Дифракция электромагнитных волн в открытых волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ



На правах рукописи

МАНЕНКОВ Александр Бенционович

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОТКРЫТЫХ ВОЛНОВОДАХ

01.04.03 — Радиофизика

JfJ¿Ш4llм/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов — 1996 г.

Работа выполнена в Институте физических проблем им. П.Л. Капицы Российской академии наук.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН (г. Н. Новгород).

на заседании диссертационного совета Д 063.74.01 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410071, г. Саратов, Астраханская ул., д. 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

член-корреспондент РАН, профессор — Д.И. Трубецков;

доктор физико-математических наук, профессор — В.П. Быков;

доктор физико-математических наук, ст. научн. сотр. — А.Г. Кюркчан.

Защита состоится

1996 года в

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.М. Аникин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Задачи о рассеянии электромагнитных волн на различных нерегулярностях открытых волноводов составляют большой и важный раздел современной радиофизики. Хотя интерес к подобным проблемам возник достаточно давно, однако до 60-70-х годов по этой тематике было опубликовано сравнительно мало работ, причем в основном исследовался достаточно узкий круг задач, связанный с дифракцией волн, распространяющихся вдоль различных импе-дансных или плазменных структур [1-3]. В большинстве случаев эти задачи были связаны с анализом различных антенных систем. Следует заметить, что в большей части упомянутых работ указанные задачи не рассматривались как волноводные, т.е. для представления решения не использовался аппарат спектральных разложений по модам открытого волновода. Обычно решение строилось в виде разложений по плоским волнам или виде обобщенного интеграла Фурье. Поверхностные (направляемые) моды, если они существовали в этих системах, выделялись после деформации контура интегрирования в комплексной плоскости некоторого параметра (переменной интегрирования при использовании интегралов типа Фурье). Все подобные методы решения указанных выше задач можно считать обобщением и развитием подхода, примененного Зоммерфельдом для расчета поля излучения вертикального диполя, расположенного над плоской границей раздела двух изотропных сред [4]. Одной из первых работ, в которой открытая импеданс-ная структура рассматривалась как открытый волновод и в которой было использовано разложение по собственным модам такого волновода (т.е. по волнам непрерывного и дискретного спектра) была работа [5]. Однако подход, предложенный в этой книге, долгое время не развивался. По-видимому, это связано с тем, что в антенных и рассеивающих системах, которые в то время в основном исследовались, их волноводные свойства были выражены слабо и в разложении полей основное значение имела пространственная волна.

В 60-80 годах близкая тематика вновь приобрела важное практическое значение. Такое внимание обусловлено интенсивными исследованиями и применениями различных открытых волноводов [6] и в первую очередь -волоконно-оптических систем [7-9]. Переход к открытым линиям вызван, в частности, освоением коротковолновых диапазонов электромагнитных волн, в которых обычные одномодовые металлические волноводы не применимы, в частности, из-за большого затухания, а сверхразмерные волноводы - из-за сгущения спектра и связанной с ним неустойчивости рабочих мод (из-за преобразования в моды высших типов).

В 60-70-е годы благодаря успехам технологии были созданы материалы (стекла) с чрезвычайно малым затуханием света (менее 0,1 дб/км). Уже первые работы по исследованию волоконно-оптических линий передачи показали, что они обладают целым рядом интересных особенностей, которые важны для различных практических применений. Например, в таких системах можно очень просто осуществить различные преобразования мод, их связь и фильтрацию, в них можно обеспечить очень малые потери, малую

дисперсию сигнала и т.д. В таких структурах существуют вытекающие моды, которые не имеют аналогов в обычных закрытых (металлических) волноводах и обладают своеобразными волноводными характеристиками.

В настоящее время круг применений открытых волноводов, и особенно оптических волокон и диэлектрических волноводов, непрерывно расширяется. Если вначале их предполагали использовать только в качестве линий передачи больших потоков информации, то теперь эти волноводы находят широкое применение для ее обработки в схемах интегральной оптики [10] (диэлектрических волноводов - в интегральных схемах СВЧ), а также как различные датчики физических величин (сенсоры) [11], которые могут быть использованы как в физических экспериментах, так и в технике. Оптические волноводы применяются в качестве элементов генераторов электромагнитных волн (волноводных резонаторов).

Почти во всех указанных выше приложениях приходится сталкиваться с задачами дифракции волн на нерегулярностях волокон. В волоконно-оптических линиях, используемых для передачи информации, резкие (скачкообразные) нерегулярности возникают, например, при стыковке волокон, в элементах ввода и вывода света. Плавные нерегулярности (деформации) всегда образуются при изготовлении волокон (из-за несовершенства технологических процессов), а также при прокладке оптических линий связи. Нерегулярные (конические) участки часто используются для переходов между волокнами разных поперечных сечений, в том числе волокон разных размеров. Конструкции датчиков и многих элементов интегральной оптики основаны на эффектах преобразования волн на нерегулярностях волноводов (например, за счет изменения интенсивности света при его прохождении через переменный по величине разрыв волокна или при сдвиге двух состыкованных волокон).

К настоящему времени в основном закончено исследование только одного круга дифракционных проблем - проблем, связанных с анализом рассеяния волн в плавно-неоднородных пленарных (двухмерных) волноводах [8,9,12]. Соответствующая теория является обобщением теории нерегулярных металлических волноводов с медленно меняющимися параметрами [13]. Основная трудность исследования открытых систем заключается в расчете радиационных полей, которые, как правило, возбуждаются на нерегулярностях; открытый волновод по существу всегда является многомодовой направляющей системой с непрерывным спектром радиационных мод. В большинстве случаев пренебрежение этими модами искажает всю картину явлений и не позволяет провести достаточно точный анализ задач дифракции в открытых системах. Трудности расчета поля излучения были преодолены только после того, как появились работы по анализу спектральных разложений полей в открытых системах (в основном в двухмерных) [5,11,14,15]. Сравнительно много публикаций было посвящено анализу нерегулярностей в круглых волокнах. Однако, большое число задач теории дифракции волн в открытых волноводах до работ автора диссертации не было исследовано, или исследовано весьма неполно; в основном это касается различных трехмерных задач (в том числе задач расчета "больших" нерегулярностей). Как оказалось, анализ двухмерных задач недостаточен для многих практических приложений. Свойства мод в трехмерных волноводах и методы построения этих мод исследовались только

для очень узкого класса волноводов (по существу, для задач, в некотором смысле близких к двухмерным).

Из-за сложности исследования трехмерных задач очень часто для их анализа использовались результаты расчетов двухмерных (модельных) проблем с некоторыми эквивалентными параметрами. Такой подход использовался по аналогии с закрытыми (металлическими) волноводами, для которых результаты исследования двухмерных и трехмерных задач имеют много общих закономерностей и качественно почти всегда похожи. Для открытых волноводов свойства двухмерных и трехмерных задач могут сильно различаться. Этот вывод можно сделать уже в начале исследования открытых структур, если, например, сравнить дисперсионные зависимости для круглого волокна и двухмерного диэлектрического волновода: фазовые скорости поверхностных мод в области малых замедлений для таких структур различным образом зависят от параметров волноводов. Отметим также, что векторный характер электромагнитных полей по разному проявляется в задачах, имеющих разную размерность. Небольшое число задач дифракции волн в открытых системах было исследовано численными методами, не позволяющими вывести общие закономерности и проанализировать физические особенности проблем. Во многих публикациях получены только грубые оценки для характеристик рассеяния волн, а некоторые работы содержат ошибки. Например, весьма грубыми оказались решения задач рассеяния на нерегулярностях круглых волноводов, полученные при использовании скалярного приближения [16,17] и гауссовской аппроксимации [8,18,19].

Выше уже говорилось о важности для практики задач расчета скачкообразных нерегулярностей (например, для задач о допусках на точность стыковки волокон и т.д.). Среди указанных выше'проблем следует выделить одну - задачу расчета дифракции волн на обрыве открытого волновода. Такая проблема встречается на практике достаточно часто, но, тем не менее, она была очень слабо исследована. Эта задача возникает, например, при анализе устройств ввода или вывода излучения из оптического волокна, при конструировании различных чувствительных датчиков (сенсоров) и т.д. Следует также отметить, что существовало достаточно много типов оптических волокон (например, волокна \У-типа), которые интенсивно использовались на практике и, в то же время, для которых практически не проводились теоретические исследования вопросов преобразования волн на нерегулярностях.

В современной литературе слабо исследованы задачи, связанные с возбуждением вытекающих мод. Сложность анализа этих задач связана с тем, что эти моды не могут возбуждаться индивидуально, так как их поля не удовлетворяют условиям излучения на бесконечности (эти моды всегда "связаны" с радиационными модами). При решении задач подобного типа приходится почти всегда учитывать радиационное поле, что сильно усложняет анализ даже для простой геометрии волновода.

Большое значение для практических приложений имеют задачи о распространении волн в анизотропных волноводах. Небольшая анизотропия почти всегда возникает в оптических волокнах в процессе их изготовления (например, при вытяжке). В схемах интегральной оптики анизотропные волноводы используют в качестве модуляторов света, в ответвителях с регулируемой

связью и т.п. Такие волноводы являются также чувствительными элементами многих конструкций оптических датчиков; например, для измерения постоянного магнитного поля могут быть использованы волокна, изготовленные из магнито оптических или магнито-стрикционных материалов. В то же время теоретический анализ работы таких устройств находится на начальной стадии; обычно для их описания используются очень грубые приближенные модели.

До настоящего времени в литературе отсутствовал анализ общих свойств собственных волн открытых волноводов и их связь с характеристиками радиационных полей в задачах дифракции. Результаты такого анализа могут быть полезны для тестирования решений задач дифракции в открытых волноводах (аналогично известному тесту, основанному на законе сохранения энергии). Отметим также, что до работ автора практически отсутствовали исследования радиационных мод открытых периодических линий.

Приведенные выше примеры показывают, что задачи дифракции волн в открытых волноводах являются весьма актуальными и важными для многочисленных практических приложений. Эти задачи имеют также важное теоретическое значение; по существу благодаря им возникла и развивается теория спектральных разложений в открытых системах, которая имеет многочисленные приложения. Указанные задачи тесно связаны с общей теорией дифракции, поскольку эти теории используют целый ряд общих методов для решения задач рассеяния волн. Например, радиационные моды могут быть построены с помощью различных подходов, применяемых в теории дифракции на прозрачных телах (цилиндрах сложного сечения). С другой стороны многие антенные устройства (или рассеиватели) могут рассматриваться как нерегулярные открытые волноводы конечной (или псшубесконечной) длины.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы являлось развитие общих методов анализа задач дифракции и распространения электромагнитных волн в открытых волноводах произвольного вида (в первую очередь, в трехмерных системах). Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих ключевых проблем:

• Построение (в том числе, численное) собственных мод трехмерных открытых волноводов.

• Анализ общих свойств собственных мод открытых волноводов и их связи с характеристиками решений задач дифракции.

• Исследование задач возбуждения открытых трехмерных волноводов сторонними источниками и задач рассеяния поверхностных мод на малых нерегулярностях в волноводах достаточно общего вида.

• Анализ рассеяния волн на "больших" скачках параметров оптических волокон произвольного сечения (в том числе на обрыве открытых волноводов).

• Вывод аналитических соотношений для модельных задач.

• Задачи возбуждения вытекающих волн в открытых системах.

• Задачи распространения и дифракции волн в анизотропных и периодических открытых линиях общего вида.

Основные положения и выводы, выносимые на ¡защиту

1. В трехмерных открытых волноводах произвольного вида система собственных мод является вырожденной. Введенный в диссертации 5 оператор позволяет идентифицировать моды, т.е. построить систему линейно независимых собственных мод. Эта методика может быть применена к построению собственных мод как в открытых изотропных структурах, так и в анизотропных волноводах и открытых периодических линиях.

2. Система собственных мод открытого волновода, построенная методом ¿¡'-оператора, является ортогональной системой. Доказательство ортогональности собственных мод основано на регуляризации расходящихся интегралов. В общем случае (для систем с потерями) имеет место ортогональность мод с весовой функцией, а для анизотропных структур условие ортогональности заменяется условием биортогональности собственных мод.

3. Для собственных мод открытых волноводов существуют общие (не зависящие от структуры волновода) свойства, которые определяют характерные особенности полей, возбуждающихся в таких системах: связь коэффициентов разложения внешнего поля с элементами собственных векторов 5-оператора, связь корней дисперсионного уравнения (для поверхностных и вытекающих мод) и полюсов собственных значений 5-оператора, определенная' асимптотическая структура собственных мод при малых и больших значениях поперечного волнового числа, структура поля в волноводе вдали от источника, определенный вид диаграммы направленности вблизи оси волновода и структура радиационного поля в области малых замедлений.

4. С помощью разложений по системе собственных мод могут быть решены задачи возбуждения открытых волноводов сторонними источниками и задачи рассеяния волн на малых (или плавных) не-регулярностях. Для адекватного представления решений этих задач необходим учет собственных мод непрерывного спектра.

5. Вариационный принцип позволяет найти все основные характеристики задачи о дифракции поверхностных волн на "больших" скачках параметров оптических волокон (в том числе на обрыве волноводов). Смешанная формулировка вариационного принципа, предложенная автором для расчета коэффициентов отражения р поверхностных мод, существенно точнее известных ранее и с ее помощью можно вывести целый ряд аналитических оценок для р.

6. Метод Винера-Хопфа позволяет получить строгие решения задач дифракции на обрыве открытых волноводов О-типа. В области малых

замедлений метод приближенной факторизации дает возможность решить аналитически задачи дифракции в открытых диэлектрических волноводах произвольного сечения.

7. Основываясь на методе 5-оператора можно проанализировать вытекающие моды открытых волноводов (их свойства, нормировку, возбуждение, рассеяние).

8. Предложенный новый численный метод расчета поверхностных мод оптических волокон, основанный на адаптивном выборе узлов колло-кации, позволяет рассчитывать эти моды с высокой точностью, которая необходима для анализа нерегулярных проблем. Метод обладает численной устойчивостью при увеличении числа базисных функций.

Научная новизна

1. Автором впервые предложен конструктивный метод построения радиационных мод открытых волноводов.

2. Впервые предложены обобщенные условия ортогональности, применимые к собственным модам очень широкого класса открытых структур (в том числе, анизотропных волноводов, периодических линий и др.).

3. Получены аналитические соотношения для характеристик мод непрерывного спектра, которые применимы для волноводов произвольной формы, а также установлена связь между свойствами радиационных мод и свойствами решений задач дифракции на нерегулярностях волноводов. Эти свойства позволяют третировать решения задач дифракции (аналогично известному тесту, основанному на законе сохранения энергии).

4. Предложена новая формулировка вариационного принципа для задачи о скачке параметров диэлектрического волновода произвольного поперечного сечения.

5. Автором впервые решено несколько новых задач дифракции поверхностных мод на обрыве открытых волноводов (обрыв волокна Ш-типа, обрыв слабонаправляющего волновода в виде тонкостенной диэлектрической трубки и др.).

6. Для волноводов малого поперечного сечения впервые получены аналитические выражения для характеристик рассеяния волн на различных нерегулярностях.

7. Впервые развит метод квазивекторной аппроксимации полей радиационных мод диэлектрических волноводов.

8. Автором впервые разработана теория собственных мод открытых анизотропных волноводов и периодических линий.

9. Впервые проведена оценка точности и области применимости нескольких приближенных методов расчета нерегулярных волноводов.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов подтверждается, где это возможно, сравнением с известными данными, а также сравнением между собой решений, полученных несколькими различными методами. Предложенные новые методы тестированы на нескольких задачах, допускающих строгое (точное) решение. Ряд результатов был подтвержден более поздними исследованиями других авторов. Во всех случаях было показано, что получаемые решения удовлетворяют известным общим законам (например, закону сохранения энергии, условиям симметрии и т.п.).

Научная и практическая ценность результатов

Результаты исследований, изложенные в диссертации, направлены как на анализ общих вопросов, связанных с задачами дифракции волн в открытых волноводах, так и на создание математических методов, позволяющих моделировать большой круг конкретных задач. Принципиальным моментом данной работы является то, что при решении рассмотренных в диссертации задач последовательно учитывается наличие в открытых структурах волн непрерывного спектра (радиационных мод), а также векторный характер полей. В работе рассмотрено большое число задач, в которых данный учет является существенным, т. е. пренебрежение радиационными модами (полем излучения) или сведение задач к скалярным искажает всю физическую картину рассматриваемых проблем.

В диссертации в результате анализа указанных выше проблем решены задачи дифракции на различных нерегулярностях открытых линий, наиболее часто встречающихся на практике. Полученные результаты могут быть применены к анализу допусков в нерегулярных линиях передачи, для синтеза волноводных переходов с малыми потерями, а также расчета различных элементов схем интегральной оптики. Результаты диссертации могут быть использованы для анализа работы или при конструировании различных устройств, созданных на основе открытых волноводных систем, в частности, при разработке различных оптических датчиков (например, датчиков, изготовленных из анизотропных материалов), а также при проведении различных физических экспериментов с использованием открытых линий. Важным практическим аспектом диссертационной работы является то, что теоретическое рассмотрение доведено до создания пакетов программ для ЭВМ, об эффективности которых свидетельствуют приведенные в диссертации расчетные материалы. В то же самое время в диссертации получено большое число качественных выводов и простых аналитических соотношений, которые могут быть полезны для предварительного анализа сходных проблем, а также для различных поисковых исследований.

Методы расчета, которые были развиты в диссертации, в основном использовались для решения задач дифракции волн в нерегулярных диэлектрических волноводах; при небольшой модификации их можно применить также для исследования различных задач дифракции в открытых волноводах других типов, например, импедансных и зеркальных линий, микрополосковых волноводов и

т.д.. Выведенные в работе общие закономерности могут быть использованы для тестирования решений различных задач дифракции в открытых волноводах, полученных другими методами. Результаты исследований тесно связаны с вопросами конструирования различных антенных (излучающих) устройств, использующих диэлектрические и импедансные структуры (диэлектрических антенн, антенн поверхностных волн и т.п.).

Публикации

Основное содержание диссертации подробно опубликовано в 48 печатных работах (в том числе в 34 статьях в отечественных и зарубежных журналах). Список основных публикаций приведен в конце автореферата [1* —37*].

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на различных конференциях, в том числе на 7-м и 9-м Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, 5-м, 6-м и 7-м Международных коллоквиумах по микроволновой связи, Международном симпозиуме 1ЛШ, Всесоюзных семинарах по решению краевых задач, на семинаре по методам решения краевых задач, Международном симпозиуме по электромагнитной теории, на межвузовской конференции по исследованию систем связи, 7-й зимней школе-семинаре по электронике СВЧ и радиофизике, научных семинарах Института физических проблем РАН, Института радиотехники и электроники РАН, Института общей физики РАН, Саратовского государственного университета', Московском семинаре по дифракции и распространении волн и семинаре в Национальном техническом университете г. Афин. Проводимые исследования были частично поддержаны грантами РФФИ и МНФ (гранты 94-02 03523А, N81000 и 1\'8Г300),

Личное участие автора

Все основные результаты, на которых базируется диссертация (методы построения системы собственных мод открытых волноводов, результаты исследования свойств радиационных мод, новые формулировки вариационного принципа для расчета нерегулярностей, анализ задач дифракции в слабозамедленных системах, исследования анизотропных и периодических волноводов и др.), получены лично автором. Вклад соавторов совместных публикаций отмечен в тексте диссертации (в соответствующих примечаниях). В тех работах, которые включены в диссертацию и которые написаны в соавторстве, диссертанту принадлежит постановка задач и основная часть аналитических решений.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 176 наименований. Общий объем диссертации - 287 страниц (в том числе 11 таблиц и 53 рисунка).

Основное содержание диссертации

Во Введении диссертации рассмотрено состояние данной проблематики к моменту начала исследований автора и ее современное состояние, обоснована актуальность темы, сформулированы цели исследования, а также кратко изложено содержание работы.

Глава 1 "Спектральные разложения полей" посвящена описанию аппарата спектральных разложений, который используется при решении большинства указанных выше задач. В §1 рассматривается метод 5-оператора, с помощью которого строится система собственных мод любого открытого волновода. Для иллюстрации метода рассмотрим простейшую задачу построения собственных мод оптического волокна в скалярном приближении [31*]. Пусть Г>. - область поперечного сечения волокна, занятая диэлектриком (сердцевины волокна). Внутри Пе диэлектрическая проницаемость с является функцией поперечных координат х, у, а вне П, - постоянная величина (е = е0)- Для простоты везде ниже будем считать, что магнитная проницаемость всех сред совпадает с проницаемостью вакуума. Предполагаем также, что ось волновода направлена вдоль оси г. Временной множитель ехр{-шЬ) (ш - круговая частота), как обычно, будем опускать во всех формулах.

Начнем анализ с воли непрерывного спектра (радиационных мод). В такой структуре существует бесконечное множество мод, поля которых удовлетворяют скалярному волновому уравнению и которые представляют собой волны, бегущие вдоль оси волокна. Снаружи волновода (вне области Г!,) поля этих волн можно представить в виде разложений по цилиндрическим гармоникам:

Е- + + (1)

та.-— оо

к2 = к2е о/е„-к2, (2)

где к - волновое число в вакууме (к=ш/с, с - скорость света), е„ -.диэлектрическая проницаемость вакуума, к - поперечное волновое число, к - постоянная распространения, г, ф, г - цилиндрические координаты, «^'(к), -коэффициенты разложений, - функции Ханкеля. Для радиационных мод параметр к обычно принимает все действительные положительные значения 0 < к < оо. Учитывая асимптотические представления функций Ханкеля (кг —» оо)

н£2\кг) ~ (2/™г),/2ехр{[±(кг - (2то + 1)тг/4)], (3)

разложение (1) можно интерпретировать как сумму двух конических волн: расходящейся (сумма всех первых слагаемых) и сходящейся (сумма вторых слагаемых).

Сшивая поля (1) на границе волновода Л с "внутренним" полем, можно найти связь между коэффициентами разложений иЦЦк), и^'(к). Важно отметить, что граничные условия на контуре Л не определяют однозначно эти коэффициенты; эти условия приводят только к некоторому линейному соотношению между ними, которое можно формально записать в виде следующего операторного равенства

где 5 -оператор рассеяния, который связывает коэффициенты сходящихся и расходящихся конических волн, о которых говорилось выше. Анализ показывает, что система радиационных мод вырождена: при каждом фиксированном значении к счетное множество этих мод имеет одинаковые постоянные распространения (фазовые скорости). Для того чтобы разделить эти моды (идентифицировать их), наложим на коэффициенты разложений дополнительные условия

тптк ) = зт(к)(и ттк

). (5)

«£?(*))и<£(к))=иттк/3г(к), (6)

где т - целые числа (дискретный индекс), нумерующие собственные значения лг(к). Таким образом, мы определяем поля этих мод через элементы собственных векторов (матричных столбцов) линейного оператора 5. Соответствующие этим векторам моды (обозначаемые через Етл) будем называть собственными модами непрерывного спектра открытого волновода. В силу соотношений (1), (6) внешнее поле этих мод может быть записано в виде

Егк = £) втт.[Я«|)(«г) + Я<?(кг)/*т(к)] ехрЩтф + Л*)], (7)

т.е. зависимости от угла ф сходящихся и расходящихся волн собственных мод отличаются только постоянным множителем.

Описанный метод введения радиационных мод легко обобщается на векторные задачи. В векторном случае моды также определяются через внешнее поле, где параметры среды постоянны и поле может быть разложено по цилиндрическим гармоникам. Отличие от скалярного случая заключается в том, что поля описываются не одной функцией, а выражаются обычно через две функции (например, две функции Герца, или осевые компоненты электрического и магнитного полей В„ Н,), а также более сложной структурой уравнений и граничных условий. По аналогии со скалярной задачей строится ^-оператор, который действует на коэффициенты разложений функций Герца, а затем с помощью соотношений, аналогичных (1) - (б), определяются собственные векторные моды.

Кроме мод непрерывного спектра в открытом волноводе могут существовать моды других типов, например, моды дискретного спектра (т.е. поверхностные волны). Значения поперечных волновых чисел этих мод кт, (д -целый индекс, номер моды) определяются из характеристического уравнения

1/аг(кг,)=0, 1гакт, > 0. (8)

Из последнего соотношения следует, что внешнее поле этих волн при г —> оо имеет вид

Ет, ~ ехр(«кт,г)/у/т. (9)

При отсутствии диэлектрических потерь в средах имеем кт, = г|кг,|, так что поля этих мод экспоненциально убывают при г оо. Отметим, что в волокнах с постоянным профилем диэлектрической проницаемости поля этих мод формируются благодаря эффекту полного внутреннего отражения парциальных лучей на границе раздела сред.

Следующие параграфы главы посвящены анализу свойств собственных мод открытых трехмерных волноводов, а также решению простейших задач, которые основаны на спектральных разложениях по собственным модам. В §2 доказана ортогональность полей собственных мод. Для скалярного случая условие ортогональности радиационных мод имеет вид

I ЕтлЕт.л.Лх<1у = От(к)Ь„,6(к -к'), (10)

8тг °°

ед—ггЕ!'1)"1-'"»™ (»)

где 6ТТ1 - единичный тензор, 5(к~к') - дельта-функция. Отметим, что нормирующий множитель От(к) выражается через элементы собственных векторов 5-оператора. Доказательство соотношений ортогональности полей в скалярном случае проводится с помощью формулы Грина, а для векторных задач -с помощью леммы Лоренца. Доказательство формулы (10) опирается также на известное предельное соотношение

8т(к - К'Ь ,, ,.

1Ш—--- = г6(к-к'), (12)

г-оо к-к' V I /

где к и к' - вещественные числа.

Для иллюстрации свойств собственных мод в §3 рассмотрена задача о возбуждении открытого волновода сторонними источниками. В скалярном приближении электрическое поле, возбуждаемое сторонними токами в

(13)

(14)

(15)

NTq - нормы мод дискретного спектра. В формулах (13) - (15) верхним индексом (+) отмечены прямые моды, у которых Im А > 0 при Imfc > 0, а индексом (-) — встречные моды. Используя аналитичность подынтегрального выражения, можно, деформируя контуры интегрирования, из интегралов (13) выделить слагаемые, соответствующие вытекающим модам. Для этих мод поперечные волновые числа являются полюсами амплитудных коэффициентов Вдали от источников для разложения полей можно получить асимптотическое представление, оценивая интегралы в разложении (13) с помощью метода перевала. Анализ показывает, что вдали от оси волновода и источников поле имеет вид сферической волны:

Е ~ f(e,4)exp{iky/€o/e„R)/R, R -> оо, (16)

где ¡(9,ф) - диаграмма направленности радиационного поля, (Д,0,ф) - сферические координаты (Я = \/г2 + хг% cos9 = z/R). Полученные выражения можно

области, которая расположена правее источников, равно

т,д т

где

<?<+> = ЛГ-1 / С<:> = ДТ("Г' / рЕЯЫдЛх,

использовать для решения задач рассеяния поверхностных мод на малых нере-гулярностях открытых волноводов. Например, эффект небольшого изменения диэлектрической проницаемости бе можно оценить методом возмущений, введя "эффективный" сторонний ток ~ ¿бЕ(тс>, где £<те) - поле поверхностной моды, набегающей на нерегулярность. Рассеянные поля определяются затем с помощью формул (13)—(16).

Используя приведенные соотношения, можно исследовать характеристики мод непрерывного спектра при малых и больших значениях поперечного волнового числа к. В частности, оказывается, что для скалярных задач при к —* оо собственные значения всех ветвей мод непрерывного спектра приближенно равны

«г(к)*8ехр[«'а,Л2£о((е/ео)- 1)/«1> (17)

где константа а, пропорциональна среднему размеру области поперечного сечения волновода. Из этого соотношения, например, следует, что при к оо все скалярные моды близки к модам свободного пространства (для которых лт(к) г 1). Для основной ветви мод непрерывного спектра (т = 0) при малых значениях к имеем

¿о(к) ~ 1п(-к/ко\)/У(к./ко\), (18)

где ко! - поперечное волновое число основной поверхностной моды ¿Ли • Последнее соотношение (18) позволяет установить общий вид полей в дальней зоне. Например, диаграмма поля излучения при малых значениях полярного угла 9 -* 0 убывает логарифмически

Д6,ф)~1/Ш.- ■ (19)

В §3—§4 описаны некоторые методы расчета полей собственных мод (в первую очередь, радиационных и поверхностных) и приведены результаты анализа их свойств. Следует отметить, что общие свойства собственных волн интересны не только сами по себе; они определяют общие закономерности в структуре полей открытых волноводов (например, возбуждающихся на не-регулярностях). Эти общие закономерности позволяют тестировать решения различных задач теории открытых линий, полученных другими способами (аналогично известному тесту, основанному на законе сохранения энергии). Хотя в основном теория была ориентирована на исследование оптических волокон, основные результаты этой главы применимы к широкому классу открытых однородных волноводов (например, к зеркальным диэлектрическим линиям, открытым полосковым структурам и т.д.).

В последних параграфах этой главы исследованы свойства вытекающих и комплексных мод. В частности, показано, что поперечные волновые числа вытекающих являются корнями характеристического уравнения 1 /зт(к) = О, лежащими (в отличие от поверхностных мод) в нижней полуплоскости комплексного параметра к: 1т к < 0. На примере волновода в виде диэлектрической трубки рассматриваются методы расчета этих мод и некоторые их характеристики. Расчеты показали, что в таких волноводах при определенной структуре диэлектрической стенки спектр вытекающих мод сравнительно медленно сгущается при увеличении их поперечных размеров. Вытекающие моды

имеют (кроме омических потерь) радиационные потери. В работе рассмотрены различные варианты минимизации этих потерь за счет выбора параметров диэлетрической стенки.

Глава 2 "Вариационный метод" посвящена анализу вариационной методики расчета скачкообразных нерегулярностей в открытых диэлектрических волноводах. Этот метод является развитием хорошо известного подхода, широко применявшегося в теории металлических волноводов [20]. В металлических волноводах используются так называемые электрические и магнитные формулировки вариационного принципа. Аналогичные формулировки можно получить и для открытых систем [21], однако, как оказалось, они неудобны для расчетов нерегулярных световодов. В диссертации предложена и проанализирована "смешанная" вариационная формулировка, которая обеспечивает большую точность получаемых результатов и является более простой и численно устойчивой.

В §7 на основе спектральных разложений выведены интегральные уравнения для полей в плоскости скачка параметров волновода. Уравнения получены с учетом непрерывности полей в указанной плоскости и с помощью условий ортогональности собственных мод. Чтобы не усложнять анализ, ограничимся скалярной задачей о стыке двух круглых диэлектрических волноводов с общей осью г и одинаковыми постоянными проницаемостями. Предполагаем, что оба волновода одномодовые и по левому волноводу к плоскости стыка 2 = 0 распространяется основная волна ЬРщ [8]. Уравнение для поля в плоскости стыка £ имеет вид

У Щг, ?)£(?)(&'<// = (1 - р)Ь$Е&\ (20)

«-о

*2(г'г) 7® +/ № +/ №Г~(1)

Верхними индексами 1 и 2 отмечены величины, относящиеся соответственно к левому и правому волноводам соответственно. В этой формуле через Е^1 и Ли' (и = 1,2) обозначены поля поверхностных мод и ее постоянная распространения, - их нормы, через - поля основных ветвей радиационных мод, через — их нормирующие множители, к и Л —

поперечные и продольные волновые числа, р - коэффициент отражения волны ЬРо]. В §8 из этого уравнения выведены различные соотношения, позволяющие рассчитать характеристики рассеяния волн (коэффициенты отражения и прохождения волн, диаграмму направленности излучения). Опуская выкладки, приведем окончательное выражение для коэффициента отражения р поверхностной волны, набегающей на стык волокон:

!+<> С

У / К2{т,?)е(г)£(?)<1ха.у1х'<1у1 / [/ £(г)<Ыу] 2 . (22)

Интегрирование в формуле (22) проводится по всему сечению 2 = 0. В качестве пробного поля £ в вариационные выражения, как обычно, подставлялись поля основной моды, набегающей на стык, т.е. полагаем £ =

Приведенное выше соотношение (22) является электрической формулировкой вариационного принципа. Аналогичным образом можно вывести уравнение и стационарные соотношения, в которые входит магнитное поле "Н. в плоскости стыка (магнитную формулировку). Смешанные формулировки получаются при совместном использовании уравнений для £ и Н. Для задачи об обрыве волокна соответствующее выражение имеет вид:

_ У Ql(K)in

1 - Рг U J3& dxiy J {h2m _ h2)Dm(K)' W

Q0(k) = J (e - £o)Eai E^dxdy, (24)

j-0

где t и £o - диэлектрические проницаемости сердцевины волокна и его оболочки (считаем, как и выше, что г ~ е0). При выводе предполагалось, что проницаемость правого полупространства и оболочки ео совпадают. Одно из преимуществ формулы (23) состоит в том, что в ней интегрирование по координатам ведется в конечной области - по сечению сердцевины волокна Пе; в формуле (22) интегралы берутся по всему сечению 2 = 0.

Сходным образом можно рассчитать другие характеристики задачи, например, коэффициент прохождения поверхностной моды и диаграмму направленности поля излучения. В скалярном приближении коэффициент прохождения по амплитуде равен

- р*пс - (4i> + fci?)' <4!\ 4?)' 1 '

ею

-2т J Efflfflrdr, (26)

о

где Pi „с, Р(г - мощности, переносимые падающей и прошедшей модами. Все вышеприведенные соотношения естественным образом могут бьггь обобщены на векторные задачи.

В §9 приведены конкретные результаты анализа вариационным методом задачи о дифракции основной поверхностной моды НЕм на стыке двух круглых диэлектрических волноводов при произвольном отношении их диаметров. Для иллюстрации на рис. 1 представлена зависимость коэффициента прохождения поверхностной моды через стык двух круглых волноводов разного диаметра, рассчитанные вариационным методом (кривая 1). Проницаемости обоих волноводов предполагаются одинаковыми. Зависимость построена для волновода с безразмерными параметрами: e.jt0= 1.04, - eo)/sv = 2.4,

где ad - радиус левого волновода (см. рис. 1), е„ - диэлектрическая проницаемость вакуума. Для сравнения на рис. 1 представлена такая же зависимость, рассчитанная с помощью гауссовской аппроксимации поля поверхностной моды [18,19] (кривая 2). Анализ показывает, что такая аппроксимация достаточно точно передает характеристики регулярных волокон, однако, при решении нерегулярных задач она может давать большую погрешность.

В следующем параграфе рассматривается задача о прохождении основной моды через стык двух эллиптических волокон при небольшом изменении их

Рис. 1. Коэффициент прохождения (по амплитуде) основной поверхностной моды тА через стык двух круглых волноводов в зависимости от отношения их радиусов о(2)/а(|)- Кривая 1 построена по вариационной формуле, а кривая 2-е помощью гауссовской аппроксимации поля [18,19].

параметров. Последняя задача отличается от первой тем, что для ее решения система собственных мод строится численно. При решении этой проблемы поля собственных мод аппроксимируются конечным рядом цилиндрических гармоник, амплитуды которых определяются из соотношений (5) - (6). Рассчитаны коэффициенты прохождения и отражения, радиационные потери и диаграмма направленности рассеянного поля. В этом параграфе продолжено исследование общих свойств радиационных полей.

В главе 3 "Задачи, решаемые методом Винера-Хопфа" приведены результаты анализа методом факторизации нескольких модельных задач дифракции волн в трехмерных открытых волноводах. Полученные строгие (точные) решения позволяют оценить точность вариационного метода. Следует отметить, что в силу достаточно малой погрешности вариационных методов, оценка точности результатов, которые получаются на их основе, является достаточно сложной проблемой. Наиболее просто этот вопрос решается путем сравнения данных, полученных с помощью вариационного подхода и при точном решении некоторых тестовых задач строгими методами (или с гарантированной малой ошибкой). Однако, для открытых систем до работ автора существовало очень мало таких задач, причем в литературе были в основном известны решения для двухмерных структур. Полученные в работе строгие решения нескольких задач позволили сравнить различные вариационные формулировки и показать, что наиболее точной и устойчивой является, как указывалось выше, смешанная формулировка вариационного принципа.

В §11 и 12 решены задачи о рассеянии поверхностных мод (несимметричной и симметричной) на обрыве тонкостенной диэлектрической трубки (так называемого О-волновода). Кроме отмеченных вьцпе вопросов в этой главе рассмотрен также метод приближенной факторизации, с помощью которого решено несколько задач о дифракции поверхностных мод в слабозамедленных системах и оценена точность подобного подхода. В частности, показано, что в области низких частот (ка, —> 0) для задачи об отражении основной моды от обрыва диэлектрического волновода, многие результаты могут быть получены в аналитической форме.

Для иллюстрации метода рассмотрим задачу об отражении от обрыва тонкого волновода. Анализ проводится при условии, что проницаемость правого полупространства (вне волновода) совпадает с проницаемостью оболочки волокна со. Поле на оси волновода может быть представлено в виде обобщенного интеграла Фурье:

Е= I [/+И + /_(и>)]ехр(-«««ОЖо, (27)

с„

где и /_(ш) - Фурье трансформанты полей при г > 0 и г < 0

соответственно. Контур Ст идет вдоль оси 1ти> = 0, огибая точку т = -^й' в нижней полуплоскости. Используя свойства собственных мод, из волнового уравнения следует соотношение для функций /+(ш) и f~(w):

А(ю)-0 М/-(Ч (28)

<?(«/) = жк2Пе(е/е0 - 1)1п[V*2 - и>2/к01], (29)

где «01 - поперечное волновое число поверхностной моды, Пе - площадь поперечного сечения волновода, е - диэлектрическая проницаемость сердцевины волокна. При условии ка,^Де - £о)/е„ < 1, с ~ е0 (а, - средний размер поперечного сечения волокна) уравнение (28) может быть решено с помощью разложения по малому параметру. В этом приближении коэффициент отражения поверхностной моды равен

2 к

- 01 I

Р ог12 ->

2кг «01

«01 <».

- гехр

2г„

к2а](е - Е0)

(30)

Отметим, что последнее выражение для р применимо для волновода произвольного поперечного сечения; параметры волновода входят в это выражение только через величину ко. Методом функции Грина для рассматриваемого случая нетрудно рассчитать поле во всех точках пространства (в том числе и диаграмму излучения). В частности, на оси волновода поле пространственной волны (интегральное слагаемое в разложении для поля) при г —> —оо имеет вид

Е,р ~ ехр(г'Ьу го/е„г)/[1кх 1п2 \к2тх12к\). (31)

В §13 рассматривается весьма важный для теории вопрос о структуре электромагнитного поля вблизи кромки тонкой диэлектрической пластины. На основании анализа этой задачи рассмотрен вопрос о том, насколько отличаются поля £,"Н. в плоскости обрыва О-волновода (диэлектрической трубки) от полей поверхностной моды. В частности, показано, что для слабонаправляющих систем, в которых возбуждены симметричные волны магнитного типа, электрическое поле в плоскости обрыва близко к полю падающей моды. Анализ также показал, что в этом случае магнитное поле И может иметь слабую (логарифмическую) сингулярность вблизи ребра трубки.

В последнем параграфе методом Винера-Хопфа решена задача о возбуждении волновода вытекающих мод металлическим волноводом и дано сравнение с приближенным решением этой задачи на основе принципа Гюйгенса. В частности, показано, что для области параметров, где основная вытекающая мода имеет малые потери, принцип Гюйгенса достаточно хорошо передает эффекты возбуждения вытекающих мод низших типов, однако, при этом поверхностные моды рассчитываются с большой ошибкой.

Глава 4 "Рассеяние поверхностной моды на обрыве диэлектрического волновода" посвящена применению методов, рассмотренных в предыдущих главах, к задаче дифракции волн на обрыве диэлектрических волноводов различного вида. Эта задача является весьма важной для многих практических приложений, поэтому она исследована подробнее. Расчеты проводились по формулам, аналогичным (22)-(23).

В §15 анализируется случай обрыва круглого волокна. Изучены зависимости коэффициента отражения поверхностной моды и вид диаграммы направленности излучения от различных параметров задачи (частоты, размеров и т.д.). В предельных случаях для этой задачи из вариационных соотношений выведены простые приближенные соотношения. Например, показано, что при

ка, —> оо коэффициент отражения стремится к "геометрооптическому" пределу

(32)

где еле/- диэлектрические проницаемости сердцевины волокна и правого полупространства.

В качестве иллюстрации на рис. 2 приведены результаты расчета модуля коэффициента отражения |р| моды НЕц от обрыва круглого волновода при различных значениях радиуса а волокна. Расчеты проводились для волноводов с параметрами: диэлектрическая проницаемость сердцевины волокна £ = 2.131б£„, оболочки - е0 = 0.99401 е, проницаемость правого полупространства £) = е„ (вакуум), длина волны света - А = \.3цт. Задача решалось в векторной форме (кривая 1) и в скалярном приближении (кривая 2). Горизонтальные штриховые прямые показывают предельные значения р0 и р«, (при ка —> 0 и ка оо). Вертикальной штриховой линией отмечено критическое значение радиуса ас; при а > ас в волноводе могут распространяться несколько несимметричных поверхностных мод.

В настоящее время в литературе описано несколько других подходов для решения трехмерных задач дифракции волн в оптических волокнах. Среди них отметим, например, метод гауссовской аппроксимации поля основной моды, метод приближенного сшивания полей, метод эквивалентного показателя преломления и другие методы. Большое достоинство этих методов заключается в том, что с их помощью для различных случаев удается получить простые аналитические оценки для характеристик рассеяния. Однако, вопрос о точности этих подходов рассматривался неполно. В главах 2-4 проведено сравнение результатов, полученных указанными выше подходами, с данными, рассчитанными вариационным методом и методом Винера-Хопфа. Показано, что многие из упомянутых подходов пригодны только для очень грубой оценки характеристик рассеяния; в некоторых случаях они не передают деталей зависимостей этих характеристик ог параметров волноводов, а зачастую могут давать неверные результаты.

Расчеты задач об обрыве оптического волокна показали, что скалярное приближение дает значения коэффициента отражения поверхностных мод, которые не согласуются даже качественно с векторной теорией (хотя при расчете регулярных волокон получается прекрасное согласие между векторной и скалярной теорией). Этот вывод иллюстрирует рис. 2, где представлены результаты вычислений |р| для векторной (кривая 1) и скалярной задач (кривая 2). Приведенные результаты показывают, что при малой разнице показателей преломления сердцевин и оболочек волокон существует заметное различие между скалярной и векторной теориями при решении задач рассеяния, хотя для регулярных задач результаты этих двух теорий согласуются с высокой точностью. На рис. 2 приведены также данные (кривая 3), полученные методом эффективного показателя преломления [22]. Соответствующее выражение для р имеет вид

41' - к^Г,

Рис. 2. Модуль коэффициента отражения основной моды для задачи об обрыве круглого волокна. Значения радиуса волновода даны в микронах. Горизонтальные штриховые линии - предельные значения |р| при малых и больших значениях радиуса волокна.

где е/ - диэлектрическая проницаемость правого полупространства. Это простое приближение также отличается от результатов расчета по вариационным формулам.

В простейшем варианте вариационного подхода поле в плоскости обрыва волновода полагается равным полю набегающей поверхностной волны. Это поле известно лишь для очень ограниченного числа геометрий волокон (в трехмерном случае - только для круглого). В общем случае для расчета этих мод приходится прибегать к численному анализу. Как показали численные эксперименты, для решения задач дифракции поля поверхностных мод должны быть рассчитаны со сравнительно высокой точностью. Заметим, что это требование относится практически ко всем методам решения этих задач. Автором разработаны несколько методик расчета поверхностных мод, которые основаны на методе интегральных уравнений и методе коллокации, в том числе новый метод адаптивной коллокации. В §17 на нескольких примерах дано описание этих методик и исследование их характеристик (сходимости, точности и т.д.). Кроме этих методик в этой главе описан также метод квазивекторного приближения, уточняющий хорошо известный скалярный метод. Полученные результаты применены затем к расчету дифракции поверхностных мод на обрыве прямоугольного диэлектрического волновода, \У-волокна и волокон с переменным профилем диэлектрической проницаемости.

Глава 5 "Анизотропные волноводы и периодические линии" посвящена обобщению развитого аппарата на более сложные задачи. В §20 методом ¿■-оператора вводятся и анализируются свойства собственных мод диэлектрических волноводов с анизотропным заполнением (в том числе в гиротропных волноводах). В анизотропных структурах условия, ортогональности собственных мод должны быть заменены на условия биортогональности. В этом случае ортогональными оказываются решения двух связанных задач: поля мод исходной задачи и задачи, в которой тензор диэлектрической проницаемости заменен на транспонированный. Используя условия биортогональности, большинство результатов, полученных для изотропных структур, можно естественным образом обобщить на анизотропные волноводы.

В §21-23 проведен анализ задач возбуждения и рассеяния волн в таких структурах. Для волноводов малого поперечного сечения на основе полученных методик выведены простые аналитические выражения для характеристик рассеяния. Например, для задачи о скачке поперечного размера волокна радиационные потери равны

Т""1 - 3

А(кца<)

кца,

(34)

где ки - поперечное волновое число основной поверхностной моды, а, -размер поперечного сечения волновода, Д(/сца«) - величина скачка функции кца,. Отметим, что в анизотропных волноводах две основные моды дискретного спектра, которые поляризованы в разных плоскостях, могут иметь сильно отличающиеся фазовые скорости (т.е. разные значения поперечных волновых чисел кп); в силу этого их радиационные потери при рассеивании на нерегулярностях могут существенно отличаться. Результаты, полученные в этих параграфах, позволяют исследовать задачу оптимизации плавных пе-

реходов в открытых волоконных линиях (например, с целью минимизации радиационных потерь).

В §24 метод 5-оператора обобщен на открытые периодические линии (зеркальные и линзовые волноводы, гофры и т.п.). С помощью этого подхода рассмотрены простейшие задачи возбуждения таких систем сторонними токами, а также задачи трансформации волн на нерегулярностях.

В Заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы, которые получены автором. Краткое перечисление результатов приведено ниже. В приведенных далее приложениях подробнее рассмотрены некоторые вопросы, которые были использованы при расчетах или обобщают полученные результаты на более сложные системы.

В Приложении 1 "Обобщенные условия ортогональности" дан анализ собственных мод открытых волноводов с более сложной структурой, чем это сделано в гл. 1. В этой главе предполагалось, что среда, из которой изготовлена оболочка волновода, изотропна и ее проницаемости постоянны. В первых параграфах исследованы собственные моды, распространяющиеся в волноводах с более сложной структурой среды, окружающей волокно, а также с диэлектрическими потерями в оболочке (в частности, в волокнах с анизотропной оболочкой). Показано, что в таких структурах поперечные волновые числа радиационных мод « могут принимать комплексные значения, что, в свою очередь, может приводить к неограниченному (экспоненциальному) росту полей собственных волн непрерывного спектра в поперечной плоскости волновода:

|£| ~ ехр(г1тк)/-Уг -» °о. (35)

Из-за неограниченности полей обычные методы нормировки полей этих мод в этом случае не работают, так как их вывод существенным образом опирается на условие вещественности всех величин к. В работе предложен метод регуляризации расходящихся интегралов, основанный на введении- в условие ортогональности весовых функций. Обобщенное условие ортогональности имеет вид

lim^J ErK.ETiKi exp(—ar2)dxdy = Dt{k.)8tt'6(k — «'), (36)

где Dt(k) определяется формулой (11). Это выражение отличается от соотношения (10) весовой функцией ехр(-аг2), а также тем, что поперечные волновые числа к, к' могут быть комплексными, т.е. 8(к — к') есть функция комплексных переменных. Эта функция выражается через обычную 8-функцию, если параметризовать спектральную линию которая определяет множество значений поперечных волновых чисел, с помощью вспомогательного вещественного параметра I, т.е. для комплексных (в общем случае) точек к и к' на линии Х„ имеем к = к(1), к' = к(1') и, соответственно,

% - к') = 8(1 - Г)/(¿к/dl) (37)

Анализ нескольких примеров показывает, что множество значений поперечных волновых чисел к радиационных мод (т.е. вид спектральной линии Lx) не определяется однозначно. Обычно, фиксированными оказываются только концы этой линии. В последнем параграфе этой главы рассмотрены некото-

рые асимптотические свойства радиационных мод (в скалярном приближении и в векторном случае).

В Приложении 2 "Анализ численных методов расчета собственных мод" приведен анализ методов расчета диэлектрических волноводов сложного поперечного сечения. В первом параграфе исследованы вопросы устойчивости различных численных методов. Для анализа устойчивости введены коэффициенты, которые количественно оценивают нестабильность исследуемого метода. Результаты анализа могут быть использованы, например, для поиска оптимального расположения узлов в различных методах коллокации (в том числе и при расчете поверхностных мод).

В §2 обсуждается возможность применения метода адаптивной коллокации к некоторым задачам дифракции (рассеяние плоской волны на металлическом цилиндре, гофре и т.п.). Этот метод обобщает подход, изложенный в §17, в котором он применялся для расчета характеристик поверхностных мод. Как известно, результаты применения коллокационных алгоритмов существенно зависят от расположения узлов, в которых должны выполняться граничные условия (или удовлетворяться уравнения). Показано, что при использовании в качестве решения дифракционных задач базиса из метагармонических функций, можно указать такое расположение узлов (адаптивных точек), которое для достаточно гладких границ рассеивателя обеспечивает сходимость этого решения. Показано также, что распределение адаптивных точек зависит от формы границы рассеивателя и может быть найдено с помощью достаточно простых алгоритмов.

Основные результаты и выводы работы

В диссертации развиты общие методы анализа задач дифракции и распространения волн в различных открытых направляющих системах (в первую очередь, в трехмерных системах), включая однородные (изотропные и анизотропные диэлектрические структуры) и периодические волноводы. В работе получены следующие основные результаты.

1) Предложен конструктивный метод построения системы собственных мод (непрерывного и дискретного спектра) открытого волновода произвольного вида, основанный на методе ^-оператора. Показано, что для волноводов без диэлектрических потерь этот оператор унитарен.

2) Исследованы свойства системы собственных мод. В частности, показано, что для собственных мод коэффициенты разложения внешнего поля, т.е. поля вне сердцевины волновода, являются элементами (компонентами) собственных векторов 5-оператора. Для волноводов без диэлектрических потерь эти векторы можно отнормировать так, что они будут вещественными. Для волокна малого поперечного сечения характеристики собственных мод получены в аналитической форме.

3) Показано, что в открытых волноводах с поглощением моды непрерывного спектра могут быть неограничены в поперечной плоскости. Для таких систем прослежен предельный переход от экранированной системы к открытой. Из результатов анализа следует, что множество волновых чисел мод

непрерывного спектра определено неоднозначно; в частности, спектральное множество может включать волновые числа вытекающих мод.

4) Предложены методики численного построения системы собственных мод, которые основаны на методах коллокации (при разложении полей в ряды цилиндрических гармоник). Исследована сходимость методов и ограничения на форму волновода, для которых получается сходящийся вычислительный процесс.

5) Предложен приближенный (полуаналитический) метод построения собственных мод слабонаправляющих волокон, основанный на квазивекторной аппроксимации, который уточняет известное скалярное приближение.

6) Доказана ортогональность системы собственных мод. Для волноводов с диэлектрическими потерями, у которых поля неограничены, введены обобщенные условия ортогональности с помощью "гасящей" весовой функции, которая позволяет регуляризовать расходящиеся интегралы.

7) Исследованы характеристики мод дискретного спектра (поверхностных волн) в области низких и высоких частот. Для анализа высокочастотной асимптотики поверхностных мод введены приближенные граничные условия импедансного типа.

8) Проведено сравнение общих характеристик мод непрерывного спектра, рассчитанных в скалярном приближении и на основе векторных уравнений Максвелла. Установлено, что при к —> 0 и к —» оо скалярные радиационные моды близки к модам свободного пространства. Для слабонаправляющего волокна структура векторных и скалярных мод в области малых значений поперечных волновых чисел (к -> 0) достаточно близка друг к другу. При к —> оо характеристики этих мод могут быть различны.

9) Методом адаптивной коллокации в сочетании с методом интегральных уравнений рассчитаны поверхностные моды волокна произвольного поперечного сечения и с произвольным (гладким) профилем диэлектрической проницаемости. Установлена связь между расположением точек коллокации, формой поперечного сечения волновода и системой базисных функций, которая используется для представления поля.

10) Проанализированы свойства вытекающих мод. Для анализа этих мод, распространяющихся в волноводах с многослойным покрытием, введены приближенные граничных условий импедансного типа, позволяющие получить аналитические выражения для коэффициентов затухания. Рассмотрены различные способы расчета норм этих мод.

11) С помощью условий ортогональности и леммы Лоренца в общем виде решена задача о возбуждении открытого однородного волновода сторонними токами. Исследована структура поля в дальней зоне (в том числе, поля на оси волновода) и характерные особенности диаграммы направленности.

12) Численно решена задача о рассеянии поверхностной моды на скачке сечения круглого и эллиптического волноводов с постоянным профилем диэлектрической проницаемости. Прослежена связь между характеристиками радиационных мод (волн непрерывного спектра) и свойствами диаграммы рассеянного поля. Установлено, что полученные соотношения применимы для

волокна произвольного поперечного сечения.

13) Вариационным методом решена задача дифракции поверхностной волны на скачкообразной нерегулярности волокна при произвольной вариации его параметров (в том числе на обрыве волновода). Выведены стационарные функционалы для характеристик рассеяния: диаграммы направленности, коэффициентов прохождения и отражения.

14) Для расчета отражения поверхностной моды от обрыва диэлектрического волновода предложена новая (смешанная) формулировка вариационного принципа, которая, как показали различные тесты, оказывается точнее известных ранее формулировок и устойчивее при численных расчетах. Конкретные результаты получены для широкого класса волокон, часто применяемых на практике: для круглых и прямоугольных волноводов, волокон с переменным профилем показателя преломления (в том числе с параболическим профилем и с профилем, имеющим провал распределения на оси волокна), волокон \У-типа и др. Выведены простые асимптотические формулы для коэффициента отражения при малых и больших значениях безразмерного параметра кафе - ео)/е„, где а - средний размер поперечного сечения волновода.

15) Методом Винера-Хопфа решено несколько задач о дифракции волн на скачкообразных нерегулярностях диэлектрических волноводов, в том числе на обрыве тонкостенных диэлектрических трубок. На примере этих задач дана оценка точности вариационного метода. Исследована асимптотика решений в области высоких и низких частот. Определена структура полей в плоскости обрыва волноводов, в том числе вблизи края тонкой диэлектрической стенки. Показано, что поля вблизи края могут иметь логарифмическую сингулярность. Эти результаты уточняют хорошо известные условия Майкснера для полей вблизи ребра диэлектрического клина.

16) Для волноводов малого поперечного сечения (при произвольной форме) предложена модификация метода Винера-Хопфа - метод приближенной факторизации, который позволяет получить большую часть результатов в аналитической форме.

17) Методом Винера-Хопфа исследована задача о возбуждении металлическим волноводом волновода с диэлектрической стенкой. На примере этой задачи рассмотрены вопросы, связанные с возбуждением вытекающих мод.

18) На основе решений, полученных с помощью вариационного принципа и методом Винера-Хопфа, исследована точность различных приближенных подходов, которые широко применяются для анализа задач дифракции на скачкообразных нерегулярностях волокон (в том числе скалярного приближения, гауссовской аппроксимации поля, метода эффективного показателя преломления и др.). В частности показано, что в скалярном приближении результаты расчета рассеяния поверхностной моды на обрыве слабонаправляющего волновода могут даже качественно отличаться от результатов векторного решения, хотя все характеристики поверхностных мод регулярного волокна хорошо описываются скалярной теорией. Показано также, что метод гауссовской аппроксимации поля во многих случаях может давать ошибочные результаты для решения задачи о прохождении поверхностной моды через стык двух волокон разного диаметра. Проведено сравнение характеристик

рассеяния поверхностных мод на обрыве двухмерного (планарного) и трехмерного (круглого) волноводов. Показано, что в области малых замедлений решения этих задач существенно отличаются друг от друга (в частности, существенно отличаются зависимости коэффициентов отражения от частоты).

19) Проведено обобщение метода 5-оператора на волноводы с анизотропными (гиротропными) диэлектриками. Рассмотрены свойства собственных мод в таких системах. С помощью спектральных разложений и модифицированного метода связанных мод решены задачи о возбуждении анизотропных волноводов и о дифракции волн на различных нерегулярностях (стыки волокон, плавные переходы и т.д.).

20) Проанализирована задача оптимизации плавных переходов (минимизация радиационных потерь) между оптическими волокнами с разными параметрами. Показано, что принципы построения переходов (с малыми потерями на трансформацию мод) в открытых и закрытых волноводах различны.

21) Методом 5-оператора проанализированы собственные моды открытых периодических волноводов. С помощью спектральных разложений решены задачи возбуждения таких систем.

22) Рассмотрены вопросы сходимости и устойчивости некоторых алгоритмов, которые используются для расчета поверхностных мод диэлектрических волноводов (а также для анализа сходных проблем).

23) Исследованы общие вопросы сходимости коллокационных методов, применяемых для решения внутренних и внешних задач дифракции (выбор точек коллокации, скорость сходимости и т.п.).

Литература

1. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. радио, 1966.

2. Felsen L.B. Radiation from a tapered surface wave antenna. IRE Trans. Antennas Propagat., 1960, v. AP-8, №6, pp. 577-586.

3. Tamir T. and Oiiner A.A. The spectrum electromagnetic waves guiding by a plasma layer. Proc. IEEE, 1963, v. 51, N52, pp. 317-324.

4. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: Иностр. лит., 1950, с. 342.

5. Friedman В. Principles and Techniques of Applied Mathematics. N.Y.: Wiley, 1957.

6. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.

7. Унгер Х.-Г. Пленарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.

8. Снайдер А., Лае Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987.

9. Marcase D. Theory of Dielectric Optical Waveguides. N.Y.: Academic Press, 1974.

10. Интегральная оптика. Сб-к статей под ред. Тамира Т. М.: Мир, 1978.

11. Красюк Б.А., Корнеео Г.И. Оптические системы связи и световодные датчики. М.: Радио и связь, 1985.

12. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука, 1969.

13. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: АН СССР, 1961.

14. Barlow Н.М., Brown J. Radio Surface Waves. Oxford: Clarendon Press, 1962.

15. Vassallo C. Orthogonality and normalization of radiation modes in dielectric waveguides: an alternative derivation. J. Opt. Soc. Am., 1983, v. 73, N=5, pp. 680-683.

16. Uzunoglu N.K., Capsalis C.N., Tigelis I. Scattering from abruptly terminated single-mode-fiber waveguide. J. Opt. Soc. Am., 1987, v. A-4, N= 11,pp. 21502157.

17. Tigelis /., Uzunoglu N.K., Capsalis C.N. Scattering from abruptly terminated single mode fiber waveguide. J. Electromagn. Waves Appl., 1991, v. 5, №12, pp. 447-457.

18. Marcuse D. Gaussian approximation of the fundamental modes of graded-index fibers. J. Opt. Soc. Am., 1978, v. 68, N'l, pp. 103-109.

19. Nemoto S., Makimoto T. Analysis of splice loss in single-mode fibers using a Gaussian field approximation. Optical Quantum Electron., 1979, v. 11, N=5, pp. 447-457.

20. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач. М: Радио и связь, 1981.

21. Angulo С.М. Diffraction of surface waves by a semi-infinite dielectric slab. IRE Trans. Antennas Propag., 1957, v. AP-5, NU, pp. 100-109.

22. Vassallo C. Theory and practical calculation of antireflection coatings on semiconductor laser diode optical amplifiers. IEE'Proc., pt. J, 1993, v. 137, №4, pp. 193-202.

Основные работы автора по теме диссертации1

1". Мелехик В.Н., Маненков А.Б. Диэлектрические трубы как волноводы с малыми потерями. ЖТФ, 1968, т. 38, N=12, с. 2113-2115.

2*. Мелехин В.Н., Маненков А.Б. Диэлектрические трубы - открытые волноводы с малыми потерями и редким спектром. В сб-ке: Электроника больших мощностей, М.: Наука, 1969, с. 161-178.

3*. Маненков А.Б. Возбуждение открытых однородных волноводов. Известия вузов - Радиофизика, 1970, т. 13, N=5, с. 739-748.

4'. Маненков А.Б. Открытые резонаторы с диэлектрическими стенками. Известия вузов - Радиофизика, 1971, т. 14, N° 4, с. 606-612.

5". Казанцев Ю.Н., Маненков 'А.Б., Харлашкин О.А. Полые диэлектрические и металлодиэлектрические волноводы для передачи быстрых Я-волн. Известия вузов - Радиофизика, 1974, т. 17, №10, с. 1529-1538.

'Результаты первых четырех работ частично использованы в кандидатской диссертации автора: иКвазиоптика волноводов и резонаторов с селективно отражающими диэлектрическими стенками", М.: ИФП АН СССР, 1973.

6". Маченков А.Б. Возбуждение быстрых волн в открытом волноводе с диэлектрической стенкой. Известия вузов - Радиофизика, 1975, т. 18, Ni7, с. 1025-1031.

7". Маченков А.Б. Возбуждение открытых периодических волноводов. Известия вузов - Радиофизика, 1976, т. 19, № 2, с. 263-270.

8*. Маченков А.Б. Потери несимметричных волн в неоднородных открытых волноводах малого поперечного сечения. Известия вузов - Радиофизика, 1976, т. 19, NM, с. 595-602.

9*. Маченков А.Б. Затухание быстрых волн в диэлектрических трубах. Радиотехника и электроника, 1977, т. 22, N° 10, с. 2043-2051.

10'. Маченков А.Б. Распространение поверхностной волны через неоднородный участок тонкого диэлектрического волновода. Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, N=1, с. 33-40.

11*. Маченков А.Б., Мелехич В.Н. Расчет квазиодномодовых оптических волокон с селективно отражающим диэлектрическим покрытием. Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, №7, с. 1282-1290.

12*. Маченков А.Б. Распространение и излучение волн в прямоугольных волноводах со слоистыми стенками.. Известия вузов - Радиофизика, 1979, т. 22, №11, с. 1365-1376.

13*. Маченков А.Б. Распространение волн в открытых волноводах с анизотропным диэлектриком. Известия вузов - Радиофизика, 1981, т. 24, N=1, с. 84-96.

14*. Manenkov A.B. Irregular magneto-optical waveguides. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1981, v. MTT-29, no. 9, pp. 906-910.

15*. Маченков А.Б. Распространение поверхностной волны вдоль диэлектрического волновода со скачкообразным изменением параметров. 1 -Решение методом факторизации. Известия вузов - Радиофизика, 1982, т. 25, №11, с. 1329-1336.

16*. Маченков А.Б. Распространение поверхностной волны вдоль диэлектрического волновода со скачкообразным изменением параметров. 2 -Решение вариационным методом. Известия вузов - Радиофизика, 1982, т. 25, №12, с. 1484-1490.

17*. Манечков А.Б. Сравнение приближенных методов расчета дифракции волн на скачке диаметра диэлектрического волновода. Известия вузов -Радиофизика, 1985, т. 28, №6, с. 743-752.

18*. Клеев А.И., Маченков А.Б. Метод адаптивной коллокации в двумерных задачах дифракции. Известия вузов - Радиофизика, 1986, т. 29, №5, с. 557-565.

19*. Вайчштейн Л.А., Маченков А.Б. Возбуждение открытых волноводов. В сборнике: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов: СГУ, 1986, книга 1, с. 141-197.

20*. Васильев А.Д., Манечков А.Б. Дифракция поверхностной волны на конце диэлектрической трубки. Известия вузов - Радиофизика, 1987, т. 30, N=3, с. 405-412.

21*. Клеев А.И., Маченков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов методом коллокации. Известия вузов - Радиофизика, 1988, т. 31, №1, с. 93-102.

22*. Клеев А.И., Маненков А.Б. Расчет открытого резонатора с волноводом между зеркалами. Радиотехника и электроника, 1988, т. 33, N¿7, с. 1387-1393.

23*. Клеев А.И., Маненков А.Б. Метод адаптивной коллокации. В сборнике: IX Всесоюзная школа по дифракции и распространению волн. Казань: КАИ, 1988, с. 43-68.

24*. Клеев А.И., Маненков А.Б. Отражение от обрыва прямоугольного диэлектрического волновода. Известия вузов - Радиофизика, 1989, т. 32, N° 1, с. 106-109.

25*. Kleev A.I., Manenkov А.В. The convergency of point-matching techniques. IEEE Trans. Antennas Propagat., 1989, v. AP-37, no. 1, pp. 50-54.

26*. Тихомиров A.B., Маненков А.Б. Скин эффект в проводе квадратного сечения. Радиотехника и электроника, 1989, т. 34, N=6, с. 1166-1171.

27*. Жбанов А.И., Маненков А.Б., Рожнев А.Г. Связанные диэлектрические волноводы. Радиотехника и электроника, 1989, т. 34, N= 12, с. 24922497.

28*. Manenkov А.В. Step discontinuities in dielectric waveguides (fibres). Optical Quantum Electron., 1990, v. 22, no. 1, pp. 65-76.

29*. Маненков А.Б. Сравнение приближенных методов расчета диэлектрических прямоугольных волноводов. Известия вузов - Радиофизика, 1990, т. 33, N=1, с. 93-97.

30*. Manenkov А.В. Accuracy of approximation for fibre discontinuity analysis. Optical Quantum Electron., 1991, v. 23, no. 1, pp. 81-90.

31*. Manenkov A.B. Eigenmodes expansion in lossy open waveguides (fibres). Optical Quantum Electron., 1991, v. 23, no. 5, pp. 621-632.

32*. Manenkov A.B. Reflection of the surface mode from an abruptly ended W-fibre. IEE Proc. - J, 1992, v. 139, no. 2, pp. 101-104.

33*. Manenkov A.B. Reflection of the surface mode from an abrupt ended dielectric tube waveguide. IEE Proc. - J, 1992, v. 139, no. 3, pp. 194-200.

34*. Manenkov A.B. Orthogonality relations for the eigenmodes of lossy anisotropic waveguides (fibres). IEE Proc. - J, 1993, v. 140, no. 3, pp. 206-212.

35*. Клеев А.И., Маненков А.Б., Рожнев А.Г. Численные методы расчета диэлектрических волноводов. Частные методы. (Обзор). Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, №5, с. 769-788.

36*. Клеев А.И., Маненков А.Б., Рожнев А.Г. Численные методы расчета диэлектрических волноводов. Универсальные методики. (Обзор). Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, N=11, с. 1938-1968.

37*. Manenkov A.B. Radiation modes of a fibre. Part 1: Construction and properties. IEE Proc. - Optoelectronics, 1994, v. 141, no. 5, pp. 287-295.