Развитие метода граничных элементов для численного моделирования динамики трехмерных однородных пороупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

0046

АМЕНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

89

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ

ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПОРОУПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

1 3 ЯНВ 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2010

004618914

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Игумнов Леонид Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Калинчук Валерий Владимирович

доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев Владимир Иванович

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится 29 декабря 2010 г. в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета. Автореферат разослан 27 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 доктор физико-математических наук,

(г. Москва)

профессор

Л.А. Игумнов

Дисперсные среды, в частности, пористые материалы широко распространены в природе и технике. Исследование волновых процессов в пороупругих телах и средах представляет значительный интерес.

Математическое моделирование таких многокомпонентных сред, как пористые насыщенные жидкостью (газом) среды, имеет более чем 90-летнюю историю. Модели соответствующих сред существенно усложнены по сравнению с однородной упругой или вязкоупругой моделью. Это вызвано способностью жидкости втекать или вытекать в любую область, формируемую порами, что является принципиальным отличием пористой среды от упругой. Отмеченное явление особенно важно при рассмотрении волновых процессов.

Началом активных исследований волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Я.И. Френкеля, вышедшая в 1944 году. Вслед за этой работой уравнения распространения звуковых волн в газонасыщенной пористой среде в одномерном приближении были получены в книге К. Цвиккера и К. Костена.

Теория Био является расширением классической теории упругости на случай двухфазной среды с учетом ввода дополнительных параметров, учитывающих взаимодействие фаз. Она предсказала существование в пористой среде трех типов волн. Теория Био не только качественно, но и количественно правильно предсказывает скорости, амплитуды и частотную зависимость затухания всех трех типов волн в различных насыщенных пористых средах. Наиболее важные волновые эффекты (затухание волн, фазовые скорости, типы поверхностных волн), найденные в рамках теории Био, согласуются с экспериментальными данными.

Большинство имеющихся работ по изучению колебаний в пористых средах опираются на метод нормальных мод и лучевые методы. Активно разрабатывается подход на основе интегральных представлений в форме контурных интегралов: П.М. Боков, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, A.M. Ионов, JI.A. Молотков, В.М. Сеймов, А.Н. Трофимчук и др. Анализ использования теории Био для описания распространения волн малой амплитуды в насыщенной пороупругой среде показывает, что теоретические расчеты требуют более строгих подходов, применение которых значительно усложняет соответствующие схемы.

В работе рассматриваются задачи, которые могут быть сведены к решению граничных интегральных уравнений (ГИУ) и гранично-временных интегральных уравнений (ГВИУ). Метод ГИУ развивается в сочетании с методом граничных элементов (МГЭ). Соответствующая особенность метода позволяет преодолеть ограничения ряда аналитических и численно-аналитических методов относительно форм границы, включений, полостей и т.п. Для рассматриваемого класса задач необходима высокая точность получаемых результатов, которая обеспечивается применением МГЭ. К тому же, исследование волновых процессов в полубесконечых телах является естественным для применения ГИУ и МГЭ.

Цель работы состоит в развитии МГЭ-методики на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики пороупругих однородных тел при смешанных краевых условиях; в разработке соответствующих алгоритмов; в модельных гранично-элементных расчетах динамического деформирования трехмерных пороупругих тел.

Методика исследований основана на ГИУ прямого подхода для трехмерной линейной теории пороупругости; на интегральном преобразовании Лапласа и численном обращении этого преобразования на основе метода Дурбина, шаговом методе численного обращения, методе квадратур сверток; на методе граничных элементов, как способе численного решения используемых ГИУ.

Достоверность исследований основана на эквивалентности исходной краевой/начально-краевой задачи в частных производных математической теории пороупругости системе построенных граничных/гранично-временных интегральных уравнений; на использовании для численных исследований регуляризованных ГИУ/ГВИУ; на детально проработанных алгоритмах МГЭ-подхода; на сравнении полученных результатов с решениями других авторов.

Научная новизна работы

Впервые указана причина ошибок в одной из систем ГИУ динамической пороупругости. Впервые предложен и применен новый метод численного обращения преобразования Лапласа. В основу ГЭ-моделирования задач динамической пороупругости положен согласованный гранично-элементный подход на основе обобщенных четырехугольных элементов, в отличие от традиционно используемого изопараметрического подхода на основе треугольных элементов. Представлены соответствующие численные результаты.

Метод ГВИУ в сочетании с методом квадратур сверток и новым (шаговым) методом численного обращения преобразования Лапласа - единственные универсальные численно-аналитические подходы решения краевых задач пороупругости с использованием

3

шаговой схемы. ГЭ-моделирование на основе метода квадратур сверток и нового (шагового) метода численного обращения преобразования Лапласа развито на случаи применения формул Левина и Филона для вычисления соответствующих квадратурных коэффициентов.

Представлены результаты численного моделирования и верификации предложенных методик и схем. Впервые дано численное решение задачи о скачке давления на торец призматического пороупругого тела с момента когда материал описывается полной моделью Био сжимаемой среды до момента когда материал стал описываться моделью Био несжимаемой среды. Кроме того, на примере этой задачи впервые продемонстрировано влияние величины коэффициента проницаемости на отклик давлений.

Практическая значимость результатов исследования состоит в создании нового (шагового) метода численного обращения преобразования Лапласа, развитии методов Дурбина, квадратур сверток и граничных элементов с целью получения устойчивых высокоточных численных решений трехмерной динамической теории пороупругости; в создании МГЭ-алгоритмического обеспечения для анализа динамики однородных трехмерных пороупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа; в создании МГЭ-алгоритмического обеспечения для анализа динамики однородных трехмерных пороупругих тел на основе шаговых схем.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методами квадратур сверток и Дурбина для анализа динамики трехмерных пороупругих однородных тел.

4

2. Новый (шаговый) метод численного обращения преобразования Лапласа в сочетании с формулами Левина и Филона и численный анализ на его основе задачи о действии сосредоточенного источника в трехмерной пороупругой среде.

3. Численное исследование влияния на динамику отклика перемещений:

- эффекта перехода свойств пороупругого материала из сжимаемого состояния в несжимаемое;

- величины коэффициента проницаемости.

4. ГЭ-решение следующих волновых задач:

- о действии скачка давления на торец однородного пороупругого призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова (Н.Новгород, 2006); X, XIII Нижегородских сессиях молодых ученых - математические науки (Саров, 2005, Семенов, 2008); XII Нижегородской сессии молодых ученых - технические науки (Семенов, 2007); XII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. В журналах, рекомендуемых ВАК для защит кандидатских диссертаций, опубликовано 6 работ [1-6]: одна работа [5] выполнена

без соавторов; 4 работы [1-3, 6] опубликованы в соавторстве, где A.B.

5

Аменицкому принадлежит получение численных результатов; одна работа [4] опубликована в соавторстве, где A.B. Аменицкиму принадлежит объяснение появления ошибки в построении сингулярных решений у М. Schanz (Schanz M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua. - Berlin: Springer, 2001. - 170 p.).

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 143 наименований. Общий объем диссертации составляет 143 страницы машинописного текста, включая 9 таблиц, 170 рисунков.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-6391.1006.8 2006-2007 гг.; № НШ-3367.2008.8 20082009 гг.; № НШ-4807.2010.8. 2010-2011 гг.); ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» (гос. контракт № 02.445.11.7044, шифр «РИ-112/001/404» 2005 г.); программой Минобразования и науки РФ «Развитие потенциала высшей школы (2006-2008 гг.) проект РНП.2.1.2.3556; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (ГК №П2222 от 11 ноября 2009г., ГК № 02.740.11.0410 от 30 сентября 2009 г.); грантом РФФИ (проект № 10-08-01017-а).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ по применению МГЭ к решению динамических трехмерных задач теорий упругости, вязкоупругости и пороупругости; обоснование актуальности темы

диссертационной работы; формулировки целей работы и основных положений, которые выносятся на защиту.

Вопросы распространения волн в пористых насыщенных средах рассматривали М. Био (1956), Т.З. Вербицкий (1975, 1977), Дж. Гиртсма и Д. Смит (1961), В.П. Горбатова (1969), Б.Я. Гуревич и СЛ. Лопатников (1985, 1986), Н.С. Городецкая (1998), В.Е. Донцов и др. (1987, 1988), Л.М. Дорогиницкая и др. (1964), Н. Дунин, Д. Михайлов, В. Николаевский (2002), В.И. Ерофеев (2009), П.П. Золотарев (1963), O.K. Кондратьев (1986 г.), В.Н. Крутин и др. (1984, 1988), Г.М. Ляхов (1982), Ф.М. Ляховицкий (1988 г.), М.Г. Марков и А.Ю. Юматов (1984), Р.И. Нигматулин (1978), В.Н. Николаевский (1963, 1970, 1984), Б.П. Сибиряков и др. (1978), В.П. Степанов (1963), J. Jocker и D. Smenlders (2005), G. Chao и др. (2005), M. Schanz и др. (2001), H.F. Wang (2000) и др.

Применению методов ГИУ и МГЭ к решению задач пороупругости посвящены работы следующих авторов S.K. Grag (1974); A.H.-D. Cheng (1991); M. Schanz и A.H.-D. Cheng (2000); A.H.-D. Cheng и J.A. Ligget (1984); Т. Badmus (1993); G.D. Manolis и D.E. Beskos (1989); G. Bonnet и J.-L. Auriault (1987); A.H.-D. Cheng (1991); J. Dominguez (1992); Th. Wiebe и H. Antes (1991); J. Chen и G.F. Dargush (1995); D. Pryl (2005), E.J. Luco и др. (1990); L. Zhang и A.K. Chopra (1991); H.A. Pedersen и др. (1994); A.S. Papageorgiou и D. Pei (1998); N.I. Robinson (2002); A. Tadeu и E. Kausel (2000); A.A. Stamos и D.E. Beskos (1996); D.-Sheng J. и др. (2005); M. Bouchon (2003); S. Gaffet, M. Bouchon (1989); Z.-M. Lu, J.-S. Pan (2006) и др.

Несмотря на то, что в литературе представлены варианты сингулярных ГИУ, имеются лишь единичные ГЭ-решения трехмерных краевых динамических задач пороупругости.

В главе I даны постановки задач для полной и упрощенной моделей Био, несжимаемой полной модели; подробно описаны построения матриц фундаментальных и сингулярных решений для полной модели Био; приведены соответствующие матрицы для упрощенной модели Био и несжимаемой полной модели; описаны методы Дурбина, квадратур сверток и шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа, а также их применение в сочетании с формулами Левина и Филона; приведены необходимые аналитические решения.

В первом параграфе представлены три системы дифференциальных уравнений для соответствующих вариантов модели Био. Итоговая система дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу для полной модели Био имеет вид:

где ^ - параметр преобразования Лапласа, (7, К - константы упругости, ф - пористость, к - проницаемость, а - эффективный коэффициент напряжений, p,pa,pf - плотности пористого скелета,

присоединенной массы и жидкой среды, - плотности

источников.

Система дифференциальных уравнений для упрощенной модели Био получается, если пренебречь инерционным эффектом в наполнителе (жидкой фазе). Система уравнений для модели Био пороупругого материала с несжимаемыми свойствами имеет вид:

1

/

кр^-ф ^

Р =

ф1Э + 51к{ра+фр1)'

GuiM + ^ + 1(5^, -(1 -ß)p, - s1 (p - ßp f)ui = -F.,

—Рм ~V P ~ (! - ß)suu = 'a.

spf R

ß* ф2р'

Ра +ФРf

Дано краткое описание состояния вопроса по решению задачи численного обращения преобразования Лапласа и представлены методы Дурбина, квадратур сверток и новый (шаговый) метод численного обращения преобразования Лапласа с необходимыми базовыми формулами. Для расширения возможностей приведенных методов привлекаются формулы Филона и Левина.

Во втором параграфе подробно расписано получение фундаментальных и сингулярных решений для дифференциальных уравнений полной модели Био. Вслед за М. Schanz применена схема «лестницы Хермандера». Показана причина ошибки, допущенная М. Schanz. Приведены сводки соответствующих решений для случаев описания пороупругих свойств на основе упрощенной и несжимаемой моделей Био.

В третьем параграфе представлены необходимые аналитические решения с кратким описанием процедуры их получения. Рассмотрены задачи о моделировании скачка поверхностной силы на торце призматического пороупругого тела длины / и одномерной координаты у. Параметры материала были

10 2 3

выбраны следующие: £ = 1,44-10 Н/м ; v = 0; р = 2458кг/м ; Ру = 1000кг/л*3; 0 = 0,19; R = 4,7-108Я/л<2; а = 0,86; k = 1,9 ■ 10-10 мА1Нс. Нагрузка, действующая на тело ty=-\H/M2.

Граничные условия в изображениях по Лапласу с параметром s имеют вид: üy(y = 0) = 0, qy{y = 0) = О,

ay{y = l) = -\ls, р(у = 1) = 0.

Для случая использования

полной модели Био при / = 20 м показано влияние коэффициента проницаемости на форму отклика порового давления при у = 3 м (рис.1). На примере отклика

перемещений этой задачи подробно численно

исследовано влияние

перехода пороупругого материала из сжимаемого состояния в несжимаемое. Продемонстрирована возможность описания отклика перемещений в рамках вязкоупругой модели (стандартное вязкоупругое тело) (рис. 2). Трехмерная постановка, соответствующая представленной одномерной задаче, сформулирована в главе III (см рис. 9).

Глава II содержит результаты экспериментов по численному обращению преобразования Лапласа; численного анализа компонент обобщенных матриц Грина трехмерной динамической теории пороупругости; построены ГИУ и ГВИУ прямого подхода на основе обобщенной формулы Грина-Бетти-Сомильяны (обобщенная теорема Бетти-Граффи); дано описание ГЭ-дискретизации.

к = 1,9-Ю к = 1,9 -Тег к = 1,9 10"

' 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 025

I, <■ Рис.1

н1 iii

11

■0.

"II Iii

llil

......ш

1(1111

02 04 0.6 0.8 1

I, с

1 - полная модель Био, 2 - модель стандартного вязкоупругого тела Рис. 2

В первом параграфе дано сравнение результатов по численному обращению преобразования Лапласа на основе функций, имеющих известные выражения для изображений по Лапласу и для оригиналов. Для сравнительного анализа привлечены метод Дурбина, квадратур сверток и новый (шаговый) метод численного обращения преобразования Лапласа.

Во втором параграфе представлены результаты численного моделирования фундаментальных решений U..(x,t), i,j = 1,4. Для компонент Un{r0,t), Ul2(r0,t) при % =(0.1, 0.15, 0.2) приведено сравнение с соответствующими результатами М. Schanz, V. Struckmeier (2005) (рис. 3, 4), демонстрирующее полное графическое совпадение. Далее численные исследования проведены с целью демонстрации сравнительного поведения компонент для упругого случая с компонентами, построенными для случаев применения разных моделей пороупругой среды Био (полная, упрощенная) (рис. 5, 6). Кроме того, приведено сравнение компонент фундаментальных решений для случая применения полной пороупругой модели Био с соответствующими компонентами для вязкоупругого случая (стандартное вязкоупругое тела, модель Кельвина-Фойгта и случай применения слабосингулярного ядра Абеля).

US...........I............и 1...........и

I, с

1S.......................2Í........ i............Ii

í. Г

Рис. 3

Рис.4

Рис. 5 Рис. 6 ........пороупругая модель, —— упрощенная пороупругая модель, — — упругая модель

В третьем параграфе записаны интегральные представления и ГИУ с использованием интегрального преобразования Лапласа и без его использования; представлены фундаментальные и сингулярные решения с позиций выделения особенностей в этих решениях. Принципиальным отличием поведения фундаментальных и сингулярных решений пороупругости от соответствующих решений для упругого случая является то, что разные компоненты матриц пороупругости имеют разные особенности. В упругом случае особенности у всех компонент соответствующих матриц одинаковы.

В четвертом параграфе описана гранично-элементная дискретизация.

Чтобы ввести ГЭ-дискретизацию, рассматривается регуляризованное уравнение:

Г

о г

схедГ), 7 = , и{щ,и2,щ,р)

где П,к, Т1к - матрицы фундаментальных и сингулярных решений; тЦ -матрица слагаемых компонент Тл , содержащих особенности.

Базовый процесс ГЭ-дискретизации состоит в разбиении поверхности Г на граничные элементы: четырехугольные и

12

треугольные восьмиузловые биквадратичные элементы. При этом треугольные элементы рассматриваются как вырожденные четырехугольные элементы (рис. 7). Связь локальной и глобальной систем координат ^ = У = (у^д), у2{^1 у^(<?)) записывается

через функции формы N' :

= г = 1,2,3, £ е Дс,

/=1

где Р(к,1) - глобальный номер узла, имеющего в к-м элементе локальный номер /.

Рис. 7

Далее определяется естественный базис, метрический тензор и единичная внешняя нормаль на элементе.

Граничные поля (£,?) интерполируются через узловые значения. Рассматриваем случай, называемый согласованным интерполированием, когда для аппроксимации обобщенных граничных перемещений применяем билинейные элементы, а для аппроксимации обобщенных поверхностных сил - постоянные элементы.

Для получения дискретного аналога ГИУ применяем метод коллокации. В качестве узлов коллокации выбираются узлы аппроксимации исходных граничных функций. В итоге формируются дискретные аналоги исходных ГИУ в виде систем линейных алгебраических уравнений.

В главе III приведена блок-схема решения краевой задачи на основе МГЭ; представлен пример входного потока задания для компьютерного моделирования краевой задачи; приведены результаты ГЭ-решений задач.

В первом параграфе приведена блок-схема решения краевой задачи на основе МГЭ (рис. 8); на примере задачи о действии силы на пороупругое призматическое тело представлен входной поток задания для компьютерного моделирования краевой задачи. Во втором параграфе рассмотрена задача о действии скачка давления на торец однородного

призматического пороупругого тела (рис. 9) со следующими

Дифференциальные уравнения в частных производных

Представление в виде обобщенной формулы _Грина-Бетти-Сомильяна_

X

Граничные условия

X

Сингулярные граничные интегральные уравнения

X

Обобщенные четырехугольные граничные элементы

Метод коллокаций I -

Численное интегрирование

Решение систем линейных алгебраических уравнений

X

Постпроцессорная обработка данных

Рис. 8

параметрами материала: К = 8-109 н/м2, С = 6-109#/м2, Я = 4,7-108#/л<2, к = \,9-10~юм* /Не, р = 2458кг/м\ а = 0,867, 0 = 0,19,

р7 = 1000кг / м3. Нагрузка, действующая на тело ¡2 = 1Н/м2. Гранично-элементная сетка состоит из 504 элементов. Дано исследование для полной и упрощенной моделей Био. Для полной модели Био приведен результат гранично-элементного исследования по исправленным (новым) и ошибочным ядрам (рис. 10, И). Графики, изображенные сплошной линией, соответствуют точному решению, штриховой - решениям, полученным по новым ядрам, пунктирной -

Закрепленный ■горец

Свободный торец

Граничные условия: х2 =0:

известные: и, = 0,и2 = 0, и1 = 0, 9 = 0,

неизвестные: ст,, ег2, сг3, р х2=1:

известные: сг, = 0, а2 = -1/х, ег3 = 0, р = 0,

Рис. 9 * неизвестные: и,, иг, и3, д,

Граничные условия (боковая поверхность): известные: ;/, = 0, и; = 0, сг, = 0, </ = 0

неизвестные:

и2, a„ff,, р

I, г с

Рис.10 Рис.11

по ошибочным ядрам, полученным М. Schanz (2001). Гранично-элементная схема, построенная на основе метода Дурбина, квадратур сверток и нового метода численного обращения преобразования Лапласа, продемонстрировала возможность получения высокоточных значений искомых граничных функций. Соответствующий набор параметров схем позволяет получить графически неразличимые численные решения.

В третьем параграфе приведено ГЭ-решение задачи (рис. 12) о действии вертикальной силы (t) = Р0 /(/), Р() = -1000Я/ м 2, f{t) = Я(0 на дневную поверхность пороупругого полупространства,

Рис. 12

со следующими параметрами материала: Е = 2,544-Ю8Я/л«2; i/ = 0,298; А: = 3,55 • 10~9 л«4 / Яс; 7? = 1,2-109 Я/л/2; /? = 1884кг/л/3; pf = 1000кг/л/3; ф = 0,48; а = 0,98. Поверхность полупространства описывается регулярной ГЭ-сеткой, состоящей из 3088 элементов. Проведенное исследование показало, что созданные ГЭ-схемы на основе метода Дурбина, метода квадратур сверток и нового (шагового) метода численного обращения преобразования Лапласа, дают близкие результаты. ГЭ-дискретизация выбрана из анализа соответствующей задачи для упругого случая. На рис. 13, 14 приведены соответственно вертикальные и горизонтальные перемещения на расстоянии 20 л/ от области нагружения. Пунктирной линией приведены результаты, полученные в расчетах М. Schanz и D. Pryl (2005). Дано обоснование отличий: эффект падения амплитуды за фронтом волны Рэлея для пороупругого случая в результатах М. Schanz и D. Pryl (2005) порожден недостатками ГЭ-схемы этих авторов.

| I

• I

1 !

1, С

Рис. 13

Рис. 14

На рис. 15 приведены отклики поверхностных давлений в зависимости от расстояния от места действия силы до места снятия отклика (соответственно <£ 6, 12 и 20 м).

Рис. 15

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методами квадратур сверток и Дурбина для анализа динамики трехмерных пороупругих однородных тел.

2. Разработан новый метод численного обращения преобразования Лапласа в сочетании с формулами Левина и Филона и проведен численный анализ на его основе задачи о действии сосредоточенного источника в трехмерной пороупругой среде.

3. Численно исследовано влияния на динамику отклика перемещений:

- эффекта перехода свойств пороупругого материала из сжимаемого состояния в несжимаемое;

- величины коэффициента проницаемости.

4. Получены ГЭ-решения следующих волновых задач:

- о действии скачка давления на торец однородного пороупругого призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации

опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Аменицкий A.B. и др. Гранично-элементная методика решения трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости и вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. - Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. -2005.-Вып. 67. - С. 91-101.

2. Аменицкий A.B. и др. Гранично-элементное моделирование нестационарного деформирования трехмерных элементов конструкций // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. Серия Механика. - Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. - 2006. - Вып. 1(7). - С. 76-89.

3. Аменицкий A.B., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах II Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2008. - Вып. 70. -С. 71-78.

4. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Граничные интегральные уравнения для решения динамических задач трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2009. -Вып. 71.-С. 164-171.

5. Аменицкий A.B. Гранично-элементный расчет динамики однородных пороупругих тел // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2009. -Вып. 71.-С. 178-183.

6. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А. Гранично-элементное решение динамической осадки пороупругой колонны // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - Вып. 72. - 2010. (в печати).

Другие публикации

1. Аменицкий A.B., Белов A.A. Численное решение граничных интегральных уравнений трехмерной динамической теории упругости с использованием преобразования Лапласа // X Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Тезисы докладов. - Н.Новгород: Изд-во Гладков О.В. - 2005. - С. 13-14.

8. Аменицкий A.B., Белов A.A., Шишкова Е.А. Исследование влияния вязкоупругих свойств материала на волновые поля в элементах конструкций // Фундаментальные проблемы машиноведения: Новые технологии и материалы. Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова. Тезисы докладов. - Н.Новгород: Издание ЗАО «Интек-НН». -2006. - С. 14.

9. Аменицкий A.B., Дьянов Д.Ю., Ермолаев М.Д. Численно-аналитическое исследование поверхностных волн методом матриц Грина // XII Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки: Материалы докладов. - Н.Новгород: Изд-во ИП Гладкова О.В.-2007.-С. 48.

10. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов JI.A., Литвинчук С.Ю. Гранично-элементное моделирование на основе квадратур сверток динамического состояния составных упругих тел // Вычислительная механика сплошных сред. - Пермь: Изд-во ИМСС УрО РАН. -2008. -Т.1, №3. - С. 5-14.

11. Аменицкий A.B., Колчин Н.В., Литвинчук С.Ю. Метод граничных элементов на основе модификации алгоритма Дурбина // XIII Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки. - Н.Новгород: Гладкова О.В. - 2008. - С. 43-44.

12. Аменицкий A.B., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование распространения волн в среде Био // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XII международной конф., г. Ростов-на-Дону, 2008. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». - 2008. - С. 9-12.

Подписано в печать 25.11.2010 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 736. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе дизайна и цифровой печати РИУ ИНГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

ВВЕДЕНИЕ.

1. Математическая модель и базовые решения.

1.1. Модели пороупругой среды и необходимые вспомогательные методы.

1.2. Фундаментальные и сингулярные решения.

1.3. Одномерные аналитические решения.

2. Построение гранично-элементной схемы.

2.1. Сравнение численных результатов, полученных методами Дурбина, квадратур сверток и шаговым методом численного обращения преобразования Лапласа.

2.2. Численный анализ фундаментальных решений трехмерной динамической теории пороупругости.

2.3. Интегральные представления и граничные интегральные уравнения.

2.4. Гранично-элементная дискретизация.

3. Гранично-элементное решение задач.

3.1. Организация входного потока гранично-элементного моделирования.

3.2. Задача о действии силы на торец призматического пороупругого тела.

3.3. Задача о действии вертикальной силы на пороупругое полупространство.

Дисперсные среды, в, частности пористые материалы, широко распространены в природе и технике: насыщенные газом или жидкостью грунты и горные породы, строительные материалы (древесина, песок, кирпич, технические пены и т.п.).

Исследование волновых процессов в пороупругих телах и средах представляет значительный'интерес. Для широкого диапазона насыщенных материалов упругая! теория, а также вязкоупругое описание являются грубым; приближением' при s исследовании распространения волн. Для учета пористости необходима совершенно другаятеория.

Математическое моделирование таких многокомпонентных сред, как пористые насыщенные жидкостью (газом)'среды, имеет более чем 90-летнюю историю. Сложности описания эффектов взаимодействия * фаз, фазовых переходов, теплообмена и т.п. не позволяют построить для них общепринятую модель. Существенные упрощения: отсутствие фазовых переходов, температурных эффектов и пр. дают, тем не менее, модель среды, значительно усложненную по сравнению с однородной упругой или вязкоупругой моделью. Это вызвано способностью жидкости втекать или вытекать, в любую область, формируемую порами, что является, принципиальным отличием пористой среды от упругой. Отмеченное явление особенно важно при рассмотрении волновых процессов. В таких задачах по мере роста частоты колебаний возрастает вклад динамического поведения жидкости, что значительно усложняет модель среды.

Вопросы распространения волн в пористых насыщенных средах рассматривали М. Био (1956), Т.З. Вербицкий (1975, 1977), Дж. Гиртсма и Д. Смит (1961), В'.П. Горбатова (1969), Б.Я. Гуревич и С.Л. Лопатников (1985, 1986), Н.С. Городецкая (1998), В.Е. Донцов и др. (1987, 1988), Л.М. Дорогиницкая и др. (1964), Н. Дунин, Д. Михайлов, В. Николаевский (2002), П.П. Золотарев (1963), O.K. Кондратьев (1986 г.), В.Н. Крутин и др. (1984, 1988), Г. Кустер и М. Токсоз (1974), Г.М. Ляхов (1982), Ф.М. Ляховицкий (1988 г.), М.Г. Марков и А.Ю. Юматов (1984), Р.И. Нигматулин (1978), В.Н. Николаевский (1963, 1970, 1984), Б.П. Сибиряков и др. (1978), В.П. Степанов (1963), Л.П. Хорошун (1980), R. Ababou и др. (2002), D.F. Aldridg и др. (2005); S.-Domenico (1974, 1976), J. Jocker и D. Smenlders (2005), G. Chao и др. (2005), G. Mavko и A. Nur (1975, 1979), N.I. Robinson (2002), С. McCann и D.M. McCann, (1969, 1985), S. Mochizuki (1982), U. Murphy и др. (1982, 1984), R: Stall (1970, 1979, 1980), H.F. Wang (2000), J. White (1975) и-многие другие.

Началом активных исследований волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Я.И. Френкеля (1944). Вслед за этой работой уравнения распространения звуковых волн в газонасыщенной пористой среде в одномерном приближении были получены в книге К. Цвиккера.и К. Костена (1952). Теория М. Бйо, как. показано JI.Я. Косачевским (1959), опирается на те же соотношения между напряжениями-и деформациями, что и в работе Я.И. Френкеля, но* отличается'большей, общностью. Теория распространения t звуковых волн в насыщенной пористой'среде'также изучалась ГШ. Золотаревым, (1964), ЕШ. Николаевским (1963) и Х.А. Рахматулииым (1956). Подробный < анализ уравнений распространения звука- в насыщенной пористой- среде, предложенный различнымшавторами, дан В.Н. Николаевским (1970).

Важным результатом исследований волн в насыщенной пористой среде явилось предсказание существования трех типов собственных волн: продольных волн первого и второго рода (называемых иногда быстрой и медленной продольными волнами) и поперечной волны (волны сдвига). Если быстрая-продольная и сдвиговая волны по своей природе близки к волнам в упругой' среде, то медленная продольная волна с ее значительными дисперсией и затуханием, вызванная- перемещением частиц- жидкости относительно скелета, свойственна именно пористой среде.

Работа посвящена изучению распространения волн в пороупругих телах и средах; исследованию влияния пористости на. характеристики-волн. При анализе волн рассматриваются задачи; которые могут быть, сведены^ к решению* граничных интегральных уравнений (ГИУ). Метод ГИУ развивается в сочетании* с методом граничных элементов (МГЭ). Универсальность метода позволяет преодолеть ограничения ряда- аналитических и численно-аналитических методов относительно форм границы, включений, полостей и т.п. Метод ГИУ и МГЭг не имеют традиционных недостатков таких универсальных численных методов, как метод конечных элементов (МКЭ> и метод конечных разностей (МКР). Высокая< точность получаемых результатов на основе ГИУ и МГЭ- необходима для рассматриваемого класса задач. К тому же, исследование волновых процессов в полубесконечных телах является естественным для применения ГИУ и МГЭ, а для МКЭ и МКР решение задач выбранного класса наталкивается на существенные ограничения этих подходов1 и требует для них искусственных адаптаций вычислительных МКЭ- и МКР-схем;

Несмотря* на успешное подтверждение выводов^ теории пороупругости' для искусственных материалов, результаты экспериментальных исследований демонстрировали значительное расхождение величин дисперсии и затухания для сред естественного происхождения J. Dvorkin, А. Nur (1993), R.D. Stoll (1985, 2000), А. Turgut, Т. Yamamoto (1990). С, целью получения согласованных результатов, теории и эксперимента рядом авторов были предложены модели пористых сред. В большинстве своем эти модели в той или иной степени^ сводились к системе уравнений Био с зависящими от частоты коэффициентами.

Теория Био является» расширением классической теории упругости на случай г двухфазной среды с учетом ввода дополнительных параметров, учитывающих взаимодействие фаз. Именно теория Био! предсказала существование в пористой среде трех типов волн. Анализу их характеристик, в частности коэффициенту затухания и скорости распространения, посвящено значительное число работ. Роль медленной' волны* наиболее существенна в случае- большой сжимаемости среды, заполняющей поровое пространство (в частности газом). Медленную продольную волну сложно обнаружить в естественных пористых средах, так как она имеет значительно меньшую амплитуду, чем быстрая продольная. Кроме того, трудности обнаружения медленной продольной? волны обусловлены в значительной мере сложностью ее возбуждения и выделения на фоне сигналов от быстрой продольной и поперечной волн. Игнорирование медленной продольной волны приводит к значительным ошибкам^ при* оценке затухания быстрой продольной и поперечной волн. Теория. Био не только качественно, но и количественно правильно предсказывает скорости, амплитуды и частотную зависимость затухания,всех трех типов волн в различных насыщенных пористых средах.

Большинство имеющихся работ по изучению колебаний в пористых средах опираются либо на метод нормальных мод, основанный!на представлении решениям виде набора собственных мод, либо на лучевые методы. Активно разрабатывается подход на основе интегральных представлений в форме контурных интегралов: П.М. Боков (2001), ' Е.В. Глушков (2006), Н.В. Глушкова (2008), A.M. Ионов (2001), Л.А. Молотков (2001), В.М. Сеймов, А.Н. Трофимчук (1990) и др.* Анализ использования теории Био для описания распространения волн малой амплитуды в насыщенной« пороупругой среде показывает, что теоретические расчеты требуют более строгих подходов, применение которых значительно усложняет схемы.

Самым популярным численным методом для прикладных задач является. МКЭ. Применение его в динамике реализовано в большинстве доступных коммерческих программ, так реализованы такие как вязкоупругие, квазистатические пороупругие уравнения. Динамические пороупругие формулировки МКЭ были опубликованы в работах O.K. Зинкевича и Shiomi Т. (1984), O.K. Зинкевича (1988), и Diebels S. и Ehlers W. (1996). МКЭ может использоваться для решения задач о распространении волн в вязкоупругих и пороупругих средах, особенно в ограниченных областях. Конечно-разностные методы решения задач для систем уравнений Био были сформулированы несколькими способами: центрально-разностный метод в терминах смещения [142], предиктор-корректор метод для системы, уравнений; скоростей-напряжений [82]. Полуаналитическийметод для систем уравнений; Био в терминах смещений продолжен в работе [118] .

Однимиз успешных современных методов численно-аналитического анализа динамических, задач трехмерной механики; деформируемого? твердого тела- являетсяг метод граничныхэлементовьш граничных интегральных;уравнений [20-22,62;, 64] 66^ 70j.71V 90, 95; 100,ä. 105; 113; 120-122; 129;1.132]t Biего ?нынешнем«виде: МГЭвпервые появился в работе. Н.И. Мусхелшшшли в 1937 году. Он используется как граничный метод, в? котором- численная? дискретизация; проводится : на* объекте размерностью на единицу меньше, чем1; размерность, пространства ; задачи. Это ? уменьшение1 размерности ведет к системам линейных алгебраических; уравнений меньшего порядка, меньшему количеству; компьютерных: затрат и более эффективному вычислению. Этот эффект наиболее: очевиден;1 когда: область пеограничена. Метод автоматически? моделирует поведение на; бесконечности« безе соответствующего развертывания» сетки1 для аппроксимации области. Так как в МГЭ нет; необходимости; иметь» дело1 с; внутренней; сеткой; то настройка сеткишамногошроще [20-22; 62, 64] 66, 70;' 71, 90, 95;; 100, 105, 113; 120-122, 1>29г 132]:. Ведущая роль МГЭ; как специализированного и альтернативного метода; по сравнению со всеми; другими- численными методами* для дифференциальных у равнений в частных производных, является бесспорной [20-22, 62, 64, 66, 70, 71, 90, 95, 100, 105, 113, 120-122, 129, 132].

Начальную математическую «базу дали; теоремы Фредгольмаметоду потенциала для* решения, задач-теорит упругости: Работы. Н.И. Мусхелишвили:(1966;, 1968), И.Н; Векуа (1948);, Н. П! Векуа (1970), ВЩ; Купрадзе: (1964;.1976)-ш G.F. Мйхлина (1994) обеспечили обоснование теории векторных упругих потенциалов через изучение сингулярных интегральных уравнений. Такие работы стали возможны благодаря результатам А. Зигмунда, А. Кальдерона (1956, 1952, 1983); С.Г. Михлина (1962, 1980) по теории сингулярных интегральных операторов.

Классическая аппроксимация решения краевой задачи на основе МГЭ может быть изображена схематично;(рис. 1). К 90^М:ГГ. XX в. появились многочисленные публикации; посвященные применению:методов ГИУ и МГЭ к широкому кругу инженерных; задач;:

Рис. 1. Классическая схема решения краевой задачи на основе МГЭ

Целью диссертационной" работы является создание методик конечномерных представлений искомых полей решений базовых краевых задач на основе гранично-элементного подхода. Гранично-элементное моделирование рассматривается! как инструментарий дискретного решения соответствующих ГИУ. Используются классические (сингулярные) ГИУ. Классические ГИУ используют аналоги формул Грина-Бетти-Сомильяны. Гранично-элементное моделирование динамики тел требует решения* проблемы моделирования искомых решений во времени. Для решения этой проблемы, совместно с гранично-элементным построением используется , интегральное преобразование Лапласа. Это позволило замкнуть гранично-элементную схему решения классических ГИУ процедурами численного обращения преобразования Лапласа и метода квадратур сверток.

Несмотря на то, что в литературе' представлены варианты сингулярных ГИУ (Manolis G.D., Beskos D.E. 1989, Schanz M. 2005, [126]), имеются лишь единичные ГЭ-решения краевых динамических задач пороупругости. Анализ опубликованных систем ГИУ показывает, что в некоторых из этих систем не выдержана необходимая математическая- строгость. Т.е. используемые ГИУ (Schanz М. [126]) не являются решением исходной начально-краевой задачи. Возникшая проблема обнаружена и решена в работах [23, 119]. Причина допущенной ошибки объяснена в работе [6].

На основе аналитического обзора можно утверждать, что в последнее двадцатилетие наблюдается рост исследований нестационарных процессов в твердых деформируемых упругих телах с учетом сопряжения различных механических и немеханических полей. Математическая модель указанных физических явлений описывается начально-краевыми задачами для? достаточно сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных, не принадлежащих известным каноническим типам. Развитие теории сопряженных полей в упругих телах достигается путем объединения двух, или более разделов феноменологической физики. Типичными примерами такой взаимосвязи полей является пороупругость. Теория объединяет модель упругой среды с моделью массопереноса в насыщенной пористой среде. Первой публикацией, сформулировавшей проблему изучения особенностей макроскопического переноса массы в пористой среде, была работа Г. Дарси (1856), а следующая публикация Г. Дарси (1857) содержит известное соотношение (закон Дарси) между скоростью течения жидкости и градиентом давления в проницаемой среде. Эти работы являются базовыми для такого раздела гидродинамики как теория фильтрации жидкостей и газов в копилярно-пористой среде. Становление нового направления на рубеже XIX-XX веков тесно связано с трудами Ж. Дюпюи (1963), Ф.Г. Кинга (1898), С.С. Слихтера (1899), П. Форхгеймера (1901), H.H. Павловского (1922), Дж. Козени (1927), Г.Г. Фенчера и Дж.А. Льюиса (1933), Н.Е. Жуковского (1937), П.С. Кармана (1937), М. Маскета (1937), С.А. Христиановича (1940) и Л.С. Лейбензона (1947). Большой вклад в формирование современной теории фильтрации в насыщенной пористой среде был сделан благодаря исследованиям С. Эргуна (1952), В.И. Аравина и С.Н. Нумерова (1953), В.Н. Николаевского (1959, 1970, 1984), А.Е. Шейдегера, (1960), Д.А. Эфроса (1963), Р. Коллинза (1964), В.М. Ентова (1984, 1967, 1968), П.Я. Полубариновой-Кочиной (1977), Ф.А. Дюллиена (1979), М.И. Швидлера (1985) и многих других отечественных и зарубежных ученых. Только за последние годы в научной периодической печати опубликовано свыше 100000 работ по исследованию пористых структур [32]. Математический анализ задач упругости с сопряженными полями позволяет глубже вникать в механизм процесса деформации, связанного с эффектом пористости в твердом теле.

Интенсивно развиваемое направление теории упругости с сопряженными полями требует разработки высокоточных методов решения сложных задач о взаимодействии полей различной природы. Одним из возможных подходов к решению этих вопросов является привлечение хорошо разработанных методов ГИУ и МГЭ.

В качестве обоснования математической модели можно сказать следующее. Моделирование малых возмущений в упругой деформируемой среде, перфорированной системой пор, заполненных жидкостью или газом, является достаточно хорошим приближением реальных материалов. Точная математическая модель упругой пористой среды состоит из классических уравнений баланса импульса и массы, записанных в переменных Эйлера; уравнений, определяющих напряжения в каждой компоненте среды; замыкающего уравнения, описывающего поведение границы «поровое пространство — твердый скелет». Исходная модель приводит к задаче с неизвестной (свободной) границей. Линейная модель получается линеаризацией нелинейной модели вблизи состояния покоя. Методы линеаризации достаточно хорошо изучены, и полученная линейная модель общепринята (например, [51, 73, 93]). Она является основой виз учении динамики упругих пористых сред. Подробнее с этим можно познакомится, к примеру в [39]. Приведем лишь сведениям работах по обоснованию модели. Математическая модель содержит естественно малый параметр £, которым является отношение среднего размера пор / к характерному размеру L рассматриваемой области: e = UL. Поэтому вполне обоснованным является нахождение предельных режимов в точной модели при стремлении малого параметра к нулю. Такие приближения сильно упрощают исходную задачу, сохраняя при' этом все ее основные свойства. Но даже при наличии малого параметра задача все еще остается достаточно трудной, и необходимы дополнительные упрощения, предложения о периодичности порового пространства.

Первой' попыткой вывода усредненных уравнений в модели, когда скелет считается абсолютно твердым телом, было обоснование известного в теории фильтрации закона Дарси. Э. Санчес-Паленсия [51] формально обосновал закон Дарси, используя двухмасштабный метод асимптотических разложений. Математически строгий вывод этого же закона принадлежит Л. Тартару в [51]. Используя тот же самый двухмасштабный метод асимптотических разложений, Burridge R., Keller J.B. [73] дали формальный вывод системы уравнений Био [67]. Строгое обоснование модели Био при тех же предложениях, что и в [73], было дано Nguetseng G. [115] и позже - Clopeau Th., Ferrin J.L., Gilbert R.P., Mikeli A. [80].

По математической постановке' основных задача отметим следующее. Для широкого диапазона насыщенных двухфазных материалов упругая и вязкоупругая теории не применимы при исследовании распространения волн. Игнорирование факта распространения медленной продольной волны приводит к неадекватному описанию волновых картин. Исторически сформировались для этого две теории, о чем подробно сказано в обзорах De Boer R., W. Ehlers (1988, 1990), [84]. Первые работы,по пористым средам принадлежат P. Fillunger (1913). Другая теория была развита К. Terzaghi (1923).

Основанная на работе К. Terzaghi теория • пористых материалов, содержащих вязкую жидкость, была представлена М:А. Био (1941). В течение следующих лет М.А. Био расширил свою теорию (1955, 1956). Среди существенных результатов в последующем было обнаружение трех волн для трехмерного континуума: двух волн сжатия и одной поперечной^ упругой волны. Эта дополнительная волна сжатия, известная как медленная волна, была подтверждена экспериментально T.J. Piona (1980).

Основанный на работе Р.* Fillunger подход был развит в теорию пористых сред: R'.M. Bowen (1976), С. Truesdell (1960), W. Ehlers (1989, 1993). Было показано, что при некоторых ограничениях теория Био приводит к тем же самым определяющим уравнениям (W. Ehlers 1994). Об эквивалентности двух теорий говорится в »исследованиях [72, 89, 128]. В этих публикациях сравниваются линейные варианты теорий. Обнаружено, что эквивалентность возможна только для'явной плотности массы Био равной нулю. В [128] показано, что дифференциальные операторы для обеих теорий эквивалентны. Следовательно, достаточно иметь фундаментальные решения только для одной из двух этих теорий. Результаты, для другой теории переносятся за счет изменения» некоторых констант материала. В работе рассматривается теория М.А. Био. При ее применении возможны два варианта. Во-первых, неизвестными могут быть смещения скелета и скорость просачивания (м* —и{ -формулировка); во-вторых, неизвестными могут быть смещения скелета и давление в порах (иJ — р -формулировка). Боннет [69] показал, что u¡ — р -формулировка является достаточной для адекватного описания, пороупругого континуума. Отметим, что и* — р -формулировку традиционно рассматривают в изображениях в области Лапласа. O.K. Зинкевич [143] предложил упрощенную пороупругую модель, чтобы использовать и* — р -формулировку во временной области.

Bi отличие от упругих сред волны в насыщенных пористых средах обладают существенными дисперсией и затуханием. По вопросам исследования волновых процессов в пористых средах можно обратиться к монографиям В.Г. Быкова (1999, 2000), В.Н. Николаевского (1970, 1996),► О. Coussy (2004), трудам международных конференций Poromech и др.

Ключевым вопросом для применения классических ГИУ при решении задач динамической пороупругости является вопрос построения динамических матриц Грина и Неймана. Система уравнений теории пороупругости не является гиперболической, и поэтому формулы Герглотца-Петровского не могут быть получены в явном виде для фундаментального решения во временной области. Обзор фундаментальных решений для квазистатического случая дается в [78]. Для. анализа задач о распространении волн требуется полная динамическая модель. Первая* попытка разработать фундаментальное решение для этого случая- была сделана Burridge R. и Vargas С.А. [74] для uf —и{ формулировки. В силу неоднородности, выбрана была только! точечная сила в твердом теле, чего- недостаточно для использования* такого фундаментального решения в ГЭ-формулировке: Позднее Norris A.N. [146] вывел для той же-формулировки-временные гармонические фундаментальные решения, используя точечную силу в твердом теле и точечную силу в жидкой фазе в качестве нагрузки. Он также получил явные асимптотические аппроксимации для смещений в удаленном поле, а также такие аппроксимации для низко- и высокочастотных откликов. Для той же системы неизвестных, но в лапласовой области, Manolis G.D. и Beskos D.E. [111] опубликовали фундаментальные решения (см. также поправки в [112]). Кроме этих решений г они также отметили аналогию между пороупругостью и термоупругостью. Однако такая аналогия возможна только'для. и/ - р -формулировки. Это было показано Bonnet G. [69], когда он представил фундаментальное решение для и* - р -формулировки в частотной области. В' дополнение к трехмерным решениям, которые он получил преобразованием термоупругих решений, опубликованных В1Д. Купрадзе [106], он также представил двумерные решения. Далее он заключил, что достаточно ust - р -формулировки, и что и* — и{ -формулировка излишне детерминирована. Следует отметить, что неточности работы Bonnet G. [69] были исправлены Domínguez J. [87, 88]. Boutin et al. (1987) опубликовали фундаментальные решения5 для теории Био, но они пренебрегают членами инерции жидкой фазы. Соответствующие определяющие уравнения обусловлены процессом гомогенизации [65].

За одним исключением во всех упомянутых выше работах фундаментальные решения-даются в преобразованных областях. Фундаментальное решение во временной области было предложено Norris A.N. [116] и Wiebe Th. и Antes Н. [138] для u¡ - u¡ формулировки. Однако в этих решениях вязкая связь твердого тела и жидкой фазы не учитывается. Без этого ограничения Chen J. в двух своих работах (для. двумерного континуума [76] и трехмерного континуума [80]) представил фундаментальные решения для и/ - р -формулировки. Эти решения ^ получены, путем обратного преобразования решений для области Лапласа в работе [69], что привело к необходимости численного решения интеграла.

Фундаментальные решения выводятся в основном с помощью двух методов. Во-первых, имеется возможность расщепления оператора путем введения трех потенциалов.

Во-вторых, приведение сложной матрицы дифференциальных операторов к простому скалярному оператору с помощью метода JL Хермандера [99].

Использование «лестницы Хермандера» позволило М. Schanz построить матрицу фундаментальных решений (тензор Грина) для изотропной теории пороупругости [126]. При построении матрицы сингулярных решений им в [126] допущены ошибки, которые привели к тому, что сингулярные ГИУ не эквивалентны исходной системе дифференциальных уравнений пороупругости [23].

По применению гранично-интегральных уравнений основных задач пороупругости и методики гранично-элементного моделирования можно отметить следующее. Сведение исходной начально-краевой задачи к соотношениям на границе обеспечивает создание эффективной численной схемы, что особенно показательно для задач с неограниченными областями. Первыми обратили внимание на возможность применения метода потенциалов к волновому уравнению» В. Вольтерра и Ж. Адамар. Те же идеи были применены Ч.Х. Мюнцем (1932) к динамической плоской задаче теории упругости, которая сводится к задаче отыскания скалярного и векторного решений волнового уравнения, связанных краевыми условиями.

Изучение граничных свойств скалярных запаздывающих потенциалов! начато в работах Михлина С.Г., Сапожниковой В.Д. (1977). В публикации Bamberger A., Ha-Duong Т. (1986) доказана разрешимость нестационарных ГИУ для волнового уравнения, возникающих при решении первой краевой^ задачи потенциалом простого слоя и второй задачи - на основе потенциала двойного слоя.

Первые результаты численного моделирования методом ГИУ задач распространения и рассеивания акустических, упругих волн можно найти в монографиях Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. (1987), А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский (1980), Antes Н., Panagiotopoulos P.D. (1992), Бреббия К., Вроубел Л. (1988) и т.д. Можно выделить три подхода метода ГИУ при решении гиперболических начально-краевых задач: пространственно-временные ГИУ, методы в изображениях по Лапласу и шаговые по времени методы. Пространственно-временные интегральные уравнения используют фундаментальное решение уравнений в частных производных. Конструкция ГИУ основывается на формулах представления, включающих в себя потенциалы двойного слоя и потенциала простого слоя. Учет времени приводит к появлению интегральных уравнений Вольтерра по переменной времени. Численные методы, созданные из этих пространственно-временных ГИУ, являются глобальными по времени. Методы изображения по Лапласу решают задачи в изображениях. Для каждой фиксированной частоты применяются стандартные ГИУ для эллиптической задачи, затем решение строится на основе обратного преобразования во временную область с. использованием специальных методов инверсии изображений- по Лапласу. Пошаговые временные методы отталкиваются от дискретизации г по времени' исходной начальной краевой; задачи: через неявную схему и затем используют ГИУ для решения получающихся эллиптических задач для* каждого шага по .времени. Трудность»заключается* штом;. что.- для*, временного.« шага: имеются ненулевые начальные данные, что нетипично едля-; применениям ГИУ (ненулевые: начальные условия; объемные силы- и неоднородные граничные значения);. Решение, определяющее* начальные, данные для; следующего шага, не может обратиться в нуль, внутри области. Преодолению возникающих проблем посвящены специальные приемы.

Для гиперболических задач математический анализ главным образом«основан на вариационных методах (A. Bamberger и Т. Ha-Duong (1986), Т. Ha-Duong (1990. 1996)). Большинство оценок; основано» на; переходе к комплексным, частотам (Е. Becache (1991), A.Peirce и Е. Siebrits (1996;. 1997), В. Birgisson и др; (1999)). Анализ,' проведен: для основных областей; приложения ¡ ГИУ: скалярное, волновое уравнение, упругодинамика (E.Becache:(1993)i E. Becache HiT. Ha-Duong;(1994), И:Ю. Чудйнович (1993); [79]) шт.ш

Для интегрального уравненияv запаздывающего потенциала устойчивость и сходимость коллокационных; методов; были установлены-; P.J. Davies. (1994, 1998), P.J.Davies и D.B. Dunkan (1997, -2003). Детальное описание пространственно-временных ГИУ в упругодинамике можно найти у таких авторов < как И.Ю: Чудинович (1993, [79]), E.Becache и Т. I-Ia-Duong (1994), G.A. Brebbia и др. (1984),.Н. Antes (1988), М.Н. Aliabadi и L.C.Wrobel [139]. ■ ■ .

Анализ численных методов,. основанный на вариационных формулировках, и> связь-метода пространственно-временных интегральных, уравнений: с методом^ конечных элементов даны.Т. Sayah (1998), A. Bachelot и др. (2001).

Применение метода;, ГИУ с преобразованием Лапласа в упругодинамике: имеет длинную историю (Т.A. Cruse и E.J. Rizzo (1968), Т.А. Cruse (1968)). Для обобщений;типа вязкоупругости, пороупругости эти методы являются более, приемлемыми, чем пространственно-временные методы ГИУ, потому что пространственно-временные фундаментальные; решения явно не; известны» или очень сложны (L. Gaul и М. Schanz (1999), М. Schanz (1999, [126]), C.Y. Wang и др. (2003)). Методы преобразования Лапласа в виде метода квадратур сверток использовались успешно в работах (М: Schanz и Hi Antes (1997), М. Schanz [126]| J.C.F. Telles и C.A.R. Vera-Tudela, 2003).

Возможно поменять порядок шагов: сначала применить схему дискретизации, по времени к первоначальной-начальной краевой задаче, и затем применить метод ГИУ к результирующей задаче, которая является дискретной по времени и непрерывной в пространстве. Гиперболические задачи приводятся к эллиптическим задачам, для которых МГЭ хорошо разработаны. Другое, преимущество в, том, что как; только построена, процедура для одного временного шага, можно производить вычисления; произвольно далеко=по времени;, повторяя,ту же самую процедуру. В?литературе по МГЭ можно найти много успешных приложений*; подобных пошаговых; временных; схем? к гиперболическим задачам, упругодинамике (НардиншД. и БреббияЖ., ,1983; Partridge;и др:,:1992; Gaul и др: [92], [134]). • , ; :

Явленияраспространенияволн актуальноисследовать дляполубесконечных сред. В' таких задачах необходимо выполнить, условия;; распространения; (условия; излучения Зоммерфельда А. (1949)); В'МКЭ применяются специальные; приемы для того, чтобы это4 условие выполнялось. Есть.две главные идеи решения этойпроблемы: .первая:заключается; в использовании; так называемых, бесконечных элементов (Вetterss P; (1992)), а-вторая - в том, чтобы использовать,.так называемое;.граничное условие Дирихле-Неймана;[94, 101]. При использовании МГЭ«условие распространения Зоммерфильда; выполняется*неявным образом: Этот метод, дискретизации;. также как- и; МКЭ, базируется на формулировке взвешенной невязки для;определяющего дифференциального уравнения, но в отличие от МКЭ в качестве весовых функций, используются; фундаментальные: решения: Это преимущество — одна из главных причинисиользовапияМГЭ: . .

Независящие от выбора формулировки определяющие: уравнения» состоят из, системы связанных дифференциальных уравненийв-частных производных. Найти форму, близкую к точному решению общего случая даже в .простой одномерной« постановке, не просто. Были найдены некоторые аналитические решения для специальных одномерных задач. Например; Grag S.K. (1974) исследовал реакцию бесконечно- длинной флюидонасыщенной грунтовой колонны, подвергнутой' на торце скоростью в виде функции- Хевисайда. Решение; в частотной- области конечной; одномерной колонны, нагруженной сверху распределенными, напряжением'и; давлением; было представлено Cheng A.H.-D. (1991) для сравнения с ГЭ решением. Соответствующее решение во времени получено Schanz М. и Cheng A.H.-D. [127]. Кроме этих одномерных постановок численные: методы могут применяться в более общих; задачах. Двумерная квазистатическая формулировка; граничных элементов была развитая Cheng A.H--D: и Liggct J.A. (1984) для^ задач на отвердевание и задач на разрушение: Позже трехмерная« квазистатическая формулировка была представлена; Badmus Т. (1993). Обзор различных, квазистатических формулировок может быть найден в [127]. Формулировки граничных элементов базируются.на.теории Био. - \

В случае динамической формулировки граничного элемента ситуация схожа с вязкоупругим случаем. Так как не было получено фундаментальных решений как. функций времени, то первые пороупругие динамические формулировки, граничных элементов были опубликованы в pa6oTe;Manolis G.D: и Beskos D:E. (1989) в изображениях по Лапласу (и* -u¡ - формулировка). После появления и[ - р -формулировки (Bonnet Gî, uriault J.-E. (1987)), гранично-элементный подход , был представлен: у Cheng A.H.-D. (1991) и Domínguez J-: (1992). Bí этих формулировках переходная; характеристика иороупругого континуума' должна: быть определена с помощью обратного преобразования. Длядинамическойпороупругостипредпочтительнееработать в области реального времени. Такая гранично-элементная формулировка: была развита Wiehe Th. и Antes Hi (1991), но с ограничением в виде стремления; к. нулю демпфирования между твердым каркасом и жидкостью. Другая-, зависящая« от времени формулировка была предложена. Chen J. и Dargush G.F. (1995). Она основана на аналитическом; обращении изображения по Лапласу фундаментального решения.'[78]. Этот подход требует больших затрат времени. В! [125]:; разработан: пошаговый IЭ-метод, основанный?» на; методе, квадратур сверток. Формулировка М. Schanz [126]г базируется на методе, предложенном G. Lubich (1988): Этот метод использует область Лапласа фундаментального решения: и полученные результаты не только более устойчивы,.но и, позволяют учитывать действие демпфированиям в случае вязко- или пороупругости. Для пороупругости применение метода ГИУ ограничивается случаем полностью насыщенного материала, свойства которого описываются , моделью Био. При построении; ГЭ-схемы используют разные элехменты. В [22] имеется описание истории этого вопроса. Отметим лишь, что» для пороупругости в [124, 126]; используются только изопараметрические элементы, в [119, 133] кроме изопарамётрическйх элементов бьши использованы смешанные элементы, т.е. функции формы, для смещений: и поверхностной; силы, отличаются от функций для давления и потока. В [22] описана согласованная ГЭ-схема, которая и используется в данной работе.

Существует упрощенный способ ГЭ-моделирования - 2.5D МГЭ (E.J. Luco et al., 1990; L. Zhang, A.K. Chopra, 1991; H.A. Pedersen et al., 1994; A.S. Papageorgiou; D; Pei, 1998; A! Tadeu, E. Kausei, 2000; A.A. Stamos, D:E. Bëskos, 1996; D.-Sheng J. et al., 2005; M: Bouchon, 2003; S; Gaffet, M: Bouchon,. 1989; Т.Ш.Eu-Ji-S; Jeng, 2006). Этот подход'может быть использован для упрощения задач, когда прилагаемая1- нагрузка и отклик на нее являются трехмерными, а область распространения может считаться двумерной: ;

Отдельно следует сказать о задачах полупространства. Методы ГИУ и МГЭ в таких задачах являются частью общего направления - интегрального подхода,—по их решению. Вопросы существования и единственности решения; соответствующих интегральных уравнений детально изложены в публикациях и монографиях И.И. Воровича [27, 28], (1974, 1979) и В.А. Бабешко (1980, 1989, 1990, 1994) [13-18] и др. К эффективным методам решения таких интегральных уравнений и систем интегральных уравнений относятся метод факторизации [13-15], метод фиктивного поглощения Бабешко В.А., Пряхина О.Д. (1980), Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. (1974), [13, 46, 47] и др. В работах [16-18] было предложено обобщение метода фиктивного поглощения для слоисто-неоднородного полупространства и эффективность продемонстрирована в работах [25, 26, 33-35, 43, 48] и др. Основным достоинством методов факторизации и фиктивного поглощения является высокая степень точности учета динамических свойств среды.

Отметим аналогию между методами конечных и граничных элементов. Самый популярный численный метод, используемый в прикладных задачах, - МКЭ. Это общепризнанный метод. Вязкоупругие, квазистатические пороупругие уравнения реализованы в большинстве коммерческих программ. МКЭ может использоваться для решения задач о распространении волн в вязкоупругих и пороупругих средах, особенно в ограниченных областях. Приведем таблицу основных аналогий методов МКЭ и МГЭ (рис. 2). мкэ мгэ формулировка в форме взвешенных невязок

- ti)a)ids = 0

2 5"

1 р интегрирование по частям 1 слабая формулировка обратная формулировка

СуЫик1соисЮ. = |[(и, - ГС^акЛи,(Ю. = Г(г*и( - +

П 5" п 5 [[(/; -/,)«,+ + |"(м, - u¡)(Oids + [(/,

5" ограничения • м, = м/ на 5""

• а>, = 0 на 5й • = на б"7 1 • м, на Я" г

- = \{ftiui-tico)ds п Б" п 5 весовая функция

II 3 г л г К виртуальная работа формула Грина-Бетти-Сомильяны с„к1ик ;диис10. = \tfads

П 5 т дискретизация 1

Км = 2 Ай = Е7

Рис. 2. Сравнение метода конечных элементов и метода граничных элементов

Актуальными для исследования являются задачи распространения волн; на; границе пористого полупространства; Обзоры по распространению волн в однородных изотропных упругих телах (и не только) можно найти в [19, 59, 117]. Поверхностные волны являются? основным типом волн, наблюдаемых, при; землетрясениях и взрывах, поскольку, распространяясь - по поверхности,. они ослабевают с расстоянием медленнее объемных волн: Распространение поверхностных волн вдоль, границы; пористой среды, и флюида, имеет в отличии от случая^твердого тела свои особенности из-за наличия, в, пористой-среде- продольной: волны второго рода [68, 86]. В работе [114] рассмотрено распространение поверхностных волн, вдоль свободной поверхности пористой среды в рамках модели Био [86]: Об экспериментальных наблюдениях поверхностных мод,, возбуждаемых на. границе пористых образцов, сообщалось в работах [24, 75, 91]. Пользуясь терминологией [60]; будем. называть, каждую из найденных поверхностных волн либо истинной модой, либо псевдомодой' (Релея^ или. Стоунли) в> зависимости от соотношений скоростей поверхностной^ моды- и объемной волны. Скорость истинной моды меньше скоростей. всех объемных волн- в< обеих граничных средах, в-, том числе и медленной продольной? волны в пористой- среде. Скорость псевдомоды, Рэлея близка к скорости поперечной волны в; насыщенной^ пористой среде. Все поверхностные, моды затухают при распространении,* что отличает их от поверхностных волн в? твердом теле. Истинная мода, затухает в результате межфазного силового взаимодействия в пористой среде, а псевдомоды - как из-за? такого: взаимодействия, так и вследствие переизлучения в ■ одну или две объемные составляющие.

При высоких частотах псевдомоды". Рэлея являются; вытекающими, (что согласуется^ результатами [60]), так, как амплитуда двух (для волны.Рэлея) их объемных: составляющих нарастает при удалении от границы вследствие переизлучения. Однако при: низких частотах для'псевдоволн Рэлея; вместо нарастания соответствующей компоненты, связанного с переизлучением,, происходит убывание вследствие высокого затухания этой компоненты из-за межфазного вязкостного силового взаимодействия: Во всем частотном диапазоне псевдомода Рэлея переизлучает энергию в однородную волну в .жидком полупространстве. Уточним, что для; пористой среды низко- и высокочастотные: диапазоны условно разделены характерной частотой, зависящей от: проницаемости среды, ' плотности и вязкости насыщающей жидкости, соответствующей изменению характера течения жидкости в порахг.при низких частотах движение жидкости происходит по закону Пуазейля, а при- высоких становятся существенными инерционные эффекты [86]. В настоящее время, доказано, что на. свободной: границе насыщенной пористой: среды существуют два типа: поверхностных волн. Во многих работах изучались вопросы отражения и прохождения волн при контактировании пороупругих сред с жидкими, упругими или пороупругими слоями; процессы распространения и затухания волн в пороупругом слое [29, 37, 44, 50, 61, 140]. Значительно меньше работ посвящено рассмотрению краевых задач динамики для пороупругой среды. Здесь основное внимание уделялось случаю полупространства. Так, для двухфазного

I ; полупространства детально рассмотрена задача Лэмба [54, 97, 98, 140]. Известно много работ, касающихся акустики пористых сред и посвященных изучению процессов распространения волн в таких средах [30, 31, 36; 40-42, 53, 57, 131, 135].

В результате исследования поверхностных волн на границе пористого флюидонасыщенного полупространства можно сделать следующие выводы. Свойства поверхностных волн на границе пористого полупространства существенным образом зависят от скорости медленной продольной волны. Для сред, у которых скорость медленной* продольной волны меньше скорости поперечной, волны, - неизлучающиеся поверхностные волны существуют только в сравнительно узком диапазоне значений модуля сдвига скелета среды. Границу между решениями разных типов можно характеризовать с помощью значения модуля сдвига скелета пористой- среды, выше которого волны будут излучающимися. При понижении пористости среды значение этого модуля быстро уменьшается и для большинства реальных сред с жестким скелетом волны на границе будут излучающимися. \

Цель работы состоит в развитии МГЭ-методики на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения« трехмерных задач динамикичпороупругих однородных тел при смешанных краевых условиях; в разработке соответствующих алгоритмов; в модельных гранично-элементных расчетах динамического деформирования трехмерных пороупругих тел.

Научная новизна работьь заключается в следующем. Впервые указана причина ошибок в одной из систем ГИУ динамической пороупругости. Впервые предложен и применен новый метод численного обращения преобразования Лапласа. В основу ГЭ-моделирования задач динамической пороупругости положен согласованный гранично-элементный подход на основе обобщенных четырехугольных элементов, в отличие от традиционно используемого изопараметрического подхода на основе треугольных элементов. Представлены соответствующие численные результаты.

Метод ГВИУ в сочетании с методом квадратур сверток и новым (шаговым) методом численного обращения преобразования Лапласа — единственные универсальные численно-аналитические подходы решения краевых задач пороупругости с использованием шаговой схемы. ГЭ-моделирование на основе метода квадратур сверток и нового (шагового) метода численного обращения преобразования Лапласа развито на случаи применения формул Левина и Филона для вычисления соответствующих квадратурных коэффициентов.

Представлены результаты численного моделирования и верификации предложенных методик и схем. Впервые дано численное решение задачи о действии силы на торец призматического пороупругого тела с момента, когда материал описывается полной моделью Био сжимаемой среды, до момента, когда материал стал описываться моделью Био несжимаемой среды. Кроме того, на примере этой задачи впервые продемонстрировано влияние величины коэффициента проницаемости на отклик давлений.

Достоверность исследований основана на эквивалентности исходной краевой/начально-краевой задачи в частных производных математической теории пороупругости системе построенных граничных/гранично-временных интегральных уравнений; на использовании для численных исследований регуляризованных ГИУ/ГВИУ; на детально проработанных алгоритмах МГЭ-подхода; на сравнении полученных результатов с решениями других авторов.

Практическая значимость результатов исследования состоит в создании нового (шагового) метода численного обращения преобразования. Лапласа, развитии методов Дурбина, квадратур сверток и граничных элементов с целью получения устойчивых высокоточных численных решений трехмерной динамической теории пороупругости; в создании МГЭ-алгоритмического обеспечения для анализа динамики однородных трехмерных пороупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа, в создании МГЭ-алгоритмического обеспечения для анализа динамики однородных трехмерных пороупругих тел на основе шаговых схем.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методами квадратур сверток и Дурбина для» анализа динамики трехмерных пороупругих однородных тел.

2. Новый (шаговый) метод численного обращения преобразования Лапласа в сочетании с формулами Левина и Филона и численный анализ на его основе задачи о действии сосредоточенного источника в трехмерной пороупругой среде.

3. Численное исследование влияния на динамику отклика перемещений:

- эффекта перехода свойств пороупругого материала из сжимаемого состояния в несжимаемое;

- величины коэффициента проницаемости.

4. ГЭ-решение следующих волновых задач:

- о действии силы на торец однородного пороупругого призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова (Н.Новгород, 2006); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной«механике (Н.Новгород, 2006); XIII Нижегородской сесси молодых ученых -математические науки (Семенов, 2008); XII Нижегородской сессии молодых ученых -технические науки (Семенов, 2007); XII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 143 наименований. Общий объем диссертации составляет 143 страницы машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методами квадратур сверток и Дурбина для анализа динамики трехмерных пороупругих однородных тел.

2. Разработан новый метод численного обращения преобразования Лапласа в сочетании с формулами Левина и Филона и проведен численный анализ на его основе задачи о действии сосредоточенного источника в трехмерной пороупругой среде.

3. Численно исследовано влияние на динамику отклика перемещений:

- эффекта перехода свойств пороупругого материала из сжимаемого состояния в несжимаемое;

- величины коэффициента проницаемости.

4. Получены ГЭ-решения следующих волновых задач: о действии силы на торец однородного пороупругого призматического тела; о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства.

1. Аменицкий A.B. Гранично-элементный расчет динамики однородных пороупругих тел // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во ИНГУ. - 2009. - Вып. 71'. - С. 178-183.

2. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А. Гранично-элементное решение динамической осадки пороупругой колонны // Проблемы! прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - Вып. 72. - 2010. - С. 154158.

3. Аменицкий A.B., Игумнов JI.A., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2008. - Вып. 70. - С. 71-78.

4. Аменицкий A.B., Колчин Н.В., Литвинчук С.Ю. Метод граничных элементов на основе модификации алгоритма Дурбина // XIII Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки. Н.Новгород: Изд-во ИП Гладкова О.В. - 2008. — С. 43-44.

5. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. - 256 с.

6. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // ДАН. 2004. - Т. 399, № 3. - С. 63-68.

7. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // ДАН. 2004. - Т. 399, № 1. - С. 163-167.

8. Бабешко В.А., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства // ПММ. 2002. -Т.66, вып.2. - С. 276-284.

9. Бабешко В.А., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства // ДАН. 2001. - Т.380, № 5. -С. 619-622.

10. Бабешко В.А., Калинчук В.В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства // ПММ. 2002. - Т.66, вып. 2. - С. 285-292.

11. Багдоев* А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян A.B. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит, 2009. - 320 с.

12. Баженов В.Г., Белов A.A., Игумнов Л.А. Гранично-элементное моделирование динамики кусочно-однородных сред и конструкций: Учебное пособие. -Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. 180 с.

13. Баженов В.Г., Игумнов Л.А'. Метод граничных элементов в трехмерной динамической теории упругости и вязкоупругости с • сопряженными полями: Учебное пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - 328 с.

14. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. - 352 с.

15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

16. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. - 246 с.

17. Ворович И.И., Белянкова Т.Н., Калинчук В.В. К проблеме низкочастотных резонансов при взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой // ДАН. -1998. Т. 358' № 5. - С. 624-626.

18. Городецкая Н.С. Затухание симметричных волн при распространении в пористо-упругом слое со свободными поверхностями // Акуст. BicH. 1998. - Т.1, №4. — С.4-18.

19. Губайдуллин A.A., Дудко Д.Н., Урманчеев С.Ф. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном // Физика горения и взрыва. 2000. - Т.36, №4. - С. 87-96.

20. Егоров А.Г., Костерин A.B., Скворцов Э. В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1990.

21. Издательство научно-технической литературы «Elsevier» fhttp://www. elsevier.ru).

22. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М.: Физматлит, 2002. - 240 с.

23. Калинчук В.В.,4 Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: Физматлит, 2006. - 272 с.

24. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. Естеств. науки. — 2000.-№3.-С. 74-76.

25. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах. // ПММ. 1959. - Т. XXIII, № 6. - С. 1115-1123.

26. Марков М.Г., Юматов А.Ю. Акустические свойства слоистой пористой среды // ЖПМТФ. 1988. - Т. 167, №1. - С.115-119.

27. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Обобщенные квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Пб. ун-та. 2002. - № 25. - С. 2333.

28. Мейрманов A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, № 3. — С.645-667.

29. Молотков J1.A. О распространении нормальных волн в изолированном пористом флюидонасыщенном слое Био // Зап. научных семинаров ПОМИ. 1999. - Т. 257. -С. 165-83.

30. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

31. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

32. Панамаренко В.Г., Метлов Л.С., Сургай Н.С. Возбуждение упругих волн в двухкомпонентном полупространстве // Теор. и прикл. .мех. 1976. - Вып.7. — С.20-25.

33. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. 1998. - Т.62, вып.5. - С. 834839.

34. Пряхина О.Д., Фрейгейм М.Р. Связанная нестационарная задача о возбуждении электроупругого слоя массивным электродом // Изв. РАН. МТТ. 1998. - №2. - С. 111-118.

35. Рябов В.М. Вычисление скачков оригинала по его отображению с помощью квадратурных формул // Вестник Ленингр. ун-та. 1998. - №1. - С. 36-39.

36. Саагав Я.У. Плоские задачи механики упругопористых сред. Ташкент: Фан, 1975. - 252 с.

37. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов // Пер. с англ. под ред. Б.Е.Победри. М.: Мир, 19791

38. Смирнов Н.Н. Сафаргулова С.И. О скорости распространения малых возмущений в пористых средах // Прикл. математика и механика. 1991. - Т.55, вып.З. - С. 410415.

39. Трофимчук А.Н. Динамическое взаимодействие жесткой плиты с водонасыщенным пористоупругим основанием // Прикладная механика. 1996. - Вып.32, №1. - С. 69-74.

40. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986. -295с.

41. Шагапов В.Ш. Влияние тепломассообменных процессов между фазами на распространение малых возмущений в пене // Теплофизика высоких температур. — 1985. Т. 23, № 1. - С. 126-132.

42. Шифрин Е.И. Пространственные задачи линейной механики разрушения. М.: Физматлит, 2002. - 368 с.

43. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. North Holland, 1980.

44. Adler L., Nagy P.B. Measurements of acoustic surface waves on fluid-filled porous rocks //J. Geophys. Res. 1994. - V.99. - P. 17863-17869.

45. Albert G.D. A comparison between wave propagation in water-saturated and air-saturated porous materials // J. Appl. Phys. 1993. - V.73, №1. - P.28-36.

46. Aliabadi F. The boundary element method: applications in solids and structures. John Wiley, 2002. - 598 p.63. Antes

47. Ashraf A., Rajakumar C. Boundary element method: application in sound and vibration. -Taylor, 2004.- 188 p.

48. Auriault J.-L., Borne L., Chambon R. Dynamics of Porous Saturated Media, Checking of the Generalized Law of Darcy // Journal of the Acoustical Society of America. 1985. -V.77(5).-P.1641-1650.

49. Beskos D:, Maiser G. Boundary element advances in solid mechanics. Berlin: Springer, 2003. - 307 p.

50. Biot M. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media,// J. Acoust. Soc. Amer. 1962. - V.34, №9. - P. 1256-1264.

51. Biot M;A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-suturated porous solid // J. Acust. Soc. Amer. 1956. - V.28. - P.168-191.

52. Bonnet G. Basic Singular Solutions for a Poroelastic Medium in the Dynamic Range // Journal of the Acoustical Society of America. 1987. - V.82(5). - P. 1758-1762.

53. Bonnet M, Frang A. Analyse des solides deformables par la methode des elements finis // École polytechnique campus de l'université de Montréal 2500, chemin de Polytechnique Montréal, Qc Canada, 2006. 300 p.

54. Bonnet M. Boundary integral equation-methods for solids and.fluids. Wiley, 1999. -391 p.

55. Bowen R.M. Compressible Porous Media Models by use of the Theory of Mixtures // International Journal of Engineering Science. 1982. - V.20, №6. - P.697-735.

56. Burridge R., Keller J. B. Poroelasticity equations derived from microstaicture // J. Acoust. Soc. Amer. 1981. - V.70, №4. - P.l 140-1146.

57. Burridge R., Vargas C.A. The Fundamental Solution in Dynamic Poroelasticity // The geophysical Journal of the Royal Astonomiacl Society. 1979. - V.58. - P.61-90.

58. Chao G., Smeulders D.M.J., van Dongen M.E.H. Shock-induced borehole waves in porous formations: Theory and experiments // J. Acoust. Soc. Amer. 2004. - V.116, №2. - P. 693-702.

59. Chen J. Time Domain Fundamental Solution to Biot's Complete Equations of Dynamic Poroelasticity. Part II: Three-Dimensional Solution. International Journal, of Solids and Structures. 1994. - V.31(2). - P. 169-202.

60. Chen J. Time Domain Fundamental Solution to Biot's Complete Equations of Dynamic Poroelasticity. Part I: Two-Dimensional Solution // International Journal of Solids and Structures. 1994. - V.31(10). - P. 1447-1490.

61. Cheng A.H.-D., Detournay E. On singular integral equations and fundamental solutions of poroelasticity // International journal of solids and structures. 1998. - V.35(34-35). -P. 4521-4555.

62. D'Amore L., Lacetti G., Murli A. An implementation of a Fourier-series method for the numerical inversion of the Laplace transform // ACM Transactions on Mathematical Software. 1999. - №25. - P. 279 -305.

63. Dai N., Vafidis A., Kanasewich E.R. Weve propagation in heterogeneous, porous media: a velocitystress, finite-difference method // Geophysics/ 1995. - V.60. - P.327-340.

64. Davies B. Integral Transforms and Their Applications (3rd edn). New York: Springer, 2002.

65. De Boer R. Theory of Porous Media. Berlin: Springer-Verlag, 2000.

66. Deresiewicz H. The effect of boundaries on-wave propagation in a liquid-filled porous solid. IV. Surface waves in a half-space // Bull. Seism. Soc. Amer. 1962. - V.52, №3. -P.627-638.

67. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer. 1963. - V.53, №4. - P.783-788.

68. Dominguez J. An Integral Formulation for Dynamic Poroelasticity // Journal of Applied Mechanics, ASME. 1991. - V.58. - P.588-591.

69. Dominguez J. Boundary Element Approach for Dynamic Poroelastic Problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1992. - V.35(2). - P.307-324.

70. Ehlers W., Kubik J. On Finite Dynamic Equations for Fluid-Saturated Porous Media // Acta Mechanica. 1994. - V.105. - P.101-117.

71. Faraji A. Elastic and elastoplastic contact analysis: using boundary elements and mathematical programming. 2005. - 121 p.

72. Feng S., Johnson D.L. High-requency acoustic properties of a fluid/porous solid interface. I. New surface mode. II. The 2D reflection Green's function. // J. Acoust. Soc. Am. 1983. - V.74, №3. - P.906-924.

73. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists. -Berlin Springer, 2003. 488 p.

74. Gilbert R: P., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed. I // Nonlinear Anal. 2000. - V.40. - P. 185-212.

75. GiljohannT.M., Bittner M. The three-dimensional DtN finite element method fo diation problems of the Helmholtz equation // Journal of Sound and vibration. 1998. -V.212(3).-P. 383-394.

76. Ha-Duong T. On Retarded Potential Boundary Integral Equations and their Discretisation // In: Topics in Computational Wave propagation (Eds. M. Ainsworth, P. Davies et al. -Berlin: Springer-Verlag, 2003. -P.301-336.

77. Haidar N.H.S. The collocation double series inverse in quasilinear regularizer form // J. of inverse ill-problem. 1999. - Vol.7, №2. - P. 127-144.

78. Halpern R.M., Christiana P. Response of poroelastic halfspace to steady-state harmonic surface tractions // Inter. J. Num. Analyt. Methods in Geomech. 1986. - №10. - P. 609-632.

79. Halpern R.M., Christiana P. Steady-state harmonic responce of a rigid plate bearing on a liquid-saturated poroelastic halfspace // Earthq. Eng. Str. Dynani. 1986. - №14. - P. 439-454.

80. Hormander L. Linear Partial Differential Operators. Springer-Verlag, 1963.

81. Hsiao G.C., Wendland W. Boundary Integral Equations. Applied Mathematical Sciences, 2008. - 620 p.

82. Ihlenburg F. Finite Element Analysis of Acoustic Scattering // Applied Mathematical Sciences. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. - 1998.

83. Iserles A. On the numerical quadrature of highly-oscillatting integrals I: Fourier transforms, IMA J. Numer. Anal. 2004. - № 24. - P.365-391.

84. Iserles A. On die numerical quadrature of highly-oscillatting integrals II: irregular oscillators transforms, IMA J. Numer. Anal. 2005. - №25. - P.25-44.

85. Iserles A., Norsett S.P. Efficient quadrature of highly-oscillatory integrals using derivatives, Proc. Roy. Soc. A. 2005. - №461. - P.1383-1399.

86. Kompis V. Selected topics in boundary integral formulations for solids an fluids. -Berlin: Springer, 2002. 232 p.106.107.108.109.110.111.112.113,114,115,116117118119

87. Nagy P.B. Observation of a new surface mode on a fluid-saturated permable solid // Appl. Phys. Lett. 1992. - V.60. - P.2735-2737.

88. Nguetseng G. Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics // SLAM J. Math. Anal. 1990. - V.21, №6. - P.1394-1414.

89. Norris A.N. Radiation from a Point Source and Scattering Theory in a Fluid-Saturated Porous Solid // Journal of the Acoustical Society of America. 1985. - V.77(6). -P.2012-2023.

90. Pao Y.-H. Elastic Waves in Solids // Journal of Applied Mechanics. ASME. — 1983. -50. — P.1152-1164.

91. Philippacopoulos A.J. Lamb's problem for fluid-saturated porous media // Bull.Seism.Soc.Am. 1988. - V.78. - P. 908-923.

92. Pryl D. Influences of Poroelasticity on Wave Propagation: A Time Stepping Boundary Element // Formulation Herausgegeben vom Mechanik-Zentrum der Technischen Universität Braunschweig. 2005. - 128 p.

93. Qin Q.H. Green's function and Boundary elements of multifield materials. Elsevier, 2007.-254 p.

94. Qin Q.H. The Trefftz finite and boundary element method. WIT Press, 2000. - 296p.

95. Rjasanow S., SteinbachO. The Fast Solution of Boundary Integral Equation. Berlin: Springer, 2007. - 284 p.

96. Sakurai T. Numerical inversion of the Laplace transform of functions with discontinuities // Queueing Systems, 2004.

97. Schanz M. Application of 3-d Boundary Element Formulation toWave Propagation in Poroelastic Solids // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2001. - V.25(4-5). -P.363-376.

98. Schanz M. Boundary Element Calculation of Wave Propagation in 3-d Poroelastic Solids // In advances in Computational Engineering and Sciences. Palmdale: Tech Science Press - 2000. - V.l. - P. 118-123.

99. Schanz M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua. Berlin: Springer, 2001. - 170 p.

100. Schanz M., Cheng A.H.-D. Transient Wave Propagation in a One-Dimensional Poroelastic Column // Acta Mechanica. 2000. - V.145. - P. 1-18.

101. Schanz M., Diebels S. A Comparative Study of Biot's Theory and the Linear Theory of Porous Media for Wave Propagation Problems // Acta Mechanica. 2003. - V.161(3-4). — P.213-235.

102. Schanz M., Steinbach O. Boundary Element Analysis. Berlin: Springer, 2007. - 354 p.

103. Schanz M., Struckmeier V. Wave propagation in a simplified modelled poroelastic continuum: Fundamental solutions and a time domain boundary element formulation // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2005. - №64.,- P.1816-1839.

104. Shagapov V.Sh., Khlestkina N.M., Lhuillier D. Acoustic waves in channels with porous and permeable walls // Transport in Porous Media. 1999. - V.35, №3. - P. 327-344.

105. Sladek V., Sladek J. Singular integrals in boundary element methods. Southampton, Boston: Computational Mechanics Publications, 1998. - 448 p.

106. Steinbach O. Mixed approximations for boundary elements // SIAM J. Numer. Anal. -2000.- 38. -P.401^13.

107. Tosecky A., Kolekova Y., Schmid G., Kalinchuk V. Three-dimensional transient halfspace dynamics using the dual reciprocity boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. - V.32. - P.597-618.

108. Tuncay K., Corapcioglu M.Y. Body waves in fractured porous media saturated by two immiscible Newtonian fluids // Transport in Porous Media. 1996. - V.23, №3. - P. 259-273.

109. Valko P.P., Vojta B .L. The List. 2001; http://pumpj ack.tamu.edu/valko.

110. Weideman J.A.C. Algorithms for parameter selection in the Weeks method for inverting the Laplace transform // SLAM Journal on Scientific Computing. 1999. - № 21. - P. 111-128.

111. Wiebe Th., Antes H. A Time Domain Integral Formulation of Dynamic Poroelasticity // Acta Mechanica. 1991. - V.90. - P. 125-137.

112. Wrobel L.C., Aliabadi M.H. The Boundary Element Method. // Wiley, 2002.

113. Yaiuaiuoto T. Acoustic propagation in the ocean with a poro-elastic bottom // J. Acoust. Soc. Amer. 1983. - V.73, №5. - P.1578-1596.

114. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate. // hit. J. of Solids and Structures. 2004. - V. 41. - P. 3653-3674.

115. Zhu X., McMechan G.A. Numerical simulation of seismic responses of poroelasticreservoirs using Biot theory // Geophysics. 1991. - V.56. - P.328-339.

116. Zienkiewicz O.C., Chang C.T., Bettess P. Drained, undrained, consolidating and dynamic behaviour assumptions in soils // Geophysics. 1980. - V.30, №4. - P.385 -395.