Прикладные задачи колебаний тонкостенных пьезоэлектрических элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

□03063807 Кочетков Иван Дмитриевич

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003069807

Работа выполнена в Московском институте коммунального хозяйства и строительства на кафедре прикладной математики и вычислительной техники

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Рогачева Н Н

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор Лурье С А

кандидат физико-математических наук, доцент Медведский А Л

Ведущая организация Институт машиноведения РАН

Защита состоится «_»_2007 г в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212 125 05 в Московском авиационном институте (Государственном техническом университете)

С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке МАИ

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре по адресу 125993, г Москва, Волоколамское шоссе, д 4, МАИ, отдел Ученого секретаря

Автореферат разослан «_»_2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

В Н Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пьезоэлектрические элементы находят широкое применение в различных областях науки и техники в качестве преобразователей электрической энергии в механическую и наоборот

Пьезоэлектрические элементы используются в устройствах радиотехники, вычислительной и контрольно - измерительной техники, автоматики, в приборах дефектоскопии и медицинской диагностики в качестве экономичных преобразователей энергии сигналов, генераторов напряжения, фильтров, линий задержки, всевозможных датчиков, пьезоэлектрических двигателей, трансформаторов и тд. Пьезоэлектрические элементы характеризуются высокой помехозащищенностью, технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации Использование пьезоэлектрических материалов в электронике позволяет уменьшить размеры и массу элементов устройств, создать эффективные преобразователи энергии. Для того, чтобы эти устройства надежно работали, надо располагать эффективными методами расчета

Особое место в использовании пьезоэлектрических преобразователей занимают электроупругие композиты - слоистые тонкостенные элементы, составленные из пьезоэлектрических и упругих слоев Несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме, например, работы Партона В 3 , Устинова Ю А , Гетмана И П , Clark R L , Fuller С R , Crawley Е F., J de Luis, Elliott S J , Lee С К , Tzou HS и т д , остаются открытыми вопросы правомерности гипотез для электрических величин при построении теории стержней, пластин и оболочек, вопросы расчета и оптимизации конструкции. В большинстве работ для электрических величин принимаются одни и те же гипотезы независимо от вида электрических условий на лицевых поверхностях, что, вообще говоря, неверно

Особо важное значение имеет оценка эффективности работы пьезоэлемента как преобразователя энергии

Целью работы является:

- построение последовательных прикладных теорий динамики слоистых электроупругих стержней симметричного и несимметричного строения с целью устранить отставание теоретических исследований от все возрастающих потребностей в использовании электроупругих элементов в современной технике;

- анализ гипотез для механических и электрических величин, которые следует принимать в процессе сведения трехмерной задачи электроупругости к одномерным уравнениям слоистых электроупругих стержней,

- вывод формул перехода от одномерных величин теории стержней к трехмерным искомым величинам Этими формулами надлежит воспользоваться после решения одномерной задачи,

- расчет эффективности преобразования энергии электроупругим слоистым стержнем и анализ зависимости его эффективности от частоты колебаний и толщин слоев,

- расчет практически важных трехслойных и двухслойных стержней на основе построенных теорий,

получение аналитического решения сложной контактной задачи о возбуждении акустических волн в упругом полупространстве с помощью активного пьезоэлемента, совершающего гармонические колебания под действием электрической нагрузки

Научная новизна заключается в следующих основных результатах исследования

впервые сформулированы математически обоснованные теории слоистых электроупругих стержней симметричного и несимметричною строения на основе проведенного ранее асимптотическим методом анализа трехмерных уравнений электроупругости для однослойных тонкостенных элементов в работах Н Н Рогачевой,

- проанализировано влияние электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев на уравнения теории слоистых электроупругих стержней,

- для слоистых электроупругих стержней впервые выполнен расчет эффективности преобразования энергии, изучена зависимость эффективности от частоты колебаний и толщин упругих и электроупругих слоев,

- основываясь на физическом понимании качественного поведения тонкостенного пьезоэлектрического элемента впервые получено аналитическое решение контактной задачи для упругого полупространства и активного пьезоэлемента, возбуждающего акустические волны в упругом полупространстве

Достоверноегь полученных в диссертации результатов подтверждается

- построением не противоречивых теорий, позволяющих найти все искомые величины,

простой физической интерпретацией полученных теорий,

- сравнением с имеющимися аналитическими и численными результатами других авторов,

- сравнением с экспериментами

Практическая ценность:

- для широко используемых в современной технике слоистых электроупругих стержней построены последовательные прикладные теории, позволяющие найти все искомые одномерные и трехмерные величины, включая электрические величины и второстепенные напряжения;

- на слоистые электроупругие стержни обобщен энергетический способ вычисления эффективности преобразования энергии, что позволило оценить эффективность работы конструкции как преобразователя энергии и оптимизировать ее,

- для целей расчета устройств передачи сигналов, неразру-шающего контроля, а также потребностей сейсмологии получено аналитическое решение контактной задачи, определяющее поверхностные и объемные волны в упругом полупространстве

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных симпозиумах «Дни дифракции» в

2004 гив 2005 г, на XXII научно-технической конференции МИК-ХиС в 1999 г, на семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники МИКХиС в 2006 г

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, в которых полно отражены теоретические и прикладные результаты проведенных исследований

Структура и объем работы Диссертация объемом 148 страниц содержит введение, четыре главы, заключение, приложение 1, список литературы В диссертации приведено 46 рисунков и графиков и 5 таблиц Список литературы содержит 104 названия

Содержание работы.

Во введении дается краткий обзор методов сведения трехмерных задач электроупругости к одномерным и двухмерным теориям тонкостенных пьезоэлектрических элементов, анализируется современное состояние вопроса, излагаются основные результаты диссертации

В первой главе методом гипотез построена теория слоистых электроупругих стержней с пьезоэлектрическими и упругими слоями, расположенными симметрично относительно срединной плоскости стержня Для построения теории слоистых стержней использовались математически обоснованные гипотезы, которые следуют из выполненного Рогачевой Н Н асимптотическим методом анализа трехмерной задачи электроупругости для тонкостенных элементов Особое внимание уделено влиянию электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев на уравнения теории стержней

Получены следующие соотношения электроупругости теории слоистых электроупругих стержней для продольных усилий Т и изгибающего момента G

T = Al + P, G = Мк + Q (1)

где б и к - компоненты тангенциальной и изгибной деформации срединной линии стержня соответственно

N гу N

А = 2^Ькак, М (г3-

*=1 з <1=1

Р = 2% рк(У(1) + V™), а = -(2)

¿=1 К

Здесь приняты обозначения, записанные в виде следующей таблицы

Таблица

Упру! ий слой Пьезоэлектрический слой без электродов Пьезоэчектрический слой с электродами

ак Е(к) 1 Л "(О8) 1 £<*> ¿11

щ Ею 1 1 (и ту )

т-гШ-КГ))

Рк 0 0 с! <» £(*)

В формулах (2) и таблице лу, - упругая податливость при нулевом электрическом поле, с!}1 - пьезоэлектрическая постоянная, -диэлектрическая проницаемость при нулевых напряжениях, - электрический потенциал, ± V® - значения электрического потенциала на лицевых поверхностях пьезоэлектрического слоя с номером к, 1гк - толщина к - го слоя, гк, - расстояние от верхней и нижней

лицевых поверхностей к —го слоя до срединной линии стержня соответственно Верхний индекс в круглых скобках означает номер слоя Из таблицы видно, что коэффициенты в соотношениях электроупругости (1) зависят от электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев

Получены формулы, позволяющие после решения задачи для слоистого стержня перейти от одномерных искомых величин теории стержней к трехмерным искомым величинам Показано, что формулы перехода существенно зависят от электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрического слоя

Электроупругие элементы используются в качестве преобразователей энергии Эффективность преобразования энергии характеризуется коэффициентом электромеханической связи (КЭМС) В работах \Voollett И. Г>, ТоиЬэ I, Улитко А Ф предложена формула для вычисления КЭМС, которая, как показано в работах Рога-чевой Н Н , является единственной универсальной формулой для любых задач статики и динамики электроупругих конструкций В диссертации эта формула впервые использована для расчета эффективности работы слоистых электроупругих стержней Эта формула, которую назовем энергетической формулой, имеет вид-

ии> = иш = /(<% +Е<ф)От)с1у (4)

V V

где к( обозначает КЭМС, С/1'1' - внутренняя энергия электроупругого те-

пШ

ла, электроды которого разомкнуты, а и - внутренняя энергия того же тела с коротко замкнушми электродами, V - объем, занимаемый электроупругим телом, е - компоненты гензора деформации, аи - компоненты

тензора напряжений, £, и Д - компоненты вектора электрического поля

и вектора электрической индукции в направлении х{

Другая формула, которая будет использоваться для вычисления КЭМС слоистых стержней - формула Мэзона

где озг - частота резонанса стержня, соа - частота соответствующего антирезонанса

В качестве примера рассмотрены вынужденные гармонические колебания трехслойного электроупругого стержня (внешние слои из пьезокерамики РХТ-5, центральный упругий слой из алюминия) с различными закреплениями краев, вычислены перемещения, напряжения и электрические величины, изучена зависимость коэффициента электромеханической связи от частот колебаний и толщин упругого и пьезоэлектрического слоя Расчеты показывают, что в данном случае максимальное значение КЭМС достигается при определенном соотношении толщин упругого и электроупругого слоев, причем это значение не зависит от частоты изгибных колебаний Изучена зависимость электрического потенциала от толщинной координаты Показано, что в случае изгибных колебаний безразмерный электрический потенциал (¡к — <р1У меняется по толщине по квадратичному закону Показано, что принимаемый во многих работах линейный закон изменения электрического потенциала по толщине в задачах изгиба приводит к существенным противоречиям

На рис. 1 показана зависимость безразмерного электрического потенциала (р, ~ (рIV от толщинной координаты х, в задаче изгиба Из графика видно, чго электрический потенциал меняется по толщине по квадратичному закону

Во второй главе методом гипотез построена теория стержней с произвольно расположенными слоями, т е стержней не имеющих срединной плоскости, являющейся плоскостью симметрии Для слоев используются те же гипотезы, что и для стержня симметричного строения В этом случае задача, вообще говоря, не расчленяется на плоскую задачу и задачу изгиба Показано, что за счет специального выбора нейтральной плоскости задачу можно расчленить на плоскую задачу и задачу изгиба Для данного случая получены формулы, позволяющие после решения задачи для несимметричного слоистого стержня перейти от одномерных искомых величин теории стержней к трехмерным искомым величинам Выполнен расчет двухслойного стержня, один слой которого упругий, а другой - пьезокерамический, вычислены все искомые величины, КЭМС

На рис 2 изображена зависимость КЭМС от безразмерного частотного параметра для стержня, у которого упругий слой из алюминия, а пьезоэлектрический из Р7Т-5 Жирная линия соответствует толщинам слоев /г, = = 0,0005л<, тонкая линия - /г, = 0,0008лг, /^ = 0,0002т I Поскольку одновременно происходят и продольные и поперечные колебания, зависимость КЭМС от частоты колебаний более сложная, чем в случае стержней симметричного строения Из графиков видно, как КЭМС зависит от частоты колебаний Локальные максимумы КЭМС достигаются перед резонансами, на резонансе КЭМС меньше максимальных значений, на соответствующем ему антирезонансе еще меньше, например, в случае упругого слоя из алюминия и \\ = /г, = 0,0005.« при продольных колебаниях в окрестности первого резонанса максимум КЭМС достигается перед

резонансом и равен ^ = 0,236. на первом резонансе ¿, = 0,219, на первом антирезонансе ^ = 0,213, при поперечных (изгибных) колебаниях в окрестности первого резонанса максимум КЭМС достигается перед резонансом и равен ке - 032, на первом резонансе КЭМС значительно меньше и равен ке = ОД 76, на первом антирезонансе ке = ОД 64

Как показывают проведенные вычисления, значения КЭМС ка,

определяемые по формуле Мэзона (5), совпадают с соответствующими значениями, определяемыми по энергетической формуле (3)

Рис. 2

На рис. 3 представлена зависимость КЭМС от толщины упругого слоя в предположении, что полная толщина стержня остается постоянной Расчеты показывают, что в данном случае максимальное значение КЭМС достигается при /г, = О 0006.«, причем это значение одно и тоже для всех частот изгибных колебаний

Выполнен расчет типовой электроупругой стержневой конструкции, широко используемой в электронной технике, например, в сканере. Конструкция состоит из упругого стержня, с г! о и сто 10 пьезокерамического стержня и абсолютно жесткого элемента, соединяющего их На поверхности абсолютно жесткого элемента расположено зеркало Выполнено решение связанной электроупругой задачи Найдены резонансные частоты Исследована зависимость угла поворота зеркала от различных параметров Ранее такая задача решалась как чисто упругая Связанная электроупругая задача решена впервые

В третьей главе получено аналитическое решение практически важной контактной задачи на поверхности упругого полупространства под действием электрической нагрузки совершает колебания активный пьезоэлектрический элемент в виде бесконечной полосы и возбуждает объемные и поверхностные волны в упругом полупространстве (рис 4;

В работе исследуются волны в упругом полупространстве, возбуждаемые активным пьезоэлектрическим элементом под действием электрической нагрузки, а также электроупругое состояние активного элемента

Рис. 4

Чтобы упростить сложную контактную задачу, принимаются некоторые очевидные предположения относительно электроупругого состояния пьезоэлектрической полосы Полная задача с учетом сделанных предположений может быть расчленена на задачу для активного элемента и сумму вспомогательных задач для упругого полупространства Для решения вспомогательных задач используется интегральное преобразование Фурье, затем полученные интегралы приводятся к удобному для вычислений виду методом функций комплексных переменных Вспомогательные задачи для упругого полупространства решатся подобно решению задачи Лэмба о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство Решения задач для активного элемента и упругого полупространства содержат неизвестные постоянные, которые обеспечивают удовлетворение условий контакта Следует отметить, что полученное решение позволяет определить всюду напряжения, деформации и перемещения, включая их амплитудные значения

В четвертой главе приведены результаты численных расчетов контактной задачи. На основе полученного аналитического решения квазистационарной динамической контактной задачи для упругого полупространства и активного пьезоэлемента проведено

всестороннее исследование распространения объемных и поверхностных волн в упругом полупространстве для различных материалов и частот электрической нагрузки, а также найдены оптимальные частоты электрической нагрузки, при которых амплитуда перемещений поверхностных волн достигает максимума Выполнены численные расчеты для активного элемента из материала Р7Т-5 и упругого полупространства из стали и из алюминия

На рис 5 безразмерное перемещение щ* в направлении х, представлено как функция координаты х{ на поверхности упругого полупространства из алюминия л\>1 вне области контакта с активным пьезоэлементом при круговой частоте колебаний, равной 4 10+51/с Полное безразмерное перемещение иу вычислено как

сумма перемещений продольных, поперечных и поверхностных волн Графики позволяют оценить расстояние от активного элемента по поверхности упругого тела, на котором перемещения продольных и поперечных волн затухают и далее распространяются только поверхностные волны Этот результат важен в устройствах приема и передачи сигналов.

0,4 т

г/,» 02

0

о

!| Х-

'14

-0,2 --

-0,4

На рис 6 представлена зависимость максимального значения безразмерного перемещения иу, от частоты колебаний активного

элемента ш* = со 10 5 Из графика видно, что в исследуемом интервале частот перемещение иу. имеет несколько максимумов

Рис. 6

В приложении 1 выполнено преобразование несобственных интегралов, полученных в результате обратного преобразования Фурье при решении контактной задачи

Заключение содержит выводы, следующие из проведенных исследований

1 В представленной работе методом гипотез выполнено построение теории пьезоэлектрических слоистых стержней, как симметричного строения, так и стержней, у которых слои расположены в произвольном порядке В качестве примеров приведены расчеты вынужденных гармонических колебаний слоистых стержней с различными закреплениями краев

2 Для сведения трехмерных уравнений электроупругости к одномерным уравнениям теории стержней использованы гипотезы, ко-

торые следуют из результатов асимптотического анализа трехмерных уравнений пьезоэлектрических тел. Особое внимание уделено гипотезам, принимаемым относительно электрических величин Показано, что гипотезы относительно электрических величин существенно зависят от вида электрических граничных условий - они разные для разных электрических условий на лицевых поверхностях электроупругих слоев Как правило, в большинстве работ принимаются одни и те же гипотезы для электрических величин без учета электрических условий на лицевых поверхностях слоя. Так, например, повсеместно используется линейный закон изменения по толщине слоя для электрического потенциала, что, как показано в этой работе, верно только в случае плоской задачи Показано, что использование линейного закона для электрического потенциала в случае задачи изгиба приводит к противоречиям и существенной погрешности

3 Показано, что коэффициенты в соотношениях электроупругости теории слоистых электроупругих стержней зависят от электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев Эти уравнения состояния слоистых стержней, учитывающие разные электрические условия, получены впервые

4 Для стержней несимметричного строения выполнено расчленение полной задачи на плоскую задачу и задачу изгиба путем соответствующего выбора положения нейтральной линии стержня

5 Получены формулы перехода от одномерных величин теории стержней к трехмерным искомым величинам для каждого слоя Показано, что для электроупругих слоев вид формул перехода существенно зависит от электрических условий на лицевых поверхностях слоев

6 Выполнен расчет эффективности преобразования энергии слоистого стержня, характеризующейся коэффициентом электро механической связи Вычисление КЭМС выполнено двумя различными способами, результаты вычислений полностью совпали Изучена зависимость КЭМС от частоты колебаний, толщин слоев Показано, что в случае изгибных колебаний существует определенное соотношение толщин упругих и пьезоэлектрических слоев, при ко-

тором эффективность преобразования достигает максимума Впервые выявлен факт, что это соотношение толщин одно и то же для всех частот изгибных колебаний стержня

7 Предложен способ построения аналитического решения контактной динамической задачи для активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства Полученное аналитическое решение позволяет найти все искомые величины, изучить электроупругое состояние активного элемента и распространение акустических волн в упругом полупространстве

Предложенный способ решения продемонстрирован на численных примерах, в результате расчета

- найдены перемещения и напряжения активного элемента и упругого полупространства, как на поверхности тела, так и во внутренних точках тела,

проанализирована зависимость максимальных амплитудных значений перемещений поверхностных волн от частоты колебаний активного элемента Показано, что эти перемещения достигают максимума при определенной частоте,

исследовано, на каком расстоянии от источника колебаний затухают объемные волны и остаются только поверхностные волны Предложенный способ решения может быть использован для анизотропного и слоистого упругого полупространства

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1 Кочетков И Д , Ромашов М Ю Напряженно-деформированное состояние биморфной упругой балки ХХПнаучно-техническая -методическая конференция МИКХиС, Материалы конференции 1998 Изд-во МИКХиС 1999 С 77-86

2 Кочетков И Д Динамическое поведение балочной элекгроупру-гой конструкции ХХНнаучно техническая - методическая конференция МИКХиС, Материалы конференции 1998 Изд-во МИКХиС 1999 С 142-149

Кочетков И Д, Рогачева Н Н. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства ПММ, №5, 69, 2005 с. 882-895

Kochetkov I D Dinarruc behavior of composite piezoelectric actuator Int conf Days on Diffraction'2005 Universitas Petropolitana MDCCXXIV P 47

Kochetkov I D , Rogacheva N N Efficientcy of piezoelectric actuator excited of acoustic waves in semi-infinite elastic solid Int conf Days on Diffraction'2004 Universitas Petropolitana MDCCXXIV P 44

Введение.

Глава 1. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней симметричного строения.

1. Постановка задачи и исходные уравнения.

2 . Построение теории стержней симметричного строения.

3. Переход от одномерных величин теории стержней к трехмерным величинам.

4. Коэффициент электромеханической связи.

5. Продольные колебания трехслойного стержня.

6. Изгибные колебания трехслойного стержня.

Глава 2. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней несимметричного строения.

7. Слоистые электроупругие стержни несимметричного строения.

8. Переход от одномерных величин теории несимметричных стержней к трехмерным величинам.

9. Колебания двухслойного стержня.

10. Динамическое поведение балочной электроупругой конструкции.

11. Напряженно-деформированное состояние биморфной упругой балки

Глава 3. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства.

12. Задача для пьезоэлектрического активного элемента.

13. Задача для упругого полупространства.

14. Условия контакта активного элемента и упругого полупространства

Глава 4. Численные примеры расчета контактной задачи.

15. Расчет акустических волн в упругом полупространстве из стали, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5.

16. Расчет акустических волн в упругом полупространстве из алюминия, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5.

Пьезоэлектрические элементы, основанные на использовании пьезоэффекта, который заключается в связанности электрического и механического полей, в настоящее время находят широкое применение в различных областях науки и техники.

У тела, обладающего пьезоэлектрическим эффектом, существует связь между электрическим и механическим полями. Вследствие этого пьезоэлектрики могут служить в качестве преобразователей электрической энергии в механическую и обратно.

Начало использованию пьезоэффекта было положено в годы первой мировой войны, когда французский физик П.Ланжевен впервые создал устройство с кварцевой мозаикой для гидроакустических измерений и исследований.

Пьезоэлектрические элементы используются в устройствах радиотехники, вычислительной и контрольно - измерительной техники, автоматики, в приборах дефектоскопии и медицинской диагностики в качестве экономичных преобразователей энергии сигналов, генераторов напряжения, фильтров, линий задержки, всевозможных датчиков, пьезоэлектрических двигателей, трансформаторов и т.д. Пьезоэлектрические элементы характеризуются высокой помехозащищенностью, технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации. Использование пьезоэлектрических материалов в электронике позволяет уменьшить размеры и массу элементов устройств, создать эффективные преобразователи энергии.

Режим работы активного пьезоэлектрического элемента, его размеры, геометрическая форма и структура определяются назначением преобразователя. Достаточно полную информацию по пьезоэлектрическим устройствам, их применению, методам расчета можно найти в работах [3], [9], [11], [15],[20], [31], [32], [38], [40], [42], [48], [73].

Новый этап в использовании пьезоэффекта начался в связи с открытием пьезоэлектрических свойств у поляризованного керамического титанита бария. Пьезокерамика быстро заменила пьезоэлектрические кристаллы во многих практических применениях, так как пьезокерамика имеет существенно более низкую стоимость, может обладать большей, чем кварц, пьезоактивностью, изделия из пьезокерамики можно получать практически любой формы и размера, а возможность создания искусственной поляризации в произвольном направлении позволяет конструировать пьезоэлементы в соответствии с их назначением.

Сегнетокерамические материалы синтезируются по керамической технологии: смешение мелкодисперсных порошков исходных компонентов в точной пропорции и последующий их обжиг при высокой температуре с целью получения соединения выбранного состава.

Сегнетоэлектрическая керамика после обжига однородна и изотропна. Полярные оси доменов, составляющих керамику, распределены статистически равномерно. Сегнетокерамика не обладает пьезоэффектом. При поляризации - приложении достаточно сильного электрического поля, домены получают преимущественную ориентацию и керамика становится полярной пьезоэлектрической текстурой - пьезокерамикой.

Широкое использование, конструктивное разнообразие размеров и форм и интенсификация условий эксплуатации различных пьезокерамических преобразователей привело к необходимости полного анализа их работы с помощью теории и методов механики деформируемого твердого тела. Постановка задач и основные уравнения связанных динамических задач содержатся, например, в [10], [15], [26], [30], [37], [41], [92].

Следует отметить, что в современных работах, посвященных тонкостенным пьезоэлектрическим элементам, просматриваются следующие направления - в ряде работ расчет ведется по трехмерной теории численными методами [79], [80], что приводит к неоправданным сложности и большим погрешностям. В других работах расчет проводится по упрощенным одномерным моделям, что не всегда позволяет составить правильную картину электроупругого поведения тонкостенного элемента. В третьей группе работ используются приближенные одномерные и двухмерные модели. Результаты работ последней группы весьма противоречивы - имеется большое сходство с ситуацией в мире механики до утверждения теории оболочек Кирхгоффа - авторы используют без достаточных обоснований разные предположения о порядке и характере поведения искомых величин, что приводит к качественно отличающимся одномерным и двухмерным теориям.

Для того, чтобы эти устройства надежно работали, надо располагать эффективными методами расчета. Даже в простейшей линейной постановке без учета температурных и магнитных эффектов электроупругое состояние пьезоэлемента описывается решением связанной электроупругой задачи, которое тем сложней, чем сложнее форма элемента. Нахождение точного решения трехмерной связанной электроупругой задачи представляет большие математические трудности (точные решения найдены только в простейших случаях, например, для слоя, сферы, бесконечного цилиндра [16] - [18], [21]), поэтому используются различные методы, позволяющие свести трехмерную задачу к одномерной для электроупругого стержня или двухмерной для электроупругой пластины или оболочки. Для того чтобы разработать приближенные методы расчета используемых в практике тонкостенных электроупругих элементов, естественно использовать малость одного из размеров, подобно тому, как это делается в теории упругих балок, пластин, оболочек. Такой подход имеет особое значение, так как аналитические решения по трехмерной теории электроупругости удается получить только для простейших задач.

Для краткости методы построения одномерных и двухмерных теорий называют методами сведения. Наиболее часто используются следующие три метода сведения: метод гипотез, метод разложения в ряды и асимптотический метод.

Первый метод сведения - метод гипотез, заключается в том, что с помощью некоторых предположений трехмерную задачу сводят к одномерной для стержней (балок) и двухмерной для пластин и оболочек. Так, например, получены известные теории упругих балок, пластин и оболочек Кирхгоффа-Лява. Хотя принятие гипотез вносит неустранимую погрешность, которую трудно оценить, этот метод отличается простотой и наглядностью и поэтому часто используется. В ряде работ сделана попытка уточнить теорию тонкостенных конструкций, приняв менее жесткие гипотезы, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. Примером могут служить теории типа Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг. Большая часть работ по построению теорий тонкостенных электроупругих элементов выполнена с помощью метода гипотез [4], [19], [20], [22], [23], [30], [33],[37], [41],[100]. Как правило, для механических величин принимаются гипотезы Кирхгоффа, а для электрических величин принимаются различные гипотезы, часто без достаточного обоснования. В ряде работ строятся уточненные теории электроупругих тонкостенных элементов, подобные теории Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг [2].

Другой метод сведения основан на разложении искомых величин в степенные ряды. Начало этому методу положили Коши и Пуассон, которые применили разложения по нормальной к срединной поверхности координате для сведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным. Количество удерживаемых в разложениях членов зависит от желаемой точности. Среди работ, выполненных методом разложения в степенные ряды, отметим работы X. Тирстена для пьезоэлектрической пластины [96] - [98].

Наиболее полно используют малость толщины тонкостенного элемента асимптотические методы, которые были детально разработаны для упругих пластин и оболочек, например, в работах И.И.Воровича [8] и А.Л.Гольденвейзера [29], а затем обобщены на электроупругость, например, в работах А.В. Белоконя [12]-[14], Ю.А.Устинова, И.П.Гетмана [27], Н.Н.Рогачевой [43]-[46], [92]-[94]. В этих работах в результате асимптотического анализа трехмерных уравнений электроупругости показано, что полное электроупругое состояние складывается из электроупругого погранслоя и внутреннего электроупругого состояния, построены одномерные и двухмерные теории электроупругих балок и пластин и оболочек без принятия каких-либо гипотез, оценены погрешности построенных теорий.

В результате асимптотического анализа выяснилось какие гипотезы следовало бы принять для искомых величин, чтобы выполнить правильно сведение методом гипотез. Особенно важно правильно сформулировать гипотезы для электрических величин, так как для них нет аналога в теории упругости.

Особое место в использовании пьезоэлектрических преобразователей занимают электроупругие композиты -слоистые тонкостенные элементы, составленные из пьезоэлектрических и упругих слоев [49]—[51 ], [54]—[56], [58]-[72], [74], [76]—[79], [83]-[86], [91], [93], [95], [100], [101]. Несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме, остаются открытыми вопросы правомерности гипотез для электрических величин при сведении, вопросы расчета и оптимизации конструкции.

Настоящая диссертация посвящена созданию прикладных теорий колебания пьезоэлектрических преобразователей. При построении прикладных теорий использовались гипотезы, которые были ранее обоснованы асимптотическим методом [92]. В монографии [92] показано, что содержание гипотез существенно зависит от условий на лицевых поверхностях тонкостенного элемента. В диссертации построены прикладные теории колебания слоистых электроупругих стержней симметричного и произвольного строения [34], [35]. Получены формулы перехода от одномерных величин к трехмерным искомым величинам, которыми следует воспользоваться после решения одномерной задачи. Пьезоэлектрические устройства работают как преобразователи энергии - механической в электрическую и наоборот, поэтому особое внимание уделено вычислению и анализу эффективности преобразования энергии, характеризуемой коэффициентом электромеханической связи (КЭМС). В качестве примеров рассмотрены трехслойные и двухслойные стержни, стержневая система, используемая в электронике, выполнен полный анализ динамического поведения. Решена контактная задача - активный тонкий пьезоэлектрический элемент, находящийся на поверхности упругого полупространства, возбуждает объемные и поверхностные волны в упругом полупространстве. Получено аналитическое решение, выполнен численный расчет [36].

Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, приложения 1, список литературы. В диссертации приведено 46 рисунков и графиков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе методом гипотез выполнено построение теории пьезоэлектрических слоистых стержней, как симметричного строения, так и стержней, у которых слои расположены в произвольном порядке. В качестве примеров приведены расчеты вынужденных гармонических колебаний слоистых стержней с различными закреплениями краев.

Для сведения трехмерных уравнений электроупругости к одномерным уравнениям теории стержней использованы гипотезы, которые следуют из результатов асимптотического анализа трехмерных уравнений пьезоэлектрических тел, выполненного в монографии [92]. Особое внимание уделено гипотезам, принимаемым относительно электрических величин. Гипотезы относительно электрических величин существенно зависят от вида электрических граничных условий - они разные для разных электрических условий на лицевых поверхностях электроупругих слоев. Как правило, в большинстве работ принимаются одни и те же гипотезы для электрических величин без учета электрических условий на лицевых поверхностях слоя. Так, например, повсеместно используется линейный закон изменения по толщине слоя для электрического потенциала, что, как показано в этой работе, верно только в случае плоской задачи. Показано, что использование линейного закона для электрического потенциала в случае задачи изгиба приводит к существенной погрешности и к противоречиям.

Показано, что коэффициенты в уравнениях состояния в теории слоистых электроупругих стержней зависят от электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев. Эти уравнения состояния слоистых стержней, учитывающие вид электрических условий, получены впервые.

Для стержней несимметричного строения выполнено расчленение полной задачи на плоскую задачу и задачу изгиба путем соответствующего выбора положения нейтральной линии стержня.

Получены формулы перехода от одномерных величин теории стержней к трехмерным искомым величинам для каждого слоя, которыми следует воспользоваться после решения одномерной задачи теории стержней. Показано, что для электроупругих слоев вид формул перехода существенно зависит от электрических условий на лицевых поверхностях слоев.

Выполнен расчет эффективности преобразования энергии слоистого стержня, характеризующийся коэффициентом электро механической связи. Вычисление КЭМС выполнено двумя различными способами, результаты вычислений полностью совпали. Изучена зависимость КЭМС от частоты колебаний, толщин слоев, материала упругого слоя.

Показано, что в случае изгибных колебаний существует определенное соотношение толщин упругих и пьезоэлектрических слоев, при котором эффективность преобразования достигает максимума. Впервые выявлен факт, что это соотношение толщин одно и то же для всех частот изгибных колебаний стержня.

Предложен способ построения аналитического решения контактной динамической задачи для активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства. Полученное аналитическое решение позволяет найти все искомые величины, изучить электроупругое состояние активного элемента и распространение акустических волн в упругом полупространстве.

Предложенный способ решения продемонстрирован на численных примерах, в результате расчета

- найдены перемещения и напряжения активного элемента и упругого полупространства, как на поверхности тела, так и во внутренних точках тела,

- проанализирована зависимость максимальных амплитудных значений перемещений поверхностных волн от частоты колебаний активного элемента. Показано, что эти перемещения достигают максимума при определенной частоте,

- исследовано, на каком расстоянии от источника колебаний затухают объемные волны и остаются только поверхностные волны.

Решение может быть использовано для неразрушающего контроля, в сейсмологии и для оптимизации задач распространения сигналов.

Предложенный способ решения может быть использован для анизотропного и слоистого упругого полупространства.

1. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестностях ребра// ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 178-186.

2. Амбардумян С.А., Белубекян М.В. К задаче изгиба пьезокерамическнх пластин, поляризованных но координатной линии срединной плоскости // Механика. Ереван: Изд-во Ереван Ун-та, 1986. Вып. 5. С. 59-67.

3. Ананьева А.А. Керамические приемники звука. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 178 с.

4. Андрущенко В.А., Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Никитенко В.Н., Улитко А.Ф. Бегущие волны деформаций в тонких пьезокерамическнх оболочках // XIII Всесоюз. конф. Пластины и оболочки. Таллин: Изд-е Таллин. Политех, ин-та, 1983. Ч. I. С. 36-41.

5. Аронов Б.С. Об электромеханическом: преобразовании энергии при деформации изгиба тонких пьезокерамическнх пластин // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 3. С. 33-36.

6. Аронов Б.С. Об эффективных коэффициентах электромеханической связи пьезокерамическнх тел// Прикл. механика. 1980. Т.16. № 30. С. 101-107.

7. Аронов Б.С. Об энергетическом методе расчета пьезокерамических электроакустических преобразователей. // Вопросы судостроения. Сер. общетехн. 1978. Вып. 31. С. 48-59.

8. Базаренко Н.А., Ворович И.И. Анализ трехмерного напряженного и деформированного состояния круговых цилиндрических оболочек. Построение уточненных теорий // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 3.1. С. 496-510.

9. Баракас Р.А., Кульветис Г.П., Рагульскис К.М. Расчет и проектирование вибродвигателей. М.: Машиностроение, 1984. 101 с.

10. Барфут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений: Пер. с англ. М.: Мир, 1970.352 с.

11. Барфут Дж., Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и их применение: Пер. с англ. М.: Наука, 1981. 528 с.

12. Белоконь А.В. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров // ДАН СССР. 1977. Т. 233. №1. С. 56-59.

13. Белоконь А.В., Вовк Л.П. Об установившихся колебаниях электроупругой пластины переменной толщины // Прикл. Механика.-1982.-Т.18, №5.-С. 93-97.

14. Белоконь А.В., Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории электроупругих тел //Актуальные проблемы механики деформируемых сред.-Днепропетровск: Изд-е Днепропетр. Ун-та, 1979. С. 53-67.

15. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г., Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях //Физическая акустика. /Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966. Т.1. Ч. А . С. 204-326.

16. Болкисев A.M., Шульга Н.А. Вынужденные колебания пьезокерамического полого цилиндра (осевая поляризация) // Прикл. механика. 1985. Т. 21. №12. С. 109-111.

17. Болкисев A.M., Шульга Н.А. Вынужденные колебания пьезокерамического полого цилиндра (радиальная поляризация) //Прикл. механика. 1985. Т. 21. №5. С. 118-121.

18. Болкисев A.M., Ефимова Т. Л., Шульга Н.А. Колебания пьезокерамического полого цилиндра при механическомнагружении//Прикл. механика. 1985. Т. 21. №9. С. 109-112.

19. Бондаренко А.А., Карась Н.И., Улитко А.Ф. Методы определения характеристик диссипации при колебаниях пьезокерамическнх элементов конструкций // Прикл. механика. 1982. Т. 18. №2. С. 104-108

20. Бондаренко А.А., Куценко Н.И., Улитко А.Ф. Амплитуды и фазы продольных колебаний пьезокерамическнх стержней с учетом переменной механической добротности // Прикл. механика. 1980. Т. 16. №11. С. 84-86.

21. Борисейко В. А. Исследование колебаний пьезокерамической цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наук. Думка, 1978. Вып. 18. С. 91-95.

22. Борисейко В.А., Мартыненко B.C. Прикладные теории колебаний пьезокерамическнх элементов различной геометрии и поляризации // Прочность поликристаллических сегнетоэлектриков. М.: Изд-е Ин-та физики твердого тела, 1981. С. 49-58.

23. Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамическнх оболочек // Математическая физика. Киев: Наук. Думка, 1977. Вып. 21. С. 71-76.

24. Борисейко В.А., Мартыненко B.C. Прикладные теории колебаний пьезокерамическнх элементов различной геометрии и поляризации // Прочность поликристаллических сегнетоэлектриков. М.: Издание Ин-та физики твердого тела, 1981. С. 49-58.

25. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.287 с.

26. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. 168с.

27. Вул Б.М. Вещества с высокой и сверхвысокой диэлектрической проницаемостью. // Электричество. 1946. №3. С. 12.

28. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 923-932.

29. Глозман И.А. Пьезокерамика. М.: Энергия, 1972. 288 с.

30. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек . М.: Наука, 1976. 512 с.

31. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Пер. с франц. М.: Наука, 1982.424 с.

32. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков. М.: Наука, 1968.463 с.

33. КоломиецГ.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания электроупругих тел// Тепловые наряжения в элементах конструкций. Киев: Наук. Думка, 1969. Вып. 8. С. 15-24

34. Кочетков И.Д., Ромашев M.IO. Напряженно-деформированное состояние биморфной упругой балки. XXII научно-техническая -методическая конференция МИКХиС. Материалы конференции 1998. Изд-во МИКХиС 1999. С. 77-86.

35. Кочетков И.Д. Динамическое поведение балочной электроупругой конструкции. XXII научно-техническая методическая конференция МИКХиС. Материалы конференции 1998. Изд-во МИКХиС 1999. С. 142-149.

36. Кочетков И.Д., Рогачева Н.Н. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства// ПММ. 2005.Т. 69. Вып. 5. С. 882-895.

37. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов // Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1978.T.II. С. 5-66.

38. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. М.: ИЛ, 1949. 719 с.

39. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ. 1935. 674 с.

40. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1952. 448 с.

41. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 471 с.

42. Пьезоэлектрические преобразователи. Методы измерения и расчет параметров. Справочник/Под ред. С.И.Пугачева. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

43. Рогачева Н.Н. О применимости общих теорем электроупругости к теории пьезоэлектрических оболочек. Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №5. С. 172-180.

44. Рогачева Н.Н. Об условиях типа Сен-Венана в теории пьезоэлектрических оболочек. ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С. 302-306.

45. Рогачева Н.Н. Классификация свободных колебаний пьезокерамическнх оболочек. ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 1. С. 147-154.

46. Рогачева Н.Н. Зависимость коэффициента электромеханической связи пьезоэлектрических элементов от положения и размера электродов. ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 323-333.

47. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики Л.: Судостроение, 1972. 348с.

48. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 288 с.

49. Abramovich Н., Livshits A., Dynamic behavior of cross-ply laminated beams with piezoelectric layers, Composite structures, 25, 1993, p. 371-379.

50. Anderson, G.L., "Natural Frequencies of Two Cantilevers Joined by A Rigid Connector at Their Free Ends", Journal of Sound and Vibrations 57(3),1978, pp. 403-412.

51. Autar К. Kaw, Mechanics of Composite materials. Boca Raton: CRC Press, 2005.512 р.

52. Bailey Т., Hubbard J.E. Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of a cantilever beam //J. Guidance, 1985. V. 8. № 5. P. 605-611.

53. Bath M. Mathematical Aspects of Seismology. Amsterdam: Elsevier, 1968. 415 p.

54. Baumann W.T., Saunders W.R., Robertshaw H.H. Active suppression of acoustic radiation from impulsively excited structures// J. Acoust. Soc. Am. 1991. V.88.P. 3202-3208.

55. Bianchi E., Gardonio P., Elliott S.J. Smart panel with decentralised units or the control of sound transmission. P. Ill Control system implementation, Proceedings of ACTIVE 2002, 2002. P. 499-510.

56. Challande P. Optimizing Ultrasonic Transducers based on Piezoelectric Composite using a Finite Element Method// IEEE Trans, of Ultr., Fer. and Freq. Control, 1990.V. 37. №2. P 135-140.

57. Chang S.h., Rogacheva N.N., Chou C.C. Analysis of methods for determiing electromechanical coupling coefficients of piezoelectric elements // IEEE Trans.Ultrason., Ferroelectr. And Freq. Contr. 1998. V. 45. №4. P. 630-640.

58. Clark R.L., Fuller C.R. Experiments on the active control of structurally radiated sound using multiple piezoceramic actuators// J. Acoust. Soc. Am. 1992. V.91. №6. P. 3313-3320.

59. Clark R.L., Fuller C.R. Modal sensing of efficient acoustic radiators with polyvinylidene floride distributed sensors in active structural acoustic control approaches//J. Acoust. Soc. Am. 1992. V.91. №6. P . 3321-3329.

60. Clark R.L., Burdisso R.A., Fuller C.R. Design approaches for shaping PVDF sensors in active structural acoustic control// J. Intelligent Materials

61. Systems and Structures, 1993. №4. P. 3541-365.

62. Clark R.L., Saunders W.R., Gibbs G.P. Adaptive Structures. New York: John Wiley & Sons. 1998. 324 p.

63. Crawley E.F., J. de Luis Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures//J.AIAA. 1987. V.25.P. 1373-1385.

64. Cunefare K.A. The minimum multimodal radiation efficiency of baffled finite beams//J. Acoust. Soc. Am. 1991. V.90.P. 2521-2529.

65. Elliott S.J. Signal Processing for Active Control. Academic Press. 2001. 2951. P

66. Elliott S.J., Johnson M.E. Radiation modes and the active control of sound power//J. Acoust. Soc. Am. 1993. V.94. P. 2194-2204.

67. Elliott S.J., Gardonio P., Sors T.C., Brennan M.J. Active vibro-acoustic control with multiple feedback loops// J. Acoust. Soc. Am. 2001. V.l 1. №2. P. 908-915.

68. Francois A., De Man P., Preumont A. Piezoelectic array sensing of volume displacement: a hardware demonstration// J. of Sound and Vibration, 2001. V.244. №3. P. 95-405.

69. Gopinatham S.V., Varadan V.V.,Varadan V.K. A review and critique of theories for piezoelectric laminates // Smart Materials and Structures, 2000. № 6. P. 24-48.

70. GuY., Clark R.L., Fuller C.R. and Zander A.C. Experiments on active control of plate vibration using piezoelectric actuators and polyvinylidene floride (PVDF) modal sensors// ASME Journal of Vibration and Acoustics,,1994. №116. P. 303-308.

71. Hansen C.H., Snyder S.D. Active Control of Noise and Vibration, E & FN Spon. 1997. 376 p.

72. Holland R., Eer Nisse E. P. Design of Resonant Piezoelectric Devices. Cambridge: MIT Press, 1969. 235 p.

73. Holland R., Eer Nisse E. P. Variational evaluation of admittances of multielectroded three-dimensional piezoelectric structures// IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1968. V. 15. №2. P. 119-132.

74. IEEE Standart on Piezoelectricity, ANSI-IEEE Std. 176, 1987. IEEE: New York; 1987. 124 p.

75. Im S., Atluri S.N. Effects of a piezo-actuator on finitely deformed beam subjected to general loading// AIAA J. 1989. V. 27. №12. P. 1801-1807.

76. Jan Soderkvist. Dynamic behavior of a piezoelectric beam// J. Acoust. Soc. Am. 1991. Pt. 1. V.90. №2. P. 692-697.

77. Johnson M.E., Elliott S.J. Active control of sound radiation using volume velocity cancellation//J. Acoust. Soc. Am. 1998. V.98. P. 2174-2186.

78. Kagawa. V., Samabuch T. Finite element simulation of electromechanical problems with an application to energy trapped and surface-wave devices// IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1976. V.23. №6. P. 376-385.

79. Kagawa V. A new approach to analysis and design of electromechanical filters by finite-element technique// J. Acoust. Soc. Am. 1971. Pt 1. V 49. №5. P. 1348-1359.

80. Kochetkov I.D. Dinamic behavior of composite piezoelectric actuator. Int. conf. Days on Diffraction'2005. Universitas Petropolitana MDCCXXIV. P. 47.

81. Kochetkov I.D., Rogacheva N.N. Efficientcy of piezoelectric actuator excited of acoustic waves in semi-infinite elastic solid. Int. conf. Days on Diffraction'2004. Universitas Petropolitana MDCCXXIV. P. 44.

82. Lamb H., Dynamic Theory of Sound. L.E. Arnold, 1931. 307 p.

83. Lee C.K., Moon F.C. Modal sensors/actuators. American Society of Mechanical Engineers// J. of Applied Mechanics, 1990. P. 434-441.

84. Lee C.K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensor/actuators. Part I: governing equations and reciprocal relationships//J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 87. № 3. P. 1144-1158.

85. Lewis M.F. On Rayleigh Waves and Related Propagating Acoustic Waves, in Rayleigh -Wave Theory and Application, Ash, E.A., and Paige, E.G.S., ed., Springer-Verlag, 1985. 323 p.

86. Lord Rayleigh. Collected Papers. Cambridge: Univ. Press, 1900. V. 1-6. P. 1899-1920.

87. Love A.E.H. Some Problems of Geodynamics. Cambridge: Univ. Press, 1911. 180 p.

88. Q. Wang, S.Y. Quek, V.K. Varadan. Love Waves in Piezoelectric Coupled Solid Media// Smart Mater. Struct. 2001. V. 10. P. 380-388.

89. Qingyan Meng, Mehram Mehregany, Keren Deng. Modeling of the electromechanical performance of piezoelectric laminated microactuators// J. Micromech., Microeng. 1993. №3. P. 18-23.

90. Rogacheva N.N. The Theory of Piezoelectric Shells and Plates. Boca Raton: CRC Press, 1994. 260 p.

91. Rogacheva N.N. Thin-walled smart laminated structures: theory and some applications. Proceeding of IUTAM Symposium "Smart -2000", Kluwer. 2001. P. 205-212.

92. Rogacheva N.N. Analysis and optimization of energy conversionefficiency for piezoelectric transducers // NATO ASI Series Vol. "Smart Structures-Requirements and Potential Applications in Mechanical and Civil Engineering", 1999. P. 236-244.

93. Smith W.A., Auld B.A. Modeling 1-3 Composite Piezoelectrics : Thickness-Mode Oscillations// IEEE Trans, on Ultr., Fer. and Freq. Control, 1991. V. 38. №1. P. 40-47.

94. Tiersten H. F., Mindlin R. D. Forced vibrations on piezoelectric crystal plates// Quart. Appl. Math. 1962. V. 20. №2. P. 107-116.

95. Tiersten H. F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press, 1969. 264 p.

96. Tiersten H. F. Wave propagation in an infinite piezoelectric plate// J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. №2. P. 234-245.

97. Toulis W. J. Electromechanical coupling and composite transducers// J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. №1. P. 74-82.

98. Tzou H.S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensing and Control of Continua). Dordrecht: Kluwer, 1993. 480 p.

99. Wang Q., Quek S.T. Flexural analysis of piezoelectric coupled structures // Solid Mechanics and its Applications. Eds. U.Gabbert, H.S.Tzou, Kluwer, 2001. V. 89. P. 161-168.

100. Williams M.L. The Complex-Variable Approach to Stress Singularity// ASME J. Appl. Mech. 1956. V. 23. №3. P. 477-478.

101. Woollett R. S. Comments on "Electromechanical coupling and composite transducers"// J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. №12. P. 1837-1842.

102. Woollett R. S. Effective coupling factor of single-degree-of-freedom transducer//J. Acoust. Soc. Am. 1966. V. 40. №5. P. 1112-1123.