Задачи термоэлектроупругости для тонкостенных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

"/) / /{-^уС-

Лавриненко Валентина Валерьевна

ЗАДАЧИ ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003455672

Ростов-на-Дону — 2008

003455672

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Пряхина Ольга Донатовна

доктор физико-математических наук, профессор

Ляпин Александр Александрович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный уни-

верситет (г. Санкт-Петербург)

Защита диссертации состоится 23 декабря 2008 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан <£0> ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н. В.

Общая характеристика работы

В диссертационной работе сформулированы и решены ряд задач термо-электроупругости для тонкостенных элементов. В работе предложен вариационный принцип с единым функционалом, который может быть эффективно использован для получения упрощенных моделей и формулировки корректных краевых задач при исследовании установившихся и нестационарных колебаний термоэлектроупругих элементов. Построен и изучен ряд моделей движения и колебаний термоэлектроупругой пластины при формулировке различных гипотез о строении физических полей. Проведенное сравнение моделей позволяет позволяет определить области их применимости в зависимости от параметров задачи.

Актуальность темы. Измерение температуры объектов является важнейшей инженерной задачей, позволяющей оперативно управлять технологическими и производственными процессами. При этом в качестве датчиков температуры в последнее время все чаще используются такие, в основе функционирования которых лежит пьезо- и пироэффект. Область применения таких датчиков достаточно широка: медицинская диагностика, системы контроля сложных динамических систем, системы идентификации параметров и другие. В ряде случаев, измерив температуру, можно анализировать и другие характеристики задачи, однозначно с ней связанные. Так, например, при помощи измерения граничной температуры можно выявлять скрытые дефекты в конструкциях типа трещин, в окрестности которых при динамическом воздействии наблюдаются значительные градиенты температур.

Большой научный интерес представляет собой проблема расчета параметров и оптимизация при создании различных типов температурных датчиков из пиро- и пьезоактивных материалов, в которых в результате теплового нагружения наводится разность потенциалов. При определении потенциала необходимо учитывать взаимное влияние упругого, теплового и электрического полей. Детальный учет связанности физических полей в различных задачах термоэлектроупругости важен в связи с постоянной модернизацией датчиков, созданных на основе различных пьезо- и пироак-тивных материалов, в которых незначительные тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние на сопряженные поля.

В связи с этим разработка методов решения задач с учетом связанных полей является весьма актуальной, особенно для тонкостенных элементов, которые являются важными компонентами датчиков.

Цели работы. Основная цель настоящей диссертационной работы со-

стоит в формулировании объединенного вариационного принципа термо-электроупругости и его применении для исследования динамических процессов в термоэлектроупругих тонкостенных элементах с учетом и без учета связанности, выяснении тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты, а в каких ситуациях пренебрежение связанностью недопустимо.

Методика исследования. Методы, использованные в работе, опираются на классические подходы теории пластин и вариационные методы формулировки краевых задач математической физики. Результаты исследований опираются на общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, на использование интегральных преобразований Фурье и Лапласа, асимптотический анализ решений, методы теории функции комплексного переменного.

Научная новизна. В теории связанной термоэлектроупругости построен функционал, из стационарности которого вытекают основные уравнения и граничные условия модели. На основе вариационного подхода выведены корректные уравнения движения и граничные условия для термоэлектроупругих пластин при различных типах теплового нагружения на лицевых поверхностях при разной структуре гипотез при аппроксимации физических полей по толщинной координате. Решен ряд новых конкретных задач о колебаниях термоэлектроупругих ленточных пластин. Исследовано влияние связанности полей на наведенный потенциал, дана оценка применимости различных упрощенных подходов.

Практическая значимость. Вариационная постановка задачи термоэлектроупругости позволяет строить различные уточненные модели колебаний пироэлектрических датчиков, в том числе при наличии разрезных электродов. Результаты исследований задач о колебаниях термоэлектроупругих пластин могут быть использованы при расчетах и оптимизации пироэлектрических датчиков.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгими математическими методами при формулировке упрощенных краевых задач на основе вариационного подхода, асимптотическим анализом потенциала при малых и больших временах, сравнением с точными решениями, сравнением результатов с различными предельными случаями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на ряде конференций и семинаров: III Международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 1997 г.); VI Международной научной конференции «Современные

проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2000 г.); Международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (г. Ростов-на-Дону, 2001 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт - 2004» (г. Ростов-на-Дону, 2004 г.); III школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 2004 г.); X Международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006 г.); III Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2007 г.); IV Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2008 г.).

В полном объеме диссертация докладывалась на семннарах кафедры теории упругости Южного федерального университета. Представленные в диссертации исследования выполнены при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-01011).

Публикации и вклад автора. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 10 работах. Из них одна статья [3] помещена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

3 работы выполнены в соавторстве с научным руководителем А. О. Ва-тульяном. В работах [3], [4], [5] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задачи и основные идеи получения вариационного принципа в задачах тер-моэлектроупругости, обсуждение результатов, автору диссертации принадлежит вывод вариационного принципа и построение решений приведенных задач. 2 работы выполнены в соавторстве с А.О. Ватульяном и А. Ю. Ки-рютенко. В работах [1], [2] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задачи и основные идеи асимптотического анализа; диссертанту принадлежит построение решения для потенциала и его асимптотический анализ; А. Ю. Кирютенко принадлежит построение решений для смещений и напряжений и численный анализ всех решений.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 116 страниц. Список литературы содержит 141 наименование.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследований, предпринятых в работе; представлены историческая справка и краткий обзор работ и известных результатов по тематике диссертации. Большой вклад в развитие прикладных теорий и численных методов в электроупругости, термоупругости, термоэлектроупругости внесли В. А. Бабешко, А. В. Белоконь, А. О. Ватульян, И. И. Ворович, В. Т. Гринченко, С. А. Калоеров, А. Д. Коваленко, Р. М. Кушнир, А. В. Наседкин, В. 3. Партон, Я. С. Подстригач, 0. Д. Пряхина, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинов, Г. А. Шинкаренко, Р. АзЫс1а, Т>. ВегПпсоиг1, И. В. Не1;11аге1а, г.-В. Kuang, И. Б. МтсШп, V. 1Чо\уас]п, Э. БЬеп, С}.-Н. (Зт и другие российские и зарубежные ученые.

В главе 1 представлена постановка задач в термоэлектроупругости и изучены некоторые свойства решений.

В разделе 1.1 представлена полная система уравнений связанной термоэлектроупругости в линейном приближении с учетом определяющих соотношений. Так, общая система уравнений в частных производных второго порядка, описывающая движение термоэлектроупругой среды, имеет вид:

где щ - компоненты вектора перемещения; ср - электрический потенциал; в - прирост температуры от естественного состояния; суы - компоненты тензора упругих постоянных; ем - компоненты тензора пьезоэлектрических постоянных; е- компоненты тензора диэлектрических проницаемо-стей; - компоненты тензора температурных напряжений; д{ - пирокоэф-фициенты; йу - компоненты тензора теплопроводности; с£ - теплоемкость при постоянной деформации; р - плотность; То - температура естественного состояния по шкале Кельвина (все величины измерены в изотермическом состоянии).

Сформулированы различные типы механических, тепловых и электрических граничных условий.

В случае, когда разность потенциалов наводится в результате теплового или механического воздействия на элемент и необходимо определить ее величину, она определяется из условия включения элемента в электрическую цепь:

<Чзк№,1] + екц<Р,к] ~ + = рйи

емЩн ~ + Р.0,! = -с, кг]6„ - сев - Т0(7уй;,_,- - =

(1)

где /(<) - ток в цепи.

Кроме граничных условий формулируются начальные условия для основных полевых характеристик.

Для важного случая пьезокерамики класса 6шт, наиболее часто использующейся в приложениях, приведены определяющие соотношения и представлен операторный вид уравнений, удобный для дальнейшего анализа.

В разделе 1.2 проведено обезразмеривание общей задачи и представлены различные случаи ее упрощения в термоэлектроупругости, использующее малость введенных безразмерных параметров 61, характеризующего связанность температуры с электрическим потенциалом и упругим смещением, и ¿2, являющегося отношением характерных времен звуковых

= Ну/р/сшз и тепловых ¿2 = Н2се/кзз возмущений. Для дальнейшего анализа задачи вводится в рассмотрение операторный пучок - преобразование Лапласа по времени с параметром 5. Представлены несколько возможных упрощенных постановок, позволяющих изучить наиболее характерные типы решений в термоэлектроупругости:

1. Стационарное решение, на которое выходит система при Ь —> оо, что соответствует й —> 0.

2. Квазистатическое решение, получающееся при пренебрежении инерционными слагаемыми, т.е. при 82 = 0. Это приближение не описывает скачков напряжений на фронтах волн, но может быть использовано для описания поведения потенциала в зависимости от времени.

3. Решение в предположении малой связанности, т.е. ¿1 - мало. В этой постановке при тепловом возбуждении сначала определяется поле температур, а затем находится распределение остальных характеристик.

4. Квазистатическое решение в линейном приближении по 51.

В разделе 1.3 приведено решение важной одномерной задачи о тепловом ударе по полубесконечной среде, которая является обобщением известной задачи Даниловской в термоупругости. Краевая задача в данном случае описывается следующей системой уравнений:

сзз«" + езз9?"-7зз0' = рй, еззи"-езз</ + <?з0' = О, (3)

-ТоЫ*' ~ 9зФ') + кзв" - сев = 0, с граничными условиями при хз = 0:

сззи' + езз<р' - 7зз0 = 0,

Рис. 1. <Рп(т) в случае в0(г) = Н{т) - Н(т - n), ri = 0,5

в = efe0(t), (4)

<Р = Vo(f)

и с нулевыми начальными условиями.

Общая формула для нахождения потенциала в этом случае имеет вид:

УоМ = -fjL 1

ГЦл/s + fa + 1]2Г]) Q0{s)

(5)

\/(1 + Ф? + V2 л/в где Ь-1 - обратное преобразование Лапласа, 9о(в) - трансформанта Лапласа по времени 'П = 7ззд/~~ безразмерный коэффициент, характе-

V с33се

ризующий температурную связанность полей, аналогичный коэффициенту Ш = = - безразмерный коэффициент, характеризую-езз Ц> V £ззСе „ е33/г е33 щий теплоэлектрическую связь в системе, % = —тт = —¡= ~ коэффи-

еззИ \/«ззСзз

циент электромеханической связи.

Дальнейший анализ осуществляется на основе различных подходов к анализу задач термоэлектроупругости. Найден потенциал в случае использования концепции слабосвязанной задачи; построена асимптотика передаточной функции, использующая малость параметра связанности г]. Исследовано поведение безразмерной наведенной разности потенциалов <ро(т) при различных видах теплового нагружения: во(т) = 01 (т) = 5(т), во{т) = 02(т) = Н(г), во(т) = в3(т) = Н(т) — Н(т — Т1). На рис. 1 приведена зависимость потенциала от безразмерного времени в случае $о(т) = 6з(т) = Н(т) — Н(т — Г1). Сравнение полученных при различных видах теплового нагружения результатов показало, что при малых временах основной вклад

в потенциал вносит теплоэлектрическая связанность задачи, характеризуемая параметром щ. С ростом т влияние этого параметра ослабевает и основной вклад в потенциал вносят термоупругий и электромеханический эффекты, влияние которых характеризует комплекс 77772В главе 2 описана вариационная постановка задач термоэлектроупру-гости, необходимая для получения корректных краевых задач в случаях, когда возможно построение более простых моделей для тонкостенных элементов.

В разделе 2.1 приведены основные вариационные уравнения для термопьезоэлектрической среды, обобщающие принцип Гамильтона для термоупругих тел при установившихся колебаниях. При традиционном использовании этого подхода (Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. - М.: Мир, 1986, 160 с.) нужно варьировать два функционала. В задачах для тонкостенных элементов, в которых вводятся гипотезы о строении неизвестных полей и для корректной постановки краевых задач целесообразно использовать вариационный подход, это не всегда удобно.

В разделе 2.2 предлагается использовать подход с одним функционалом, основанный на принципе Гамильтона для единой термоэлектромеханической системы. Представленный в разделе стационарный вариационный принцип может быть эффективно использован для получения простых моделей колебаний термоэлектроупругих элементов.

Для термоэлектроупругого тела, занимающего объем V, ограниченного поверхностью 5, введено понятие кинематически возможного поля II, которым названо множество вектор-функций {и,, у?, в} £ С12(У), вариации которых удовлетворяют условиям

где £и - часть поверхности 5", на которой заданы компоненты вектора смещений, на задана температура, электродирована.

Показано, что среди всех кинематически возможных полей истинные доставляют стационарное значение функционалу Ь,

(6)

+ Яш + оу> +

ри? 2

v/ 1

1

(7)

v

1

21шТ0

1

где на Ба задан вектор напряжений с компонентами Рг, на Бд - тепловой поток /.

Из условия равенства нулю первой вариации функционала Ь (7) следуют уравнения уравнения связанной термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний и естественные граничные условия. Также отмечено, что построенный функционал Ь является обобщением известных функционалов в электроупругости и термоупругости, и в случае, когда коэффициенты связанности 7у = 0, = 0, он представляется в виде суммы Ь = Ьх+Ьч, где функционал Ь\ отвечает задаче электроупругости, а функционал 1/2 _ задаче теплопроводности в случае установившихся колебаний.

В разделе 2.3 сформулирован в общем случае в нестационарных задачах термоэлектроупругости вариационный подход в пространстве изображений по Лапласу. Единый функционал Ь в пространстве Лапласа построен аналогично случаю установившихся колебаний с помощью формальной замены —ш на в в Ь (7), использующей существующий в линейном случае принцип соответствия между задачами об установившихся колебаниях и преобразованными по Лапласу нестационарными задачами.

В главе 3 построены прикладные теории для тонкостенных элементов и исследован ряд моделей на их основе.

В разделе 3.1 введены два основных типа задач, отличающихся постановкой граничных условий для тепловых характеристик. Рассматривается тонкостенная термоэлектроупругая плита V = Г2 х [—Я, Н], где - плоская односвязная область с гладкой границей, О С Дг и 7 = 80.. Элемент поляризован в направлении оси 2:3. На внешние поверхности хз = -кН нанесены бесконечно тонкие электроды. Ставится задача об отыскании наведенного потенциала на электродах.

Задача 1-го типа. На верхней и нижней гранях плиты задан тепловой поток, механические нагрузки отсутствуют; боковая поверхность плиты Г = 7 х [—Н, Н] теплоизолирована, неэлектродирована и свободна от механических нагрузок. Граничные условия имеют вид:

Здесь щ - компоненты единичного вектора нормали к Г.

Задача 2-го типа. На верхней и нижней гранях плиты задается распределение температуры как функция координат и времени, механические на-

а,:пА — 0, Дпг = 0, — к -П] = 0, г = 1,2,3, ,7 = 1,2. (8) 1г 1г 1 г

1

пряжения отсутствуют; боковая поверхность Г теплоизолирована, неэлек-тродирована и свободна от механических нагрузок:

о^з =0,1 = 1,2,3, =±У0|

\х3=±Н 1х3=±Я 1х3=±Я

II дО

- О, Дп, = 0, - Ау п^

Г IГ и%{

= 0,* = 1,2,3, 7 = 1,2- (9)

г

Далее рассмотрена краевая задача для тонкой термоэлектроупругой пластины, для которой е = -С 1, а = <11атГ2, поляризованную в направлении оси Жз. Для получения упрощенной модели деформирования пластины используются определяющие соотношения для класса бтт, 033 полагается равным нулю. Учитывая малость параметра е, приняты гипотезы о строении физических полей, аналогичные гипотезам Кирхгофа. Из условия равенства нулю первой вариации проинтегрированного по функционала Ь с учетом принятых гипотез и определяющих соотношений получены разрешающие уравнения и граничные условия для задач обоих типов. При этом система уравнений в каждой задаче естественным образом подразделяется на две задачи: Задача 1.1:

СпИЮ.П + £ (сц - с[2) Ню,22 + с*12и20,21 + рш2щ0 ~ 7*1^1,1 = 0. \ (с11 - с12) «20,11 + Сп«20,22 + с12иЮ, 12 + Р^И20 - 7*1^1,2 = 0 , —(Г1,ц + Г1да) + + 7п(ию,1 + «20,2) = $<Р0 + , (10)

шТо ' ™ ' То 1 ' ,т 1и>1 ' ^ Н^ ' 2шТ0Н'

СпИю,!"! + 2(Си - с\2)иЩ2П2 + ^12«20,2^1 ~ 7п?1"1 + -^фоПг

= 0,

2(сп - с12)"20,1п1 + сп«20,2п2 + с*12щ0,щ2 - ^{{г^ +

(Т1,11»1 + Гип2)|7 = 0. Задача 1.2:

с*пА2и30 + рш2Аи30 + ^ДТ2 - ^-«30 = о, И

= 0,

7

шТ0 \Т0 шТ0Н2) ш 2гыТ0Я '

({<л\п\ + С12п1)и30,11 + (с^П? + сип2)и30,22 + 2{с*12 - С*п))щ0,12П1П2+

+^Т2{п\ + п\)} =0, (Г2,,П1 + Т2,2П2)|7 = О, (11)

^((си - + (с^2 - С^)мзо,22П1П2 + - С*12)щ0,пп1)+

Сп^зодцП! + (2с*п - С^2)и30,122П1 + С^Мзо,222П2 + С^Изо,112^2+

+ри)2{итт +и30,2П2) + ^{Тг,\пх + Т2>2п2)^

= 0,

т

« с?з * ^з * с1з7зз » еззС1з

гдесп = Си-—,с12 = С12--, 7ц = 7и--. е31 = е31--,

сзз с33 Сзз Сзз

„. „ , Тззезз

9з = 5з +-.

сзз

В задаче 1.1 неизвестными являются ию, и2о - иланарные смещения и полусумма граничных температур Т\, характеризующие плоскую задачу связанной термоупругости. Однако, в этой задаче в правой части присутствует в качестве нагрузки потенциал В случае, когда наведенная разность потенциалов неизвестна, она определяется из дополнительного условия включения элемента в цепь.

В задаче 1.2 неизвестными являются изо ~ поперечное смещение и полуразность граничных температур Т2, характеризующие задачу изгиба связанной термоупругости. Потенциал <ро явно в эту задачу не входит, а в качестве нагрузки выступает разность тепловых потоков на лицевых поверхностях пластины. Задача 2.1:

Спию.п + ^ (с^ - С*12) ию,22 + с12^20,21 + рш2Що = ^{Г^ , о (сп _ Сп) м20,11 + <^«20,22 + С*2«Ю, 12 + /ЭсЛгО = 711^1,2 ,

2

Сп«10ДП1 + 2{с*п - С^2)ищ2п2 + С*12и20,2П1 - Уи^Щ + <~<р0П1

2(сп - с|2)и20,1"1 + <3*1^20,2"2 + с|2и10,1П2 - 7пГ!П2 +

= 0,

7

= 0.

7

Задача 2.2

Л2,,„„4-Л,.М„----^ „зи_ _

С^Д2«30 + ри2Аи30 - ^-изо = - §ДТ2, (13)

((с11п1 + ^12^2)^30,11 + (cj2n? + ^11^2)^30,22 + 2(cJ2 - с!2))изо,12П1П2+ +1кт2(п1+пЩ =0,

^((Cll - с12)изО,ЦП1П2 + (с*2 - С^)И30,22П1П2 + - ^2)^30,12^) + с'иизо.шщ + {2с*п - c;2)u30,l22ni + С^изо,222И2 + ^"ЗО,112^2+ +/W2(«30,1«1 + И30,2"2) + + Т2,2П2)^ = 0.

В задаче 2.1 неизвестными являются Ищ, и2о, в задаче 2.2 неизвестным является U30 - поперечное смещение. В этой постановке 7\, Т2 оказываются известными и определяются из граничных условий на верхней и нижней поверхностях. Задачи 1.1 и 2.1 суть плоские задачи анизотропной термоупругости и теории упругости с массовыми силами соответственно. Отмечается, что потенциал на электродах наводится в результате теплового воздействия именно в этих задачах. В задачи 1.2, 2.2 - задачи изгиба -потенциал явно не входит.

В разделе 3.2 рассмотрена задача о колебаниях пластины-полосы из термоэлектроупругого материала класса 6mm, находящейся в состоянии плоской деформации. Сечение пластины плоскостью Х2 = const есть прямоугольник fi [—1,1] х [—Я, Я], а колебания пластины возбуждаются разностью температур, приложенной к границам Х3 = ±Я, (задача 2 типа) (12)-(13). В этой постановке постоянные 9± известны, неизвестный потенциал (ро определяется из дополнительного условия (2). Упрощенная модель деформирования ленточной пластины при е = | « 1 строится в рамках классических гипотез Кирхгофа. Аналогично процедуре в разделе 3.1 с использованием вариационного подхода из 2.2 получена система уравнений и граничных условий, которая естественным образом разделяется на две независимые задачи, которые условно можно назвать задачей «растяжения-сжатия» и задачей «изгиба» тонкостенного элемента: Задача 2.1.1 (растяжение-сжатие, неизвестная идо):

crnv![о + pwVo = 0, cJiuioU-ii = ihTi (14)

Задача 2.2.1 (изгиб, неизвестная изо):

cj>30 + Р^Ч'о - ^-"зо = 0, (15)

(« + РоА4>) |ii=±1 = 0, «|11=±г = Т2.

В задаче 2 уравнение и первое граничное условие лишь членами и рш2и'30 соответственно отличаются от классического уравнения изгиба балки и учитывают инерцию вращения. Роль изгибающего момента, приложенного на краях Х\ = ±/, играет слагаемое —-7ГТ2, зависящее от раз-

Н

ности температур в+ и в~.

Дополнительное условие отсутствия тока в цепи (2) принимает форму: 1

Я

-I

e3i Ко - Hu'i0) - + gl (Ti + Та)) dx, = 0, (16)

где €*з = езз + —.

с33

Наведенный потенциал определяется из (16) следующим образом: <Ро = <PiT\ + уъТг,

Vi = ^(e3i7u sin(fc) + glc^kcosik))^1,

do = e^c^fc cos (k) + e*3l sin(fc), (17)

^ - c"kc°<k\g;i _ еШ {ffafashm - mtishm).

d0 KQ

Таким образом, в пироэлементе имеется два набора резонансных частот, соответствующих продольным резонансам, определяемым из условия do(kj) = 0, и изгибным, определяемым из уравнения Ко(к{) = 0. На этих частотах наведенный потенциал обращается в бесконечность, при Тг = 0 изгиб отсутствует.

В разделе 3.3 рассмотрена задача из раздела 3.2 с уточненными гипотезами о строении полей. Это связано с тем, что простейшая модель деформирования тонкостенного элемента, исследованная в 3.2, не всегда может быть использована; в частности, она не учитывает зависимость температуры от координаты х\, дает неограниченный рост потенциала на частотах продольного и изгибного резонансов. Уточненные гипотезы имеют вид:

е15

щ = tiiofci) - х3—$o(xi) - хз«зо(ж1).

С44

"3 = «30 (zi),

(18)

Получена более сложная модель колебаний пластины. Система уравнений и граничных условий также разделяется естественным образом на две неза-

|ф,|

я

J 1 ,

1,625

1,6281 1,6305 £ 1,633

Рис. 2. \<Р1\ в окрестности первого резонанса простейшей модели (задача 2.1.1), сплошная линия, и в уточненной модели (задача 2.1.2), пунктирная лнння

висимые задачи: обобщенную задачу растяжения-сжатия 2.1.2, неизвестными в которой являются ию, во, и обобщенную задачу изгиба 2.2.2 с неизвестными изо, Фо- Обобщенные задачи существенно сложнее своих аналогов из раздела 3.1 и могут быть исследованы традиционными средствами, однако структура их решений весьма громоздка и выражается через корни характеристических уравнений 4-ой (биквадратного) и 6-ой (бикубического) степени. Наведенный потенциал имеет такую же структуру, как и в разделе 3.1: щ = ц>{Г\ + ц>{Гч. Отмечается, что наведенная разность потенциалов <£0 явно не входит в задачу изгиба, но выражается неявно через изо и Фо из дополнительного условия (2).

На рис.2 отображены зависимости амплитуды наведенного потенциала от безразмерной частоты к для пироэлектрического элемента из титана-та бария (сплошные линии соответствуют простейшей модели 2.1.1, штриховые - уточненной модели 2.1.2) в окрестности первого продольного резонанса. В уточненной модели всплески амплитуд незначительно (менее 1%) сдвинуты в сторону увеличения к и являются конечными. Сравнение моделей показало, что в областях, удаленных от резонансов, решения задач практически совпадают и для описания поведения потенциала в этих областях может быть использована простейшая модель, в то время как в окрестности резонансов расхождения значительны и моделировать процесс наведения электрического потенциала следует используя более сложные гипотезы о строении физических полей.

В случае 7^ = 0, что соответствует отсутствию связанности, в моделях 2.1.1, 2.1.2 решение для наведенного потенциала в задаче 2 совпадает и приводится к виду

<¿>1 = Нд*3с*иксоз{к)йо1,

где (¿о определяется согласно (17).

В разделе 3.4 исследована задача для ленточной пластины из пьезоке-рамики, поляризованной вдоль оси хз, боковые грани которой теплоизолированы, а на лицевых поверхностях нанесен бесконечно тонкий электрод и задается тепловой поток, что соответствует задаче 1. Механические нагрузки отсутствуют, на электродах наводится разность потенциалов за счет пироэффекта. Для построения упрощенной модели деформирования пластины в рамках классических гипотез Кирхгофа приняты такие же предположения о строении физических полей, как и в задаче типа 2 в разделе 3.1, и используется вариационный подход. Полученная система уравнения естественным образом разделяется на две задачи: Задача 1.1.1 (растяжение-сжатие, неизвестные ищ: Т\)

^1и?0 + ру2«хо-7п^ = 0, (19)

Задача 1.2.1 (изгиб, неизвестная м3о, Тг):

с^ + рсЧо - ^«30 + ^ = 0, (20)

_ О т = 3(д+ - д~)

/V* „" "•" ф" , / ^ I т — _

7llU3° йЛЪН 2 T0Hjl2~ 2шТ0Ю

= 0,

СИ«30 + -jfT2

H=±I = 0,

Tu г - 2 у

ц=±1

Разность значений теплового потока на лицевых поверхностях присутствует лишь в задаче 2, а сумма - в задаче 1. Потенциал <ро явно входит лишь в задачу растяжения-сжатия. Для определения наведенной разности потенциалов также необходимо использовать дополнительное условие отсутствия тока в цепи (2), которое в данном случае примет форму: I

I (* Ко ~ Ни»,) - ^о + 5з W + Т2)) dxx = 0. (21)

Следует отметить, что при аналогичных гипотезах о строении полей в случае задачи 2 была получена простейшая, по сути несвязанная, модель колебаний (задачи 2.1.1 и 2.2.1) с неограниченным ростом потенциала на частотах продольного и изгибного резонансов. В задаче 1 при тех же гипотезах система уравнений сохраняет связанность.

В разделе 3.5 формулируется нестационарная задача для пластины-полосы из термоэлектроупругого материала класса бтт, находящейся в состоянии плоской деформации. Для построения упрощенной модели в пространстве изображений по Лапласу применен вариационный подход, сочетающий вариационный принцип и технику преобразования Лапласа. Полученные задачи «растяжения-сжатия» и «изгиба» тонкостенного элемента имеют вид:

Задача 2.1.1 (растяжение-сжатие, неизвестная йю):

с^'о - рзЧи = 7¡Л, с^и'м!,,^ = 71*^|11=±! -е-§Фъ- (22) Задача 2.2.1 (изгиб, неизвестная йзо):

+ = (23)

(„* „-"' „„2„-.' М _ Тп-^2 (сп«зо ~ изо) Ц=±! = —

и=±г

21=±г

Дополнительное условие для определения наводящейся разности потенциалов имеет вид:

I

/О

'31

(«'10 - Ям'з'о) - Щф0 + д\ (Ъ + Т2) ] ¿х, = 0. (24)

Наведенная разность потенциалов фо выражается через заданную функцию 11(2:1,5) следующим образом:

г

/ (йен

с 2 е5?вЬ-1+6*33^1 ' ^

Отметим, что в случае, когда 21(2:1, й) - нечетная по х\, разность потенциалов не наводится. Для частных случаев Т\(хи т) = Т\(х\)к(т), Т\(х, г) =

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 ОД

00 1 2 3 4 т5

Рис. 3. <ро(т) (точками) и (г) (сплошная линия) при малых г при Т^х, т) = 2\те"т

Т1{к{т)—к(т—Тг)), Тх(х, т) = Тхте~т, где к{т) - функция Хевисайда, решения получены аналитически, построены асимптотики при 5 —> оо, что соответствует £ —» 0, проведено сравнение полученных аналитических решений и асимптотических приближений. Графики <ро(т) (точное решение) и <р*0{т) (асимптотическое разложение) при малых т (это соответствует временам 1,8- 1СП6 — 9 • 10_6) приведены на рис. 3. Видно, что при малых значениях параметра г эти функции практически совпадают.

В разделе 3.6 исследована задача о движении пластины-полосы из термоэлектроупругого материала класса бтт и построена упрощенная модель в пространстве изображений по Лапласу (с параметром в); исследованы свойства решений.

Пластина находится в состоянии плоской деформации, на лицевые поверхности воздействует тепловой поток, при этом наводится разность потенциалов. Для получения упрощенной модели аналогично подходам в задачах предыдущих разделов используются гипотезы о строении полей, применяется вариационный подход. Полученная система уравнений и граничных условий естественным образом разделяется на две независимые задачи, условно называемые задачей «растяжения-сжатия» и задачей «изгиба» тонкостенного элемента. Система уравнений обезразмерена в соответствии с концепцией, предложенной в разделе 1.2, и получена следующая система уравнений:

Задача 1.1.2 (растяжение-сжатие, неизвестные йю и Т{):

«;„ - 622ёЧ10 - = 0,

¿17«й'ю - кцТ" + ЗГ1 = зб^фо - р 18

\ 1

\ 1

\|

к

!

(^-ЗаЦ^-ефо, Ц^о.

Задача 1.2.2 (изгиб, неизвестные йзо н Т2):

е2й$ - e2Sis2^0 + 36$И2йзо + eStff? = О,

-eS^Su'lo ~ hiTZ + + = (27)

(^'0 + ^)1^=0,, Ц^±1=О,

где gi,2 = (?+ ± q~)/2.

Дополнительное условие (2) принимает вид:

1

J (е (й'10 - -фо + 519{Тг + Щ dXl = 0. (28)

-1

где s = t0s, t0 = х = х\/I, {¿ю = йю/l, й30 = йзо/I, Фа = % /Сзз л

Т\,2 = Ti,24/-r^-, 91,2 = -~Г, 7ll = 7ll\ -

У СцЗо «33 V СПТ0 V и £

е31 -» * / То - - Ац х &33

е = г-г-г. 9з = 9з\H-Z = = Г", ¿2 = -77".

Исследовано решение задачи «растяжения-сжатия», в которую потенциал входит явно, в случае q+ = q" = q. Задача изгиба в этом случае имеет лишь тривиальное решение. Построена передаточная функция для наведенной разности потенциалов, связывающая потенциал и тепловой поток. Построены асимптотики для больших и малых s. Так, обращение для асимптотики фо в случае qi = eQh{t)% где h(t) - функция Хевисайда, что

s eQ

соответствует qi = — для малых т имеет вид: s

Рассмотрена упрощенная квазистатическая постановка, получающаяся при пренебрежении в (26) инерционными слагаемыми, т.е. при = 0, построена

передаточная функция в этом случае. Показано, что при 5 —> 0 для определения наведенного потенциала при больших временах можно использовать квазистатическую постановку; при £ —♦ оо для получения достоверного решения рекомендовано использовать динамическую постановку. Сделан вывод, что на начальном этапе структура потенциала определяется величиной, зависящей только от параметра ¿13, который характеризует тепло-электрическую связанность задачи. С ростом времени вклад в потенциал дает термоупругий и пьезоэлектрический эффект.

Основные результаты работы

1. Сформулирован единый вариационный принцип в задачах термоэлек-троупругости в стационарном и нестационарном случаях.

2. Построены прикладные теории, описывающие колебания тонкостенных термопьезоэлектрических элементов и подразделяющиеся на плоские задачи и задачи изгиба.

3. Решен ряд задач о колебаниях ленточных пластин при различном виде теплового нагружения на лицевых поверхностях; проанализирована структура наведенного потенциала в зависимости от температуры и частоты колебаний; показано, что основной вклад дает задача растяжения-сжатия.

4. Осуществлен анализ влияния типа нестационарного теплового воздействия на наведенный в тонкостенном элементе электрический потенциал; на основе асимптотического анализа выявлено, что на начальных этапах основной вклад дает теплоэлектрическая связанность задачи, с ростом времени влияние этого фактора ослабевает и основной вклад вносят термоупругий и пьезоэлектрический эффекты.

Публикации по теме диссертации

(Федорова - фамилия соискателя до вступления в брак, Ковалева - фамилия соискателя в первом браке, Лавриненко - фамилия соискателя во втором браке)

[1] Ватульян А. О., Кирютенко А. Ю., Федорова В. В. Задача Даниловской в термоэлектроупругости. // Межвузовский сборник научных трудов «Интегро-дифференциальные операторы и их приложения», Ростов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ. 1997. Вып. 2. С. 25-30.

[2] Ватулъян А. О., Кирютенко А. Ю., Федорова В. В. О нестационарном тепловом воздействии на термоэлектроупругую среду. //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды III Международной научной конференции, г. Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997 г., Ростов-на-Дону: МП «Книга». Т. 1. С. 69-73.

[3] Ватулъян А. О., Ковалева В. В. Вариационный принцип термоэлек-троупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента. // Прикладная механика и техническая физика, 2002. N 1. Т. 43. С. 196-201.

[4] Ватулъян А. О., Ковалева В. В. Применение вариационного принципа в термоэлектроупругости к задаче о колебаниях тонкостенного элемента. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 6-й международной научной конференции, г. Ростов-на-Дону, 12-14 июня 2000 г. Т.1. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ. 2001. С. 64-68.

[5] Ковалева В. В. Применение вариационного подхода к нестационарным задачам термоэлектроупругости для тонкостенных элементов. // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике. Тезисы докладов секции аспирантов, магистрантов и студентов РГУ на международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 39 декабря 2001 г. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР». 2001. С. 12

[6] Ковалева В, В. Нестационарная задача термоэлектроупругости для пластины в случае постоянной температуры на торцах. // Транспорт - 2004. Труды Всероссийской научно-практической конференции, г. Ростов-на-Дону, май 2004 г. Часть 3. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУПС. 2004. С. 8

[7] Ковалева В. В. Нестационарная задача термоэлектроупругости для пластины. // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III школы-семинара, Ростов-на-Дону, 1519 ноября 2004, г. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР». 2004. С. 92-95

[8] Ковалева В. В. О корректной формулировке краевых задач для тер-моэлектроупругих пластин при тепловом нагружении. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. Т. II. Ростов-на-Дону. Изд-во «ЦВВР». 2007 г. С. 185-190.

[9] Ковалева В. В. Анализ влияния малых параметров в нестационарной задаче термоэлектроупругости для тонкостенного элемента. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов III Всероссийской школы-семинара, пос. Див-номорское, 28 мая - 1 июня 2007 г. Ростов-на-Дону: Изд-во «Терра Принт». 2007. С. 52

[10] Ковалева В. В. Об определении потенциала в нестационарной задаче термоэлектроупругости для тонкостенного элемента. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов IV Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 2-6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону: Изд-во «Терра Принт». 2008. С. 56.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л.

Заказ № 997. Тираж 110 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Введение.

Глава 1. Постановка задач в термоэлектроупругости и некоторые свойства решений

1.1. Постановка нестационарных и стационарных задач термоэлектроупругости

1.2. Упрощение постановки задач в термоэлектроупругости

1.3. О нестационарном тепловом воздействии на термоэлек-троупругую полубесконечную среду.

Глава 2. Вариационная постановка задач термоэлектроупругости

2.1. Вариационный принцип Гамильтона в термоэлектроупругости

2.2. Построение единого функционала термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний

2.3. Формулировка вариационного подхода в нестационарных задачах термоэлектроупругости.

Глава 3. Построение прикладных теорий для тонкостенных элементов и исследование моделей на их основе

3.1. Формулировка краевых задач для пластины произвольного очертания.

3.2. Исследование краевых задач 2 типа для ленточной пластины. Модель I колебаний тонкостенного элемента

3.3. Исследование краевых задач 2 типа для ленточной пластины. Модель II колебаний тонкостенного элемента

3.4. Исследование колебаний тонкостенного элемента в задаче 1 типа

3.5. Нестационарная задача типа 2 для пластины-полосы

3.6. Нестационарная задача типа 1 для пластины-полосы

Измерение температуры объектов является важнейшей инженерной задачей, позволяющей оперативно управлять технологическими и производственными процессами. При этом в качестве датчиков температуры в последнее время все чаще используются такие, в основе функционирования которых лежит пьезо- и пироэффект. Область применения таких датчиков достаточно широка: медицинская диагностика, системы контроля сложных динамических систем, системы идентификации параметров и другие. В ряде случаев, измерив температуру, можно анализировать и другие характеристики задачи, однозначно с ней связанные. Так, например, при помощи измерения граничной температуры можно выявлять скрытые дефекты в конструкциях типа трещин, в окрестности- которых при динамическом воздействии наблюдаются значительные градиенты температур [18J.

Большой научный интерес представляет собой проблема расчета параметров и оптимизация при создании различных типов температурных датчиков из пиро- и пьезоактивных материалов, в которых в результате теплового нагружения наводится разность потенциалов. При определении потенциала необходимо учитывать взаимное влияние упругого, теплового и электрического полей. Детальный учет связанности физических полей в различных задачах термоэлектроупругости важен в связи с постоянной модернизацией датчиков, созданных на основе различных пьезо- и пироактивных материалов, в которых незначительные тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние па сопряженные поля.

Одним из примеров применения пироэлектрических датчиков для измерения полей температур [35] являются различные устройства медицинской диагностики, например, для измерения пульса, частоты и интенсивности дыхания. Обзор реальных устройств из пьезо- и пироактивных материалов (сенсоров и актуаторов), их характеристики и примеры применения представлены в монографиях и статьях [3], [4], [13], [34], [40], [44], [45], [51], [52], [54], [64], [70], [81], [90], [93], [100], [101], [109], [131].

Отметим, что математическую основу постановок краевых задач термоэлектроупругости [73], [76] составляют уравнения термопьезоэлектричества, сформулированные Миндлиным [124] в начале 60-х годов прошлого столетия. Они имеют важные приложения при расчете иьезо- и пиродатчиков. В этой части механики деформируемого твердого тела, посвященной изучению взаимного влияния тепловых, электрических и упругих полей, гораздо меньше законченных результатов, чем, например, в термоупругости или электроупругости. Среди наиболее значимых работ, посвященных обобщенным постановкам краевых задач термоэлектроупругости, отметим [11], [106], [107]. В ряде работ, посвященных общим вопросам исследования краевых задач термоэлектроупругости, авторами были получены законченные результаты [11], [19], [126].

Теория связанной термоэлектроупругости является обобщением моделей термоупругости и электроупругости. Она опирается на основные методы исследования нестационарных процессов для этих моделей, которые основаны на двух подходах: 1) на концепции малой связанности, 2) на асимптотических методах для малых и больших времен.

Сложность исследования задач связанной термоэлектроупругости обусловлена несколькими факторами.

Во-первых, система уравнений связанной термоэлектроупругости не принадлежит ни к одному из хорошо изученных типов операторов и при исследовании свойств решений начально-краевых задач требует детального анализа даже при решении простейших одномерных задач. Во-вторых, наличие анизотропии в термоэлектроупругих телах затрудняет как построение фундаментальных и сингулярных решений, так и исследование волновых процессов.

Методам решений задач динамических задач термоэлектроупруго-сти посвящен ряд исследований. Так, в [94] разработан универсальный аналитический метод исследования динамических краевых задач тер-моэлектроуиругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений, в [53] изучены типы волн в неограниченной термоэлектроупругой среде класса 6 mm и предложена их классификация, построены фундаментальные решения в связанной термоэлектроупругости для среды класса 6 mm в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку, сформулирована система ГИУ в термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний, решен ряд задач о нестационарных воздействиях.

Представим краткий обзор решенных задач в термоэлектроупругости и методов, используемых при их решении. В [80] отмечено, что в последнее время в литературе уделяется большое внимание связанным задачам, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. Для постановки таких задач необходимо сформулировать определяющие соотношения (линейные или нелинейные), т. е. построить модель среды, учитывающую взаимодействие полей в соответствии с известными экспериментальными фактами. В этой работе построена связанная модель для случая физически линейных и нелинейных сред для малых деформаций.

Анализ трансформации теплового импульса в электрический в рамках модели линейного термоэлектроупругого тела при тепловом ударе по его поверхности в рамках несвязанной термоупругости впервые проведен В.И. Даниловской в [41], где проанализированы динамические эффекты в распределении напряжений. Далее подобная задача термоупругости в рамках полного учета связанности механических и тепловых полей рассмотрена в работах [118], [119]; при ее анализе использованы асимптотические методы (метод малой связанности и метод малых времен).

В работе [125] обсуждена общая процедура построения фундаментальных решений связанных задач при наличии электрических, температурных и других полей. Задача сведена к одномерной посредством разложения обобщенной функции Дирака по плоским волнам. Решение представлено в виде интеграла по сфере единичного радиуса. Рассмотрена как гармоническая зависимость от времени, так и случай импульсного нагружения; в последнем случае аналитическое решение построено для материалов, в которых отсутствует диссипация. Представлены конкретные результаты построения функций Грина для указанных выше классов задач.

В [31] развиты теория и прикладные методы решения динамических смешанных, в том числе и контактных, задач для слоистых сред с учетом связанности полей, проведена апробация их на различных модельных примерах.

В [110] квазистатические уравнения теории пьезоэлектричества и термопьезоэлектричсства сформулированы в виде, допускающем применение метода конечных элементов. Полученные результаты способствуют решению задачи размещения и оценке чувствительности датчиков в перспективных информационных системах. Эффективность метода иллюстрируется двумя частными примерами. Первый из них - двухслойная пьезоэлектрическая полоса как деталь робототехничес-кой системы. Второй пример - алюминиевая балка с нанесенными двумя полимерными слоями, которые используются как актуаторы и сенсоры при оценке и регулировании распределения температур в балке от краевого источника.

В ряде работ для формулировки корректных задач используется вариационный подход. Так, в работе [134] вводятся основные положения микрополярной термоупругости и термопьезоэлектричества для обновления базовых уравнений равновесия и граничных условий для полярной термомеханпческой среды. На основе принципа возможных перемещений и принципа Гамильтона составляются уравнения движения и локальное уравнение баланса энергии. Обсуждаются найденные результаты для микрополярной термопьезоэлектрической задачи.

Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах получены в [83].

В работе [24] предложена процедура сведения задачи термоэлектроупругости к последовательном}' решению двух более простых задач и предложенный подход реализован в одномерной задаче для слоя, проведены численные расчеты.

Задача термоупругости для электропроводной пластины под электромагнитными импульсами рассмотрена в [75]. Стационарные колебания термоэлектроупругой полосы исследованы в [30].

В [130] на основе предложенного авторами ранее метода решена двумерная пьезотермоупругая задача для ортотропной пластины, представляющей группу mm2, одна поверхность которой нагрета, а другая электрически заряжена. Численные расчеты проведены для селенида кадмия. Упругое смещение и распределение напряжений сравнивались с решениями термоупругой задачи без учета пьезоэффекта. Исследовалось влияние поверхностного электрического заряда на упругие смещения, поле напряжений, электрический потенциал, плотность зарядов и электрическое смещение.

В работе [111] предложен обобщенный метод решения трехмерной задачи пьезотермоупругости для тел гексагональной сингонии класса 6mm. Введены две функции пьезотермоупругого потенциала, четыре функции пьезоупругого потенциала и пьезоэлектрический потенциал. Получены отдельные несвязанные разрешающие уравнения для функций потенциалов из уравнений движения для напряжений и уравнения электростатики.

В [11] исследованы задачи об установившихся колебаниях ограниченных термоэлектроупругих и электроупругих тел, а также пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Допускаются как классические главные и естественные граничные условия, так и механические и электрические контактные краевые условия, включающие контакт с жесткими штампами и наличие электродов, запитываемых генераторами тока. Даны обобщенные постановки задач. Доказана дискретность спектра и полнота системы собственных функций для электроупругих тел и пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Отмечены свойства вещественной части спектра задач для термоэлектроупругих тел. Изучены вопросы разрешимости неоднородных задач. Установлены свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел при изменении их модулей в механических, электрических и тепловых граничных условиях.

В работах [138], [66] рассматривается применение численных схем метода граничных элементов в электроупругости и для класса плоских задач термоэлектроупругости об установившихся колебаниях ограниченных тел с частично электродировапной границей, соответственно. МГЭ для задач электроупругости рассмотрен в [105], [28], [29].

В [92] изучена модель пироэлектрического приемника излучения, представляющая собой пьезокерамическую пластину, торцы которой полностью покрыты электродами и замкнуты через внешний контур заданного комплексного сопротивления Z. На одной лицевой поверхности задан тепловой поток, на другой - конвективный обмен тепла с окружающей средой. Принято, что лицевые поверхности свободны от механических напряжении, и керамика поляризована вдоль оси, перпендикулярной лицевым поверхностям. В рамках линейной связанной теории электротермоупругости построено аналитическое решение для амплитудных составляющих перемещений, электрического потенциала и приращения температуры, а также находится разность потенциалов на электродах. При построении модели учитывалось, что электроды имеют малую толщину и, как следствие, пренебрегалось их механическим воздействием на пьезокерамический элемент и неравномерностью распределения тепла, а также учтена малость толщины пластины по сравнению с ее размерами в плане. Для оценки влияния механических перемещении на искомую разность потенциалов была рассмотрена упрощенная модель такой же задачи, основанная на связанных термоэлектрических полях. Также построено аналитическое решение, позволяющее находить амплитудные составляющие электрического потенциала и приращения температуры, а также разность потенциалов на электродах. Получены асимптотические оценки при малых и больших частотах модуляции для этой упрощенной модели. С помощью численных расчетов выявлены частотные диапазоны, где имеется расхождение искомой разности потенциалов для упрощенной постановки задачи.

Методика математического и численного моделирования термомеханического поведения электропроводных тел, находящихся под воздействием внешнего электромагнитного поля, предложена в [16] Для описания напряженно-деформированного состояния тела используются соотношения неизотермического упругопластического течения. Исходной системой уравнений для определения электромагнитного поля являются уравнения Максвелла, записанные для области, занятой телом, и внешней среды. Учитывается связность электромагнитного и температурного полей. Все физико-механические параметры материала тела зависят от температуры. В качестве примера рассматривается процесс высокотемпературной индукционной обработки стального цилиндра с целью определения в нем остаточных напряжений.

В работе [12] описаны основные принципы проведения конечно-элементного анализа задач теории электроупругости с учетом температурных эффектов, предназначенные для реализации в пакетах ANSYS и ACELAN. Отмечено, что соответствующие разделы этих пакетов не обладают возможностями для проведения связанного термопьезоэлектрического анализа.

В [15] для уравнений связанной термоэлектроупругости в квазистатической постановке исследованы свойства решений во времени, доказано их экспоненциальное убывание. В одномерном случае построена операторная связь наведенного потенциала в зависимости от тока в цепи и теплового потока.

В [17] работе анализируется переходной процесс в термоэлектро-упругом слое при тепловом возмущении на основе сравнения двух расчетных моделей - динамической п квазистатической.

Модель активного управления для слоистой пьезотермоупругой пластины построена в [132]. Рассматриваются задачи термоэлектроупругости для прямоугольной слоистой пьезоэлектрической свободно опертой пластины. Используется уточненная сдвиговая теория третьего порядка. Получено аналитическое решение задачи.

В [91] исследованы дисперсионные множества связанной термоэлектроупругости для полосы.

В работах [86], [87] исследованы связанные динамические задачи для термоэлектроупругих сред при наличии внутренних дефектов. В [88] построена модель в задаче мониторинга прочностных свойств термоэлектроупругих элементов конструкций, проведено исследование асимптотических и дисперсионных свойств решений.

В работе [137] рассмотрена нелинейная теория пьезотермоупруго-сти оболочек с приложением к задачам управления геометрией оболочек. Построены геометрически нелинейные уравнения теории оболочек, учитывающие температуру и пьезоэлектрические эффекты. Исследуется возможность использования слоев из пьезоэлектрика для управления мембранными и изгибными деформациями оболочек различной формы.

В [140] приведены аналитические решения на основе общих результатов для связанных трехмерных уравнений пьезоэлектрической среды; получены результаты для первых пяти частот колебаний секторных и кольцевых пластин. В работе [139] исследуется распространение сдвиговых горизонтальных волн (SH-волн) в полубесконечной упругой среде, склеенной со слоем пьезоэлектрического материала.

Некоторые задачи плоского состояния в термопьезоэлектрических материалах с отверстиями, а также несколько задач плоского напряженного состояния и плоской деформации в рамках теории термопьезоэлектричества изучены в [129].

В [116] приводится общее решение задачи о плоском напряженном состоянии пьезотермоупругой пластины в цилиндрических координатах. В пьезоэлектрических системах и конструкциях активного вида с признаками интеллекта проведен анализ влияния термических градиентов окружающей среды. Изложен метод поиска общего решения задач плоской деформации круговых пластин из пьезотермоупругого материала. Введены потенциальные функции для декомпозиции уравнений равновесия и электростатики. Обсуждаются найденные решения в зависимости от механических и тепловых граничных условий.

В [117] на основе обобщенной формулы Эшелби-Стро отыскивается решение задачи о трещине или эллиптическом отверстии в термопьезоэлектрическом теле; в замкнутом виде найдены комплексные потенциалы и электрические поля.

В [78] поставлена связанная задача термоэлектродннамики для электронагрева переменным током разнородных ферро- и парамагнитных тел.

В [127] рассматриваются колебания пьезоэлектрических пластин, которые моделируют режимы функционирования различных преобразователей. Решение строится методом Бубнова-Галеркина.

В работах [19], [22] изучены плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости, проведен асимптотический анализ и выполнены расчеты скоростей и коэффициентов затухания.

Работа [20] посвящена формулировке граничных интегральных уравнений для моделей связанной термоэлектроупругости.

Точное решение статической задачи термоэлектроупругости для пье-зокерамического тела со сфероидальной полостью построено в [82]. Ось симметрии сфероида совпадает с осью анизотропии тела. Предполагается, что на достаточном удалении от полости тело находится под действием равномерного теплового потока, направленного перпендикулярно оси симметрии полости.

В [136] представлена уточненная теория термоэлектромеханики тонких слоистых анизотропных оболочек, подвергающихся механическим, электрическим и термическим воздействиям. Для этого были выписаны определяющие уравнения пьезотермоупругостн анизотропных пьезоэлектрических материалов, а основные термоэлектромеханические уравнения и граничные условия выведены при помощи принципа Гамильтона. Обсуждено применение предложенной теории для динамических измерений и управления. Вследствие весьма общих предположений относительно свойств материалов и геометрии оболочки, разработанная теория может быть использована для конструкций из самых разнообразных материалов, например, пьезокерамик, пьезополимеров и т. д., различной формы, например, для оболочек, плит, колец, стержней. Приведены результаты конкретных расчетов.

В [122] рассмотрена математическая постановка связанной задачи термоупругости о распространении волн в тонком полубесконечпом стержне из пьезоэлектрпка. Уравнение для теплового потока содержит релаксационное слагаемое, что обеспечивает конечность скорости распространения тепла в среде. Задачу удалось решить аналитически с использованием преобразования Лапласа. Обсуждены основные закономерности в распространении скачков перемещений и температуры. Приведен пример расчета.

Методом Лехницкого-Стро в [141] построено общее решение плоской задачи термоэлектроуиругости в случае анизотропной среды. Особое внимание уделено случаям кратных собственных значений. Решение задачи о коллннеарных трещинах на границе раздела двух сред сведено к известной задаче линейного сопряжения - задаче Гильберта.

Задача управления коэффициентом интенсивности термических напряжений в пьезотермоупругом полубесконечном теле с краевой трещиной рассмотрена в [121].

Сферически симметричная начально-краевая задача динамической теории упругости для полой сферы с учетом связанных электро- и термомеханических эффектов рассмотрена в [114].

В [128] рассмотрена задача о тепловом нагружении термопьезоэлек-трика с отверстиями или трещинами и представлено численное решение сингулярных интегральных уравнений для неизвестных разрыва температуры и дислокации перемещений и электрического потенциала на границах трещины. При помощи формализма Стро и метода конформного отображения получено единое решение в аналитическом виде для бесконечной термопьезоэлектрической плиты с различными отверстиями под действием теплового нагружения.

В [84] дано краткое изложение сущности метода, предлагаемого для решения некоторых связанных динамических контактных задач, возникающих при исследовании системы «массивное тело - многослойная полуограниченная термоэлектроупругая среда».

В [104] исследовано термоэлектронапряженное состояние анизотропной многосвязной полуплоскости из пьезоэлектрического материала с эллиптическими отверстиями, находящейся в условиях обобщенного плоского термоэлектроупругого состояния при температурном нагру-жении на границе.

Как указывалось выше, развитие исследований в области термоэлектроупругости опирается на результаты, полученные ранее в работах по электроупругости и термоупругости.

Среди наиболее значимых работ по электроупругости отметим монографии и статьи: [7], [8], [10], [27], [33], [38], [47], [48], [115], [62], [63], [67], [73], [76], [79], [95], [97], [98], [99], [108], [96]. [14], [113], [85], [89], [1].

Ряд работ посвящен исследованию поведения тонкостенных пьезоэлектрических элементов: в [135] исследовано деформирование пьезоэлектрических пластин, эффективные характеристики которых определены исходя из трехмерной теории, изучены решения, когда тонкая пластина является силовым приводом или датчиком.

Исследованию электроупругого состояния для многосвязного полупространства посвящены работы [36], [37], для многосвязных областей

- [5], [6].

Термоупругие эффекты вносят значительный вклад в характеристики физических полей в термоэлектроупругости. Исследованию динамических эффектов в задачах термоупругости посвящены [61], [123], [112]. В [120] рассмотрена система уравнении типа III в теории Грина и Нагди для линейных термоунругпх сред. В терминах преобразования Лапласа по временной координате решены две одномерные задачи о температурном скачке во времени на границе полупространства, при этом граница или жестко заделана, или свободна от напряжений. Обращения преобразований выполнены для малых времен, и решения для напряжения и температуры в среде проиллюстрированы графиками.

Решение задачи о термонапряженном состоянии анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии бесконечного потока тепла и температуры на контурах представлено в [2]. Термоэлектроупругое состояние анизотропных пластин также исследуется в работах [49],[50], [103]. Для определения неизвестных постоянных комплексных потенциалов использован метод наимеиынених квадратов.

В [74] получено точное решение в замкнутой форме связанной динамической задачи термоупругости для полупространства с граничным условием первого рода. Исследовано нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных свободной поверхности, в окрестности фронта упругой волны.

В [133] дана математическая постановка и решение связанной задачи электротермоупругости для совокупности коаксиальных цилиндров из пьезокерамики, учтена зависимость пьезоэлектрических коэффициентов от температуры. Результаты расчетов используются при анализе работы твердотельного двигателя, применяемого в космических исследованиях. Приводится сопоставление теории и эксперимента.

Главное препятствие на пути интенсивного исследования краевых задач термоэлектроупругости - относительно большая размерность этой модели (смещения и.,, потенциал ip и температура в), в силу чего число решенных (даже численно) краевых задач относительно невелико. Кроме того, отметим, что для исследования связанных задач необходимо располагать большим количеством физических постоянных, находящихся, как правило, из разнородных экспериментов.

С другой стороны, результаты даже тех немногих работ, в которых анализируются численно или аналитически основные свойства решений, свидетельствуют о том, что влияние фактора связанности на такую характеристику,как электрический потенциал, весьма невелико. Это обстоятельство свидетельствует о возможности упрощения процедуры исследования задач термоэлектроупругости в части исследования интегральных характеристик (например, наведенной разности потенциалов), осуществлении декомпозиции исходной задачи, последовательному решению ряда несвязанных задач и уменьшении числа основных неизвестных.

Основной целью настоящей диссертационной работы является формулирование вариационного принципа термоэлектроупругости и его применение для исследования динамических процессов в термоэлек-троупругих тонкостепных элементах с учетом и без учета связанности, выяснение тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты, а в каких ситуациях пренебрежение связанностью недопустимо.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.

Заключение

Результаты, выносимые на защиту:

1. Сформулирован единый вариационный принцип в задачах термоэлектроупругости в стационарном и нестационарном случаях.

2. Построены прикладные теории, описывающие колебания тонкостенных термопьезоэлектрических элементов и подразделяющиеся на плоские задачи и задачи изгиба.

3. Решен ряд задач о колебаниях ленточных пластин при различном виде теплового нагружения на лицевых поверхностях; проанализирована структура наведенного потенциала в зависимости от температуры и частоты колебаний; показано, что основной вклад дает задача растяжения-сжатия.

4. Осуществлен анализ влияния типа нестационарного теплового воздействия на наведенный в тонкостенном элементе электрический потенциал; на основе асимптотического анализа выявлено, что на начальных этапах основной вклад дает теплоэлектрическая связанность задачи, с ростом времени влияние этого фактора ослабевает и основной вклад вносят термоупругий и пьезоэлектрический эффекты.

1. Аписимшн И. В. Новый тип акустических мод колебаний тонких пьезоэлектрических пластин: Квазипродольные нормальные волны. // Акуст. ж. 2004. N 4. С. 442-447.

2. Антонов Ю. С., Калоеров С. А. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и температуры на контурах. // Теор. и прикл. мех. 2005. N 40. С. 102-116.

3. Аронов Б. С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. JL: Энергоатомиздат, Ленинградское отд.; 1990. 272 с.

4. Аронов Б. С. Об электромеханическом преобразовании энергии в пьезокерамических стержнях. // Акуст. ж. 1980. Т. 26. N 3. С. 456-459.

5. Баева А. И., Глущснко Ю. А, Калоеров С. А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами. // Теор. и прикл. мех. 2001. N 32. С. 64-79.

6. Баева А. И, Калоеров С. А. Электроупругое состояние тела с конечным числом плоских трещин или жестких включений. // Теор. и прикл. мех. 2002. N 36. С. 57-72.

7. Баженов В. М., Улитко А. Ф. Исследование динамического поведения пьезокерамического слоя при мгновенном электрическом нагружении. // Прикл. механика. 1975. II. N 1. С. 22-27.

8. Балакирев М. К., Гилинский И. А. Волны в пьезокристаллах. -Новосибирск: Наука, 1982. 240 с.

9. Бешпмен ГЭрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.:Наука, 1969. 344 с.

10. Белоконъ А. В., Ворович И. И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости. // Изв. СКНЦ ВШ, сер. естеств. науки. 1982. N 2. С. 29-39.

11. Белоконъ А. В., Наседкин А. В. Колебания термоэлектроупругих тел ограниченных размеров. // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Ростов н/Д. 1995. С. 31-46.

12. Белоконъ А. В., Наседкин. А. В. Расчет некоторых типов задач термоэлектроупругости с использованием пакетов ANSYS и ASELAN. // Изв. вузов, Северо-Кавказский регион, специальный выпуск. 2004 г. С. 52-55.

13. Берлинкур Д.; Керран Д., Яффе Г. Пьезоэлектрические и пьезо-магнитныс материалы и их применение в преобразователях. // Физическая акустика. Под ред. У.Мэзона. М.: Мир. 1966. Т. 1. С. 204-326.

14. Болкисев А. М. Исследование электроакустической чувствительности пьезоэлектрических тел на основе теоремы о взаимности работ. // Прикл. мех. 1991. Вып. 27. N 7. С. 109-114.

15. Ватулъян А. О. Об анализе движений в термоэлектроупругости. // Соврем, пробл. мех. сплошной среды: Труды 4-й Междунар.конф. Ростов-на-Дону. 27-28 окт. 1998 г. Т. 1.: Ростов н/Д. 1998. С. 79-83.

16. Ватулъян А. О. О некоторых закономерностях поведения решений в термоэлектроупругости. /'/ Изв. вузов. Северо-Кавказский Регион. 1999. N 3. С. 28-31.

17. Ватулъян А. О. Тепловой удар по термоэлектроуиругому слою. // Вестник Донского государственного технического университета. Ростов н/Д. Вестник ДГТУ. 2001. Т. 1. N1(7). С. 82-88.

18. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит. 2007. 222 с.

19. Ватулъян А. О., Кирютенко А. Ю., Наседкин А. В. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости. // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37. N 5. С. 135-142.

20. Ватулъяп А. О., Кирютенко А. Ю. К асимптотическому анализу уравнений термоэлектроупругости. // Математика в индустрии. Труды Международной конференции. Изд-во ТГПИ. г.Таганрог. 1998. С. 67-68.

21. Ватулъяп А. О., Ковалева В. В. Вариационный принцип термоэлектроупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента. // Прикладная механика и техническая физика. 2002. N 1. Т. 43. С. 1964201.

22. Ватулъяп А. О., Кубликов В. Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости. // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1037-1041.

23. Ватульян А. О., Кубликов В. Л. Метод граничных элементов в электроупругости. // Механика деформируемого твердого тела. Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ. 1988. С. 17-21.

24. Ватульян А. О., Кубликов В. Л. Метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах электроупругости. // Смет. зад. мех. деф. тверд, тела. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Одесса. 1989. С. 64.

25. Воровин И. И., Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. -М.: Научный мир. 1999. 231 стр.

26. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз. 1961. 228 с.

27. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Распространение волн в поперечно-неоднородных пьезоактивных волноводах. // Акуст. ж. 1985. N 31. Т. 3. С. 314-317.

28. Глозман И. А. Пьезокерамика. М.: Энергия, 1972. 288 с.

29. Глушко А. А., Кременчугский JI. С., Скляренко С. К. / Ин-т медико биологических проблем; Ин-т физики АН УССР, Киев / А. С. 693197 (СССР), Способ исследования функции внешнего дыхания человека. - Опубл. в Б. И. 1979, N 39.

30. Глущенко Ю. А., Калоеров С. А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства. // Теор. и прикл. мех. 2001. N 33. С. 83-90.

31. Глущенко Ю. А, Калоеров С. А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами. // Теор. и прикл. мех. 2002. N 36. С. 73-83.

32. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электроупругость. Т. Б. Киев: Наукова думка. 1989. 151 с.

33. Градшгпейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит. 1962. 1100 с.

34. Гутин Л. Я. Теория пьезоэлектрических вибраторов, применяемых в гидроакустике. Л.: Судостроение. 1977. 272 с.

35. Даниловская В. И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы. // ПММ. 1950. Т. 14. В. 3.

36. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука. 1971. 288 с.

37. Диткин В. А, Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высш. школа. 1975. 407 с.

38. Джагупов Р. Г., Ерофеев А. А. Пьезокерамические элементы в приборостроении и автоматике. М.: Машиностроение, 1986. 282 с.

39. Домаркас В. И., Кажис Р. И. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис. 1975. 255 с.

40. Дробенко Б. Д. Остаточные напряжения в электропроводных телах после их индукционной термообработки. // Техн. мех. 2005. N 1. С. 100-110.

41. Жарий О. Ю. Разряд пьезокерамического стержня при ударном нагружении. // Прикл. мех. 1981. Т. 17. N 3. С. 98-103.

42. Ж арий О. Ю., Улит ко А. Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Выща школа. 1989. 184 с.

43. Калоеров С. А., Хорошев К. Г. Термоэлектроупругое состояние анизотропной прастинки с отверстиями и трещинами. // Теор. и прикл. мех. 2005. Вип. 41. С. 124-133

44. Калоеров С. А., Хорошев К. Г. Термоэлектроупругое состояние многосвязной анизотропной прастинки. // Прикл. мех. 2005. Т. 41. N 11. С. 116-126

45. Каэюи.с Р. И. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Москлас. 1986. 305 с.

46. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Электротермовязкоупругость. -Киев: Наукова думка. 1988.

47. Кирютенко А. Ю. Динамические задачи термоэлектроупругости: Автореф. дис. канд. физ. мат. наук (01.02.04). Ростов-на-Дону. 1999. 17 с.

48. Кременчугский Л. С., Ройцина О. В. Пироэлектрические приемные устройства. Киев: Наукова думка. 1982. 363 с.

49. Ковалева В. В. Нестационарная задала термоэлектроупругости для пластины в случае постоянной температуры на торцах. // Транспорт 2004. Труды Всероссийской научно-практической конференции, май 2004 г. Часть 3. РГУПС. Ростов-на-Дону. 2004. С. 8

50. Ковалева В. В. Нестационарная задача термоэлектроупругости для пластины. // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III школы-семинара, Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004, г. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР», 2004. С. 92-95

51. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка. 1970. 307 с.

52. Коломиец Г. А., Улитко А. Ф. Связанные электроупругие колебания пьезокерамических тел. // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наукова думка. 1969. N 8. С. 15-24.

53. Космодамианский А. С., Сторожев В. if. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова думка. 1985. 175 с.

54. Королев М. В., Карпелъсоп. А. Е. Широкополосные ультразвуковые пьезопреобразователи. М.: Машиностроение. 1982. 158 с.

55. Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука. 1974. 224 с.

56. Кубликов В. Л. Применение численных схем МГЭ в задачах электроупругости и термоэлектроупругости // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Тезисы докладов Международной научной конференции, Ростов-на-Дону, 19-21 июня 1995 г.Ростов н/Д. 1995. С. 28-29.

57. Кудрявцев Б. А., Партой В.З., Сенник Н. А. Механические модели пьезоэлектриков для электронного машиностроения. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ. 1984. 17. С. 3-62.

58. Купрадзе В. Д. Методы теории потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз. 1963. 472 с.

59. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейш.вили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи метематической теории упругости и термоупругости. М.: Наука. 1976. 603 с.

60. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. -М.: Изд-во иностр.лит. 1949. 719 с.

61. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. -М. Л.: Гостехиздат. 1950. 432 с.

62. Маркуги,евич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. М,; ГИТТЛ. 1957. 335 с.

63. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир. 1991. 560 с.

64. Молотов М. В., Киллъ И. Связанная динамическая задача термоупругости для полупространства. // ПММ. 1996. 60. N 4. С. 687-696.

65. Мусий Р. С. Задача термоупругости для электропроводной пластины под электромагнитными импульсами. // Физ. хим. мех. матер. 2001. N 37. С. 7-14.

66. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир. 1986. 160 с.

67. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.; Мир. 1970. 256 с.

68. Няшин Ю. П., Тверье В. М. Электромагнитные и температурные поля при электроконтактном нагреве составных осесиммет-ричных тел. // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. 41 N 4. с. 156-164

69. Парт,он В. 3Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука. 1988. 472 с.

70. Победря Б. Е. Определяющие соотношения связанных полей. // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1992. N 3. С. 101-108.

71. Подводные электроакустические преобразователи: Справочник. /Под ред. В. В. Богородского. Л.: Судостроение. 1984. 258 с.

72. Подильчук Ю. И., Коваленко И. Г. Термоэлектроупругое состояние пьезокерамического тела со сфероидальной полостью, находящегося в равномерном тепловом потоке. // Прикл. мех. 2005. 41. N 11. С. 57-6G.

73. Подильчук 10. Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсалыго-изотропного тела в криволинейных координатах. // Прикл. мех. 2003. 39. N 2. С. 14-55.

74. Пряхина О. Д., Тукодова О. М. Антиплоская динамическая контактная задача для электроупругого слоя. // Изв. АН СССР, ПММ. 1988. Т. 52. Вып.5. С. 844-849.

75. Пряхипа О. Д., Смирнова А. В. Решение динамических задач для слоистых термо- электроупругих сред с дефектами, j j Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2003. N1. С. 68-77.

76. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Тукодова О. М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости. // ПММ. Т. 62. Вып.5. 1998. С. 834-839.

77. Пьезокерамические преобразователи. Справочник. /Пугачев С. И. и др. JL: Судостроение. 1984. 256 с.

78. Селезнев А. В. Дисперсионные соотношения для термоэлектроупругой полосы. // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III школы-семинара, Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004, г. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР». 2004. 144 с.

79. Скалиух А. С. Об одном варианте расчета теплового пироэлектрического приемника излучения. // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Тезисы докладов Международной научной конференции, Ростов-на-Дону, 19-21 июня 1995 г. Ростов н/Дону. 1995. С. 48-49.

80. Смажеоская Е. Г., Фельдман Н. В. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Советское радио. 1971. 199 с.

81. Смирнова А. В. Динамические задачи теории упругости для полуограниченных сред при наличии неоднородностей различной природы: Автореф. дне. на соиск. уч. степ. докт. физ. мат. наук . Кубан. гос. ун-т, Краснодар, 2005. 35 с. - Рус.

82. Соловьев А. Н. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения. // Прикл.мех. 1984. Т. 20, N 9. С. 1235-1240.

83. Тимошкина Е. А. Электроупругие волны в пьезоматериалах с периодической структурой. // Тр. 17 науч. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН Украины, Киев, 19-22 мая, 1992. Ч. 2. / Ин-т мех. АН Украины. 1992. С. 153-157

84. Улитко А. Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел. // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наукова думка, 1975. N 15. С.90-99.

85. Улитко А. Ф. К теории электромеханического преобразования энергии в неравномерно-деформируемых пьезокерамических телах. // Прикл.механика. 1977. 13. N 10. С. 115-123.

86. Улитко А. Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости. // Совр.проблемы мех. и авиации. М: 1982. С, 290-300.

87. Ультразвуковые преобразователи. /Кикучи Е. и др. М.: Мир. 1972. 424 с.

88. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. /Ермолов И. Н. и др. М.: Машиностроение. 1986. 280 с.

89. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. // Успехи физ .наук. 1961. 74. N 2. С. 303-352.

90. Хорошев К. Г. Термоэлектроупругое состояние конечной анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами, j j BicH. Донц. ун-ту. Сер. А. Природ, науки. 2005. Вип. 2. С. 67-72

91. Хуторяпский Н. М., Coca X. А., Зу В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости. // Прикл. пробл. прочн. и пластич. НГУ. 1997. N 56. С. 183-195.

92. Шинкаренко Г. А. Проекционно-сеточные апроксимации для вариационных задач пироэлектроичества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний, j j Дифференциальные уравнения 1993. Т. 29. N 7, С. 1252-1260.

93. Шинкаренко Г. А. Проекционно-сеточные апроксимации для вариационных задач пироэлектроичества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач. // Дифференциальные уравнения 1994. Т. 30. N 2. С. 317 326.

94. Шулъга Н. А., Болкисев А. М. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова думка. 1990. 228 с.

95. Яффе Б., Кук У, Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Мир. 1974. 288 с.

96. Ashida F., Noda N., Tauchert Т. R. A two-dimensional piezothermoelastic problem in an orthotropic plate exhibiting crystalclass mm2. // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A. = Trans. Jap. Soc. Mech, Eng. A. 1993. V. 59. N 559. P. 842-848.

97. Ashida F., Noda N,, Tauchert T. R. A general solution technique for three dimensional problems of piezothermoelasticity in hexagonal solids or class 6 mm. // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28. 1992. Haifa. 1992. P. 15.

98. Chen TeiChen, Jang Horag-I., Tseng Ampere A. Transient thermal stresses in a multilayered anisotropic medium. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. N 4. P. 1067-1069.

99. Ding Flaojiang, Wang Gaoqing, Liang Jian. General and fundamental solutions of plane piezoelectroelastic problem. 11 Lixue xuebao = Acta mech. sin. 1996. V. 28. N 4. P. 441-448.

100. Ding H. J., Wang H. M., Chen W. Q.Eur. Dynamic response of a pyroelectric hollow sphere under radial deformation. //J. Mech. A200422. N 4. P. 617-631

101. Dokteci M. C. Vibrations of piezoelectric crystals. // Int. J. Eng. Sei. 1980. V. 18, N 3. P. 431-448.

102. Ashida Fumihiro, Tauchert Theodore R. A general plane-stress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate. // Int. J. Solids and Struct. 2001. V. 38. N 28-29. P. 4969-4985.

103. Gao Сип-Fa, Zhao Ying-Tao, Wang Min-Zhong. An exact and explicit treatment of an elliptic hole problem in thermopiezoelectric media. // Int. J. Solids and Struct. 2002. V. 39. N 9. P. 2665-2685.

104. Hetnarski R. B. Coupled thermoelastic problem for the half-space. // Bull. Acad. Polon. Sci. Techn. 1964 V. 12. N 1.

105. Hetnarski R. B. Coupled one-dimensional thermal shock problem for small times. // Arch. Mech. Stos. 1961. V. 13. N 2.

106. Li Hong, Dhaliwal Ranjit S. Thermal shock problem in themoelasticity without energy dissipation. // Indian J. Pure and Appl. Math. 1996. V. 27. N 1. P. 85-101.

107. Masayuki Ishihara, Naotake Noda. Control of thermal stress intensity factor in a piezothermoelastic semi-infinite body with an edge crack. // Bur. J. Mech. A. 2005. V. 24. N 3. P. 417-426.

108. Majhi M. C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod. // J. Techn. Phys. 1995. V. 36. N 3. P. 269-278.

109. Maksudov F. G., Mamedov J. M. On the solution for quasi-static problems of uncoupled classical and general thermoelasticity // Relat. Probl. Anal. Proc. Int. Symp., Tbilisi, June 6-11, 1991. Tbilisi. 1993. P. 157-163.

110. Mindlin R, D. On the equations of motion of piezoelectric crystals // Problems of continuum mechanics/ Ed. J. Radok. Philadephia : SIAM. 1961. P. 282-290.

111. Norris Andrew N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and piroelastic solids // Proc. Rog. Soc. London. A. 1994. 447. N 1929. P. 175-188.

112. Paul H. S., Renganathan K. Free vibration of a pyrolectric layer of hexagonal (6mm) class // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 395-397.

113. Altssandroni Silvio, Andreaus Ugo, Dell'Isola Francesco, Porfiri. Piezo-ElectroMechanical (РЕМ) Kirchhoff-Love plates // Eur. J. Mech. A. 2004. V. 23. N 4. P. 689-702.

114. Qin Q. H. General solutions for thermopiezoelectrics with various holes under thermal loading. // J. Sol. and Str. 2000. V. 37, N 39. P. 5561-5578.

115. Qin Q. H.f Mai Y. W., Yu S. W. Some problems in plane thermopiezoelectric materials with holes. // Int. J. Solids and Sfcuct. 1999. V. 36. N 3. P. 427-439.

116. Rao S. S., Sunar M. Analysis of distributed thermopiezoelectric sensors and actuators in advanced intelligent structures // AIAA Journal. 1993. V. 31. N 7. P. 1280-1286.

117. Richter H., Misawa E. A., Lucca D. A., Lu H. Modeling nonlinear behavior in a piezoelectric actuator //J. Prec. Eng. 2001. V. 25. P. 128-137.

118. Shen S., Kuang Z. B. An active control model of laminated piezothermoelastic plate. // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. N 13. P. 1925-1947.

119. Stam. Mike, Carman Greg Electrothermoelastic behavior of piezoelectric coupled cylinders // AIAA Journal. 1996. V. 34. N 8. P. 1612-1618.

120. Dai Tian-min. Renewal of basic laws and principles for polar continuum theories. V. Polar thermomechanical continua // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 2003. V. 24, N 11. P. 1253-1258.

121. Weller Thibaut, Licht Christian. Asymptotic behavior of piezoelectric plates // ICTAM 2004: 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Aug. 15-21, 2004 : Abstracts and CD-ROM Proceedings. Warszawa. 2004. P. 336-337.

122. Tzou H. S., .Bao Y. A theory on anisotropic piezothermoelastic shell laminated with sensor/actuator applications // J. Sound and Vibr. 1995. V 184. N 3. P. 453-473.

123. Tzou H. S., Yang R. J. Nonlinear piezo-thermoelastic shell theory applied to control of variable- geometiy shells.// J. Theor. and Appl. Mech. (Poland) 2000. V. 38. N 3. P. 623-644.

124. Vatulian A. 0., Kublikov V. L. Boundary element method in electroelasticity. // Boundary Elements Communications 1995. V. 6. P. 59-61.

125. Wang Q. Wave propagation in a piezoelectric coupled solid medium. // ASME. J. Appl. Mech. 2002. V. 69. N 6. P. 819-824.

126. Wang Yun, Xu Rong-qiao, Ding Haojiang. Free vibration of piezoelectric annular plate. //J. Zhejiang Univ. Sci. 2003. V. 4. N 4. P. 379-387.

127. Yang X. X., Shen SKuang Z. B. The degenerate solution for piezothermoelastic materials // Eur. J. Mech. A J. mec. theor. et appl.] 1997. V. 16. N 5. P. 779-793.