Моделирование электродинамических параметров изотропного метаматериала на основе диэлектрических резонаторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи 004666099

ОДИТ Михаил Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ИЗОТРОПНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ

Специальность: 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 /> ИЮН 2010

Санкт-Петербург - 2010

004606099

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» имени В.И.Ульянова (Ленина)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Вендик Ирина Борисовна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Григорьев Андрей Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, Белов Павел Александрович

Ведущая организация: ОАО «НИИ «Феррит-Домен»

Защита состоится 29 июня 2010 г. в 15:30 на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.238.08 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» имени В.И.Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан « 25 » мая 2010 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций, к.т.н., доцент

Е.А. Смирнов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ИЗОТРОПНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ

Введение

Развитие телекоммуникационных технологий требует разработки и проектирования новых типов СВЧ-компонентов, обладающих более совершенными характеристиками (новые функциональные возможности, массогабаритные показатели, себестоимость компонентов). Требования, предъявляемые к современным СВЧ-устройствам, приводят к необходимости разработки инновационных типов материалов, в частности, искусственных, которые не имеют аналогов среди материалов, существующих в природе. Необходимость разработки материалов с уникальными свойствами привела к стремительному развитию области электродинамики, получившей название науки о метаматериалах. Метамате-риалы - это искусственные материалы с волновыми свойствами, которых нет в природе. Определение метаматериалов относится ко всему диапазону частот колебаний различной природы - от низкочастотных акустических до СВЧ- и колебаний оптического диапазона.

Метаматериалы состоят из элементов различной геометрии, образующих регулярную структуру. Порядок, состав, расположение и форма элементов, из которых состоит метаматериал, определяют уникальные волновые (в частности, электродинамические) свойства структуры в целом. Оперируя этими параметрами, можно создавать искусственные материалы с регулируемыми свойствами, не характерными для исходных образующих их элементов. Наиболее часто в качестве программируемых свойств метаматериала формируют отрицательные эффективные (усредненные по всему объему структуры) диэлектрическую и магнитную проницаемости искусственной структуры.

В данной диссертационной работе рассматриваются метаматериалы, разрабатываемые для микроволнового частотного диапазона. Выбранная частотная область ограничена значениями 1-100 ГГц, которая используется в различных видах устройств связи. В этой области частот возможно создание таких инновационных устройств как суперлинзы, маскирующие слои, идеальные магнитные стенки, сверхпоглотители и др. Кроме того, использование своего рода «метаматериального» подхода к расчету традиционных СВЧ-устройств (фильтров, фазовращателей и др.) позволяет создавать эти устройства с улучшенными характеристиками и расширенными функциональными возможностями.

Несмотря на интенсивное развитие электродинамики метаматериалов, все еще существует некоторая однотипность в подходе к разработке метаматери-альных структур. Во-первых, большая часть предложенных моделей метаматериалов - это структуры, где только диэлектрическая или только магнитная эффективные проницаемости отрицательны. В то же время, наиболее интересными свойствами (отрицательная рефракция, фокусировка и др.) обладают такие искусственные среды, где оба параметра принимают одновременно отрицательные значения. Во-вторых, как правило, для формирования отрицательных

проницаемостей используют металлические резонансные частицы различной формы. При этом в большей части работ по метаматериалам рассматриваются одномерные или двумерные анизотропные структуры. В то же время, для разработки линз из метаматериалов, маскирующих слоев, или же устройств, в которых используется отрицательное преломление на границе метаматериала, зачастую необходимо использование объемных трехмерных структур, обладающих изотропией свойств. На данный момент большая часть попыток сформировать объемйыЙ 'изотропный метаматериал сводится к размножению различных типов Йлоских металлических резонаторов в трех ортогональных плоскостях. Недостатком этого метода является сложная геометрия резонаторов, которая влияет на Изотропию свойств и усложняет процесс производства резонаторов. В то же время, в качестве резонансных компонентов в составе метаматериала естественным образом могут использоваться диэлектрические резонаторы, лишенные указанных недостатков/ Использование диэлектрических резонаторов в метаматериалах слабо освещено в современной литературе.

В данной работе исследуется модель изотропного метаматериала в виде регулярной среды, состоящей из диэлектрических резонаторов сферической формы, характеризующегося одновременно отрицательными значениями эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей. Два типа сферических резонаторов, различающихся размерами, упорядочены в пространственную кубическую решетку класса симметрии тЗш, что определяет изотропию свойств объемного образца.

Актуальность диссертационной работы определяется тем, что рассматривается перспективная, быстро развивающаяся область электродинамики, в которой выделена проблема, касающаяся слабо изученных изотропных метаматериалов, состоящих из диэлектрических резонаторов.

Целью диссертационной работы является исследование электродинамических параметров изотропного метаматериала на основе решетки диэлектрических резонаторов, включающее анализ и выбор структуры пространственной упаковки сферических резонаторов, электродинамическое моделирование объемной структуры метаматериала, экспериментальное исследование образцов сферичёских резонаторов, а также анализ иных возможных вариантов реализации изотропного метаматериала.

Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач:

1. Анализ модели решетки сферических диэлектрических резонаторов двух разных размеров в условиях возбуждения электрического и магнитного диполей без учета взаимодействия.

2. Определение типа пространственной упаковки резонаторов в изотропном метаматериале, обуславливающей проявление отрицательного коэффициента преломления в наиболее широкой полосе частот.

3. Определение ограничений на значения диэлектрической проницаемости и уровня потерь диэлектрического материала сферических резонаторов разного размера в составе однородной среды, проявляющей свойства метаматериала.

4. Экспериментальное исследование резонансного отклика сферических

диэлектрических резонаторов для двух основных типов колебаний (магнитного и электрического).

5. Численное моделирование метаматериала, образованного регулярной решеткой сильно связанных взаимодействующих друг с другом диэлектрических резонаторов.

Объектами исследования являются одиночные диэлектрические резонаторы сферической формы; периодическая структура на основе двух типов сферических резонаторов, различающихся размерами; структура из связанных, близко расположенных сферических резонаторов.

Основные методы исследования:

а) теоретические: аналитические и численные методы электродинамического моделирования;

б) экспериментальные - измерение коэффициентов отражения и передачи электромагнитной волны в условиях резонанса сферического диэлектрического резонатора, помещенного в прямоугольный волновод.

Научные положения:

1. Изотропный метаматериал на основе сферических диэлектрических резонаторов двух разных размеров обладает наиболее широкой частотной полосой отрицательных значений коэффициента преломления в случае упаковки резонаторов в гранецентрированную кубическую решету.

2. Минимальное значение относительной диэлектрической проницаемости материала сферических резонаторов двух разных размеров, упорядоченных в кубическую решетку для формирования изотропного метаматериала, должно превышать значение 100.

3. Ширина частотного диапазона, в котором эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости метаматериала на основе диэлектрических резонаторов отрицательны, ограничена потерями в материале резонаторов.

4. Двумерная решетка диэлектрических сферических резонаторов с электрической связью на частотах резонансных колебаний Нш-типа, обладает отрицательной дисперсией.

Новые научные результаты работы.

1) Выполнен анализ и предложен тип упаковки диэлектрических резонаторов двух разных размеров в решетку типа тЗт, обеспечивающий наибольшую ширину рабочей частотной полосы изотропного метаматериала.

2) Предложен аналитический метод расчета параметров материала, используемого для формирования исследуемого изотропного метаматериала. Проведена оценка влияния девиации параметров диэлектрических резонаторов (диэлектрической проницаемости и размеров) на их резонансную частоту.

3) Выполнено электродинамическое численное моделирование элементарной ячейки метаматериала. Извлечение электродинамических параметров из результатов численного моделирования подтверждает корректность описания исследуемой структуры в терминах эффективных отрицательных значений диэлектрической и магнитной проницаемостей. Получены дисперсионные кривые метаматериала, подтверждающие наличие в рассматриваемой структуре обратной волны.

4) Измерены резонансные характеристики сферических диэлектрических резонаторов. Проведен сравнительный анализ двух типов резонансов.в диэлект трических резонаторах, резонирующих на электрической и магнитной модах. Показано, что резонансный отклик колебаний Ещ-типа имеет меньшую амплитуду, чем отклик колебаний Hi i i-типа.

; 5) Выполнено, численное моделирование искусственного материала на основе взаимодействующих диэлектрических резонаторов.

6) Проведен анализ влияния неупорядоченности пространственной структуры сильно связанных резонаторов на ее волновые характеристики.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

Сформулированы рекомендации по формированию оптимальной пространственной структуры изотропного метаматериала с максимальной плотностью упаковки частиц. Определена область ограничений на значения параметров диэлектрика (е и tg<5), используемого для формирования однородного изотропного метаматериала. Результаты работы могут быть использованы при разработке изотропного искусственного материала с отрицательной дисперсией на основе сферических диэлектрических резонаторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

На международных конференциях: конференции «Days on Diffraction» в 2006, 2007, 2008, 2009г; международная конференция по метаматериалам и специальным материалам для применения в технике СВЧ и телекоммуникациях в 2006г; международный студенческий семинар «Microwave and Optical applications of novel physical phenomena» в 2006, 2007, 2008r; 11th Internationa! Symposium on Microwave and Optical Technology (ISMOT-2007); ELECTROCERAMICS XI, Manchester, UK, 1-3 September 2008; 1st and 2nd International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (Rome, 22-26 October 2007 and 24-26 September 2008, Pamplona, Spain); 3th and 4th Workshop on Metamaterials and special materials for electromagnetic applications and TLC (Rome, Italy, 31 March 2007 and Naples, Italy, December 18- 19, 2008), Progress In Electromagnetics Research Symposium, 18-21 августа, Москва, 2009.

На конференциях: XVIII Всероссийская конференция по физике сегнето-электрйков (ВКС - XVIII) 2008г; семинары профессорско-преподавательского состава СПб ТЭТУ «ЛЭТИ» 2006,2007,2008,2010 г.

Работа выполнена при поддержке международного проекта «Метаморфоза» 6-й рамочной программы Европейского Союза, а также инновационного образовательного проекта СПб ТЭТУ «ЛЭТИ».

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 20 работах, из которых 5 - публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 1 статья в другом издании, 1 глава в книге, и 13 работ в материалах международных и всероссийских конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав с введениями и заключениями, 2 приложений и списка литературы, включающего 100 наименований. Основная часть работы изложена на .127 страницах машинописного текста. Работа содержит 76 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, определены цель и задачи диссертации, Сформулирована научная новизна, практическая значимость полученных в работе результатов и научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится обзор литературы по теме диссертации. В главе кратко упоминается история возникновения отдельного направления электродинамики, изучающего метаматериалы, рассматриваются основные свойства метаматериалов. Далее рассматриваются различные структуры метаматериа-лов, описанные в современной литературе. Отмечается, что, несмотря на широкий спектр всевозможных структур метаматериалов, предложенных на сегодняшний день, недостаточно внимания уделено разработке искусственных сред с одновременно отрицательными электромагнитными параметрами, обладающих изотропией свойств и реализованных на диэлектрических резонансных включениях.

Во второй главе диссертации рассматривается структура трехмерного изотропного метаматериала на основе сферических диэлектрических резонаторов (рис. 1, а). Резонаторы изготовлены из материала с высоким значением диэлектрической проницаемости (ер > 100), в то время как диэлектрическая проницаемость материала связующей матрицы имеет невысокое значение (£), = 1-2). Это приводит к тому, что длина электромагнитной волны в матрице много больше, чем длина волны внутри частиц. На частотах, при которых длина волны внутри частиц становится соизмеримой с их размерами, наблюдается явление резонанса. Электромагнитные колебания внутри сферических резонаторов соответствуют двум типам: магнитному Нщ и электрическому Еш (рис. 1, б). Диаметры частиц выбраны таким образом, что резонансы обоих типов возникают в частицах разного радиуса на одной и той же частоте. Колебания электрического типа наблюдаются в частицах большего радиуса, а магнитного - в частицах меньшего радиуса.

Рис. 1. а) Изотропный метаматериал на основе диэлектрических резонаторов сферической формы. и г5тац - радиусы сферических частиц большего и меньшего радиусов, соответственно; б) Нщ-мода (слева) и Ещ-мода (справа); в) элементарная ячейка гранецентрирован-ной структуры; г) элементарная ячейка объемно-центрированной структуры.

Поскольку расстояние между частицами много меньше длины волны в материале матрицы, не следует ожидать резонансных явлений, связанных с дифракцией волны на периодической решетке, как это происходит в фотонных кристаллах. Колебательные моды Нщ и Ещ по отношению к полям в матрице образуют магнитный и электрический дипольные моменты. Резонансные явления в рассматриваемой структуре определяют ее эффективные диэлектрическую и магнитную проницаемости. В частотной области несколько выше резонансных частот Нш иЕ1И типов колебаний вклад дипольных моментов резонирующих частиц в эффективную проницаемость структуры становится отрица-тельным.При этом в ограниченном частотном диапазоне усредненная диэлектрическая и магнитная проницаемости структуры одновременно становятся отрицательными. Такая среда обладает отрицательным эффективным коэффициентом преломления (< 0).

В работе рассматриваются три возможных типа упаковки резонансных частиц: структура типа №0, когда большие и малые резонаторы занимают в пространстве такие же места, как ионы Иа и С1 в кристаллической ячейке №С1 (см. рис. 1, а); гранецентрированная кубическая решетка (рис. 1, в); объемно-центрированная кубическая решетка (рис. 1, г). Решетки отличаются плотностью упаковки резонаторов (количеством резонаторов в единичной ячейке структуры). В то же время, все три структуры относятся к высшему классу симметрии тЗт. В таком классе симметрии тензоры второго ранга для всех физических параметров имеют диагональный вид, и при этом диагональные элементы одинаковы. Это обуславливает изотропию эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей в данной структуре.

Для того чтобы рассчитать эффективную проницаемость среды, решается электродинамическая задача дифракции плоской волны на сферической частице. При этом в рассмотрение берутся только отдельно взятые резонаторы большего или меньшего радиуса в ограниченном пространстве материала диэлектрической матрицы. В общем случае результат вычисления для одной частицы и для ансамбля частиц будет давать разные значения (согласно теории поляризации диэлектриков). В первом приближении влияние соседних частиц друг на друга не рассматривается. Такое допущение справедливо для метаматериала конечного размера, состоящего из частиц с большим значением диэлектрической проницаемости, достаточно удаленных друг от друга. При более строгом рассмотрении задачи, расчет эффективных параметров среды требует также учета взаимодействия резонаторов. Для этого можно воспользоваться известными выражениями Клаузиуса-Мосотти или Лоренц-Лоренца.

Электрический дипольный момент сферической частицы, ориентированный по направлению вектора электрического поля падающей плоской волны и магнитный дипольный момент сферической частицы, ориентированный вдоль направления вектора магнитного поля волны, определяются выражениями:

Р^Е,Ер ] [Ё^\<р,в,г)-Ё^\ср,е,г)\ёх^, (1)

ту=МоМР | [Й™((р,е,г)-Н™(<р,6,г)]ёу*>, (2)

-(in) -(«о _(;„) _(M,)

где h Ь и И Н - напряженности соответственно электрического и магнитного полей внутри (in) и вне (ext) частицы, е0 и ju0~ диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства, ан и /uh- диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрической матрицы, ер и ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости материала сферической частицы.

В изотропной среде или в среде с кубической симметрией эффективная относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды определяются выражениями:

. (4)

со

где © - круговая частота, л3 - объем элементарной ячейки, содержащей резонатор, к\ - волновое число в материале резонаторов.

Подставляя (1) и (2) соответственно в (3) и (4) и интегрируя электромагнитные поля в объеме сферического резонатора, получим следующие выражения:

seff(f)-L£\£h(f,rbig)-b^f,rblg) + eh> (5)

S

MejT{f) = Lfl\hh(f,r^„yaw(firsmall) + Mh, (6)

s V sh

где rsmslI и rblg - радиусы сферических частиц, rblg > rsmaii (радиусы частиц определяются из равенства резонансных частот колебаний Нщ и Ещ типов для малой и большой частиц соответственно), / - частота электромагнитной волны, I{f,г)- аппроксимационная функция, полученная в результате интегрирования электромагнитных полей в объеме частицы, Le - коэффициент, который зависит от типа упаковки резонаторов: Ls = 0.5, 0.35, 0.65 и L^ = 0.5, 0.65, 0.65 для

решетки типа NaCl, объемно-центрированной и гранецентрированной решеток соответственно, аг'

- сферические волновые функции. Относительные проницаемости рассчитаны исходя из условия, что минимальное расстояние между ближайшими резонаторами во всех трех рассматриваемых структурах одинаково. Резонанс колебаний Ei ц-типа имеет большую добротность, чем резонанс колебаний Нш-типа, поэтому ширина частотной области с отрицательной диэлектрической проницаемостью всегда меньше, чем области с отрицательной магнитной проницаемостью. Это подтверждается расчетами в частотном диапазоне 1-100 ГГц. Поэтому плотность упаковки больших частиц считается приоритетной, т.к. резонанс электрического типа в этих частицах вносит меньший вклад в формирование эффективной диэлектриче-

ской проницаемости среды, по сравнению с вкладом резонанса магнитного типа. В рассматриваемых решетках этому требованию удовлетворяет именно гра-нецентрированная кубическая, в которой на одну элементарную ячейку структуры приходится максимальная плотность больших резонаторов.

На рис. 2 изображены частотные зависимости эффективных диэлектрической и мапштной проницаемостей для трех типов пространственных упаковок резонаторов. Гранецентрированная кубическая решетка характеризуется наиболее широкой частотной полосой, в которой проявляются отрицательные значения эффективной диэлектрической проницаемости. Это же справедливо и для отрицательного коэффициента преломления для данной структуры.

а) б)

Рис. 2. Эффективные диэлектрическая (а) и магнитная (б) проницаемости для различных типов упаковок резонансных частиц. Индексом 1 обозначена структура типа №С1, 2 - объемно-центрированная кубическая, 3 - гранецентрированная кубическая.

Важной проблемой является оценка параметров материала сферических резонаторов, которые используются для формирования изотропного метамате-риала. Расчет эффективных параметров (диэлектрической и магнитной проницаемостей) метаматериала возможен при условии, что рассматриваемая среда явЛяётся однородной по отношению к распространяющейся в ней электромагнитной волне. Среда считается однородной, если период структуры (расстояние между повторяющимися элементами, из которых состоит метаматериал) много меньше длины распространяющейся в ней волны. В качестве максимально возможного значения периода структуры принято расстояние, равное четверти длины волны в материале матрицы. Период структуры, кроме того, ограничен минимальным значением, которое определяется размерами резонаторов. Для трех рассматриваемых типов упаковки резонаторов справедливо утверждение, что минимальное значение периода должно превышать суммы диаметров большого и малого резонаторов (это значение достигается, если резонаторы расположены вплотную друг к другу). Совокупность указанных ограничений на период описывается следующим выражением-.

.2(гяиВ + Г^)<Д<А/4 (7)

Эмпирически полученные размеры резонаторов в условиях соответствующих резонансов: г1паЦ « Я1р / 2 и гЫя а л,.р /1.4, где Л^ - длина волны в резонаторе. Выражая длины волн через относительную диэлектрическую проницаемость материала сферических резонаторов ер и матрицы сь, определим параметр 5,, характеризующий разницу между максимальным и минимальным возможными значениями периода структуры:

б,=~---2(-4--+-4—~), (8)

-Л/^2 Л/^20-7

где с - скорость света,/- резонансная частота.

Приравняв б, к нулю, получим уравнение для определения минимально возможного значения диэлектрической проницаемости резонаторов, при котором структура метаматериала физически реализуема, т.е. когда частицы расположены вплотную, и условие однородности по отношению к волне в матрице все еще сохраняется: е тш=94^ ~ТООгл. Обратимся к рис. 3, на котором изображена зависимость параметра б, от диэлектрической проницаемости частиц, для трех значений выбранной рабочей резонансной частоты/.

Рис. 3. Зависимость разности между максимальным и минимальным значениями периода структуры л от диэлектрической проницаемости частиц, д,(е ) для трех значений выбранной

рабочей резонансной частоты/, ек = 1.

Анализ графика показывает, что все кривые пересекаются в одной точке. Она соответствует минимальному значению диэлектрической проницаемости материала резонаторов, при котором структура метаматериала физически pea-' лизуема, т.е. при которой минимальное и максимальное значения периода структуры равны. Если принять Eh равным единице, то минимальное значение диэлектрической проницаемости материала сферических резонаторов приближенно будет равняться 100.

Ширина частотного диапазона с одновременно отрицательными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей определяется шириной диапазона, в котором ec[í< 0, и который в рассматриваемой частотной области все-, гда будет более узким, чем диапазон, в котором //e¡f < 0 . Изобразим зависимость относительной ширины диапазона с eeff < 0 от потерь в материале сферических резонаторов и от их диэлектрической проницаемости (рис. 4). Кривые на рис. 4 справедливы для значений резонансных частот в диапазоне 1-100 ГГц.

/= 1 ГГц

О //100 500 1000

диэлекгрич еская

проницаемость резонатора, ср

-40

диэлектрическая проницаемость резонатора, ер потери, 1§<5 -104

Рис. 4. Зависимость относительной ширины частотного диапазона с ееп- < 0 от а) диэлектрической проницаемости сферических резонаторов ер и б) потерь в материале резонаторов.

Как видно из рис. 4, а, наибольшей шириной частотного диапазона с отрицательной эффективной диэлектрической проницаемостью обладает искусственный материал, изготовленный из резонаторов с наименьшей диэлектрической проницаемостью (ограниченной значением 100 по изложенным выше соображениям). В то же время, анализ рис. 4, б показывает, что для каждого значения ер существует предельный уровень потерь в материале резонаторов, при превышении которого относительная ширина частотного диапазона уменьшается до нулевого значения. Чем меньше диэлектрическая проницаемость резонатора, тем меньшим будет предельный уровень потерь. Для резонаторов с ер= 100 максимальный уровень потерь tg<5 = 4.5-10"4.

Численное моделирование исследуемой структуры выполнялось с помощью программного продукта CST Microwave Studio. Объектом моделирования являлась периодическая структура конечных размеров, состоящая из двух типов сферических резонаторов. В качестве граничных условий использовались идеальные магнитные и электрические стенки, расположенные попарно на противоположных гранях (рис. 5, а). На рис. 5, б, отображены результаты расчета коэффициентов отражения и передачи моделируемой структуры. Затемненная область отвечает диапазону частот, где в обоих типах сферических частиц одновременно возникают резонансы. Моделирование отдельно взятых больших или малых частиц показывает в этой области резонанс в виде провала на коэффициенте передачи. В случае моделирования двухкомпонентной структуры, в области совпадения резонансных частот наблюдается диапазон прохождения электромагнитной волны. Эти явления можно объяснить в терминах материальных параметров искусственной среды. Из выражения для волнового вектора k = a>4syjji следует, что если только диэлектрическая или только магнитная проницаемости среды отрицательны, волновой вектор принимает мнимое значение, и, следовательно, электромагнитная волна в такой среде не распространяется. Если же проницаемости одновременно принимают отрицательные зна-

чения, волновой вектор будет отрицательным, но действительным. В таком случае волна в среде распространяется, а ее фазовая и групповая скорости противоположно направлены. Наличие обратной волны также подтверждается анализом перемещения фронта волны в структуре с течением времени и построением дисперсионных кривых, полученных в результате численного моделирования (рис. 6).

электрическая

У 91 ».О V.O IV 1U - 1U.O Iii 8 И

стенка частота, ГГц

а) б)

Рис. 5. а) объемная структура моделируемого метаматериала; б) коэффициенты отражения и передачи моделируемой структуры. Серым цветом обозначена область частотного диапазона, где фазовая и групповая скорости волны имеют противоположные направления. Параметры структуры: sp = 200, Sh = l,ftp= 1 ,ßh= l,tg5=10 ~4,rsmaii= 1 мм ,гьщ= ¡.5 мм,5=7 мм.

магнитная стенка

Рис. 6. Дисперсионные кривые для элементарной ячейки структуры, изображенной в левой части рисунка. Граничные условия со всех сторон - периодические. Жирной линией выделена дисперсионная кривая, характеризующая тип поля с противоположным направлением фазовой и групповой скоростей.

фазовый сдвиг, град.

В третьей главе описывается экспериментальное исследование сферических резонаторов. В качестве материала для изготовления диэлектрических резонаторов используется сегнетокерамика с высоким значением диэлектрической проницаемости и низкими потерями в СВЧ-диапазоне. Для проведения экспериментов был использован сегнетоэлектрик на основе керамики BaO-SrO-Nd203-Ti02 с диэлектрической проницаемостью ер = 400. Изготовленные из исходного материала сферические частицы помещались в центральную часть металлического волновода с размерами 16.8 мм на 7.9 мм, подключенного к анализатору цепи Agilent 8720ES. В эксперименте измерялся коэффициент отражения и передачи одного и пары сферических резонаторов в волноводе. Результаты измерений приведены на рис. 7.

Эксперимент показал наличие резонанса колебаний Нщ-типа на частоте 17,2 ГГц для меньшей частицы и колебаний Ещ-типана частоте 16,8 ГГц для

большой частицы. Оба измеренных резонанса хорошо совпадают с результатами электродинамического моделирования. Эксперимент и моделирование позволили сделать вывод, что резонанс электрического типа колебаний выражен слабо и плохо детектируется на фоне помех. Однако эксперименты с парой резонаторов в волноводе показали, что при минимальном отличии между радиусами резонаторов (не более 10 мкм), их суммарный резонансный отклик усиливается - его амплитуда увеличивается, и частотный диапазон резонанса (а, следовательно, и частотный диапазон области с отрицательными эффективными параметрами) расширяется. Таким образом, использование ансамбля частиц позволяет усилить эффект формирования искусственных отрицательных диэлектрической и магнитной проницаемостей.

<£ о™"— ' —яг гявза ..... -л я....... Рис 7. Коэффициент пе-

редачи для сферического резонатора с диаметром 0.9 мм (сверху) и 1.3 мм (снизу). Жирная линия отображает результаты электродинамического моделирования, тонкая сплошная и пунктирная -экспериментально измеренные коэффициенты передачи 812 и 821.

частота, ГГц

В четвертой главе рассматривается структура, образованная близко расположенными, сильно взаимодействующими диэлектрическими резонаторами.

Первоначально анализировалась одномерная цепочка связанных сферических резонаторов (рис. 8). В качестве рабочей частоты была выбрана резонансная частота основной моды Н1П, обеспечивающей генерацию магнитного диполя. Частицы с радиусом г = 1 мм были расположены на расстоянии Д = 0,1 мм. При таком их взаимном расположении соседние частицы начинают взаимодействовать друг с другом. Между близко расположенными диэлектрическими резонаторами возникает электрическая связь (см. рис. 8).

Рис 8. Одномерная цепочка связанных диэлектрических сферических резонаторов и линии напряженности электрического поля. ер = 400, г =1 мм, 1ап6= 10'4, А = 0,1 мм.

Цепочка из таких резонаторов является дуальным аналогом цепочки колебательных контуров с индуктивной связью, в которой может существовать от-

рицательная дисперсия. Анализ распределения электромагнитного поля в одномерной цепочке для разных моментов времени показывает, что в условиях резонанса Нщ-колебаний, в области пространства, в которой находятся резонаторы, направления фазовой и групповой скоростей противоположны.

Вторым этапом было электродинамическое моделирование двумерной структуры из близко расположенных сферических диэлектрических резонаторов.

Моделируемая структура состоит из 24 диэлектрических резонаторов, размещенных в одной плоскости. Частота резонанса магнитного типа для частиц радиуса 1 мм с диэлектрической проницаемостью 400 равна 7,2 ГГц. Если резонаторы расположены на большом расстоянии друг от друга (более 3 мм), резонанс проявляется в виде области запирания вблизи резонансной частоты (провал на коэффициенте передачи, рис. 9, а). Однако, как следует из рис. 9, б, в случае, когда сферические частицы расположены близко друг к другу, в области резонансной частоты наблюдается диапазон пропускания, заключенный между двумя пиками непропускания. Следует ожидать, что для данного частотного диапазона эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости моделируемой структуры отрицательны, а, значит, в среде присутствует обратная электромагнитная волна, направление распространения которой противоположно направлению распространения падающей плоской волны.

частота, ГГц а)

частота, ГГц 61

Рис. 9. Коэффициенты передачи для а) невзаимодействующих и б) близко расположенных связанных резонаторов.

На рис. 10 представлена картина распределения фазы поперечной составляющей напряженности магнитного поля электромагнитной волны в фиксированный момент времени. В левой части приведено распределение в среде без резонаторов. В правой части отображена фаза для структуры, содержащей массив сферических резонаторов. Как видно из рисунка, в плоскости диэлектрических резонаторов в направлении движения волны наблюдается изменение ее фазы от 180° до 360°, т.е. ее положительный прирост. Источник электромагнитной волны находится в левой части. Положительный прирост фазы в направлении распространения волны свидетельствует о том, что ее фазовая скорость отрицательна. Наличие обратной волны в такой структуре подтверждает, что среда проявляет свойства метаматериала с отрицательными значениями эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей.

В четвертой главе также рассматривается нерегулярная цепочка сферических резонаторов, в которой резонаторы расположены не периодически, а хаотично (но при этом на малых расстояниях, чтобы их взаимодействие сохрани-

лось). Электродинамическое моделирование такой цепочки показывает, что в целом эффект остается прежним и на коэффициенте передачи исследуемой структуры между двух пиков непропускания сохраняется диапазон прохождения электромагнитной волны. Это говорит о возможности упрощения физической реализации структуры метаматериала без нарушения его принципиальных свойств.

Рис. 10. Распределение фазы электромагнитной волны в свободном пространстве (слева) и в среде, содержащей двумерную структуру из взаимодействующих сферических резонаторов (справа).

180° 210° 240о270°300°330° 360°

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. На основе дифракционной модели выполнен анализ системы из больших и малых сферических резонаторов, резонирующих, соответственно, на частотах электрической и магнитной мод. Выполнен расчет эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей периодической решетки сферических резонаторов без учета и с учетом взаимодействия резонаторов.

2. Определена структура пространственной упаковки сферических резонаторов, обуславливающая проявление отрицательного коэффициента преломления метаматериала в наиболее широкой полосе частот.

3. Выполнен анализ влияния на резонансную частоту потерь в материале резонаторов, его диэлектрической проницаемости, а также размера резонансных частиц.

4. Выполнено численное моделирование структуры изотропного метаматериала на основе сферических диэлектрических резонаторов двух размеров, в условиях возбуждения колебаний электрического и магнитного типов на одной и той же резонансной частоте.

5. Показано, что исследуемая структура обладает отрицательной дисперсией при условии совпадения резонансных частот колебаний Нш и Ет у соответствующих резонаторов.

6. Изготовлена серия образцов сферических диэлектрических резонаторов и проведены эксперименты, подтверждающие корректность дифракционной модели.

7. Проведено электродинамическое моделирование метаматериала, состоящего из одинаковых, близко расположенных, взаимодействующих друг с другом сферических резонаторов. Показано, что исследуемая структура обладает отрицательной дисперсией на частоте низшего резонанса колебаний магнитного типа.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Vendik I. В. Isotropic artificial media with simultaneously negative permittivity and permeability (Искусственная изотропная среда с одновременно отрицательными коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемостей) [Текст] /1. В. Vendik, О. G. Vendik, М. A. Odit // Microwave and Optical Technology Letters., vol. 48. - 2006. - P. 2553-2556.

2. Vendik I. B. Modeling of isotropic double negative media for microwave applications (Моделирование изотропного материала с отрицательными коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемостей для применения в микроволновой технике) [Текст] /1. В. Vendik, О. G. Vendik, М. A. Odit // OptoElectronics Review. - 2006. - Vol. 14, пшпЗ. - P. 179-186.

3. Vendik I. 3D metamaterial based on a regular array of resonant dielectric inclusions (Трехмерный метаматериал на основе решетки регулярного массива резонансных диэлектрических включений) [Текст] / Vendik I., Odit М., Kozlov D. //Radioengineering.-2009-Vol. 18,No. 1,P. 1-7.

4. Vendik I. B. 3D isotropic metamaterial based on a regular array of resonant dielectric spherical inclusions (Трехмерный изотропный метаматериал из массива периодических резонансных включений) [Текст] / Vendik I.B., Odit М. А., KozlovD. S. //Metamaterials. -2009-Vol. 3, Iss. 3-4. -P. 140-147.

5. Вендик И. Б. Изотропный метаматериал на основе сегнетокерамиче-ских сферических включений [Текст] / И.Б. Вендик, О.Г. Вендик, М.А. Одит // Физика твердого тела.-2009.-том 51, вып. 8. ■.■•„;

Другие статьи и материалы конференций:

6. Metamaterials Handbook, edited by Filippo Capolino, Part 3, I. Vendik, O.G. Vendik, and M. Odit, «Isotropic double-negative materials», pp. 21-1 - 21-32 (Справочник по метаматериалам, часть 3, Изотропные материалы с отрицательный коэффициентом рефракции) // CRC Press. - 2009. - 1736 pages.

7. Одит М. А. Метаматериал на решетке связанных диэлектрических резонаторов [Текст] / М. А. Одит, И. Б. Вендик, О. Г. Вендик. // Известия СПбГЭТУ ЛЭТИ. - 2008. - С. 3-11.

8. Vendik I. Isotropic Artificial Media with Simultaneously Negative Permittivity and Permeability (Изотропная искусственная среда с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями) [Текст] /1. Vendik, О. Vendik, М. Gashinova, I. Kolmakov, М. Odit // Proceedings 3rd Workshop on Metamaterials, Italy, Rome. - 2006.

9. Odit M. A. 3D Isotropic metamaterial based on dielectric resonant spheres (Трехмерный изотропный метаматериал на диэлектрических сферических резонаторах) [Текст] / М. Odit, I. Vendik, and О. Vendik // Proceedings of 1st Metamaterial Congress, Italy, Rome. -2007. - P. 946-949.

... 10. Vendik I. B. 3D isotropic DNG material based on a set of coupled dielectric spheres with Mie resonance (Трехмерный изотропный метаматериал, основанный на взаимодействующих диэлектрических сферических частицах в условиях Ми-резонанса) [Текст] / I.B. Vendik and М.А. Odit // Proceedings of 2 International

Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics, Spain, Pamplona. - 2008. - P. 18-20.

11. Odit M. Modeling isotropic artificial media with simultaneously negative permittivity and permeability (Моделирование изотропной искусственной среды с одновременно отрицательными коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемостей) [Текст] / М. Odit, I. Kolmakov, О. Vendik, I. Vendik // Proc. of Days on Diffraction 2006. - 2006. - P. 81.

12. Odit M. 3D isotropic metamaterial based on dielectric resonant spheres (Трехмерный изотропный метаматериал на диэлектрических сферических резонаторах) [Текст] / М. Odit, I. Vendik, О. Vendik // Proc. Of Days on Diffraction 2007.-2007.—P. 67.

13. Vendik I. B. Isotropic double negative media based on resonance dielectric spheres (Изотропный метаматериал с отрицательными коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемостей на диэлектрических сферических резонаторах) [Текст] /1. В. Vendik, О. G. Vendik, М. A. Odit, I.A. Kolmakov // Proc. of 13th International Student Seminar on Microwave Applications of Novel Physical Phenomena. - 2006. Finland, Rovaniemi, HUT. - P. 10-13.

14. Одит M. А. Моделирование изотропного материала с отрицательными коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемости [Текст] / Одит М. А., Вендик И. Б., Вендик О. Г // Научно-технический семинар «Современные проблемы техники и электроники СВЧ», сборник докладов. - 2006. - С. 11.

15. Odit М. Dielectric spheres as constituents of isotropic metamaterial (Диэлектрические сферические частицы в качестве составляющих элементов изотропного метаматериала) [Текст]. // Proc. of 14th International Student Seminar on Microwave Applications of Novel Physical Phenomena. - 2007. UK, Northern Ireland, Belfast. - P. 35-37.

16. Odit M. Negative refraction of a set of strongly coupled dielectric resonators (Отрицательное преломление структуры из сильно связанных диэлектрических резонаторов) [Текст] / М. A. Odit, L B. Vendik // Proc. of 15th International Student Seminar on Microwave Applications of Novel Physical Phenomena. - 2008. - St. Petersburg, ETU. - P. 13 -15.

17. Одит M. А. Применение метаматериалов в технологии маскировки. [Текст] / М. Одит, И. Вендик // сборник докладов научно-технического семинара «Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике». - 2008. - С. 10-11.

18. И. Б. Вендик. Изотропный метаматериал на основе сегнетокерамиче-ских сферических включений [Текст] / И. Б. Вендик, О. Г. Вендик, М. А. Одит // XVIII всероссийская конференция по физике сегнетоэлектриков - материалы конференции. 9-14 июня 2008. - СПб. - С. 157-158.

19. М. А. Одит. Изотропный метаматериал на диэлектрических кубических резонаторах [Текст] / М. А. Одит, И. Б. Вендик // Сборник докладов научно-технического семинара «Инновационные разработки в технике и электронике СВЧ» СПб ТЭТУ «ЛЭТИ». - 2009. - С. 6-7.

20. М. А. Одит. Теоретические и физические ограничения для диэлектрических бисферических метаматериальных структур [Текст] / материалы научно-технического семинара «Инновационные разработки в технике и электронике СВЧ», СПБГЭТУ «ЛЭТИ». - 2010. - с. 53.

Подписано в печать 24.05.2010. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/0524. П. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИСКУССТВЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ.

1.1. Метаматериалы, основные понятия и свойства.

1.2. Свойства метаматериалов.

1.2.1. Обратный эффект Доплера.

1.2.2. Преломление волны на границе раздела двух сред.

1.2.3. Фокусировка.

1.2.4. Суперлинза.

1.3. Метаматериалы на основе диэлектрических частиц.

1.4. Изотропные метаматериалы.

Выводы.

ГЛАВА 2. ИЗОТРОПНЫЙ МЕТАМАТЕРИАЛ НА ОСНОВЕ РЕЗОНАНСНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ.

2.1. Введение.

2.2. Симметрия структуры.

2.3. Дифракция плоской волны на сферической частице.

2.4. Определение эффективных параметров среды.

2.5. Пространственная структура упаковки резонаторов.

2.6. Требования к материалу резонаторов.

2.6.1. Диэлектрическая проницаемость резонаторов.

2.6.2. Максимальный уровень потерь.

2.7. Допустимая девиация параметров.

2.8. Учет взаимодействия резонаторов.

2.9. Численное электродинамическое моделирование изотропного метаматериала.

2.10. Извлечение материальных параметров из результатов численного моделирования.

2.11. Построение дисперсионных кривых.

Выводы.

ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СФЕРИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ.

3.1. Описание объектов эксперимента.

3.2. Моделирование эксперимента.

3.3. Методика проведения эксперимента.

Выводы.

ГЛАВА 4. МЕТАМАТЕРИАЛ НА СВЯЗАННЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРАХ.

4.1. Введение.

4.2. Резонаторы с магнитной связью.

4.3. Резонаторы с электрической связью.

4.4. Одномерная цепочка связанных сферических резонаторов.

4.3. Двумерная решетка диэлектрических сферических резонаторов.

4.4. Нерегулярная решетка диэлектрических сферических резонаторов. 110 Выводы.

Развитие телекоммуникационных технологий требует разработки и проектирования новых типов СВЧ-компонентов, обладающих более совершенными характеристиками, чем уже существующие. К таким характеристикам можно отнести массогабаритные показатели, управляемость свойствами СВЧ-устройств, себестоимость компонентов. Новые требования, предъявляемые к СВЧ-устройствам, приводят к необходимости разработки инновационных типов материалов, в частности, искусственных, которые не имеют аналогов среди материалов, существующих в природе. Необходимость разработки материалов с уникальными свойствами привела к стремительному развитию области электродинамики, получившей название науки о метама-териалах.

Метаматериалы [1-15] - это искусственные материалы с волновыми свойствами, которых нет в природе. Любую искусственную среду, созданную человеком, и проявляющую уникальные волновые свойства, не характерные для существующих в природе материалов, можно назвать метаматериалом. Определение метаматериалов относится ко всему диапазону частот колебаний различной природы - от низкочастотных акустических до СВЧ- и оптических колебаний.

Метаматериалы состоят из элементов различной геометрии, выстроенных в определенную периодическую или неупорядоченную структуру. Структура, состав, расположение и форма элементов, из которых состоит ме-таматериал, определяют уникальные волновые (в частности, электродинамические) свойства структуры в целом. Оперируя этими параметрами, можно создавать искусственные материалы с регулируемыми свойствами, не характерными для изначальных составных частей.

Элементы, из которых состоят метаматериалы, играют роль атомов и молекул в обычных материалах. Если в природном веществе его свойства определяются квантово-механическими законами на атомарном уровне, то свойства искусственного материала будут определяться свойствами искусственных молекул, из которых состоит материал. Размеры этих молекул могут колебаться от нано величин, в случае оптических частот, до микро размеров в случае СВЧ диапазона и больших размеров (акустические колебания). Масштаб искусственных молекул определяет, в какой частотной области ме-таматериал проявляет свои особые свойства. В этом суть атомарного подхода: создавая искусственные атомы на мезоразмерном уровне (между микро- и макро-размерами), можно создавать искусственные материалы с программируемыми свойствами в нужном частотном диапазоне.

Следует отметить, что существуют примеры метаматериалов, где атомарное описание метаматериала не вполне корректно. Это так называемые киральные среды [16]. В киральных средах наблюдается сильная пространственная дисперсия и аномально высокие значения материальных параметров (диэлектрической и магнитной проницаемости). В таких структурах предсказать поведение среды в целом на основе свойств отдельно взятых элементов, зачастую становится невозможным.

В данной диссертационной работе автор рассматривает метаматериалы, разрабатываемые для микроволнового частотного диапазона. Выбранная частотная область ограничена значениями 1-100 ГГц. Эта область используется в различных видах беспроводной связи. Несмотря на то, что каждый частотный диапазон обладает своими особенностями, многие предложенные в работе подходы и выводы в перспективе имеют смысл и для другой области спектра (акустических или оптических колебаний). В целом же микроволновый диапазон представляется автору одним из наиболее интересных для разработки метаматериалов, поскольку в этой области возможно создание таких инновационных устройств как: суперлинзы [17-26], маскирующие слои [2230], идеальные магнитные стенки [31-33], «сверхпоглотители» [34-35] и др. Кроме того, использование своего рода «метаматериального» подхода к расчету традиционных СВЧ-устройств (фильтров, фазовращателей, и др.) позволяет создавать эти устройства с улучшенными характеристиками [38-44].

Большая часть современных публикаций о метаматериалах начинается с упоминания статьи 1967 года [36], где автор В. Веселаго рассматривал, какими свойствами может обладать среда с отрицательным показателем преломления п2 =е/л. Согласно утверждению автора, в случае одновременно отрицательных значений ей pi, коэффициент преломления также становится отрицательным. Отрицательный коэффициент преломления определяет такие свойства метаматериала, как обратный эффект Доплера, обратный эффект Вавилова-Черенкова, а также аномальное преломление луча электромагнитной волны на границе раздела при прохождении его из вакуума или обычного диэлектрика в среду с отрицательным коэффициентом преломления. Кроме того, был отмечен ряд других интересных свойств, например, фокусировка излучения точечного источника плоскопараллельной пластиной из метаматериала, а также способность выпуклой линзы работать как вогнутая и наоборот (более подробно свойства метаматериалов будут изложены ниже). Таким образом, отрицательные значения параметров е и pi являются наиболее часто используемым критерием свойств структуры, характеризуемой как ме-таматериал. Среда, где оба этих параметра одновременно отрицательны, зачастую именуется средой Веселаго. Среды Веселаго — это один из наиболее интересных с точки зрения проявляемых свойств примеров метаматериалов.

Современная история метаматериалов отсчитывается с опубликования статьи Джона Пендри [17]. В этой статье была выдвинута идея того, что плоская пластина метаматериала не просто фокусирует излучение источника электромагнитной волны, но также способна усиливать те компоненты электромагнитного поля, которые экспоненциально быстро затухают с удалением от источника. Это приводит к появлению так называемого эффекта «суперлинзы», или к преодолению оптического дифракционного предела. Последний заключается в том, что с помощью обычной диэлектрической линзы нельзя получить изображение деталей объекта, размеры которых меньше длины волны детектирующего излучения. Применение суперлинзы может значительно повысить разрешающую способность тех устройств, где она используется.

Первая рабочая модель метаматериала была изготовлена и описана в статье [37] в 2000 году. В статье рассматривалась искусственная структура, состоящая из периодически расположенных разомкнутых кольцевых резонаторов и металлических проволочек. Эксперимент, описанный в статье, подтвердил, что структура обладала отрицательными значениями эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей. Термин «эффективная» в случае метаматериалов означает, что речь идет об обобщенных для всего объема проницаемостях структуры в целом, характеризующих ее аномальные электромагнитные свойства. При этом эффективные проницаемости среды, могут значительно отличаться от диэлектрической и магнитной проницаемости тех материалов, из которых формируется метаматериал.

Одной из наиболее интересных областей применения метаматериалов является создание на их основе маскирующих оболочек [24-29]. Маскировка посредством метаматериалов - это средство скрытия объектов от СВЧ-излучения посредством специфического преломления электромагнитных волн внутри маскирующего слоя. Оболочки, в которых коэффициент преломления меняется от 1 до 0 (от наружной границы к внутренней), позволяют управлять распространением в них электромагнитной волны. Луч, падающий на такой маскирующий слой, огибает скрытый внутри объект и распространяется так, как если бы на его пути ничего не было. Объект, заключенный внутри такого маскирующего слоя, не оставляет тени и не отражает падающий на него свет. Это характеризует маскировку как идеальный способ, позволяющий сделать объект практически невидимым.

Множество опубликованных статей (преимущественно в зарубежных изданиях), доказывают возможность эффективного использования метаматериалов в устройствах СВЧ в качестве компонентов фильтров, фазовращателей, антенн, и др. Отдельно можно выделить свойства одномерных метаматериалов, используемых для конструирования сверхкомпактных устройств на основе линий передач [38]. Применение периодических планарных структур позволяет получать миниатюрные антенны с размерами меньшими, чем длина волны [39].

Применение композитных структур, состоящих из комбинации метама-териалов и обычных диэлектриков, можно использовать для изготовления так называемых сканирующих антенн вытекающей волны [40], двухдиапа-зонных антенн [41], направленных антенн [42].

Волноводные линии передачи с включением метаматериалов обладают уникальными дисперсионными характеристиками. Дисперсию в таких линиях передач можно контролировать, что позволяет конструировать компактные дешевые фазовращатели и линии задержки, которые могут быть использованы в системах телекоммуникации [43-44].

Тема диссертационной работы является актуальной, поскольку касается изучения новых типов широко исследуемых искусственных материалов, находящих применение в разработке СВЧ-устройств. Электродинамика метаматериалов — одна из наиболее широко и стремительно развивающихся областей мировой науки на сегодняшний день (рис. 1).

2000 2001

2002 2003 2004 ГОД

2005 2006 2007 2003 2009

Рис. 1. Динамика роста количества публикаций по тематике метаматериалов.

Несмотря на интенсивное развитие электродинамики метаматериалов, все еще существует некоторая однотипность в подходе к разработке метама-териальных структур.

Во-первых, большая часть предложенных моделей метаматериалов - это структуры, где только диэлектрическая или только магнитная проницаемости отрицательны (либо меньше единицы). В то же время, наиболее интересными свойствами (отрицательная рефракция, фокусировка и др.) обладают среды Веселаго, где оба параметра одновременно принимают аномальные значения.

Во-вторых, как правило, для формирования отрицательных проницаемо-стей используют металлические резонансные частицы. Очень мало работ посвящено использованию диэлектрических резонаторов в метаматериалах [4552]. Между тем, использование диэлектрических резонаторов позволяет получить устройства с более выгодными массогабаритными характеристиками [53] и меньшими потерями в оптическом диапазоне [57].

Наконец, основная часть работ по метаматериалам рассматривает одномерные или двумерные анизотропные структуры. В то же время, для разработки линз из метаматериалов, маскирующих слоев, или же устройств, в которых используется отрицательное преломление на границе метаматериала, зачастую гораздо более выгодным преимуществом является использование именно объемных трехмерных структур, обладающих изотропией свойств. На данный момент большая часть попыток сформировать объемный изотропный метаматериал сводится к размножению различных типов металлических резонаторов в трех плоскостях [54-56]. Недостатком этого метода является сложная геометрия резонаторов, которая влияет на изотропию свойств и усложняет процесс производства резонаторов.

В данной работе исследуется модель изотропного метаматериала с отрицательными коэффициентами эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей, основанного на диэлектрических резонаторах сферической формы. Два типа сферических резонаторов (двух разных радиусов) упорядочены в пространственную кубическую решетку класса симметрии шЗш, что определяет изотропию свойств объемного образца.

Итак, актуальность диссертационной работы заключается в следующих факторах: рассматривается перспективная, быстро развивающаяся область электродинамики; в этой области выделена и рассматривается проблема, касающаяся слабо изученных изотропных метаматериалов, состоящих из диэлектрических резонаторов.

Целью диссертационной работы является исследование электродинамических параметров изотропного метаматериала на основе решетки диэлектрических резонаторов, включающее анализ и выбор структуры пространственной упаковки сферических резонаторов, электродинамическое моделирование объемной структуры метаматериала, экспериментальное исследование образцов сферических резонаторов, а также анализ иных возможных вариантов реализации изотропного метаматериала.

Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач:

1. Анализ модели решетки сферических диэлектрических резонаторов двух разных размеров в условиях возбуждения электрического и магнитного диполей без учета взаимодействия.

2. Определение типа пространственной упаковки резонаторов в изотропном метаматериале, обуславливающей проявление отрицательного коэффициента преломления в наиболее широкой полосе частот.

3. Определение ограничений на значения диэлектрической проницаемости и уровня потерь диэлектрического материала сферических резонаторов разного размера в составе однородной среды, проявляющей свойства метаматериала.

4. Экспериментальное исследование резонансного отклика сферических диэлектрических резонаторов для двух основных типов колебаний (магнитного и электрического).

5. Численное моделирование метаматериала, образованного регулярной решеткой сильно связанных взаимодействующих друг с другом диэлектрических резонаторов.

Объектами исследования являются одиночные диэлектрические резонаторы сферической формы; периодическая структура на основе двух типов сферических резонаторов, различающихся размерами; структура из связанных, близко расположенных сферических резонаторов.

Основные методы исследования: а) теоретические: аналитические и численные методы электродинамического моделирования; б) экспериментальные - измерение коэффициентов отражения и передачи электромагнитной волны в условиях резонанса сферического диэлектрического резонатора, помещенного в прямоугольный волновод.

Научные положения:

1. Изотропный метаматериал на основе сферических диэлектрических резонаторов двух разных размеров обладает наиболее широкой частотной полосой отрицательных значений коэффициента преломления в случае упаковки резонаторов в гранецентрированную кубическую решету.

2. Минимальное значение относительной диэлектрической проницаемости материала сферических резонаторов двух разных размеров, упорядоченных в кубическую решетку для формирования изотропного метаматериала, должно превышать значение 100.

3. Ширина частотного диапазона, в котором эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости метаматериала на основе диэлектрических резонаторов отрицательны, ограничена потерями в материале резонаторов.

4. Двумерная решетка диэлектрических сферических резонаторов с электрической связью на частотах резонансных колебаний Нщ-типа, обладает отрицательной дисперсией.

Новые научные результаты работы.

1) Выполнен анализ и предложен тип упаковки диэлектрических резонаторов двух разных размеров в решетку типа шЗш, обеспечивающий наибольшую ширину рабочей частотной полосы изотропного метаматериала.

2) Предложен аналитический метод расчета параметров материала, используемого для формирования исследуемого изотропного метаматериала. Проведена оценка влияния девиации параметров диэлектрических резонаторов (диэлектрической проницаемости и размеров) на их резонансную частоту.

3) Выполнено электродинамическое численное моделирование элементарной ячейки метаматериала. Извлечение электродинамических параметров из результатов численного моделирования подтверждает корректность описания исследуемой структуры в терминах эффективных отрицательных значений диэлектрической и магнитной проницаемостей. Получены дисперсионные кривые метаматериала, подтверждающие наличие в рассматриваемой структуре обратной волны.

4) Измерены резонансные характеристики сферических диэлектрических резонаторов. Проведен сравнительный анализ двух типов резонансов в диэлектрических резонаторах, резонирующих на электрической и магнитной модах. Показано, что резонансный отклик колебаний Ещ-типа имеет меньшую амплитуду, чем отклик колебаний Нщ-типа.

5) Выполнено численное моделирование искусственного материала на основе взаимодействующих диэлектрических резонаторов.

6) Проведен анализ влияния неупорядоченности пространственной структуры сильно связанных резонаторов на ее волновые характеристики.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

Сформулированы рекомендации по формированию оптимальной пространственной структуры изотропного метаматериала с максимальной плотностью упаковки частиц. Определена область ограничений на значения параметров диэлектрика (е и tg<5), используемого для формирования однородного изотропного метаматериала. Результаты работы могут быть использованы при разработке изотропного искусственного материала с отрицательной дисперсией на основе сферических диэлектрических резонаторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

На международных конференциях: конференции «Days on Diffraction» в 2006, 2007, 2008, 2009г; международная конференция по метаматериалам и специальным материалам для применения в технике СВЧ и телекоммуникациях в 2006г; международный студенческий семинар «Microwave and Optical applications of novel physical phenomena» в 2006, 2007, 2008г; 11th International Symposium on Microwave and Optical Technology (ISMOT-2007); ELECTRO-CERAMICS XI, Manchester, UK, 1-3 September 2008; 1st and 2nd International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (Rome, 22-26 October 2007 and 24-26 September 2008, Pamplona, Spain); 3th and 4th Workshop on Metamaterials and special materials for electromagnetic applications and TLC (Rome, Italy, 31 March 2007 and Naples, Italy, December 18 - 19, 2008), Progress In Electromagnetics Research Symposium, 18-21 августа, Москва, 2009.

На конференциях: XVIII Всероссийская конференция по физике сегне-тоэлектриков (ВКС - XVIII) 2008г; семинары профессорско-преподавательского состава СПб ТЭТУ «ЛЭТИ» 2006, 2007, 2008, 2010 г.

Работа выполнена при поддержке международного проекта «Метаморфоза» 6-й рамочной программы Европейского Союза, а также инновационного образовательного проекта СПб ТЭТУ «ЛЭТИ».

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 20 работах, из которых 5 - публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 1 статья в другом издании, 1 глава в книге, и 13 работ в материалах международных и всероссийских конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав с введениями и заключениями, 2 приложений и списка литературы, включающего 100 наименований. Основная часть работы изложена на 127 страницах машинописного текста. Работа содержит 76 рисунков и 5 таблиц.

Выводы

Результаты электродинамического моделирования показывают, что решетка сильно связанных диэлектрических сферических резонаторов является структурой, в которой на резонансной частоте фазовая скорость распространяющейся волны будет отрицательной. Это справедливо для одномерной цепочки и для двумерной решетки диэлектрических резонаторов. Остается открытым вопрос о возможности формирования трехмерной пространственной решетки с аналогичными свойствами. В данном случае влияние соседних слоев друг на друга нарушает картину поля, характерную для диполей (см. Рис. 4.8). Тем не менее, очевидна возможность использования связи между диэлектрическими резонаторами для формирования новых типов искусственных материалов со свойствами метаматериалов, рассмотренными в первой главе.

Интересен также результат моделирования неупорядоченной решетки резонаторов (Рис. 4.12). Он подтверждает возможность формирования искусственного материала, элементы которого размещаются произвольным образом, что не нарушает принципиально его свойства. Эта особенность открывает новые возможности по созданию метаматериалов способами, доступными современной химической и порошковой индустрии.

113

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие результаты:

• На основе дифракционной модели проведен анализ системы из больших и малых сферических резонаторов резонирующих, соответственно, на электрической и магнитной модах. Выполнен расчет эффективных диэлектрической и магнитной проницаемости периодической решетки сферических резонаторов.

• Определена структура пространственной упаковки сферических резонаторов, обуславливающая наибольшую широкополосность отрицательного коэффициента преломления метаматериала.

• Проведена оценка применимости дипольной модели, позволяющая рассчитать эффективные параметры метаматериала.

• Проведен расчет влияния на резонансную частоту потерь в материале резонаторов, его диэлектрической проницаемости, а также размера резонансных частиц. Сформулированы ограничения на параметры диэлектрического материала, используемого для формирования изотропного метаматериала из сферических резонаторов разного размера.

• Выполнено численное моделирование структуры изотропного метаматериала на основе сферических диэлектрических резонаторов двух размеров, поддерживающих колебания электрического и магнитного типа на одной частоте. Выполнен расчет эффективных параметров указанной структуры на основе рассчитанных коэффициентов отражения и передачи.

• Показано, что исследуемая структура обладает отрицательной дисперсией в области совпадения резонансных частот колебаний Нщ и Еш у соответствующих резонаторов.

• Изготовлена серия образцов сферических диэлектрических резонаторов и проведены эксперименты, подтверждающие корректность дифракционной модели.

• Проведено электродинамическое моделирование метаматериала, состоящего из одинаковых, близко расположенных, взаимодействующих друг с другом сферических резонаторов. Показано, что исследуемая структура обладает отрицательной дисперсией на частоте низшего резонанса колебаний магнитного типа.

1. G. V. Eleftheriades, К. G. Balmain, «Negative-refraction metamateri-als. Fundamental Principles and Applications», John Wiley & Sons, Inc., Hobolce (2005).

2. C. Caloz, T. Itoh, «Electromagnetic metamaterials: transmission line theory and microwave applications. The Engineering Approach», John Wiley & Sons, Inc., Hoboken (2006).

3. N. Engheta, R. W. Ziolkowski , «Metamaterials. Physics and Engineering Explorations», John Wiley & Sons, Inc (2006).

4. V. M. Shalaev, A. K. Sarychev , «Electrodynamics of Metamaterials», World Scientific Publishing Company, 260 pages, (2007).

5. R. Marques, F. Martin, M. Sorolla, «Metamaterials with Negative Parameters: Theory, Design and Microwave Applications», Wiley-Interscience, 315 pages, (2008).

6. Metamaterials Handbook, edited by Filippo Capolino, CRC Press, 1736 p., (2009).

7. L. Solymar, E. Shamonina, «Waves in Metamaterials», Oxford University Press, USA, 368 pages (2009).

8. B. A. Munlc , «Metamaterials: Critique and Alternatives», Wiley-Interscience, 189 pages (2009).

9. V. Veselago, L. Braginsky, V. Shklover, C. Hafner, «Negative Refractive Index Materials» Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, Vol.3,1-30, (2006).

10. Z. Jaksic, N. Dalarsson, M. Maksimovic, «Negative refractive index met materials: Principles and applications», Microwave Review, Issue: 6, Pages: 36-49 (2006).

11. N. Engheta, R. W. Ziolkowski, «А positive future for double-negative metamaterials», IEEE Transactions on microwave theory and techniques, vol. 53, no.4, April (2005).

12. V. G. Veselago, E. E. Narimanov, The left hand of brightness: past, present and future of negative index materials, Nature Materials, Vol. 5, (2006).

13. A. Lai, T. Itoh, «Composite Right/Left Handed transmission line metamaterials», IEEE microwave magazine, September (2004).

14. Zouhdi, Said; Ari Sihvola, Alexey P. Vinogradov, «Metamaterials and Plasmonics: Fundamentals, Modelling, Applications». New York: Springer-Verlag. pp. 3-10, Chap. 3, 106.

15. J. B. Pendry, «Negative Refraction Makes a Perfect Lens», Phys. Rev. Lett. 85, 3966 3969 (2000).

16. A. H. Лагарьков, А. К. Сарычев, В. H. Кисель, Г. Тартаковский, «Сверхразрешение и усиление в метаматериалах», УФН, 179:9, 1018—1027 (2009).

17. Z. Jacob, L. V. Alekseyev, Е. Narimanov, «Optical Hyperlens: Far-field imaging beyond the diffraction limit», 4 September 2006 / Vol. 14, No. 18 / OPTICS EXPRESS 8247 (2006).

18. F. Mesa, «Three-dimensional superresolution in metamaterial slab lenses: Experiment and theory», Phys. Rev. В 72, 235117 (2005).

19. N. Fang, H. Lee, C. Sun, X. Zhang, «Sub-Diffraction-Limited Optical Imaging with a Silver Superlens». Science 308 (5721): 534-7 (2005).

20. Schurig, D. et al., «Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies». Science 314: 977 (2006).

21. Leonhardt, U. Optical conformal mapping. Science 312, 1777-1780 (2006).

22. Pendry, J. В., Schurig, D. & Smith, D. R. Controlling electromagnetic fields. Science 312, 1780-1782 (2006).

23. Andrea Alu and Nader Engheta, «Plasmonic materials in transparency and cloaking problems: mechanism, robustness, and physical insights», Optics Express, Vol. 15, Issue 6, pp. 3318-3332 (2007).

24. Alu, A. & Engheta, N. Achieving transparency with plasmonic and metamaterial coatings. Phys. Rev. E 72, 016623 (2005).

25. V. M. Shalaev, «Optical negative-index metamaterials,» Nature Photonics 1, 41-48 (2007).

26. P. Alitalo, O. Luukkonen, J. R. Mosig, S. A. Tretyakov. «Broadband cloaking with volumetric structures composed of two-dimensional transmission-line networks». Microwave and Optical Technology Letters, volume 51, number 7, pages 1627-1631 (2009).

27. D. Sievenpiper, Z. Lijun, R. F. Broas, N. G. Alexopoulos, and E. Yablonovitch, "High-impedance electromagnetic surfaces with a forbidden frequency band," IEEE Trans Microw. Theory Tech., vol. 47, no. 11, pp. 2059-2074, Nov. 1999.

28. A.P. Feresidis, G. Goussetis, S. Wang, J.C. Vardaxoglou, "Artificial Magnetic Conductor Surfaces and their Application to Low Profile High-Gain Planar Antennas," IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. 53, No. 1, Jan. 2005, pp. 209-215.

29. George Palikaras, Alexandras Feresidis, «Low-profile high-directivity conformal antennas based on high impedance and EBG metamaterial surfaces», 3rd Metamaterial Congress on Advanced Electromagnetic Materails in Microwaver amd Optics (2009).

30. S. A. Tretyakov and S. I. Maslovski, "Thin absorbing structure for all incident angles based on the use of a high-impedance surface," Microw. Opt. Tech. Lett., vol. 38, no. 3, pp. 175-178, 2003.

31. J. Yang and Z. Shen, "A thin and broadband absorber using double-square loops," IEEE Antennas Wireless Propagat. Lett., vol. 6, pp. 388-391, 2007.

32. В. Г. Веселаго, «Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и /л», УФН, т. 92, вып. 3, с517.

33. D. R. Smith, Willie J. Padilla, D. С. Vier, S. C. Nemat-Nasser, and S. Schultz, «Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity», Phys. Rev. Lett. 84, 4184 4187 (2000).

34. Y. Horii, C. Caloz, and T. Itoh, «Super-Compact Multilayered Left-Handed Transmission Line and Diplexer Application», IEEE Trans. Microw. Theory Techn., 53 (4), 1527 (2005).

35. C. Caloz, Member, and T. Itoh, «Array Factor Approach of Leaky-Wave Antennas and Application to 1-D/2-D Composite Right/Left-Handed (CRLH) Structures», IEEE Microw. Wireless Compon. Lett. 14, 274 (2004).

36. C. Caloz, «Novel metamaterial antennas and reflectors», Proceedings of the Workshop on Metamaterials for Microwave and Optical Technologies, p. 41, San Sebastian, Spain, July 18-20, 2005.

37. J. Sun, W. Sun, T. Jiang, and Y. Feng, «Directive Electromagnetic Radiation of a Line Source Scattered by a Conducting Cylinder Coated with Left-handed Metamaterial», Microw. and Opt. Technol. Lett. 47, 274 (2005).

38. A.K. Iyer and G. Eleftheriades, «Negative-Refractive-Index Transmission line Metamaterials and Applications», Proceedings of the Workshop on Metamaterials for Microwave and Optical Technologies, p. 52, San Sebastian, Spain, July 18-20, 2005.

39. M.A. Antoniades and G.V. Eleftheriades, «Compact, Linear, Lead/Lag Metamaterial Phase Shifters for Broadband Applications», IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, vol. 2, issue 7, pp. 103-106, July 2003.

40. L. Lewin, «The electrical constants of a material loaded with spherical particles», Proc. Inst. Elec. Eng. Part III, Vol. 94, pp. 65-68, 1947.

41. Q. Zhao и др., «Experimental demonstration of isotropic negative permeability in a three-dimensional dielectric composite», Phys. Rev. Lett. 101 (2008), p. 027402.

42. L. Jylha, I. A. Kolmakov, S. Maslovski, S. A. Tretyakov, Modeling of isotropic backward-wave materials composed of resonant spheres», JAP, Vol. 99, 043102, 2006.

43. O. Acher, M. Ledieu, A. Bardaine, F. Levassort, «Piezoelectric disks used as metamaterial inclusions», Appl. Phys. Lett. 93 (2008), p. 032501.

44. В. I. Popa, S.A. Cummer, «Compact dielectric particles as a building block for low-loss magnetic metamaterials», Phys. Rev. Lett. 100 (2008), p. 207401.

45. T. Ueda, A. Lai, and T. Itoh, «Negative refraction in a cut-off parallel-plate waveguide loaded with two-dimensional lattice of dielectric resonators», Proc. EuMC36, Manchester 2006, pp. 435-438.

46. Shibuya, К., и др., «Terahertz metamaterials composed of Ti02 cube arrays», 2nd International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics, Pamplona, Spain, September 21-26, 2008.

47. L. Peng, L. Ran, H. Chen, H. Zhang, J. A. Kong, , T.M. Grzegorczyk, «Experimental observation of left-handed behavior in an array of standard dielectric resonators», Phys. Rev. Lett. 98 (2007), p. 157403.

48. Ильченко М. Е., Взятышев В. Ф., Гасанов и др., «Диэлектрические резонаторы», М.: Радио и связь, 1989. - 328 с.

49. Th. Koschny, L. Zhang, C.M. Soukoulis, «Isotropic three-dimensional left-handed metamaterials», Phys. Rev. B, Vol. 71, 121103 (R), 2005.

50. Philippe Gay-Balmaz, Olivier J. F. Martin, «Efficient isotropic magnetic resonators», Appl. Phys. Lett. 81, 939 (2002).

51. J. D. Baena, L. Jelinek, R. Marques and J. Zehentner, «Electrically Small Isotropic Three-Dimensional Magnetic Resonators for Metamaterial Design», Applied Phys. Lett, Vol. 88, 134108, 2006.

52. Qian Zhao, Ji Zhou, Fuli Zhang, Didier Lippens, «Mie resonance-based dielectric metamaterials», Materials Today, Vol.12, Num. 12 (2009).

53. Мандельштам JI. И., «Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике», М.: Наука, 1972, с. 431.

54. Сивухин Д.В., «Об энергии электромагнитного поля в диспергирующих средах», Оптика и спектроскопия. 1957. Т. 3. С. 308-312.

55. Пафомов В Е ЖЭТФ 36 1853 (1959).

56. Пафомов В Е ЖЭТФ 33 1074 (1957).

57. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Электродинамика сплошных сред», М.: Наука, 1992.

58. John В. Pendry and David R. Smith, «Reversing Light With Negative Refraction», Physics Today, Volume 57, Issue 6, pp. 37-44 (2004).

59. A. Rennings, C. Caloz, M. Coulombe, «Unusual Wave Phenomena in a Guiding/Radiating Clustered Dielectric Particle Metamaterial (CDP-MTM)», Proceedings of the 36th European Microwave Conference, Univ., Duisburg; pp. 439-442, Manchester, Sept. 2006.

60. T. Ueda, A. Lai, T. Itoh, «Demonstration of negative refraction in a cutoff parallel-plate waveguide loaded with 2-D square lattice of dielectric resonators», IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 55 (2007), p. 1280.

61. E. A. Semouchlcina, G. В. Semouchlcin, М. Lanagan,, and С. A. Randall, «FDTD study of resonance processes in metamaterials», IEEE Trans, on MTT, Vol. 53, pp. 1477-148, April 2005.

62. I. A. Kolmakov, L. Jylha, S. A. Tretyakov, S. Maslovski, «Lattice of dielectric particles with double negative response», XXVIIIth General Assembly of International Union of Radio Science (URSI), New Delhi, India, Oct. 23-29, 2005.

63. C. Holloway, E. Kuester, «А double negative composite medium composed of magnetodielectric spherical particles embedded in a matrix», IEEE Trans, on AP, Vol. 51, 2596-2603, Oct. 2003.

64. C.R. Simovski and S. He, «Frequency range and explicit expressions for negative permittivity and permeability for an isotropic medium formed by a lattice of perfectly conducted particles», Physics Letters A, Vol. 311, pp. 254-263,2003.

65. J. Machac, P. Protiva, J. Zehentner, «Isotropic epsilon-negative particles», IMS 2007, pp. 1831-1834, June 2007.

66. J. Zehentner, J. Machac, «Volumetric single negative metamaterials», Proceedings of Metamaterials 2007 Congress, Rome, 22-24 October 2007, pp. 617-620.

67. L. Jelinek, J. Machac, J. Zehentner: A Magnetic Metamaterial Composed of Randomly Oriented SRRs, Proceedings PIERS 2007, Beijing 2007, China, pp. 474-477.

68. E. Verney, B. Sauviac, and C.R. Simovski, «Isotropic metamaterial electromagnetic lens», Physics Letters A Volume 331, Issues 3-4, 18 October2004, pp. 244-247.

69. C.F. Bohren and D.R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley-Interscience, New York, USA (1983).

70. A. Ahmadi, H. Mosallaei, «Physical configuration and performance modeling of all-dielectric metamaterials», Phys. Rev. В 77 (2008), p. 045104.

71. X. Cai, R. Zhu, G. Hu, «Experimental Study for Metamaterials Based on Dielectric Resonators», Metamaterial J., Beijing Institute of Technology, Beijing, 100081 (2008).

72. P. Belov, R. Marques, S. Maslovski, I. Nefedov, M. Silveirinha, C. Simovski, and S. Tretyakov, «Backward waves in a waveguide, filled with wire media», Phys. Rev. В 67, 113103 (2003).

73. I. Vendik, O. Vendik, B. Kalinikos et al., «Research Activity in St. Petersburg Electrotechnical University», Proc. Workshop of Metamorphose Network of Excellence, pp. 24-26, November 2004, Lille Louvain-la-Neuve.

74. J.F. Nye, Physical properties of crystals, Oxford at the Clarendon Press, 1964.

75. N.W. Ashcroft, N.D Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart & Winston, N.-Y., London, 1976.

76. I. Vendik, O. Vendik, M. Gashinova, and I. Kolmakov, «Isotropic Artificial Double Negative Media Composed by Two Different Dielectric Sphere Lattices Embedded in a Dielectric Matrix», Latsis Symposium Proc., p. 108, Lousanne 2005.

77. J.F. Nye, Physical properties of crystals, Oxford at the Clarendon Press, 1964.

78. A. Sihvola, Electromagnetic mixing formulas and applications (IEE Electromagnetic Waves Series 47, The Institution of Electrical Engineers, 1999.

79. О. Г. Вендик, И. А. Пахомов, «Напряженность электрического и магнитного полей в зоне Френеля микроизлучателя, составленного из электрического и магнитного диполей», Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 11.

80. А. П. Виноградов, «Электродинамика композитных материалов» / Под ред. Б. 3. Каценеленбаума. М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 208с.

81. Дж. А. Стрэттон, «Теория Электромагнетизма», пер. М. С. Рабиновича, М., ОГИЗ, 541с. 1948г.

82. I. Vendik, О. Vendik, М. Gashinova, «Artificial dielectric medium possessing simultaneously negative permittivity and magnetic permeability», Tech. Phys. Lett., Vol. 32, pp.429-433, May 2006.

83. I. Vendik, O. Vendik, M. Odit, M. Gashinova, and I. Kolmakov, «Isotropic artificial media with simultaneously negative permittivity and permeability», Microwave and Optical Techn. Lett., Vol. 48, p. 2553-2556, Dec. 2006.

84. I. Vendik, O. Vendik, I. Kolmakov, and M. Odit, «Modeling isotropic DNG media for microwave applications», Opto-Electronics Review, Vol. 14, Num. 3, September 2006,p. 179-186.

85. Jin Au Kong, «Electromagnetic wave theory», EMW Publishing, Cambridge, Massachusetts, 2005.

86. I.B. Vendik, M.A. Odit and D. S. Kozlov, «3D isotropic metamaterial based on a regular array of resonant dielectric spherical inclusions», Metamaterials, Volume 3, Issues 3-4, November-December 2009, Pages 140-147.

87. D. Smith, S. Schultz, P. Markos, and C. Soukoulis, Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients, Physical Review В 65, 195104 (2002).

88. D. Smith, D. Vier, T. Koschny, and C. Soukoulis, Electromagnetic parameter retrieval from inhomogeneous metamaterials, Physical Review E 71, 03667 (2005).

89. E.A. Nenasheva, N.F. Kartenko, O.N. Trubitsina, V.F. Matveichuk, S.N. Sibirtsev and I.M. Gaidamaka, «Tunability and microwave dielectric properties ofBa0-Sr0-Nd203-Ti02 ceramics», Journal ofjke European Ceramic Society 27 (2007), ISSN 0955-2219.

90. O. Sydoruk, O. Zhuromskyy, A. Radkovskaya, E. Shamonina, L. Solymar, Magnetoinductive waves I: Theory, Metamaterail Handbook.

91. E. Shamonina, V. A. Kalinin, К. H. Ringhofer, and L. Solymar. «Magneto-inductive waveguide». Electron. Lett., 38:371-373, 2002.

92. E. Shamonina, V. A. Kalinin, К. H. Ringhofer, and L. Solymar. «Magnetoinductive waves in one, two, and three dimensions». J. Appl. Phys., 92:6252-6261,2002.