Сопряженные задачи распространения трещин гидроразрыва тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

российская академия наук

институт проблем механики

„ од

- 2 МДЯ

На правах рукописи

Гордеев Юрий Николаевич

Сопряженные задачи распространения трещин гидроразрыва

УДК 532.546

01.02.05 - Механика жидкостей, газа и плазмы

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико—математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена и Московском государственном инженерно-физическом институте (технический университет)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Р.В.Годьдштейн,

доктор физико-математических наук Л.И.О.Ибрагимов,

доктор физико-математических наук, профессор Г.Ю.Степанов

Ведущая организация: Институт механики МГУ

Защита состоится "¿У" А/а Я _ 1998г. в часов на заседании Диссертационного совета Д.002.87.01 при ИПМ РАН по адресу: 137526, Москва, пр-т Вернадского, 101.

С диссертацией можно проблем механики РАН.

Автореферат разослан

ознакомиться в библиотеке Института

" 1998г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

К.ф.-М.н. , ¿Зслг^

Е.Я.Сысоева

Актуальность темы. Уже более четырех десятилетий гидравлический разрыв пласта является объектом теоретического изучения, направленного на прогнозирование, оценку результатов и управление процессом. Устойчивый интерес исследователей к проблеме гидроразрыва связан с постоянным развитием и усложнением технологии, что продиктовано необходимостью поиска оптимальных режимов проведения этого необычайно сложного процесса. Ошибки при определении определяющих факторов влияющих па гидравлический разрыв пласта приводят к выходу из эксплуатации дорогостоящих скважин. Напротив, эффективно проведенный гидроразрыпа позволяет значительно увеличить производительность скважин. Поэтому современный гидравлический разрыв пласта является типичным примером сложной наукоемкой технологии, которая базируется на целом комплексе предварительных исследований, включающих как промысловые исследования (микрогидроразрыв, минигидроразрыв, гидродинамические исследования скважины), так и расчетно-теоретические исследования (прогнозирование ориентации трещины, моделирование распространения трещины).

Именно главным образом благодаря развитию теории и методов моделирования удалось постепенно перейти от технологий гидроразрыва локального воздействия на пласт (создание относительно небольших трещин) к технологиям массированного гидравлический разрыв пласта (создание глубокопроникающих в пласт трещин, влияющих на весь процесс разработки). Наряду с этим, развиваются и новые технологии проведения гидроразрыва, в том числе взрывная и ядерная технологии, получившие название импульсного гидравлического разрыва пласта.

Вряд ли возможно сформулировать единую математическую теорию гидравлический разрыв пласта. Дело в том, что с точки зрения механики гидроразрыв представляет собой сопряженную задачу управляемого развития трещины в горной породе под действием нагнетаемой в нее жидкости. Таким образом, это сопряженная задача механики деформируемого твердого тела, теории разрушения, гидродинамики течения в трещине и теории фильтрации. Соответствующие явления должны рассматриваться совместно с учетом их взаимовлияния и многих природных и технологических факторов.

Многофакторность проблемы гидравлический разрыв пласта,

сложность соответствующих математических моделей не позволяют исследовать ее полностью не только аналитическими методами, по даже и с помощью численного моделирования. Поэтому принципиально важно исследовать детально механизмы отдельных ключевых составляющих процесса.

Реально современная теория гидроразрыва представляет собой набор моделей, каждая из которых содержит ограниченную совакупность определягцих параметров и пригодна в тех или иных конкретных ситуациях. Формально они находятся на стыке нескольких научных дисциплин: гидромеханики, газовой динамики, теории упругости и разрушения материалов, теории фильтрации, реологии жидкостей и горных пород,

Данная работа направлена прежде всего на расширение этого теоретического фундамента моделирования гидравлический разрыв пласта. Она концентрируется на сопряженных задачах, учитывающих взаимное влияние течений флюида в трещине и пласте и поля деформаций пласта.

Учет взаиного влияния этих нолей позволяет, в частности, корректным образом описать и исследовать утечки жидкости разрыва из трещины в проницаемый пласт вместо использования модельных представлений. Это важно, поскольку именно распределение утечек жидкости разрыва из трещины в пласт является одним из ключевых параметров, используемых при проектировании гидравлического разрыва проницаемого пласта.

Основные задачи и цели исследования :

- Постановка и исследование задач импульсного гидравлического разрыва пласта, описывающих распространение трещин, расклиниваемых высокоскоростными потоками сжимаемого газа

- Развитие методов решения сопряжеппых задач гидравлического разрыва пласта и исследование специфических особенностей решений.

- Обобщение теории гидравлического разрыва пласта на по-роупругие пласты, в которых существенно влияние изменений порового давления на деформации пласта.

- Учет влияния анизотропии упругих характеристик пороуп-ругого пласта, на гидравлический разрыв;

- Построение точных опорных решений сопряженных задач распространения трещин гидроразрыва в рамках двумерных и

псевдо-трехмерных моделей, учитывающих эффекты проницаемости пласта, реологии жидкости разрыва и нелинейность силы сопротивления движению жидкости в трещине.

Научная новизна :

Поставлен я рассмотрен комплекс задач, связанных с импульсным гидравлическим разрывом пласта. Показано, что существуют режимы течения газа в трещинах, при которых имеются экстремумы у температуры газа, обусловленные диссипацией кинетической энергии газа. Найдено, что силы сопротивления, приводящие к торможению газа в трещинах, при высокоскоростных потоках могут приводить к образованию ударных волн торможения.

Для импульсного гидравлического разрыва , в силу скоротечности процесса, характерно образование системы радиальных трещин нормального отрыва. Предложен метод решения задачи распрострапепиятакой системы звездообразных трещин гндро-разрыва. Разработанный подход позволяет учесть также влияние сил трения в трещине па поле деформаций в окрестности трещины гидроразрыва.

Получены точные опорные решения сопряженных задач гидроразрыва для широкого круга моделей, в том числе; проведена классификация автомодельных режимов разрыва пласта в рамках модели Псркпнса-Керна; найдены новые инвариантные режимы распространения трещины гидроразрыва в проницаемых средах; впервые получены автомодельные решения импульсного гидравлического разрыва пласта и автомодельное решение гидроразрыва в рамках псевдо-трехмерной модели.

Решена проблема замыкания в задаче развития трещины в проницаемой среде. Построена асимптотика решения сопряженной задачи о распространении трещины гидроразрыва в проницаемой среде под действием расклинивающего потока ньютоновской и неньютоновской жидкостями разрыва. В результате исследований найдено нелокальное граничное условие, которое должно выполняться в вершине трещины в проницаемой среде.

Рассмотрена возможность понижения размерности задачи о распространении трещины гидроразрыва в упругом пласте. Методами теории возмущений для псевдо-трехмерных моделей массированного гидроразрыва (сильно вытянутых трещин) по-

лучены поправки к нулевому приближению (модели трещины Перкинса-Керна), которые позволяют учесть нелокальные аффекты, связанные с конечностью длины трещины и неоднородностью распределений давления и закрепителя по ее длине.

Получено обобщение теории гидравлического разрыва пласта па изотропные и трансвсрсалыго-изотроппые пороупругпе среды как для плоских, так и осесимметричных трещин. Развиты методы решения смешанных краевых задач для обобщенных аналитических функций, к которым сводятся пространственные задачи о дискообразных трещинах в пороупругих телах.

Методы исследования. При исследовании сопряженных задач распространения гидроразрыва в упругих и пороупругих средах использовались методы механики сплошных сред, в частности теории упругости, гидродинамики, а также теории фильтрации. Для решения смешанных краевых задач, к которым сводятся задачи определения нолей деформаций в проницаемых средах и раскрытия трещин, использовалась теория краевых задач для аналитических и обобщенных аналитических функций. При необходимости привлекались стандартные и вновь развитые численные методы.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением строгих методов механики сплошных сред, теории инвариантных и функционально-инвариантных решений, теории смешанных краевых задач для аналитических и обобщенных аналитических функций, а также контролем численных расчетов сопоставлением со строгими решениями.

Научная и практическая ценность работы. Показано, что строгие методы механики сплошной среды позволяют существенно расширить класс задач гидравлического разрыва пласта, поддающихся строгому анализу.

Расширена методологическая основа теории гидравлического разрыва пласта. Впервые поставлены основные задачи импульсного гидравлического разрыва пласта сжимаемым газом и развиты методы их решений. Проведено обобщение классической теории гидравлического разрыва упругого пласта на пороупругис среды. Показано, что предложенный подход позволяет учесть и

влияние анизотропии упругих характеристик пласта. Аналитически исследована возможность применения псевдо-трехмерных моделей гидравлического разрыва пласта.

Теоретический интерес представляют найденные в работе новые точные решения для широкого класса сопряженных моделей гидроразрыва, учитывающих проницаемость пласта, сжимаемость флюида, упругие свойства пласта, геометрию образующееся трещины (вертикальная, горизонтальная осесимметричная трещина), реологию жидкости разрыва и т.д.. Число таких решений невелико и они относятся к технически трудным.

Получен ряд новых эффектов и исследованы общие специф-фические закономерности течения жидкости разрыва в трещине и пласте, характерные для сопряженных задач гидравлического разрыва пласта.

Найденные в работе опорные решения могут быть положены не только в основу системы тестирования численных методов расчета сложных моделей гидравлического разрыва пласта, но и позволяют разрабатывать методики решения обратных задач, т.е. восстановливать характеристики пласта, которые не поддаются прямым измерениям. Примеры решения некоторых из этих обратных задач приводятся в работе.

Публикации: Основные результаты диссертации изложены в 31 печатных работах.

Апробация работы: Результаты исследований докладывались па всесоюзных семинарах «Современные проблемы математике и методы фильтрации» в Москве 1984г., Ш-ем семинаре «Современные проблемы теории фильтрации» 1989г., всесоюзной И-ой школе- семинаре «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород» в Фрунзе 1985г., Х-ой школе -семинаре «Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математике и математической физике» Риге 1985г., У11-ом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве 1991г., семинарах Института Механики при МГУ в 1988г., Института проблем механики РАН в 1996г., Государственной академии нефти и газа им. И.М.Губкина в 1997г., Институт Проблем нефти и газа РАН в 1995,1996,1997г., МИФИ в 1996, 1997г..

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения п списка литературы изнаимепований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации определяются цели и задачи исследования, формулируются основные результаты работы и кратко излагается ее содержание.

Первая глава посвящена рассмотрению течения газа но недеформируемым трещинам в рамках одномерных моделей. В качестве аппроксимации силы трения / между потоком газа (жидкости) и стенками трещины использован двучленных! закон сопротивления описывающий как ламинарные и турбулентные режимы течення, так и переходные режимы §1

/ — ай+ Ьр\й\и

( й — скорость газа; а, Ъ — функции раскрытия трещины п числа Рейиольдса; р— плотность газа.)

Цель главы состоит в том, чтобы на основе достаточно широкого класса построенных в этой главе инвариантных решений для двучленного закона сопротивления исследовать влияние на поток газа таких основных факторов как число Рейнольдса потока, теплообмен между газом и стенками трещины и инерционных слагаемых в уравнении движения, которыми, как правило, пренебрегают.

В §2 рассматриваются течения газа с относительно небольшими скоростями, когда ннерциопными слагаемыми можно пренебречь. Здесь же строятся инвариантные решения при двучленном законе сопротивления для политропного газа и адиабатичиских течений газа, в том числе и предельные автомодельные решения.

Анализ найденных инвариантных решений позволил сформулировать следующие утверждения.

При использовании двучленного закона сопротивления имеет место конечность скорости распространения фронта газа, как и при описании течения газа (жидкости) в канале линейным законом сопротивления. Для ламинарных течений (линейный закон сопротивления) инвариантные решения были получены и исследованы Г.И.Баренблаттом 1952, 1953г.. В этих работах, в част-

ности, был сделан вывод о конечности скорости распространения возмущений.

В другом предельном случае (больших скоростей течения) двучленный закон сопротивления переходит в квадратичный закон (турбулентный режим течения). Инвариантные решения для такого закона течения были впервые найдены А.Г.Бондаренко, Н.А.Кудряпювым, В.М.Колобашкпным 1980. Ими было показано, что скорость распространения возмущений при таком законе сопротивления бесконечна.

Не существует предельного перехода по числу Рейнольдса от двучленного закона сопротивления к квадратичному, т.к. сколько бы ни было мало линехшое слагаемое скорость распространения фронта газа конечна, а при квадратичном законе - бесконечна. Однако различия в решениях при использовании обоих этих законов имеют место только вблизи фронта, поэтому при больших числах Рейнольдса линейным слагаемым в двучленном законе сопротивления можно пренебречь и использовать квадратичный закон.

В § 2 в рамках поршневого приближения найдены инвариантные решения задачи о вытеснении одного газа другим при квадратичном законе сопротивления. Для двух жидкостей аналогичная задача была рассмотрена Л.М.Гаджиевым, И.Р.Мурадовым, С.У.Агаевым 1983. Здесь, в частности, было показано, что при больших числах Рейнольдса для поршневого вытеснения одного газа другим максимальная скорость течения достигается на границе раздела между газами. Чем больше плотность вытесняемого газа, тем с большей скоростью необходимо закачивать газ, чтобы вывести границу раздела между газами на то же расстояние.

При импульсном гидравлическом разрыве, когда скорости движеиия газа (жидкости) в трещинах велики, становится существенным влияние на поток конвективных членов в уравнении движения. Такие высокоскоростные течения рассматриваются в §3. Построенные в этом параграфе инвариантные решения позволили сформулировать следующие утверждения.

Наличие силы сопротивления при движении газа приводит к торможению газа. При этом если скорость втекания больше, чем скорость звука в газе, то торможение приобретает скачкообразный характер и образуется ударная волна торможения газа. Образование ударных волн торможения может происходить как в

начальный момент времени, так и спустя некоторое время после начала движения. Фронт ударной волны торможения и в зависимости от граничных условий он может сносится потоком или вытеснятся к границе втекания газа. Ударные волны торможения при изотермическом движении газа с силами сопротивления имеют место при различных видах закона сопротивления и типах симметрии задачи.

Влияние теплообмена между газом и средой при течении газа по недеформируемым трещинам (каналам), рассматривается в §4. Здесь же строятся инвариантные решения как при линейном законе сопротивления, так и при квадратичном, с учетом и без учета инерционных слагаемых. Точные решения позволили получить некоторые утверждения о влиянии теплообмена на такие течения.

Существуют режимы течения газа по недеформируемым трещинам, при которых имеются экстремумы у температуры газа, обусловленные диссипацией кинетической движения газа. Эти режимы существуют при различных значениях коэффициентов теплопередачи, зависимостях силы сопротивления от скорости, граничных условиях и зависят прежде всего от скорости движения газа. Учет инерционных слагаемых качественно не изменяет характера немонотонности профиля температуры потока газа.

Заметим, что система уравнений, описывающая течение газа в ледеформируемых трещинах, полностью совпадает с системой уравнений, описывающей течение слабопроводящего газа в поперечных магнитных полях. Явление сильного возрастания температуры проводящего газа при его движении в магнитных полях наблюдалось экспериментально и было получено в численных экспериментах и получило название Т-слоя (Зайцев С.Г., Фаворский И.К. 1970; Васильев Р.В., Ерофеев A.B., Зуев A.A. 1987). В этих же работах было установлено и возникновение ударных волн торможения. Можно полагать, что математически обнаруженный эффект максимума имеет туже природу.

Для расчета произвольных (не описываемых инвариантными решениями) высокоскоростных потоков газа в канале с силами сопротивления в §5 предложен численный метод, основанный па методе коррекции потоков. Построенный алгоритм является алгоритмом сквозного счета и позволяет получить все не выделенные заранее поверхности разрыва. Он позволяет добиться вы-

сокой точности даже при сильных разрывах в потоке газа. По сравнению с традиционными разностными схемами существенно уменьшаются дисперсионные ошибки, ошибки в амплитуде и осцилляции вблизи разрывов решений.

Во второй главе рассматриваются задачи о распространении трещин гидроразрыва в непроницаемых пластах. При этом, разрыв пласта несжимаемой жидкостью рассматривается в рамках модели трещины Перкинса-Керна, а разрыв пласта газом -в рамках модели трещины Желтова-Христиановича. Отмстим, что эти модели используются для описания гидравлического разрыва пласта вертикальными трещинами прямоугольной формы. В обоих моделях, для того чтобы остаться в рамках двухмерных постановок задач, несмотря на трехмерную геометрию трещины, используется приближенный принцип независимости между собой соответстующих сечений трещины. Так если в модели Перкинса-Керна в каждом вертикальном сечении трещины ее раскрытие дается формулой Снеддона (решение плоской двумерной задачи упругости), то в модели Желтова-Христиановича формула Снеддона используется для определения раскрытия тре~ щины в горизонтальных сечениях.

В §1 рассматриваются задачи о гидравлической! разрыве пласта в рамках модели Перкинса-Керна, когда в результате разрыва образуется вертикальная трещина постоянной высоты, сильно вытянутая в горизонтальном направлении. Движение жидкости разрыва в трещине описывается степенным законом сопротивления, причем нелинейность обусловлена либо реологией жидкости разрыва, либо турбулентным характером течения в трещине. Дано обобщение модели вертикальной трещины гидроразрыва на случай степенного закона сопротивления при движении жидкости разрыва в трещине. При этом можно моделировать разрыв ньютоновской жидкостью, неныотоновской жидкостью со степенным реологическим соотношением и разрыв при турбулентном движении ньютоновской жидкости в трещине в соответствии с квадратичным законом сопротивления. Показано, что рассматриваемая задача сводится к решению уравнения

Это уравнение относится к типу нелинейных уравнений диффу-

(1)

зии (теплопроводности) и при m = 0, п — 1 совпадает с уравнением Лейбеизона, описывающим одномерные нестационарные фильтрационные течения газа в пористой среде. Инвариантные точные решения последнего, отвечающие степенному и экспоненциальному закону изменениям со временем давления и расхода на границе полубесконечного пласта, детально изучены. Их характерной особенностью является конечная скорость распространения возмущений от границы, пласта. При этом моделируются процессы закачки в пласт газа, перераспределения давления в пласте при отсутствии потока через его границу и отборе газа из пласта. Указанные свойства решений, как будет показано ниже, сохраняются и для уравнения (1), которое можно интерпретировать как уравнение фильтрации несжимаемой жидкости в фиктивной сжимаемой пористой срсде, сжимаемость которой обусловлена раскрытием и смыканием трещины гидроразрыва.

Для уравнения (1) построены инвариантные решения, которые соответствуют задаче о гидравлическом разрыве пласта без учета фильтрационных утечек. Установлено, что существует непрерывный спектр точных инвариантных решений, отвечающих степенным и экспоненциальным изменениям со временем давления нагнетания и расхода закачиваемой жидкости

Q ~ Q(X)lPimi-'l+1)-W"

1(1 + акт)У\ Ь[Т) 1 ехр(ат), '

n + l-(3(m + l) „ п + 1

к =-—Ш. ^ pQ = l/(m + n + l)

п то -f 1

Дается классификация режимов гидроразрыва, допускающих инвариантные решения. При этом описываются режимы гидроразрыва при постоянном давлении, постоянном расходе, закрытии трещины после стадии закачки (объем жидкости в трещине фиксирован и распространение трещины происходит только за счет перераспределения жидкости в ней), изливе жидкости из трещины и другие. Всего имеется девять режимов гидроразрыва

\

Режимы гидравлического разрыва пласта

N Режимы (¿0 ч «0 Р/к А Х/к

I Р<-1 — — +

II III р = ~ 1 -1</?<0 0 + — 0 п т+п -\ 2 _ «'±"±2 п -1

IV р = 0 + 0 - 0 -1 /п -(п+1)

V 0<Р<Рд + + -

VI Р = Ря + + 0 т + п + 2 0 0

VII Рс}<Р< Ре 4- + +

VIII Р= Ре + + + оо Щ±11+2 " т+Г оо

IX Р> Ре + + + 0 0

р < — 1 - излив 0 = —1 - закрытая скважина 0 ~ 0 - постоянное давление закачки Р = Рд - постоянный расход

0 = 0е - экспоненциальное распространение трещины (предельное автомодельное решение) 0 > Д. - режим с обострением

В §2 получены аналитические представления через элементарные функции некоторых автомодельных решений задачи о распространении вертикальной трещины Перкинса-Керна постоянной высоты в непроницаемом пласте, постановка которой при ведена в предыдущем параграфе. Среди них - точные решения для режима закрытой скважины после стадии закачки и для одного из режимов работы трещины на излив

1. р = -1, 1_х«+1)1/(т+1)

2. п = 1, /? = & = -2 ЩХ) ~ X1'4 (1 - Хг°/4)ф

(1 + ат)1!4

Показано, что существует предельное максимальное значение скорости отбора жидкости из трещины, при котором устье трещины закрывается /?* - при Р < Р* не существует решения.

Найденные в § 1-2 автомодельные решения дают возможность решать обратную задачу определения длины трещины и параметров пласта по управляемым параметрам, контролируемым в устье скважины: давление нагнетания ро(0> Расх°Д 15 объем закачанной жидкости, который равен объему трещины.

В §3 предложен способ восстановления параметров пласта: высоты вертикальной трещины 2Я, бокового горного давления о- и длины трещины как функции времени по измерениям давления нагнетания, расхода и объема закачанной жидкости разрыва. Эти параметры не поддаются прямым измерениям, но знание их необходимо для проведения массированного гидравлического разрыва пласта и дальнейшей эксплуатации скважины. Широкий спектр найденных автомодельных решений и предложенная методика дают возможность, используя различные режимы закачки жидкости разрыва в трещину, получить надежные данные об этих параметрах пласта.

В §4 приводится постановка задач о развитии магистральных трещин в непроницаемых породах под действием расклинивающих потоков газа и анализируются физические факторы влияющие на распространение трещин. Рассмотрение проводится в рамках квазистационарной модели трещины Желтова-Христиановича. Строятся автомодельные решения, получены асимптотические решения автомодельных задач и исследован выход решений неавтомодельных задач на автомодельные асимптотики.

Для произвольных граничных и начальных условий предложен метод численного решения задач о распространении отдельных трещин под действием расклинивающего потока газа. Этот алгоритм основан на использовании системы координат, "вмороженной " в трещину и методе расщепления по физическим процессам. Подобный метод исследования дифференциальных уравнений в частных производных применим и при решении других задач, имеющих автомодельные асимптотики.

В §5 проводится исследование влияния теплообмена на течение газа в деформируемой трещине, которая может распространяться в среде.

Показано, что существуют режимы расклинивания трещины потоком газа, при которых температура газа растет по потоку. Однако, в отличие от течения газа в канале постоянного раскрытия, на поздних временах пик температуры на фронте движения газа размывается и исчезает. С другой стороны, установлено, что роль теплообмена в формировании траектории трещины незначительна, что дает возможность использовать упрощенные модели для описания теплообмена между газом и средой.

В §6 рассмотрено расклинивание растущей и деформирующейся отдельной магистральной трещины высокоскоростным потоком газа. Исследование таких течений проведено как на основании построенных инвариантных решений, так и численных решений неавтомодельных задач.

Показано, что при сверхзвуковом втекании газа в трещину гидроразрыва возможно образование скачка давления газа и его скорости (волна торможения), которая движется по газу в направлении противоположном его потоку. Увеличение силы сопротивления приводит к уменьшению скорости ударной волны и увеличению скачка давления газа.

Для новых технологий гидравлического разрыва пласта - импульсного гидроразрыва характерны не только высокие скорости закачки газа в трещины, но и высокие скорости распространения самих трещин, часто сравнимые со скоростями упругих волн в среде. При этом раскрытие трещин должно определяться из решения системы уравнений теории динамической упругости.

В третьей главе построена теория импульсного гидроразрыва пласта расклинивающим потоком газа с образованием плоской трещины.

Технология импульсного гиравлического разрыва пласта заключается в создании в пласте протяженных трещин гидроразрыва расклиниваемых газом, образующемся, например, при взрыве цилиндрического заряда или нагнетаемом в скважину специальными пороховыми генераторами давления.

Основная трудность, возникающая при математическом моделировании импульснщго гидроразрыва, заключается в создапии эффективных методов решения связанной системы уравнений газовой динамики и динамической теории упругости:

1. Течение флюида в трещине

~(pw) + div(pwu) = О

/э-^г? + Vp = —F, F = ай+ Ьр\и\й

d ( и2\ , . „ д

шр— le + — = —div(wpu) — 2 wqr — p-^w

Р — f{piT)- е = ф(р,Т)

2. Динамические уравнения деформации упругого тела (а = 1,2)

Wn = Ua + Va, Ql«a = 0, 02va -

д д д д ОХ 2 ¿/i'l С/Ж1 £7Ж2

□ = + il _ 2 ^ с2а dt2

aafз = (i

д д дар(к2 ~ 2)divw -f g^U'a +

Отметим, что при взрывных нагрузках, в течение длительного промежутка времени распространение трещины происходит с постоянной скоростью, которая затем медленно убывает. В данной главе будет рассмотрена только первая стадия (v сошг). В этом случае одним из эффективных методов их решения является метод функционально-инвариантных решений. В §1 построены инвариантные решения задач о импульсном гидроразрыве пласта при постоянном давлении закачки жидкости в трещину.

Показано, что при сверхзвуковом режиме втекания газа в трещину возможно образование ударной волны торможения. При этом если скорость распространения трещины больше изотермической скорости звука в газе, то существует минимальная скорость втекания газа в трещину, при которой ударная волна торможения вырождается и профили давления и скорости газа в трещине становятся непрерывными. Автомодельных течений газа при при меньших скоростях не существует. Если скорость роста трещины меньше изотермической скорости звука в газе, то особенности образования ударной волны аналогичны квазистационарному случаю распространения трещины, рассмотренному в предыдущей главе. Найден коэффициент интенсивности напряжений данной динамической задачи.

Экспериментальные и теоретические исследования воздействия импульсных нагрузок на цилиндрические скважины в упругой среде показали, что от скважины по радиусам может распространяться под действием расклинивающего потока газа, несколько симметричных трещин нормального разрыва - звездообразная трещина. Количество таких трещин в звезде определяется амплитудой, длительностью импульсной нагрузки и физико-

0

механическими свойствами среды. Впервые задача о звездообразной трещине в условиях антиплоской деформации была рассмотрена Шером E.II., Мартышоком П,Л. 1976.

В §3 предложено обобщение метода функционально- инвариантных решений Соболева-Смирнова на угловую область с трещинами нормального отрыва и найдено решение автомодельной задачи о развитии звездообразной трещины в условиях плоской деформации для широкого спектра нагрузок и произвольного числа трещин.

В частном случае мгновенного выделения конечной массы газа в скважине, приведено аналитическое решение и получена зависимость коэффициента интенсивности папряжепнй от числа трещин в звезде.

В §4 разработан подход, обобщающий метод решения динамических задач распространения трещин нормального разрыва в упругих средах и позволяющий учесть касательные напряжения на стенках трещин. Для импульсного гидроразрыва пласта, характеризующегося большими давлениями разрыва и скоростями течения газа, влияние этих касательных напряжений на деформацию среды может стать существенным.

В §5 построены точные автомодельные решения динамической задачи о развитии трещины нормального разрыва при расклинивании ее потоком неизотермического газа, которые затем использованы для анализа характерных особенностей таких течений: образование ударных волн торможения в потоке, роста температуры по потоку и влияние па них основных физических параметров.

Реальные пласты, в которых проводится гидравлический разрыв, как правило, проницаемы. Поэтому, если характерное время проведения гидроразрыва сравнимо с характерным временем фильтрации жидкости разрыва в пласте, то влиянием утечек жидкости в пласт пренебречь нельзя. Особенно важную роль утечки играют при проведении массированного гидравлического разрыва пласта, т.е. при формировании глубоко проникающих в пласт трещин.

В четвертой главе рассматриваются задачи о распространении глубоко проникающих трещин в проницаемых пластах.

В §1 рассматривается распространение вертикальной трещины гидроразрыва постоянной высоты Н с раскрытием ги под действием закачиваемой в нее вязкой жидкости в рамках модели Перкинса-Керна. Вязкость жидкости разрыва считается отличной от вязкости пластовой жидкости /iq (у/ - граница раздела между вытесняющей и вытесняемой жидкостями)

~ < w > < wv >= -2hgL, < / >=.- JH{i dzf(z)

w2 о

w(x, z, t) = 2(1 ~V - er]

.ь

k д д , u---W~Plh = W<\y\<yf

цfду dy

Движение пластовой жидкости описывается уравнениями упругого режима фильтрации в предположении о квазистациопар-ности течения жидкости разрыва в трещине и в пласте и локально одномерном характере фильтрационных утечек

к „ д ( д2 дг ^ М<ОД> I у l> z//; Ы>о

Граничные условия задавались исходя из непрерывности давления и потоков на стенках трещины и границе зоны проникновения жидкости разрыва в пласт

д 1 —yf{x,t) = —u[x,y,t)

p{x,t) = pn{x,w,t), qL(x,t) = u(x,w,t)

к

Pil{x,Vf,t) = p;(x,ys,t), u(x,yf,t) =--Pl\y=yf

¡Ms

Найдено точное автомодельное решение задачи, соответствующее режиму нагнетания при постоянном давлении:

р/(®,у,о) =р°, г(о) = 1о,

У; (а:, 0 )=2//(аз), p(0,t)=Po 18

Показано, что в тех случаях, когда основной вклад в перераспределение потока жидкости в трещине вносят фильтрационные утечки, а не изменение объема трещины при изменении в ней давления, создавать трещину гидроразрыва технологически и экономически выгоднее жидкостью небольшой вязкости, т.е. количество жидкости разрыва, необходимое для создания трещины заданной длины уменьшается с уменьшением се вязкости. Этот эффект характерен в основном при создании вертикальных трещин и обусловлен тем, что давление на забое скважины ограничено боковым горным давлением в кровле и подошве пласта, т.е. ограничен градиет давления, под действием которого происходит расклинивание трещины. Поэтому с увеличением вязкости жидкости разрыва уменьшается скорость ее течения в трещине, а, следовательно, и скорость распространения трещины. Это, в свою очередь, приводит к увеличению времени необходимого для достижения трещиной заданной длины и увеличению времени фильтратрацни жидкости разрыва в пласт, т.е. общего объема утечек. Высоковязкие жидкости следует использовать лишь па стадии закрепления трещин.

В §2 рассматривается распространение трещины гидроразрыва в рамках модели Желтова-Христиановича.

Построены инвариантные решения задач о распространении как плоской, так и осесимметричной трещин расклиниваемых турбулентным потоком жидкости разрыва в проницаемом пласте.

Проанализированы асимптотики найденных автомодельных решений вблизи скважины и вершины трещины. Исследована возможность с помощью полученных решений по параметрам на скважине: давлении закачки, расхода и объема закачанной в трещину жидкости разрыва (р, д, V) определять длину трещины I, объем трещины Ус и объем жидкости V/ отфильтровавпюйся в пласт при создании соответствующих режимов закачки жидкости в пласт.

Исследование распространения трещин гидроразрыва в проницаемой среде под дехгетвием расклинивающего потока жидкости разрыва или газа приводит к связанным задачам со свободной границей (фронт фильтрующейся в породе жидкости разрыва).

В общем случае решение такого рода задач проводится прямым численным моделированием и сопряжено с большими вы-

числительными трудностями, связанными, в частности, с сингулярным характером решения вблизи вершины трещины. Поэтому при построении численных моделей таких задач используют различные упрощающие предположения для описания потока жидкости разрыва вблизи вершины трещины. В связи с этим в §3 проведен асимптотический анализ решения вблизи вершины трещины. Получено, что асимптотика давления жидкости разрыва в вершине трещины имеет вид (внутреннее решение)

хлде 1>о ~ характерная скорость распространения трещины; «о -характерная скорость движения газа в трещине; А — константа, определяемая из решения внешней задачи; Ь ~ длина трещины в момент времени £.

Эта асимптотика корректна только па стадии формирования трещины гидроразрыва, когда скорость распространения трещины отлична от нуля. Отметим, что давление жидкости разрыва вершине трещины меньше чем начальное давление поровой жидкости на бесконечности. Причем давление жидкости падает по линейному закону вдоль трещины в некоторой окрестности ее вершины [Ь — X) < е. Вне рассматриваемой окрестности давление в трещине определяется гидродинамическим переносом жидкости вдоль трещины. Величина падения давления в вершине трещины определяется параметром аА, который связан со скоростью распространения трещины. При больших скоростях распространения трещины

Повидимому, возможны режимы, при которых давление в вершине трещины равно нулю или образуется область в окрестности вершины, в которой давление нулевое.

В пятой главе исследуются процессы распространения вертикальных трехмерных трещин гидроразрыва под действием закачиваемой в них жидкости и закрепления трещин путем

р(Х,т) = р° {1 - 3 аА [1 + 4ы(Цт) - X)]} + о(Цт) - X))-,

с*0 = —, ш ОС 1,

■"О

нагнетания в них суспензии, содержащей закрепитель во взвешенном состоянии , когда раскрытие трещины и> определяется из интегрального уравнения

wfaQdM

-2irß[p(x,z) -a(x,z)],

hl fa'Stf + Xz-Q

2

А -

xz дх2 dz2

+

Цель исследования - построение псевдо-трсхмерной модели вертикальной трещины гидроразрыва переменной высоты ir большой протяженности в горизонтальном направлении при неоднородном распределении по глубине массива бокового горного давления с улетом эффектов расклинивания трещины при ее закреплении.

Общая характеристика основных стадий гидравлического разрыва неоднородно проницаемого пласта, включая закрепление трещины, рассматривается в §1.

Профиль раскрытия сильно вытянутых трещин в неоднородном пласте получен в §2 аналитическими методами двумерной теории упругости. Асимптотическим методом (Гольдштейп Р.В., Спектор A.A. 1978) получены поправки к лсевдо-трехмерной модели трещины Перкинса-Ксрна, учитывающие нелокальные эффекты, связанные с конечностью длины трещины и неоднородностью распределений давления и закрепителя по ее длине. В качестве нулевого приближения использовано аналитическое решение плоской задачи о частично закрепленной трещине гидроразрыва при неоднородном распределении по высоте бокового горного давления в массиве.

В §3 рассматривается, как видоизменяется схема расчета раскрытия трещины при образовании областей налегания ее поверхностей. Найдено аналитическое решение при произвольном распределении сжимающих напряжений в массиве и произвольной форме закладки закрепителя в трещине.

Чнсленпое исследование формы гидравлической трещины в приближении мгновенного осаждения закрепителя проведено в §4. Распределение бокового горного давления в массиве аппроксимировалось кусочно-постоянной зависимостью. В рамках схемы "мгновенного" закрепления трещины, проведепо исследова-

ние формы и гидравлической проводимости закрепленной трещины после снижения давления в ней. Проанализированы возможные стратегии гидроразрыва и закрепления трещин.

В §4 для кусочно-однородного профиля бокового горного давления и при постоянном давлении закачки вязкой степенной жидкости в рамках Р-ЗБ (псевдо-трехмерной) трещипи

ип = -Вп-шт~~, ¿<ш>+|-<т>= О ох д1 ох

£\р(х, - а(К)](1 - С2Г1УЧ - Кг/Щ^) « О

п(р(х,{) - <70

h(x, t) = ho/ cos <p, ip

2A<7

2w(x,z,t) = 4(1 Vh(x,t)Ao-«(C,Co(g,^))

7ГСт

K(c'io) = (l" ITa "CoI° IT|A

с u - Co,

где С = £)> Co = ho/h(x, i).

найдено автомодельное решение задачи о распространении трещины гидроразрыва

Р(х = о, t) = const, X

L( г) П + 1 W^1)

Предложен алгоритм решения обратной задачи восстановления характеристик пласта по параметрам, измеряемым в устье скважины. Так как любая достаточно гладкая функция может быть приближена ступенчатой функцией, то при постоянном давлении закачки данный метод позволяет получать приближенные автомодельные решения для пластов с произвольным неоднородным профилем бокового горного давления, а следовательно решать обратную задачу восстановления характеристик пласта.

Одними из основных результатов этой главы является разработанная методика определения высоты и раскрытия трещины

в каждом ее вертикальном поперечном сечении, основанная на точном решении соответствующей двумерной смешанной задачи теории упругости и учитывающая гистерезис процессов разрыва и смыкания трещины, а также присутствие в трещине закрепителя; разработан метод расчета двумерных процессов переноса и осаждения закрепителя в распространяющейся трещине; проведены пробные расчеты взаимосвязанных процессов распространения и закрепления трехцип гидроразрыва.

В шестой главе строится теория гидравлического разрыва изотропного пороунругого пласта плоскими и дискообразными трещинами в насыщенных жидкостью изотропных пороупругих средах. Внимание исследователей на важность учета пороупругих эффектов в теории гидроразрыва было обращено в работах Т.J.Boon, E.Detourny 1990, 1993. Предполагается, что трещины расклиниваются потоком вязкой фильтрующейся в пласт жидкостью разрыва. Напряженное состояние и деформации пороуп-ругой среды описываются уравнениями Бпо 1941(§1).

Уравнения деформации пороупругого насыщенного жидкостью тела можно разбить на две группы, одна из которых описывает упругую деформацию среды, а другая - движение в ней жидкости. Методами теории аналитических и обобщенных аналитических функций получено комплексное представление плоских (§2) и осеспмметричных (§3) смешанных граничных задач для пороупругой среды. Развиты методы решения смешанных краевых задач для обобщенных аналитических функций, к которым сводятся задачи о пространственных осеспмметричных дискообразных трещинах гидроразрыва в изотропных пороупругих телах. Используя данпый формализм, проинтегрированы уравнения деформации среды, и получено обобщение классической теории гидроразрыва для раскрытия трещин.

В частности, в данной главе показано, что гидроразрыв пористого насыщенного жидкостью пласта описывается системой нелинейных интегродифференциальных уравнений, включающих уравнения движения жидкости в трещине, уравнение пье-зопроводности с источником

- ков - 4(1 + 1/)в

с ~ ' и ~ 3 -4Т]В

и функциональную связь раскрытия трещины 1У с давлением жидкости разрыва в трещине р и поровым давлением в среде

ттг, ^ 1 I I1 Г Ъ{*)т1~п8п ^йв „Л

^ = МЫ (/. /о Ф^ЧТ^ Л Ч ' (3)

(гг = 0 - плоская трещина, п=1 - осесиммегпричпая трещина, с -коэффициент консолидации.

Поровое давление в среде входит в выражения (2) и (3) через функционалы Л и 7\.

Критерий разрушения Г.И.Бареиблатта 1901 для пороупру-гой среды при этом принимает вид

/о' Е(М)«"('2 - в2)"1/2Ж - КТГ/\/21

При г) = 0 выражения (1) и (2) дают решение классической задачи о квазистационарной трещине нормального отрыва в упругой среде и формула (2) переходит в известную формулу Сыеддона.

Таким образом, получено обобщение теории распространения трещин гидроразрыва на изотропные пороупругис среды как для плоской, так и осевой симметрии.

В §4 для стационарной "идеальной" дискообразной трещины, давление вдоль которой постоянно, найдено аналитическое решение.

Реальные среды, в которых проводится гидроразрыв, как правило, являются анизотропными. Трансверсалыю-изотропное тело является одним из простейших типов анизотропных сред, который наиболее интересен в практике применения гидравлического разрыва пласта.

В седьмой главе дается обобщение теории гидравлического разрыва изотропного пороупругого тела, рассмотренной в предыдущей главе, на трансверсалыю-изотропное пороупругое тело насыщенное жидкостью для плоских и дискообразных трещин.

Предполагается, что трещины расклиниваются потоком вязкой фильтрующейся в пласт жидкостью разрыва. Напряженное

состояние и деформации трансверсально-изотропной пороупру-гой среды описываются также уравнениями Био 1955(§1).

Методы решения задач распространения трещин гидроразрыва в анизотропных пороупругих средах отличаются от подходов, используемых при решении этих же задач в изотропных средах. Поэтому в данной главе развиты методы решения задач распространения трещин гпдроразрыва как плоских -§2, так дискообразных - §3 в трансверсально-изотропных пороупругих средах. Показано, что пространственные задачи о распространении осесимметричных дискообразных трещинах гидроразрыва в трансверсально-изотропных средах сводятся к смешанным краевым задачам для обобщенных аналитических функций и получены их решения.

Предложенный подход позволяет проинтегрировать ту часть уравнений связанной теории трансверсально-изотропной пороуп-ругости, которая описывает деформации среды. При этом задача о гидроразрыве сводится к уравнению переноса норового давления и функционалу, связывающему раскрытие трещины 17 с. норовым давлением р

W(x, t) =

2{1-к<\Е1Е,)}{ц1 + 112) ( ri rr , w

пЕ'ццъ ~ 1Л Jo SP^Sy/J^Ts! + VV"j ' ^

2 tl a—1 Jx

S(xi,i) =p(xUt) - (Too -1]n(p(xi,t) — Poo),

(n = 0 - плоская трещина, n = 1 - осесимметричная трещина).

Уравнения переноса жидкости после несложных преобразований могут быть приведены к одному уравнению типа пьезопро-водности (диффузии) только относительно порового давления с нелокальным источником, связанным с изменением пористости среды при ее деформации.

Критерий разрушения Барепблатта для трансверсально -изотропной среды принимает вид (Kj - модуль сцепления)

f £(s,i)sn(l2 - s2)~1/2ds = К ¡Г/ \f%

Так как в входит параметр rj, то полученный критерий

разрушения отличается от этого же критерия для упругого тела.

В предельном случае т] — 0 формула (3) дает раскрытие трещины гидроразрыва в трапсвсрсальио-изотропном упругом теле. Если при этом /11 = ¡12 = 1, то (3) переходит в известную формулу Снеддона для изотропного упругого тела.

Второе слагаемое в выражении (3) дает нелокальный вклад в раскрытие трещины распределения норового давления жидкости в среде р. Вопрос о вычислении этого слагаемого также рассмотрен п §3 для осссимметричной задачи.

Для стационарной "идеальной" дискообразной трещины, давление вдоль которой постоянно, в §4 найдено аналитическое решение.

Основные результаты и выводы работы:

1.Для широкого круга моделей построены точные инвариантные (автомодельные) решения сопряженных задач массированного гидравлического разрыва проницаемого и непроницаемого пласта как жидкостью, так и газом .

2.Исследованы основные нелинейные эффекты характерные для течения жидкости разрыва и газа в трещинах гидроразрыва. Показано, что существуют режимы течения газа в трещинах, при которых имеются экстремумы у температуры газа, обусловленные диссипацией энергии газа. Эти режимы существуют при различных значениях коэффициентах теплопередачи, зависимостях силы сопротивления от скорости (линейной, квадратичной и двучленной), граничных условиях и зависят прежде всего от скорости течения газа. Также показано, что силы сопротивления, приводящие к торможению газа в трещинах, при высокоскоростных потоках могут приводить к образованию ударных волн торможения. Образование ударных волн может происходить как в начальный момент времени, так и спустя некоторое время после начала движения. Фронт ударной волны торможения всегда направлен против потока.

3.Проведена классификация режимов гидроразрыва ньютоновской и неныотоновской жидкостями разрыва, которые имеют инварнантпые решения. К ним относятся режимы гидроразрыва при постоянном давлении, постоянном расходе, закрытии трещины после стадии закачки, изливе жидкости из трещины и др..

4.Получены точные решения сопряженных задач импульсного ГРП газом, когда упругая среда описывается динамическими уравнениями теории упругости. Предложен метод решения

задач о развитии звездообразных трещин в условиях плоской деформации для широкого спектра нагрузок и произвольного числа симметричных трещин. В частном случае мгновенного выделения конечной массы газа в скважине, приведено аналитическое решение и получена зависимость коэффициента интенсивности напряжений от чина трещин в звезде.

5.Построена асимптотика рашения сопряженной задачи о распространении трещины гидроразрыва в проницаемой среде иод действием расклинивающего потока пеныотоновской жидкости разрыва как для линейного, так и турбулентного законов движения. В результате исследований найдено нелокальное граничное условие, которое должно выполняться в вершине трещины для корректного описания фильтрации жидкости разрыва в пласт.

6.Методами теории возмущений для псевдо-трехмерных моделей массированного гидроразрыва (сильно вытянутых трещин) получены поправки к нулевому приближению (модели трещины Перкинса-Керна), которые позволяют учесть нелокальные эффекты, связанные с конечностью длины трещины и неоднородностью распределений давления и закрепителя по ее длине.

7.Получены автомодельные решения псевдо-трсхмерных задач ГРП с образованием вертикальных трещин для кусочно-однородного профиля бокового горного давления и при постоянном давлении закачки вязкой степенной жидкости в трещину. Найдено аналитическое решение при произвольном распределении сжимающих напряжений в массиве и произвольной форме закладки закрепителя в трещине.В рамках схемы "мгновенного" закрепления трещины, проведено исследование формы и гидравлической проводимости закрепленной трещины после снижения давления в ней. Проанализированы возможные стратегии гидроразрыва и закрепления трещин.

8.Получено обобщение теории гидравлического разрыва пласта на изотропные ж трансверсально-изотропной пороупругие среды как для плоских, так и осесимметричных трещин. Развиты методы решения смешанных краевых задач для обобщенных аналитических функций, к которым сводятся пространственные задачи о дискообразных трещинах в иороупругих телах. Предложенный подход позволяет проинтегрировать ту часть уравнений связанной теории трансверсалыю-изотроппой пороуиругости, которая описывает деформации среды. В результате уравнение пе-

репоса жидкости приводится к одному уравнению типа пьезопро-водности (диффузии) только относительно норового давления с нелокальным источником, связанным с изменением пористости среды при ее деформации. Для "идеальной" дискообразной трещины, давление вдоль которой постоянно, найдено аналитическое решение.

9.На основе широкого спектра найденных автомодельных решений были разработаны методики решения обратных задач по восстановлению характкристик пласта, которые не поддаются прямым измерениям, по знание которых необходимо для дальнейшей эксплуатации скважины.

Литература

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 .Гордеев Ю.Н., Кудряшов ILA. Мурзепко В.В. Автомодельные решения одномерных задач движения газа в пористой среде при двучленном законе сопротивления. ИФЖ. 1984. Т.47. No.5.

2.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Мурзенко В.В. Ударные волны в изотермическом газе при наличии сил сопротивления. ПММ. 1985. Т.49. Вып.1. С.171-175.

3.Гордеев 10.11., Колобашкин В.М., Кудряшов ILA. Численное исследования инерционных членов в уравнении движения на фильтрацию газа. Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. No.l. С.183-186.

4.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Деформация и развитие магистральной трещины при движении в ней газа. Препринт/ МИФИ. 021-85. 1985.

5.Гордее]] 10.Н., Кудряшов H.A. Применение метода коррекции потоков для численного решения задачи о движении газа с силами сопротивления. В сб. Методы вычислительной физики и их приложения. М.: Энергоатомиздат. 1986. С.30-34.

6.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Мурзенко В.В. Ударные волны торможения в газе. Препринт/ МИФИ. 034-86. 1986.

7.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Мурзенко В.В. Численное исследование движения газа с учетом сопротивления. ПМТФ. 1985. No.4. С.100-105.

8.Гордеев IO.IL, Кудряшов H.A. Развитие магистральной трещины под действием движущегося в ней газа. ПМТФ. 1986, No.4. С.116-122.

9.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Образование волны торможения при движении газа по магистральной трещине. В сб. При-

кладные методы вычислительной физики М.: Энергоатом- издат.

1987.

Ю.Гордеев Ю.Н., Кудряшов П.Л. Мурзенко В.В. Фильтрационные режимы с экстремумами температуры прн движении газа в пористой среде. Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. No.4. С.71-77.

П.Бочаров М.В., Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A., Петровский C.B. Некоторые решения задач фильтрации газа в пористой среде с неоднородной проницаемостью. Из. вузов. Нефть и газ. 198G. No.ll. С.32-37.

12.Гордеев 10.Н., Кудряшов H.A. Мурзенко В.В. Изотермическое вытеснение одного газа другим. Нефть и газ. 1987. No.10. С.33-36.

13.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Динамика роста трещины нормального отрыва при расклинивании ее потоком газа. ПММ.

1988. Т.52. Вып.2. С.311-317.

14.Гордеев 10.Н., Кудряшов H.A. Теплообмен при движении газа в магистралыюной распространяющейся трещине. В сб.: Математическое моделирование задач механики сплошной среды. М.: Энергоатомиздат. 1989. С.7-11.

15.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Автомодельная задача о расклинивании трещины нормального разрыва высокоскоростным потоком газа. В сб.: Экспериментальные и теоретические исследования импульсных процессов. М.: Энергоатомиздат. 1991. С.90-103.

16.Гордеев Ю.Н., Кудряшов H.A. Автомодельные задачи о развитии звездообразной трещины под действием расклинивающего потока газа. ПММ. 1989. Т.53. Вып.2. С.333-338.

17.Гордесв 10.Н. Автомодельная динамическая задача о трещине гидроразрыва с учетом взаимодействия берегов с расклинивающим потоком газа. ПММ. 1990. Т.54. Вып.4. С.666-671.

18.Гордеев Ю.Н. Нестационарная задача о плоской трещине гидроразрыва в насыщенном жидкостью пласте. ПММ. 1991. Т.55. Вып.1. С.100-108.

19.Гордеев Ю.Н, Дискообразная трещина гидроразрыва в по-роупругой среде. ПММ. 1992. Т.56. Вып.2. С-268-274.

20.Гордеев Ю.Н. Автомодельные задачи о развитии протяженной трещины гилроразрыва в проницаемой среде. Изв. АН СССР. МЖГ. 1992. No.2. С.91-101.

21.Гордеев Ю.Н., Зазовский А.Ф. Автомодельное решение за-

дачи о глубокоироникающем гидравлическом разрыве пласта. Изв. АН СССР. МТТ. 1991. No.5. С.119-131,

22.Гордеев Ю.Н., Зазовскин А.Ф, Точные решения задачи о распространении вертикальной трещины гидроразрыва постоянной высоты и большой протяженности в непроницаемом пласте. Изв. АН СССР. МТТ. 1992. No.2. С.94-104.

23.Gordeyev Yu.N., Zazovslcy A.F. Self-similar solution for deep-penetrating hydraulic fracture propagation. Transport in Porous Media. 7. No.3. 1990. P.283-304.

24.Gordeyev Yu.N. Propagation of a fracture in poroelastic medium. In Proc. of Int Conf. "Flow through Porous Media: Fundamentals and Reservoir Engineering Appl.". Moscow. IPMRAS. 1992. P.93-96.

25.Gordeyev Yu.N., Kharaidze D.M. Numerical modeling of hydraulic fracture of stratum witli formation of horizontal circulating crack. In Proc. of Int Conf. "Flow through Porous Media: Fundamentals and Reservoir Engineering AppL". Moscow. IPMRAS. 1992. P.164-167.

26.Gordeyev Yu.N. Growth of a crack produced by hydraulic fracture in a poroelastic medium. Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 30. No.3. 233-238 (1993).

27.Гордеев Ю.Н., Зазовский А.Ф. Пространственная задача о вытянутой частично закрепленной трещине гидроразрыва. Изв. АН РФ. МТТ. 1991. No.3. С.142-154.

28.Гордеев Ю.Н. Автомодельное решение задачи о ■распространении псевдо-трехмерной вертикальной трещины гидроразрыва в непроницаемом пласте. Изв. РАН. МЖГ. 1995. No.6. С.79-

29.Гордеев Ю.Н. Трещина гидроразрыва в трансверсально--изотропной пороупругой среде. ПММ. 1995. Т.59. Вып.4. С.672-684.

30.Гордеев Ю.Н. О некоторых автомодельных решениях задачи распространении трещины гидроразрыва в непроницаемом пласте. Изв. РАН. МТТ. 1996. No.5. С.117-123.

31.Гордеев Ю.Н., Ентов В.М. О распределении давления в окрестности растущей трещины. ПММ. 1997. Т.61. Вып.6.

86.

С.1060-1064.

<

/ ^

московским государственный инженерно-физическим

институт (технический университет)

Ю.Н.Гордеев

Сопряженные задачи распространения трещин

гидроразрыва

01.02.05 — механика жидкостей, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1997

Содержание

0 Введение 4

1 Движение газа по недеформируемым трещинам в

непроницаемых средах 25

1 Уравнения движения газа в недеформируемых трещинах ........................... 25

2 Влияние закона сопротивления на динамику движения газа в канале................... 27

3 Высокоскоростные потоки газа в канале........ 41

4 Теплообмен при течении газа в трещинах......53

5 Метод численного расчета движения газа с силами сопротивления......................61

2 Движение жидкости и газа при гидравлическом

разрыве непроницаемого пласта 65

1 Автомодельные режимы распространения вертикальных трещин гидроразрыва в непроницаемом пласте. 66

2 Некоторые специальные аналитические решения автомодельных задач распространения вертикальных трещин........................ 80

3 Восстановление параметров пласта на основе автомодельных решений...................83

4 Расклинивание трещины потоком газа........87

5 Влияние теплообмена на гидравлический разрыв пласта газом........................100

6 Расклинивание трещины потоком газа при больших числах Рейнольдса.................104

3 Движение газа при импульсном гидроразрыве пласта 109

1 Уравнения динамической теории гидравличесого

разрыва среды газом...................110

2 Динамическая задача распространения плоской трещины расклиниваемой потоком газа..........113

3 Звездообразные трещины импульсного гидроразрыва..............................121

4 Силы трения между потоком газа и стенками трещины............................128

5 Динамическая задача расклинивания плоской трещины неизотермическим потоком газа.........138

4 Плоские задачи распространения вертикальных

трещин в проницаемом пласте 141

1 Автомодельная задача распространения трещины Перкинса-Керна в проницаемом пласте........142

2 Автомодельные задачи распространения трещин Желтова-Христиановича в проницаемом пласте. . . 160

3 О распределении давления в окрестности растущей идеальной трещины...................175

4 Локальная структура решения вблизи вершины трещины гидроразрыва, распространяющейся в проницаемом пласте.....................183

5 Пространственные задачи для сильно вытянутых

и частично закрепленных трещин 194

1 Общая характеристика основных стадий гидравлического разрыва неоднородно проницаемого пласта..............................194

2 Раскрытие сильновытянутых трещин в неоднородном пласте. Асимптотический метод..........196

3 Раскрытие частично закрепленной трещины. . . . 202

4 Численное исследование формы гидравлической трещины в приближении мгновенного осаждения закрепителя.........................210

5 Автомодельная задача о распространении псевдотрехмерной вертикальной трещины в неоднородном пласте.........................216

6 Теория гидравлического разрыва изотропного по-

роупругого тела 228

1 Уравнения деформации изотропного пороупругого

тела.............................229

2 Плоская трещина....................230

3 Осесимметричная трещина...............234

4 Стационарная задача для осесимметричной трещины............................240

7 Теория гидравлического разрыва трансверсально-

изотропного пороупругого тела 243

1 Уравнения деформации трансверсально-изотропного пороупругого тела....................244

2 Представление решения через аналитические функции комплексных переменных. Плоская трещина. . . 246

3 Метод обобщенных аналитических функций для осесимметричных задач. Дискообразная трещина. . 251

4 Стационарная задача для осесимметричной трещи-

ны в трансверсально-изотропных пороупругих телах. 263 8 Заключение 267

Глава О Введение

Одним из методов интенсификации добычи нефти и газа в нефтегазовой промышленности является гидравлический разрыв пласта. Под гидравлическим разрывом пласта (ГРП) понимают процесс закачки в скважину жидкости (жидкости разрыва) или газа с расходом, который она не успевает поглощать, при этом давление в ней растет и при некотором значении давления пласт рвется. При разрыве пласта в нем образуются и расширяются трещины под действием расклинивающего потока жидкости или газа.

На промыслах ГРП был впервые применен в 1947г. [179]. В настоящее время в США в слабопроницаемых породах широко используется глубокопроникающий гидравлический разрыв пласта (ГГРП), который характеризуется созданием в продуктивном пласте с проницаемостью менее 30-50мД глубокопроникающей (100-500м.) и высокопроводящей трещины гидроразрыва [90]. Мировой опыт показывает, что ГГПР является одним из наиболее эффективных методов разработки низкопроницаемых коллекторов. Сегодня в нашей стране более 30% извлекаемых запасов нефти находится в коллекторах с проницаемостью менее 50мД, из них в около 80% - в Западной Сибири. К 2000 году ожидается рост таких запасов по всей отрасли до 70% [91].

В последние годы стали развиваться новые технологии проведения ГРП, в том числе взрывная (идея которой была предложена в 1890г.) и ядерная технология [17, 114], получившие название импульсного гидравлического разрыва пласта [100].

Уже более четырех десятилетий ГРП является объектом теоретического изучения, направленного на прогнозирование, оценку результатов и управление процессом. Устойчивый интерес исследователей к проблеме ГРП связан с постоянным развитием и

усложнением технологии, что продиктовано необычайной сложностью его проведения. Ошибки при определении определяющих факторов влияющих на ГРП приводят к выходу из эксплуатации дорогостоящих скважин. Поэтому современная технология ГРП достаточно сложна и наукоемка и базируется на целом комплексе предварительных исследований: микрогидроразрыв, минигидро-разрыв, гидродинамические исследования скважины, прогнозирование ориентации трещины, моделирование распространения трещины.

Трудности построения математической теории ГРП связаны, в частности, с большим числом определяющих физико-механических факторов, основными из которых в настоящее время считают [177]:

- механические свойства пород (модули упругости, прочностные характеристики породы) и ее физические характеристики (трещиноватость, пористость, наличие и свойства поровой жидкости) ;

- напряженное состояние породы;

- неоднородность пласта;

- свойства жидкости разрыва.

Поэтому ГРП является комплексным процессом, находящимся на стыке нескольких научных дисциплин: гидромеханики, газовой динамики, теории упругости и разрушения материалов, теории фильтрации, реологии жидкостей и горных пород, термодинамики.

Многокритериальность проблемы ГРП, сложность исходных дифференциальных уравнений приводят к большим трудностям не только в аналитических исследованиях, но в некоторых случаях и к непреодолимым трудностям в исследованиях с помощью средств вычислительной техники.

В связи с этим в настоящее время не представляется возможным сформулировать единую математическую теорию ГРП. Поэтому современная теория ГРП представляет собой набор моделей, каждая из которых содержит ограниченный набор определящих параметров и пригодна в тех или иных конкретных ситуациях.

Несмотря на то, что ГРП является связанным процессом, при теоретическом описании, как правило, выделяют следующие относительно самостоятельные задачи, которые могут присутствовать в модели или нет: расчет течения закачиваемой жидкости

(газа) по трещине, ее инфильтрацию в породу и фильтрацию в ней; описание процесса распространения трещины гидроразрыва на основе анализа напряженного состояния породы. Одной из важнейших характеристик математической модели ГРП является ее размерность (двумерные (2D), псевдо-трехмерные (PSD) и трехмерные модели (3D)).

Основы теории ГРП были заложены в 50-ых годах в работах С.А. Христиановича, Ю.П.Желтова, Г.И.Баренблатта [11, 12, 72, 73, 74, 75], в которых впервые была предложена целостная модель распространения двумерных трещин гидроразрыва (2D модель). В рамках этой модели проводили исследования J.Geertsma, F.De Klerk, G.Baron, P.Le Tirant, A.A.Deneshy и др. исследователи как в нашей стране так и за рубежом [139, 159, 172, 173].

Другой наиболее известной 2D моделью распространения трещин ГРП является модель, предложенная T.K.Perkin, L.R.Kern [204] и затем развитая R.P.Nordren [199].

В обоих этих моделях ГРП используются решения для плоских трещин в упругом теле, полученные I.N. Sneddon [218] и круговых - I.N. Sneddon, H.A.Elliot [219]. Законченное выражение математическая теория 2D линейных трещин в упругом теле получила в работах Н.И.Мусхелишвили [101] и A.H.England, A.E.Green [170].

На этом первом этапе построения теории ГРП в указанных выше работах принимались следующие предположения: 1) жидкость разрыва - несжимаема; 2) течение жидкости разрыва в трещине - ламинарное, т.е. подчиняется закону Пуазейля; 3) влиянием пластовой жидкости на ГРП или пренебрегалось, или считалось, что она играет пасивную роль, т.е. давление пластовой жидкости - постоянно; 4) если и допускались утечки жидкости из трещины, то принималось, что они однородны вдоль поверхностей трещины и происходят в сухую породу.

Дальнейшее повышение точности математической модели ГРП связано с повышением точности вычисления утечек жидкости разрыва в пласт с поверхностей трещины. В точной математической постановке они могут быть получены в результате решения связанной задачи о фильтрации жидкости разрыва и пластовой жидкости. Однако в такой постановке рассматриваемая задача является задачей со свободной границей между пластовой жидкостью и жидкостью разрыва и переменной границей

(поверхностями трещины), на которых также ставятся граничные условия. Поэтому ее решение сопряжено с большими математическими трудностями и практически не изучено. Один из подходов приближенного решения этой задачи со сводной границей был указан в работе В.М.Ентова, А.Ф.Зазовского, И.Стелина [71].

В работах [90, 91], обобщающих опыт проведения ГРП фирмой Фракмастер, было отмечено, что в некоторых случаях гидравлический разрыв пласта выгоднее проводить маловязкими жидкостями или газами. Такая технология проведения ГРП требует более детального математического описания течения жидкости или газа в трещине.

В настоящее время имеется относительно немного работ по теории гидравлическо разрыва пласта газами (11.]\Ш8оп и его сотрудниками [195, 196, 197], Н.А.Кудряшов [36, 39, 40, 41]). В этих работах был получен ряд автомодельных решений разрыва пласта газами.

Математическая постановка задачи о ГРП жидкостями или газами описывается сложными нелинейными интегродифферен-циальными уравнениями в частных производных. Поэтому получение частных автомодельных решений этой задачи рассматривается как существенное продвижение в математической теории ГРП. Они приводят к значительным упрощениям математической постановки задачи и позволяют проанализировать практически все нелинейные эффекты и являются хорошими тестами для численных решений. Интересным, в этой связи, является подход получения приближенных автомодельных решений предложенный Вайсманом, Алексеннко [3, 4, 5].

Развиваемая в последние годы технология импульсного ГРП потребовала существенного усложнения математической теории. Здесь можно указать два практически не исследованных направления развития теории. Для средних скоростей распространения трещин гидроразрыва и газов (жидкостей) в трещине необходимо в уравнении движения газа учесть инерционные слагаемые, т.е. использовать для описания движения газа в трещине уравнения газовой динамики с силами сопротивления. И наконец при значительных скоростях распространения трещины разрыва стационарные уравнения теории упругости должны быть заменены нестационарными.

Другим направлением развития математической теории ГРП является переход от двумерных моделей трещин к псевдотрехмерным и трехмерным, что продиктованно неоднородностью реальных пластов. Трехмерные модели распространения трещин рассматривались в работах [125, 175, 189, 192, 201]. Однако они очень сложны в численной реализации и часто не удается проанализировать величину численных ошибок для сколько-нибудь реальных постановок. Существенно более простыми моделями, учитывающими неоднородность пласта, являются псевдотрехмерные модели трещин, предложенные в [169, 216]. В рамках псевдо- -трехмерных моделей трещин проводили исследования Abe H.,Mura T.,Keer L.M., Settari A., Cleary M.P. [134, 135, 215]. Однако недостаточно изученным в настоящее время остается вопрос о рамках применимости этих моделей распространения трещин. Впервые этот вопрос был поставлен в работе [202], в которой была предпринята попытка ответить на него на основе численного сравнения трехмерных и псевдо-трехмерных моделей.

Важной проблемой, возникающей при формулировке математических моделей ГРП, является описание поведение жидкости разрыва в вершине трещины, т.е. вблизи сингулярной точки. Впервые эта проблема возникла еще в работах Ю.П.Желтова и С.А.Христиановича [72]. Ими был сделан вывод о том, что жидкость разрыва не может достигнуть вершины трещины. Этот вывод был затем подтвержден рядом экспериментов (A.A.Daneshy [160], W.L.Medlin, L.Masse [190], M.B.Rubin [209]). К аналогичному выводу пришли H.Abe, Т.Mura, L.M.Keer [134, 135] и А.Ф.Зазовский [76], Ю.А.Песляк [106] при исследовании дискообразных трещин в непроницаемых средах. Но с особой остротой проблема описания локального поведения жидкости разрыва в вершине трещины встает при создании математической теории ГРП для проницаемых пород. В частности, при численном моделировании распространения трещин гидроразрыва, для того чтобы избавиться от сингулярности в вершине используются различные эвристические предположения, правдоподобность которых не возможно проверить без знания локального поведения жидкости разрыва в конце трещины.

В 80-х годах рядов исследователей [146, 147, 164] было показано, что пренебрегаемые в классической теории ГРП пороупругие эффекты при некоторых условиях могут становиться существен-

ными. Основные уравнения теория пороупругости были сформулированы Biot [140, 141, 142, 143, 144] и затем развивались в [136, 137, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 210, 221]. Методы решения уравнений пороупругости разрабатываются начиная с работ Biot по настоящее время. Тем не менее математическая теория гидравлического разрыва пороупругого пласта стала развиваться только недавно. Здесь следует отметить численные работы проводившиеся Boone T.J., Detourney Е. [146, 147].

Реальные пласты кроме неоднородности могут обладать также анизотропией. Для ГРП наибольшее значение имеет частный случай анизотропии - трансверсальная-изотропия. Уравнения анизотропной пороупругой среды были также сформулированы Biot [141]. В работе Rice J.R. и Cleary М.Р. [207] в них были введены измеряемые материальные константы. Теория распространения трещин в анизотропных упругих средах рассматривалась многими исследователей [221] и др. Вопрос о распространении трещин гидроразрыва в пороупругих трансверсально-изотропных средах был поставлен и рассмотрен автором. Позже он изучался также в работе [157].

Из приведенного выше краткого анализа современного состояния математической теории ГРП можно сделать вывод, что существует еще большой разрыв между практикой и теорией ГРП и уровень правдоподобного моделирования процессов еще не достигнут, что объясняется недостаточной изученностью факторов, имеющих место при ГРП. Поэтому необходима еще большая работа по созданию и интегрированию в общую модель новых различных ее компонент.

На основании вышеизложенного сформулируем основные задачи и цели диссертации:

1. общий анализ особенностей решения задач о течении жидкости (газа) разрыва по трещинам гидроразрыва;

2. аналитическое исследование импульсного гидравлического разрыва упругого пласта;

3. создание теории гидравлического разрыва изотропного и трансверсально-изотропного пороупругого пласта;

4. построение точных решений задач для двумерных и псевдотрехмерных моделей распространения трещин гидроразрыва.

Полное аналитическое исследование нелинейных уравнений, описывающих распространение трещин гидроразрыва в пластах,

- задача достаточна трудная и возможна для точного решения в исключительных случаях. Использованные в диссертации аналитические методы позволили получить ряд новых опорных решений основных задач гидравлического разрыва пласта, которые не исчерпали своего значения и сейчас.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации определяются цели и задачи исследования, формулируются основные результаты работы и кратко излагается ее содержание.

Первая глава посвящена рассмотрено течение газа по не-

деформируемым трещинам в рамках одномерных моделей. В ка—*

честве аппроксимации силы трения / между потоком газа (жидкости) и стенками трещины использован двучленный закон сопротивления описывающий как ламинарные