Численное моделирование динамики упругих и пороупругих трехмерных тел на основе совместного применения методов граничных элементов и Рунге-Кутты тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

РАТАУШКО ЯН ЮРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГИХ

И ПОРОУПРУГИХ ТРЁХМЕРНЫХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ СОВМЕСТНОГО ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И РУНГЕ-КУТТЫ

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

М'ЛН

005550143

Нижний Новгород - 2014

005550143

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Игумнов Леонид Александрович

Официальные оппоненты: Тарлаковский Дмитрий Валентинович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова), заведующий лабораторией

Маковкин Георгий Анатольевич, доктор технических наук, профессор, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, заведующий кафедрой

Ведущая организация: Южный научный центр РАН,

г. Ростов-на-Дону

Защита состоится 30 июня 2014 г. в 14:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им Н.И. Лобачевского и на сайте https://diss.unn.ru/368

Автореферат разослан 30 мая 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 кандидат физико-математических наук

¿Jp^A^*^ Горохов В. А.

Актуальность работы. Работа посвящена распространению волн в упругих и пороупругих телах. Исследования в упругой постановке имеют более долгую историю, чем в пороупругой постановке. Однако пористые материалы широко распространены как в природе, так и в технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты, горные породы, конструкционные, строительные материалы и т.д. Как упругая, так и пороупругая модели могут быть применены для описания материалов, с которыми приходится иметь дело в различных отраслях инженерии, в строительстве, в химической и нефтехимической промышленности, в геологии, в биомеханике.

В работе разрабатывается методика моделирования с использованием шаговых по времени схем метода граничных элементов (МГЭ), создаётся соответствующее программное обеспечение, позволяющие делать выводы о распространении волн как в однородных, так и неоднородных телах. В качестве реализации модели неоднородности рассматривается кусочно-однородное тело.

Применение шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты, усечение процедуры шага по времени за счёт введения переменного шага интегрирования и учёта симметрии подынтегральной функции, распараллеливание вычислительных потоков при компьютерном моделировании позволяют достичь большей точности, максимальной экономии времени расчётов и оптимизации использования вычислительных средств. Использование аппарата граничных интегральных уравнений (ГИУ) в динамической теории упругости берёт начало с работ Мюнца Ч.Х. 1932 г. Началом исследования волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Френкеля Я.И. в 1944 г. В данном исследовании используется модель пороупругой среды Био. В моделировании динамических процессов с помощью МГЭ можно условно выделить два основных подхода: решение во времени на основе шаговой схемы и решение в преобразованиях Лапласа или Фурье с

последующим обращением преобразований. Возможности традиционных шаговых схем по времени на основе аппроксимации сплайнами ограничены отсутствием фундаментальных решений во времени. При построении шаговой гранично-элементной схемы на базе фундаментальных решений в преобразованиях по Лапласу используется метод квадратур свёрток, позволяющий существенно расширить возможности МГЭ. В настоящее время происходит бурное развитие МГЭ для решения динамических задач как упругости, так и пороупругости. Однако гранично-элементное моделирование динамики упругих и пороупругих тел в основном сводится к случаям, где граничная поверхность состоит из участков, параллельных координатным плоскостям. Также остро стоят проблемы снижения вычислительных затрат подходов к исследованию пороупругой динамики и постоянного уточнения получаемых результатов.

Цель работы заключается в развитии методики гранично-временных элементов и создании соответствующего программного обеспечения на основе шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа совместно с семейством методов Рунге-Кутты для решения трёхмерных смешанных начально-краевых задач динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел, а также в численном исследовании динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел.

Методика исследований основана на граничных интегральных уравнениях прямого подхода трёхмерных изотропных линейных теорий упругости и пороупругости в преобразованиях по Лапласу; на описании пороупругой среды моделью Био с четырьмя базовыми функциями - три компоненты перемещений упругого скелета и поровое давление; на получении решений во времени на основе шагового метода численного обращения преобразования Лапласа на узлах методов Рунге-Кутты; на компьютерном моделировании искомых решений методом граничных

элементов в сочетании с методом коллокации, локальной поэлементной аппроксимацией на основе согласованной модели интерполирования Гольдштейна.

Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходной краевой задачи в частных производных математических теорий упругости и пороупругости системе применяемых регуляризованных ГИУ; на корректно проведённой процедуре дискретизации ГИУ при компьютерном моделировании; на тщательно реализованных и проверенных алгоритмах программного обеспечения; на анализе сходимости полученных решений, а также их сравнении с аналитическими, численно-аналитическими решениями и результатами других авторов.

Научную новизну работы составляют: гранично-элементное моделирование краевых задач смешанного типа динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел в сочетании с шаговым методом численного обращения преобразования Лапласа на узлах семейства схем Рунге-Кутты; применение в компьютерном моделировании трёхмерной динамики согласованной модели аппроксимации Гольдштейна на обобщённых четырёхугольных элементах; решение на основе применения метода гранично-временных элементов совместно с методами Рунге-Кутты волновых задач о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на упругое и пороупругое призматические тела, пороупругое полупространство (в том числе с фиктивной границей) и слоистое полупространство, полупространство, ослабленное полостью, и полупространство с выемкой; исследование возбуждения медленной волны в пороупругой среде с помощью шаговой схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты.

Практическая значимость результатов исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для компьютерного моделирования динамики составных упругих и пороупругих трёхмерных

тел с помощью шаговой по времени схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты наряду с методом Эйлера; решении с помощью полученной методики динамических задач о действии силы на пороупругие призматическое тело и полупространство с демонстрацией эффекта возбуждения медленной волны, а также задач о пороупругих слоистом полупространстве, полупространстве, ослабленном полостью, и полупространстве с выемкой.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Развитие и создание методики решения краевых задач динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел на основе совместного применения метода гранично-временных элементов с шаговой схемой на узлах методов Рунге-Кутты.

2. Развитие и создание соответствующего программного обеспечения, реализующего шаговую схему на узлах методов Рунге-Кутты с переменным шагом интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы и возможностью учёта симметрии подынтегральной функции, с использованием алгоритма распараллеливания вычислительных потоков.

3. Моделирование эффекта возбуждения медленной продольной волны в пористых средах на динамических откликах порового давления и потока на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.

4. Моделирование решений следующих волновых задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы упругого и пороупругого призматических тел;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного и слоистого пороупругих полупространств;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью, и пороупругого полупространства с выемкой.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XVIII Нижегородской сессии молодых ученых - естественные, математические науки (Н. Новгород, 2013), форуме молодых ученых (Н. Новгород, 2013), XX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи, 2014), V Международной инженерной конференции Университета Кхон Кэна KKU-IENC2014 «Engineering and Technological Responses to Global Challenges» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).

Публикации. Опубликовано 16 работ [1-16], из них 16 по теме диссертации. В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 5 работ в соавторстве [1-5]. Результаты работ принадлежат Ратаушко Я.Ю., кроме постановок задач и постпроцессорных представлений.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 218 наименований. Общий объем диссертации составляет 179 страницы машинописного текста, включая 235 рисунков и 2 таблицы.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-

2843.2012.8 2012-2013гг.; № НШ-593.2014.8 2014-2015гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2012 - 2014 годы (ГК №14.1337.21.1249 от 14 сентября 2012г.); грантами РФФИ (проекты № 12-01-00698-а, № 13-08-00742-а, № 14-08-00811-а, № 14-08-31415 мол_а).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено вопросу применения модели пороупругости Био, подходам ГИУ и МГЭ и их использованию для решения динамических задач; обоснованию актуальности темы диссертации; формулировкам целей диссертационной работы и основных положений, выносимых на защиту.

В развитие метода интегральных уравнений для решения задач механики деформирумых твёрдых тел заметный вклад внесли работы Анина Б.Д., Бабешко В.А., Ватульяна А.О. Глушкова Е.В., Гольдштейна Р.В., Горячевой И.Г., Игумнова JI.A., Калинчука В.В., Морозова Н.Ф., Пряхиной О.Д., Соловьёва А.Н., Сумбатяна М.А. и др.

Теория для описания волновых процессов в пористой среде была предложена Френкелем Я.И. (1944) и Био М. (1956) независимо друг от друга. В различное время изучением распространения волн в пористых средах занимались также Ватульян А.О., Губайдуллин A.A., Ерофеев В.И., Золотарёв П.П., Игумнов JI.A., Маслов Л.Б., Николаевский В.Н., Степанов В.П., Тарлаковский Д.В., Albers В., Antes Н., Banjai L., Li P., Rüberg Т., Schanz M., Venning M., Wilmanski К. и др.

В работе Lubich С., Ostermann А. (1993) был рассмотрен вопрос использования метода квадратур свёрток совместно с методами Рунге-Кутты. Совместное применение методов Рунге-Кутты с шаговой схемой МГЭ рассматривалось в работах Banjai L. и Calvo М.Р., Cuesta Е., PalenciaC. Работа Banjai L., Schanz M. (2010) содержит обзор широкого спектра подходов к применению гранично-элементной схемы совместно с

8

методом квадратур свёрток, схемами семейства Рунге-Кутты. В публикациях Banjai L., Lubich С., Melenk J.M. и Calvo М.Р., Cuesta E., Palencia С. рассматриваются вопросы точности метода квадратур свёрток на базе методов Рунге-Кутты. В диссертационной работе рассматривается гранично-элементный подход на основе шаговой схемы численного обращения преобразования Лапласа на узлах методов Рунге-Кутты.

В главе I представлены система уравнений Ламе для упругой среды и основные положения модели Био пороупругой среды в перемещениях и поровом давлении. Выбрана полная сжимаемая линейная модель насыщенной пороупругой среды. Приведены постановки краевых задач в преобразованиях по Лапласу для моделей упругости и пороупругости. Изложены основные принципы метода квадратур свёрток, а также его модификации с использованием методов Рунге-Кутты. Приведена методика численного обращения интегрального преобразования Лапласа с помощью как традиционного шагового метода:

Д0) = 0, ДиДГ) = п = \,...N,

4=1

z = R¿*, y{z) = 3/2-2z + z2/2, так и шагового метода на узлах семейства схем Рунге-Кутты:

п

Д0) = 0, ДиДГ) = ЬГЛ_15>ДД?), n = \,...N,

к=1

w (Д,) = ^\f(s)se^d(p, s = *=l, Z = Ré\ Y(z) = A-' - zA '[\]bTA ¡.

2 к ¿ Д t

Представлены модификации методики с постоянным и переменным шагами интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы, а также модификация схемы «с ключом» на основе формул интегрирования сильно осциллирующих функций. Проведено сравнение подходов к численному обращению преобразования Лапласа на основе

шаговых схем на узлах метода Эйлера и других методов семейства Рунге-Кутты на примере численно-аналитических решений задач о действии осевой нагрузки на упругий и пороупругий стержни. На примере задачи о действии осевой нагрузки на пороупругий стержень проведено численно-аналитическое моделирование эффекта возбуждения медленной продольной волны в пороупругой среде с использованием шаговой схемы на узлах Рунге-Кутгы для получения оригиналов динамических откликов порового давления и потока; приведено сравнение решений с результатами других авторов и сделаны выводы о превосходстве полученных результатов над ранее опубликованными.

В главе II представлена система ГИУ прямого подхода в изображениях по Лапласу:

Сы(х,5)+ |т(д:,5)м(д:,5)йГ= |Е/(*,

С =

с, О

О ус

Т(х,я) = и(х,а) =

ут/(х,з) -те'М

уиЦх^ч) -уР'{х,з)\ Г = и=(их,и1,иъ,}р)Т,

у = О для упругой постановки и у = 1 для пороупругой постановки. Изложена гранично-элементная методика решения ГИУ, предполагающая использование шаговой схемы численного обращения преобразования Лапласа. Запись системы ГИУ в изображениях по Лапласу позволяет для получения оригиналов искомых функций построить шаговую схему, опирающуюся как на теорему о свёртках оригиналов, так и на теорему об интегрировании оригинала. В работе выбран подход, опирающийся на теорему об интегрировании оригинала, и на его основе построены шаговые схемы на узлах методов Рунге-Кутты для решения дискретных аналогов краевых задач теории упругости и пороупругости. Методика численного решения ГИУ строится на основе системы регуляризованных ГИУ в

10

преобразованиях по Лапласу. Для гранично-элементной дискретизации использованы четырёхугольные восьмиузловые биквадратичные элементы, применяется метод коллокации. Аппроксимация обобщённых граничных функций построена по согласованной модели. Численное интегрирование производится по квадратурным формулам Гаусса с применением алгоритмов понижения порядка и устранения особенностей. Приведено описание программного обеспечения для моделирования трёхмерных краевых задач упругости и пороупругости с помощью метода гранично-временных элементов на базе шаговых схем обращения преобразования Лапласа. Программное обеспечение содержит возможности использования схем на узлах методов Рунге-Кутты наряду с традиционной шаговой схемой; интегрирования по параметру преобразования Лапласа с переменным шагом, с учётом или без учёта квадратур сильно осциллирующих функций; возможность учёта симметрии подынтегральной функции; распараллеливания вычислительных потоков. В качестве примера приведены варианты входных файлов для решения задачи о действии торцевой силы на упругое призматическое тело с фиктивной границей (постановка для составного тела). Решены задачи о действии силы на торец упругого и пороупругого призматических тел в разных постановках; проведено сравнение с аналитическими решениями. Для задачи о пороупругом призматическом теле дано моделирование эффекта возбуждения медленной волны. Представлено исследование результатов и сравнение с результатами других авторов; отмечено превосходство полученных решений над ранее опубликованными. Приведены комбинированные трёхмерно-полутоновые визуализации границы расчётных призматических тел; для упругого тела полутоновой визуализацией изображены продольные усилия, для пороупругого -поровый поток.

Глава III содержит гранично-элементное моделирование задач о полупространстве. Решены задачи о действии вертикальной силы на

поверхность однородного пороупругого полупространства и пороупругого полупространства с фиктивной границей (постановка для составного тела). Задача использована для выбора рабочей гранично-элементной сетки: приведено исследование сходимости решений на разных пространственных сетках и проведено сравнение с решением другого автора. Представлены оценки пороупругого решения в точке на поверхности полупространства по упругой модели. На примере отклика порового давления и потока на фиктивной границе продемонстрирован эффект появления медленной волны. Приведены трёхмерная визуализация прогиба верхнего слоя полупространства и полутоновая визуализация порового потока на фиктивной границе. Решены задачи о действии вертикальной силы на пороупругое полупространство, ослабленное полостью, двухслойное полупространство с различной толщиной верхнего слоя. Представлено исследование влияния формы полости в полупространстве на форму откликов перемещений и порового давления в точке поверхности на заданном расстоянии от приложенной нагрузки. Представлены оценки пороупругого решения для полупространств со сферической и кубической полостями по упругой модели. Отмечена экономия вычислительных затрат по сравнению с решениями других авторов. Решена задача о действии вертикальной силы на полупространство с выемкой в форме параллелепипеда в пороупругой постановке. Рассматривается нагрузка в виде /3 = /°/(0> =-1Н/м2 на элемент поверхности площадью 0.25л«2, где /(/)- функция Хевисайда. На расстоянии Б = 1 м от области нагружения находится выемка размерами IV = 0.5м, Н = \м и шириной 1.1/ (рис. 1). Гранично-элементная сетка содержит 588 элементов и 650 узлов.

\У

Рис. 1

Динамические отклики вертикальной компоненты перемещений рассматриваются в точках на расстоянии 1.75л/, 2.Ым, 4.94л/ и 6.83л/ от зоны приложения нагрузки (рис. 2).

—-1.75л/ ---2.67м ----4.94м ............6.83л/

Рис. 2

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Разработана методика решения краевых задач динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел на основе совместного применения метода гранично-временных элементов с шаговой схемой на узлах методов Рунге-Кутты.

2. Создано программное обеспечение, реализующее шаговую схему на узлах методов Рунге-Кутты с переменным шагом интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы, возможностью учёта

13

симметрии подынтегральной функции, с использованием алгоритма распараллеливания вычислительных потоков.

3. Продемонстрирован эффект возбуждения медленной продольной волны в пористых средах в откликах порового давления и потока на примере численно-аналитических и численных решений задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.

4. Получено решение следующих волновых задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы упругого и пороупругого призматических тел;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного и слоистого пороупругих полупространств;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью, и пороупругого полупространства с выемкой.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ратаушко Я.Ю. Анализ термоупругой динамики трехмерных тел методом граничных элементов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского: Доклады X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. №4(4). С.1736-1737.

2. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Шаговый метод обращения преобразования Лапласа на узлах схемы Рунге-Кутты // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. №75(3). С.178-184.

3. Игумнов J1.A., Ратаушко Я.Ю. Шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа на узлах схемы Рунге-Кутгы с использованием переменного шага интегрирования // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. №75(4). С.280-287.

4. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Применение вариантов шагового метода численного обращения преобразования Лапласа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. №1(2). С.27-29.

5. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Совместное применение метода гранично-временных элементов с методом Рунге-Кутты для исследования динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. №76(1). С.55-64.

Другие публикации

6. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Фундаментальные и сингулярные решения изотропной теории упругости и вязкоупругости. Электронное методическое пособие. Н.Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. 18с.

7. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю., Аменицкий A.B., Белов A.A. Применение метода гранично-временных элементов для моделирования краевых задач динамики трехмерных упругих и пороупругих тел // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. T.I. С.247-250.

8. Ратаушко Я.Ю., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Численно-аналитическое построение матриц Грина и Неймана трехмерной теории термоупругости // Материалы 18 Нижегородской сессии

молодых ученых. Естественные, математические науки. Н.Новгород: НИУ РАНХиГС, 2013 г. С.267-270.

9. Ратаушко Я.Ю., Игумнов JI.A., Аменицкий A.B., Белов A.A. Применение метода граничных элементов для решения трехмерных краевых задач вязко- и поровязкоупругости // Тезисы докладов XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург 23-26 сентября 2013г. Т.1. С.164-165.

10. Ратаушко Я.Ю. Метод квадратур сверток для решения граничных интегральных уравнений: обращение преобразования Лапласа // Форум молодых ученых: тезисы докладов. Н.Новгород 16-18 сентября 2013. Том 1. Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. С.82-83.

11. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю., Аменицкий A.B., Белов A.A. Применение метода гранично-временных элементов для моделирования краевых задач динамики трехмерных упругих и пороупругих тел // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. С.77.

12. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Метод гранично-временных элементов на основе шаговой схемы Рунге-Кутты // Материалы XX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ярополец, 17-21 февраля 2014. М.: ООО «ТР-принт». 2014. С.91.

13. Igumnov L.A., Rataushko Ya.Yu. Treating boundary value problems of 3d elastodynamics with conjugate fields by means of Boundary Integral Equations (BIE) method // KKU-IENC2014 "Engineering and

Technological Responses to Global Challenges": abstract collection of the 5th KKU International Engineering Conference 2014. Pullman Khon Kaen Raja Orchid Hotel, Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.29.

14. Igumnov L.A., Ipatov A.A., Litvinchuk S.Yu., Rataushko Ya.Yu. Boundary-Element Analysis of the Dynamics of 3-D Poroelastic Bodies // 2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.39.

15. Igumnov L.A., Rataushko Ya.Yu. Treating Boundary Value Problems of 3D Elastodynamics with Conjugate Fields by Means of Boundary Integral Equations (BIE) Method // 2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.40.

16. Игумнов JI.А., Ратаушко Я.Ю. Применение метода Рунге-Кутты в гранично-элементном моделировании динамики трехмерных пороупругих тел // Математика и математическое моделирование: сборник материалов VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школы. Саров, 8-11 апреля 2014. Саров: ООО «Интерконтакт». 2014. С.35.

Подписано в печать 29.04.2014 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 258. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе дизайна и цифровой РИУ ННГУ им. Н.И.Лобачевского 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

На правах рукописи

04201459269

РАТАУШКО ЯН ЮРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГИХ

И ПОРОУПРУГИХ ТРЁХМЕРНЫХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ СОВМЕСТНОГО ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И РУНГЕ-КУТТЫ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Игумнов Леонид Александрович

Нижний Новгород - 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................... 4

Глава I. Математические постановки задач, схемы численного обращения преобразования Лапласа............................................................................... 17

1.1. Математические модели..................................................................... 17

1.1.1. Упругая среда................................................................................. 17

1.1.2. Пороупругая среда.......................................................................... 17

1.2. Метод квадратур свёрток и шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа........................................................................... 21

1.2.1. Традиционный метод квадратур свёрток............................................... 21

1.2.2. Метод квадратур свёрток на основе методов Рунге-Кутты........................ 26

1.2.3. Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа................. 27

1.2.4. Модификация шаговой схемы с переменным шагом интегрирования по аргументу............................................................................................. 29

1.2.5. Модификация шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.................... 30

1.3. Численно-аналитические результаты...................................................... 30

1.3.1. Задача о действии осевой силы на упругий стержень..............................................................30

1.3.2. Задача о действии осевой силы на пороупругий стержень..................................................40

1.3.3 Моделирование медленной продольной волш>1 в одномерном случае......................54

Глава II. ГИУ и гранично-элементная методика............................................................................................60

2.1 Граничные интегральные уравнения............................................................................................................60

2.2. Гранично-элементная дискретизация..................................................... 61

2.3. Программное обеспечение................................................................... 65

2.4. Задача о действии торцевой силы на упругое призматическое тело................. 78

2.5. Задача о действии торцевой силы на пороупругое призматическое тело......... 101

Глава III. Моделирование поверхностных волн на базе МГЭ............................. 114

3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства................................................................................... 114

3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью................................................... 133

3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность двухслойного

пороупругого полупространства................................................................ 147

3.4.Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства с выемкой..................................................................... 149

ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

Работа посвящена распространению волн в упругих и пороупругих телах. Исследования в упругой постановке имеют более долгую историю, чем в пороупругой постановке. Однако, пористые материалы широко распространены как в природе, так и в технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты, горные породы, конструкционные, строительные материалы и т.д. Как упругая, так и пороупругая модели могут быть применены для описания материалов, с которыми приходится иметь дело в различных отраслях инженерии, в строительстве, в химической и нефтехимической промышленности, в геологии, в биомеханике.

В работе разрабатывается методика моделирования с использованием шаговых по времени схем метода граничного элемента (МГЭ), создаётся соответствующее программное обеспечение, позволяющие делать выводы о распространении волн как в однородных, так и неоднородных телах. В качестве реализации модели неоднородности рассматривается кусочно-однородное тело. В рассмотрение включены конечные и полубесконечные тела, для которых рассматривается, кроме всего, влияние ослабляющих полостей.

Для моделирования волновых процессов применяется аппарат граничных интегральных уравнений (ГИУ). Компьютерное моделирование решений во времени производится с помощью шаговых схем метода граничного элемента. Выбранная модель предоставляет такие преимущества, как возможность расчёта тел с граничными поверхностями ляпуновского типа произвольной формы, автоматическое выполнение условий поведения решений на бесконечности при рассмотрении нестационарных процессов в полубесконечных телах, а также численно-аналитический характер подхода и как следствие относительно невысокие вычислительные затраты при сохранении высокой точности получаемого результата. Применение шаговой схемы на узлах методов Рунге-Куггы, усечение процедуры шага по времени за счёт введения переменного шага интегрирования и учёта симметрии подынтегральной функции, распараллеливание вычислительных потоков при компьютерном моделировании позволяют достичь большей точности, максимальной экономии времени расчётов и оптимизации использования вычислительных средств.

Для корректного исследования волновых процессов необходимы динамические формулировки исходной системы дифференциальных уравнений для рассматриваемой модели и соответствующие ей ГИУ. Использование аппарата ГИУ в динамической теории упругости берёт начало с работ Мюнца Ч.Х. 1932 г. Первая граничная интегральная формулировка для упругодинамики была опубликована Cruse Т.А. и Rizzo F.J. [106]. Эта

формулировка применялась в сочетании с преобразованием Лапласа. Соответствующая формулировка в сочетании с преобразованием Фурье была представлена Dominguez J. В 1978 г. Распространение ГИУ в преобразованиях по Лапласу на численное решение трёхмерных динамических задач теории упругости было представлено в работе Ройтфарба И.З. и Кыонга Ч.В. в 1976 г. Первая формулировка граничного элемента во временной области была представлена Mansur W.J. и использовалась для упругодинамического скалярного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями [164]. Обобщение этой формулировки для ненулевых начальных условий было представлено в работе Antes Н., Panagiotopoulos P.D. 1992 г. Распространение гранично-элементного подхода во времени на решение трёхмерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено Хуторянским U.M. [67]. Детальный обзор по аспектам применения МГЭ в упругодинамике содержится в работах Beskos D., Maiser G. [84], Баженова В.Г. и Игумнова Л.А. [10, 11].

Началом исследования волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Френкеля Я.И. в 1944 г. В 1956 году независимая модель была построена Био М. В 1959 г. Косачевским Л.Я. было показано, что теория Био опирается на те же соотношения между напряжениями и деформациями, что и подход Френкеля, но имеет большую общность. В различное время изучением волн в пористых насыщенных средах занимались также Цвиккер К. и Костен К. (1952), Гиртсма Дж. и Смит Д. (1961), Золотарёв П.П. (1963), Николаевский В.Н. (1963), Степанов В.Г1. (1963), Дорогиницкая Л.М. (1964), МсСапп С. и МсСапп D.M. (1969) и др., но наиболее значимыми публикациями стоит считать две работы М. Био. После исследований Боуэна [94] и Вильмански (1998-2006) модель Био можно признать термодинамически адекватным способом линейного описания динамики насыщенных пористых сред. Общее состояние вопроса можно оценить по работам de Boer R. (2000), Schanz M. (2001, 2009), Николаевского В.Н. (2005).

В исследовании используется модель пороупругой среды Био. Теория Био основывается на описании взаимодействия двух фаз среды: упругого скелета и жидкого или газообразного наполнителя. Исторически на основе теории Био было предсказано существование в пористой среде, по сравнению с упругой, трёх типов волн: быстрой поперечной, быстрой и медленной продольных. Быстрые продольная и поперечные волны близки по своей природе соответствующим волнам упругой среды. Медленная продольная волна вызвана перемещением частиц наполнителя пор относительно пористого скелета и является ключевым отличием пористой среды от упругой. Игнорирование медленной волны приводит к серьёзным ошибкам при оценке затухания быстрых продольной и поперечной волн.

С помощью теории Био возможно решение широкого ряда частных задач. В [123] рассматривается задача о действии скорости в виде функции Хевисайда по времени на полубесконечный столб. Решение задачи было численно исследовано в [132] и сопоставлено с одномерным конечно-элементным решением в [131]. Решение для конечного одномерного случая с нагрузкой усилиями и норовым давлением на торце в пространстве частот присутствует в [104, 105] в сравнении с гранично-элементным. В [108-110] выведено одномерное аналитическое решение для полубесконечного случая для несжимаемого материала. В [191] на основе метода квадратур свёрток получено решение задачи о действии ударной силы в одномерном случае. Это решение распространено на поровязкоупругий случай в [193]. Отличительной чертой подхода является возможность отслеживания на его основе и быстрой, и медленной волн сжатия, в то время как другие аналитические решения [108-110, 127-129, 207-209] не позволяют обнаружить обе волны.

Задача о воздействии усилий на торец двумерной или трёхмерной консолей так или иначе стала традиционной тестовой как для пороупругих, гак и упругих моделей. В работах Chen Y.C., Hwu Ch. [103], Carrer J.A.M., Pereira W.L.A., Mansur W.J. [98] тесты проводятся в двумерной постановке; в работах Aimi A., Diligenti M., Frangí A., Guardasoni С. [71], Albers В., Savidis S.A., Tasan H.E., von Estorff О., Gehlken M. [74] приведены тесты различных методов решения и сравнение результатов в трёхмерном случае.

Губайдуллип A.A. [33], Якубов С.Х. [68, 69] в своих работах установили, что на распространение плоских линейных монохроматических волн в насыщенных пористых средах влияет не только межфазное трение, но и межзёренное трение в твёрдой фазе. В работах Галиева Ш.У., [25], Салиева A.A. [61, 62], Трофимчука A.M. [64, 65], Xie K.II., Liu G.-В., Shi Z.-Y. [213] рассматриваются закономерности взаимодействия фаз в среде и его влияние на распространение продольных и поперечных волн. В работах Келбалиева Г.И. [48], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [50-52] дано математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах. В работах Белянковой Т.Н., Калинчука В.В. [83], Diebels S., Ehlers W. [113] рассматриваются как теория Био, так и подходы других авторов. Из анализа различных подходов установлены соответствия между принятыми в них величинами. Дано краткое обсуждение теории динамики пористой насыщенной среды в рамках модели Био. В публикациях Бордакова Г.А., Миколаевского Э.Ю., Секерж-Зеньковича С.Я. [14], Келбалиева Г.И. [48], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [50-52], а также в [130] проводится исследование нестационарных волн в бесконечной однородной упругой пористой среде. В публикациях Гришаева А.Г. [30], Schanz M., Cheng Alex H. [192] рассматриваются волны сжатия в пористой среде, насыщенной водой. Показано, что ступенчатое нагружение вызывает

полны сжатия двух видов. В публикациях Mayes M.J., Nagy Р.В., Adler L., Bonner В.P., Streit R. [165], Philippacopoulos A.J, [174, 175], Pride S.R., Gangi A.F., Morgan F.D. [176] пере1мещения, эффективные напряжения и поровые давления анализируются в зависимости от параметров среды с помощью расчётов на основе метода конечного элемента. В публикациях Гафурбаевой С.М., Наримова Ш. [26, 27] присутствует обзор статических и квазистатических методов определения параметров материала для среды, соответствующей модели Био. В работе Kaczmarek М., Kubik J. [143] представлены значения констант для наиболее часто применяемых пористых материалов. Применение теории Био для описания пороупругих пластин описано в [95, 100, 202, 203]. Работы Halpern M.R., Christiano P. [139], Hosten В., Deschamps M., Tittmann B.R. [133] посвящены построению матрицы Грина для динамической модели Био бесконечной пористой среды, работы [92, 93] — полубесконечной среды.

Одно из первых исследований задачи о возмущении нороупругого полупространства в двумерной постановке можно найти в [125, 126, 170, 171, 175]. Публикациями по этой задаче, но с различными нагрузками являются [137-141]. В [214] получено решение для задачи о заглублённом жёстком диске. В [153] исследованы граничные перемещения и напряжения полупространств, нагруженных падающими волнами сжатия/сдвига при условии невязкой текучей среды. Решение для слоистого полупространства с жёстким диском, подверженным нагрузке, получено в пространстве частот в цилиндрических координатах в [172, 173]. Волны в слоистом полупространстве исследовались в [111, 122, 146]. В [174] рассматривалась задача Лэмба для пороупругих материалов в пространстве частот. Оценка решения [174] приведена в [199], где отмечена необходимость задания краевых условий не только в виде напряжений, но и в виде норового давления. В статьях Артикова Т.У., Хужаева А. [6], Кузнецовой Е.Л., 'Гарлаковского Д.В. [49], Мирошникова В.В., Фатьянова А.Г. [53], Трофимчука А.II. [64, 65] задача Лэмба для упругих и пористо-упругих сред решается с применением преобразования Фурье по времени. В публикациях Halpern M.R, Christiano P. [125], Philippacopoulus A.J. [174] рассчитаны результаты теоретических сейсмограмм. Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. [53], Трофимчук А.II. [64, 65], Carter J., Booker J.R. [99] рассматривают в своих работах плоские осесимметричные нестационарные задачи о вдавливании жёсткого штампа в пороупругую среду. Математическое описание среды осуществляется в рамках линейной модели Био. Совместное решение уравнения движения жёсткого штампа и уравнений Био в терминах интегральных преобразований приводит к парным интегральным уравнениям в области контакта. Исследованы асимптотические решения интегральных уравнений. В работах Carter J., Booker J.R. [99], Kumar R., Miglani

A., Garg N.R. [147], Van der Kogel II. [206] показано, что в начале движения напряжения не зависят от пространственной координаты и пропорциональны скорости движения штампа. В осесимметричной задаче при переходе к статике напряжения пропорциональны перемещениям, а по пространственной координате сохраняется особенность.

В статьях Масликовой Т.И., Поленова B.C. [50-52] рассматривается однородное изотропное пористое полупространство модели Био со свободной поверхностью. В работе Молоткова JI.A. [55] рассмотрено возбуждение такого полупространства четырьмя видами точечных источников, расположенных на поверхности, для каждого источника построены волновые поля. В статьях Белянковой Т.Н., Калинчука В.В. [83], Carter J.P., Booker J.R. [99] установлена связь между волновыми полями в упругой среде, а также определяются и исследуются коэффициенты отражения волн на свободной границе пороупругого полупространства модели Био. Проблема отражения волн углублениями в пороунругом полупространстве рассматривается в работе Cao Z., Caí Y. [97]. Анализ распространения поверхностных волн на свободной границе насыщенной пористой среды, а также на границе между пористой средой и жидкостью проведён в работах Edelman I., Wilmanski К. [116], Albers В. [73], Губайдуллина A.A., Болдырева О.Ю. [31, 32]. В публикации [75] предложено использовать упрощённую модель Био для описания поверхностных волн на границе пористых сред. Компьютерное моделирование динамического поведения насыщенной жидкостью пороуиругой среды можно найти в работах Л.А. Игумнова и его учеников [1, 12, 47], Мирошшпсова В.В., Фатьянова А.Г. [53].

Помимо наиболее часто цитируемых работ по распространению волн в пористых средах следует отметить публикации Губайдуллина A.A., Ватульяна А.О. [18, 19], Ерофеева В.И. [9], Игумнова Л.А., Маслова Л.Б., Николаевского В.II., Тарлаковского Д.В. [29], Antes Н., Р.Urthaler [205] и др. Комбинированные методы решения задач пороупругости были предложены Nenning М. [179, 180], Rüberg Т. [181].

Предпринимаются попытки построения моделей многофазной пористой среды (с несколькими наполнителями). Линеаризованные континуальная и макроскопическая модели, описанные в работах Wei С., Muraleetharan K.K. [210, 211], в условиях полного насыщения сводятся к пороупругой модели Био. В работах Galmiri В., Jabbari Е. [120, 121] строятся функции Грина для линейной модели ненасыщенных грунтов (в качестве наполнителя выступают как жидкость, так и воздух); полные граничные интегральные уравнения приведены в [161]. Проблема распространения волн в трёхфазной среде рассматривается в работах [149, 160, 161].

В настоящее время преобладают исследования колебаний пористых сред с использованием метода нормальных мод, лучевого метода и метода контурных

интегралов. Схемы решения задач усложняются вслед за постоянно растущими требованиями строгости и стабильности подходов. Возможности методов ГИУ и МГЭ позволяют успешно решать задачи динамического моделирования пороупругих тел.

О текущем положении дел относительно применяемого подхода можно составит!) пре