Двумерные задачи об установившихся колебаниях и дифракции упругих волн в анизотропных телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДВУМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО ТЕЛА./

§ 1.1. Основные соотношения.

§ 1.2. Экспоненциальные решения уравнений в случае стационарных колебаний упругой среды.

§ 1.3. Представление решений на границе области

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЯХ В ИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 2.1. Построение решения задачи дифракции для пространства с произвольным числом включений криволинейного поперечного сечения

§ 2.2. Колебания бесконечного упругого анизотропного кругового цилиндра.45"

§ 2.3. Дифракция упругих волн на одном анизотропном включении.

§ 2.4. Дифракция упругих волн на двух анизотропных упругих включениях

ГЛАВА 3. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН СДВИГА В МНОГОСВЯЗНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ.

§ 3.1. Дифракция волн сдвига в анизотропном пространстве на анизотропных эллиптических включениях и полостях

§ 3.2. Дифракция волн сдвига на круговой полости в анизотропном пространстве.№

§ 3.3. Дифракция волны сдвига на круговом анизотропном включении в анизотропном пространстве

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ АНИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО ТЕЛА В КОМПЛЕКСНЫХ РЯДАХ.

§ 4.1. Представление решений обобщенного метагар-монического уравнения рядами по комплексным переменным . .12.

§ 4.2. Построение частных решений без особенности для уравнений плоских стационарных колебаний

§ 4.3. Построение решений бесконечной системы разностных уравнений

§ 4.4. Построение частных решений уравнений плоских стационарных колебаний анизотропной среды в комплексных рядах для кольцевой области./5/

§ 4.5. Использование построенных в

§§ 4.2-4. функций при решении граничных задач.

Использование в различных отраслях машиностроения, строительства, приборостроения ряда новых конструкционных материалов, обладающих ярко выраженной анизотропией физико-механических свойств, требует совершенствования методов расчета динамической прочности, анализа волноводных свойств деталей, выполненных из таких материалов. Так, в качестве несущих конструкционных элементов широко используются плиты, пластины и оболочки из композиционных материалов, имеющие сложное геометрическое строение. Совершенствование методов расчета на прочность указанных конструкций обусловливает повышение их надежности и экономичности. На решение этой актуальной задачи нацеливает ряд постановлений Государственного комитета по науке и технике, а также программы научно-исследовательских работ ряда министерств и ведомств.

Таким образом, большую актуальность имеет разработка методов решения и анализ конкретных классов задач динамики анизотропного тела.

Математические методы решения задач динамики деформируемого твердого тела разрабатывали в своих исследованиях В.М.Александров, С.А.Амбарцумян, В.А.Бабешко, В.М.Бабич, А.Г.Багдоев, М.О.Башелейшвили, В.В.Болотин, Г.А.Ванин, И.И.Ворович, Т.Г.Ге-гелия, В.Т.Головчан, Д.В.Грилицкий, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузь, В.И.Гуляев, Н.В.Зволинский, А.С.Зильберглейт, И.Н.Златина,

A.С.Космодамианский, П.В.Крауклис, В.Д.Кубенко, В.Д.Купрадзе,

B.С.Ленский, И.А.Молотков, Л.А.Молотков, В.Н.Москаленко, Ю.В.Не-мировский, Ю.Н. Новичков, Б.М. Нуллер, Г.И. Петрашень, И.Н.Преображенский, В.К. Прокопов, Х.А. Рахматуллин, Г.Н. Савин,

В.И.Сторожев, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинов, Г.С.Шапиро, М.А.Шленев, Н.А.Щульга, а также Аулд, Ахенбах, Масгрейв, Миндлин, Мун, Пау, Тирстен, Холланд и ряд других советских и зарубежных ученых.

Основы современной теории упругости анизотропного тела сформировались в работах С.А.Амбарцумяна, А.С.Космодамианского, В.Д.Купрадзе, С.Г.Лехницкого, Б.Л.Пелеха, Г.Н.Савина, В.С.Саркисяна и др.

Несмотря на актуальность, ряд вопросов исследования динамических процессов в анизотропных упругих телах изучен недостаточно. Сюда, в частности, относятся задачи расчета напряженно-деформированного состояния и частотных характеристик анизотропных плит и пластин сложной геометрии при гармонических упругих колебаниях, а также задачи дифракции упругих волн на различных неоднородностях в виде полостей и включений в упругих анизотропных телах.

Рассмотрим основные результаты исследований, относящихся к указанным областям.

В динамике анизотропных сред изучены, главным образом, явления распространения упругих волн в неограниченных телах. Запросы прикладных наук - сейсмологии, акустоэлектроники, акустической дефектоскопии - обуславливают необходимость исследования фазовых и групповых скоростей распространения волн, изучения форм волновых фронтов от точечных источников и т.д. В монографии [ 68 ] , посвященной систематическому изложению теории упругих волн в анизотропных средах применительно к потребностям сейсмики, обсуждаются вопросы, связанные с общей теорией плоских волн, с распространением волновых фронтов любой природы, с явлениями отражения и преломления волн на границе раздела сред, с описанием волновых полей в рамках нулевого приближения лучевого метода. При этом решения всех задач доведены до алгорит

- 6 мов, допускающих машинную реализацию.

Постановка и методы решения динамических задач для анизотропных упругих сред рассмотрены в работах В.С.Будаева [Щ

• Автором изучаются установившиеся колебания неограниченной анизотропной среды в общем случае ее анизотропии, характеризуемой 21 упругой постоянной, и ставится задача о вццелении на основе принципа излучения единственного определенного во всем пространстве решения для стационарной части смещения частиц среды. Исследуется асимптотика фундаментального решения на бесконечности и формулируются условия излучения, непосредственно переходящие в условия Зоммерфельда в случае изотропной среды, а также теорема о единственности решения неоднородной задачи.

Автором также получено замкнутое решение задачи Лэмба о действии сосредоточенного импульсивного источника на границу ортотропной полуплоскости. Кроме того, построена система частных решений уравнений плоских стационарных колебаний ортотропной среды в виде несобственных интегралов. Исследуется асимптотика решений при % и показывается, что частные решения внешней задачи удовлетворяют условиям излучения типа условий Зоммерфельда, которые гарантируют единственность решения краевых задач.

Задачи динамики для анизотропных упругих пластин рассматривались в работах С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина, И.И.Воровича, В.Н.Москаленко, И.Н.Преображенского, Ю.Н.Новичкова, П.Ф.Сабода-ша, И.Ю.Хомы, Р.Н.Швеца и др.

Результаты этих работ анализируются в обзорных статьях В.М.Бабича, И.А.Молоткова 0] , Э.И.Григолюка, И.Т.Селезо-ва 3 3^ , Б.А.Кудрявцева [53] , И.Н.Преображенского ез-цо] . ВенА Сйшкз [М] » Ъоьмш, [№] .

Из этих статей следует, что главным образом рассматривались задачи динамики анизотропных пластин для областей, границы которых согласуются с упруго-эквивалентными направлениями материала пластин. Задачи динамики прямолинейно-анизотропных пластин,имеющих сложное очертание контура, рассматривались лишь в немногочисленных работах на основании использования вариационного метода, метода конечных элементов или же при дополнительных ограничениях на упругие постоянные пластин.

Так, в работах [сЩЛА,РАА> LiiiSOrii L.E , Sowviiwto^ ,Lauxa РАЛ.[92] на базе вариационного метода определяются собственные частоты прямолинейно ортотропных тонких пластинок круговой и полигональной формы.

Анизотропные кристаллические пластины, используемые в качестве резонаторов в акустоэлектронных устройствах, рассчитывались на прочность методом конечных элементов в работах CoW~ оЫм Mv watis У. R. L891 Щма У.; Matda Н,//атамНШ1

В работе Luiowe А 6 , МШ€1п R.D. L98] определяются собственные частоты тонких прямолинейно анизотропных дисков с одной плоскостью упругой симметрии. Предполагая наличие некоторых зависимостей между упругими постоянными, авторы используют представление поля перемещений Ы^ , V через два потенциала

У . г ■■

Здесь 7[~1 выражаются через упругие постоянные материала дисков. При этом потенциалы У и ^ удовлетворяют уравнениям вида = 0 .

В настоящее время практически отсутствуют работы, посвященные вопросам дифракции упругих волн на анизотропных цилиндрических включениях сложного поперечного сечения в изотропном упругом теле, а также дифракции гармонических упругих волн на неод-нородностях в анизотропной упругой среде.

Большое число задач этого типа рассмотрено для изотропных упругих сред. Сложность используемого математического аппарата не позволяла в течение длительного времени исследовать широкие классы задач с оценкой концентрации напряжений вблизи неодно-родностей в упругих телах. Как указано в монографии Ц38] , до недавнего времени основные достижения были получены в следующих трех традиционных направлениях. Первое направление состоит в получении точных аналитических решений частных задач. Второе направление заключается в сведении широких классов задач к системам многомерных сингулярных и регулярных интегральных уравнений с последующим доказательством существования и единственности решения. Третье направление связано с развитием асимптотических методов решения динамических задач. Однако в рамках указанных трех направлений не достигается одна из основных целей - оценка напряженного состояния среды вблизи неодно-родностей.

Основные результаты, полученные за последние годы, связаны с применением на первом этапе аналитических методов (метода разделения переменных, методов теории возмущений и т.д.), а на заключительном этапе - с использованием ЭВМ.

Наиболее широкий круг дифракционных задач в упругой среде рассмотрен для установившихся волн, когда зависимость от времени выражается множителем £

Одной из первых в этом классе задач была решена задача о дифракции плоской упругой волны на круговой цилиндрической полости. Установлено, что распределение напряжений по контуру полости существенно зависит от частоты упругой волны, а динамические напряжения могут значительно превосходить напряжения в статическом случае,

В задачах установившейся дифракции упругих волн точные решения удается получить только в круговой цилиндрической или сферической системах координат. В случае цилиндрических границ более сложной формы разделение переменных в граничной задаче провести не удается. Одним из эффективных приближенных методов решения краевых задач в случае некруговой цилиндрической границы является метод возмущения формы границы, предложенный А.Н.Гузем. Сущность метода состоит в получении последовательности граничных задач в круговых цилиндрических координатах, при этом в каждом приближении решаются одинаковые однородные уравнения, а поправки входят в граничные условия. Метод развит применительно к областям, внешность которых получается конформным отображением внешности единичного круга при помощи функции

Метод возмущения формы границы был использован В.Д.Кубенко при решении конкретных дифракционных задач. Им исследованы задачи о стационарных колебаниях и дифракции волн в пластине с эллиптическим, квадратным и треугольным отверстием.

Другой подход к решению дифракционных задач для некруговых цилиндрических областей изложен в работе Н.А.Щульги .

Здесь рассматривается уравнение Гельмгольца в области, полученной конформным отображением внешности единичного круга при помощи функции вида

После применения теорем сложения волновых функций автор получает представление решений уравнения Гельмгольца в виде ряда с разделенными переменными р 7 Т . Это дает возможность для цилиндра с произвольным многосвязным сечением свести задачу дифракции к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Этот метод был применен к решению конкретных задач В.И.Колодием [ 45] .

Решение задач дифракции для многосвязных областей связано с применением теорем сложения специальных функций. В работах А.Н.ГУзя и его сотрудников решение этих задач приводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Метод многократных отражений, применяемый в работах иностранных авторов, является частным случаем этого метода.

Методом сведения к бесконечным линейным системам в работе [30] решается задача о дифракции упругой волны на двух одинаковых круговых вьфезах в изотропной пластинке и ряд других задач. Принципиально новым явлением в случае нескольких отражающих поверхностей является наличие "местного резонанса", возникающего в результате наложения волн, отраженных несколькими поверхностями.

Метод, развитый А.Н.Гузем, был распространен на периодические и двоякопериодические задачи дифракции. В работах [31^

НО; 80J £1] получены численные результаты в задачах о дифракции упругих волн на бесконечном ряде круговых вырезов и упругих изотропных включений в пластине. При решении периодических задач обнаружено резкое изменение полей напряжений вблизи точек скольжения, когда

2Ят-(?с*3а±созГ) (*п = 0; ±1,

Здесь У - угол падения волны, сГ - расстояние между двумя соседними вырезами или включениями, - волновые числа пластинки.

В.Т.Головчан, используя метод изображений, решил ряд задач о дифракции сдвиговых волн в телах, содержащих прямолинейные и круговые границы 138]

В настоящей работе рассматриваются новые подходы к решению плоских задач стационарной дифракции упругих волн и установившихся колебаний для анизотропных тел. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во введении дан краткий обзор работ, посвященных решению динамических задач для анизотропных сред, сформулированы цели исследования и кратко изложены результаты, полученные в диссертации.

В первой главе рассматриваются уравнения плоских, антиплоских и изгибных стационарных колебаний анизотропных упругих сред, имеющих в каждой точке одну плоскость упругой симметрии. Строятся экспоненциальные решения этих уравнений, позволяющие решать граничные задачи для конечных односвязных областей. Получены разложения экспоненциальных решений в ряды Фурье по угловой координате на границе области.

Во второй главе экспоненциальные решения используются при исследовании задач о плоских колебаниях анизотропных тел. На основании полученных в первой главе разложений этих решений в ряды Фурье на границе области краевые задачи сводятся к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, которые решаются методом редукции. Рассматривается задача о действии пульсирующей нагрузки на круглый ортотропный бесконечный упругий цилиндр, а также задачи о дифракции упругих волн на одном и на двух анизотропных упругих включениях криволинейного поперечного сечения, находящихся в изотропной упругой среде. Изучено влияние анизотропии включений и других механических и геометрических параметров на концентрацию динамических напряжений на границах раздела сред. С целью проверки достоверности полученных решений проведены сравнения с известными частными случаями, когда включения являются изотропными или отсутствуют вовсе. Установлено совпадение с известными результатами.

В третьей главе рассмотрены задачи об антиплоских колебаниях упругих анизотропных сред. Построено решение задачи о дифракции упругой сдвиговой волны на произвольной системе упругих анизотропных включений и полостей эллиптического поперечного сечения в анизотропной упругой среде. Численные результаты получены для задачи о дифракции упругой сдвиговой волны на круговом анизотропном включении или полости в анизотропной среде.

В четвертой главе для построения частных решений уравнений плоских стационарных колебаний анизотропной упругой среды предлагается метод, отличный от использованного в предьщущих главах.

Частные решения уравнения плоских стационарных колебаний, записанного в векторной форме, разыскиваются в виде рядов по комплексным переменным £ и Е с неопределенными коэффициентами. Для определения этих коэффициентов получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Производя некоторые замены неизвестных, удается свести эту систему к системе с постоянными матричными коэффициентами, решения которой строятся на основании использования методов теории разностных уравнений.

Доказывается сходимость полученных рядов и оценивается быстрота сходимости.

Указана методика решения граничных задач как для односвяз-ных, так и для многосвязных конечных областей с использованием построенных функций. Для некоторых задач проведено сравнение с решениями на базе других методов. При этом установлено совпадение численных результатов.

В заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы.

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. Разработан новый метод для нахождения частных решений уравнений плоских стационарных колебаний анизотропной упругой среды, имеющей в каждой точке одну плоскость упругой симметрии, в виде рядов по степеням комплексных переменных И и Z . Доказана сходимость и оценена быстрота сходимости этих рядов. Указана методика применения построенных функций при решении граничных задач теории установившихся колебаний анизотропной упругой среды как для односвязных, так и для многосвязных конечных областей.

2. Разработана методика использования экспоненциальных решений двумерных уравнений стационарных колебаний анизотропной упругой среды на базе разложения этих решений в ряды Фурье по угловой координате на границе области. При использовании экспоненциальных решений задача о дифракции продольно-сдвиговых волн плоской деформации на произвольной системе цилиндрических анизотропных упругих включений в изотропной упругой среде сведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

3. Численно исследован ряд конкретных задач о дифракции волн плоской деформации. Установлено, в частности, что увеличение жесткости включений в направлении, перпендикулярном направ

- 184 лению распространения падающей волны, приводит к незначительным изменениям в распределении напряжений на границе контакта включения с основным телом, а увеличение жесткости в направлении падающей волны вызывает существенные изменения в распределении напряжений. Изменение ориентации включений по отношению к падающей волне приводит к существенным изменениям максимальных значений напряжений на границе раздела сред (до 70% в рассмотренных случаях).

4. Построена методика решения задач о дифракции упругих волн антиплоской деформации на произвольной системе бесконечных цилиндрических полостей и анизотропных включений эллиптического поперечного сечения, находящихся в анизотропном упругом пространстве .

5. Численно исследованы конкретные задачи о дифракции волн антиплоской деформации. Изменения максимальных значений напряжений на границе раздела сред, вызванные изменением ориентации включения по отношению к падающей волне, достигали 50$. При увеличении анизотропии включения максимальные значения напряжений на границе раздела сред могут как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от длины волны и отношения плотностей включения и основного тела.

- 183 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны новые подходы к решению двумерных задач об установившихся колебаниях и дифракции упругих волн различных типов в анизотропных телах, дана их реализация и описан ряд механических эффектов в динамике упругого тела, обсуловленных влиянием анизотропии его механических свойств.

1. Айнола Л., Нигул У. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. - Изв. АН ЭССР, Сер. физ.-мат. и техн. наук, 1965, 14, № 1. с. 3-31.

2. Александров К.С., Рыжова Т.В. Упругие свойства кристаллов.- Кристаллография, 1961, 6, № 2, с. 63-81.

3. Александрович А.И. Исследование уравнений динамических задач теории упругости с помощью голоморфного разложения.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № I, с. 78-82.

4. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. - 351 с.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. - 268 с.

6. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, 1972. - 216 с.

7. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач. ДАН СССР, 1978, 242, № I, с. 62-65.

8. Бабешко В.А. К теории пространственных контактных задач для анизотропных сред. ДАН СССР, 1981, 256, Ш 2, с. 324-328.

9. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в упругой неоднородной анизотропной среде. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1961, с. 36-46.

10. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругих волн. В кн.: Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М., 1977, т. 10, с. 5-62.

11. Батенькова Е.Ю., Зильберглейт A.C., Нуллер Б.М. Контактные задачи о вынужденных стационарных колебаниях балок на упругой полосе, полуполосе и прямоугольнике. Прикл. мат. имех., 1979, 43, № 5, с. 902-910.

12. Бераха Р.Я. Дифракция сдвиговой волны на цилиндрических полостях в изотропном упругом полупространстве. Акустич. журн., 1974, 20, № 5, с. 779-782.

13. Бердичевский В.Л. Высокочастотные длинноволновые колебания пластин. Докл. АН СССР, 1977, 236, 6, с. I3I9-I322.

14. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамической теории упругих анизотропных сред. Журн. прикл. математики и технич. физики, 1974, № 3, с. I2I-I25.

15. Будаев B.C. Теория плоских волн для упругой анизотропной полуплоскости. В кн.: Упругость и неупругость. М., 1975, вып. 4, с. 86-91.

16. Будаев B.C. Об одном классе решений для системы уравненийв частных производных второго порядка динамики упругих анизотропных сред. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, №5, с. 127-134.

17. Будаев B.C. Единственность решения внешних задач теории упругих колебаний анизотропных сред. Прикладная математика и механика, 1978, 42, вып. 2, с. 340-349.

18. Будаев B.C. Условия типа Зоммерфельда и единственность решения внешних задач теории упругих колебаний анизотропных сред. Прикл. математика и механика, 1979, 43, вып. 6,с. II02-III0.

19. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1949, - 798 с.

20. Вековищева И.А. Динамика пьезоэлектрических кристаллов.- Физ. структуры и свойств тверд, тел (Куйбышев), 1979, }Ь 3, с. 115—125.

21. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.- М. Л., 1948. - 296 с.- 187

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 527 с."

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. - 280 с.

24. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. В кн.: Труды П Всесоюзн. съезда по теоре-тич. и прикл. механике. Механика твердого тела. М., 1966, с. I16-136.

25. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек. В кн.: Материалы I Всесоюзн. школы по теории и числ. методам расчета пластин и оболочек. - Тбилиси, 1975, с. 51-150.

26. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы. Доклады АН СССР, 1979, 245, №5, с. 1076-1079.

27. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. - 319 с.

28. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 376 с.

29. Гиваргизов Е.И. Рост нитевидных и пластинчатых кристаллов из пара. М.: Наука, 1977. - 304 с.

30. Головчан В.Т. Дифракция упругой продольной волны на контурах двух круговых отверстий в бесконечной пластинке. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1969, № 4, с. 60-64.

31. Головчан В.Т. Дифракция продольной волны на бесконечном ряде круговых отверстий в упругой пластинке. Прикл. механика, 1971, 7, № 4, с. 74-81.

32. Головчан В.Т., Гузь А.Н. 0 решении двумерных периодических и двоякопериодических задач теории установившихся колебаний упругих и вязко-упругих тел. В кн.: Волны в неупругих- 188 средах. Кишинев, 1970, с. 57-63.

33. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. В кн.: Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. М., 1973.- 262 с.

34. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. - 284 с.

35. Гузь А.Н. 0 решении второй плоской динамической задачи теории упругости для многосвязных областей. Прикл. механика, 1966, 2, № 8, с. 126-132.

36. Гузь А.Н. 0 решении динамических задач для нескольких параллельных цилиндрических полостей. В кн.: Проблемы механики горных пород. Алма-Ата, 1966, с. 137-144.

37. ГУзь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наук, думка, 1972. - 253 с.

38. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн.- Киев: Наук, думка, 1978. 307 с.

39. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Прикл. механика, 1978, № 8, с. 3-15.

40. Гузь А.Н., Черевко М.А. Дифракция волн сдвига на ряде упругих круговых волокон. Мех. полимеров, 1977, № 2,с. 337-341.

41. Зильберглейт A.C., Златина И.Н. 0 некоторых общих представлениях решения динамических уравнений теории упругости.- ДАН СССР, 1976, 227, № I, с. 71-74.

42. Зильберглейт A.C., Нуллер Б.М. Обобщенная ортогональность однородных решений в динамических задачах теории упругости. -Докл. АН СССР, 1977, 234, № 2, с. 333-335.

43. Каландия А.И., Лурье А.И., Манджавидзе Г.Ф., Прокопов В.К., Уфлянд Я.С. Линейная теория упругости. В кн.: Механика в

44. СССР за 50 лет. М., 1972, т.З, с. 4-70.

45. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. ~ М. Л.: Гостехиздат, 1949. - 695 с.

46. Колодий В.И. Дифракция волн на эллиптической полости.- Прикл. механика, 1979, № 2, с. 102-104.

47. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. - 192 с.

48. Космодамианский A.C. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. Киев: Вища школа, 1976.- 200 с.

49. Космодамианский A.C., Ободовский Л.В., Сторожев В.И. Дифракция упругих волн на анизотропных цилиндрических включенияхв многосвязных средах. Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, № 10, с. 38-41.

50. Космодамианский A.C., Ободовский Л.Б., Сторожев В.И. Действие упругой волны в изотропном теле с рядом криволинейных анизотропных включений. Докл. АН УССР, Сер. А, 1981, № 10, с. 35-39.

51. Космодамианский A.C., Ободовский Л.В., Сторожев В.И. Дифракция сдвиговых волн в анизотропном многосвязном теле с одной плоскостью упругой симметрии. ДАН УССР, Сер. А, 1983,4, с. 48-51.

52. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Плоские и пространственные граничные задачи динамики анизотропного тела. В кн.:- 190

53. Школа-семинар "Теория упругости и вязкоупругости". Тезисы докладов. Ереван, 1982, с. 31-32.

54. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов.-В кн.: Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М., 1978, т. II, с. 5-66.

55. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчулад-зе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 663 с.

56. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. - 432 с.

57. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М. - Л.: Гостех-издат, 1947. - 356 с.

58. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 415 с.

59. Ложкин В.Н. Динамика пьезокристаллических пластин. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1980, 33, № 2, с. 47-54.

60. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.

61. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - Т. 2, 886 с.

62. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. - 320 с.

63. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

64. Ободовский Л.Б., Сторожев В.И., Черник В.И. Динамические напряжения в кристаллических анизотропных цилиндрических телах. В кн.: Теоретическая и прикладная механика. Киев- 191 -Донецк, 1982, вып. 13, с. 132-135.

65. Ободовский Л.Б. Интегрирование двумерных уравнений динамики анизотропного упругого тела. Донецк, 1983. - 61 е., ил. - Букопись представлена Донецким университетом. Депонирована в ВИНИТИ 27 января 1983 г., № 474-83.

66. Ободовский Л.Б. Дифракция сдвиговых упругих волн на эллиптическом анизотропном включении. В кн.: Теоретическая и прикладная механика. Киев-Донецк, 1983, вып. 14, с. 83-87.

67. Ободовский Л.Б. Дифракция волны расширения на двух орто-тропных включениях произвольного очертания. В кн.: Республиканский научн.-техн. симп. "Концентрация напряжений". Тезисы докладов (Донецк, 31 мая - 2 июня 1983 г.). Донецк, 1983, с. 141.

68. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. - 280 с.

69. Преображенский И.Н. Динамические задачи теории тонкостенных элементов несущих конструкций, ослабленных вырезами.- Проблемы прочности, 1980, № 5, с. 82-90.

70. Преображенский И.Н. Динамические задачи теории тонкостенных элементов несущих конструкций, ослабленных вырезами.- Проблемы прочности, 1980, № 6, с. 99-108.

71. Преображенский И.Н., Шасалимов Ж.Ш. 0 колебаниях пластинок с вырезами из композитных материалов. Механ. композитных материалов, 1981, № 5, с. 797-801.

72. Преображенский И.Н., Шасалимов Ж.Ш. Влияние граничных условий на частоты собственных колебаний ортотропных прямоугольных пластинок с вырезами. Механ. композитных материалов, 1982, № I, с. 68-72.

73. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. - 800 с.- 192

74. Самарский A.A., Г^лин A.B. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973. 416 с.

75. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

76. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. Успехи физ. наук, 1961, 74, вып. 2, с. 303-352.

77. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. Успехи физ. наук, 1961, 74, вып. 3, с. 462-520.

78. Хома И.Ю. 0 динамике толстой двухслойной ортотропной пластины. В кн.: Динамика пространственных конструкций. Киев, 1978, с. 74-77.

79. Черевко М.А. Рассеяние плоской изгибной волны на бесконечном ряде круглых вырезов в пластине. Прикл. механика, 1974, 10, № 9, с. II8-I2I.

80. Черевко М.А. Дифракция продольных волн на ряде упругих круговых включений. Прикл. механика, 1978, 14, № 2, с.67-72.

81. Швиданенко A.M. Исследование дисперсии упругих волн в волокнистых двоякопериодических средах. Рига, 1973. - 7 е., ил. - ^копись представлена редколлегией журнала "Механика полимеров". Депонирована в ВИНИТИ 28 мая 1973 г., № 6179-73.

82. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.- М.: Наука, 1977. 399 с.

83. Шульга М.О. До розв'язку р1внянь Гельмгольца в кривол1н1й-них координатах. Доп. АН УРСР, Сер. А, 1968, № 10,с. 916-919.- 193

84. Шульга Н.А., Колодий В.И. Дифракция SH волн на некруговой цилиндрической полости. - Прикл. механика, 1981, № 3, с. I29-I3I.

85. AuloL В. A. AcjocoóÜc аио( 1ÁÜU4 ш soU*. Ml*

86. П. М ClcMsh W. MihcdiOH 4 ccymf>oiíitdwAÍbiMA. л foictni Acfor. Struct. V

87. Pap. Ink Souílanfíonsj 1Qg0? hot л"

88. Soniicmpiorv? {980j p. 695-Ш.

89. El lost S. IC.? Hal A- Ю. Elecáüc шиш ш со jfóvt- 4JLtnjjOW¿cl CX)M¡)OSií¿. У- H-tcls. md Soiled, 1W , ЛА; № , p ■ Л11-ЯМ.

90. Cmcbwtf д Wílk y. a. A^caUm íLjthAk Ásfltod miio¿ ío éU uSwdcoüy ef-(yicutlí ¡>taká. Ácqcoíí. Soc. Awvl.}5~6j A/" 1j ¡>.94-9*.so. Dclííq S. Ю. Vb¡¡tacícm в-f SH- гьссШ an.

91. Miotic depile ajlímÁMs. Id. У. Sol'cLj шс1 p. m-133.

92. Sí Dctiia SX. ptwpagcdíoiAs 9$- SH- маШ cu fíht шуфы&сС ехшрмЖг. 1MÍ(Í elliptic, t^mktcaí {¡ьЬм. - 1hjclm. AME,j f>- 16Г-1М.9â. t>oiC№C¿ M. i. VikaUoyu oj¡- pUio-tàdtic VUjlbdi. lui. J. Scl.} 198о} ь-. iS3 /i/'ЗЛ p.Wi-M.

93. S3, (гш^ í. R motion, ш zieutai soùch

94. Oxfptclj ClwayuloH/ Рим, {9ï5. fi.3k Gœwuub U. bíe, ^с^шо^&ссумршcL&wfr dw Ьок Mcduoc. иоик/

95. Ko W L. ScatimKfy &Ц- tivui шьш êy CL ïiwuJtaMs eJjculùc оу{лу1с(М/ ^mîtcLckci ш (Ш elcutîc YYUuUvLm. Тъанл. ASMÇ /9Мp- 35-57

96. Ю1. Mooy\ F. c. ScccU-VtLhjf VrCÁ/bU êy ^ cg&n/bu>~ Cdl pCZ-iOvlsLct^UC incivLSLOHs. y. AcOÜUjt. Soc.

97. Amt., то, M, Rvtèjt 9f>. ¿гз-жл. Ш. MusytawL М У Р- Ощ-sbl cMüuóitM. JuiwcUdioyi io ifuL síusdy dcojtic ШсШ crncùlvxtioM Cil с щ liai s. Sa к Рши<и>1со;f9Ï0. M8f>.m. Pcw y.H.j cicwC.C. Dij^adcon ef (¡hxuml-bbtcw Ц cl ccvuty lu m dcojiiz picdt.

98. AI A A Уошш1/ i a, y- цг p. in*- isa.т. Раю у. H., Mo-Ur С. С. pi^tojrtious ¿IojÍlcпшьы cvncl cl^nctmc sitifo ccnmHcdí<m.

99. A/uùr Í913- ~ 685f>. m. Pollmd H F Soimcl Игамл ¿n soû'cis. -London, 3 p.f06. Таи T. H. Vi^tacétoit efj- icmt {twinwnic dcutit 1MMJ 1ч шкш1мса1 cíiiajcJ&4. -Äfft Su. Ил-штЛ; №6,33, M-<2, p.W-Щ.