Фундаментальные решения для анизотропной среды и их приложения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Колосова, Елена Михайловна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ростов-на-Дону
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
-&14&)
КОЛОСОВА Елена Михайловна
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ииЗ 1В 15 1"7
Ростов-на-Дону - 2007
003161517
Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
профессор Ватульян Александр Ованесович
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор Селезнев Михаил Георгиевич
доктор физико-математических наук, профессор Ляпин Александр Александрович
Ведущая организация Институт проблем механики РАН, г. Москва
Защита диссертации состоится «6» ноября 2007 г в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212 208 Об по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, ул Мильчакова 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд 211
С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148.
Автореферат разослан «4» октября 2007 г
Учёный секретарь диссертационного совета
Боев Н В
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Задачи об оценке напряженно-деформированного состояния упругих анизотропных тел при установившихся колебаниях представляют собой важную задачу механики деформируемого твердого тела Учет анизотропии продиктован физическими свойствами сталей, композитов, кристаллов, биологических тканей, грунтов и горных пород Среди современных вычислительных технологий, позволяющих анализировать подобные задачи, отметим методы конечных и граничных элементов
Среди современных методов численного анализа методу граничных элементов МГЭ (или ВЕМ в зарубежной литературе) принадлежит особое место Благодаря своим достаточно простым математическим формулировкам и очевидному физическому содержанию МГЭ является эффективным и очень распространенным методом решения различных задач математической физики, механики сплошной среды, важной особенностью которого по сравнению с методом конечных элементов является снижение размерности задач на единицу. В исторической основе этого метода лежит классическая теория потенциала, позволяющая сводить решение задачи к решению граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности Дальнейшая процедура дискретизации этих интегральных уравнений при помощи разбиения границы на элементы, последующая аппроксимация неизвестных функций на элементе и выполнение уравнений в наборе точек приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений относительна узловых значений неизвестных
Ключевым моментом при практической реализации классического метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) является построение фундаментальных решений Однако, в случае установившихся колебаний для сред, не обладающими свойством сферической симметрии (анизотропия различного типа), возможно их построение в виде многомерных интегралов Фурье, однако в явном виде через элементарные и специальные функции их
получить не удается, что в значительной степени снижает эффективность применения метода ГЭ, поскольку процедура дискретизации требует вычисления кратных интегралов.
Таким образом, дальнейшее развитие метода граничных элементов и вычислительных технологий на их основе применительно к анизотропным средам требует построения интегральных представлений фундаментальных решений для анизотропной среды, корректного сведения краевых задач теории упругости о колебаниях анизотропных тел к системам интегральных уравнений, построению эффективных вычислительных схем на основе гранично-элементных аппроксимаций, которые бы позволили анализировать новые задачи, в том числе и о концентрации напряжений около отверстий
Цель работы состоит в построении и исследовании нового представления фундаментальных решений для анизотропной среды в случае установившихся колебаний (в плоском случае), которое удобно при численном анализе, в корректной формулировке систем ГИУ, развитии МГЭ и их применении при решении конкретных задач об установившихся колебаниях анизотропной среды, в частности, для бесконечной плоскости с полостью
Методика исследований основывается на сведении поставленных задач к граничным интегральным уравнениям на основании теоремы взаимности и новом представлении фундаментальных решений для ортотропных и неортотропных материалов, на сведении ГИУ к системам линейных алгебраических уравнений, при формировании матриц которых требуется вычислять лишь однократные интегралы
Достоверность результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении задач об установившихся колебаниях анизотропной среды с полостью к системам граничных интегральных уравнений, на разработке техники разрывных ГЭ, сравнением результатов, полученных в работе, с известными частными случаями
Научная новизна работы определяется построением и исследованием нового представления фундаментальных решений в случае установившихся колебаний анизотропной среды (в плоском случае), разработке эффективной вычислительной схемы решения задач на основе гранично-элементных аппроксимаций специального вида
Практическая ценность результатов исследования состоит в разработке методов решения задач о колебаниях анизотропных упругих тел при наличии полостей произвольной формы
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII, VIII, IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001, 2002, 2005, 2006 гг), на VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2004 г.), на Ш Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (Донецк, 2005 г ), на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 1 статья [6] в журнале «Прикладная механика и техническая физика», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации Список публикаций приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 179 наименований, приложения из 17 рисунков и 1 таблицы, .общим объемом 136 страниц машинописного текста " - >
; 1 . с
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение содержит обзор литературы по методу граничных элементов и краткую аннотацию всех глав диссертации
Отметим, что технология МГЭ в своей основе опирается на метод граничных интегральных уравнений и восходит к классическим работам И Фредгольма для краевых задач для уравнения Лапласа и В Д Купрадзе для уравнений теории упругости Возможности численной реализации систем ГИУ существенно расширились в современное время благодаря идеям конечномерных аппроксимаций Современная библиография МГЭ обширна Опубликованы многочисленные научные и специальные работы, учебники и монографии, в которых изложены теоретические основы метода и различные аспекты его применения Среди многих монографий, посвященных различным аспектам метода граничных элементов, отметим работа Т. Крузе и Ф Риццо, П Бенерджи и Р Баттерфилда, К Бреббия, Ж. Теллеса и Л Вроубела, А Г Угодчикова и H M Хуторянского, ВЗ. Партона и П.И.Перлина, Trevor G Davies and Xiao-Wei Gao, Federico Pans and José Cañas, Prem К Kythe
Построению фундаментальных решений в динамической теории упругости и их исследованию посвящены работы MA Алексидзе, В.А Бабешко, МО Башелейшвили, AB.Белоконя, ТВ Бурчуладзе, А О Ватульяна, Т Г Гегелиа, П С. Диневой, А В Капцова, С В Кузнецова, В Д Купрадзе, А А Ляпина, А В Наседкина, Д.Г Натрошвили, Т В Рангелова, В И Сторожева, J D Achenbach, D Gross, G D Manolis, С Y. Wang и многих других авторов
Первая глава диссертации посвящена построению интегральных представлений фундаментальных решений в плоских задачах для ортотропного и общего анизотропного случая в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку В первом параграфе изложена постановка различных типов задач об установившихся колебаниях ортотропной упругой среды в условиях плоской деформации, компоненты вектора перемещения имеют вид (м1(Х|,л3),0,м3(л:1,Хз)) и после отделения временного
множителя е'ш уравнения колебаний представимы в форме
qi"ui +C55"i,33 +(c13 +с55)м313+/, + pa\ = 0, ^
С55н3
,11 + ^ззмз,зз + (С,з + С55 )Mj ,з + /3 + ра> щ - 0, где /j, /3 - массовые силы, Сп, С13, С33, С55 - упругие постоянные материала, р - плотность, а - частота колебаний
Сформулированы постановки задач об установившиеся колебаниях конечных ортотропйых тел (задача 3), ортотропной плоскости с полостью, свободной от нагрузки, находящейся под действием либо падающего поля (задача 1) либо сосредоточенного источника (задача 2) , ,
Замыкают постановку задач (1,2) условия излучения на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения
Во втором параграфе на основе интегрального преобразования Фурье построено представление фундаментальных решений для ортотропной плоскости в виде двукратного интеграла и исследованы кривые полярных множеств
Под фундаментальными решениями системы (1) будем понимать функции Ujm\x,g), удовлетворяющие (1) для /, = S(x-^)S,m и условиям излучения на бесконечности
LVU^ + pw2U<"> + S(x - = 0, (2)
где <У(х-|г) = <У(х]-^1)<?(д:з-#з), г = 1,3, /и = 1,3,
£у - дифференциальные операторы в частных производных с постоянными коэффициентами
Ai = Сн^? + С55^з> ¿зз== + С33дj,
д (3)
аз = ¿31 = (с13 +С55)дуд3, 7 = 1>3
При помощи двумерного преобразования Фурье в рамках принципа предельного поглощения получено следующее интегральное представление фундаментальных решений
тЛт), е гч 1 (гРАа1>«3>Ю)
х ехр[г(ог, - )+ а3 (£, - х3 ))]йЦй?аг3,
гДе - однородные полиномы второго порядка, р0(а1,а3,а>) -
однородный полином четвертого порядка по аиа3,т, Г - поверхность, совпадающая с вещественной плоскостью Я2, за исключением окрестностей множества нулей полинома р0(а1,а3,со), которые она огибает в соответствии с условиями излучения.
Исследовано множество вещественных нулей полинома р0(а1га3,а))
Осуществлен переход к безразмерным координатам а} = к@],к-со
' р V'2
кСГз) '
С С С
/1 =—=——,уп = —<— и в полярную систему координат Д = ¡Зсоъ<р, С33 С33 С33
Р3 = /Зът<р Множество нулей представляет собой две замкнутые
непересекающиеся кривые, которые обладают симметрией относительно обеих
координатных осей Внутренняя кривая ^ (<р) для любого материала выпуклая,
а возможное число точек перегиба на внешней кривой £г(<р) равняется 8, 4 или
О На рис 1 приведены графики кривых для различных материалов,
иллюстрирующие эти случаи
Рис 1
Третий параграф посвящен преобразованию представления фундаментальных решений вида (4) к более простому виду Представление (4)
малопригодно для практического использования, поэтому оно упрощено на основе анализа свойств подынтегральных функций и контурного интегрирования и преобразовано к интегралу по конечному отрезку [0, гг]
^"»(гсю^гипцО = -±— (Ч (г, <Р, Ч>Ш, (5)
2л С33 0 к=1 А(<р)
Г2 (г) = -у е1'2' - (сЭД сов(г| + 8ш|г|),
от2
Ч(.г,<Р,Щ) = кгСк(<р)аМр-Щ), к2 = — ,
сзз
где 31(7), ы(у) - интегральные синус и косинус
Интегральные представления (5) обладают свойствами п -периодичности, четности при ] = т и нечетности при по полярному углу у/
В четвертом * параграфе ' исследована ' структура фундаментальных решений (5) при малых и больших значениях безразмерного параметра кг с использованием асимптотики специальных функций и асимптотических методов Главный члён асимптотики фундаментальных решений (5) при кг-*О имеет логарифмическую'особенность, такую же; как и в изотропном случае Для построения асимптотики интегральных представлений (5) при кг —> +<» применен метод стационарной фазы Для этого были изучены стационарные точки фазовых функций в (5) и построены их зависимости от полярного угла у/ Главная часть асимптотики при кг-*-но фундаментальных решений (5)
с
представлена в виде . £
| 2
и^{гй05у/,пту/) = -рд ^ Ам (у/) ехр[йг5А (у/)], у/ е {щ,у/г), (6)
1 4 >■ -4 и{р(го.оъ\1г,гч\щ/) = £А]тк(у)ехр^/Ь"^(у/)], у/ е (у/х,у/2), (7)
где * ' ~ -
,,,[21 I 1 ~а1}т(<Р>Р(У)) лп _„, .
= —--—ехр[— зёп (у/), у)}
"я4СэзМ, 4
- амплитуды,
^(И = С^ПЧ'))™^? (¥)-¥),
= (^»см^&йО-уО, * = 2,3,4
- фазы колебаний.
Направления при у/-ц>х и у/ = у/2 назовем критическими, и асимптотика в этих случаях состоит из трех слагаемых, главные члены для двух из которых убывают как {кг)'112, третье соответствует кратной стационарной точке и главная часть для него убывает как (кг)~из.
На основе детального анализа асимптотики фундаментальных решений при кг +со представлена структура волнового поля в ортотропной среде в дальней зоне от действия сосредоточенной силы. Показано, что в разных зонах изменения угла у/ имеется различное число распространяющихся мод колебаний Например, для материала типа сегнетовой соли в первой и третьей зонах имеется две упругие волны, во второй зоне - четыре волны, вдоль
В пятом параграфе получены представления фундаментальных решений в общем случае анизотропии в виде однократного интеграла по конечному
отрезку, которые аналогичны (5). Здесь нули характеристического полинома уже имеют три компоненты и соответственно суммирование идет от 1 до 3
В шестом параграфе проверено совпадение асимптотик интегрального представления фундаментальных решений вида (5) при больших и малых значениях кг в предельном случае изотропного материала с соответствующими асимптотиками известных представлений фундаментальных решений, выраженных через функции Ханкеля
Вторая глава посвящена формулировке на основе теоремы взаимности систем граничных интегральных уравнений, описывающих установившиеся колебания упругой анизотропной плоскости с полостью или конечного анизотропного тела В первом параграфе получены две системы граничных интегральных уравнений; первая описывает колебания анизотропной плоскости с полостью произвольной формы от действия падающей плоской Войны, вторая - от действия сосредоточенной силы
Первая система ГИУ для нахождения поля перемещений отражённого поля имеет вид 1
\и°:р{у)+чр \о%\х,у)пк{х)иГ(х)Лх = Рт{у) (8)
1 >о
где
РШ(У) = - \<7™Чх)щ{х)и1т\х,у)с11х , ),т = 1,3, у е /0,
¡0
причём интегралы в (8) понимаются в смысле главного значения по Коши, а^\х,у) - компоненты тензора напряжений (сингулярные решения), которые определяются на основе фундаментальных решений и обобщенного закона Гука
Вторая система ГИУ для нахождения поля перемещений получена в виде ±ит(у) + ур \<7%\х,у)пк(х)иХх)с11х =р,и!т)(х°,у), /,»1 = 1,3, ув10, (9)
где р, - проекции сосредоточенной силы, приложенной в точке с координатами
(Х1 >х3 )
Второй параграф посвящен получению системы ГИУ в смешанной задаче
Ч!<" ' ' Г У ! I
об установившихся колебаниях конечного анизотропного тела, занимающего односвязную область, ограниченную гладким контуром /0
> - <- > ч! 1 I ц -
Получена система ГИУ относительно компонент вектора перемещения на части контура 10а. и компонент вектора напряжения на /0„
+ \а^(х,у)п^х)и,{х)<Их+гр ¡аг^\х,у)п^х)и,0(х)(11х =
'о, ки (10)
= \р,ои^{х,у)сИх+ ¡а^х^п^и^^сП,, Ьт = 1,3.
Ь <Т ки
В третьем параграфе сформулированы граничные уравнения, наиболее приспособленные к изучению проблемы концентрации напряжений в анизотропной среде с отверстием под действием падающего поля Получена система интегральных уравнений относительно и°™р (х) |/о
¡[Кп(х,у)игр(х) + Кп{х,у)и°тр(х)]пх = аю(у)
(х,у)иГ(х) + (х,у)иТР(х)\их = о-;(у) (уе1о) (П)
'о
и выражение для с™р(у), уе1йъ виде
«СОО-^ОО- (*,У)и°трМ + К3(х,у)иТ"(х)\их (12)
'о
В третьей главе осуществлена дискретизация систем ГИУ (8)-(9), (11) на основе метода, рращчных элементов и проведен анализ численных результатов В первом параграфе рассмотрен вопрос о сведении систем граничных интегральных уравнений,, (8)-(9) к системам линейных алгебраических уравнений Для аппроксимации контура 10 использованы линейные элементы Число их выбиралось таким образом, чтобы на длину волны приходилось не менее 8 элементов Считалось, что неизвестные на элементе постоянны, что характерно для разрывных граничных элементов Для сведения ГИУ к
решению алгебраических систем использовался метод коллокаций Системы ГИУ (8)-(9) сведены к системам линейных алгебраических уравнений (13)-(14)
\<р -РЛуР), (13)
£ п=\
где
рт(уР)=-ТАшМ<кад(уР)щ>
<И
Ат1р11 = ¡и^(х,ур)с11х,
1ч
кт = КЧ*,^)«//*. 1 я
~ит(Ур)+1[;Вшрчищ = Рт(Ур)> (14)
1 <И
Благодаря использованию линейных элементов удается осуществить в явном виде интегрирование по прямолинейному элементу и коэффициенты алгебраических систем Атт и Вт/Щ представить в виде однократных интегралов по конечному отрезку [0, я-]
где
А =__1 "г 1 у
тт 2я2С33/с :0А0((р)^Ск(<Р)-V,)
я ^ 1 *Г 1 тМ^У
, х К {к2+рф (<р))~ Г2 (кГрф {<р%1(р, где введены следующие функции своими Интегральными представлениями
(15)
(16)
Показано, что введенные функции выражается через известные специальные функции следующим образом
F\ 00 = - (я | z | sin | z | -si I г | cos | z |)]sgn(z),
F2 (z) = у е'и - (ci I z I cos I z I +si | z | sm | z j).
Полученные представления коэффициентов (15)-(16) удобны при численной реализации, поскольку подынтегральные функции в представлениях коэффициентов Втрц в отличие от классического метода ГЭ имеют не
сингулярные, а всего лишь логарифмические особенности
Второй параграф посвящен дискретизации системы ГИУ (8) с применением сплайн-аппроксимации, приведен вид коэффициентов системы в виде однократных интегралов по конечному отрезку Третий параграф посвящен дискретизации системы ГИУ (11).
В первой части четвертого параграфа представлен вид коэффициентов Bmlpq, учитывающих конкретное расположение особенностей на интервале
интегрирования и приспособленный к вычислению на основе квадратурных формул В этом представлении коэффициентов В логарифмические
слагаемые выделены и далее преобразованы таким образом, что позволяет упростить процедуру численного интегрирования Это представление использовалось всегда, кроме тех частных случаев, когда расстояние между особенностями подынтегральной функции в (16) мало (сближающиеся особенности) В этом случае необходимо применять другие расчетные формулы, при выводе которых учитывалась асимптотика подынтегральных функций в (16)
Во второй части описана численная реализация в случае задачи 1 и задачи 2 Вычисление коэффициентов Атт,
а тшсже &mpq после проведения процедуры выделения логарифмических особенностей, проводилось на основе
квадратурной формулы Симпсона. Полученные линейные алгебраические системы для нахождения узловых значений компонент поля перемещений хорошо обусловлены и решались численно методом Гаусса с выбором главного элемента Представлены результаты, иллюстрирующие внутреннюю сходимость численного алгоритма метода при малых {к - 0 1), средних (к = 1) и больших {к = 5) значениях волнового числа к в случае круговой полости единичного радиуса На рис.3 для материала с упругими постоянными, соответствующими кристаллу сульфйодида сурьмы, приведены графики вещественных и мнимых частей компонент отраженного поля перемещений при количестве элементов N равных 20,40, 60 и 80 для волнового числа к = 1 в случае задачи 1.
КеОС)
-02 -0-4-06 -03 -1 -1,2
1т«р)
Рис 3
На рис.4 приведены графики вещественных и мнимых частей компонент поля перемещений при количестве элементов N равных 10, 20, 30 и 40 для волнового числа & = Г в случае "задачи 2 При этом тип падающего поля и сосредоточенной сйяьг'схематично изображены внизу рисунков Результаты проведенного численного исследования, иллюстрирующие внутреннюю сходимость метода, для эллиптической полости в виде графиков вынесены в приложение
Re(u3)
Ini(llj )
1и1(«з)
i I
©
— N=10
— N=20
— N=30
— N=40
Рис 4
В четвертой главе йсследуется вопрос о концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия свободного от напряжений В первом параграфе исследование основывается на асимптотическом подходе и методе комплексных потенциалов С Г Лехницкого Во втором параграфе на
основе интегрального представления фундаментальных решений (4) полз'чено интегральное представление напряжения адд.
В третьем параграфе исследуется вопрос о концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия в случае задания плоской волны. На основе узловых значений перемещений, посчитанных на основе МГЭ, реализация которого изложена в третьей главе, и сплайн-аппроксимаций численно реализован алгоритм вычисления динамического коэффициента концентрации напряжений ат / <т0.
Для оценки точности результатов построены зависимости мнимой и действительной составляющей аю / <т0 для изотропной среды на контуре отверстия от волнового числа ка для значений коэффициента Пуассона V = 0.15; 0.45. На рис.5 (а - действительная составляющая, б - мнимая составляющая) приведены графики для точки в-л, сплошной линией отображены графики из монографии А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко и М.А. Черевко «Дифракция упругих волн» (Киев, Наукова думка, 1978 г.), штрихпунктирной -построены на основе МГЭ. Результаты свидетельствуют о достаточно точной схеме расчета напряжения авв.
+ 1
6
Рис.5
- сульфйодид сурьмы
....... германий
- парателлурит
Рис.6
Построены зависимости динамического коэффициента концентрации напряжений авв /ст0 от угловой координаты ве[0,л] при малых (к = 0 1), средних (к = 1) и больших (к = 5) значениях волнового числа к. На рис.6 приведены графики зависимости действительной и мнимой части авв / а0 от угловой координаты на круговой полости единичного радиуса для волнового числа к = 1 для трех ортотропных материалов, из которых можно определить углы, в которых достигается максимум соответствующих характеристик
В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Построены новые интегральные представления фундаментальных решений для ортотропной и произвольной анизотропной среды при установившихся колебаниях в плоском случае 2 Исследованы асимптотики фундаментальных решений для ортотропной
среды в ближней и дальней зонах 3. На основе построенных фундаментальных решений сформулированы системы ГИУ для решения краевых задач для конечных ортотропных тел и для плоскости с полостью произвольной формы
4 С помощью идеологии метода граничных элементов разработаны алгоритмы и программы расчета волновых полей в ортотропной среде с полостью произвольной формы, причем для формирования линейных систем требуется вычислять лишь однократные интегралы с особенностями не сильнее логарифмических
5 Исследованы вопросы концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия при установившихся колебаниях
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
(фамилия соискателя Колосова ЕМ — после вступления в брак, Чебакова ЕМ -до вступления в брак)
Чебакова Е.М Об одном представлении фундаментальных решений для ортотропной среды // Современные проблемы механики сплошной среды Труды VII Междунар конф памяти академика РАН ИИ Воровича, Ростов-на-Дону, 22-24 октября 2001 г Т 2 Ростов-на-Дону Из-во ООО «ЦВВР»,2002 С 159-163
Чебакова Е М Колебания ортотропной среды с полостью произвольной формы // Труды аспирантов и соискателей Ростовского Государственного Университета Т VIII Ростов-на-Дону, 2002 С 23-25 Чебакова ЕМ О реализации МГЭ в задаче о колебаниях ортотропной плоскости с полостью // Современные проблемы механики сплошной среды Труды VIII Международной конференции, Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002 г Т 2. Ростов-на-Дону «Новая книга», 2003 С 204-208 Чебакова Е М О применении метода стационарной фазы к построению асимптотик фундаментальных решений для ортотропной среды // Труды аспирантов и соискателей Ростовского Государственного Университета Т IX Ростов-на-Дону, 2003. С 51-53
2
3
5 Ватульян А О, Чебакова Е.М Об одной модели исследования концентрации напряжений при колебаниях ортотропной среды с отверстием // Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Кисловодск, 2004 С 19-20
6 Ватульян А О, Чебакова Е М Фундаментальные решения для ортотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Прикладная механика и техническая физика 2004 Т 45, №6 С 131-139.
7 Ватульян А О., Чебакова Е М Фундаментальные решения для анизотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Теоретическая и прикладная механика 2005 Вып 40 С 174-178
8 Ватульян А О , Чебакова Е М О новых граничных уравнениях в задачах о концентрации напряжений // Современные проблемы механики сплошной среды Труды IX Междунар конф, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН ИИ Воровича, Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г Т. 2 Ростов-на-Дону Из-во ООО «ЦВВР», 2006 С 52-56
9 Колосова Е М Исследование колебаний ортотропной среды с полостью на основе метода ГИУ // Современные проблемы механики сплошной среды Труды X Междунар конф, Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г Т 1 Ростов-на-Дону Из-во ООО «ЦВВР», 2007 С 167-171
Издательство «ЦВВР» Лицензия ЛР № 65-36 от 05 08 99 г Сдано в набор 2 10 07 г Подписано в печать 2 10 07 г Формат 60*84 1/16 Заказ №870 Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Оперативная печать Тираж 100 экз Печ Лист 1,0 Уел печ л 1,0 Типография Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валеологии
«Южный федеральный университет» 344091, г Ростов-на-Дону, ул Зорге, 28/2, корп 5 «В», тел (863) 247-80-51 Лицензия на полиграфическую деятельность К» 65-125 от 09 02 98 г
Введение.
Глава 1. Фундаментальные решения в плоской задаче для анизотропной среды и их исследование.
1.1 Постановка задач об установившихся колебаниях ортотропной среды.
1.2 Фундаментальные решения для ортотропной среды и исследование кривых полярного множества.
1.3 Интегральное представление фундаментальных решений для ортотропной среды и его исследование.
1.4 Асимптотика фундаментальных решений для ортотропной среды в дальней и ближней зонах.
1.5 Фундаментальные решения для анизотропной среды в общем случае анизотропии.
1.6 Сравнение с фундаментальными решениями для изотропного случая.
Глава 2. Формулировка систем граничных интегральных уравнений для плоских задач анизотропной теории упругости в случае установившихся колебаний.
2.1 Формулировка систем ГИУ в перемещениях для анизотропной среды с полостью.
2.2 Формулировка системы ГИУ для конечной анизотропной среды.
2.3 Формулировка системы ГИУ для задач о концентрации напряжений в анизотропной среде с полостью.
Глава 3. Дискретизация систем граничных интегральных уравнений и сведение к линейным алгебраическим системам.
3.1 Дискретизация систем ГИУ для анизотропной среды с полостью и сведение к линейным алгебраическим системам.
3.2 Дискретизация системы ГИУ для ортотропной среды с полостью на основе сплайн аппроксимации.
3.3 Дискретизация системы ГИУ для задач о концентрации напряжений в анизотропной среде с полостью.
3.4 Численная реализация задач о колебаниях ортотропной плоскости с полостью.
Глава 4. Исследование концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия.
4.1 Исследование концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия в низкочастотной области.
4.2 Интегральное представление напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия.
4.3 Исследование динамического коэффициента концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия при помощи МГЭ.
Метод граничных интегральных уравнений является одним из современных методов исследования краевых задач в различных областях математической физики, в том числе и в теории упругости. Самым важным достоинством метода граничных интегральных уравнений является то обстоятельство, что он позволяет снизить размерность задачи на единицу. Кроме того, при его численной реализации дискретизации подлежат только граничные значения неизвестных функций. По сравнению с методами, требующими дискретизации всей рассматриваемой области, это ведет к существенному уменьшению числа дискретных элементов и размерности получаемых линейных систем. Исследуемая в конечном итоге система линейных алгебраических уравнений имеет существенно более низкий порядок по сравнению с методом конечного элемента (МКЭ) и методом конечных разностей (МКР).
Главное в идейном содержании метода граничных интегральных уравнений - построение операторных связей между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и на её границе. Эта зависимость устанавливается переходом от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям. Последовательное использование этой идеи приводит к замене дифференциальных уравнений, требующих нахождения неизвестных функций во всей области, на эквивалентные интегральные уравнения, в которые в качестве неизвестных входят сужения функций на границе области. Такие уравнения называются граничными интегральными уравнениями (ГИУ).
В современной литературе [14, 16, 17, 54, 70], посвященной теории и практике этого метода, представлены три варианта метода граничных интегральных уравнений: прямой, непрямой и полупрямой, а также предложен метод, именуемый как метод ГИУ первого рода с гладкими ядрами [5, 27, 33]. В прямом методе составляются и решаются ГИУ относительно функций, имеющих смысл смещений в содержательной постановке задачи. В непрямом методе строится решение ГИУ, записанное для вспомогательных функций, а неизвестные исходной задачи определяются при помощи линейных операторов от них. В полупрямом методе задача сводится к ГИУ относительно некоторых вспомогательных функций. Все перечисленные методы требуют построения специальных решений дифференциальных уравнений, описывающих колебания, например, от действия сосредоточенной силы. Такие решения называются фундаментальными и построены для большого числа операторов с постоянными коэффициентами [3, 8, 12, 26, 30, 32, 55, 67, 69, 76, 79, 132, 133, 137, 159, 160, 176]. Метод ГИУ первого рода, предложенный в последние годы, основан на использовании преобразования Фурье и анализе характеристического многочлена оператора теории упругости на полярных многообразиях и не использует понятия фундаментальных решений. Этот метод особенно эффективен, когда необходимо определять только граничные поля смещений и напряжений и резонансные частоты для конечной области [31], поскольку вычисление полей внутри области требует соотношений типа Сомильяны, основанных на фундаментальных решениях.
В основе исследований метода ГИУ лежат работы многих учёных, создавших и развивавших теорию интегральных уравнений и теорию потенциала. Подробную библиографию и обзоры по этому вопросу можно найти в монографиях [38, 39, 49, 52, 73, 74, 86]. Непрямой метод ГИУ был развит В.Д. Купрадзе на основе теории потенциала [56, 57]. Развитию метода потенциала посвящены работы [23, 60, 66]. Продолжительный период времени работы по ГИУ имели фундаментальный математический характер, связанный с исследованием разрешимости и единственности соответствующих краевых задач в духе метода Фредгольма [58], оказавшегося эффективным инструментом при исследовании классических краевых задач для уравнения Лапласа. Вместе с тем понижение геометрической размерности, достигаемое переходом к ГИУ, естественно, привлекло внимание учёных своими прикладными возможностями исследования краевых задач математической физики (для операторов Лапласа и Пуассона, Гельмгольца, теории упругости) в неканонических областях. Это достигается путем построения линейных операторов, связывающих известные и неизвестные компоненты граничных полей, а также их дискретных вариантов, что привело в конечном итоге к новой вычислительной технологии, известной сейчас как МГЭ (ВЕМ в западных публикациях).
Применению метода ГИУ к различным задачам теории упругости посвящены работы [22, 108, 136, 138, 140, 143, 148, 154, 155, 161, 175, 178].
Отличия в вариантах метода граничных элементов проявляются прежде всего в способах вывода ГИУ и, отчасти, в приемах обработки результатов их решения. Техника численной реализации (разбиение границ, аппроксимация, вычисление коэффициентов, решение систем линейных алгебраических уравнений) является общей для всех вариантов и представляет собой суть метода граничных элементов (МГЭ) и в настоящее время продолжает развиваться и совершенствоваться.
В первой половине XX столетия были сделаны различные попытки поиска численных решений, и только в 60-х годах, с появлением ЭВМ, началось преодоление явного несоответствия между трудоемкостью расчетов этим методом и остротой проблем, решаемых с его помощью [48]. Основное развитие МГЭ произошло в 70-х годах прошлого века [40].
После более чем тридцатилетнего развития МГЭ прочно обосновался среди численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, превратившись в одну из современных вычислительных технологий. По сравнению с более популярными численными методами, такими как МКЭ и МКР, которые можно классифицировать как методы «области», МГЭ позиционируется как метод «границы», что означает тот факт, что численная дискретизация сопровождается понижением размерности. Например, для трехмерной задачи дискретизация осуществляется только на граничной поверхности, а для двумерной задачи - на граничном контуре. Понижение размерности приводит к меньшим размерностям линейных алгебраических систем, к более эффективным вычислительным алгоритмам. С одной стороны, этот эффект лучше проявляется для неограниченной области. С другой стороны, МГЭ автоматически позволяет учитывать условия излучения на бесконечности без необходимости введения бесконечных элементов, как в МКЭ. В современном мире компьютерных технологий осуществление разбиения является более трудоемкой процедурой в численном моделировании, особенно для метода конечного элемента. С помощью МГЭ корректировка разбиения для задач с подвижными границами более проста, и, следовательно, снова этот метод является более предпочтительным инструментом. Благодаря этим преимуществам, МГЭ действительно является неотъемлемой частью современных численных технологий.
Основные идеи МГЭ изложены в монографиях [14, 16, 17, 54, 103]. Применение МГЭ к различным задачам теории упругости представлено в многочисленных работах [64, 119, 120, 123 - 126, 128, 129, 141, 142, 145 - 147, 149,152, 153, 156, 162 - 165, 167, 168, 171,173, 177].
Ключевым моментом при формулировке систем граничных интегральных уравнений является построение фундаментальных решений для соответствующего оператора, позволяющих получить представление поля смещений внутри исследуемой области при помощи соотношений Сомильяны. К сожалению, такие решения имеют явный вид при установившихся колебаниях лишь для изотропного случая, или для операторов, обладающим свойством сферической симметрии. Во многих исследованиях прикладного характера для описания закономерностей распространения волн достаточно моделей изотропной среды [45]. Однако во многих практически важных задачах модель изотропной среды не отображает истинных процессов возбуждения и распространения волн и требует уточнения и учета анизотропии свойств реальных материалов [115]. В случае анизотропии материала, которой обладают многие современные конструкционные материалы [4], горные породы, биоматериалы, явные представления фундаментальных решений построить нельзя даже в двумерном случае, хотя возможно построение интегральных представлений на базе интегрального преобразования Фурье. Учёт анизотропии в работах о колебаниях упругих тел продиктован физическими свойствами сталей, кристаллов [1, 75, 99, 106], грунтов, полимерных и композиционных материалов. Анизотропией механических свойств обладают многие цветные металлы, сплавы, пьезокерамики [72]. Весьма сильной анизотропией механических свойств обладают многие композиционные материалы, которые могут быть часто описаны моделями ортотропной среды в рамках концепции эффективных модулей [88, 97, 98]. Учет анизотропии упругих свойств приводит к тому, что нет разделения на продольные и поперечные волны в бесконечной среде, а фундаментальные решения, соответствующие сосредоточенному воздействию, уже не выражаются в явном виде, как в изотропном случае (через функции Ханкеля в плоской задаче). Подробное исследование уравнений движения для анизотропной среды представлено в работах [18 - 21].
Построению решений в динамических задачах анизотропной теории упругости посвящены работы [9, 21, 53, 89, 94 - 96, 100, 110]. Для решения динамических задач для анизотропной среды с бесконечно удаленной точкой должны быть сформулированы условия типа Зоммерфельда [19], принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды [25, 81], теоремы единственности [19, 77]. Особенностям формулировки условий излучения в анизотропной полуплоскости посвящена работа [11]. Распространение колебаний от сосредоточенного источника в анизотропной среде рассмотрено в [18, 85, 110].
Основы динамики волн в анизотропных упругих средах изложены в [87, 100, 104]. Закономерности распределения энергии плоских упругих волн в анизотропных средах в зависимости от направлений движения волн и соотношений упругих постоянных изучены в работе [84]. Применение метода контурного интегрирования при расчете волновых полей в анизотропной полуплоскости рассматривается в [10].
Основным препятствиям для изучения колебаний анизотропных тел на основе МГЭ является отсутствие явных представлений для фундаментальных и сингулярных решений. Использование же интегральных представлений при реализации МГЭ представляется достаточно проблематичным, поскольку при формировании алгебраических систем требуется вычислять кратные интегралы. Кроме того, при реализации МГЭ в численном интегрировании возникают сложности в том случае, когда подынтегральное выражение имеет особенности, это соответствует ситуации, когда точка наблюдения совпадает с точкой коллокации, или когда требуется вычислять сингулярные интегралы. Новые квадратурные формулы и подходы, более приспособленные к численному счету таких интегралов, представлены в работах [166, 169, 174, 179]. Обзор и описание численных методов в сингулярных интегральных уравнениях дан в [13, 50].
Отметим, что возможно построение фундаментальных решений в анизотропной теории упругости и электроупругости в виде однократных интегралов. Одно из таких представлений в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости получено в [26], другое - для плоской задачи электроупругости в виде однократных интегралов по конечному отрезку в [32]. Новое представление фундаментальных решений для ортотропной упругой среды в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку получено в работе [36]. Отметим, что подобное представление построено позднее в работе [159], в которой с помощью преобразования Радона получено представление фундаментальных решений для анизотропной упругой среды для плоской задачи в виде интегралов по окружности единичного радиуса. Получению фундаментальных решений в динамической анизотропной теории упругости также посвящены работы [137, 176].
Статические задачи анизотропной теории упругости наиболее полно изучены с помощью комплексных потенциалов в монографии [65], а также в [93, 116, 117]. Следуя классической теории [65], в [67] построены представления фундаментальных решений в задачах изгиба анизотропных пластин.
Фундаментальные решения системы уравнений статики кубически анизотропной среды построены в [69].
Фундаментальные решения для статики ортотропного тела в плоском случае впервые получены Томлиным [170] и приведены в работе [14]. Фундаментальные решения статики анизотропных упругих сред в случае двух независимых переменных построены в [55].
В случае установившихся колебаний в трехмерных задачах фундаментальные решения построены впервые В.Д. Купрадзе [57] для изотропной среды, в частном случае анизотропии - Д.Г. Натрошвили [79, 78], М.О. Башелейшвили [8].
В динамических задачах существуют два пути построения фундаментальных решений - с помощью введения новых специальных функций, либо получение их интегральных представлений. Интегральные представления по контуру в комплексной плоскости наиболее приспособлены для формулировки ГИУ в полубесконечных областях типа слоя. Возможно и другое представление фундаментальных решений в виде интегралов по конечному отрезку. Для полубесконечных областей типа слоя лучше всего использовать первое представление фундаментальных решений, полученное в [26].
Фундаментальным решениям и функциям Грина в теории упругости посвящен ряд работ [78, 80, 109, 127, 130, 132, 133, 139, 144, 157, 163, 172]. Фундаментальным решениям динамических уравнений теории упругости для неоднородной среды посвящена работа [6].
Метод коррекции упругих постоянных в задачах концентрации при динамическом плоском напряженном состоянии описан и применен в монографии [71]. Основная идея этого метода заключается в том, что уравнения движения установившихся колебаний ортотропной среды при помощи операторного метода сводятся к разрешающим уравнениям, проблема интегрирования которых существенно упрощается, если оператор разрешающего уравнения представляется суперпозицией двух обобщенных метагармонических операторов второго порядка. Это представление осуществимо при переходе к скорректированным» упругим постоянным, а для поиска корректирующих возмущений необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений. Отметим, что при описании волновых процессов и построении фундаментальных решений этим методом возникает большая погрешность при анализе волновых полей, поэтому в настоящей работе используются точные интегральные представления фундаментальных решений, не использующих процедуру коррекции.
Дифракция волн различной природы всегда интересовала ученых своими практическими приложениями [41, 90, 102]. Подробная история и основы дифракции световых и звуковых волн изложены в [107]. Основам дифракции упругих волн и динамической концентрации напряжений в изотропной среде посвящены монографии [46, 47, 122, 158]. Обзор и описание метода фундаментальных решений в численной реализации задач рассеяния осуществлен в работе [130]. Численным методам в задачах дифракции посвящены монографии [7, 43]. Решение задачи о колебаниях пластинки с круговой полостью под действием плоских гармонических SH-волн получено в рядах через цилиндрические функции в [131], дифракция SH-волн на некруговой цилиндрической полости изучена в [118]. Различные подходы к решению задач о колебаниях среды с полостью или включением представлены в работах [121, 134, 135,151, 161].
Колебаниям анизотропной среды (полуплоскость, слой, полупространство) с полостями и включениями посвящены работы [28,29, 63, 64, 91].
Статические задачи о концентрации напряжений в анизотропной среде подробно изучены в монографиях [62, 65]. Сравнению экспериментального метода определения концентрации напряжений на круговом отверстии в пластинке при растяжении с аналитическим методом посвящена работа [150].
Опишем основное содержание работы.
Диссертация структурно состоит из 4 глав. Первая глава диссертации посвящена построению интегральных представлений фундаментальных решений в плоских задачах для ортотропного и общего анизотропного случая в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку и состоит из 6 параграфов. В параграфе 1.1 изложена постановка различных типов задач об установившихся колебаниях ортотропной упругой среды в условиях плоской деформации. В параграфе 1.2 на основе интегрального преобразования Фурье построено представление фундаментальных решений для ортотропной плоскости в виде двукратного интеграла и исследованы кривые полярных множеств. Параграф 1.3 посвящен преобразованию полученного в параграфе 1.2 представления фундаментальных решений к однократному интегралу по конечному отрезку. В параграфе 1.4 построена асимптотика фундаментальных решений для ортотропной среды в дальней и ближней зонах. В параграфе 1.5 получены представления фундаментальных решений в общем случае анизотропии в виде однократного интеграла по конечному отрезку. Параграф 1.6 посвящен сравнению асимптотик интегрального представления фундаментальных решений, полученного в параграфе 1.3, в ближней и дальней зонах в предельном случае изотропного материала с аналогичными асимптотиками известных представлений фундаментальных решений, которые выражаются через специальные функции.
Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов. Она посвящена формулировке систем граничных интегральных уравнений, описывающих установившиеся колебания упругой анизотропной плоскости с полостью или конечного анизотропного тела. В параграфе 2.1 получены две системы граничных интегральных уравнений; первая описывает колебания анизотропной плоскости с полостью произвольной формы от действия падающей плоской волны, вторая - от действия сосредоточенной силы. Параграф 2.2 посвящен получению системы граничных интегральных уравнений в задаче об установившихся колебаниях конечного анизотропного тела, занимающего одно-связную область, ограниченную гладким контуром. В параграфе 2.3 сформулированы граничные уравнения, наиболее приспособленные к изучению проблемы концентрации напряжений в анизотропной среде с полостью.
В третьей главе осуществлена дискретизация систем граничных интегральных уравнений, полученных во второй главе, на основе метода граничных элементов и анализ численных результатов. В параграфе 3.1 описан способ сведения систем граничных интегральных уравнений, полученных в параграфе 2.1, к системам линейных алгебраических уравнений и приведен вид коэффициентов систем, удобных для численной реализации. Параграф 3.2 посвящен дискретизации первой системы, полученной в параграфе 2.1, с применением сплайн-аппроксимации, приведен вид коэффициентов системы для ортотропной среды. Сведение системы граничных интегральных уравнений, сформулированной в параграфе 2.3, к системе линейных алгебраических уравнений приведено в параграфе 3.3. В параграфе 3.4 проанализированы численные результаты в задачах о колебаниях ортотропной плоскости с полостью под действием падающей волны или при наличии сосредоточенного источника.
Четвертая глава диссертации содержит исследование концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия. В параграфе 4.1 на основе асимптотического подхода и методов комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого исследуется вопрос о концентрации напряжений в ортотропной плоскости с круговым отверстием, свободным от нагрузок, при падении плоской волны. Параграф 4.2. посвящен получению интегрального представления напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия на основе интегрального представления фундаментальных решений, полученного в параграфе 1.2. В параграфе 4.3 исследуется вопрос о концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия в случае задания плоской волны при помощи МГЭ.
Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в опубликованных работах [34 - 37, 51, 111 - 114], в том числе 1 статья [36] в журнале «Прикладная механика и техническая физика», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации. Работы [34 - 37] выполнены в соавторстве с научным руководителем
А.О. Ватульяном. В этих работах А.О. Ватульяну принадлежат постановка задач, основные идеи по их реализации и обсуждение результатов. Автору диссертации принадлежит реализация этих идей, формулировка систем ГИУ, составление алгоритмов и программ, проведение серий расчетов, анализ результатов вычислительных экспериментов.
Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, сводятся к следующему:
1. Построены новые интегральные представления фундаментальных решений для ортотропной и произвольной анизотропной среды при установившихся колебаниях в плоском случае.
2. Исследованы асимптотики фундаментальных решений для ортотропной среды в ближней и дальней зонах.
3. На основе построенных фундаментальных решений сформулированы системы ГИУ для решения краевых задач для конечных ортотропных тел и для плоскости с полостью произвольной формы.
4. С помощью идеологии метода граничных элементов разработаны алгоритмы и программы расчета волновых полей в ортотропной среде с полостью произвольной формы, причем для формирования линейных систем требуется вычислять лишь однократные интегралы с особенностями не сильнее логарифмических.
5. Исследованы вопросы концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия при установившихся колебаниях.
Заключение.
1. Акустические кристаллы. Под ред. Шаскольской М.П. М.: Наука, 1982.- 632 с.
2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. -М.: Мир, 1972.-316 с.
3. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.
4. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. JL: Машиностроение, 1980. - 247 с.
5. Бабешко В.А. Новый метод решения краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей // ДАН СССР. 1985. - Т. 284, №1. - С. 73-76.
6. Бабич В.М. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости для неоднородной среды // ПММ. 1961. - Т. 25, № 1. - С. 3845.
7. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.
8. Башелейшвили М.О. О фундаментальных решениях дифференциальных уравнений анизотропного упругого тела // Сообщ. АН ГССР. 1957. - Т. 19,№4.-С. 393-400.
9. Башелейшвили М.О., Натрошвили Д.Г. Динамические задачи теории упругости для однородных анизотропных сред // Тр. Тбилисского ун-та. Мат. мех. астр. 1978. - Т. 204. - С. 29-46.
10. Белоконь А.В., Белоконь О.А. Метод контурного интегрирования в задачах о гармонических колебаниях анизотропной полуплоскости // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. № 3.
11. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Фундаментальные решения в задачах электроупругости при установившихся колебаниях // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. - С.23-25.
12. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. - 253 с.
13. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.
14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. - Т. 1.-632 с.
15. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.-524 с.
16. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982.-248 с.
17. Будаев B.C. Распространение колебаний от источника типа сосредоточенного импульса в анизотропной среде // Прикладная механика. 1973. -Т. 9, вып. 2. - С. 67-73.
18. Будаев B.C. Условие типа Зоммерфельда и единственность решения внешних задач теории упругих колебаний анизотропных сред // ПММ. -1979. Т. 43, вып. 6. - С. 1102-1110.
19. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 3. - С. 3340.
20. Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи теории упругости для многосвязных областей // Тр. Тбил. ун-та. 1968, Т. 129. - С. 57-78.
21. Бурчуладзе Т.В., Гегелия Т.Г. Развитие метода потенциала в теории упругости. Тбилиси: «Мецниераба», 1985. - 226 с.
22. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982. - 294 с.
23. Вайнберг Б.Р. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными // УМН. 1966. - Т. 21, № 3, - С. 155-194.
24. Ватульян А.О., Гусева И.А., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применении // Изв. СКНЦ. Сер. ес-теств. науки. 1989. - №2. - С. 81-85.
25. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // ДАН. 1993. - Т. 333, №3,-С. 312-314.
26. Ватульян А.О., Гусева И.А. О колебаниях ортотропной полуплоскости с полостью//ПМТФ.- 1993.-№2.-С. 123-127.
27. Ватульян А.О., Кацевич А.Я. Колебания ортотропного слоя с полостью //ПМТФ. 1991.-№ 1.-С. 95-97.
28. Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин А.В. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // ПМТФ. -1996.-Т. 37,№5.-С. 135-142.
29. Ватульян А.О., Ковалёв О.В. Об использовании аппроксимаций высокого порядка при решении ГИУ первого рода в задачах анизотропной теории упругости // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды IV Междунар. конф. 1988. - Т. 1. - С. 89-94.
30. Ватульян А.О., Кубликов B.JI. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости //ПММ. 1989. - Т. 53, вып. 6. - С. 1037-1041.
31. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. Новая формулировка граничных интегральных уравнений в анизотропной теории упругости // Современныепроблемы механики сплошной среды. Труды II Международной конференции. Ростов-на-Дону: МП «Книга», 1996. - С. 22-26.
32. Ватульян А.О., Чебакова Е. М. Фундаментальные решения для анизотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Теоретическая и прикладная механика. 2005. - вып. 40. - С. 174-178.
33. Ватульян А.О., Чебакова Е. М. Фундаментальные решения для ортотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2004. - Т. 45, № 6. - С. 131-139.
34. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.
35. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова Думка, 1986. - 544 с.
36. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: «Вища школа», 1978. - 183 с.
37. Вопилкин А.Х. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле. I. Физические закономерности волн дифракции //Дефектоскопия. 1985. - № 1. - С. 20-34.
38. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. - 32 с.
39. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 207с.
40. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.
41. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев.: Наук, думка, 1981. - 283 с.
42. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев.: Наук, думка, 1972. - 254 с.
43. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. - 307 с.
44. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений 1-го рода. // В кн. "Вычислительные методы и программирование. вып. 10. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - С. 49-54
45. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 304 с.
46. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наук, думка. - 1968.-287 с.
47. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния.-М.: Мир, 1987.- 311 с.
48. Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наук, думка, 1985. - 176 с.
49. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.
50. Кузнецов С.В. Фундаментальные решения статики анизотропных упругих сред в случае двух независимых переменных // Изв. вузов, мат. -1991.-№8.-С. 32-34.
51. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1950. - 280 с.
52. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.-472 с.
53. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили МО., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 603 с.
54. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.
55. Лазарев М.И. О решении основных задач теории упругости анизотропной среды методом потенциала // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзн. межвуз. сб. Горьк. ун-т, 1978. - вып. 9. - С. 38.
56. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 204 с.
57. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, изд. 2, 1957.-463 с.
58. Ляпин А.А. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом // Журнал Прикладной механики и технической физики, СО АН СССР. 1994. Т. 35, № 5. - С. 87-91.
59. Ляпин А.А., Селезнев М.Г. О методе граничных элементов для полуограниченных областей с цилиндрической полостью // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. № 3. - С. 151155.
60. Лехницкий С.Г. Теории упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-416 с.
61. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи мат. наук. 1981. Т. 38, № 4. - С. 229-230.
62. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Фундаментальные решения в задачах изгиба анизотропных пластин // ПМТФ. 2003. - Т. 44, № 4. - С. 135-143.
63. Маневич Л.И., Павленко А.В., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. Киев, Донецк: Вища школа, 1982. -153 с.
64. Мартыненко М.Д., Князева Л.П. Фундаментальные решения системы уравнений статики кубически анизотропной среды //ДУ. 1983. Т. 19, № З.-С. 535-537.
65. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Серия: Механика. Новое в зарубежной науке. -М.: Мир, 1978.-210 с.
66. Механика композитов, под общей ред. академика НАН Украины А.Н. Гузя. Концентрация напряжений. Т. 7. Киев: "А.С.К", 1998. - 387 с.
67. Микляев П.Г., Фридман Я.Б. Анизотропия механических свойств материалов. М.: Металлургия, 1969.
68. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.
69. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 511 с.
70. Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: Мир, 1967. - 386 с.
71. Натрошвили Д. Г. О теоремах единственности решения внешних задач установившихся колебаний анизотропной упругой среды // Сообщ. АН Груз. ССР. 1982. - Т. 105, № 2. - С. 261-264.
72. Натрошвили Д.Г. О свойствах фундаментальных решений уравнений установившихся колебаний анизотропной упругой среды // Сообщ. АН Груз. ССР. -1981.-Т. 104, № З.-С. 657-560.
73. Натрошвили Д.Г. О фундаментальных матрицах уравнений установившихся колебаний и псевдоколебаний анизотропной теории упругости // Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. - Т. 96, № 1. - С. 49-52.
74. Натрошвили Д.Г. Оценки тензоров Грина теории упругости // Дифференциальные уравнения. 1978. - № 7. - С. 1272-1284.
75. Натрошвили Д.Г. Принцип предельного поглощения в анизотропной теории упругости // Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. - Т. 96, № 2. - С. 309312.
76. Нейбер Г. Концентрация напряжений. M.-JL: Гос. Изд. Технико-теоретической литературы, 1947. - 204 с.
77. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.
78. Осипов И.О. Движение энергии упругих волн в анизотропных средах // ПМ и М. 2003. - Т. 67, вып. 3. - С. 482-501.
79. Осипов И.О. К плоской задаче о точечном источнике внутри анизотропной среды // Распространение упругих и упр.-пласт. волн. Сб. научн. труд. Ташкент: ФАН, 1969. - С. 122-130.
80. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.-312 с.
81. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. -Л.: Наука, 1980. 280 с.
82. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984. -336 с.
83. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.- 328 с.
84. Рамм А.Г. О внешних задачах дифракции // Радиотехника и электроника. 1972.-№7.-С. 1362-1365.
85. Румянцев А.Р., Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г. Колебания полупространства с полостью или включением в виде эллиптического цилиндра // Изв. СКНЦ ВШ. сер. Естеств. науки. 1990. - №3. - С. 63-69.
86. Савёлов А.А. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960. - 293 с.
87. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела.- Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1976. 534 с.
88. Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела // ПММ. 1961. - Т. 25, № 5. - С. 885-896.
89. Свекло В.А. Плоские волны и волны Рэлея в анизотропной среде // Дан СССР. 1948. - Т. 59, № 5. - С. 871-874.
90. Свекло В.А. Упругие колебания анизотропного тела // Уч. зап. ЛГУ. Механика. 1949. - вып. 17.
91. Сендецки Дж. Некоторые вопросы теории упругости анизотропного тела // Ред. Браутман Л., Крок Р. Композиционные материалы. Т. 1.4. 1. М.: Машиностроение. 1978. 344 с.
92. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов / Ред. Браутман Л., Крок Р. Композиционные материалы. Т. 2. - М.: Мир, 1978. - 568 с.
93. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975.- 680 с.
94. Сотская Х.Н., Федоров Ф.И., Хлыстов О.Г. Волновые поверхности упругих волн в моноклинных кристаллах // Изв. АН БССР сер. физ.-мат. н. -1975.-№2.-С. 40-50.
95. Справочник по специальным функциям под редакцией Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука, 1979. - 830 с.
96. Уайт Д.Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. М.: Недра, 1906.-262 с.
97. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Издательство КГУ, 1986.- 295 с.
98. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. -388 с.
99. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. -428 с.
100. Цванкин И.Д., Чесноков Е.М. Волновые поля точечных источников в произвольно-анизотропных средах // Изв. АН СССР. Физика Земли. -1989, №7.-С. 12-27.
101. Чебакова Е.М. Колебания ортотропной среды с полостью произвольной формы // Труды аспирантов и соискателей Ростовского Государственного Университета. Т. VIII. Ростов-на-Дону, 2002. - С. 23-25.
102. Чебакова Е.М. О применении метода стационарной фазы к построению асимптотик фундаментальных решений для ортотропной среды // Труды аспирантов и соискателей Ростовского Государственного Университета. Т. IX. Ростов-на-Дону, 2003. - С. 51-53.
103. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -190 с.
104. Шерман Д.И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды // ПММ. 1942. - Т. VI, вып. 6.
105. Шерман Д.И. Новое решение плоской задачи теории упругости для анизотропной среды //ДАН СССР. 1941. - Т. 32, № 5.
106. Шульга Н.А., Колодий В.И. Дифракция SH-волн на некруговой цилиндрической полости // Прикл. механика. 1981. - Т. 17, № 3. - С. 129-131.
107. Abuquerque E.L., Sollero P., Aliabadi M.H. The BEM applied to time dependent problems in anisotropic materials // Int J Solids Struct. 2002. - V.39, Issue 5. - P. 1405-1422.
108. Alarcon E., Brebbia C., Dominguez J. The boundary element method in elasticity // International Journal of Mechanical Sciences. 1978. - V. 20, Issue 9. - P. 625-639.
109. Avila-Carrera R., Sanchez-Sesma F.J. Scattering and diffraction of elastic P-and S-waves by a spherical obstacle: A review of the classical solution // Geofisica Internacional. 2006. - Vol. 45, № 1. - P. 3-21.
110. Brebbia С A, Venturini WS, editors. Boundary element techniques: applications in stress analysis and heat transfer. Southampton: Computational Mechanics Publications. 1987.
111. Brebbia C.A. Boundary element solution of elastodynamics problems using a new technique // Innovative Numer. Meth.Eng. Proc. 4th Int.Symp. Atlanta. Ga. March. 1986.
112. Chen W., Huang У. The BEM for orthogonally anisotropic half plane problems // J.Huazhong Shengping. Univ. Sci. and Technob. 1990.
113. Cheng Alexander H.-D., Cheng Daisy T. Heritage and early history of the boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. -2005. V. 29. - P. 268-302.
114. Dederichs P.H., Leibfried G. Elastic Green's function for anisotropic cubic crystals //Physical Review. 1969. - № 188. - P. 1175-1183.
115. Dineva P., Rangelov Т., Gross D. BIEM for 2D steady-state problems in cracked anisotropic materials // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2005. - № 29. - P. 689-698.
116. Dumir P.C., Mehta A.K. Boundary element solution for elastic orthotropic half-plan problem // Coump. and Streect. 1978. - V. 26, № 3. p. 431-438.
117. Fairweather G., Karageorghis A., Martin P.A. The method of fundamental solutions for scattering and radiation problems // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2003. - V. 27. - P. 759-769.
118. Hayir A., Bakirtas I. A note on a plate having a circular cavity excited by plane harmonic SH waves // Journal of Sound and Vibration. 2004. - V. 271. -P. 241-255.
119. Iovane G., Nasedkin A.V., Passarella F. Fundamental solutions in antiplane elastodynamic problem for anisotropic medium under moving oscillating source // Europ. J. of Mech. A/Solids. 2004. - V.23. - P.935-943.
120. Iovane G., Nasedkin A.V., Passarella F. Moving oscillating loads in 2D anisotropic elastic medium: plane waves and fundamental solutions // Wave Motion. 2005. - V. 43, No.l. - P. 51-66.
121. Irie T. Yamada G. Free vibration of an orthotropic elliptical plate with a similar hole. // Bull. JSME.- 1979.-V. 22, № 172.-P. 1456-1462.
122. Jain D.L., Kanwal R.P. Scattering of Panel S-waves by spherical inclusion and cavities //J. Sound and Vibration. 1978. - V. 57, № 2. - P. 171-202.
123. Jones D.S. Boundary integrals in elastodynamics // IMA J. Appi. Math. -1985.-V. 34, № i.p. 83-97.
124. Kaptsov A. V., Kuznetsov S.V. Spatially periodic fundamental solutions of the theory of oscillations // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. -1998. V. 62, Issue 3. - P. 489-491.
125. Kitahara M., Nakagama K. Boundary integral equation method in three-dimension elastodynamics // Boundary Elements 7. Proc. 7th Int. Conf. Berlin- 1985.-V. l.-P. 6/27-6/38.
126. Kleiman R.E., Roach G.F. On modified Green's functions in exterior problems for the Helmholtz equations // Proc. Royal. Soc. London. 1982. - V. A383.- P. 313-332.
127. Kleinman R.E., Roach G.F. Boundary integral equation for the three-dimension Helmholtz equations // SIAM Rev. 1974. - V. 16. - P. 214-236.
128. Kobayashi S. Recent progress in BEM for elastodynamics // Boundary Elem. X. Vol. 4. Southampton, etc. Berlin etc. 1988. - P. 335-349.
129. Kobayashi S. Same applications of BEM in elastodynamics // BETECH 85. Proc. I. Boundary Elem. Technol. Conf. Adelaide, Nov. 1985.Berlin. 1985. -P. 91-104.
130. Kobayashi S. Some problems of the boundary integral equation method in elastodynamics // Boundary Elem. Proc. 5th Int. Conf.-Hiroshima. 1983. - P. 775-784.
131. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem.Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980.-V. 42.-P. 228-241.
132. Kogl M., Gaul L. A 3-D boundary element method for dynamic analysis of anisotropic elastic solids // Comput Modeling Engng Sci. 2000. - V. 1(4). -P. 27-43.
133. Kogl M., Gaul L. Free vibration analysis of anisotropic solids with the boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. -2003.- V. 27.-P. 107-114.
134. Kontoni D.O.N., Beskos D.E. An approximate BEM for wave propagation in half-plane // Boundary Elem. IX: 9th Int.Conf.-Stuttgart. 1987. Southampton. - 1987. - V. 3. - P. 149-166/
135. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. - V. 57, № 2. - P. 404-414.
136. Lee Kyn J., Mai A.K. A BEM for plane anisotropic elastic media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. - V. 57, №3. - P. 600-606.
137. Lotfi Toubal, Moussa Karama, Bernard Lorrain. Stress concentration in a circular hole in composite plate // Composite Structures. 2005. - V. 68. - P. 3136.
138. Manolis G.D. Elastic wave scattering around cavities in inhomogeneous con-tinua by the BEM // Journal of Sound and Vibration. 2003. - Vol. 266. - P. 281-305.
139. Mansur W.J. Bern applications in two-dimensional transient elastodynamics // Boundary Elem. X. Vol. 4. Southampton, etc. Berlin etc. 1988. - P. 387-399.
140. Mansur W.J., Brebbia C.A. Numerical implementation of the boundary element method for two dimensional transient scalar wave propagation problems // Applied Mathematical Modeling. 1982. - V. 6, Issue 4. - P. 299-306.
141. Niwa Y., Kitahara M., Hirose S. Dynamic analysis of inhomogeneous anisotropic bodies by integral equation method // Innovative Numer. Meth. Eng. Droc. 4th Int. Symp. Atlanta. 1986. - P. 361-366.
142. Niwa Y., Kitahara M., Jked A. The BIE approach to transient wave propagation problems around elastic inclusions // Theor. and Appl .Mech. Tokyo. -1984.-V. 32.-P. 183-198.
143. Onkami Т., Ichikawa Y., Kawamoto T. A boundary element method for identifying orthotropic material parameters // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Ge-omech. 1991. - V. 15, № 9. - P. 609-625.
144. Pan Y.C., Chon T.V. Green's function solutions for semi-infinite transversely isotropic materials // Int. J. Engng. Sci. 1979. - № 17. - P. 545-551.
145. Pao Y.H., Mow С.С. Diffraction of Elastic Waves and Dynamics Stress Concentrations. New York: Crane, Russak and Co., Inc., 1973. 681 p.
146. Rangelov T.V., Manolis G.D., Dineva P.S. Elastodynamic fundamental solutions for certain families of 2d inhomogeneous anisotropic domains: basic derivations // European Journal of Mechanics A/Solids. 2005. - Vol. 24. - P. 820-836.
147. Rashed F., Aliabadi M. H., Brebbia C. A. Fundamental solutions for thick foundation plates // Mechanics Research Communications. 1997. - V. 24, Issue 3.-P. 331-340.
148. Rus G., Gallego R. Boundary integral equation for inclusion and cavity shape sensitivity in harmonic elastodynamics // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2005. - V. 29. - P. 77-91.
149. Saez A, Dominguez J. BEM analysis of wave scattering in transversely isotropic solids // Int J Numer Methods Eng. 1999. - V. 44, № 9. - P. 12831300.
150. Saez A, Dominguez J. Far-field dynamic Green's functions for BEM in transversely isotropic solids // Wave Motion. 2000. - V. 32. - P. 113-123.
151. Scewada T. Solutions errors in BEM of 2-D-elastostatic problem. // Comput Mech. 88. Theory and Appl. Proc. Int. Conf. Comput.Eng. 1988. Berlin -1988.-V. l.-P. 3.
152. Schclar NA. Anisotropic analysis using boundary elements // Southampton: Computational Mechanics Publications. 1994.
153. Singh K.M., Tanaka M. Elementary analytical integrals required in subtraction of singularity method for evaluation of weakly singular boundary integrals // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2007. - V. 31. - P. 241-247.
154. Spyrakos C.C., Ahtes H. Time domain boundary element method approaches in elastodynamics: a comparative Study // Comput and Struct. 1986. - V. 24, №4.-P. 529-535.
155. Telles J.-C.F., Brebbia C.A. Boundary element solution for half-plane problems//Int. J. Solids Structures. 1981,-V. 17.-P. 1149-1158.
156. Theotokoglou E.E., Tsamasphyros G. A modified Gauss quadrature formula with special integration points for evaluation of Quasi-singular integrals // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2006. - V. 30. - P. 758-766.
157. Tomlin G.R. Numerical analysis of continuum problems of zoned anisotropic media // Ph. D. thes. Southampton Univ. 1972.
158. Tonon F., Pan E., Amadei B. Green's functions and boundary element method formulation for 3D anisotropic media // Computers and Structures. -2001.-V. 79. P. 469-482.
159. Tverdokhlebov A., Rose J.L. On Green's functions for elastic waves in anisotropic media//J. Acoust. Soc. Am. 1988.-V. 83, № l.-P. 118-121.
160. Vable M., Sikarskie D.L. Boundary element method for mixed boundary value plane elastostatic orthotropic problems // Boundary Elem IX. Int. Conf.-Stuttgart. 1987. - V. 2. - P. 209-223.
161. Vijayakumar S., Curran J.H. Influence of boundary curvature on tangential stresses for the displacement discontinuity method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2007. - V. 31. - P. 267-274.
162. Vogel S.K., Rizzo F.J. An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problem // J. Elastisity. 1973. - V. 3. -P. 203-216.
163. Wang C.Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solutions for anisotropic solids. // Geophys Int J. 1994. - № 118. - P. 384-92.
164. Wearing J.L., Abdul Rahman A.G. A regular indirect BEM for stress analysis. // Boundary Elem. IX. Int. Conf.-Stuttgart. 1987. - V. 2. - P. 183-198.
165. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equation stress analysis // Int. J. for Numar. Meth. In. Eng. 1978. - V. 12. - P. 1383-1397.
166. Yang S.A. Evaluation of the Helmholtz boundary integral equation and its normal and tangential derivatives in two dimensions // Journal of Sound and Vibration. 2007. - V. 301. - P. 864-877/
