Исследование динамических эффектов в структурно-неоднородных анизотропных телах прямоугольного сечения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО

ОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА. Постановка краевой задачи.

Применение метода суперпозиции при решении задачи об установившихся колебаниях однородного анизотропного прямоугольника.

Вывод бесконечной системы линейных уравнений, определяющих решение исходной задачи.

Асимптотический анализ решения системы интегральных уравнений.

Применение метода Бубнова . Галёркииа для решения бесконечной системы линейных уравнений.

Численный анализ задачи об установившихся колебаниях анизотропного упругого однородного прямоугольника.

Глава °

§1 §2

УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО КУСОЧНО - НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА СИММЕТРИЧНОЙ СТРУКТУРЫ.

Постановка краевой задачи.

Применение метода суперпозиции при решении задачи об установившихся колебаниях неоднородного анизотропного прямоугольника.

Вывод бесконечной системы линейных уравнений, определяющих решение исходной задачи.

§4. Асимптотический анализ решения системы интегральных уравнений.

§5. Влияние геометрических и упругих параметров области на волновые

Глава 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО

КУСОЧНО - НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА НЕСИММЕТРИЧНОЙ СТРУКТУРЫ.

§1. Постановка краевой задачи. Формулировка вспомогательных задач. Применение- метода суперпозиции при решении задачи об установившихся колебаниях поперечно - неоднородного анизотропного прямоугольника.

§2. Вывод бесконечной системы линейных уравнений, определяющих решение исходной задачи.

§3. Асимптотический анализ решения системы интегральных уравнений.

§4. Изучение влияния анизотропии, геометрических и структурных параметров на спектр резонансных частот.

Природная, конструкционная и деформационная анизотропия и неоднородность физико-механических свойств присуща в определенной мере большинству материалов. Учет анизотропии и неоднородности при исследовании динамических процессов деформирования обусловливает более адекватные представления о качественном характере напряженного состояния упругих тел и их волноводных свойствах, позволяет получить более достоверные количественные оценки.

Отмеченное обстоятельство приобретает важное практическое значение в связи с постоянно расширяющимся применением в различных отраслях промышленности и строительства конструкционных элементов из существенно анизотропных неоднородных материалов. Во многих случаях это подвергающиеся высокочастотным вибрациям ответственные и дорогостоящие детали несущих конструкций, к которым предъявляются повышенные требования надежности и экономичности. Одновременно в электротехнике, электронике и приборостроении расширяется применение компонентов устройств преобразования энергии и обработки сигнальной информации, выполненных из анизотропных по физико-механическим свойствам пьезоэлектрических кристаллов и поляризованной пьезокерамики. Объекты типа волноводов применяются в качестве фильтров и резонаторов, ультразвуковых линий задержки в акустоэлектронике, гидроакустике, неразрушающем контроле и других областях науки и техники. В машиностроении практически повсеместно отработана практика упрочнения внешней поверхности детали различными методами (цементация, нитроцементация, гальванизация, закалка). В связи с этим внешняя поверхность детали по механическим свойствам отличается от сердцевины. Естественно, при деформировании таких, неоднородных по структуре 5 деталей, на границе раздела сред возникают эффекты, которые техническими средствами диагностировать сложно.

С исследованием динамических процессов в анизотропных неоднородных упругих средах связаны также многие теоретические и прикладные проблемы акустической дефектоскопии, горной механики, сейсмологии. Таким образом, широкий круг приложений наряду с логикой внутреннего развития механики деформируемого твердого тела является стимулом дальнейших исследований в области краевых задач динамической теории упругости для анизотропных сред. Это определяет более чем вековой интерес исследователей к задачам о движении в упругих волноводах. В большинстве публикаций рассматриваются гармонические волновые процессы,^-что связано, во-первых^ -е ш^ применения, а во-вторых, с тем, что изучение стационарных процессов является самым удобным путем к количественному описанию и пониманию особенностей нестационарных процессов в упругих телах.

Анализ и проектирование инженерных конструкций на основе современных анизотропных материалов требует адекватных расчетных моделей для исследования затухания статических краевых и локальных эффектов в анизотропных композитных материалах различной структуры [29]. Актуальность проблемы обусловлена в первую очередь, следующими факторами.

1. Структурная и конструктивная анизотропия упругих свойств материалов приводит к тому, что для некоторых схем нагружения и закрепления области неустановившегося напряженно-деформированного состояния (зоны краевых эффектов) могут иметь значительный относительный размер. На основании данных о геометрии и размерах зоны краевых и локальных эффектов в элементе конструкции можно выделить такие области, для анализа которых является правомерным использованием механических моделей, построенных на предположении об однородности 6 поля напряжений или об известном его характере. Оценка протяженности зоны краевого эффекта также важна при разработке методики испытаний неоднородных деталей.

2. Анизотропия упругих свойств материала и его структурная неоднородность могут привести к возникновению высокоградиентных полей напряжений. При этом зоны концентрации напряжений могут быть локализованы в пределах области неоднородности структуры или превышать ее. Данные о распределении напряжений в зоне краевых и локальных эффектов имеют значение для прочностного анализа материала и конструкции.

Краевые эффекты в анизотропных материалах исследуются в основном в -рамках -континуального подхода способы осреднения исходных расчетных моделей, а внешние факторы и структура области учитываются в интегральном смысле или в рамках модели кусочно-однородной среды, когда используются упрощающие предположения и гипотезы относительно характера деформирования, как для компонентов области, так и для всей структуры: в целом. Применение различных методов решения задач определения краевых эффектов в большинстве случаев сводится к анализу корней характеристических уравнений и построению соответствующих решений, имеющих затухающий характер. Полученные таким способом результаты часто дают только крайние оценки для параметров затухания краевых эффектов, оставляя открытым вопрос о распределении напряжений в зоне краевого эффекта и о геометрии зоны.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вопросов, связанных с установившимися колебаниями однородного и поперечно-неоднородного анизотропного прямоугольника под действием гармонически изменяющейся во времени нагрузки.

В работе также предпринята попытка, оценить границы концентрации 7 краевых эффектов в задачах об установившихся колебаниях указанной области, исследовать влияние анизотропии и неоднородности на характеристики волнового поля, изучить динамическое поведение вблизи концентраторов напряжений, которыми являются угловые точки и ребра.

Различают три типа неоднородности;

1. продольная неоднородность (граница раздела сред перпендикулярна образующим поверхностям);

2. поперечная неоднородность (направление границы раздела свойств материалов параллельно образующим поверхностям);

3. непрерывная неоднородность.

Исследованию распространения волн в поперечно-неоднородных (слоистых) волноводах посвящено большое количество работ. — ------------------

Одной из первых, где довольно полно изучались физические основы распространения волн в слоистых средах, приводился анализ некоторых работ и применяемых в них методов по данной теме, является монография Л.М. Бреховских [25].

В монографии И.И. Воровича, В.А. Бабешко [48] исследованы: математические вопросы, связанные со спектральными свойствами волноводов, а также с вопросами существования и единственности смешанных задач для неоднородной изотропной полосы. Полученные результаты по спектральной теории обобщены на волноводы достаточно произвольного типа в монографии A.C. Зильберглейта, Б.И. Копилевича [87].

Изучение волнового поля в слоистых средах весьма важно, т.к. является первоначальным этапом решения задачи: об установившихся колебаниях неоднородных плит конечных размеров.

Установившиеся гармонические колебания поперечно-неоднородного упругого полупространства, вызванные поверхностной нагрузкой, рассматривались в работах В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, IIB. Глушковой [11,13], где приводятся алгоритмы для непрерывно-неоднородного и 8 слоистого полупространств, устойчивость реализации которых на ЭВМ обеспечивается выделением экспоненциальной составляющей решений в явном виде.

Некоторые особенности возбуждения и распространения упругих волн в неоднородных средах изучаются в работе В.В. Калинчука, М.Г. Селезнева [89].

Среди других работ, в которых изучается распространение волн в слоистых средах, отметим работы [6,14,15,24,9.1,92,98,110,112,122], выполненные у нас в стране, и [26,128,130,134,135,136,138] за рубежом.

Вопросы распространения волн в слоистых электроупругих волноводах рассмотрены, например, в монографии М.К. Балакирева, И. А. Гилинского [16]. Слоистые плиты с произвольным числом слоев изучаются в работе И.П. Гетмана, Ю. А. Устинова [56], где, также как и в работах [54,55], разработаны эффективные аналитический и численный методы расчета волновых полей в поперечно-неоднородных плитах и цилиндрах.

Существование двух типов волн в неограниченной упругой среде вызывает большой интерес к проблеме влияния граничных поверхностей на процесс распространения гармонических волн. Волновая картина в упругом теле при наличии границ значительно усложняется

Задачи нормального и наклонного падения волн на границу плоскопараллельных слоев, в том числе электроупругих, изучены в монографии Н.А. Шульги [124], в работах [88,119,120,123] и др.

Вопрос о возможности существования локализованных вблизи поверхности гармонических волн впервые был поставлен и решен Рэлеем [144]. Он установил, что вдоль плоской свободной границы полубесконечного упругого тела может распространяться гармоническая волна. Амплитуды компонент вектора перемещений в этой волне экспоненциально убывают с увеличением расстояния вглубь 9 полупространства. Проблемы, связанные с этими волнами, названными волнами Рэлея, ставились и решались в работах [22, 58,119,120] и др.

Некоторые новые данные о роли границы, в волновых процессах раскрываются при анализе отражения и преломления плоских воли на поверхности раздела двух полупространств из разных материалов. Анализ таких процессов дан в работах [13,58,88]. Наличие границы раздела двух сред приводит не только к эффектам отражения и преломления волн. Не менее важным являются эффекты резонансного типа, глобального и локального существования волн, локализующихся вблизи границы. Изучению-этих эффектов посвящены работы [58,77,86,109,120,124,128,140].

Первой работой, в которой предпринята попытка изучить напряженное ^©0г-вяйиечЕфяш^ -на работа Mathieu Е. [139], в которой автор решил полученную в результате удовлетворения граничных условий бесконечную систему методами редукции и последовательных приближений, но не доказал регулярность этой системы.

Недостатком рассмотренных позднее работ для прямоугольника [83,85] является удовлетворение граничных условий только на двух противоположных сторонах прямоугольника. На двух других граничные условия удовлетворялись приближенно.

Стремление уточнить характер напряженного состояния за счет более полного удовлетворения граничных условий на всех сторонах прямоугольника обусловило появление ряда работ, в которых предлагались различные способы построения полных решений краевой задачи.

В настоящее время разработано два подхода к решению граничных задач теории упругости для тел конечных размеров аналитическими методами. Один из них, метод однородных решений [105,111,117], нашел применение в плоской задаче теории упругости, в теории тонких и толстых плит, при исследовании деформации конечного цилиндра и в ряде других

10 случаев. Решение задачи находится с помощью однородных решений, которые являются интегралами основных уравнений теории упругости и удовлетворяют нулевым граничным условиям на части поверхности тела, совпадающей с одной из координатных поверхностей. Однако значительные вычислительные трудности обусловливали постановку смятенных граничных условий.

В рамках указанного метода выполнен еще ряд исследований различными авторами [7.8].

Для этих работ характерно, что в них не ставится вопрос об особенностях напряженного состояния, порождаемых наличием угловых точек границы. В связи с этим полученные количественные оценки не всегда -точныт--ТгК-.-важно-знад?ь-не только -то,--что регншие- бесконечной-си стемы существует, но и поведение неизвестных с ростом номера.

Во втором подходе, развитом в [67], решение задачи представляется в виде суперпозиции нескольких последовательных частных решений. При этом предполагается, что поверхность упругого тела образована частями координатных поверхностей разных семейств в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Идейную основу метода суперпозиций положил Ламе [137]. Автор рассмотрел одну из сложных задач для параллелепипеда, находящегося под действием нормальных нагрузок по граням. Общее решение этой задачи Ламе строил в виде суперпозиции последовательностей частных решений для периодически нагруженного слоя, т.е. начал с построения общего решения, которое обладало бы необходимым: функциональным произволом для удовлетворения любых граничных условий на гранях. В свое время эта идея Ламе не нашла должного применения из-за отсутствия эффективных методов исследования и решения бесконечных систем, к которым приводило удовлетворение граничных условий.

11

Появление в начале 30-х годов стройной теории бесконечных систем [94], а также электронных машин создали предпосылки для возрождения идеи Г. Ламе, например, в работах Б. Л. Абрамяна [1,2,3].

В этих работах была впервые доказана регулярность бесконечных систем, полученных при удовлетворении граничных условий, что дало возможность их приближенного решения. Однако этого оказалось недостаточно для решения вопросов об особенностях напряженного состояния вблизи угловых точек границы.

Позднее обобщенный метод Ламе на случай задач об установившихся колебаниях тел конечных размеров был изложен в работе А.Г. Власова [50], а затем использован в работах [59,60.97].

-----------Общим- Аедвшжм -шх:.работ- являлось тог что -решение задачдоводилось лишь до получения бесконечных систем, тем самым исключался учет физических особенностей рассматриваемых задач.

Следует отметить работы [61,60,69,118], в которых показана тесная связь между двумя формами решений, полученных методом однородных решений и методом суперпозиции.

Дальнейшее развитие метод Ламе получил в работах С. Калиского [131-133]. Автор рассмотрел не только специфические случаи граничных условий, которые не приводят к бесконечным системам, но и основные граничные задачи для параллелепипеда и цилиндра, в которых удовлетворение граничных условий приводит к бесконечным системам. С, Калиский уделил внимание доказательству регулярности бесконечных систем, причем ему пришлось существенно ограничить диапазон рассматриваемых частот, чтобы исключить резонансные области. К сожалению, предложенный автором метод решения бесконечных систем не позволяет получить достоверные количественные оценки для собственных частот и характеристик форм колебаний тел конечных размеров.

12

Важным явлением, характеризующим специфику упругих волноводов, служит "краевой" резонанс. Впервые необычные резонансные колебания экспериментально обнаружил при изучении колебаний толстых пьезокерамических плит Шоу [146]. Позднее аналогичную по свойствам моду наблюдал при изучении колебаний длинных стальных цилиндров Оливер [141].

Теоретическое осмысление этого факта можно найти в работах [95,134,149], где просматривается связь между явлением краевого резонанса и особенностями процесса отражения волн от торца упругого волновода.

Под краевыми эффектами в механике деформируемого твердого тела понимают величины протяженности концентрации напряжений или в более общем случае-области (зоны) кенцентрации. Так как наличие концентрации напряжений может быть причиной разрушения материала, то качественное или количественное определение меры концентрации напряжений является весьма важным и всегда актуальным вопросом.

Обычно специалистам известны причины и места возникновения краевых эффектов в однородном или анизотропном материалах [121,21]. Как правило, краевые эффекты возникают в окрестности мест приложения локальных поверхностных нагрузок в районе трещин, полостей, в местах резкого изменения геометрии или граничных условий, вблизи контакта компонент. Однако, этой информации не достаточно.

Многие аспекты характерной для упругих тел конечных размеров краевой моды к настоящему времени хорошо изучены. С большей степенью уверенности можно говорить и о том, что формирование этой моды: качественно объясняется как образование стоячей волны неоднородными бегущими волнами. Изменяемость поля напряжений (деформаций) в такой волне характеризуется опущенным масштабом, который не зависит от общих размеров упругого тела. Значит и собственная частота такой формы не зависит от геометрических размеров. Только в том случае, когда

13 масштаб неоднородных волн становится соизмерим с высотой или длиной тела, наблюдается взаимодействие неоднородных волн, связанных с различными торцами и образование форм колебаний с типичной зависимостью собственной частоты от геометрических размеров тела. В этом: заключается необходимость учета краевого эффекта и его влияния на прочностные характеристики.

Поскольку частота краевого резонанса существенно зависит от коэффициента Пуассона, повышаясь с его увеличением, эту зависимость можно использовать для экспериментального определения величины v, что и делают авторы работы [140].

В работе В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [77] решается важный вопрос -о- зависимости -характеристик—краевого—резвкааеа -от- -геометрических размеров прямоугольника. Рассмотрение в этой работе, а также в работах [129,147,148] полубесконечных волноводов при различных условиях возбуждения, дает дополнительную важную информацию о явлении краевого резонанса. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями рассматривается в работе [12].

Особенности волнового процесса в упругих телах конечных размеров рассматриваются в работах [62,81,66,67,76,78], где описываются характеристики динамических краевых эффектов, рассматриваются явления краевого резонанса, оценивается интенсивность возбуждения неоднородных волн в окрестности частоты краевого резонанса.

Количественное и качественное исследование процесса распространения волн в составном волноводе также представляет интерес в различных областях. В частности, такая задача возникает в акустоэлектронике в связи с изучением явления захвата энергии [150]. Другой возможной областью приложения является неразрушающий контроль сварных соединений [145].

14

Исследование характеристик волнового поля неоднородного волновода проводилось в работах Гетмана И.П. [54,55,56,57]. В дальнейшем рассматривалась задача о гармонических колебаниях поперечно -неоднородной изотропной прямоугольной области в работах[ 18,32, 33, 106,107].

Задачам построения численно-аналитических методов исследования волнового поля в составном волноводе прямоугольного сечения, состоящего из трех прямоугольников, для изотропного случая посвящены работы Вовка Л.П. [27-39]. В работе [40] разработанный метод обобщен на случай двусвязной прямоуг ольной области.

Говоря о методе суперпозиции, следует отметить работу A.B. Белоконя [17],- в которой предлагается новый иодход к решению такого типа задач. Строя общее решение в форме метода суперпозиции, вводится в рассмотрение некоторая вспомогательная задача, позволяющая свести решение исходной задачи к системам интегральных уравнений. Такой подход был успешно применен в работах [30,32,34].

Исследование асимптотических свойств неизвестных бесконечных систем, к которым приводит применение метода суперпозиции, авторы перечисленных выше работ осуществляют при помощи известных результатов Б.М. Кояловича [94] , что позволяет1 выделить главную часть частотного определителя при нахождении резонансных частот, заменив с некоторого номера значения неизвестных их предельными значениями. Все это позволило значительно расширить возможности метода суперпозиции, построить эффективный алгоритм определения резонансных частот и динамической напряженности, детально исследовать явление краевого резонанса для тел конечных размеров, что и сделано в работах [5,8,27,51,75,68,70] и др.

Особенности волнового процесса в упругих телах конечных размеров рассматриваются в работах [62,81,66,67,76,78], где описываются

15 характеристики динамических краевых эффектов, рассматриваются явления краевого резонанса, оценивается интенсивность возбуждения неоднородных волн в окрестности частоты краевого резонанса.

Поскольку в настоящее время вопросами изучения поведения решений в окрестности особых точек границы: уделено большое внимание, можно отметить два важных положения, которые сформировались в теории упругости в процессе исследований и которые применяются в работах [20,63] и др. Первое - вопрос об особенностях может быть решен на основании анализа напряженно - деформированного поля в очень малых окрестностях особых точек без решения граничной задачи для всего тела [4,49]. Второе -вопрос об особенностях при гармонических колебаниях упругих тел может быть вьшенен-на-осшше- атлиза- реиж^^ граничных задач [77,9].

В данной диссертационной работе решается новая в техническом отношении задача об исследовании особенностей волнового поля в однородном и составном неоднородном анизотропном призматическом волноводе прямоугольного сечения бесконечной протяженности при двумерном напряженно - деформированном состоянии. Особенности обусловлены наличием конечных границ раздела его составных частей при действии гармонически изменяющейся во времени внешней контурной равномерно распределенной нормальной продольной нагрузки (растяжения - сжатия). Задачи такого типа для выбранного вида неоднородности ранее не рассматривались: здесь область имеет не только внешние, но и внутренние угловые точки, которые вместе с «ребрами» - сторонами прямоугольников являются источниками концентрации волнового поля. В результате наложения отраженных волн от границ такой сложной конфигурации образуется сложная неоднородная стоячая волна и при этом в окрестности внутренних и внешних угловых точек создается концентрация смещений, как раз и известная как явление краевого резонанса. Анизотропия

16 материалов областей, из которых состоит сечение волновода, вносит свои особенности в это явление, что также является предметом исследования в данной работе.

Таким образом, сложность поставленной задачи обусловлена совместным наличием следующих факторов:

- существованием в упругой среде двух типов волн - продольной и поперечной, которые при рассматриваемых граничных условиях не разделяются;

- неоднородностью области, составленной из двух (трёх) однородных прямоугольников;

- существованием поверхностных волн типа волн Стоунли на границе раздела однородных областей; ~ -------------------- — ---------------------------

- наличием внешних угловых точек области и наличием внутренних угловых точек, расположенных на границах раздела сред с различными упругими характеристиками;

- анизотропией материалов, составляющих прямоугольную область.

Работа выполнена в рамках упомянутого подхода Ламе на основе современных методов решения граничных задач теории упругости.

Целью диссертационной работы является:

• дальнейшее развитие метода суперпозиции для решения задачи об установившихся колебаниях конечной однородной и поперечно-неоднородной анизотропной прямоугольной области под действием гармонически изменяющейся во времени нагрузки;

• разработка практических рекомендаций для конструирования упругих деталей прямоугольного кусочно-неоднородного сечения с учетом всех определяемых вибрационных характеристик;

• изучение влияния анизотропии и особенно упругих параметров стыка сред на харакгер концентрации волнового поля на границе раздела и в окрестности угловой точки сечения.

17

Научная новизна диссертационной работы:

- обобщен метод суперпозиции для конечной однородной и поперечно -неоднородной анизотропной прямоугольной области;

- проведено асимптотическое исследование поведения характеристик волнового поля в угловых точках области, что позволило построить эффективный алгоритм решения задач;

- проведен численный анализ спектра собственных частот колебаний рассматриваемой области;

- проанализированы различные группы пар материалов, в том числе и те, на границе которых появляются поверхностные волны типа волн Стоун ли;

- проведен анализ влияния мер и характера анизотропии на характеристики волнового поля прямоугольных областей;

- изучена зависимость спектра собственных частот и динамической напряженности сечения от отношения геометрических размеров стыкуемых областей;

- определен характер концентрации напряжений на границах раздела для различных классов материалов, составляющих сечение;

- проведен анализ особенностей спектра собственных частот от различных сочетаний пар материалов, в том числе материалов-концентраторов и пар материалов, на границе которых появляются поверхностные волны типа волн Стоунли.

Все перечисленные выше результаты: являются новыми, обосновываются и выносятся на защиту.

Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, приложений.

Первая глава работы посвящена постановке задачи об установившихся колебаниях однородной прямоугольной анизотропной области: под действием гармонически изменяющейся во времени нагрузки; построению

18 общего решения в рамках метода суперпозиции. Обобщая метод, предложенный А.В. Белоконем [17] для решения задач теории упругости для тел конечных размеров и развитый А.Н. Соловьевым для анизотропных электроупругих тел, вводится вспомогательная задача с "перекрестными " условиями, что позволяет свести решение поставленной задачи к решению системы интегральных уравнений относительно функций, определенных на границе области и имеющих определенный механический смысл. Проводится асимптотический анализ решения полученной бесконечной системы уравнений, а применение метода Бубнова -Галеркина позволяет свести ее к конечной и построить эффективный алгоритм ее решения. В этой же главе осуществлен анализ механических характеристик волнового поля и исследовано их поведение в угловых точках. Далее проводится численный анализ поставленной задачи. Большое внимание при этом уделено изучению влияния анизотропии на характеристики волнового поля и проверке достоверности полученных результатов.

Во второй главе рассматриваются установившиеся симметричные колебания поперечно-неоднородной прямоугольной в плане упругой детали, сечение которой состоит из трёх состыкованных друг с другом однородных анизотропных прямоугольников. В рамках предложенного в первой главе подхода, построен аналитический алгоритм решения задачи, позволяющий обобщить метод суперпозиции на случай кусочной неоднородности рассматриваемого типа. Формулировка вспомогательных задач в этом случае получается более сложной, что приводит к увеличению числа неизвестных системы интегральных уравнений и, естественно, к усложнению численного алгоритма. Однако и в данном случае учет поведения неизвестных функций в окрестности угловых точек позволяет получить спектр собственных колебаний и исследовать особенности краевого резонанса при различных геометрических размерах стыкуемых областей и характера их анизотропии. Проведенный анализ характера напряжений на границе раздела, позволяет

19 дать практические рекомендации при выборе конкретных пар материалов, составляющих сечение, что поможет уменьшить концентрацию напряженности на границе раздела сред и при этом сохранить все требуемые прочностные параметры.

В третьей главе рассматриваются установившиеся симметричные колебания поперечно-неоднородной прямоугольной в плане упругой детали, сечение которой состоит из двух состыкованных друг с другом однородных анизотропных прямоугольников. При численном анализе основное внимание уделено учету влияния на волновое поле асимметрии области и анизотропии либо одного, либо двух составляющих область прямоугольников.

В заключении приведены основные выводы диссертационной работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены и обсуждены на 1Х-ой международной конференции им. акад. Н. Кравчука в Киевском политехническом институте, на 2-й Всеукраинской научной конференции «Математические проблемы технической механики» в Днепродзержинском государственном техническом университете, на IV международной научно-технической конференции «Динамика технологических систем» в Донском государственном техническом университете, Ростовском строительном университете, в Киевском автомобильно-дорожном институте.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [31,41-47, 99-104]. В работе [31] Лупаренко Е.В. принадлежит обобщение результатов, полученных Вовком Л.П. [30, 34] для изотропного прямоугольника на случай анизотропного материала и проверка достоверности полученных численных числовых результатов. Вовку Л.П. принадлежит общий метод исследования задачи и проверка, достоверности получаемых результатов, путем сравнения их с изотропным случаем. Соболем Б.В. построены моды Ламе, как еще один вид контроля достоверности. В работе [103] Соболем Б.В. осуществлена постановка задачи. Вовком: Л.П. разработан вид вспомогательных задач,

20 позволивший применить метод суперпозиции для кусочно-неоднородных областей. Лупаренко Е.В. в указанной работе принадлежит проведению аналитических выкладок и формулировка полученных численных результатов, совместно с двумя соавторами. В работах [41-47, 99-102, 104] Вовку Д.П. принадлежит разработка общего метода решения и анализ полученных численных результатов, а Лупаренко Е.В. - численная и аналитическая реализация разработанного алгоритма, и проверка достоверности полученных результатов.

Развитые в диссертационной работе идеи, методы и расчетные модели неоднородных конструкций с успехом могут быть использованы при решении новых задач из самых разнообразных областей науки и техники. Перечислим некоторые из них [108].

- Разработка различных акустических элементов в виде прямоугольных пластин, в неразрушающем контроле, при исследовании конструкций из традиционных и современных материалов.

- Действие высокоинтенсивных комбинированных нагрузок различной физической: природы (термосиловые, электромагнитные поля и т. д.) на слоистые составные тонкостенные конструкции с учетом физико-химических превращений.

- Нестационарное взаимодействие жидкости и газа с оболочечными конструкциями, а также с мягкими и проницаемыми поверхностями (задачи аэрогидроупругости, азротермоупругости и аэроавтоупругости).

- Расчет трубопроводов, соприкасающихся с различными средами, при комплексных воздействиях, а также элементов ядерных реакторов.

- Реакции высотных гражданских и гидротехнических сооружений, зданий атомных электростанций на сейсмические воздействия. Здесь необходимо больше внимания уделить созданию расчетных моделей, адекватно описывающих физические процессы: в многокомпонентных средах.

21

- Исследование прочности гидроплатформ в прибрежной зоне и открытом море при широком спектре воздействий (сейсмические, ветровые, приливы и течения, действие волн и льда).

- Анализ динамического поведения оболочек сложной структуры из композиционных материалов с заполнителем и присоединенными телами. Здесь для исследований могут с успехом использоваться дискретные модели, параметры которых можно найти на основе данных численного или натурного экспериментов.

22

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

При выполнении работы автором получены следующие новые результаты, имеющие как научное, так и практическое значение:

1. Обобщен метод суперпозиции для конечной однородной и поперечно - неоднородной анизотропной прямоугольной области. Это позволяет применять данную методику для широкого класса сечений с кусочными неоднородностями различного вида. Так, в работе [40] подобный метод применен для решения задачи об асимптотическом исследовании собственных колебаний неоднородного прямоугольника с отверстием.

2. Проведено асимптотическое исследование поведения характеристик волнового ноля »-угловых -точках области, что позволил© построить эффективный алгоритм решения задач и исследовать качественную особенность поведения характеристик волнового поля в окрестности границы раздела сред и внешней угловой точки.

3. Проведен численный анализ возможности возникновения концентрации напряжений во внутренней угловой точке и на границе раздела сред в зависимости от сочетания упругих констант материалов, составляющих сечение. Проанализированы различные группы пар материалов, в том числе материалы-концентраторы и те, на границе которых появляются поверхностные волны типа волн Стоунли. Это позволяет дать практические рекомендации для выбора оптимальных параметров сечения с целью уменьшения величины концентрации напряжения на границе раздела областей.

4. Проведен численный анализ спектра собственных частот в зависимости от коэффициентов Дандерса. Это позволит управлять эффектами краевого резонанса для прогнозирования динамического поведения детали при данных условиях эксплуатации.

5. Проведен численный анализ спектра собственных частот колебаний

102 бесконечных призм с рассматриваемым сечением, что позволяет использовать полученные результаты при проведении различных методик неразрушающего контроля. б. Проведен анализ влияния анизотропии на характеристики волнового поля прямоугольных областей. При помощи полученных результатов можно прогнозировать поведение волнового поля для сечений, составленных из анизотропных материалов. Это позволяет управлять выбором конкретных типов материалов для получения требуемых эксплуатационных характеристик.

1. Абрамян Б.Л., Манукян М.М. Решение плоской задачи теории упругости для прямоугольника в перемещениях // ДАН Арм.ССР. -1959. 25, №4. - с. 177 - 184.

2. Аксентян O.K., Селезнёва Т.Н. Определение частот собственных колебаний круглых плит /У Прикл. механика, 1976. -Т.40, №1. - с. 112-119.

3. Александров A.M., Подалков В.В. Вторая краевая задача плоской теории упругости об установишихся колебаниях прямоугольника /У Докл. науч. техн. конф. по итогам научн. - иссл. работ за 1968 -1969 гг. М., 1969. - с.3-9.

4. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. -224с.

5. Бабешко В.А., Ворович И.И. Образцов И.Ф. Явления высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями /У Изв. Ан СССР. Мех. тв. тела. 1990. - №3. - с. 74- 83.

6. Бабич В.М., Молотков И. А, Математические методы в теории упругих волн. В кн.: Механ. дефор. твердого тела /7 ВИНИТИ. 1977. - Т. 10. -с. 5 - 62.

7. Балакирев М.К. Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. -Новосибирск: Наука, 1982. 240 с.

8. Белоконь A.B. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров /7 Докл. Ан СССР. 1977. - Т.233, №1- с.56 59.

9. Белоконь A.B., Наседкин A.B. Волны в неоднородном по толщине изотропном слое, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. 1987.- 51 ,№4. с.305- 313.

10. Белоконь A.B., Вовк Л.П. Об установившихся колебаниях электроупругой пластины переменной толщины /У Приют, механика, 1982, Т. 18, №15.-с. 101-105.

11. Белоносов С.М. Математические проблемы в теории упругости для областей с углами /У Труды II Всесоюзн. съезда по теор. и прикл. механике. Вып. 3. М. : Наука, 1966. - с. 48 - 60.

12. Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б. Свободные колебания анизотропной плиты // Прикл. механика. 1995. - 31, №8. - с.34-41. Бобровницкий Ю.И. Соотношения ортогональности для волн Лэмба /У Акуст. журнал. - 1972. - 18, №4. - с. 513 - 515.

13. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

14. Викторов И.А Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. -- М.: Наука, 1966. 168с. Винсон Ж.Р., Сираковский P.A. Поведение конструкций из композитных материалов. - М. : Металлургия, 1991. - 264с.

15. Вовк Л. П. Динамические задачи электроупругости для тел переменной толщины: Дис. . канд. физ. мат. наук. -М., 1982. - 140 с.

16. Вовк Л.П., Лупаренко Е.В., Соболь Б.В. Асимптотический метод исследования волновых полей в анизотропных средах. /'/Вестник ДГТУ.2001.Т. 1 2(8). с. 57-64.

17. Вовк Л.П., Луценко Л.И. Гармонические колебания поперечно -неоднородной прямоугольной области /У Горловский филиал Дон. политехи, ин та, - Горловка, 1988. - 23с. - Деп. в УкрНИИНТЙ 16.07.87., №2385 - Ук88.

18. Вовк Л.П., Луценко Л.И. Краевая задача об установившихсяколебаниях поперечно -неоднородного прямоугольника И.

19. Горловский филиал Дон. политехи, ин-та. Горловка, 1991. - 14с. -Деп. в УкрНИИНТИ 09.09.91№1268 - Ук91.

20. Вовк Л.П. Гармонические колебания: поперечно неоднородной прямоугольной области. - Деп. в УкрНИИНТИ 20.08.91., №1228 -Ук91. - 32с.

21. Вовк Л.П., Лупаренко Е.В. Об установившихся колебаниях анизотропных неоднородных прямоугольных областей. // Системш технологи. Математичт проблеми техшчно! мехатки. Зб^рник наукових праць. Спец. вип. - Дншропетровськ: «Сист. тех.», 2001. -С.28-33.

22. Вовк Л.П., Лупаренко Е.В. Асимптотический анализ гармонических колебаний кусочно-неоднородной анизотропной области. Горловка, 2001. - 10с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 05.03.01, № 43 - УК 2001.108

23. Вовк Л.П., Лупаренко Е.В. Асимптотический метод исследования волновых полей в анизотропных средах- Горловка, 2001. 16с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 05.03.01, К2 46 - УК 2001,

24. Вовк ЛИ, Лупаренко Е.В. Про один метод исследования вибрационных характеристик кусочно-неоднородных элементов конструкций прямоугольной формы. Тез. докл. IV-й междунар. научно-технической конф. «В1браци в технищ та технолопях.» Винница, 1-5 окт. 2002.

25. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. - 319 с.

26. Ворович И.И. О поведении решения основной краевой задачи плоской теории упругости в окрестности особых точек границы /7 III Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механ. М. - 1968. - с. 80.

27. Власов А.Г. Метод переопределенных радов в некоторых краевых задачах математической физики // Вопр. динам. Теории распространения сейсм. волн, 1959. - 3. - с.403 - 463.

28. Галфанян П.О., Чобанян Л.С. Решение одной контактной задачи для прямоугольника /У ПММ. 1966. - Т.ЗОДйЗ - с.569 - 578.

29. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // ПММ. 1988. -Т.52.№6. - с. 1044-1048.

30. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Об отражении изгибных волн Лэмба от границы раздела двух состыкованных полуполос /У Прикл. механика. -1991. -т.27,№8.

31. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Методы расчета полей в неоднородных плитах и цилиндрах из электроупругих материалов. В сб.: IV Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике, Ташкент, 24 30 сент. 1986 г. Аннот. докл. - 1986. - с. 193.

32. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Распространение волн в поперечно -неоднородных пьезоактивных волноводах // Акуст. журнал. 1985.1. Т.31, №3. с. 314- 319, .

33. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону, 1993.

34. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных воли Рэлея // Тр. сейсмол. ин та АН СССР. -1947. -№126.-с. 1-43.

35. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О методах однородных решений и суперпозиции в статистических граничных задачах для упругой полуполосы /У Прикл. механика. 1986. - Т.22, №8. - с.84 -93.

36. Гомилко A.M., Мелешко В.В. Смешанные статистические задачи теории упругости для тел конечных размеров /У Смеш. задачимеханики дефор. тв. тела. III Всесоюз. конф. Тезисы докладов. -Харьков. 1985.-с. 191.

37. Гомилко A.M., Гринченко В.Т. Динамические задачи теории упругости для четвертьполосы // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. -1990. -№6,-с. 48-54.

38. Гранштейн И.С., Рыжик М.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз. 1963. 1100 с.

39. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропныхнеоднородных оболочек (обзор) // Прикл. механика. 1997. - 33, №11. - с.3-37.

40. Гринченко- В Т. Краевые эффекты при распространении волн.в.упругих телах // Механика деформируемых тел и конструкций. -Ереван. 1985. с. 135 - 144.

41. Гринченко В.Т., Городецкая И.С. Отражение волны Рэлея от свободного торца волновода /У Прикл. механика. 1984. - т.20, №9.-с. 12-16.

42. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Трансформация энергии падающей волны при отражении от защемленного торца полуполосы /7 Прикл. механика. 1991. - т.27, №5.

43. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Отражение волн Лэмба от границы раздела в составном волноводе // Прикл. механика. 1985. -т.21, №5.- с.121-125.

44. Гринченко В.Т., Карлаш В.Л., Мелешко В.В., Улитко А.Ф.

45. Исследование планарных колебаниях прямоугольных пьезокерамических пластин. Прикл. механика. - 1976,12, №5. - с.71- 78.

46. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. О собственных частотах осесимметричной колеблющейся толстой плиты // Прикл. механика. -1974. 10, .ММ 1. - с. 81 - 87.

47. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. О нормальных колебаниях цилиндра конечной длины с защемленной боковой поверхностью // Прикл. механика. --1983. 19, №6. — с.25 - 31.

48. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Осесимметричные колебания упругого цилиндра конечной длины /7 /У Акуст. журнал. 1978. - 24, №6. - с. 861 - 866.

49. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Динамическая задача теории упругости для прямоугольной призмы // Прикл. механика. 1971. - Т. 7, К«9. -с. 50 - 57.

50. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Краевая задача термоупругости для прямоугольной пластины /У Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1965, - Вып. 5. - с. 138 - 146.

51. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука, 1977.-228с.

52. Дейвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изв-во иностр. лиг. - 1961. -104 с. ---------------------------------

53. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. -424 с.

54. Зильберглейт A.C., Копилевич Ю.И. Спектральная теория регулярных волноводов. Л., 1983. - 302 с.

55. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Л.: Гостехиздат,1949. 695 с.

56. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишинев: Картя молдовеняскэ, 1971. - 172 с. Колчин Г.Б., Фатерман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. -Кишинев: Штиница, 1972.из

57. Коханенко Ю.В., Быстров В.М., Злеленский B.C. Численное исследование затухания краевых эффектов в металлических слоистых материалах // Прикл. механика. 1997. - 33, №12. - с,50-57.

58. Коялович Б.М. Исследование о бесконечных системах линейных уравнений /7 Изв.физ мат. ин - та им. И. А. Стеклова. - 1930. - Т.З. -с. 41 -167.

59. Ле Хань Чай. О краевом резонансе в полу бесконечной упругой полосе // Вести. МГУ, сер. I. Матем. и механ. 1984. - №5. - с. 57 - 60.

60. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1.977.-416с.

61. Листов Г.Н. Динамическая задача теории упругости об установившихся колебаниях прямоугольной области // Изв, Ан СССР. Механика тв. тела. 1968. - №1. - с. 116 - 122.

62. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд. МГУ, 1976.-367 с.

63. Лупаренко Е.В. Виброабразивное изнашивание анизотропных кусочно-неоднородных прямоугольных в плане деталей несимметричной структуры. Вопросы вибрационной технологии: Межвуз. Сборник научных статей. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2002 - С .34-39.

64. Лупаренко Е.В. Исследование влияния анизотропии на волновые характеристики волнового поля прямоугольных областей. Горловка, 2002. - 6с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 20.0502, № 50 - УК 2002.114

65. Лупаренко Е.В. Об особенностях асимптотического анализа гармонических колебаний кусочно-неоднородной анизотропной прямоугольной области. Горловка, 2002. - 14с. - Ден. в ВИНИТИ РАН 17.06.02, № 100 - УК 2002.

66. Лупаренко Е.В. Об одном методе решения системы интегральных уравнений. Тез. докл. 1Х-Й между нар. конф. им. акад. Н. Кравчука, Киев, 16-19 мая 2002г.--------------

67. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. - 6., №2-3. - с. 151 - 169.

68. Луценко Л.И. Асимптотический анализ решения задачи об установившихся колебаниях поперечно неоднородного прямоугольника // Горл, филиал Донецк, политехи, ин - та. -Горловка, 1992. - 14с. - Деп. в УкрНИИНТИ 5.09.1992., №4261 -Ук92.

69. Луценко Л.И. Установившиеся колебания упругого неоднородного прямоугольника: Дис. . канд. физ. мат. наук. - Ростов - на - Дону, 1993.-92 с.

70. Механика и научно-технический прогресс. Т.З. Механика деформируемого твердого тела М.: Наука, 1988. - 273с.

71. Молотков Л.А., Смирнова Н.С. О затухающих волнах, образованных на границе двух упругих полупространств. В кн.: Вопросы динам, теории распростр. сейсмич. Волн. Л.: Наука, 1974. - №12. - с. 32 -43.115

72. Никишин A.C., Шатро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред. -М.: Наука, 1973. -131 с.

73. Паикович Л.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы //Докл. Ан СССР. 1940. 27, №4- с.335 - 339.

74. Петрашень Г.И., Успенский И.Н. О распространении волн в слоисто -изотропных упругих средах. Учен. зап. ЛГУ. - 1956. - №208. С.58 141.

75. ИЗ. Плевако В.П. Распределение напряжений в зоне скачкообразного изменения упругих свойств неоднородного материала // Прикл. механика. 1979. ~ Вып.4.

76. Плевако В.П. Сосредоточенная сила внутри сцепленных полупространств. Основание, фундаменты и механика грунтов, 1969, №3.

77. Плевако В.П. Неоднородный слой, сцепленный с полупространством,под воздействием внутренних и внешних сил /У ПММ. 1974. Т.38.1. Вып. 5.

78. Плевако В.П., Керевич A.A. Неоднородный слой, сцепленный с полупространством, под воздействием внешних сил /./ Прикл. механика. 1977. - т. 13, №5.

79. Прокопов В.К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // ПММ. 1952. - 1.,№16 - с.45 - 56.

80. Рубцова Н.Г. О связи между методами однородных решений и суперпозиции при описании волновых полей в упругой прямоугольной призме// Прикл. механика. 1988. - 24, №3. - с. 123 -126.

81. Савин В.Г., Шульга H.A. Фазовые и групповые скорости поверхностной волны Лява в слоистой среде /7 Акуст. журнал. 1975. -Т.21,№2. -с. 260-263.116

82. Савин В.Г., Шульга Н.А. Волны Рэлея в изотропной регулярно -слоистой среде // Акуст. журнал. 1975. - Т. 21, №>3. - с. 448 - 451.

83. Статика материалов / Под ред. Головчана В.Т. Киев: Наук, думка, -1993. -455с.

84. Тютекин В.В. Нормальные волны твердых слоисто неоднородных волноводов // Акуст. журнал. - 1984. - Т.30, №3. - с. 373 - 379.

85. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наук, думка, 1980.-200 с.

86. Шульга Н.А. Распространение электроупругих волн поперек слоев регулярно сплошной среды: // Прикл. механика. - 1986. - Т.22, №5. -с. 113-115.

87. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость.^М : Наука, 1988. 192с.

88. Черных Г.Г., Богуш М.Е., Федорков А.П. Спектральные и температурно частотные характеристики прямоугольных пьезоэлементов Х-среза кварца. - Докл. АН СССР, 1974, 219, №6, с. 1.355 - 1357.

89. ANSYS. Basic Analysis Procedures Guide. Rel. 5.3. / ANSYS Inc. Houston, 1994.

90. Auld B.A. Acoustic fields and waves in solids. N. Y.: Wiley, 1973,v. 1,2.

91. Auld B.A., Tsao E.D. A vibrational analysis of edge resonance in semiinfinite plate // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1977.24Д25. -p.317 - 426.

92. Ha J. Wave propagation in transversely isotropic and periodically layered isotropic media /7 Geophys. J.Roy. Astron. Soc. 1986. v.68, №2.-p. 635650.

93. Kaliski S. Pewne problemy brzegowe dynamiczes teorii spresystosci i cial niesprzezytych // Wazszawa.Wojskova akademia techniczna. im J.Dambrowskiego, 1957,-308 s.117

94. Kaliski B. The dynamical problem of the rechtangular parallelepiped // Arch. mtch. stosow. -1958. -10, №3. -p. 329-370.

95. Kaliski B. The three-dimensional dynamic problem pf a cylinder of finite length//Arch. mtch. stosow. -1960. -12, №1. -p. 71 -84.

96. Kausel E. Wave propagation in anisotpopic layered media // Ins. J. Numa. Meth. Eng. 1986. - v.23, №8. P. 1567 - 1578.

97. Kennel B.J.N., Kerry N.J. Seismic waves in a stratified half spact // Geophys. J.Roy. Astron. Soc. 1979. -v.57,№3.-p. 557-583.

98. Kind R. Computation of reflection for layered media// J. Geophys. 1976.- v.42, №l.-p. 191-200.

99. Lame G. Leçons sur latheorie mathématique de 1'eiasticite des cops solids //Pfris; Bfchelier 1852. — 335 p. ---------------

100. Malischewsky P. Supfac waves and discontinuities // Berlin. Akad. Verl. -1987.-229 p.

101. Mathieu E, Theorie de 1'eiasticite des corps solid // Paris.-Gaunthier-villarz. -1980. -403p.

102. Moniven H.D., Shah A.H/ The influence of the end mode on the resonant frequencies of finite, hollow, elastic rods /7 J.Sound Vibr.-1967.-6,№l.-p.8-19.

103. Murty G.S. Wave propagation at an unbonded interfase between two elastic halfspases /7 J. Acoust. Soc. Amer. -1975. -v. 58,№5. -p. 1094-1094.

104. OnoeM. The contour vibrations of thin rectangular plates. J. Acoust. Soc. Amer.: 1958,30,№ll.p.l 159-1164.

105. Onoe M., Pao Y.H. Edge mode of thin rectangular plates of barium titanate.- J. Acoust. Soc. Amer.: 1961, 33, №11, p. 1628.

106. Riliere M.Sur la resistanse des massifs epais /7 C. Acad. Soi. A. 1898.-v.l26.-p.402-404.

107. Rokhlin S.I., Bendec F. Coupling of lamb waves with the aperture between two elastic sheets.-Ibid.,1983,73,№1,p. 55-60118

108. Shaw E.A.G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks//! Acoust Soc. Amer., 1962-52,№1.-p. 81-90.

109. Torvik. PJ.Mc.Clatchey J.J.Respouse of an elastic longitudinal force /VJ.Acoust. Soc. Amer.-1968.-v.44,Xs 1.-p. 59-64.

110. Torvik. P.Reflection of wave trains in semiinfmite plates//! Acoust. Soc. Amer.,1967.-41,№2.-p.346-353.

111. Stoneley R.The elastic waves at the interfact of separation of two solids/ZProc. Roy. Soc.Lond.-1924.-A-106. -p.416-429.