Моделирование динамики составных пороупругих тел на основе метода гранично-временных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЕТРОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ПОРОУПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГРАНИЧНО-ВРЕМЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

12 ДЕК 2013

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005543509

Нижний Новгород - 2013

005543509

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Игумнов Леонид Александрович

Официальные оппоненты: Калинчук Валерий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, Южный научный центр РАН, заместитель председателя по науке

Ерофеев Владимир Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, институт проблем машиностроения РАН, заместитель директора

Ведущая организация: Московский авиационный институт

(Национальный исследовательский университет), г. Москва

Защита состоится 26 декабря 2013 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета. Автореферат разослан 25 ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 кандидат физико-математических наук

Горохов В.А.

Актуальность работы. Компьютерное моделирование динамики элементов конструкций и деталей машин, современный мониторинг поверхностных геоволн требуют адекватного математического, методического и программного обеспечения. В связи с этим, применение теории Био-Френкеля определено, во-первых, острой потребностью практики в использовании более сложных моделей материала по сравнению с широко практикуемыми физическими соотношениями упругости или вязкоупругости; во-вторых, возможностями математического аппарата теории пороупругости в создании высокоточных компьютерных моделей исследуемых волновых картин.

Использование теории Био-Френкеля в сочетании с обобщенными формулами Грина-Бетти-Сомильяны и интегральным преобразованием Лапласа позволяет строить шаговые гранично-элементные схемы решения начально-краевых задач трехмерной теории пороупругости с учетом блочного характера распределения механических свойств изотропного материала составного тела. В основу получения шаговых схем положен шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа, который опирается на квадратурные формулы для интеграла, получаемого из теоремы операционного исчисления об интегрировании оригинала. Компьютерные гранично-элементные модели используют методическое и программное обеспечение метода граничных элементов, создаваемое в НИИ механики Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского.

Цель работы состоит в создании гранично-элементного методического и программного обеспечения на основе шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа для решения начально-краевых трехмерных задач динамики пороупругих составных тел при смешанных краевых условиях, а также в проведении численных исследований динамики составных пороупругих тел.

Методика исследований основана на граничных интегральных уравнениях прямого подхода трехмерной изотропной линейной теории пороупруго-сти, математическая модель которой записывается в терминах четырех базовых функций - перемещения упругого скелета и порового давления; на интегральном преобразовании Лапласа и шаговом методе его численного обращения; на методе граничных элементов как способе компьютерного моделирования искомых решений.

Достоверность исследований основана на строгом математическом соответствии решений, используемых граничных интегральных уравнений, с решениями рассматриваемых начально-краевых задач; на корректно построенных дискретных аналогах компьютерных моделей граничных интегральных уравнений; на использовании протестированного программного обеспечения; на подтверждении результатов компьютерного моделирования известными решениями и корректным апостериорным анализом.

Научная новизна работы состоит в гранично-элементном моделировании решений динамических начально-краевых задач составных пороупругих тел в трехмерной постановке с использованием шагового подхода; использовании для шаговых гранично-элементных моделей динамики составных пороупругих трехмерных тел согласованной аппроксимации на обобщенных четырехугольных граничных элементах; шаговом решении задач о действии импульсной силы на составное пороупругое полупространство, составное поро-упругое призматическое тело, а также на пороупругое тело на пороупругом полупространстве; шаговых гранично-элементных оценках пороупругих решений исследуемых задач на основе дренированных и недренированных моделей материалов.

Практическая значимость результатов состоит в создании методического и программного гранично-элементного обеспечения шагового компьютерного моделирования динамики составных пороупругих трехмерных тел; шаговом гранично-элементном решении задач о действии нестационарной силы на составное пороупругое полупространство, пороупругое составное тело и поро-2

упругое тело на пороупругом полупространстве; применении дренированных и недренированных моделей материалов для получения численных оценок рассматриваемых задач.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методическое и программное обеспечение метода граничных элементов для шагового решения краевых задач динамики составных пороупругих тел.

2. Шаговое гранично-элементное моделирование эффекта возбуждения медленной волны в откликах порового давления и потока.

3. Шаговое гранично-элементное моделирование решений следующих задач:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности составных пороупругих полупространств;

- о действии вертикальной силы на пороупругое призматическое тело, взаимодействующее с пороупругим полупространством.

4. Шаговые гранично-элементные оценки пороупругих решений на основе дренированных и недренированных моделей материалов.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на XIV, XV, XVI, XVIII Нижегородских сессиях молодых ученых - математические науки (Н.Новгород, 2009, 2010, 2011, 2013); XV Нижегородской сессии молодых ученых - технические науки (Н.Новгород, 2010); XIII, XIV, XVI, XVII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010, 2012, 2013); XXIII, XXV Международных конференциях «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С.-Петербург, 2009, 2013); XVII, XVIII, XIX Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова (Ярополец, 2011, 2012, 2013); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), Международной конференции «Современные проблемы

3

механики и математики» (Львов, 2013), форуме молодых ученых (Нижний Новгород, 2013).

Публикации. Опубликовано 33 работы, из них по теме диссертации -29 работы. В журналах, рекомендуемых ВАК для защит кандидатских диссертаций, результаты опубликованы в 5 работах в соавторстве [1-5]. Результаты работ [1-5] принадлежат А.Н. Петрову кроме постановок задач и постпроцессорных представлений результатов исследований.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 230 наименований. Общий объем диссертации составляет 135 страниц машинописного текста, включая 150 рисунков.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-3367.2008.8 2008-2009гг.; № НШ-4807.2010.8 2010-2011гг.; НШ-2843.2012.8 2012-2013гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (№ П1185 от 27 августа 2009г.; № П2222 от 11 ноября 2009г.; №14.740.11.0872 от 29 апреля 2011г; № 14.В37.21.1137 от 14 сентября 2012г.; № 14.В37.21.2019 от 14 ноября 2012г.; № 14.В37.21.2013 от 14 ноября 2012г.; № 14.В37.21.1249 от 14 сентября 2012г.); грантами РФФИ (№ 1008-01017, № 12-08-00984, № 12-01-00698, № 13-08-00658, № 12-08-31572, № 1308-97091).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено вопросу применения метода граничных элементов к решению краевых задач трехмерной динамической теории пороупрутости; обоснованию актуальности темы диссертационной; формулировкам цели диссертационной работы и основных положений, выносимых на защиту.

Из активно работающих ученых, внесших заметный вклад в развитие

интегрального метода применительно к задачам механики деформируемого

твердого тела, отметим Б.Д.Анина, В.А.Бабешко, А.О.Ватульяна,

Е.В.Глушкова, Р.В.Гольдштейна, И.Г.Горячеву, Л.А.Игумнова, В.В.Калинчука,

Н.Ф.Морозова, О.Д.Пряхину, А.Н.Соловьева, М.А.Сумбатяна и др. 4

Модель пороупругой среды, описывающая волновые процессы, сформулирована в работах Я.И.Френкеля (1944) и М.Био (1956). Помимо работ чаще всего цитируемых в соответствующих обзорах по распространению волн в по-роупругих телах и средах отметим работы следующих авторов:

A.А.Губайдуллин, А.О.Ватульян, В.И.Ерофеев, Л.А.Игумнов, Л.Б.Маслов,

B.Н.Николаевский, Д.В.Тарлаковский, Н.А^еэ, М-БсИапг, Ь.Вагуа1, В.АШегэ, М.Уеппищ, Т.МЬег§, Р.игйт1ег, Р.1Л и др.

Достаточно взять ряд работ отмеченных авторов, чтобы можно было сделать вывод о том, что метод граничных элементов бурно разрабатывается применительно к решению нестационарных динамических задач пороупруго-сти. Однако гранично-элементные расчеты динамики составных пороупругих тел в трехмерных постановках слабо представлены. Гранично-элементное компьютерное моделирование динамики однородных пороупругих тел, как правило, касается случаев, когда граничная поверхность состоит из участков, параллельных координатным плоскостям.

В главе I представлено краткое описание теории пороупругости; сформулирована математическая постановка краевой задачи; описан шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа; записаны граничные интегральные уравнения; дан шаговый анализ возбуждения медленной волны на основе решения в изображениях по Лапласу одномерной задачи.

Первый параграф посвящен теории пороупругости. В сжатом виде приводится описание различных моделей и формулировок. Для дальнейших исследований выбрана полная сжимаемая линейная модель Био в и] - р формулировке, где и' - смещение скелета, р - поровое давление.

Второй параграф посвящен математической постановке краевой задачи. Рассматривается кусочно-однородное тело О в трехмерном евклидовом пространстве Я3 с декартовой системой координат. Граница тела обозначена через Г. Предполагается, что каждая однородная часть 0.к является изотропным по-роупругим телом. Динамика однородной части тела П, описывается соответствующей системой дифференциальных уравнений пороупругости в обобщен-

5

ных перемещениях г/(.*,/) = (г/,*,ик2,и* ,м*), и\= р. Рассматриваются обобщенные смешанные граничные условия на Г = дП и условия обобщенного жесткого контакта на границах однородных частей.

В третьем параграфе приводятся интегральные представления и граничные интегральные уравнения для каждой однородной части С1к. Активно используется интегральное преобразование Лапласа с параметром 5. Условия контакта позволяют собрать граничные интегральные уравнения для однородных частей в общее граничное интегральное уравнение для кусочно-однородного тела П. Формальная запись гранично-временного интегрального уравнения и граничного интегрального уравнения (ГИУ) в изображениях по Лапласу для однородной части 0.1, если опустить индекс «к » в записи ядер и граничных функций, имеет вид:

е.. О О с

л

Л

Щ{х,(-т)-Р;{х,1-т) и{(х,(-т)-Р/(х,1-т)

Ф,т)

д(х,т)

и,(х,т) р(х,т)

сЛГ(1т.

0)

Чо" + г

0 с р(х,я) г Т/(х,з)- _Р(х,я)

</Г =

= [

где

Щ(х,0-р;(х, О и? (х,1)-Р/(х^)

т/^-д^х,!)

¿Г,

(2)

- матрицы фундаментальных и син-

гулярных решений исходной системы дифференциальных уравнений;

и;(х,5)-р;(х,з)

изображения по Лапласу матриц

фундаментальных и сингулярных решений исходной системы дифференциальных уравнений.

Детально представлены в изображениях по Лапласу компоненты матриц фундаментальных и сингулярных решений изотропной трехмерной динамической теории пороупругости.

Запись ГИУ (1) позволяет организовать шаговый процесс, опирающийся на формулировку теоремы о свертках оригиналов. Запись ГИУ (2) позволяет воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала и на ее основе также организовать шаговый процесс.

В четвертом параграфе на основе аналитического одномерного поро-упругого решения с использованием шаговой процедуры численного обращения преобразования Лапласа продемонстрирован эффект возбуждения медленной волны в пороупругом стержне на примере откликов поровых давления и потока. Результат исследования сравнивался с аналитическим решением и численным решением, полученным с использованием метода Дурбина. Продемонстрированы преимущества шагового метода по сравнению с методом Дурбина: не уступая в точности, метод дает численные решения, не содержащие не-физичных (наведенных) колебаний.

В главе II представлена методика гранично-элементного решения на основе шагового метода численного обращения преобразования Лапласа и приведены результаты модельных гранично-элементных расчетов.

В первом параграфе дано описание применяемой гранично-элементной дискретизации. Методическое обеспечение опирается на использование регу-ляризованного ГИУ. Для проведения процедуры регуляризации записана статическая матрица сингулярных решений, компоненты которой имеют разные порядки поведения по координатам. Граничная поверхность исследуемого тела разбивается обобщенными восьмиузловыми четырехугольными элементами. Так как применяется согласованная поэлементная аппроксимация, то обобщенные граничные функции первого рода аппроксимируются билинейно, а обобщенные граничные функции второго рода принимаются постоянными на элементе. Коллокационные точки решения ГИУ совпадают с узлами интерполяции неизвестных граничных функций. При попадании коллокационной точки на

7

элемент интегрирования проводится процедура раскрытия особенности. Для повышения точности интегрирования на элементе, не содержащем коллокаци-онную точку, кроме формул интегрирования Гаусса применяется иерархический алгоритм интегрирования - элемент подразбивается до тех пор, пока заданная точность не будет достигнута. Возникающие дискретные аналоги решаются методом Гаусса. Организуется шаговый процесс получения значений граничных функций, основанный на шаговом алгоритме численного обращения преобразования Лапласа.

Во втором параграфе кратко описана программная гранично-элементная разработка. Программное обеспечение использует программные модели гранично-элементного моделирования динамики составных пороупругих тел, созданных на основе применения алгоритма Дурбина численного обращения преобразования Лапласа. Реализация осуществлена на алгоритмическом языке Фортран.

В третьем и четвертом параграфах приведены результаты гранично-элементного решения модельных задач. В третьем параграфе рассмотрена задача о действии силы на торец однородного пороупругого тела. Результаты расчетов сравниваются с аналитическим решением и решением других авторов. Шаговое гранично-элементное решение трехмерной задачи обладает теми же преимуществами в сравнении с гранично-элементным решением в сочетании с методом Дурбина, что и преимущества применения к одномерному решению шагового алгоритма по сравнению с применением метода Дурбина. В четвертом параграфе решена задача о действии силы на торец составного пороупругого тела. Результаты сравниваются с гранично-элементным решением, полученным на основе использования алгоритма Дурбина.

В главе III приведены результаты гранично-элементных решений в трехмерной поставке краевых задач динамической пороупругости и даны гранично-элементные оценки пороупругих решений на основе применения в расчетах дренированных и недренированных моделей материалов.

В первом параграфе представлены задачи о действии вертикальной силы на дневную поверхность пороупругого полупространства и приведены результаты расчетов по дренированной и недренированной моделям материала с целью получения гранично-элементных оценок пороупругого решения. Приведены результаты исследований для нагрузки хевисайдовского вида и разности функций хевисайдовского вида. В рамках выбранной шаговой гранично-элементной модели получены результаты гранично-элементного решения влияния параметра проницаемости на роль эффекта третьей волны в динамическом отклике порового давления и потока. Проведено исследование отклика перемещений в зависимости от расстояния до источника. Проведено сравнение с гранично-элементными решениями других авторов.

Во втором параграфе представлены задачи о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного под площадкой приложения силы сферической или кубической полостью. Рассматриваются варианты нагрузки: хевисайдовского вида и разницы хевисайдовского вида функций. Приводятся отклики граничных перемещений и давлений на дневной поверхности полупространства. Численно даны оценки результатов по дренированной и недренированной моделям материала.

Третий и четвертый параграфы посвящены задачам о действии давления внутри сферической или кубической полости, расположенной в пороупругом полупространстве. Приведены численные оценки результатов по дренированной и недренированной моделям материала.

В пятом параграфе приведено численное решение задачи о действии вертикальной силы на пороупругое тело, взаимодействующее с пороупругим полупространством. Рассматривается нагрузка вида Р(1) = Р0(1 Д/) -Ы+(/ - а)),

Р0 =1Я /л/2, а = 0,055с, Ь-0 или Ъ = 1. Перемещения снимаются на дневной поверхности в точке х, =х2 = 2,33 м. За начало координат выбран центр контактной грани. Приведено сравнение с гранично-элементным результатом, полученным на основе метода Дурбина: один из графиков приведен на рис. 1. Дана оценка пороупругих решений по дренированным и недренированным моделям материалов: один из графиков приведен на рис. 2.

-шаговый метод -пороупругая модель

-------метод Дурбина -------дренированная модель

.........недренированная модель

Рис. 1 Рис. 2

В шестом параграфе решена задача о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность двухслойного пороупругого полупространства. Рассматривается случай, когда верхний слой является более мягким. При условии полного контакта слоев выбирались следующие краевые условия: на дневной поверхности составного полупространства на участке размером 1 м х \м действует сила, а остальная часть дневной поверхности свободна от поверхностной силы при нулевом значении порового давления на всей дневной поверхности. Исследовался динамический отклик на дневной поверхности полупространства при удалении от источника силы на Юл*. Толщина верхнего слоя принималась й=10м. Гранично-элементная сетка на четверти геометрии состоит из 768 элементов для верхнего слоя и 384 элемента для нижнего слоя. Дано сравнение гранично-элементных результатов с результатами других авторов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Создано методическое и программное обеспечение метода граничных элементов для шагового решения краевых задач динамики составных поро-упругих тел.

2. Получено шаговое гранично-элементное моделирование эффекта возбуждения медленной волны в откликах порового давления и потока.

3. Получено шаговое гранично-элементное моделирование решений следующих задач:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности составных пороупругих полупространств;

- о действии вертикальной силы на пороупругое призматическое тело, взаимодействующее с пороупругим полупространством.

4. Даны шаговые гранично-элементные оценки пороупругих решений на основе дренированных и недренированных моделей материалов.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ермолаев М.Д., Петров А.Н. Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих тел: Доклады X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. №4(4). С. 16941696.

2. Игумнов Л.А., Карелин И.С., Петров А.Н. Гранично-элементное исследование влияния коэффициента проницаемости на динамический отклик в

составном пороупругом теле // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2011. С.98-104.

3. Игумнов JI.A., Карелин И.С., Метрикин A.B., Петров А.Н., Банаев М.С. Численное моделирование третьей волны в трехмерном пористо-упругом теле // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ. 2012. Вып. 74. С. 146-153.

4. Белов A.A., Аменицкий A.B., Литвицчук С.Ю., Петров А.Н. Гранично-элементное решение задачи о действии призматического тела на полупространстве в пористо-упругой постановке // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ. 2012. Вып. 74. С. 154-159.

5. Игумнов Л.А., Карелин И.С., Петров А.Н., Петров А.Е. Гранично-элементное исследование поверхностных пористо-упругих волн // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ. 2013. Вып. 75(2). С. 137-144.

Другие публикации

6. Белов A.A., Петров А.Н., Шишкова Е.А. Гранично-элементная схема на основе быстрого преобразования Фурье и ее применение в решении задач трехмерной динамической теории упругости // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Сборник докладов XIII Междунар.конф. BEM-FEM. - СПб: 28 сентября - 1 октября 2009г. / Изд-во ООО «НИЦ МОРИНТЕХ». С. 315-320.

7. Белов A.A., Петров А.Н., Шишкова Е.А. Гранично-элементная схема на основе быстрого преобразования Фурье и ее применение в решении задач трехмерной динамической теории упругости // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XIII Междунар.конф. BEM-FEM. - СПб: 28 сентября - 1 октября 2009г. / Изд-во ООО «НИЦ МОРИНТЕХ». С. 42-43.

8. Игумнов Л.А., Петров А.Н. Гранично-элементное моделирование динамики вязкоупругих тел на основе нового метода обращения преобразования 12

Лапласа // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конф., 12-14 октября 2009 г. Ростов-на-Дону, 2009. С. 106-110.

9. Игумнов Л.А., Петров А.Н. Гранично-элементное моделирование динамики вязкоупругих тел на основе нового метода обращения преобразования Лапласа // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XIII международной конф., 12-14 октября 2009 г. Ростов-на-Дону, 2009. С. 37.

10. Игумнов Л.А., Шишкова Е.А., Петров А.Н. Применение линейной и квадратичной интерполянт изображений в численном обращении преобразования Лапласа //14 Нижегородская сессия молодых ученых — математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2009 г. - С. 37.

П.Лебедева Е.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н. Вариант гранично-элементной схемы на основе интегрального преобразования для решения задач трехмерной динамической теории упругости //15 Нижегородская сессия молодых ученых - технические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2010 г. -С. 52.

12. Игумнов Л.А., Петров А.Н., Чувильдеева A.B. Граничные интегральные уравнения с двойным применением теоремы взаимности для описания распространения волн //15 Нижегородская сессия молодых ученых - математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2010 г. - С. 51.

13. Белов А.А, Игумнов Л.А., Петров А.Н. Численное моделирование динамики пористо-упругих тел и сред // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. М.: ООО «ТР-принт». 2011. Т. 1. С. 30-31.

14. Петров А.Е., Петров А.Н. Численные решения одномерных пороупру-гих динамических задач //16 Нижегородская сессия молодых ученых - математические науки. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2011 г. - С. 52-53.

15. Петров А.Н., Ермолаев М.Д. Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих тел // Современные методы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным и прикладным проблемам теорети-

13

ческой и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. 2011. С. 130-131.

16. Игумнов Л.А., Петров А.Н. Фундаментальные решения трехмерной динамической теории пороупругости. Электронное методическое пособие. -Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. - 23с.

17. Игумнов Л.А., Карелин И.С., Петров А.Н., Белов A.A. Численное моделирование динамики составного пороупругого тела // Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ярополец 13-17 февраля 2012. М.: ООО «ТР-принт». 2012. Т.1. С. 87.

18. Игумнов Л.А., Петров А.Н., Аменицкий A.B. Моделирование волн пороупругого полупространства // Труды XVI Международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону 16-19 октября 2012. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2012. T.l. С.123-127.

19. Игумнов Л.А., Петров А.Н., Аменицкий A.B. Моделирование волн пороупругого полупространства // Тезисы докладов XVI Международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону 16-19 октября 2012. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2012. С. 48.

20. Аменицкий A.B., Игумнов Л.А., Марков И.П., Петров А.Н. Волны от действия ударной силы по телу на полупространстве в пороупругой постановке // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ярополец, 18-22 февраля 2013г. М.: ООО «ТР-принт», 2013. T.l. С.8-9.

21. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов A.A. Численно-аналитическое моделирование медленной волны в пороупругом теле // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ярополец, 18-22 февраля 2013г. М.: ООО «ТР-принт», 2013. T.l. С.112-113.

14

22. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н. Моделирование поверхностных волн на упругих, вязко- и пористо-упругих полупространствах // Современные проблемы механики и математики / Под общ. ред. Р.М.Кушнира, Б.И.Пташника. - Львов: Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача HAH Украины, 2013. С.34-36.

23. Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов A.A. Гранично-элементные схемы с переменным шагом в трехмерных краевых задачах поро-упругой динамики // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 1518 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. T.II. С.91-95.

24. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Ипатов A.A. Численное моделирование динамики составного пороупругого тела // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. Т. I. С.243-246.

25. Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов A.A. Гранично-элементные схемы с переменным шагом в трехмерных краевых задачах поро-упругой динамики // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. С.108.

26. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Ипатов A.A. Численное моделирование динамики составного пороупругого тела // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. С.76.

27. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов A.A. Гранично-элементное моделирование динамики пороупругого полупространства ослабленного полостью // Тезисы докладов XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций.

Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург 23-26 сентября 2013г. Т.1. С.96-98.

28. Ипатов A.A., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н. Гранично-элементное моделирование влияния коэффициента проницаемости на динамический отклик в пористо-упругом призматическом теле // Материалы 18 Нижегородской сессии молодых ученых. Естественные, математические науки. Н.Новгород: НИУ РАНХиГС, 2013 г. С. 231-234.

29. Петров А.Н. Гранично-элементное моделирование взаимодействия пороупругого тела с пороупругим полупространством // Форум молодых ученых: тезисы докладов. Н.Новгород 16-18 сентября 2013. Том 1. Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. С.81-82.

Подписано в печать 20.11.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 1009. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

На правах рукописи

04201454238

ПЕТРОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ПОРОУПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГРАНИЧНО-ВРЕМЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Игумнов Леонид Александрович

Нижний Новгород - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................... 3

Глава I. Постановки задач, метод и методика решения.................................. 15

1.1. Теория Био........................................................................... 15

1.1.1. Сжимаемая модель.......................................................... 16

1.1.2. Несжимаемая модель....................................................... 21

1.1.3. Упрощенная модель......................................................... 24

1.2. Постановка краевой задачи пороупругой динамики....................... 26

1.2.1. Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа 27

1.3. Граничное интегральное уравнение............................................ 30

1.4. Моделирование медленной волны в одномерном случае.................. 33

Глава II. Методика гранично-элементного моделирования............................. 40

2.1. Гранично-элементная дискретизация......................................... 40

2.2. Программная реализация......................................................... 46

2.3. Задача о действии силы на торец однородного пороупругого тела...... 49

2.4. Задача о действии силы на торец составного пороупругого тела......... 54

Глава III. Гранично-элементное моделирование поверхностных волн............... 62

3.1. Задача о действии вертикальной силы на дневную поверхность пороупругого полупространства................................................ 62

3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного под площадкой приложения силы сферической или кубической полостью....................................... 80

3.3. Задачи о действии давления внутри сферической полости, расположенной в пороупругом полупространстве.......................... 90

3.4. Задачи о действии давления внутри кубической полости, расположенной в пороупругом полупространстве.......................... 93

3.5. Задача о действии вертикальной силы на пороупругое тело, взаимодействующее с пороупругим полупространством.................. 99

3.6. Задача о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность двухслойного пороупругого полупространства.................................................................. 107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................... 112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................... 113

ВВЕДЕНИЕ

В работе изложен подход и дан анализ распространения волн в пороупругих телах. Рассматриваются однородные и неоднородные пороупругие тела. В качестве модели неоднородности выбраны кусочно-однородные (составные) тела. Возникающие краевые динамические задачи решаются методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Для компьютерного моделирования решений ГИУ применяется метод граничных элементов (МГЭ). Ключевыми преимуществами подхода являются его численно-аналитический характер, относительная произвольность форм граничных поверхностей (ляпуновского типа) и то, что при рассмотрении нестационарных процессов в полубесконечных телах условия поведения на бесконечности выполняются автоматически. Высокая точность, достигаемая в подходе - требование рассматриваемого класса задач. Из активно работающих ученых, внесших заметный вклад в развитие интегрального метода применительно к задачам механики деформируемого твердого тела отметим Б.Д.Анина, В.А.Бабешко, А.О.Ватульяна, Е.В.Глушкова, Р.В.Гольдштейна, И.Г.Горячеву, Л.А.Игумнова, В.В.Калинчука, Н.Ф.Морозова [75], О.Д.Пряхину [31],

A.Н.Соловьева, М.А.Сумбатяна и др.

Численно-аналитические исследования опираются на математическую теорию Био пороупругой среды. Модель пороупругой среды, описывающей волновые процессы, сформулирована в работах Я.И.Френкеля (1944) и М.Био (1956). Помимо работ чаще всего цитируемых в соответствующих обзорах по распространению волн в пороупругих телах и средах, отметим работы следующих авторов: А.А.Губайдуллин, А.О.Ватульян,

B.И.Ерофеев [10], Л.А.Игумнов, Л.Б.Маслов, В.Н.Николаевский, Д.В.Тарлаковский [35], H.Antes, M.Schanz, L.Banjai [96, 97], B.Albers [91], M.Nenning [180, 181], T.Ruberg [196], P.Urthaler [219], P.Li [161, 162] и др. Теория Био позволяет описать ключевой процесс -существование в пористой среде третьей волны. Роль такой волны наиболее ясно проявляется в случае большой сжимаемости среды. В естественных пористых средах трудности обнаружения медленной волны связаны с тем, что она имеет существенно меньшую амплитуду, чем быстрая продольная волна. Можно показать, что теория Био является частным случаем линеаризованной теории смесей [112, 206]. Подходы совпадают для случая несжимаемых составляющих, если пренебречь мнимой плотностью массы, хотя по-разному моделирую т взаимодействие твердого тела и текучей среды. Роль теории Био только возрастает [127, 128, 154, 158, 166, 167, 182]. К настоящему времени установлено, что теория Био качественно и количественно правильно предсказывает характеристики всех трех типов волн.

В контексте выполненной работы отметим, что применение теории Био позволяет решить ряд частных задач. Так в [138] рассмотрена задача о действии скорости в виде функции Хэвисайда на полубесконечный столб грунта. Это решение численно исследовано в [147] и сопоставлено с одномерным КЭ-решением в [146]. Решение в частотной области для конечного одномерного столба, нагруженного торцевой силой и давлением в порах, приведено в [119, 120] в сравнении с ГЭ-решением. В [123-125] выведено аналитическое одномерное решение для полубесконечно длинного столба с несжимаемыми составляющими. Решение задачи о действии ударной силы на одномерный столб при шаговом нагружении можно найти в [203]. Это решение использует метод квадратур сверток. Распространение решения на поровязкоупругий случай дано в [205]. Особенностью этого одномерного решения является тот факт, что оно позволяет отслеживать прохождение быстрой и медленной волн сжатия, в то время как на других аналитических решениях [123-125, 221-223, 142-144] не удается это проанализировать.

В работах Губайдуллина A.A. [39], Губайдуллина A.A., Болдырева О.Ю. [37, 38], Якубова С.Х. [88, 89] рассматриваются плоские линейные монохроматические волны в насыщенных пористых средах. Установлено, что затухание таких волн определяется не только межфазным трением, но и диссипацией из-за межзеренного трения в твердой фазе. В работах Галиева Ш.У., [32], Салиева A.A. [81, 82], Трофимчука А.Н. [84, 85] рассматриваются закономерности взаимодействия фаз в среде, состоящей из упруго-пористого твердого скелета [225], насыщенного жидкостью и рассматриваются изменения продольных и поперечных волн в процессе их распространения. В работах Келбалиева Г.И. [66], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [71-73] дано математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах. В работах Белянковой Т.И., Калинчука В.В. [98], Diebels'a S., Ehlers'a W. [131] рассматриваются теория Био и подходы других авторов. Из анализа подходов установлены соответствия между принятыми в них обозначениями величин. В рамках теории Био рассматривается динамическая задача. Дано краткое обсуждение теории динамики пористой насыщенной среды.

Одно из первых исследований двумерной задачи о возмущении пороупругого полупространства можно найти соответственно в [140, 141, 183-185]. Серия работ по этой задаче, но с различными нагрузками были опубликованы в [149-153]. В [226] получено решение для заглубленного жесткого диска. В [165] исследованы поверхностные смещения и напряжения полупространств, нагруженных падающими волнами сжатия или сдвига при допущении о невязкой текучей среде.

В [188] рассматривалась задача Лэмба для пороупругих материалов в частотной области. Это решение обсуждалось в [212], где отмечается, что краевые условия необходимо задавать не только в виде вектора напряжения, но и в виде давления в порах. Поэтому в [212] получены меньшие смещения, чем в [188]. В статьях Артикова Т.У., Хужаева А. [7], Кузнецовой Ел.Л., Тарлаковского Д.В. [67], Мирошникова В.В., Фатьянова А.Г. [74], Трофимчука А.Н. [85, 86] рассмотрена задача Лэмба для упруго-пористых и упругих сред с применением преобразования Фурье по времени. В работах Halpem'a Marc R, Christiano Paul'a [140], Philippacopoulus A.J. [188] даны результаты численных расчетов теоретических сейсмограмм. В работах Мирошникова В.В., Фатьянова А.Г. [74], Трофимчука А.Н. [84, 85], Carter'a J., Booker J.R. [116] рассматриваются плоские и осесимметричные нестационарные динамические задачи о вертикальном вдавливании жесткого штампа в гетерогенную пороупругую среду. Волны в слоистом полупространстве исследовались в [126, 137, 157]. Математическое описание такой среды осуществляется в рамках линейной модели Био. Путем совместного решения уравнения Био и уравнения движения жесткого штампа с применением интегральных преобразований Лапласа и Фурье-Ханкеля получены парные интегральные уравнения относительно искомых контактных напряжений. Исследованы асимптотические решения интегральных уравнений. В работах Carter'a J., Booker J.R. [116], Kumar Rajneesh, Miglani Asem, Garg N.R. [159], Van der Kogel H. [220] показано, что в начале движения напряжения не зависят от пространственной координаты и пропорциональны скорости движения штампа. В осесимметричной задаче при переходе к статике напряжения пропорциональны перемещениям, а по пространственной координате сохраняется особенность.

В работах Масликовой Т.И., Поленова B.C. [71-73] рассматривается однородное изотропное пористое полупространство Био со свободной дневной поверхностью. В работе Молоткова Л.А. [76] такое полупространство возбуждается точечными источниками, расположенными на дневной поверхности. Рассматриваются четыре типа источников. Для всех источников строятся волновые поля. В статье Белянковой Т.И., Калинчука В.В. [98], Carter J.P., Booker J.R. [116] установлена связь между волновыми полями в упругой среде, определяются и исследуются коэффициенты отражения на свободной границе пористого полупространства Био.

В статьях Mayes'a M.J., Nagy'a Р.В., Adler'a L., Bonner'a B.P., Streit'a R. [177], Philippacopoulos'a A.J, [185, 188], Pride Steven'a R., Gangi Anthony'a F., morgan'a F., Dale'a [190] на основе расчетов методов конечных элементов анализируются перемещения, эффективные напряжения и поровые давления в зависимости от параметров среды.

В публикациях Бордакова Г.А., Миколаевского Э.Ю., Секерж-Зеньковича С.Я. [21], Келбалиева Г.И. [66], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [71-73] исследуются нестационарные волны в пористых материалах в бесконечной однородной упругой пористой среде, а также в [145].

Численное моделирование динамического поведения насыщенной жидкостью упругопористой среды проведено в работах J1.A. Игумнова с учениками [1, 12, 65], Мирошникова В.В., Фатьянова А.Г. [74].

В работах Гафурбаевой С.М., Наримова Ш. [33, 34] приведен обзор статических и квазистатических методов нахождения материальных постоянных для сред, соответствующих уравнениям в форме Био. В работе Kaczmarek Mariusz, Kubik Jozef [155] приведены числовые значения постоянных для наиболее часто применяемых пористых материалов. Решение для слоистого полупространства с нагрузкой, действующей на жесткий диск, приводится в частотной области в цилиндрических координатах в [186, 187]. Применение теории Био в рамках теории пороупругости пластин опубликовано в [115, 117,216,217].

Работы Halpern Marc R., Christiano Paul'a [140], Hosten В., Deschamps M., Tittmann B.R. [148] посвящены построению матрицы Грина системы динамических уравнений Био для бесконечной пористой среды, а полубесконечной среды - работы [110, 111].

В работах Гришаева А.Г. [36], Schanz M., Cheng Alex H. [204] исследуется распространение волн сжатия в насыщенной водой пористой среде. Показано, что ступенчатая нагрузка порождает в такой среде волны сжатия двух типов.

В настоящее время преобладают работы по изучению колебаний в пористых средах с применением метода нормальных мод, лучевого метода, а также метода контурных интегралов. Требования к строгости подходов усложняют схемы решения задач. Возможности методов ГИУ и МГЭ позволяют успешно моделировать динамику пороупругих тел.

О современном состоянии применяемого в работе подхода можно составить представление по работам [И, 92, 101, 109, 135, 139, 191, 192, 208, 216, 217]. После МКЭ и МКР роль МГЭ, по сравнению со всеми другими численными методами решения краевых задач, является бесспорной [11, 90, 92, 101, 109, 135, 139, 191, 208, 218]. Применение метода ГИУ и МГЭ к решению краевых задач трехмерной пороупругости находится на стадии становления [2, 15, 42, 87, 191, 201]. Развитие метода сопровождается не только интересными и практически важными результатами, но и неточностями и ошибками.

Моделирование нестационарного поведения в МГЭ условно можно разделить на два подхода: решение во временной области с помощью шаговой схемы по времени [176] и решение в области интегральных преобразований через преобразования Лапласа или Фурье с последующим обратным преобразованием [121]. Возможности традиционных шаговых схем, построенных на основе сплайн-аппроксимации, ограничены отсутствием матриц фундаментальных решений, записанных во времени. Часто такие матрицы можно построить только в изображениях по Фурье и Лапласу. Поэтому первые ГЭ-формулировки для пороупругодинамики на базе теории Био были опубликованы в изображениях по Лапласу [174, 175]. Близкая к исследованиям настоящей работы ГЭ-формулировка в частотной области была опубликована в [119, 132]. Несингулярная формулировка в частотной области представлена в [134, 136, 163, 230] для моделирования рассеяния волн. Несингулярное интегральное уравнение получается при вычитании интегрального уравнения упругостатики внутренней части рассеивателя из пороупругого уравнения. На основе того же приема представлена ГЭ-формулировка, называемая как два с половиной мерная [168, 169].

Формулировка во временной области была разработана в [224]. Подход имеет ограничение: отсутствует демпфирование между скелетом и наполнителем. Другая формулировка с временной зависимостью была предложена в [118] на базе аналитического обратного преобразования Лапласа фундаментальных решений. Как способ компьютерного моделирования эта формулировка не эффективна из-за больших временных затрат. В [197, 198, 200] используется метод квадратуры свертки, предложенный Любичем [170, 171], для построения шаговой ГЭ-формулировки для задач пороупругодинамики на основе фундаментальных решений в преобразованиях по Лапласу.

Кроме отмеченных ГЭ-формулировок существуют приближенные ГЭ-формулировки [214, 215], опирающиеся на подход Нардини-Бреббия. Пока в этом подходе используется лишь упрощенная модель и статический закон Дарси. Сам подход Нардини-Бреббия, как известно, является приближенным.

В работах В.А. Бабешко [8, 9, 31] дано расширение метода ГИУ. Построены точные ГИУ с гладкими ядрами на основе конечного преобразования Фурье. Тем самым построены интегральные уравнения, которые можно рассматривать как ГИУ. Подход В.А. Бабешко разрабатывался в работах А.О. Ватульяна и его учеников [22-30], а также М.А. Сумбатяном [83]. В работе [41] подход был распространен на пороупругость.

Одним из приложений пороупругой ГЭ-формулировки в частотной области является анализ систем дамба-резервуар. Первые двумерные расчеты были опубликованы

7

в [133, 173]. В трехмерной постановке этот подход опубликован в [94]. Отклик осесимметричных оснований в пористо-упругих средах в частотной области был проанализирован с помощью МГЭ в [122]. Другое приложение с использованием пороупругодинамической ГЭ-формулировки приводится в [172] для свай в грунте. Приложение к анализу бурения туннелей опубликовано Каттисом [156], где вместо теории Био использовано упрощение из [178, 179].

В пороупругодинамике возможно применение непрямого подхода методом ГИУ [193, 194]. В [209-211] описано его применение в задаче о жестком включении в пористо-упругое полупространство. Рассеяние сдвиговых волн в [164] также анализируется на основе непрямой пористо-упругой ГЭ-формулировки.

Достаточно взять ряд работ отмеченных авторов, чтобы можно было сделать вывод о том, что метод граничных элементов бурно разрабатывается применительно к решению нестационарных динамических задач пороупругости. Однако гранично-элементные расчеты динамики составных пороупругих тел в трехмерных постановках слабо представлены. Гранично-элементное компьютерное моделирование динамики однородных пороупругих тел, как правило, касается случаев, когда граничная поверхность состоит из участков параллельных координатным плоскостям.

Цель работы состоит в создании гранично-элементного методического и программного обеспечения на основе шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа для решения начально-краевых трехмерных задач дина