Динамические задачи термоэлектроупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Кирютенко Александр Юрьевич ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян А. О.

Ростов-на-Дону 1999

Содержание

Введение. 4

Глава 1. Колебания неограниченной термоэлектроупру-

гой среды. 17

1.1 Уравнения термоэлектроупругости в пространстве при установившихся колебаниях. Асимптотический анализ. 17

1.2 Плоские волны в неограниченной термоэлектроупругой среде............................... 23

1.3 Анализ типов волн для керамики класса 6 тт...... 29

Глава 2. ГИУ термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний. 32

2.1 Постановка краевых задач термоэлектроупругости. ... 33

2.2 Обобщенная теорема взаимности............... 34

2.3 Фундаментальные решения в термоэлектроупругости и

их интегральные представления............... 36

2.4 Граничные интегральные уравнения связанной термоэлектроупругости........................ 46

2.5 Асимптотический анализ краевой задачи термоэлектроупругости при установившихся колебаниях........ 49

Глава 3. Некоторые нестационарные задачи термоэлектроупругости. 54

3.1 Об одной приближенной модели расчета полей в линейной термоэлектроупругости................. 54

3.2 Тепловой удар по слою (точное и приближенное решения). Сравнение результатов................. 62

3.3 Задача Даниловской в термоэлектроупругости............80

Заключение. 94

Литература. 95

Приложение. 109

Введение

Бесконтактные методы измерения температуры тел играют большую роль для контроля и автоматизации производственных процессов, в системах идентификации и медицине. Температура является универсальной характеристикой состояния твердых, жидких и газообразных тел, а также процессов и реакций, проходящих в телах. Измеряя температуру объекта, в ряде случаев можно судить и о других его параметрах, однозначно связанных с температурой. Поэтому в настоящее время весьма актуальна проблема расчета параметров для конструирования различных типов тепловых и температурных датчиков, например, на основе пиро- и пьезоактивных материалов, в которых при воздействии теплового потока наводится разность потенциалов, подлежащая определению с учетом взаимного влияния теплового, упругого и электрического полей. Учет связанности этих полей в различных задачах термоэлектроупругости также необходим в связи с постоянной миниатюризацией устройств пьезоакустики и пьезоэлектроники, созданных из различных пьезо- и пироактивных материалов, в которых тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние на происходящие процессы. Одним из примеров применения пироэлектрических датчиков для измерения тепловых потоков [26], [97] является устройство для измерения параметров дыхания - его частоты и интенсивности. Обзор реальных устройств, пьезо- и пироактивных материалов, их характеристики и примеры применения изложены в монографиях и статьях [1], [2], [9], [25], [29], [33], [34], [37], [38], [39], [43], [50], [60], [64], [66], [73], [74], [82].

Уравнения термопьезоэлектричества, сформулированные Миндли-ным [101] в начале 60-х годов нашего столетия, составляют основу крае-

вых задач термоэлектроупругости [53, 55], которые имеют важные приложения при расчете пьезо- и пиродатчиков. Отметим, что в этой части механики деформируемого твердого тела, посвященной изучению взаимного влияния тепловых, электрических и упругих полей, гораздо меньше законченных результатов, чем, например, в термоупругости или электроупругости. Среди наиболее значимых работ, посвященных обобщенным постановкам краевых задач, отметим [7], [78], [79]. В ряде работ, посвященных общим вопросам термоэлектроупругости, авторам удалось получить законченные результаты [7], [14], [104], [105].

Теория термоэлектроупругости, являясь обобщением термоупругости и электроупругости, опирается на методы исследования нестационарных процессов в этих теориях, основанные либо на концепции малой связанности, либо на асимптотических методах малых и больших времен.

Дадим краткий обзор решенных задач в термоэлектроупругости. В [59] автором отмечено, что в последнее время в литературе уделяется большое внимание связанным задачам, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. Для постановки таких задач необходимо ввести определяющие соотношения (линейные или нелинейные), т. е. построить модель среды, учитывающую взаимодействие полей согласно известным экспериментальным фактам. В этой работе построена связанная модель для случая физически линейных и нелинейных сред для малых деформаций.

В работе [103] обсуждена общая процедура построения фундаментальных решений связанных задач теории упругости при наличии электрических, температурных и других полей. Задача сведена к одно-

мерной посредством разложения обобщенной функции Дирака по плоским волнам. Решение представлено в виде интеграла по сфере единичного радиуса. Рассмотрена как гармоническая зависимость от времени, так и случай импульсного нагружения; в последнем случае аналитическое решение построено для материалов, в которых отсутствует диссипация. Представлены конкретные результаты вычислений функций Грина для указанных выше классов задач.

В [83] квазистатические уравнения теории пьезоэлектричества и термопьезоэлектричества модернизированы для применения метода конечных элементов. Полученные результаты способствуют решению задачи размещения и оценке чувствительности датчиков в перспективных информационных системах. Эффективность иллюстрируется двумя частными примерами. Первый из них - двухслойная пьезоэлектрическая полоса как деталь робототехнической системы. Второй пример - алюминиевая балка с нанесенными двумя полимерными слоями, которые используются как активаторы и сенсоры при оценке и регулировании распределения температур в балке от краевого источника.

В [108] на основе предложенного авторами ранее метода решена двумерная пьезотермоупругая задача ортотропной пластины, представляющей группу тт2, одна поверхность которой нагрета, а другая электрически заряжена. Численные расчеты проведены для селенида кадмия. Упругое смещение и распределение напряжений сравнивались с решениями термоупругой задачи без учета пьезоэффекта. Исследовалось влияние поверхностного электрического заряда на упругие смещения, поле напряжений, электрический потенциал, плотность зарядов и электрические смещения.

В работе [84] предложен обобщенный метод решения трехмерной

задачи пьзотермоупругости в гексагональных твердых телах класса бтт. Введены две функции пьезотермоупругого потенциала, четыре функции пьезоупругого потенциала и пьезоэлектрический потенциал. Получены отдельные несвязанные разрешающие уравнения для функций потенциалов из уравнений движения для напряжений и уравнения упругостатики.

В [7] исследованы задачи об установившихся колебаниях ограниченных термоэлектроупругих и электроупругих тел, а также пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Допускаются как классические главные и естественные граничные условия, так и механические и электрические контактные краевые условия, включающие контакт с жесткими штампами и электроды, запитываемые генераторами тока. Даны обобщенные постановки задач. Доказана дискретность спектра и полнота системы собственных функций для электроупругих тел и пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Отмечены свойства вещественной части спектра задач для термоэлектроупругих тел. Изучены вопросы разрешимости неоднородных задач. Установлены свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел при изменении их модулей в механических, электрических и тепловых граничных условиях.

В работе [45] рассматривается применение численных схем МГЭ для класса плоских задач термоэлектроупругости об установившихся колебаниях ограниченных тел с частично электродированной границей.

В [65] изучена модель пироэлектрического приемника излучения, представляющая собой пьезокерамическую пластину, торцы которой полностью покрыты электродами и замкнуты через внешний контур

заданного комплексного сопротивления Z. На одной лицевой поверхности задан тепловой поток, на другой - конвективный обмен тепла с окружающей средой. Принято, что лицевые поверхности свободны от механических напряжении, и керамика поляризована вдоль оси, перпендикулярной лицевым поверхностям. В рамках линейной связанной теории электротермоупругости построено аналитическое решение для амплитудных составляющих перемещений, электрического потенциала и приращения температуры, а также находится разность потенциалов на электродах. При построении модели учтено, что электроды имеют малую толщину и, как следствие, пренебрегалось их механическим воздействием на пьезокерамический элемент и неравномерностью распределения тепла, а также учтена малость толщины пластины по сравнению с ее размерами в плане. Для оценки влияния механических перемещений на искомую разность потенциалов была рассмотрена упрощенная модель такой же задачи, основанная на связанных термоэлектрических полях.Также построено аналитическое решение, позволяющее находить амплитудные составляющие электрического потенциала и приращения температуры, а также разность потенциалов на электродах. Получены асимптотические оценки при малых и больших частотах модуляции для этой упрощенной модели. С помощью численных расчетов выявлены диапазоны частот расхождения искомой разности потенциалов для упрощенной постановки задачи.

В [68] рассмотрены прикладные задачи механики связанных полей, описывающие эффекты взаимодействия различных физических полей с полем деформаций в твердых деформируемых телах. Для решения стационарных задач использован метод граничных интегральных уравнений с учетом дополнительных средств, позволяющих избежать инте-

грирования по объему при наличии массовых сил различной физической природы. Обсуждены также конкретные примеры примененения предложенного подхода.

В [111] представлена уточненная теория термоэлектромеханики тонких слоистых анизотропных оболочек, подвергающихся механическим, электрическим и термическим воздействиям. Для этого были выписаны определяющие уравнения пьезотермоупругости анизотропных пьезоэлектрических материалов, а основные термоэлектромеханические уравнения и граничные условия выведены при помощи принципа Гамильтона. Обсуждено применение предложенной теории для динамических измерений и управления. В следствии весьма общих предположений относительно свойств материалов и геометрии оболочки, разработанная теория может быть использована для конструкций из самых разнообразных материалов, например, пьезокерамики, пьезополимеров и т. д., имеющих самые разнообразные формы, например, оболочки, плиты, кольца, стержня и т. д. Приведены результаты конкретных расчетов.

В [98] рассмотрена математическая постановка связанной задачи термоупругости о распространении волн в тонком полубесконечном стержне из пьезоэлектрика. Уравнение для теплового потока содержит время релаксации, что обеспечивает конечность скорости распространения тепла в среде. Задачу удалось решить аналитически с использованием преобразования Лапласа. Обсуждены основные закономерности в распространении скачков перемещений и температуры. Поле деформаций в стержне является непрерывным. Приведен пример расчета.

Методом Лехницкого-Стро в [113] построено общее решение плоской

задачи термоэлектроупругости в случае анизотропной среды. Особое внимание уделено случаям кратных собственных значений. Решение задачи о коллинеарных трещинах на границе раздела двух сред сведено к известной задаче линейного сопряжения - задаче Гильберта.

В [61] дано краткое изложение сущности метода, предлагаемого для решения некоторых связанных динамических контактных задач, возникающих при исследовании проведения системы "массивное тело -многослойная полуограниченная термоэлектроупругая среда".

Как указывалось выше, развитие исследований в области термоэлектроупругости опирается на результаты, полученные ранее в работах по электроупругости и термоупругости.

Среди наиболее значимых работ по электроупругости отметим монографии и статьи: [3], [4], [6], [20], [23], [27], [35], [36], [41], [42], [46], [53], [55], [57], [67], [70], [71], [72], [80], [69], [10], [91], [62], [63].

Термоупругие эффекты вносят значительный вклад в характеристики физических полей в термоэлектроупругости. Исследованию динамических эффектов в задачах термоупругости посвящены [40], [99], [88]. В [96] рассмотрена система уравнений типа III в теории Грина и Нагди для линейных термоупругих сред. В терминах преобразования Лапласа по временной координате решены две одномерные задачи о температурном скачке во времени на границе полупространства, при этом граница или жестко заделана, или свободна от напряжений. Обращения преобразований выполнены для малых времен, и решения для напряжения и температуры в среде проиллюстрированы графиками.

В [54] получено точное решение в замкнутой форме связанной динамической задачи термоупругости для полупространства с граничным условием первого рода. Исследовано нормальное напряжение, перпен-

дикулярное свободной поверхности, в окрестности фронта упругой волны.

В [110] дана математическая постановка и решение связанной задачи электротермоупругости для совокупности коаксиальных цилиндров из пьезокерамики. Учтена зависимость пьезоэлектрических коэффициентов от температуры. Результаты расчетов используются при анализе работы твердотельного двигателя, применяемого в космических исследованиях. Приводится сопоставление теории и эксперимента.

Одним из эффективных методов анализа установившихся колебаний упругих и электроупругих тел является метод граничных интегральных уравнений и его дискретный аналог - метод граничных элементов (МГЭ). Этому направлению посвящены работы [8], [11], [12], [13], [14], [15], [17], [20], [21], [22], [47], [48], [49], [103], [77].

Главное препятствие на пути интенсивного исследования краевых задач термоэлектроупругости - относительно большая размерность этой модели (смещения щ, потенциал ср и температура в), в силу чего число решенных (даже численно) краевых задач относительно невелико.

С другой стороны, результаты даже тех немногих работ, в которых анализируются численно или аналитически основные свойства решений, свидетельствуют о том, что влияние фактора связанности на электрический потенциал весьма невелико. Это обстоятельство наводит на мысль о возможности упрощения процедуры исследования задач термоэлектроупругости в части исследования интегральных характеристик (например, наведенной разности потенциалов), осуществлении декомпозиции исходной задачи и уменьшении числа основных неизвестных.

Основной целью настоящей диссертационной работы является исследование динамических процессов в термоэлектроупругих средах с учетом и без учета связанности, выяснение тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.

Глава 1 посвящена изучению колебаний неограниченной термоэлек-троупругой среды.

В параграфе 1.1 из общих уравнений связанной термоэлектроупру-гости в линейном приближении (уравнений движения, уравнений Максвелла в квазистатическом приближении и уравнения притока тепла) и определяющих соотношений получена общая система уравнений в частных производных, описывающая движение термоэлектроупругой среды. Проведено обезразмеривание общей системы, позволяющее привести ее к виду, удобному для дальнейшего изучения и анализа. Приведены уравнения, описывающие движение термоэлектроупругой среды в важном частном случае для пьезокерамики, поляризованной вдоль оси Охз ( класс 6шт) [55]. Далее на основе общего случая, описанного выше, выполнено обезразмеривание в случае среды класса 6 тт, проанализирована полученная система уравнений, выявлены параметры связанности полей, приведены безразмерные параметры и постоянные для титаната бария и селенида кадмия.

В 1.2, 1.3 на основе анализа уравнений движения для связанной термоэлектроупругой среды класса 6 тт изучена структура плоских волн в связанной задаче для бесконечной среды, исследовано влияние

связанности и частоты колебаний на скорости и коэффициенты затухания. Теоретический и численный анализ дисперсионного уравнения позволил классифицировать волны следующим образом:

1) квазитепловая волна, �