 1.8 посвящен некоторым особенностям нестационарного возмущения пороупругой среды. В рамках исследования был рассмотрен аналог задачи Даниловской о внезапном воздействии волны порового давления на поро-упругое полупространствоХз ^ 0. Важной частью анализа нестационарных процессов является построение передаточной функции. Для поставленной задачи

такой функцией является отношение функции смещений на границе полупространства к функции давления, возбуждаемого на этой границе. Передаточная функция была построена аналитически и для различных явных значений функции давления получены аналитические представления неизвестных смещений на границе полупространства. На рис. 1, 2 приведены результаты моделирования для функций смещения м(1,т) и р(1,т) (т - безразмерное время) при

Глава 2 диссертационного исследования посвящена методу граничных интегральных уравнений в задачах пороупругости. В параграфе 2.1 построены явные представления фундаментальных решений для иороупругой плоскости в рамках первой модели при помощи метода Ламе разложения полей смещений на потенциальную и вихревую составляющую.

В результате неизвестные потенциалы в разложении могут быть представ-

ав = -1.

Рис. 1. Функция смещений и(1,т)

Рис. 2. Функция давления р(1,т)

»Г7 о:/

и +

лепы в виде:

М _ ,(»,) д (Н^Ькд-Н^ЬкъЛ ,

ф дхр\ щ^ц ; +

^ доСр у ^2) /

Здесь ¿1,2,;! - волновые числа, отвечающие соответствующим волнам в сре-

!"»('") /^Ьп) гл(т) 1 л

^ у, В).^ , Св! , из у, т = 1..4 - параметры, зависящие от материальных констант среды, - функция Ханкеля первого рода.

Параграф 2.2 посвящен построению фундаментальных решений для транс-версальпо-изотропиой пороупругой плоскости в рамках второй модели, для которых получено два интегральных представления. Первое содержит однократные интегралы по бесконечному отрезку:

з

И/^Оп - 6,^3 - 6) = ^ Е ^ГТГШ-^ТШ^—Ш^....... ........*

3=1 -

-00

д = 1..3, к тп,к,1 = 1..3;

(7)

Второе имеет вид интегралов по конечному промежутку при переходе к полярной системе координат

«1 = Асовф, а3 = Автф, х\ — £1 = 7х-л — £3 = ^втС,:

И*п>(7соЯ(С),7*ш(С)) = --Ц I ¿а^и^ЯШусозМ - С)Ш

¡^1 (8)

д,т = 1..3;

Функции

выражаются через интегральные синус и косинус

Ы(г), а^з - параметры преобразования Фурье, (£ъ£з) - точка приложения па-грузки, Ок,к = 1..3 - корни бикубического характеристического многочлена (1т9к > 0), адтк, Р[т\ q,m,k = 1..3 - полиномы четвертой степени.

Проанализированы корпи характеристического уравнения для конкретного вида материала. Осуществлена проверка построенных решений путем предельного перехода к упругой среде.

Упруг. Пороупр.

Рис. 3. Функция И;1' в упругом и пороупругом случаях, модуль Вио равен О.С.

В параграфе 2.3 представлен способ построения фундаментальных решений для пороупругой полуплоскости, слоя, а также многослойной среды.

Параграф 2.4 посвящен выводу граничных интегральных уравнений в задачах пороупругости па примере задачи об установившихся колебаниях транс-версально-изотроиной пороупругой полуплоскости с полостью, ограниченной произвольным гладким контуром I. Осуществлен вывод интегральных представлений решений в среде при помощи динамического соотношения взаимности, полученного в первой главе диссертации. Граничные интегральные уравнения для определения значений неизвестных функций на контуре I имеют вид:

актЫк{У1,Уз) = - и.р. т}р\хих 3, уиу^щги^хх, х3)в!х\ ^

где введены следующие обозначения:

IV! =щ, ги2 = ¿р, ги3 = и3,

3 = 1,3; т = 1,2,3;

(10)

оо

<(6,6) = ЯкЫМ^хи 0,6,6)^!;

(И)

—оо

Здесь - фундаментальные решения для полуплоскости, -

эталонное решение, отвечающее полям в среде без полости.

В главе 3 внимание уделено вопросам построения решений обратных задач для иороунругих сред. В параграфе 3.1 представлена общая формулировка коэффициентных обратных задач для ограниченного пороупругого тела.

Параграф 3.2 посвящен выводу уравнений продольных и поперечных колебаний стержня на основе вариационного принципа, полученного в первой главе.

Другим важным результатом, описанным в параграфе 3.3, является анализ влияния коэффициента связанности среды на се динамическое поведение. Данный анализ проводился на примере задачи о продольных колебаниях пороупругого стержня. Для решения поставленной задачи неизвестные функции были представлены в виде разложения в ряд по степеням параметра связанности. В результате был получен ряд задач при различных степенях модуля Био. Система уравнений при нулевой степени параметра отвечала несвязанной задаче, для последующих же коэффициентов разложения приходится решать неоднородные системы уравнений, но с однородными граничными условиями. Полученная последовательность задач была решена численно, и на каждой итерации был проанализирован вклад соответствующего слагаемого в общее ретие-

ние задачи. В результате было получено, что при малых величинах параметра Био влияние связанности мало и можно ограничиться одним членом в разложении, однако при увеличении параметра до величины некоторых реальных констант порядка 0.5, влияние становилось значительным.

Параграф 3.4 посвящен формулировке интегральных соотношений на основе обобщенного соотношения взаимности, полученного в первой главе диссертационного исследования.

Для восстановления различных параметров среды представлено интегральное соотношение для реконструкции коэффициентов системы. В случае задачи о толщинных колебаниях пороупругого слоя, когда на верхней границе действует система нагрузок и известна дополнительная информация о смещениях и давлении /„, /р, интегральное соотношение относительно поправок для коэффициентов системы имеет вид:

я

ц{1и ~ иа(Н)) + —Ки - р„(Я)) +

о

(12)

-4,(*)(2№(жК(*)) + ±к1,(х)(Р'{](х))2 + = о.

Исследование описанной задачи представлено в параграфе 3.5. Обезразме-ренные уравнения для описания движения среды представимы в виде:

Ы',)' - ШУ + «2(1 - = 0,

1к5р + (щр'У + 1ктй'о = 0,

(13)

йз(0) =р'(0) = 0,Р'(1) = 0,74йз(1) = Р,

йз(1, к) = /(«) : к е [«,, кт\\ Граничные условия задачи:

йз(0) = р'( 0) = 0,р'(1) = 0,74^(1) = Р, (14)

Дополнительная информация в обратной задаче имеет вид:

«з(1,«0 = /(«О : к € \к1, к,-]; (15)

15

где введены следующие параметры:

. х щ р

S = H> Ы:! = Я' Р=Р

2 _ рЯ2 _ А,,(х)Р* . _ с,,(х)

К — /~<inax' — лчшв ' ~~

'птх

„ ГА ^ ^ „ ГА ^ЫЯ /^Г ЛЛФ2Н

Здесь С^пх, Л^11, /^¡Т'1 - максимальные значения соответствующих характеристик по толщине слоя. Знак ~ в дальнейшем опущен.

На основе общего подхода разработан итерационный алгоритм решения обратной задачи. На нулевом этане выбирается эталонное приближение в классе линейных функций из условия минимизации функционала невязки. На следующем этапе решается прямая задача методом пристрелки и интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром относительно поправок к искомым функциям. При численном обращении оператора Фредгольма 1-го рода использован метод регуляризации А.Н. Тихонова.

Интегральные уравнения для отыскания поправок к искомым функциям имеют вид:

1

(F(f(K)-un( 1,к)) +

(F(f(K)~un(l,n))-

где

74i+1(s)/Cin(s, K)ds = 0, к Е \ki, кг],

(1G)

p!{+1(s)K2n(s,K)ds = 0,кЕ [кикг],

Кг„{з,к) = «(в, к))2, К2п(в, к) = 2р„(в, ге)гг',(в, к); Решив уравнения (16) методом Тихонова, получим значения 74+1 и Д"+1. Далее за начальное приближение параметров и /Зз+1 возьмем полученные функции и повторим процедуру заново, таким образом вычислив новые приближения 74+2 и /3;"+2. Тем самым решение обратных задач сведено к послс-

I.....Восстановленное — Точное] |.....Восстановленное — Точное]

Рис. 4. Результаты восстановления характера- Рис. 5. Результаты восстановления характеристики 74 = 0.77 + 0.23£ стики 74 = 0.77 + 0.23£2

довательности решения прямых задач на основе метода стрельбы и решений интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода для определения поправок.

Для решения интегральных уравнений методом Тихонова априорная информация бралась в пяти частотах в диапазоне к ё [0.9,1.2], который располагается до первого толщинного резонанса. Отметим достаточно неплохое качество реконструкции, достигнутое за 5-6 итераций, однако погрешность реконструкции на границах несколько выше, чем внутри области.

Проведена серия вычислительных экспериментов для различных законов изменения коэффициентов системы дифференциальных уравнений. Результат восстановления безразмерного модуля 74 представлен рис. 4-5, где сплошной линией обозначена точная характеристика, точками - восстановленная:

Аналогично проведена серия вычислительных экспериментов для реконструкции функции Д. Результат восстановления безразмерного модуля Д представлен рис. 6-7, где сплошной линией обозначена точная характеристика, точками - восстановленная:

I •■•• Восстщютгщюе — Годное] I.....Восстановленное— Точное]

Рис. 6. Результаты восстановления характер»- Рис. 7. Результаты восстановления характеристики Д, = 31.08 + 3.1£ стики /З3 = 34.18 - 3.1£2

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Сформулировано обобщенное соотношение взаимности для неоднородных пороупругих тел

2. Сформулирован вариационный принцип для задач пороупругости в случае установившихся колебаний

3. Построены фундаментальные решения для пороупругой среды в случае установившихся колебаний и исследованы их свойства

4. Сформулированы системы ГИУ для исследования колебаний пороупругой полоуплоскости с полостью

5. Разработан метод идентификации одномерных пороупругих неоднородных характеристик на основе акустического зондирования

0. Проведены вычислительные эксперименты в задачах реконструкции

Список публикаций

1. Ватульян А.О., Ляпин A.A., Динамическая теорема взаимности и фундаментальные решения для пороупругих сред // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. -JVM. -С. 14-20.

2. Ватульян А.О., Ляпин A.A., О вариационной постановке задач пороупругости в случае установившихся колебаний // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2011. -№4. -С. 20-23

3. Ватульян А.О., Ляпин A.A., Об обратных коэффициентных задачах поро-упругости // Изв. РАН. МТТ. 2013. -№ 2. -С. 114-121.

4. Ватульян А.О., Ляпин A.A., О моделях пороупругостп и их приложениях к изучению свойств биологических тканей // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара, нос. Дивноморское. 2011. -С.34

5. Козин C.B., Ляпин A.A., Индентификация упругих свойств пороупругого стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара. 2011. -С.38

6. Ляпин A.A. Построение фундаментальных решений для пороупругих сред // «Строительство-2011» Материалы международной научно-практической конференции, г. Ростов-на-Дону. 2011. -С. 130-131

7. Ляпин A.A. Об установившихся колебаниях пороупругой неоднородной колонны // «Строитсльство-2012» Материалы международной научно-практической конференции, г. Ростов-на-Дону. 2012. -С. 92-93

8. Козин C.B., Ляпин A.A., Об идентификации характеристик неоднородной пороупругой колонны // Современные проблемы механики сплои/ной

среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2012. -С.134-13С.

9. Ляпин A.A. Фундаментальные решения трансверсально-изотропной поро-упругой плоскости // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2011. -С.159-163.

10. Ватульян А.О., Ляпин A.A. Об идентификации характеристик неоднородной пороупругой колонны // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: Материалы XXII Междун. научн. школы. Симферополь. 2012. -С. 4G-49

Научное издание

Ляпнн Александр Александрович

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: «Динамические задачи для пороупругих сред»

Сдано в набор 22.09.2013. Подписано в печать 22.09.2013. Формат 60 х 84 1/10. Цифровая печать. Усл. печ. л. О, 7. Бумага офсетная Тираж 120 экз. Заказ 256.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30 \VWW.COpyG 1.111 e-ma.il: info@copyGl.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201362766

Ляпин Александр Александрович

Динамические задачи для пороупругих сред

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

Ростов-на-Дону - 2013

Содержание

Введение ................................. 4

Глава 1. Постановки задач о колебаниях пороупругой среды

и особенности динамического поведения........... 20

1.1. Модель пороупругого тела в первой постановке....... 20

1.2. Колебания ограниченного пороупругого тела в первой постановке ............................... 26

1.3. Постановка задачи о колебаниях пороупругой полуплоскости с полостью в первой постановке.............. 28

1.4. Модель пороупругого тела во второй постановке....... 31

1.5. Постановка задачи о колебаниях пороупругой полуплоскости с полостью во второй постановке............. 32

1.6. Динамическое соотношение взаимности для пороупругих сред 34

1.7. Вариационная постановка задач пороупругости и ее применение для исследования задач о колебаниях одномерных пороупругих тел.......................... 36

1.8. Некоторые особенности нестационарного воздействия на по-роупругую среду......................... 39

Глава 2. Метод ГИУ в задачах пороупругости в случае установившихся колебаний....................... 45

2.1. Фундаментальные решения для пороупругой плоскости в первой постановке.......................... 45

2.2. Фундаментальные решения для пороупругой плоскости во второй постановке........................ 51

2.3. Построение фундаментальных решений для полуплоскости

и слоя............................... 63

2.4. Граничные интегральные уравнения для пороупругих сред 74

Глава 3. Обратные задачи для пороупругих тел....... 83

3.1. Постановка обратных коэффициентных задач для неоднородных пороупругих тел.................... 83

3.2. Применение вариационного принципа для изучения продольных и поперечных колебаний стержней............ 84

3.3. Анализ влияния параметра связанности среды на динамическое поведение пористоупругих тел.............. 91

3.4. Формулировка интегральных соотношений.......... 98

3.5. Обратная задача по восстановлению переменных модуля упругости и модуля Био пороупругого слоя в режиме толщинных колебаний............................. 99

Заключение................................ 110

Литература................................ 111

Введение

Пороупругость - это теория, которая исследует связанные поля между деформациями упругого скелета и течением поровой жидкости сквозь него. Впервые данная теория была предложена М.А. Био [54], [55] как теоретическое расширение теории консолидации грунта, разработанной для вычисления осадки структур, расположенных на поропругой, насыщенной жидкостью среде. Теория пороупругости работает с механикой пористых упругих материалов, насыщенных жидкостью. В своей классической форме пороупругость использует закон Гука для упругого поведения пористого скелета и закон Дарси для описания движения жидкости сквозь поры скелета. Эта теория была эффективно применена для исследования множества различных динамических процессов, встречающихся в широком наборе задач для естественных и синтетических материалов, включая геомеханику и биомеханику [94], [88], [133], [134], [86], [111], [138], [62], [63], [143], [49]. Теория Био позволяет смоделировать поведение костной ткани, насыщенной жидкостью, которая имеет широкий спектр функций. Эта жидкость переносит питательные вещества и забирает отходы жизнедеятельности от клеток кости, составляющих костную матрицу. Последние исследования показали, что жидкость играет регулирующую роль в механосенсор-ной системе. Глубокий анализ использования модели пороупругой среды в изучении поведения костной ткани проведен в работе [91]. Естественным расширением классической теории является введение таких понятий, как упруго-пластичность для учета необратимых последствий в поведении пористого скелета. Такие расширения, однако, не совсем точно моделируют материалы, которые сохраняют свой пороупругий характер, но приводят к изменениям в упругом поведении и поведении жидкости в результате микромеханических процессов, приводящих к образованию микротрещин и микропустот в пористых тканях. Исторический очерк развития данной

теории описан в работе Боэра [61].

В основе любой модели механики деформированного твердого тела лежат определяющие соотношения. Определяющие соотношения для поро-упругой среды обобщают известный закон Гука. Исследования показывают, что эти соотношения в самом простейшем варианте содержат четыре независимых материальных константы для изотропного пороупругого тел, причем физический смысл этих констант остается неясным. Этот недостаток физического понимания совместно с недостаточностью лабораторных измерений могли привести к недостаточному применению теории пороупру-гости в геомеханике или биомеханике, однако было выполнено множество работ по преодолению данной проблемы. Так в работах [59], [98], [121], [128], [85] проведен подробный анализ и дано разъяснение физических процессов, происходящих в пороупругой среде. Были описаны связи между упругими, микромеханическими и массовыми константами. Глубокий анализ теории пороупругости в изотропном случае проведен в работе [94]. Хорошо известно, что геоматериалы и многие биометериалы в основном анизотропны. Существующие аналитические [46] и численные [93] результаты демонстрируют, что моделирование анизотропных тел при помощи изотропных моделей может привести к противоречивым результатам. Для практического применения очень важным является не только рассматривать анизотропную модель движения среды, но разработать и провести соответствующие тесты для проведения измерений различных материальных параметров. Расширение изотропной теории на анизотропную впервые было проведено Био в 1955 г. [56] на основе обобщенной формулировки закона Гука. В результате было введено 28 независимых констант в сравнении с 21-й в упругом случае. В 1979 г. Кэрролл в работе [84], а также Томпсон и Уиллис в работе [139] представили микромеханический анализ пороупругой среды. Среди многих результатов - введение тензора коэффициентов Био вместо одного параметра Био. Несмотря на это, применение анизотропной теории

пороупругости мало распространено в силу отсутствия лабораторных испытаний для измерения всех параметров среды. В дальнейшем в работе [47] были приведены измерения наборов различных констант для транс-версально-изотропного глинистого сланца в недренированом состоянии.

Важным аспектом анализа поведения среды в различных ситуациях является анализ ее динамического поведения. Динамический анализ насыщенных жидкостью пористых сред является объектом многих приложений различных отраслей наук, включая геофизику, сейсмологию, биомехнику и многие другие. Квазистатический аспект данной теории, который в основном известен в геомеханике, как консолидация, исследовался учеными многие годы. В квазистатическом анализе эффекты инерции не учитываются. Таким образом, в дополнение к новым приложениям общего анализа, активно развивается анализ динамического поведения пороупругих сред. В своих работах [58], [60] Био описал структуру представления потенциальной энергии пороупругой среды, а также вывел уравнения Лагранжа для описания движения поропругой среды в виде совместного движения твердой и жидкой фракций. Согласно данной теории, динамическое поведение порождает две продольных и одну поперечную волны в среде. Экспериментальное подтверждение существования данных волн подтверждено в работе [101]. В дополнение ко всему Био проанализировал и описал динамическое поведение пороупругой среды в различных частотных диапазонах. На низких частотах медленная волна приобретает диффузионный характер в связи с эффектами вязкости в жидкой фазе, которые доминируют над инерционными эффектами. На высоких частотах инерционные эффекты становятся более весомыми, и медленная волна вносит значительный вклад. Основная причина затухания в пористой среде - это наличие потока жидкости, вызванного волновым движением, который возникает на различных уровнях - макроскопическом, мезоскопическом и микроскопическом [125]. Механизм затухания, описанный теорией Био, функционирует

на макроскопическом уровне. Проявления этого механизма зависят от длины волны и возникают в определенном частотном диапазоне. В диапазоне сейсмических волн сильный вклад вносит механизм потерь, возникающий на мезоскопическом уровне. Так, в насыщенном жидкостью песчанике диффузия поровой жидкости между различными частями рассеивает энергию в медленном режиме колебаний. Уайт [146] был первым, кто ввел механизм потерь в теории Био. На микроскопическом уровне возникает так называемый механизм струи [125], при помощи которого поток из контактной зоны между зернами среды протекает в поровое пространство и обратно.

Исследованию динамических процессов, протекающих в пороупругой среде, уделено множество работ как отечественных, так и зарубежных ученых. Данная проблематика включает в себя огромное число теоретических и практических задач. Анализу фундаментальных решений для пороупру-гих сред посвящены работы зарубежных и отечественных ученых, в частности в работах Нижегородской школы механиков [1], [2], [7], [3], [25], [26] , где проанализированы фундаментальные решения для изотропной среды Био в нестационарном режиме, сформулированы системы ГИУ и получены численные результаты для ряда практически важных задач.

Вопросам распространения волн в поропругой среде посвящены работы Ростовских ученых. Исследование волновых процессов в слоистой среде и полупространстве проведено в [40],[41], многие аспекты контактных задача и проблемы наличия трещин в среде изучены в [27], [131], [132].

В рамках геомеханики существуют подходы, позволяющие моделировать распространение волн внутрь грунта [99], [23], [24], [38], [39], [45], [44], [64], [109]. Объектом исследований геомеханики является изучение сейсмограмм, которые записываются наборами сенсоров. При моделировании используются различные уравнения, описывающие динамику, для решения которых существует множество методов, которые можно классифицировать по трем основным группам: прямые методы, методы интегральных

уравнений, методы рассеивания. Для решения уравнений прямыми методами области разбиваются некоторой сеткой, состоящей из конечного числа узловых точек. Множество работ посвящено использованию методов переотражений для решения задач пороупругости. Данные методы к примеру применены для решения задач со слоистыми областями [135], [142] и для цилиндрических структур [129]. Отметим, что многие вычислительные алгоритмы могут быть эффективно использованы, как средства исследования и практического применения, где использование аналитических методов крайне затруднительно. Детальный обзор различных прямых методов может быть найден в работах [73], [74], [82], [80], [83], [75], [76], [78], [81] , [72], [79], [77], где авторы описывают методы интегрирования по времени, аппроксимации частных производных и физических граничных условий, а также множество других тонкостей численного анализа начально-краевых задач.

Важным фактором является определение рабочего диапазона параметров, в котором влияние пороупругих эффектов присутствует и вносит весомый вклад в динамическое поведение, либо незначительно. Вообще говоря, отражения от одиночных интерфейсов и распространение волн в однородной среде может быть смоделировано при помощи эквивалентных упругих либо вязкоупругих моделей [102]. В случае, когда длина интерфейсных волн с учетом гетерогенности на соответствующих уровнях меньше длины волны возбуждающего сигнала, пороупругие эффекты вносят значительные изменения в картину динамического поведения среды.

Анализ пороупругих сред традиционно сконцентрирован на выяснении взаимоотношений между параметрами ненасыщенной среды, которые обычно известны, и насыщенной жидкостью среды, которые подразумеваются неизвестными. Тем не менее, существует множество приложений в данной области исследований, для которых основные измерения могут быть проведены только для насыщенной среды и затем остается неизвест-

ным, какие эффекты вносит наличие жидкости в среде. Исследование влияния пороупругих модулей, измеренных для ненасыщенного образца и влияние поровой жидкости на поведение всей системы часто носят различные названия и имеют различные значения в литературе. Множество достаточно подробных исследований по данным вопросам можно найти в [58], [57], [136], [70], [50], [ИЗ],[104], [51], [52], [105], [53]. Однако же обратная задача об определении констант ненасыщенной среды через характеристики насыщенной редко описывается и некоторые аспекты могут быть найдены, например, в работах [149] [150]. Как бы то ни было, данный важный вопрос возникает в различных прикладных задачах довольно часто. Например, в задачах океанологии прибрежной зоны [145] или же задачах насыщения грунта при землетрясениях [107], [144], во многих задачах биомеханики таких, как ремоделирование костной ткани или моделирования остеопороза [92], [147].

Более современные теории сплошных сред такие, как теория смесей [141], [68] описывают движение пороупругой среды с по существу подобными характеристиками [97], [106], [124], [69], [48]. Фундаментальные решения, которые позволяют описать отклик в среде от воздействия сосредоточенного усилия, необходимы для исследования различных динамических процессов. Фундаментальные решения применительно к квазистатической теории были получены в работе [87] и в дальнейшем значительно скорректированы в [130]. В динамическом случае реакция среды от действия сил на границе полупространства была исследована в [123], [103].

Отдельной ветвью исследования теории пороупругости является применение данной теории к изучению свойств биологической ткани. Исследованию процессов, протекающих в костной ткани при помощи моделей пороупругости [91], посвящено значительное количество работ. Многие фундаментальные проблемы и важные данные по параметрам сред приведены в монографии Л.Б. Маслова [37]. В этой монографии освещены многие во-

просы, связанные с моделями движения среды, переход к эффективным модулям материала, а также различные результаты моделирования задач биомеханики кости. Различные аспекты решения задач, связанных с биомеханикой костной ткани, подробно представлены в работах [33], [6], [5], [36], [34], [35].

Многие исследуемые среды в своей структуре могут содержать какие-либо неоднородности, полости или же дефекты типа расслоения или трещин. Для учета такого вида объектов необходимо использовать соответствующие методы анализа такого вида геометрии объектов. Одним из эффективных методов анализа динамического поведения пороупругих сред с неоднородностями описанного вида является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем метод граничного элемента [8]. В основе метода граничных интегральных уравнений лежит представление решений в виде некоторых интегралов по границе области. Для построения таких интегральных представлений необходимо знать фундаментальные решения для пороупругой среды. Первая попытка получить динамические фундаментальные решения в неограниченной пороупругой среде была предпринята в работе [71], где в дополнении к прочему представлена общая процедура построения решений, используемая в методах для седловых точек и для построения полей смещений в дальней зоне от действия точечного источника. Альтернативную формулировку решений представили в своих работах Боннэ [65] и Боутин [67]. Они использовали подход, полученный из обобщенной теории с применением метода В.Д. Купрадзе [110] для аналогичных уравнений обобщенной термоупругости. Необходимо отметить, что хотя Био и разработал термоупругую аналогию для квазистатического случая, он никогда не использовал эту аналогию для динамического нестационарного случая.

Многие искусственные либо же природные среды по своей структуре являются неоднородными. Если в первом варианте пространственное

распределение характеристик в некоторых случаях может быть задано на этапе производства, то во втором информация о структуре неоднородности неизвестна, а в случае биологических тканей еще и вносит весьма значительные трудности в определение неоднородности. В этом случае одним из эффективных методов является реконструкция неоднородных характеристик на основе методов акустического сканирования, опирающихся на аппарат обратных коэффициентных задач. В случае неизвестной границы тела либо же полости или дефекта эффективным методом решения прямой задачи является метод граничного элемента.

Другим типом обратных задач явл�