Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами

Гао Цзесин

Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Гао Цзесин АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами»

Автореферат диссертации на тему "Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами"

005006697

Гао Цзесин

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТАМАТЕРИАЛОВ АНАЛИТИЧЕСКИМИ И ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

01.01.03 - Математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

Москва - 2011

005006697

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук профессор

Боголюбов Александр Николаевич

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

профессор

Беланов Анатолий Семенович

Доктор физико-математических наук профессор Слепков Александр Иванович

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии Наук

Институт прикладной математики имени М.В.Келдыша Российской Академии Наук

Защита состоится "22"декабря 2011 г. в _ час. на заседании Диссертационного

совета Д 501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова (119991, Москва, Ленинские горы, Физический факультет МГУ, ауд. СФА).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан "_"_2011 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор

Грац Ю.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Интенсивное развитие различных областей радиоэлектронной промышленности потребовало разработки принципиально новых материалов, сильно взаимодействующих с электромагнитными волнами. Метаматериалы - это искусственные вещества, взаимодействие которых с электромагнитным полем существенно отличается от взаимодействия обычных природных материалов. Среди новых метаматериалов особый интерес представляют бианизотропные, биизотропные, в частности обладающие сильной киральностью искусственные киральные среды, а также материалы-«левши».

На данный момент можно выделить множество направлений и научных проблем, исследуемых и решаемых в области электродинамики и оптики киральных сред. Некоторые из этих проблем носят чисто теоретический интерес. В то же время метаматериалы находят широкое практическое применение, например в построении интегрированных оптических приборов и микросхем, различных волноведущих систем, проектировании антенн и поглощающих покрытий с заданными электродинамическими свойствами, а также во многих других областях радиотехники и прикладной электродинамики.

электродинамических систем на основе метаматериалов, а также реализация разработанных алгоритмов в виде пакетов программ является весьма актуальной задачей.

Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы состояла в следующем:

1. Исследование электромагнитных экранированных резонаторов, заполненных однородным киральным веществом. В качестве примера приведено рассмотрение сферического кирального резонатора.

2. Исследование начально-краевых и краевых задач, описывающих процесс возбуждения электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением.

3. Построение математической двумерной модели для плоскопараллельного волновода с прямоугольной киральной вставкой методом смешанных конечных элементов.

4. Построение модели трехмерного прямоугольного волновода с частичным киральным заполнением методом конечных разностей во временной области.

Научная новизна

1. Предложен метод исследования металлических резонаторов с киральным заполнением, который проиллюстрирован на примере сферического резонатора.

2. Исследована начально-краевая задача о возбуждении электромагнитных колебаний в конечной и бесконечной областях с кусочно-постоянным киральным заполнением. Доказано существование и единственность обобщенного решения этой задачи. Предложен проекционный алгоритм приближенного решения задачи.

3. Реализован алгоритм расчета металлического волновода со сложным киральным заполнением методом смешанных конечных элементов.

Положения, выносимые на защиту

Основные научные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Предложен алгоритм исследования экранированных резонаторов, заполненных однородным киральным веществом. В качестве иллюстративного примера рассмотрен сферический киральный резонатор, для которого получены выражения для собственных полей и характеристическое уравнение для собственных частот.

2. Показано, что задача о возбуждении сторонними источниками электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением, ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением к ограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщённое решение в специально введенном функциональном пространстве. Доказательство теорем было проведено конструктивно с использованием проекционного метода, на основании чего был сделан вывод о целесообразности применения проекционных методов для численного анализа математических моделей соответствующих систем и устройств.

3. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущих систем с неоднородным киральным заполнением с использованием различных модификаций метода конечных разностей и конечных элементов.

Практическая значимость

В диссертации наряду с теоретическими исследованиями разработаны численные алгоритмы - и приведены результаты расчета конкретных волноведущих систем с киральным заполнением. На основе доказанной теоремы существования и единственности обобщенного решения начально-краевой задачи делается вывод о целесообразности применения для численного расчета соответствующих систем проекционных методов. Рассмотрена задача о расчете сферического резонатора с киральным заполнением. Предложены и реализованы конкретные численные методы для решения задач расчета киральных волноводов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и всероссийских и международных конференциях:

1. Семинар кафедры математики МГУ им. М. В. Ломоносова.

2. The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2011.

3. Научная конференция "Тихоновские чтения", МГУ, факультет ВМиК, июнь 2011.

4. IV Всероссийская научно-техническая конференция "Радиолокация и радиосвязь", 29 ноября - 3 декабря 2010 г., Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН.

5. Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция физики, подсекция "Теоретическая и математическая физика", МГУ, физический факультет, 2010.

Публикации

По теме диссертации опубликованы 3 статьи в рецензируемых журналах и 4 публикации в материалах конференций. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 72 наименования. Диссертация содержит 120 страниц, 30 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится краткая характеристика диссертационной работы, показана актуальность темы, сформулированы основные задачи исследования. Излагается краткое содержание глав диссертации.

Первая глава является вводной. В этой главе рассмотрены характерные черты метаматериалов и устройств на их основе. Приводится ряд численных и специально разработанных аналитических методов, достаточно широко применяемых при моделировании электродинамических систем, основанных на использовании метаматериалов.

Общие линейные соотношения (материальные уравнения), связывающие векторы электромагнитного поля в произвольной линейной среде, можно записать в виде:

D = anE + al2H, (1)

В = а21Е + д,2Н.

Вид коэффициентов аи, ai2, а21 и д,2 определяется конкретной моделью среды.

Такие линейные среды общего вида называются бианизотропными. Приведенные соотношения учитывают эффекты пространственной дисперсии первого порядка по волновому вектору плоских волн. В биизотропных средах материальные параметры являются скалярами или псевдоскалярами.

Изотропная киральная среда является частным случаем биизотропной среды. Киральная среда - это среда, локальные макроскопические свойства которой неинвариантны относительно зеркальных отражений, то есть изменяются при некоторых зеркальных отображениях. Отсутствие зеркальной симметрии называется киральностью. В результате процессы, происходящие в такой среде, обнаруживают несимметрию правого и левого, а соответствующие характеристики среды описываются псевдотензорными величинами. Среды из киральных молекул (или содержащие киральные объекты) называются киральными. Такие среды хорошо исследованы в оптике, включая кристаллооптику, где они называются активными или гиротропными.

Естественные киральные среды были известны с начала 19 века. Термин "киральный" введен Уильямом Томсоном. Естественными киральными объектами являются молекулы Сахаров, аминокислот, ДНК и органических полимеров. К числу искусственных киральных объектов можно отнести спирали, лист Мебиуса, неправильный тетраэдр и т.д.

Киральность и связанная с ней оптическая активность начали вновь привлекать внимание современных ученых после микроволновых экспериментов Линдмана (К. F. Lindman) и Пикеринга (W. Н. Pickering). В микроволновом диапазоне они получили результаты, схожие с аналогичными результатами для оптических частот. В Советском Союзе и России киральными средами занимались и занимаются Б.З. Каценеленбаум, Е.Н. Коршунова, А.Н. Сивов, А.Д. Шатров и другие ученые. На кафедре математики

физического факультета МГУ исследования в этой области проводили и проводят проф. Моденов В.П., проф. Боголюбов А.Н. и их сотрудники. В последнее время в связи с прогрессом в области современных технологий появились новые искуственные киральные материалы, которые способствовали развитию интереса к исследованиям в этой области. Были разработаны планарные и объемные киральные среды.

Обычно искусственные киральные материалы получают путем включения случайно ориентированных проводящих киральных объектов в подложку.

Существует несколько распространенных форм записи материальных уравнений киральной среды, например:

где £, ¡л, х " диэлектрическая постоянная, магнитная постоянная и параметр киральности рассматриваемой среды соответственно. В случае киральной среды, изготовленной при помощи произвольным образом ориентированных и равномерно распределенных в некиральном веществе проволочных пружинок, потерями в которых можно пренебречь, материальные уравнения для гармонических по времени полей (зависимость от времени везде далее выбирается в виде е~'°") записываются следующим образом:

где е , ¡1 - действительные постоянные, переходящие в диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость, если киральный адмитанс £, обращается в нуль. Киральный адмитанс £ выражается через кирапьную постоянную / и магнитную проницаемость среды. Эти материальные уравнения остаются справедливыми для любой киральной среды без потерь, построенной из киральных объектов произвольной формы.

Отметим также, что при рассмотрении электромагнитной модели обычной (некиральной) среды полагают, что она описывает свойства сплошной среды. Киральные же свойства связаны с проявлением дискретной структуры среды. Киральный параметр

(2)

0 = гЕ + г#В, Н=м£Е + /Г'В,

(3)

X пропорционален отношению а/А., где а - линейный размер частицы-элемента среды, Л - длина волны. При а/Л-»0 киральные свойства среды исчезают. Таким образом, учет киральных свойств означает учет влияния «крупинок» среды или пространственной дисперсии. В оптике естественных сред значение отношения а/Я

оказывается порядка 10"3-10~\ вследствие чего оптическая активность в естественных средах практически не нашла своего применения из-за малости эффекта. Исключением можно считать лишь жидкие кристаллы. С развитием новых технологий в производстве искусственных электромагнитных сред величину / = Са/Я удалось значительно увеличить. В этом случае киральность уже не является малой поправкой, и свойства киральной среды могут кардинально отличаться от свойств диэлектрика.

Одним из наиболее рациональных способов анализа электромагнитных полей в биизотропных и, в частности, киральных средах является введение новых векторов поля, для которых уравнения Максвелла распадаются на две независимые (для случая однородной среды) системы дифференциальных уравнений первого порядка. Этот подход основан на факторизации векторного волнового уравнения. В итоге задача нахождения собственных волн для неограниченной киральной среды сводится к решению двух несвязанных задач для обычных изотропных сред. Таким образом, собственные волны в неограниченных однородных киральных средах оказываются циркулярно поляризованными (право циркулярно поляризованная - ЯСР и лево циркулярно поляризованная - ЬСР) и имеют различные волновые числа и к_. Это

позволяет использовать киральные структуры для изменения поляризации падающего электромагнитного излучения. Например, периодическая система правовинтовых спиралей, расположенных в одной плоскости, позволяет преобразовывать падающие ЯСР и ЬСР волны в линейно-поляризованные и наоборот, сохранять циркулярную поляризацию поступающего излучения. В многослойных кирально-диэлектрических структурах удаётся получить окна непрозрачности для ЛСР и ЬСР волн. Таким образом, полученные системы демонстрируют поляризационно-избирательные свойства и их

можно рассматривать в качестве поляризационных фильтров.

Далее в первой главе проанализированы основные методы исследования и математического моделирования киральных сред и устройств на их основе.

Из численных методов рассматриваются метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод Бубнова-Галеркина. Наряду с численными методами, были разработаны и новые аналитические методы, которые позволяют моделировать ряд электродинамических систем на основе метаматериалов. В диссертационной работе кратко рассмотрены два аналитических метода: метод векторных цепей и метод диадных функций Грина.

Вторая глава посвящена исследованию электромагнитных экранированных резонаторов с идеально проводящими стенками, заполненных однородным киральным веществом. В диссертации предложен алгоритм расчета таких систем. В качестве примера применения развитой методики исследован сферический киральный резонатор, для которого получено характеристическое уравнение и вид собственных полей. Показано, что в таком резонаторе могут формироваться только гибридные собственные колебания, чистые Е- и Н- колебания не возбуждаются.

Рассматривается достаточно общая спектральная задача. Предположим, что некоторая область V с замкнутой поверхностью I заполнена однородным киральным веществом, которое характеризуется материальными уравнениями (3), где е, ц и £ -константы. Тогда уравнения Максвелла во внутренних точках области V будут иметь следующий вид:

„ Ь ,, ...

с4 ' о? сот

= (5)

с Ы с Ы

+ = 0. (7)

Пусть поверхность I является идеально проводящей, а и - единичный вектор нормали к этой поверхности, направленный внутрь V. Тогда краевые условия на границе £ имеют вид:

[п,Е] = 0, (8)

Я„-/££„ = О, (9)

где - плотность индуцированного поверхностного тока, - плотность

индуцированного поверхностного заряда, Еп и Н, - нормальные составляющие

векторов Е и Н на поверхности £.

Введем следующие линейные комбинации векторов Е и Н:

и, = -Е у1е + 42м +

Будем рассматривать поля, гармонически зависящие от времени: Е(М,1) = е(М)-е~ш и Н(Л/1/) = Ь(М)-е",м. Тогда искомые векторы и, и из также

будут гармоническими функциями того же вида: и,(М,г) = и(М)-е"" и

иг(М,/) = \(М)-е~ш, а их комплексные амплитуды в области К будут удовлетворять

уравнениям

+ (10) = + + (П)

<Иуи = 0, (12)

Шуу = 0. (13)

Определённая сложность решения рассматриваемой спектральной задачи связана с тем, что для векторов и и V нельзя получить на границе X условия, не содержащие наведенных токов и зарядов. В диссертационной работе развит следующий алгоритм исследования собственных частот и собственных колебаний кирального резонатора. Сначала строится общее решение системы (10)-(13). Далее векторы е и Ь выражаются через найденные векторы и и V, и результат подставляется в однородные граничные условия (8). С помощью такого подхода получается характеристическое уравнение для

нахождения собственных частот т. После нахождения собственных частот можно найти неизвестные коэффициенты в выражениях для е и Ь и получить собственные поля.

Предложенная методика применяется для исследования сферического резонатора с киральным заполнением. Пусть область V представляет собой шар радиуса Л с идеально проводящей границей. Находим решение и, V системы уравнений (10)-(13), записанных в сферических координатах. Векторы е и Ь связаны с векторами и и V следующим образом:

е = —, 1 ■ (;у-и), 2у1е + ?м

Ь =—=(у-ги). 2^

В результате получаем общее решение вида * г ' Г 'Ьттф

I т <1

2у]е + ?ц г яп 6 ¿г

тГг 1 ЛА' , , (к,г) |р; (С05е)

2 +

эш тф -со %тф

Цг4х1 л.&лкгув^льг) («»*)

г с!г

¿е

сов тф вт тф

' г' \ - 2 ; "4 Г ЬттФ

(15)

(16)

ш г ^ 2 ' ш Г »4 'ив Л 'Ьтт^

т (I

эт тф

' Тг{ """ 4' "Ц ' ' ' -»4 ' /" * ' [-ом тф'

1 т-Гг { , , г ,, ч „ , г „„у___Г втт^

Г 51110^ )

со $тф

(17)

где + + « = + № +

Поскольку поверхность шара является идеальным проводником, то для вектора е должно выполняться граничное условие равенства нулю тангенциальной составляющей [г,е]| „ = 0. Потребуем, чтобы компонента е" обращалась в нуль при г = К. Для этого должна быть справедлива следующая однородная система уравнений:

(20)

Компонента е7 также обращается в нуль при г = Л. При этом автоматически

выполняется условие (9) на нормальные составляющие векторов е и Ь.

Однородная система (20) имеет нетривиальное решение в том и только том случае, когда ее определитель равен нулю. Отсюда получается характеристическое уравнение для нахождения собственных частот апр сферического кирального резонатора:

-аЯ

(НзК(Н

= 0, (21)

где а, + + и а2 + + •

Уравнение (21) решалось численно с помощью математического пакета МАТЬАВ, и из анализа его решений следует, что с ростом параметра £ значения собственных частот уменьшаются и происходит их сближение (рис 1).

Рис. 1. Зависимость собственных частот от кирального адмитанса £ для П — 1. На графике приведены

отношения частот к значению £У0 - наименьшей собственной частоте резонатора при отсутствии

киральности = 0). Индексы Е и Н у частот означают, что в пределе при % — 0 они стремятся к

собственным частотам Е- и Н-колебаний соответственно.

В случае обычной среды, когда £ = 0 , характеристическое уравнение (21) вырождается в два уравнения

Уравнения (22) и (23) - это характеристические уравнения для собственных частот Е- и Н-колебаний обычного сферического экранированного резонатора с идеально проводящей границей соответственно.

На основании подготовительной теоремы Вейерштрасса можно показать, что решения уравнения (21) непрерывно зависят от параметра киральности 4 ■ Обозначим

через со"/ те из них, которые при равном нулю параметре киральности совпадают с частотами Е-колебаний обычного сферического резонатора. Воспользуемся первым уравнением системы (20) для того, чтобы найти связь между коэффициентами А1Ш и

(22)

(23)

Вш . В результате получим выражения для комплексных амплитуд собственных колебаний кирального резонатора, которые в пределе при i = 0 с точностью до нормировочного множителя совпадут с Е-колебаниями обычного сферического резонатора.

Аналогично получается еще одна серия решений для кирального сферического резонатора, которые в пределе при равном нулю параметре киральности £ с точностью до нормировочного множителя совпадают с Н-колебаниями обычного сферического некирального резонатора. Следовательно, можно сделать вывод о том, что в киральнбм резонаторе поддерживаются только гибридные собственные колебания.

В третьей главе исследуется задача о возбуждении электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением. Область, в которой рассматривается задача, может либо быть конечной с идеально проводящей ограничивающей поверхностью, либо представлять собой дополнение к идеально проводящему ограниченному телу.

Рассматривается достаточно общая начально-краевая задача о возбуждении электромагнитных колебаний в области с кусочно-постоянным киральным заполнением. Пусть Q- конечное или бесконечное множество в R3. Если множество конечное, то будем считать, что оно ограничено идеально проводящей поверхностью Г. Если же множество Ci бесконечное, то будем считать, что Q - дополнение к области С2 -конечно, ограничено поверхностью Г и представляет собой идеальный проводник. Пусть область Q состоит из конечного числа подобластей:

ыо

причём все из них, кроме, может, подобласти Q0, конечны, и общая для подобластей Qt и Qp граница регулярна и ограниченна. В случае бесконечной области Q подобласть fi0 неограниченна (рис 2).

Рис.2, а) Первый случай: конечная область П в случае д = 2; б) второй случай: бесконечная область Л в случае 9 = 2. Здесь О0 - бесконечная подобласть области О.

Пусть подобласти имеют однородные киральные заполнения с параметрами

е = = 4 = 4» * = в ; ек>0,^>0, 4>0, ^.>0 ;

к = 0,1,-,?, причём 4 =0 и сг0 = 0 , если подобласть неограниченна. В

последнем случае проводник П и ограниченные киральные вставки Пр ..., Г2Ч помещены в обычную непроводящую среду, характеризующуюся

диэлектрической проницаемостью £0 и магнитной проницаемостью /¿0.

Предположим, что в области О имеются сосредоточенные в некоторой конечной подобласти сторонние токи плотности у При постановке начально-краевой задачи относительно векторов Е и Н будем исходить из системы уравнений Максвелла, материальных уравнений (3), а также из того, что краевое условие для тангенциальной составляющей вектора Е на границе между киральной средой и идеальным проводником имеет такой же вид, как и в случае границы между обычной средой и проводником. В результате приходим к следующей начально-краевой задаче для векторов

(Е,Н} = {Е*,Н*}вП4, к = 0,...^:

-¡£кМк^ + Мк^ + го1Ек=0 в Я,х(0,Т], (25)

= на (26)

[Е,п] = 0 на Гх[0,Г], (27)

Е|,-=Е.' ни=н«. » (28)

где Е0 и Н0 - локальные функции, Пкр - нормаль к поверхности II -нормаль

к поверхности Г.

Рассмотрим обобщенную постановку задачи (24)-(28). Обозначим и={Е,Н).

Пусть Ф = {^,1//}, где (р и Ц? - произвольные гладкие трёхкомпонентные функции,

обращающиеся в нуль при t = T, такие что они сами и их первые производные квадратично интегрируемы в П . Умножим обе части уравнения (24) скалярно в (¿2(П))3 на функцию (р и обе части уравнения (25) на функцию !// , сложим полученные равенства и проинтегрируем результат по времени от 0 до Т:

dt =

В формуле (29) использованы обозначения для скалярных произведений

где

f={/;}e(L2(Q))\ §={я,.}6(12(а))3 (1 = 1,2,3), F = {f\f2}, G = |g',g2|,

а также операторов Л и М, определяемых равенствами:

(А и,Ф)К = -(rot H,p)n + (rotE,p)n,

Введём гильбертово пространство К = (Z,2(fl))J x(L2(Q))\ Если Ф={(р,Ц/)^К и Ф. = {(p...ys,} £ А', то в качестве скалярного произведения в К положим

Все выражения в равенстве (29) будут иметь смысл для любой функции ФеИ(0,Тф{А)), ,Г;П(Л))

и функции

и е Г (О,T;D(A)), u^ = u0 = {Е0,Н0} eD(A),

где множество D(Á) имеет вид:

D(A) = |ф | Ф = {?,</} 6 К, rot<j? е (Ú (П))5, rot^ € (Ü(Q))3, [п,р] = 0 на г|,

а также при условии J е L

Операторы А и М, действующие на множестве D(A), являются линейными и непрерывными. Выражение на поверхности Г имеет следующий смысл:

существует открытое множество Q,cQ, такое, что Г с SQ, и (р —> [п,р] является линейным непрерывным отображением

#(ro?;Q,)-»(#~"2(Г)) . Лемма 3.1 Область D(Á) плотна в пространстве К, а оператор А замкнут. Замечание. Функция Ф={ф,у/\ е D[A), если и только если выполняются условия: rot*»*, гоцИе(12(П,))3, = на Х^,

на |W]=0 на г-

Лемма 3.2. Пусть граница Г области Q регулярна и ограничена. Тогда любой элемент Ф,е К, такой, что форма (АФ,Ф,)К непрерывна на D(A), принадлежит

области D(A),u справедливо равенство (ЛФ.Ф,)^ = -(Ф,АФ.)К для любого

ФеО(А).

Доказанные леммы позволяют сформулировать обобщённую постановку исходной задачи следующим образом:

Необходимо найти функцию и = {Е,Н} 61?{0,Т\В(А)), удовлетворяющую

равенству

Л =

+ + - (//Н - ^Е,^ - (и,АФ)к + (Ми,Ф)к

= -¡ОЛ + + ^Н°4.о)п + (АНо" I ^

при любой функции Ф, такой что

и обращающейся в нуль при ¡=Т, где и0 = {Е0,Но} еи ] в ¿2(0,Г; ¿Г(£2)).

Наконец, опираясь на доказанные леммы, доказываются две основные теоремы, обеспечивающие существование и единственность обобщённого решения: Теорема 3.1. Решение задачи (30) существует и

Теорема 3.2. Решение задачи (30) единственно.

Таким образом, доказано, что задача о возбуждении сторонними источниками электромагнитных колебаний в области с кусочно-постоянным киральным заполнением, ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением к ограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщённое решение из пространства П° (0,Г;£>(Л)). При доказательстве существования решения

применялся проекционный метод, который может быть использован в дальнейшем для построения приближённого решения. Полученные результаты являются обобщением на случай киральной среды классических результатов о существовании и единственности решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в среде, которая описывается обычными материальными уравнениями.

Четвертая глава диссертации посвящена рассмотрению применения численных методов к анализу конкретных волноведущих систем с киральным заполнением.

Наиболее общая постановка задачи заключается в следующем. Рассматривается трехмерный волновод прямоугольного сечения с киральной вставкой. Стенки волновода предполагаются идеально проводящими. Вставка представляет собой прямоугольный параллелепипед из кирального материала, расположенный строго внутри волновода. Граничные поверхности вставки параллельны боковым стенкам волновода или перпендикулярны к ним, а ось симметрии вставки совпадает с осью волновода. Остальная часть волновода заполнена обычной (некиральной) средой. Для моделирования кирального волновода необходимо ограничить волновод по длине, получая ограниченную расчетную область. Это осуществляется с применением эффективных граничных условий Мура.

Для расчета волновода используется метод РЭТО - конечно-разностный метод во временной области и метод ВЬРОТБ. На основе этих методов построен алгоритм, состоящий из четырех блоков.

В первом блоке с помощью стандартного конечно-разностного метода РВТО проводится моделирование поля внутри волновода вне ставки, то есть в обычной (некиральной) среде.

Во втором блоке на основе метода Б^БОТО проводится моделирование поля внутри киральной вставки.

В третьем блоке осуществляется сшивание решений, построенных в первом и втором блоках, на граничных плоскостях раздела между киральной и некиральной средой.

В четвертом блоке реализуются условия Мура, ограничивающие волновод по длине и выделяющие расчетную область.

В третьей главе при доказательстве существования решения задачи возбуждения волновода применялся проекционный метод, который может быть использован и для построения приближённого решения. В диссертации построен и численно реализован

алгоритм анализа распространения электромагнитных волн в киральном плоскопараллельном волноводе.

Задача о дифракции электромагнитной волны в плоскопараллельном волноводе с частичным киральным заполнением ставится в частотной области, и для ее численного решения используется метод смешанных конечных элементов. Рассматривается плоскопараллельный волновод с бесконечными идеально проводящими стенками и неоднородностью, представляющей собой вставку из кирального вещества. Киральная вставка имеет форму параллелепипеда, заполняющего волновод и характеризуется параметрами: г-диэлектрическая проницаемость, //- магнитная проницаемость и х-параметр киральности. Материал заполнения волновода в области вне вставки является некиральным и характеризуется материальными параметрами £0 и /V Возбуждение

волновода осуществляется падающей из бесконечности волной, представляющей собой одну из нормальных волн волновода, либо их линейную комбинацию. Предполагается также, что в волноводе отсутствуют заряды и токи. Учитывая симметрию задачи, в результате для поля внутри вставки получаем двумерную задачу:

rot—rotE+cyrot—E+^-rotE-й)2 е-— Е = 0, хе(0,в), ze(0,z0), (31) Ц М М V М)

(32)

(33)

где

е"' = е'°* +й;'е™.}, при z < о,

nal

Е"'+ при z>z0.

п-1

Нормальные волны волновода в области вне вставки имеют вид:

(34)

' лпх

i,у. ЯП ¡2 (ггпхЛ ilrJxn? ¡2 ()-

±i,. лп 12 . (лпхЛ

Е + =i(ofiae •' —, - sin - -е„.

a Va \ а )■

Постоянные распространения определяются равенствами = -

Обозначим П область киральной вставки в волноводе: П = 2е(0,-,)|. Обобщенная постановка рассматриваемой задачи:

нужно найти вектор Ее#(го1,П) , удовлетворяющий для любого вектора

Е" вН(гоиО), [Е'.е.,]! 0 =0-равенству

ёг дх дх & дг дх дх дг дх дх дг

дЕ.

1 А & Е*Ч ¿г ах р дх к & & йс ] ' &

^{Нгг**-

2Не} ^ 1 \ япх } , ч япх ,

--9-У— £ (¿.г.)««-¿х £Ддг,70)со5-йх-

а { а

Мъа л-1 У, о ° 0 а

2.1 м

1 -ГЛ ¡Г / % . япх , г _ / Ч . япх - 2 Г. \ Еу (■го) «п— <&| £,, (20) вт ■—

сЬ-

_Ау V гЕ;(*,о)яп—<ь\Е, (*.0)ИП—<Ь=

А ' а { Л а

дЕ':

-й О

ек

а±!г.1 Л ' а \ ' К } а

№ .-I Г,Т,

¿у, ?£;(*,0)яп^л}^(х,0)яп—ск.

Мъа »•! о а 0 а

(36)

Для численного решения задачи был использован метод смешанных конечных элементов. При решении волноводных задач проекционно-сеточными методами

возможно появление нефизических решений, одним из эффективных способов борьбы с которыми является использование метода смешанных конечных элементов. В результате задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Описанный метод был реализован в виде программы на языке МАТЪАВ. На рисунках приведены результаты численного моделирования.

Ьу са|си18!вй

£1 са1си1э!в11

Ег са!си1а1ей

Рис.3. Компоненты электрического поля внутри киральной вставки: параметр киралъности / = 0.8, £ — /7 = 1, падающая волна - основного ТЕ типа.

Е< са1си!а1ес1

Е у са1сц1а1вй

Ег са1си1а!ес)

«1Н1

Рис.4. Компоненты электрического поля внутри киральной вставки: параметр киральности / = 0.8. £■ = // = !, падающая волна - основного ТМ типа.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Предложен алгоритм исследования экранированных резонаторов, заполненных киральным веществом. В качестве иллюстративного примера рассмотрен сферический киральный резонатор, для которого получены выражения для собственных полей и характеристическое уравнение для собственных частот. Проведенный анализ показал, что в киральном резонаторе могут формироваться только гибридные собственные поля, которые при обращении в нуль параметра киральности вырождаются в обычные Е- и Н-колебания. Собственные частоты кирального резонатора оказываются меньше соответствующих частот резонатора, заполненного обычной средой.

При доказательстве существования решения применялся проекционный метод, к-оторый может быть использован в дальнейшем для построения приближённого решения. Полученные результаты являются обобщением на случай киральной среды классических результатов о существовании и единственности решения задач дифракции

электромагнитных волн на неоднородностях в среде, которая описывается обычными материальными уравнениями.

Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования конкретных волноведущих систем с киральным заполнением.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Боголюбов А.Н., Гао Цзесин, Мухартова Ю.В. Возбуждение электромагнитных колебаний в области с киральным заполнением Н Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т.51, №9. С. 1721-1728.

2. Боголюбов А.Н., Мухартова Ю.В., Гао Ц., Исследование киральных электродинамических систем// Журнал радиоэлектроники (Электронный журнал), №1,2011, http://jre.cplire.ru/jre/janl l/5/text.pdf.

3. Боголюбов А.Н., Мухартова Ю.В., Гао Цзесин Начально-краевая электромагнитная задача в области с киральным заполнением// Вестн. Моск. ун-та. Серия 3. Физ. Астрон. 2010. Х°5. С. 32.

4. А.Н. Боголюбов, Ю.В. Мухартова, Г. Цзесин Исследование слабого решения задачи о возбуждении электромагнитных колебаний в области с киральным заполнением// The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2011, ABSTRACTS, pp. 85-86.

5. Боголюбов A.H., Мухартова Ю.В., Гао Ц. Начально-краевая задача для электромагнитного поля в области с киральным заполнением// научная конференция "Тихоновские чтения", сборник тезисов докладов, июнь 2011, с.14-15.

6. Ю.В. Мухартова, Гао Цзесин Исследование киральных электродинамических систем/iTV Всероссийская научно-техническая конференция "Радиолокация и радиосвязь", 29 ноября - 3 декабря 2010 г., Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, сборник тезисов, с.717.

7. Боголюбов А.Н., Гао Д., Мухартова Ю.В., Задача о возбуждении электромагнитных колебаний в области с киральным заполнением I/ Научная конференция "Ломоносовские чтения", Секция физики, подсекция "теоретическая и математическая физика", 2010, сборник тезисов, с.127-129.

Подписано к печати -

Тчяпи -МП Задав 2,05-

Отпечатано в отделе ОПер«К»ЯОЙ Т1СЧХП1 физического факультета МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гао Цзесин

Введение.

Глава I. Математическое моделирование электродинамических систем на основе метаматериалов.

1.1 Метаматериалы.

1.2 Методы создания искусственных киральных сред.

1.3 Материальные уравнения для киральной среды.

1.4 Неограниченная киральная среда.

1.5 Численные методы, применяемые при исследовании электродинамических систем на основе метаматериалов.

1.5.1 Метод конечных разностей.

1.5.2 Проекционные методы.

1.5.3 Метод конечных элементов.

1.6 Аналитические методы, применяемые при исследовании электродинамических систем на основе метаматериалов.

1.6.1 Диады и их применение в электродинамике.

1.6.2 Метод векторных цепей.

1.6.3 Метод диадных функций Грина.

Глава И. Исследование электромагнитных экранированных резонаторов с идеально проводящими стенками, заполненных однородным киральным веществом.

2.1 Условия сопряжения на границе раздела двух однородных киральных сред.

2.2 Спектральная задача: ограниченная область с киральным заполнением.

2.3 Сферический киральный резонатор.

Глава III. Возбуждение электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением.

3.1 Начально-краевая задача: возбуждение электромагнитных колебаний в области с киральным заполнением.

3.2 Начально-краевая задача: обобщённая постановка.

3.3 Начально-краевая задача: существование и единственность обобщённого решения.

Глава IV. Расчет волновода с киральным заполнением.

4.1 Расчет волновода с киральным заполнением конечно-разностным методом.

4.1.1 Метод конечных разностей во временной области (метод РБТО).

4.1.2 Метод конечных разностей во временной области для киральной среды (метод ВЫЧЛЮ).

4.1.3 Определение поля методом РОТО на границе между обычной и киральной средой.

4.1.4 Алгоритм расчета трехмерного волновода с киральным заполнением.

4.2. Расчет плоскопараллельного волновода с прямоугольной киральной вставкой методом смешанных конечных элементов.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Нормальные волны.

4.2.3 Краевая задача для электромагнитного поля внутри киральной вставки.

4.2.4 Определение коэффициентов прохождения и отражения.

4.2.5 Обобщенная постановка исходной задачи.

4.2.6 Смешанные конечные элементы.

4.2.7 Результаты численного моделирования.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование электродинамических систем на основе метаматериалов аналитическими и численными методами"

Интенсивное .развитие различных областей радиоэлектронной промышленности потребовало разработки принципиально новых материалов, сильно взаимодействующих с электромагнитными волнами. Метаматериалы - это искусственные вещества, взаимодействие которых с электромагнитным полем существенно отличается от взаимодействия обычных природных материалов. Среди новых метаматериалов особый интерес представляют бианизотропные, биизотропные, в частности, искусственные киральные среды, а также материалы-«левши» (Left Handed Materials) [1, 2].

В настоящее время можно выделить множество направлений и научных проблем, исследуемых и решаемых в области электродинамики и оптики киральных сред, имеющих как чисто теоретический интерес, так и широкое практическое применение, например, в построении интегрированных оптических приборов и микросхем, различных волноведущих систем, проектировании антенн и поглощающих покрытий с заданными электродинамическими свойствами, а также во многих других областях радиотехники и прикладной электродинамики.

Применение новых материалов даёт неоспоримые преимущества по сравнению с традиционно используемыми средами. В связи с этим для многих приложений требуются алгоритмы, которые позволили бы с высокой гарантированной точностью производить численный эксперимент, определять характеристики распространения и поля мод в волноведущих системах. Однако использование большинства аналитических методов либо сильно осложняется, либо становится невозможным для новых типов сред. Возникает необходимость применять численные методы и компьютерное моделирование. Существует достаточно много методов, поучивших широкое распространение, которые потенциально применимы; и для; моделирования устройств СО'сложным заполнением на основе метаматериалов. Вместе с тем большое значение при моделировании подобных электродинамических системі приобретает теоретическое исследование методами- математической физики начально-краевых и краевых задач, лежащих в основе построения; соответствующих моделей. Такие исследования, представляя большой самостоятельный интерес, позволяют выбирать для« их решения наиболее оптимальные численные' методы^ а также модифицировать .уже: известные методы; или создавать новые: Наконец, для ряда?задач возможно построение решения чисто аналитическими методами.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Заключение

В настоящей работе получены следующие основные результаты.

Показано, что задача о возбуждении сторонними источниками электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением, ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением к ограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщённое решение из пространства 1°° (0,Т;0(Л)). При доказательстве существования решения применялся проекционный метод, который может быть использован в дальнейшем для построения приближённого решения. Полученные результаты являются обобщением на случай киральной среды классических результатов о существовании и единственности решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в среде, которая описывается обычными материальными уравнениями.

В заключение я хочу высказать мою глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Александру Николаевичу Боголюбову, а также кандидату физико-математических наук Мухартовой Юлии Вячеславовне за большую помощь в работе над диссертацией.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гао Цзесин, Москва

1. Третьяков С. А. Электродинамика сложных сред: кир биизотропные и некоторые бианизотропные м атериалы (обз Радиотехника и электроника. Т. 39, № 10, 1994, с. 1457-1470.

2. P.Pelet. The Theory of Chirowaveguides I I IEEE Transactions on AQi and Propagation, vol. 38, # 1, 1990, pp. 90-98.

3. K. F. Lindman. Annalen der Physik //1920, V.63, №4

4. W. H Pickering. Experiment performed at Caltech //1945, communication.1. Ые,1. JPO //-rinas1. Private

5. Кацеленбаум Б.З., Коршунова E.H., Сивов А.Н., HJampt^

6. Киральные электродинамические объекты // Успехи физических 167, №11,1997. С.1201-1212.

7. А.Н.Боголюбов, Н.А.Мосунова, Д.А. Петров. Математические -«. ,киральных волноводов //Математическое моделирование. Т. 19, JVfb»- -¿007.1. С. 3-24.

8. А.Н.Боголюбов, Н.А.Мосунова. Расчет постоянной распросх— прямоугольного кирального волновода методом смешанныхэлементов //Вестник Московского университета. Сер. 3. Астрономия. 2007, №3. С. 22-24.

9. Моденов В.П., Ромашин A.B. Задача дифракции электромагнит^^-^^^ ^ на биизотропном включении в цилиндрическом волно^0д^е ^ Электромагнитные волны и электронные системы, №8, т. 10, 200;S ^ ^ ^ 28.

10. V. К. Varadan, V. V. Varadan, A. Lakhtakia. On the possibility of designing anti-reflection coatings using chiral composites. // J. Wave-Material Interaction, vol. 2, no. 1, pp. 71-81, 1987.

11. H. Cory and I. Rosen house. Minimisation of reflection coefficient at feed of radome-covered reflection antenna by chiral device. 11 Electron. Lett., vol. 27, no. 25, pp. 2345-2347, 1990.

12. P. Pelet and N. Engheta. The theory of chirovaveguides. // IEEE Trans. Antennas Propogat., vol. 38, pp. 90-98,1990.

13. D. L. Jaggard, J. C. Lui, A. Grot, and P. Pelet. Thin wire antennas in chiral media // Electron. Lett., vol. 27, pp. 234-244, 1991.

14. R. D. Hollinger, V. V. Varadan, D. K. Ghodgaonkar, and V. K. Varadan. Experimental characterization of isotropic chiral composites in circular waveguides. // Radio SCI., vol. 27, no. 2, pp. 161-168, 1992.

15. A. Sihvola, M. Oksanen, and F. Hujanen. Broadband microwavethmeasurement and analysis of artificial chiral material. // Proc. 24 European Microwave Conf., Cannes, France, Sept. 1994, pp. 378-383.

16. О. В. Осипов. Отражающие и волноведущие структуры с киральными элементами // Физика волноведущих процессов и радиотехнические системы, том 9, N. 3, 2006.

17. G. Busse, J. Reinert, М. Klemt, and A. F. Jacob. On chirality measurements in circular waveguides. I I Advances in complex electromagnetic materials, Eds. Norwell, MA: Kluwer, 1997, pp. 333-339.

18. G. Busse, J. Reinent, A. F. Jacob. Waveguide characterization of chiral material experiments. // IEEE Transactions on microwave theoiy and technique, vol. 47, no. 3, march 1999.

19. A. F. Bahr, K. R. Clausing. An approximate model for artificial chiral material // IEEE transactions on antennas and propagation, vol.42, no. 12, dec 1994.

20. C. R. Brewitty-Taylor, P. G. Ledered, F. C. Smith, S. Haq. Measurement and prediction of helix-loaded composites. // IEEE transactions on antennas and propagation, vol. 47, no. 4, april 1999.

21. А.А. Самарский. Теория разностных схем. // М.: Наука, 1983.

22. А.Н. Боголюбов, А.В. Красилъникова, Д.В. Минаев, A.F. Свешников. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведущих систем. // Математическое моделирование, 2000, Т. 12, №1, с. 13-24.

23. Полянский Э.А. Метод коррекции спектра решения параболических уравнений в неоднородном волноводе. М.: Наука, 1985. 95 с.

24. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1982. 557 с.

25. Завадский В.Ю. Метод сеток для волноводов. М.: НаукаД986. 367 с.

26. Свешников А.Г., Ильинский A.C. Задачи проектирования в электродинамике // ДАН СССР, 1972, Т.204, № 5, стр. 1077-1080.

27. А.Г. Свешников. Принципы излучения. // ДАН СССР, 1950, Т. 3, №5, с. 517-520.

28. Боголюбов А.Н., Телегин В.И. Об одном численном методе решения линейных систем уравнений с трехдиагональной матрицей// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14, №3. С.768-771.

29. Самарский A.A. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

30. Моденов В.П. О расчете методом Галеркина постоянных распространения в киральном волноводе с ферритовым стержнем // Выч. Методы и программирование. 1973. Вып. XX, с. 50-56.

31. Моденов В.П., Ромашин A.B., Цветков И.В. Электродинамический расчет волноводов, заполненных киральной средой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2002. Т.5, №2, с. 56-58.

32. Моденов В.П., Ромашин А.В. Метода Галеркина в электродинамике волновода с киральной средой // Вестник Московского ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2004. № 3, с.8-10.

33. Моденов В.П. Ромашин А.В. Метод Галёркина в задаче на собственные значения для волновода с биизотропным заполнением // Вестник Московского ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, №2, 1985, с. 63-65.

34. А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын, А.В. Лавренова. Метод конечных элементов в задачах волноводной дифракции. // Электромагнитные волны, 2004, Т. 9, №8, с. 22-25.

35. Г.И. Марчук, В.И. Агоъиков. Введение в проекционно-сеточные методы. // М.: Наука, 1981.

36. С. Писсанецки. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988.

37. Т. Angkaew, М. Matsuhara, and N. Kumagai. Finite-element analysis of waveguide modes: A novel approach that eliminates spurious modes. I I IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-35, pp. 117-123, Feb. 1987.

38. J. Svedin. A numerically efficient finite-element formulation for the general waveguide problem without spurious modes. I I IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 37, pp. 1708-1715, Nov. 1989.

39. А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизическихрешений. // Вестник Московского университета, Сер. 3, Физика, Астрономия, 1996, №1, с. 9-13.

40. J. А. М. Svedin. Propagation analysis of chirowaveguides using the finite-element method. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 38, no. 10, oct. 1990.

41. Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. // М.: Издательство МФТИ, 1994.

42. П. Галахин, Е.Б. Савенков. К обоснованию метода конечных суперэлементов Федоренко. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, Т. 43, №5, с. 713-729.

43. Tai С.Т. Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theoiy / second edition. New York: IEEE Press, 1994.

44. Tretyakov S.A., Oksanen M.I., LindeU I. V. Vector circuit theory for isotropic and chiral slabs. // J. Electromagn. Waves Appl., vol. 4, no. 7, pp. 613-643, 1990.

45. Oksanen V.I., Koivisto P.K., Tretyakov S.A. Vector circuit method applied for chiral slab waveguides// Journal of lightwave technology, vol. 10, no.2, pp. 150-155, 1992.

46. Weiglhofer W.S. Analytic methods and free-space dyadic Green's functions// Radio Sci., vol. 28, no. 5, pp. 847-857, 1993.

47. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. ML ; Наука 1973.

48. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М."Наука", 1976.

49. А.Н. Тихонов, A.B. Васильева, А.Г. Свешников Дифференциальные уравнения, Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2005.

50. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1 Издательство "Наука", главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1971 г.

51. Фел С.С., Левинсон КБ., Фридберг П.Ш. II Радиофизика и электроника 1962. 6, №11. С. 1125.

52. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983

53. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М., Гос. изд. физ.-мат. лит. 1962.

54. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: «Наука», 1980.

55. Kunz KS., Luebbers R.J. The Finite Difference Time Domain Method for Elecnromagnetics. CRC Press: Boca Raton, FL, 1993.

56. Taflove A., Hagness S. Computational Electrodinamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 2 ed. Artech House: Boston, MA, 2000.

57. Sullivan D.M. Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method. IEEE Press: New York, 2000.

58. Cole J.B. A high-accurary realization of the Yee algorithm using nonstandard finite difference. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 45, num. 6, pp. 991-996, 1997.

59. Francis Collino, Sound Ghanemi, Patrick Joly. Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation: A General Presentation. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatic, № 3473, Août, 1998. Thème 4. Rapport de recherche.

60. Tarek P.A. Mathew. Domain Decomposition Methods for the Numerical Solution of Partial Differential Equations. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer-Verlag. Derlin. Heidelberg.

61. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE. Transactions on Antennas and Propagation, vol. 14, num. 3, pp. 302-307, 1996.

62. Beggs J.H. A two-dimentional linear bicharacteristic FDTD method. IEEE Antennas and Propagation Soc. Int. Symposium, vol. 3, pp. 260-263,2002.

63. Namiki F. A new FDTD algoritym based on alternating-direction implicit method. IEEE Transectins on Microwave Theory and Techniques, vol. 47, num. 10, pp. 2003-2007, 1999.

64. Zheng F., Chen Z, Zhang J. A finite-difference time-domain method without the the Courant stability conditions. IEEE. Microwave Guided Wave Letters, vol. 9, num. 11, pp. 441-443, 1999.

65. Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approcximations of the time-domain electromagntic-field equetions. IEEE Transactions of Eletromagnetic Compatibility, EMC-23(4), pp. 377-382, 1981.

66. Bereuger J. P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. Journal of Computational Physics, vol. 114, num. 1, pp. 185-200, 1994.

67. Alkim Akyurtlu, Douglas H. Werner, BI-FDTD: A Novel Finite-Difference Time-Domain Formulation for Modeling Wave Propagation in Bi-Isotropic Media// IEEE Transactions on Antennas and Progations, vol. 52, № 2, 2004, pp. 416-425.

68. Alkim Akyurtlu, Douglas H. Werner, A Novel Dispersive FDTD Formulation for Modeling Transient Propagation in Chiral Metamaterials// IEEE Transactions on Antennas and Progations, vol. 52, № 9, 2004, pp. 22672276.