Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств диэлектрической и киральной сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

§1 Некоторые общие вопросы теории регулярных волноводов.

§2 Общие свойства киральных сред.

§3 Основное энергетическое соотношение для киральных сред.

§4 Обзор литературы.

I Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств диэлектрика.

§1 Математическая постановка задачи.

§2 Дисперсионное уравнение для мод круглого цилиндрического волновода с импедансной боковой поверхностью.

§3 Задачи о собственных колебаниях магнитного типа вблизи критических частот в круглом и коаксиальном импедансных волноводах.

§4 Исследование кольцевого диэлектрического резонатора.

§5 Исследование коаксиального металло-диэлектрического резонатора.

§6 Определение геометрических параметров резонатора по его электродинамическим характеристикам.

§7 Схема метода Галеркина для расчета электромагнитного поля в волноводе, заполненном диэлектрической средой.

II Математическое моделирование волноводных свойств киральной среды.

§1 Коэффициент прохождения электромагнитной волны через киральный слой.

§2 Нахождение постоянной распространения волны в цилиндрическом волноводе с заполнением из киральной среды.

III Математическое моделирование волноводно-резонан-сных свойств киральной среды.

§1 Исследование волноводно-резонансных свойств киральной среды, заполняющей круглый волновод на конечном участке его длины.

§2 Построение приближенного решения.

§3 Свойства приближенного решения.

§4 Вычислительные формулы для коэффициентов системы волноводных уравнений и численный метод решения задачи.

Основные результаты диссертации.

Активное освоение сверхвысокочастотного диапазона длин волн и потребности практики вызвали необходимость теоретических и экспериментальных исследований электромагнитных волноводно-резо-нансных процессов.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент представляют мощный инструмент анализа этих процессов. В прикладной электродинамике замена физического эксперимента вычислительным особенно эффективна, так как уравнения Максвелла и граничные условия дают достаточно точные модели электродинамических явлений.

Широкое внедрение численных методов решения краевых задач электродинамики, опирающееся на современную математическую базу и вычислительную технику, привело к созданию эффективных математических моделей волноводно-резонансных процессов.

Диссертация посвящена рассмотрению математических моделей, построенных с помощью строгого метода решения краевых волновод-ных задач - неполного метода Галеркина, и моделей эквивалентных граничных условий импедансного типа, описывающих азимутально-гофрированную и неидеально проводящую граничную поверхности.

В диссертации решаются актуальные вопросы разработки и математического обоснования созданных на основе этих моделей наиболее общих и универсальных вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать волноводно-резонансные процессы и физические свойства сред, описываемых материальными уравнениями, связывающими векторы электрической и магнитной индукции с векторами напряженности как электрического, так и магнитного полей.

Импедансная модель эквивалентных граничных условий оказывается весьма эффективной при исследовании высокодобротных волноводно-диэлектрических резонансов (ВДР) в направляющих системах с потерями и нерегулярной границей.

Задача уменьшения потерь в различных волноведутцих и резонансных структурах является традиционно важной, актуален поиск физических явлений и эффектов, приводящих к подобному уменьшению.

Определенные возможности дает использование аномалии затухания волн Ноп в круглом волноводе. Выбирая радиус достаточно большим, можно получить сколь угодно малое затухание [48]. Такой путь используется при создании линий дальней волновой связи и представляет интерес для СВЧ-энергетики. Однако он имеет один существенный недостаток: волновод используется в многомодовом режиме, то есть, в условиях возможности распространения большого количества паразитных волн - в силу неизбежного наличия нерегулярностей волновода (изгибы, стыки, деформации) работ гая волна типа Ноп трансформируется в паразитные волны, имеющие значительное затухание. В разультате общие потери возрастают и выигрыша в затухании не происходит. Поэтому возникает проблема подавления паразитных мод, иными словами - разряжения спектра собственных волн круглого волновода. Один из путей ее решения - использование кольцевых волноводов, а также мелкопериодических гофр на внутренней поверхности волновода.

Для достижения высокой добротности резонатора можно выбрать в качестве рабочего определенный тип колебаний (например, использование мод типа "шепчущей галереи" ).

Большое значение в плане уменьшения потерь в СВЧ-системах имеет оптимизация формы волноводов и резонаторов. Здесь можно выделить два направления поисков. Первое заключается в создании такой конфигурации, при которой электромагнитное поле "повисает" в пространстве, минимально касаясь стенок и наводя в них уменьшенные поверхностные токи. В качестве примера можно привести скругление углов прямоугольного волновода. Второе направление поисков состоит в подборе формы таким образом, чтобы обеспечивалось эффективное разрежение спектра собственных волн, в частности подавление низших типов волн.

Большого внимания заслуживает идея использования для уменьшения потерь гофрированных (гребенчатых) волноводов и резонаторов. Теоретически и экспериментально было показано [14], что потери НЕп-волны в волноводе, в котором период и глубина гофр достаточно велики ( порядка четверти длины волны ), уменьшаются примерно на порядок. Этот эффект получил название эффекта аномллъно малого затухания.

И, наконец, еще один путь создания волноводов и резонаторов с малыми потерями заключается в использовании диэлектрических вставок специальной формы, то есть, в переходе от металлических к металлодиэлектрическим системам. Идея такого подхода состоит в том, чтобы введением диэлектрической вставки вызвать перераспределение собственного поля, приводящее к отжатию последнего от металлических стенок и уменьшению потерь в них.

Учет потерь в стенках волновода (резонатора) делает соответствующие граничные условия несамосопряженными, что обуславливает актуальность применения несамосопряженных краевых задач для расчета реальных электродинамических систем.

Как правило, такие задачи решались методами теории возмущений и, следовательно, потери учитывались приближенно. При исследовании волноводно-резонансных процессов требования к точности решения соответствующих задач Штурма-Лиувилля с несамосопряженными граничными условиями третьего рода возрастают.

Рассматриваемый в диссертации метод редукции этих задач к задаче Коши позволяет проводить их решение с заданной точностью.

В 80-е годы XX века активно начали изучаться электродинамические свойства искусственных композиционных материалов. К таким материалам относятся и киральные среды, содержащие зеркально-асимметричные элементы.

В настоящее время большой интерес представляет изучение процессов распространения и рассеяния электромагнитного поля на киральных структурах [6], [19], [20]. Это связано, прежде всего, со специфическими свойствами рассеяния электромагнитных волн на объектах с кираль-ными включениями.

Явление киральности как проявление асимметрии правого и левого наблюдается в различных областях науки, в том числе, в физике. Например, известному ученому Луи Пастеру удалось молекулярной асимметрией объяснить природу оптической активности кристаллов. Это послужило началом изучения оптических свойств гиротропных сред.

Киральная среда моделируется, чаще всего, из отрезков металлических или керамических спиралей, расположенных в изотропной среде [61], [72]. Одним из самых важных свойств киральной среды является оптическая активность, выражающаяся в поведении поляризации волн в такой среде. А именно, при прохождении плоско-поляризованной электромагнитной волны через киральную среду, наблюдается поворот плоскости поляризации этой волны [6]. Некоторую аналогию можно провести с магнитной оптической активностью, когда вращение плоскости поляризации вызвано внешним магнитным полем.

Главным отличием, с математической точки зрения, киральной среды от обычной изотропной является форма материальных уравнений: векторы электрической и магнитной индукций связаны как с напряженностью электрического, так и магнитного полей.

Такой вид материальных уравнений делает перспективным разработку и применение математического аппарата, хорошо себя зарекомендовавшего при изучении распространения электромагнитных колебаний в гиротропных волноводах, при исследовании физических свойств волноведутцих структур с киральным заполнением.

В связи с постоянно увеличивающимся интересом к применению киральных сред в физике и технике СВЧ, чрезвычайно важным представляется развитие соответствующего математического аппарата, позволяющего эффективно численно решать краевые задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями киральной среды.

Из научных проблем, решаемых в области электродинамики и оптики киральиых сред, наиболее актуальны две основные: нахождение параметров киральной среды по физическим параметрам среды -элементов частиц и по параметрам ее пространственной структуры, а также решение задач излучения, дифракции и распространения волн в киральных средах, антенных и волноведущих структурах при условии, что материальные уравнения для киральных сред известны.

Основные результаты диссертации.

1. Выполнена математическая постановка краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями диэлектрической и киральной сред в цилиндрической области с граничными условиями первого рода.

2. Предложен и математически обоснован численный алгоритм решения этой краевой задачи, основанный на модифицированной схеме неполного метода Галеркина. Доказана теорема о сходимости в среднем приближенного численного решения к точному решению рассматриваемой краевой задачи.

3. С помощью данного вычислительного алгоритма решена задача на собственные значения в теории цилиндрического волновода, заполненного киральной средой.

4. Численно решена задача о прохождении плоской электромагнитной волны через слой киральной среды. Обнаружено, что при определенных условиях киральная среда обеспечивает больший коэффициент прохождения волны, чем аналогичная диэлектрическая.

5. На основе импедансной модели произведена математическая постановка задачи Штурма-Лиувилля с несамосопряженным граничным условием третьего рода, описывающей поперечный резонанс в круглом диэлектрическом волноводе с азимутально-гребенчатым неидеально проводящим экраном. Дано решение этой задачи методом редукции к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и численно исследованы ее комплексные собственные значения. Изучены волноводно-диэлектрические резонансы.

6. Численно показано, что использование эффекта аномально малого затухания мод типа "шепчущей галереи" диэлектрического волновода с азимутально гребенчатым экраном позволяет повысить добротность поперечного резонанса на несколько порядков.

1. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. // Москва: Радио и связь.-1988.

2. Морс Ф. М. , Фешбах Г. Методы теоретической физики. // Москва: Издательство иностранной литературы.-1958.

3. Каценеленбаум Б. 3. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. // Москва: Издательство Академии наук СССР.-1961.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т8. Электродинамика сплошных сред. //' Москва: Наука-1992.

5. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. // Москва: Наука.-1970.

6. I.V. Lindell, A.H.Sihvola, S.A. Tretyakov, A.J. Viiatanen. Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-isotropic Media. // Boston: Artecli House-1994.

7. Федоров Ф.И. Теория гиротропии. // Минск: Наука и техника.-1976.

8. Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. // Минск: Белорусская академия наук.-1958.-С.380.

9. Войтович Н.Н. , Каценеленбаум Б. 3., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. // Москва: Наука.-1977.

10. Каценеленбаум Б.З., Колесниченко Ю.В., Францессон A.B., Шевченко В.В. Скрученные диэлектрические волноводы : Макро-и микрокиральность, полоса непрозрачности. /'/ Радиотехника и электроника.-199б.-Т41^5.-С.531-538.

11. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. // Москва: Наука-1966.

12. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма -Лиувилля. // Киев: Наукова думка.-1972.

13. Рамм А.Г. О разложении по собственным функциям дискретного спектра в задачах дифракции. // Радиотехника и электроника.-1973.-T18,N3.-C.496-501.

14. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. // Изд-во МосковскогоУниверситета.-1983.

15. Моденов В.П. О расчете методом Галеркина постоянных распространения в круглом волноводе с ферритовым стержнем. / / Выч. методы и программирование.-Изд-во Московского Университета. -1973.

16. Моденов В.П.,Слепян Г.Я. К расчету собственных волн круглого азимутально- гребенчатого волновода с учетом потерь в стенках. // Радиотехника и электроника.-1984.-Т29,N9.

17. Моденов В.П. Решение дисперсионного уравнения собственных волн круглого импедансного волновода. /'/' Радиотехника и электроника,-1992.-T12,N12.

18. Моденов В.П. Дифференциально-параметрический метод. // ДАН СССР-1987.-T296,N3.-C.536-538.

19. Неганов В.А., Осипов О.В., Сидорова М.А., Яровой Г.П. Отражение плоской электромагнитной волны от киральной полуплоскости. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.-1998.-T1,N1.

20. Неганов В.А., Осипов О.В. Отражение плоских электромагнитных волн от металла, покрытого киральным слоем. //' Физика волновых процессов и радиотехнические системы.-1998.-Т1,М2-3.

21. Кравченко В.Ф. Методы определения скорости света, основанные на импедансных измерениях сверхпроводников. // Радиотехника.-1995.-N10.-C. 108-117.

22. Моденов В.П., Цветков И.В. Математическое моделирование высокодобротных СВЧ-резонаторов. // в кн. Пятый международный семинар инженерно-технических проблем новой техники.Тезисы докладов.-Москва,МГТУ.-1998.-С.244-245.

23. Моденов В.П., Цветков И.В. Резонансные свойства аксиально-симметричных волноводов. // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ.-1998.-Т6,N1-2(21).-С.73-80.

24. Lakhtakia A., Varand V.V. , and Varand V.K., Time-Harmonic Electromagnetic Fields in Chiral Media. // Berlin: Springer-Verlag.-1989.

25. Jaggard D.L., Mickelson A.R. , and Papas C.H., On electromagnetic waves in chiral media. // Appl. Phys.-1979.-V18.-P.211-216.

26. Lakhtakia A., Perturbation of a cavity resonator by a small bianisotropic sphere. // Int. J. Infrared Milllimeter Waves.l991.-V12,N2.-P.109-114.

27. Tretyakov S. and Viiatanen A., Perturbation theory for a cavity resonator with a biisotropic sample: Applications to measurement techniques. // Microwave Opt. Tech. Lett.-1992.-V5,N4.-P.174-177.

28. Viiatanen A. and Lindell I.V., Perturbation theory for a corrugated waveguide with a bi-isotropic rod. // Microwave Opt. Tech.Lett.-1992.-V5, N12 -P.729-732.

29. Lakhtakia A. Polarizability dyadics of small bianisotropic spheres. // J. Phys. France.-1992.-V51,N2.-P. 188-197.

30. Sihvola A.H. Bi-isotropic mixtures. // IEEE Trans. Antennas Propagat-1992.-V40,N2.-P.188-197.

31. Неганов В.А., Осипов O.B. Электродинамический анализ плоского двухслойного кирально-диэлектрического волновода. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.-2000.-ТЗ,Ы2.-С.8-13.

32. Неганов В.А., Осипов О.В. Особенности отражения электромагнитных волн от плоских киральных структур. // Физикаволновых процессов и радиотехнические системы.-1999.-Т2,Ш.-С.5-11.

33. Васильева Т.Д., Просвирин С.Л. Дифракция электромагнитных волн на плоской решетке из киральных полосковых элементов сложной формы. /'/' Физика волновых процессов и радиотехнические системы.-1998.-Т1,Ш.

34. Свешников А. Г. Обоснование методов исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением. /'/' Журн. Вычислит. Математики и Мат. Физики.-1963.-Т3,N5.-0.953-955.

35. Свешников А.Г., Моденов В.П. Распространение электромагнитных волн в волноводах с локальным гиротропным заполнением. // Выч. методы и программирование.-Изд-во Моск. ун-та.-1965.-вып.З.-С.364-385.

36. Моденов В.П. Расчет нерегулярных волноводов с гиротропных заполнением. // Выч. методы и программирование.-Изд-во Моск. ун-та.-1966.-вып.5.-С.197-209.

37. Моденов В.П. Расчет волноводного фазовращателя с длинным ферритовым стержнем. //' Выч. методы и программирование.-Изд-во Моск. ун-та.-1965.-вып.10.-С.124-135.

38. Свешников А.Г. Приближенный метод расчета слабо нерегулярного волновода. // ДАН CCCP.-1956.-N2.-c. 110.

39. Свешников А.Г., Ильинский A.C. Расчет волноводных переходов. // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ.-1963.-Т3,ш.

40. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах. // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ.-1963.-ТЗ,Ш.-С.314-326.

41. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением. // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ.-1Э63.-Т3,к5.-С.953-955.

42. Боголюбов А.Н., Делицын А. Л., Свешников А.Г. О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1999.-Т39,1Ч11.-С.1869-1888.

43. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина. // ДАН СССР.-1977.-T236,N5.-C.1076-1079.

44. Свешников А.Г., Ильинский A.C. Методы исследования нерегулярных волноводов. // Журн. Вычислит. Математики и Мат. Физики. -1969.-T8,N2.-C.363-373.

45. Покровский В.Л., Улинич Ф.Р., Саввиных С.К. Локальное отражение в волноводах переменного сечения. // ДАН СССР.-1958.-T120,N3.

46. Покровский В.Л., Улинич Ф.Р., Саввиных С.К. К теории волноводов переменного сечения. // Радиотехника и электроника.-1959.-Т4,N2.-с.161.

47. Нефедов Е.И. Расчет пологих диэлектрических вставок в прямоугольном волноводе. // Радиотехника и электроника,-1962.-Т7,М5.-с.801.

48. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. /7 Москва: Наука.-1974.

49. Никольский В.В. Исследование полых систем с анизотропными областями методом собственных функций. // Радиотехника и электроника.-1960.-Т5,т1,т2.-1961.-Т6,т2. б, 1, 1961.

50. Никольский В.В. Вариационный принцип для полых систем с анизотропной средой. // Радиотехника и электропика.-1961.-Т6,N9.-С.1583.

51. Никольский В.В. О вариационной эквивалентности гиротропных волноводов и резонаторов. /'/' Радиотехника и электроника.-1962.-Т7,N7.-1249-1250.

52. Никольский В.В., Сухов В.Г. О методе Ритца для полых систем с анизотропной средой. // Радиотехника и электроника.-1961.-Т6,Ш0.-с.1677.

53. Михлин С.Р. Вариационные методы в математической физике.-1957.

54. Неганов В.А., Осипов О.В. Рассеяние плоских электромагнитных волн на кирально-металлическом цилиндре. // Письма в ЖТФ.-2000, Т26,вып.1.

55. Борен К.Ф., Хафмен Д.Р. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. // Москва: Мир.-1986.

56. Лившиц М.С. Метод несамосопряженных операторов в теории волноводов. // Радиотехника и электроника.-1962.-T7,N2.-c.281.

57. Маслов В.П. Асимптотика собственных функций уравнения с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние электромагнитных волн в волноводе. // ДАН CCCP.-1958.-N4.-c. 123.

58. Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: Киральные, би-изотропные и некоторые бианизотропные материалы. // Радиотехника и электроника.-1994.-Т39,Ы10.-С.1457-1470.

59. Третьяков С.А. Приближенные граничные условия для тонкого биизотропного слоя. // Радиотехника и электроника.-1994.-Т39,№2.-с.184.

60. Tretyakov S.A., Sochava A.A. Novel uniaxial bianisotropic materials: Reflection and transmission in planar structures. // Special Issue of "Progress in Electromagnetics Research on bi-isotropic media and applications", Ed. A. Priou, Elsevier, 1994.

61. Дмитриенко А.Г., Корогодов C.B., Рассеяние электромагнитной волны на идеально проводящем теле в киральной оболочке. // Изв. Вузов, Радиофизика, Т.41, N4, 1998, с.495.

62. Vinogradov А.Р. Microscopic Properties of a Chiral Object. // Proc. Bi-Anisotropics-93, 1993, P.22-26.

63. Шевченко В.В. Волны в кирально-анизотропной среде. // Радиотехника и электроника.-1999.-Т44,Ш1.-С.1297-1300.

64. Demidov S.V., Kushnarev K.V., Shevchenko V.V. On mode dispersion properties of chiral optical planar waveguides. // Journal of Radioelectronics.-1999.-N4.

65. Шевченко B.B. Дифракция на малой киральной частице. // Радиотехника и электроника.-1995.-Т40,Ш2.-С.1777-1789.

66. Шевченко В.В. Моды в киральных волоконных световодах. // Радиотехника.-1994.-Ш.-С.80-84.

67. Шевченко В.В. Вырождение и квазивырождение спектра и преобразование волн в диэлектрических волноводах и световодах. // Радиотехника и электроника.-2000.-Т45,Ш0.-С. 1157-1167.

68. Шевченко В.В. К описанию состояния и преобразования поляризации гармонических волн. // Радиотехника и электроника.-2001.-Т46,N11.-С.1323-1326.

69. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. /7 Москва: Наука.-1969.

70. Шевченко В.В. и др. Поле вблизи сочленения двух волноводов с различными поперечными сечениями. // Труды Моск. физ-тех. ин-та.-1962.-Т77,вып.8.

71. Шевченко В.В. и др. Поле вблизи диафрагмы в регулярном волноводе. // Труды Моск. физ-тех. ин-та.-1962.-вып.8.-с.94.

72. Костин М.В., Шевченко В.В. К теории киральной среды на основе сферических спирально проводящих частиц. // Радиотехника и электроника.-1998.-Т43,N8 .-С .921-926.

73. Шевченко B.B. Дифракция на сферической спирально проводящей частице — поперечный киральный эффект. // Радиотехника и электроника1998.-Т43 , N9. -С. 1090-1096.

74. Маркузе Д. Оптические волноводы. // Москва: Мир.-1974.

75. Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. // Киев: Наукова думка.-1987.

76. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверхвысоких и крайне высоких частот. // Москва: Наука.-1996.

77. Веселов Г.И., Раевский C.B. Слоистые металло-диэлектрические волноводы. // Москва: Радио и связь-1988.

78. Снайдер А, Лав Дж. Теория оптических волноводов. // Москва: Радио и связь.-1987.

79. Туров Е.А. Материальные уравнения электродинамики. // Москва: Наука.-1983.

80. Штейншлейгер В.Б. Явление взаимодействия волн в электромагнитных резонаторах. // Москва: Оборонгиз.-1955.

81. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. // Москва: Наука-1979.

82. Барсуков К.А., Смирнова А.А., Эффект Вавилова-Черенкова в киральном волноводе. // Журнал технической физики-1999.-Т69,Вып.З.-С.69-72.

83. Федоренко А.И. Решение задачи рассеяния электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре методом поверхностных интегральных уравнений. // Радиотехника и электроника.-1995.-T40,N3.-C.381-393.

84. Егоров Ю.В. Частично-заполненные прямоугольные волноводы. // Москва: Советское радио.-1967.-с.215.

85. Lakhtakia A. Beltrami fields in chiral media. // Singapore: World Scientific.-1994.

86. Lakhtakia A. Varadan V.V., Varadan V.K. Field equations, Huygens's principle, integral equations, and theorems for radiation and scattering of electromagnetic waves in isotropic chiral media. //J. Opt. Soc. Am. A.-1988.-V5.-P.175-184.

87. Varadan V.K., Varadan V.V., Lakhtakia A. Propagation in ParallelPlate Waveguide Wholly Filled With a Chiral Medium. // Journal Wave-Material Interaction.-1988.-V3,N3.-P.267-272.

88. Cory H., Rosenhouse L. Electromagnetic Wave Propagation Along a Chiral Slab. // IEEE Proc.-1991.-V138,Nl.-P.51-54.

89. Mamdouh M.I. Theoretical Study of Variation of Propagation Constant in a Cylindrical Waveguide Due to Chirality : Chiro-Phase Shifting. // IEEE Transactions on Microwave theory and techniques.-1994.-V42,N9.

90. Sihvola A.H., Lindell I.V., Bi-isotropic constitutive relations. // Microwave Optics and Technology Letters.-1991.-V4,N8.-P.295-297.

91. Bohren G.F. Light scattering by an optically active sphere. /7 Chemical Physics Letters.-1974.-V29,N3.-P.458-462.

92. Lindell I.V., Viitanen A.J. Duality transformations for general bi-isotropic (nonreciprocal chiral) media. // IEEE Trans. Antennas and Propagation.-1992.-V40, N1.- P.91-95.

93. Jaggard D.L., Sun X., Engheta N. Canonical sources and duality in chiral media. // IEEE Trans. Antennas and Propagation.-1998.-V36.-P.1007-1013.

94. Lindell I.V. Asymptotic high-frequency modes of homogeneous waveguide structures with impedance boundaries. // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, V.30 N10, 1981, P.1087-1093.

95. Lindell I.V., M.P. Silverman Plane-wave scattering from a nonchiral object in a chiral environment. // J. Opt. Soc. Am. A.-1997.-V14,N1.-P.79-90.

96. Li L.W., Dan Y., Leong M.S. Electromagnetic scattering by an inhomo-geneous chiral sphere of varying permittivity: a discrete analysis using multilayered model. // Progress In Electromagnetics Research.-1999.-PIER 23.-P.239-263.

97. Li L.-W., Dan Y., Leong M.-S., Yeo T.-S. Plane wave scattering by an achiral multilayered sphere in an infinitely extended chiral host medium. // Progress In Electromagnetics Research.-2001.-PIER 33.-P.261-298.

98. Engheta N. Pelet P. Modes in chirowaveguides. /7 Opt. Lett.-1999.-V14,-P.593-595.

99. Kluskens M.S., Newman E.H. Scattering by a multilayer chiral cylinder. // IEEE Trans. Antennas Propagat.-1991.-V39.-P.91-96.

100. Капелевич Б.Ю., Трубехин E.P. Волноводно-диэлектрические фильтрующие структуры: Справочник // Москва: Радио и Связь.-1990.-c.272.