Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносов

' /

НЕФЕДОВА Юлия Сергеевна

УТОЧНЕНИЕ СТРУКТУРЫ МОМЕНТНЫХ ОЦЕНОК СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

• 8 СЕН 2011

Москва - 2011

4852676

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор В.Ю. Королев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В. В. Сенатов

доктор физико-математических наук, профессор С. Я. Шоргин

Ведущая организация: Российский университет дружбы

народов

Защита, диссертации состоится 23 сентября 2011 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685. Желающие присутствовать на заседании диссертационного совета должны сообщить об этом за 2 дня по тел. 939-30-10 (для оформления заявки на пропуск).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ http://cs.msu.ru в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.44».

Автореферат разослан августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор (/ У н. П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность:

Суммы независимых случайных величин традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Такое внимание к ним обусловлено тем, что сумма случайных величин - довольно удобная и зачастую разумная математическая модель для описания количественных характеристик стохастических ситуаций. Однако, даже если функции распределения случайных слагаемых известны, вычислить в явном виде функцию распределения их суммы при большом числе слагаемых как правило практически невозможно. Стандартным решением данной проблемы является использование в качестве неизвестного распределения суммы его асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой, описывающей трансформацию распределения суммы при неограниченном увеличении числа слагаемых. Как сказано в книге Б.В.Гнеденко и А.Н.Колмогорова1, «познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами». Наиболее популярной асимптотической аппроксимацией для распределения суммы случайных величин является нормальное распределение. Возможность нормальной аппроксимации обосновывается центральной предельной теоремой теории вероятностей. При решении вопроса об адекватности математических моделей, основанных на нормальной аппроксимации, ключевую роль играет точность аппроксимации распределения суммы случайных величин нормальным законом. В связи с этим большую важность приобретает задача построения удобных и легко вычисляемых аналитических оценок точности нормальной аппроксимации, зависящих от основных параметров задачи - числа слагаемых в сумме и их первых моментов. Об оценках, в которых вся необходимая информация о распределении слагаемых сосредоточена лишь в простых характеристиках - первых моментах слагаемых, будем

1Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1949. ;'

говорить как о моментных оценках. Именно моментным оценкам и посвящена данная работа. Всюду далее будет предполагаться, что распределения независимых случайных слагаемых в сумме одинаковы.

В работе рассматриваются две схемы суммирования независимых одинаково распределенных случайных величин и связанные с ними предельные теоремы. В первой схеме число слагаемых считается детерминированным. Во второй схеме индекс суммирования сам является случайной величиной, независимой от слагаемых. При этом рассматриваются две возможности: в первой индекс является случайной величиной с распределением Пуассона, во второй число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса).

Среди предельных теорем для сумм неслучайного числа случайных величин наряду с законом больших чисел главное место занимает центральная предельная теорема, первый вариант которой был доказан еще А. де Муавром в 1730 г. Эта теорема утверждает, что распределение стандартизованной суммы большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией близко к нормальному.

Задача изучения точности нормальной аппроксимации привлекала внимание многих исследователей. В частности, над ней работали А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, П.Леви, Г.Крамер, Б.В.Гнеденко, Ю.В.Прохоров, К.-Г.Эссеен, И.А.Ибрагимов, Ю.В.Линник, В.М.Золотарев, В.В.Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, П. Холл, К. Хейди и другие выдающиеся математики.

Вопросы, связанные с оценками точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин, широко освещены в научной литературе, в частности, им уделено большое внимание в книге Б. В. Гнеденко и А.Н.Колмогорова1, в монографиях И.А.Ибрагимова и Ю.В. Линника2, Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Pao3,

2 И. А. Ибрагимов, Ю.В.Линник. Независимые и стационарно связанные величины. - М., "Наука", 1965.

3Р. Н. Бхаттачария, Ранга Pao Р. Аппроксимация нормальным

В.В.Петрова4,5, В.М.Золотарева6 и В.В.Сенатова7, 8.

Несколько слов о том, почему данная работа посвящена именно моментным оценкам. Этот вопрос тесно связан с вопросом о том, что считать оценкой. Самой точной и правильной оценкой невязки Д„(ж) между допредельной функцией распределения нормированной суммы и предельной нормальной функцией распределения является, очевидно, сама невязка: Ап(х) < А„(х), но по своему смыслу оценка должна иметь более простой вид по сравнению с оцениваемой величиной и эффективно вычисляться, требуя лишь некоторую наиболее доступную информацию об исходных распределениях. Конечно же, оценки в терминах псевдомоментов (см., например,9) или дзета-метрик (см., например, 10) могут быть существенно точнее оценок, рассматриваемых в данной диссертации. Однако чтобы вычислить характеристики, участвующие в указанных оценках (псевдомоменты или дзета-метрики), необходима полная информация о распределении слагаемых. Но при этом, естественно, имея такую информацию и современные компьютеры, на практике вполне можно оценить погрешность нормальной аппроксимации численно, не прибегая к аналитическим оценкам. В оценках же моментного типа вся необходимая информация сосредоточена лишь в простых характеристиках интегрального типа (первых трех моментах), которые, как правило, можно эффективно оценить по выборке, особенно в случае одинаково распределенных слагаемых.

На практике часто возникает ситуация, когда число п

распределением. - М.: Наука, 1982, 286 с.

4В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. М., "Наука", 1972.

5В. В.Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., "Наука", 1987.

®В. М.Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин, М., "Наука", 1986.

7V. V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. -VSP, Utrecht, 1998.

8B.B. Сенатов. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения.. - М., Книжный дом «ЛИВРОКОМ», 2009.

9В. И. Паулаускас. Об одном усилении теоремы Ляпунова. - Литовский математический сборник, 1969, т. 9, вып. 2, с. 173-179.

10И.С.Тюрин. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова. -Успехи матем. наук, 2010, т. 65, вып. 3, с. 201-202.

слагаемых в сумме заранее не известно. Так, например, в медицинской статистике или страховой практике, как правило, заранее фиксируется не число наблюдений, а время для сбора информации. В таких ситуациях естественно предположить, что индекс суммирования является целочисленной случайной величиной. В данной работе мы сосредоточимся на рассмотрении ситуаций, в которых случайный индекс суммирования Лгд имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0:

или же случайный индекс суммирования N(1) является случайной величиной со смешанным пуассоновским распределением:

где t > 0 - параметр смешивающего распределения, Л(t)

- случайный процесс с неубывающими непрерывными справа траекториями, Л(0) = 0 почти наверное. Случайная величина A(t) называется структурной. Последняя ситуация, например, имеет место, когда параметр t имеет смысл времени, а случайный индекс N(t) формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом с накопленной интенсивностью Л (t) (процессом Кокса, управляемым процессом Л(£)).

Асимптотической теории случайного суммирования посвящены монографии А. Гута11, В. М. Кру глова и В. Ю. Королева12, Б.В.Гнеденко и В.Ю.Королева13, В.В.Калашникова14, В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева15 и другие.

nA. Gut. Stopped Random Walks. - Springer, New York, 1988.

12B. M. Круглов, В. Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. -М., Изд-во Московского университета, 1990.

13В. V. Gnedenko, V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. - CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

14V. V. Kalashnikov. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications.

- Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.

15V. Bening, V. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance. - VSP, Utrecht, 2002.

P(TVA = k) = — e-\ fc = 0,1,...,

Xk

о

Цель работы:

Целью данной диссертации является уточнение структуры моментных оценок точности асимптотических аппроксимаций для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Методика исследования:

В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей. Для уточнения неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме в первой главе применяется модифицированный метод Падитца (см.16), заключающийся в разбиении вещественной прямой на зоны «малых», «умеренных» и «больших» значений аргумента. Также метод доказательства неравномерных оценок основан на специальном усечении случайной величины. Для нахождения нижних оценок используется метод Прохорова-Мацкявичюса (см.17), согласно которому с указанной целью предложено рассматривать масштабные смеси нормальных законов.

Научная новизна:

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Уточнены неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин с конечным абсолютным моментом порядка 2 + S, 5 € (0, 1].

2. Уточнена при <5 = 1 и впервые обобщена на случай 0 < <5 < 1 неравномерная оценка скорости сходимости в центральной

16L. Paditz. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of the Esseen inequality. - Statistics (Berlin: Akademie-Verlag), 1989, v. 20, No.3, p.453-464.

17B.K. Мацкявичюс. О нижней оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. - Теория вероятпн. и ее примеч., 1983, т. 28, вып. 3, с. 565569.

предельной теореме с уточненной структурой. На основе этой оценки уточнены абсолютные константы в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских и смешанных пуассоновских случайных сумм.

3. Впервые найдена нижняя оценка для абсолютной константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. В частности, найдены нижние оценки для верхней и нижней асимптотически правильных постоянных.

4. Уточнена при 0 < 5 < 1 верхняя оценка абсолютной константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм.

5. Впервые найдена нижняя оценка для абсолютной константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для смешанных пуассоновских случайных сумм. В частности, найдены нижние оценки для верхней и нижней асимптотически правильных постоянных в случае, когда предельное распределение является распределением Лапласа.

6. Впервые построены практически применимые оценки точности аппроксимации распределений отрицательных биномиальных случайных сумм с параметрами индекса г > О и р = (1 + при £ —» оо для случая, когда г < 5/2. Показано, что в случае г < 8/2 скорость сходимости имеет порядок 0(Ь~Г), а в случае г — 5/2 - порядок 0(Ь~5/21п(£)), (£ —>■ оо). В обоих случаях найдены положительные миноранты констант в аналогах неравенств Берри-Эссеена и тем самым доказана правильность установленных порядков скорости сходимости.

Практическая значимость:

Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают удобное применение к решению различных практических задач, связанных с использованием асимптотических аппроксимаций, в частности, нормальной.

Апробация работы:

Результаты диссертации докладывались на II международном научно-практическом конгрессе «Ультрасовременные

телекоммуникации и системы управления» (2010 г., Москва), на международной конференции «Прага Стохастика-2010» (2010 г., Прага, Чехия), на 14-й международной конференции по прикладным стохастическим моделям и анализу данных (2011 г., Рим, Италия), на международной конференции «Стохастические модели и их приложения», посвященной 80-летию М. Арато (2011 г., Дебрецен, Венгрия), на международных конференциях студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2010» и «Ломоносов-2011» (2010, 2011 гг., МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва), на научной конференции «Тихоновские чтения» в МГУ (2010 г.), неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре «Теория риска и смежные вопросы» на факультете ВМК МГУ и нашли свое отражение в трудах упомянутых семинаров и конференций.

Публикации:

Основные результаты диссертации представлены в 12 работах ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]), из них 3 статьи опубликованы в научных журналах, включенных в перечень ВАК

([1], И, И).

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 123 наименования. Объем работы - 126 страниц.

Содержание работы

Глава 1 посвящена неравномерным оценкам скорости сходимости в классической центральной предельной теореме для сумм фиксированного числа независимых одинаково распределенных случайных величин.

Рассматривается последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Х\, Х^,... с общей функцией распределения Р(х) = Р(Ха < х), удовлетворяющих условиям

ЕХ1=0, ЕХ2 = 1, Е\Хг\2+5 = р2+в < оо (1)

при некотором 5 £ (0,1]. Обозначим Т^+г множество всех функций распределения Р случайной величины Х\, удовлетворяющих условиям (1). Пусть Рп(х) = Р(Х1 + ... + Хп < х) = Р*п(х) - га-кратная свертка функции распределения Р(х) с собой, Ф(ж) и - соответственно функция распределения и плотность стандартного нормального закона:

X

Ф(х) = [ е~'2'41, ф) = • е-*2/2.

— оо

Положим

= \Fnix\fn) — Ф(ж)|, х е К, п > 1.

При условиях (1) известна неравномерная оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме (см. работы18 и19): существуют такие положительные конечные числа С(5), что справедливо неравенство

8ир(1 + И2+5)Дп(ж)^С(<5)^. (2)

18С. В. Нагаев. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. -Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 231-254.

19А.Бикялис. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. -Литое, матем. сб., 1966, т. 6, вып. 3, с. 323-346.

Наилучшие на сегодняшний день оценки для С(5) приведены в статье20 для 0 < 8 ^ 1. В частности, там показано, что С(1.0) < 25.80.

Основным результатом раздела 1.1 является теорема, уточняющая оценки, полученные в работе 20.

Теорема 1. Для константы С(<5) в неравенстве (2) справедливы следующие верхние оценки:

5 = C(6)^ s — C(S) ^

1.0 18.1139 0.5 13.0258

0.9 17.2651 0.4 11.9605

0.8 16.1524 0.3 10.9675

0.7 15.0866 0.2 10.0561

0.6 14.0576 0.1 9.2114

Нижеследующая теорема раздела 1.1. в случае 5=1 уточняет, а также обобщает на случай 0 < 5 < 1 результат работы 21.

Теорема 2. Для любых п > 1, F 6 J2+5 и х > 0 справедливо неравенство

sup It\2+5An(t)^C(x,5)^,

где С(х,5) - ограниченная невозрастающая функция от х ^ 0, такая, что С(х, S) —> 1 при х —> оо.

Описан алгоритм, позволяющий при каждом 0 < <5 < 1 находить верхние оценки для С(х, 5), приведены результаты вычислений, проведенных в соответствии с этим алгоритмом.

В разделе 1.2 рассматриваются альтернативные неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме с

20Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм. - Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып.1, с. 39-45.

21V. Nikulin. An algorithm to estimate a nonuniform convergence bound in the central limit theorem, 2010, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1004/1004.0552vl.pdf.

уточненной структурой. В статье 22 для случая 5 = 1 была получена неравномерная оценка уточненной структуры вида

(1 + Ы3)Д„(:г) < 22.7707 х е R, п > 1, F е (3)

уп

При этом, поскольку в силу неравенства Ляпунова /?з ^ 1, при больших значениях /З3 оценка (3) точнее, чем (2) за счет меньшего значения абсолютной константы.

Нижеследующая теорема раздела 1.2 при S = 1 уточняет, а при О < S < 1 обобщает неравенство (3) работы22.

Теорема 3. При каждом 0 < 6 ^ 1 существуют конечные положительные постоянные Cst{S) такие, что справедливо неравенство

sup(l + |х|2+5)Д„(х) ^ CstiS)13™*1, п > 1, F е T2+s. (4)

Также в этом разделе описан алгоритм, позволяющий при каждом 0 < 5 ^ 1 находить верхние оценки для Cst(S). Результаты вычислений для 5 = 0.1, 0.2,..., 1, проведенных в соответствии с этим алгоритмом, приведены в таблице 1.

6 = Cst(ó) < 5 = Cst(S) <

1.0 15.7601 0.5 11.1145

0.9 14.6317 0.4 10.4485

0.8 13.6105 0.3 9.8553

0.7 12.6898 0.2 9.3343

0.6 11.8592 0.1 8.8837

Таблица 1: Оценки констант С&(6) в (4).

Построенные оценки использованы в разделе 2.3 главы 2 для уточнения абсолютной константы в неравномерной оценке точности нормальной аппроксимации для пуассоновских случайных сумм.

22С. В. Гавриленко. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону. -Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып. 1, с. 12-24.

Глава 2 посвящена оценкам скорости сходимости в центральной предельной теореме для пуассоновских случайных сумм.

В этой главе относительно Х\, Х2, ■ ■. мы будем предполагать, что

EXi=fi, DX1~<72>0, E|Xi|2+i = ^2+5 <00 (5)

при некотором 5 G (0,1]. Обозначим множество всех функций распределения F случайной величины Х\, удовлетворяющих условиям (5). Рассматривается пуассоновская случайная сумма

Sx = Хх H-----h Xnx ,

где индекс суммирования N\ имеет распределение Пуассона с некоторым параметром Л > 0. Предполагается, что при каждом Л > 0 случайные величины N\,Xi,X2, ■ ■ • независимы. Для определенности полагаем, что S\ = 0 при N\ = 0.

Функцию распределения стандартизованной пуассоновской случайной суммы S\ = (S\ — Ад)/а/А(/л2 + ст2) обозначим F\(x).

Известно, если слагаемые Xi,X2,.-. удовлетворяют моментным условиям (5), то справедлив следующий аналог неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм (см., например, книгу23)

ДЛ = sup |Fa(а:) - Ф(а:)| < С(<5)^+5, (6)

X

где С(5) > 0 зависит только от â, a L2X+S - нецентральная ляпуновская дробь порядка 2 + 5:

т 2+5 _ _Р2+5_

Л (Ш2 + о-2)(2+5)/2Д5/2 '

Наилучшая на сегодняшний день верхняя граница для С(1) равна 0.3041 (см.24'25). В работе26 при 0 < <5 < 1 приведены

23В. Е. Бенинг, В. Ю. Королев, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска. - М., "Физматлит", 2007.

24В.Ю.Королев, И.Г.Шевцова. Уточнение неравенства Берри-Эссеена с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. -Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, вып. 1, с. 25-56.

25 V. Korolev, I.Shevtsova. An improvement of the Berry-Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums. - Scandinavian Actuarial Journal, 2010, Online first: http://www.informaworld.com/10.1080/03461238.2010.485370, 04 June 2010.

2еИ.Г.Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений

верхние оценки для С(5), справедливые в асимптотическом смысле, когда ляпуновская дробь бесконечно мала. Однако нижние

оценки для С(5) до сих пор найдены не были. Важность задачи отыскания нижних оценок для С(6) подчеркивается тем фактом, что полученная в24'25 верхняя оценка С(1) < 0.3041 строго меньше наименьшего теоретически возможного значения абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена С0(1) ^ 0.4097...

В разделе 2.1 для случая 5 = 1 и в разделе 2.2 при 0 < 5 < 1 найдены нижние оценки абсолютной постоянной С(S) в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм (6). В терминах, введенных в работе27, определена верхняя асимптотически правильная постоянная

С an (6) — lim sup sup &\/Ь\+5. A-»oo Fe^+S

Построенная миноранта C\„(5) и будет нижней оценкой для С(6). Теорема 4. Для Can(S) справедлива нижняя оценка

Сап(5) > iSup75/2е-%(7),

¿ 7>0

оо

где /0(7) = X) (2)2к{Щ~2 " модифицированная функция Бесселя, к—0

Приведены конкретные значения минорант Сап(6) для некоторых 8 £ (0, 1]. В частности, С(1) > 0.2344.

Также в указанных разделах найдена миноранта для С(6), остающаяся справедливой при сколь угодно малых значениях ляпуновской дроби L2X+S. Для этого в терминах, введенных в работе27, определена нижняя асимптотически правильная постоянная

Сап (8) = lim sup lim sup sup Дд/£.

£->0 A-+oo L2+s=¿

пуассоновских случайных сумм. - Обозрение промышленной и прикладной

математики, 2007. Т. 14. Вып. 1. С. 3-28.

27И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена-Каца. - Теория вероятностей и ее применения, 2010. Вып. 2. С. 271-304.

Теорема 5. Для Сап(5) справедливы нижние оценки

Ош(1) ^ \ lim = = 0.1994...,

I ч-юо 2V27T

( s2\~1/'2 s2

^ > 2W/af(Ш) ^ 11 + 0<i<1'

+оо

где Г(-)- гамма-функция Эйлера: T(z) = J xz~1e~xdx.

о

Приведены конкретные значения минорант Сап (5) для некоторых 5 € (0, 1). В частности, С(0.9) > 0.0182.

В разделе 2.2 уточнены верхние оценки постоянной С(5) в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм (6) в случае 0 < S < 1.

Теорема 6. При условии (5) для любого Л > 0 при каждом 0 < 5 < 1 справедливо неравенство

зиР|ВД - Ф(*)| < (/i2 (7)

с той же константой С(5), что и в неравенстве Берри-Эссеена уточненной структуры для «классической» схемы суммирования (см. работу28). В частности, С(0,9) ^ 0.3089.

В разделе 2.3 рассмотрены неравномерные оценки (8) скорости сходимости в центральной предельной теореме для пуассоновских случайных сумм. Доказана теорема, уточняющаяя результаты работ20 и22.

Теорема 7. Для любых islti любого Л > 0 при каждом 0 < <5 ^ 1 справедливо неравенство

(1 + | аЩГл(») ~ Ф(*)| < WS) xS/2J%"a2)W/2, (8)

где константа C3t(6) - та же, что и в неравномерном неравенстве уточненной структуры (4) для сумм фиксированного числа слагаемых (см. таблицу 1).

28М. Е. Григорьева, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Каца-Берри-Эссее-на. - Информатика и ее применения, 2010, т. 4, вып. 2, с. 78-85.

Глава 3 посвящена оценкам скорости сходимости распределений смешанных пуассоновских случайных сумм к масштабным смесям нормальных законов.

Рассматривается смешанная пуассоновская случайная сумма

S(t) = X И-----Ь XN(t),

где индекс суммирования N(t) является случайной величиной со смешанным пуассоновским распределением:

+оо

Р(JV(i) = A) = i J e~x\kdP(A{t)<\), k = 0,1,2,...,

о

t > 0 - параметр смешивающего распределения, Л (i) -структурная случайная величина. Предполагается, что при каждом t > 0 случайные величины N(t),Xi,Xi,... независимы. Для определенности полагаем, что S(t) = 0 при N(t) = 0.

В главе 3 относительно X\,Xi,--- мы будем предполагать, что

EXi = 0, DXisct2>0, E|XI|2+5 = /02+5 < оо

(9)

при некотором 6 € (0,1]. Пусть также Л(*)/ф) л, (г оо), где с2(£) > 0 - вспомогательная нормирующая (масштабирующая) функция, неограниченно возрастающая при Ь —>■ оо. Обозначим

+оо

&t(x)

S(t)

Гу/Щ

)-t-oo

-¡•(%)ä Р(А<А)

П

S,(z) =

Р(М<1)-Р,Д<1)

В таком случае справедлив следующий аналог неравенства Берри-Эссеена для смешанных пуассоновских случайных сумм:

suPAt(z) ^ С(5) ■ E[A(i)]-ä/2 + ^ирВД,

(10)

где С{5) - та же абсолютная константа, что и в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм (см. неравенство (6)). В частности, С( 1) ^ 0.3041.

Впервые неравенство (10) было доказано в работе29 с другими, лучшими на тот момент верхними оценками абсолютной константы С(<5). Однако вопрос о нижних оценках постоянной С(5) оставался открытым.

Если N(t) имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г>0ир = (1 + i)-1 > 0, t > 0, то при условии г > <5/2 справедливо неравенство, являющееся следствием неравенства (10):

Д, s sup Д4(х) < C(r,5)L2t+\ L2+s = (11)

где С(г,8) = С(5)Г(г - §)/Г(г). Однако задача построения оценки точности аппроксимации распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при г ^ 8/2 ранее решена не была.

В разделе 3.1 при условии, что г > 5/2 найдены нижние оценки постоянной С (г, 5) в аналоге неравенства Берри-Эссеена для отрицательных биномиальных случайных сумм (11). Определена верхняя асимптотически правильная постоянная:

Ca„(r,5) = limsupsup-^j, г > 0,

t-foo Lt

где супремум берется по всем распределениям случайной величины Xi, для которой справедливы условия (9).

Теорема 8. Для верхней асимптотически правильной постоянной Сап(л^) при каждом г > 5/2 справедлива следующая нижняя оценка

_ 1 7<5/2

Сап (Л 5) > - SUp • 2Fl

2 7>о(7 + Ч

г г + 1 2' 2

' '(1 + 7)

где

т? п и ^ \ria)k{b)k zk Г(а + п)

обобщенная гипергеометрическая функция Гаусса.

29С. В. Гавриленко, В.Ю. Королев. Оценки скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм - Системы и средства информатики, ИПИ РАН, Москва, 2006, специальный выпуск, с. 248-257.

Подробно рассмотрен случай г = 1, когда случайная величина N(t) имеет геометрическое распределение. При этом предельное (при t -» оо) распределение для стандартизованной геометрической суммы S(t) является распределением Лапласа.

Теорема 9. Для константы Сап(1,6) справедлива следующая нижняя оценка

- 1 75/2

Также построена миноранта нижней асимптотически правильной постоянной:

Сап(1><5) = lim sup lim sup sup At/L (12)

t-+OO F. Lf+5=e

Теорема 10. Для Сап(1, <5) справедливы следующие нижние оценки

CU1, \ lim -7^L= = = 0.3535...,

--2 7->оо ^/27 + 1 2V2

^ > ^ - - 1+

+ 3s2)(l - erf(l)) - + 2s2)(l - erf(Vl + s2))) ,

ж ,2

0 < 5 < 1, где erf (ж) = Д= f е ь dt - «функция ошибок». vv о

Приведены конкретные значения минорант Сап(1,8) и Сал(1,8) для некоторых <5 £ (0,1]. В частности, Сап(1,1) ^ 0.3535, С^п(1,0.9) ^ 0.0199.

В разделе 3.2 построены неравномерные оценки скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм к масштабным смесям нормальных законов. Доказана следующая теорема:

Теорема 11. Предположим, что выполнены условия (9). Тогда при каждом t > 0 при любом igR имеет место оценка

At(x) <Ct(5). ^ . Elш ГГ^1+5/2 + bHU

а2+5т)8/2 +И J 1 +

+оо

+ J \8t(X)\d^^y t> 0, xeR,

о

где константа Cst(8) - та же, что и в неравномерной оценке для пуассоновских случайных сумм {см. теорему 7 с верхними оценками для Cst(S) в таблице 1). В частности, Cst{ 1) < 15.7601.

Полученные оценки при 5 = 1 существенно уточняют и обобщают на случай 0 < 8 < 1 результат работы 22.

В разделе 3.3 доказаны аналоги неравенств Берри-Эссеена для отрицательных биномиальных случайных сумм в случае, когда у отрицательного биномиального распределения параметр г ^ 6/2. Показано, что в случае г < 8/2 оценка имеет порядок 0(t~r), а в случае г = 8/2- порядок 0(t~5/2 ln(i)), (t оо).

Теорема 12. Пусть случайная величина N(t) имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г > 0 и р = (1+ t)-1, где t > 0. Предположим, что выполнены условия (9) и г < 8/2. Тогда для любого t > 0 справедлива оценка

д¿ =

где

( ' } 2Г(г + 1)(8/2 — г) '

С (8) - та же, что и в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм, х = 0.54093654... (см. 30).

Следствие 1. В условиях теоремы 12 для любого t > 0 справедлива оценка

>tr V >a2+6tr-

Бхаттачария, Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением. - М.: Наука, 1982, 286 с.

Теорема 13. Пусть случайная величина имеет

отрицательное биномиальное распределение с параметрами г>0ир = (1 + ¿)-1, где £ > 0. Предположим, что выполнены условия (9) и г = 5/2. Тогда для любого Ь > 0 и 8 € (0, 1] справедлива оценка

Ь

¿<5/2 '

Аг < К(8)

2 / Ь

1п 1 +

где К(8) = С{5)/Г{8/2), а С(8) - та же, что и в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм.

Следствие 2. Для любых 0 < 8 ^ 1 справедливо неравенство

Г(8/2)

% + 1п | 1 +

(Г "V (С(6)М^

ь

где С{8) и С(8) - соответственно верхние и нижние оценки для С(8).

В обоих случаях приведены положительные миноранты для абсолютной константы в аналогах неравенства Берри-Эссеена теорем 12,13 и тем самым доказана правильность установленных порядков скорости сходимости.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора Виктора Юрьевича Королева, которому автор выражает искреннюю признательность. Автор также считает своим приятным долгом выразить благодарность Ирине Геннадьевне Шевцовой за полезные консультации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ю.С.Нефедова, И.Г.Шевцова. О неравномерных оценках скорости сходимости в ЦПТ. - Теория вероятностей и ее применения, 2011, т. 56, вып. 3.

2. Ю.С.Нефедова, И.Г.Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм. - Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып. 1, с. 39-45.

3. Ю.С.Нефедова, И.Г.Шевцова. Уточнение структуры неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме с приложением к пуассоновским случайным суммам. - Доклады РАН, 2011.

4. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. Двусторонние оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. - Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Изд-во Пермского университета. Пермь, 2010, Вып. 22. С. 121-128.

5. Ю.С.Нефедова. Оценки скорости сходимости в предельной теореме для отрицательных биномиальных случайных сумм. -Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Изд-во Пермского университета. Пермь, 2011, Вып. 23.

6. Yu. Nefedova, I. Shevtsova. On the constants in the uniform and non-uniform versions of the Berry-Esseen inequality for Poisson random sums. - International Conference on Ultra Modern Telecommunications (ICUMT), 2010, IEEE, p.1141-1144.

7. Yu. Nefedova. The lower estimates for the constants in the analogs of the Berry-Esseen inequality for sums of random number of random variables. - Book of abstracts of the 14th Conference of Applied Stochastic Models and Data Analysis, 2011, Rome, Italy, p.1021-1028.

8. Yu. Nefedova. The lower estimates for the constants in the analogs of the Berry-Esseen inequality for sums of random number of random variables. - Proceedings of the 14th Conference of Applied Stochastic Models and Data Analysis, 2011, Rome, Italy, ISBN 97888467-3045-9.

9. Ю.С.Нефедова. Нижние оценки для константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для обобщенных процессов Кокса. - Сборник тезисов конференции «Ломоносов-2011» , секция «Вычислительная математика и кибернетика», стр. 19-21.

10. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. Двусторонние оценки для констант в равномерном и неравномерном аналогах неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. - Материалы научной конференции «Тихоновские чтения - 2010», стр. 56-57.

11. Yu. Nefedova, I. Shevtsova. On the accuracy of the normal approximation to Poisson random sums. - Book of abstracts of the conference Prague Stochastics 2010, p. 112.

12. Ю.С.Нефедова. Численный поиск нижней оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. - Сборник тезисов «Ломоносов-2010», секция «Вычислительная математика и кибернетика», стр. 124-126.

В работах [1] и [3] Нефедовой Ю.С. было проведено доказательство теорем, вошедших в главу 1 данной диссертационной работы, а также разработан и реализован алгоритм для вычислений верхних оценок для абсолютной константы в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эсеена.

В работах [2] и [4] Нефедовой Ю.С. принадлежит доказательство нижних оценок для верхних асимптотически правильных постоянных, уточнение верхней оценки для константы в неравенстве Берри-Эсеена для пуассоновских случайных сумм в случае 0 < <5 < 1.

В работах [6],[10] и [11] Нефедовой Ю.С. получен явный вид минорант верхних и нижних асимптотически правильных постоянных при 0 < 6 < 1, уточнена верхняя оценка для константы в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эсеена для пуассоновских случайных сумм.

Заказ № 17-Р/07/2011 Подписано в печать 07.07.2011 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-таИ: info@cfr.ru

Введение

1. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости в ЦПТ

1.1. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ

1.1.1. Вспомогательные утверждения.

1.1.2. Случаи (1) и (111) - «малые» и «большие» значения х

1.1.3. Случай (11) - «умеренные» значения х.

1.1.4. Основные результаты

1.2. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ с уточненной структурой.

1.2.1. Вспомогательные утверждения.

1.2.2. Основные результаты

2. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм

2.1. Нижние оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эсссена для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами

2.2. Двусторонние оценки константы в неравенстве Берри-Эссеепа для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента.

2.2.1. Верхние оценки.

2.2.2. Нижние оценки.

2.3. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм.

3. Оценки скорости сходимости в предельной теореме для смешанных пуассоновских случайных сумм

3.1. Нижние оценки для константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для отрицательных биномиальных случайных сумм.

3.2. Неравномерные оценки скорости сходимости в предельной теореме для смешанных пуассоновских случайных сумм

3.3. Оценки скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм с параметром г ^ 5/

3.3.1. Случай г < 6/2.

3.3.2. Случай г = 6/2.

Суммы независимых случайных величии традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Такое внимание к ним обусловлено тем, что сумма случайных величин -довольно удобная н зачастую разумная математическая модель для описания количественных характеристик стохастических ситуаций. Однако, даже если функции распределения случайных слагаемых известны, вычислить в явном виде функцию распределения их суммы при большом числе слагаемых как правило практически невозможно. Стандартным решением данной проблемы является использование в качестве неизвестного распределения суммы его асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой, описывающей трансформацию распределения суммы при неограниченном увеличении числа слагаемых. Как сказано в книге Б.В.Гнеденко и А.Н.Колмогорова [9], опознавательная ценность теории, вероятностей раскрывается только предельными теоремами». Наиболее популярной асимптотической аппроксимацией для распределения суммы случайных величин является нормальное распределение. Возможность нормальной аппроксимации обосновывается центральной предельной теоремой теории вероятностей. При решении вопроса об адекватности математических моделей, основанных на нормальной аппроксимации, ключевую роль играет точность аппроксимации распределения суммы случайных величин нормальным законом. В связи с этим большую важность приобретает задача построения удобных и легко вычисляемых аналитических оценок точности нормальной аппроксимации, зависящих от основных параметров задачи - числа слагаемых в сумме и их первых моментов. Об оценках, в которых вся необходимая информация о распределении слагаемых сосредоточена лишь в простых характеристиках - первых моментах слагаемых, будем говорить как о мольентных оценках. Именно моментным оценкам и посвящена данная работа. Всюду далее будет предполагаться, что распределения независимых случайных слагаемых в сумме одинаковы.

В работе рассматриваются две схемы суммирования независимых одинаково распределенных случайных величин и связанные с ними продельные теоремы. В первой схеме число слагаемых считается детерминированным. Во второй схеме индекс суммирования сам является случайной величиной, независимой от слагаемых. При этом рассматриваются две возможности: в первой индекс является случайной величиной с распределением Пуассона, во второй число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса).

Среди предельных теорем для сумм фиксированного числа случайных величин наряду с законом больших чисел главное место занимает центральная предельная теорема, первый вариант которой был доказан еще А. де Муавром в 1730 г. Эта теорема утверждает, что распределение стандартизованной суммы большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией близко к нормальному.

Задача изучения точности нормальной аппроксимации привлекала внимание многих исследователей. В частности, над пей работали

A.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров, А. Я.Хинчин, П. Лови, Г.Крамер, Б. В. Гпсдснко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эсссен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Лишшк, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, П. Холл, К.Хейди и другие выдающиеся математики.

Вопросы, связанные с оценками точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин, широко освещены в научной литературе, в частности, им уделено большое внимание в книге Б. В. Гнсденко и А.Н.Колмогорова [9], в монографиях И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника [14], Р.Н.Бхаттачария и Р.Ранга Рао [6], В.В.Петрова [33, 34], В.М.Золотарева [12] и

B. В. Сонатова [104], [41].

Несколько слов о том, почему данная работа посвящена именно момеитным оценкам. Этот вопрос тесно связан с вопросом о том, что считать оценкой. Самой точной и правильной оценкой невязки Ап{х) между допредельной функцией распределения нормированной суммы и предельной нормальной функцией распределения является, очевидно, сама невязка: Ап(х) ^ Дп(ж), но по своему смыслу оценка должна иметь более простой вид по сравнению с оцениваемой величиной и эффективно вычисляться, требуя лишь некоторую наиболее доступную информацию об исходных распределениях. Конечно же, оценки в терминах псовдомоментов (см., например, [31]) или дзета-метрик (см., например, [42]) могут быть существенно точнее оценок, рассматриваемых в данной диссертации. Однако чтобы вычислить характеристики, участвующие в указанных оценках (псевдомомспты или дзета-метрики), необходима полная информация о распределении слагаемых. Но при этом, естественно, имея такую информацию и современные компьютеры, па практике вполне можно оценить погрешность нормальной аппроксимации численно, не прибегая к аналитическим оценкам. В оценках же моментного типа вся необходимая информация сосредоточена лишь в простых характеристиках интегрального типа (первых трех моментах), которые, как правило, можно эффективно оценить по выборке, особенно в случае одинаково распределенных слагаемых.

Относительно случайных слагаемых Х\,Х2,. мы будем предполагать, что они независимы, одинаково распределены с общей функцией распределения F(x) = P(Xi < х) и удовлетворяют условиям

EXi = 0, ЕХ* = 1, Е\Хг\2+5 =/32+6 < оо (1) при некотором S 6 (0, 1]. Обозначим JS+tf множество всех функций распределения F случайной величины Xi, удовлетворяющих условиям (1). Пусть Fn{x) = P(Xi + . + Xn < х) = F*n{х) - п-кратпая свертка функции распределения F{x) с собой, Ф(ж) и tp{x) - соответственно функция распределения и плотность стандартного нормального закона: X

Ф(х) = -L /* e'e'2dt, ф) = -1= • е-*2'2.

V л/2тг J V у/Ъг оо

Положим

• Ап{х) = \Fn(xy/v) - Ф(ж)|,

При условиях (1) известна оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме (см., например, [33]): при каждом 5 € (0, 1] существует абсолютная положительная конечная константа Со{5) такая, что sup Ап(х) ^ C0(5)Ll+\ где Ь2п+5 = (2)

Данное неравенство впервые было доказано в 1941-1942 гг. при 6 = 1 независимо Э. Берри [59] и К.-Г. Эссеепом [64]. При 0 < 5 < 1 его можно вывести из полученной в 1945 г. Эссееном [65] оценки sup A7Ax)^M5)(Ll+s + (Ll+5y/5), X справедливой для необязательно одинаково распределенных слагаемых, где Л^д) зависит только от 5. Неравенство (2) также можно вывести из оценки sup An(re) ^ А2 ■ EXfaXj/giy/Z), X доказанной в 1963г. М.Кацсм [78] для одинаково распределенных слагаемых, и обобщенной позже на случай разнораспределенных слагаемых В. В. Петровым [32], где д(х) - четная функция, неубывающая вместе с х/д(х), /Ь - положительная конечная абсолютная постоянная. Недавно В.Ю.Королев и С.В.Попов [82] показали, что в общем случае необязательно одинаково распределенных слагаемых А2 ^ 3.1905, какой бы пи была функция д, удовлетворяющая указанным выше условиям. Для случая одинаково распределенных слагаемых в той же работе была получена оценка А2 ^ 3.0466.

Уточнению оценок констант Co(J) при разных 6 посвящено много работ (см. исторические обзоры в [20, 21, 80, 48]). В последнее время усилиями В.Ю.Королева, И.Г.Шевцовой и PLC.Тюрина верхнюю оценку для Со(1) удалось существенно снизить. Королевым и Шевцовой получена оценка С0(1) ^ 0.4784 как следствие доказанного в работах [21, 80] неравенства

Bi + 0 429 sup Ап(х) < 0.33477 нл '-, ж у/гь являющегося структурным уточнением неравенства (2) (так как 0.33477(/3з + 0.429) < 0.33477(1 + 0.429)/% < 0.4784/33 в силу условия /З3 ^ 1). В работе Тюрина [42] доказана оценка С0(1) ^ 0.4785. Нижняя оценка Со(1) получена Эссееном [66]. Таким образом, относительно Со(1) в настоящий момент известно [66, 21, 80], что

0.4097 . = ^Д3 ^ С0(1) < 0.4784. 6Л/27Г

Наилучшие иа, сегодняшний день верхние оценки констант Со(£) при 0 < 5 < 1 получены в работе Григорьевой и Шевцовой [10], нижние оценки доказаны Шевцовой в [48] (см. таблицу 1). В работах [21, 80]

6 О, (5) ^ Co(d) ^ 5 С0(5) > С0 (5) < 6 С0(5) > Со (S) ^

0.9 0.2383 0.5383 0.6 0.2651 0.6276 0.3 0.3257 0.6195

0.8 0.2446 0.5723 0.5 0.2803 0.6413 0.2 0.3603 0.6094

0.7 0.2534 0.6026 0.4 0.3000 0.6342 0.1 0.4097 0.6028

Таблица 1. Двусторонние оценки констант Со (5) для некоторых 6 Е (0,1), полученные в работах [10, 48]. была полупена оценка, также являющаяся структурным уточнением неравенства (2) + 1 sup Д„(ж) ^ 0.3041 (3) х Vn

Несложно убедиться, что оценка (3) точнее (2) при /З3 ^ 1.75.

Для случая 5 = 0 известна тривиальная оценка зиржДга(ж) < 0.5409. . [6|. Для этого случая в 1966 году Л.В.Осипов [28] доказал, что существует такая конечная положительная абсолютная постоянная A3, что sup Ап{х) < Л3 • ЕХ~ min 11, Щ |,

4) также см. [34], глава V, §3, теорема 7). Результат Осипова был доказан для необязательно одинаково распределенных слагаемых. Также не предполагая одинаковой распределенности слагаемых, Л.Падитц показал [97, 99], что для константы Аз в (4) справедлива оценка Аз ^ 4.77. В 1986 году в работе [100] он же отмстил, что с учетом леммы 12.2 из монографии [6] с помощью техники, использованной в работах [97, 99], верхнюю оценку константы Аз можно снизить до Аз ^ 3.51. По-видимому, не будучи знакомыми с упомянутыми работами Падитца, в 2001 году Чеп и Шао опубликовали работу [60], в которой с помощью метода Тихомирова-Стейна. неравенство (4) было доказано с константой Аз — 4.1. В недавней работе [15] показано, что Аз ^ 2.011, откуда вытекает равномерная по 5 Е [0,1] оценка Со(5) ^ 2.011.

На практике часто возникает ситуация, когда число п слагаемых в сумме заранее не известно. Так, например, в медицинской статистике или страховой практике, как правило, заранее фиксируется не число наблюдений, а время для сбора информации. В таких ситуациях естественно предположить, что индекс суммирования, конкретное значение которого заранее не известно, является целочисленной случайной величиной. В данной работе мы сосредоточимся на рассмотрении ситуаций, в которых случайный индекс суммирования N\ имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0:

Р(Л/д = к) = ув-\ /с = 0,1,., или же случайный индекс суммирования N(t) является случайной величиной со смешанным пуассоновским распределением: оо

Р(N{t) = ~ J e~x\kdP(A(t) < А), к = 0,1, 2,., о где t > 0 - параметр смешивающего распределения, Л(£) - случайный процесс с неубывающими непрерывными справа траекториями, Л(0) = 0 почти наверное. Случайная величина A(t) называется структурной. Последняя ситуация, например, имеет место, когда параметр t имеет смысл времени, а случайный индекс N{t) формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом с накопленной интенсивностью Л(t) (процессом Кокса, управляемым процессом Л(i)). При этом предполагается, что случайные величины N\ и N(t) независимы от Xi,X2, ■ ■ ■ при каждом Л > 0 и t > 0 соответственно.

Случайная сумма S\ — Х\ + • • • + называется пуассоновской случайной суммой, a S(t) = Х\ + • ■ • + Хщ^ - смешанной пуассоновской случайной суммой. Для определенности полагаем, что S\ = 0 при N\ = 0, S(t) = 0 при N(t) = 0.

Асимптотической теории случайного суммирования посвящены монографии А. Гута [70], В.М.Круглова и В.Ю.Королева [22], Б.В.Гнеденко и В.Ю.Королева [67], В.В.Калашникова [77], В. Е. Беиинга, и В. Ю. Королева [54] и другие.

Если в случае сумм детерминированного числа слагаемых для упрощения обозначений предполагалось, что случайные величины Xi,X2,. ■ центрированы, то в ситуации, когда рассматриваются суммы случайного числа слагаемых, предположение EXi = 0 приводит к потере общности, поскольку при случайном суммировании центрирование слагаемых константами оказывается эквивалентным центрированию самих сумм случайными величинами, что, вообще говоря, порождает некоторые проблемы при построении асимптотических аппроксимаций для распределений самих случайных сумм.

Таким образом, при рассмотрении случайных сумм относительно Х\, Х2, ■ ■. мы будем предполагать

ЕХг = /х, 0 < DXi =а2 <00.

Функцию распределения стандартизованной пуассоновской случайной суммы

Q — ~ ~ ^ л~ y/DSi ~ v^pT^y обозначим F\(x).

В сделанных выше предположениях имеет место слабая сходимость стандартизованной пуассоновской суммы 6\ к нормальному закону (см., например, [67], [54] или [3]), то есть sup\F\(x) - Ф(ж)| —у 0, Аоо. х

Задаче изучения точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоповских случайных сумм - так называемых обобщенных пуассоповских распределений - посвящена обширная литература, см., например, библиографию в книгах [54, 3]. Большой интерес к данной задаче обусловлен тем, что пуассоновские случайные суммы являются «накопленными» значениями маркированного пуассоновского процесса, который, как отмечено в указанных книгах, может быть интерпретирован как абсолютно хаотическое случайное блуждание с дискретным временем. Подобные модели традиционно широко используются в теории массового обслуживания, при анализе информационных и телекоммуникационных систем, в теории управления запасами, в страховой математике и других областях.

Как известно, если слагаемые Х\, Х2, . имеют конечные моменты порядка 2 -Ь 5 с некоторым 0 < S ^ 1, то справедливо аналогичное (2) неравенство (см., например, книгу В. Е.Бениига, В.Ю.Королева, С. Я. Шоргииа [3]) sup|FA(a;)-^(®)| ^C(5)L2x+s, (5) X где С{6) > 0 зависит только от 5, а Ь^5 - нецентральная ляпуновская дробь порядка 2 + 5: г 2+5 Р2+5

А (га2 + сг2)1+г/2А5/2' 10

Неравенство (5) при 5 = 1 имеет интересную историю. По-видимому, впервые это неравенство было доказано в работе Г. В. Ротарь [39] и опубликовано в статье [40] с С(1) = 2.23 (диссертация [39] не опубликована, в то время как" в статье [40] не было приведено доказательство этого результата). Позднее с использованием традиционной техники, основанной па неравенстве сглаживания Эссеена, эта оценка была доказана в работе Р. фон Хосси и Г. Раппла [61] с С(1) = 2.21.

В работе Р. Михеля [86] с использованием свойства безграничной делимости обобщенных пуассоновских распределений и оценки абсолютной постоянной в классическом неравенстве Бсрри-Эссеена для сумм фиксированного числа независимых случайных величии, полученной Ван Биком [52], было показано, что в (5) С( 1) ^ 0.8. Не будучи знакомыми с этой работой Михеля, авторы статьи [53], применив уточненное неравенство сглаживания Эссеена, получили оценку С(1) ^ 1.99. Из метода доказательства, использованного в работе Михеля, вытекает, что если для абсолютной постоянной Со(1) в классическом неравенстве Берри-Эссеена известна оценка Со(1) ^ М, то неравенство (5) справедливо с С(1) = М. На это обстоятельство также обратили внимание авторы работы [81], в которой независимо от [86] получен тот же результат, но с другой, лучшей на тот момент времени текущей оценкой М = 0.7655.

Как показано в работах В.Ю.Королева и И. Г. Шевцовой [21, 80], наилучшая на сегодняшний день оценка абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена имеет вид Со(1) ^ 0.4784. Поэтому, следуя логике авторов работ [86] и [81], можно заключить, что неравенство (5) справедливо сС(1) = 0.4784.

Однако в той же работе показано, что на самом деле привязка оценки константы С( 1) в (5) к оценке абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена Со(1) менее жесткая. А именно, несмотря па то что, как уже говорилось, наилучшая на сегодняшний день верхняя граница для Со(1) равна 0.4784, неравенство (5) справедливо с С(1) = 0.3041 [21, 80].

В случае 0 < 5 < 1 в книге В. Е. Бенинга, В.Ю.Королева, С.Я.Шоргипа [3] приводится доказательство неравенства (5) с С(6), равными наилучшим на тот момент оценкам для Со(<5). Аналогичное неравенство, но с существенно уточненными оценками для С{8) при 0 < 6 < 1 получено в работе И.Г.Шевцовой [47], однако этот результат справедлив лишь в асимптотическом смысле, когда ляпуновская дробь Lбесконечно мала.

Тем не менее, несмотря на более чем тридцатилетнюю историю неравенства. (Б), нижние оценки для С(5) найдены не были. Важность задачи отыскания нижних оценок для C'{ö) подчеркивается тем фактом, что полученная в [21, 80] верхняя оценка С(1) ^ 0.3041 строго меньше наименьшего теоретически возможного значения абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена С0(1) > 0.4097.

Теперь рассмотрим случай смешанных пуассоповских случайных сумм S(t). Большое число разнообразных прикладных задач, приводящих к таким моделям, описано в книгах [67. 54].

Асимптотическое поведение смешанных пуассоповских случайных сумм S(t), когда N(t) в определенном смысле неограниченно возрастает, принципиально различно в зависимости от того, центрированы слагаемые или пет. В данной работе рассматривается ситуация, когда EXi = 0. В таком случае предельными распределениями для стандартизированных смешанных пуассоповских сумм являются масштабные смеси нормальных законов, а именно в работах В.Ю.Королева [79], В.Е. Бенипга и В.Ю.Королева [54] доказан следующий критерий слабой сходимости смешанных пуассоповских случайных сумм. Символы —> и —обозначают сходимость по распределению и сходимость по вероятности соответственно.

ТЕОРЕМА 1 [79, 54]. Предполоомиль, что A(t) —> оо, t —V оо. Пусть d{t) > 0 - всполюгательиая нормирующая (масштабирующая) функция, неограниченно возрастающая при t —» оо. Для того чтобы распределение нормированной случайной величины S(t) слабо сходилось к распределению некоторой случайной ветчины Z:

S{t) Z, t-* оо, erVW) необходимо и достаточно, чтобы суш,ествовала неотрицате-льная случайная величина Л такая, что оо

1) Р(Z < х) = f <&(x/V\)dP(A < Л), ж <= R, о

2) A{t)/d(t) -АЛ, t —т" оо.

Обозначим ад х J ~ р(А < х) > х е R, t > о.

В работах [7, 3, 21, 80] показано, что при оценивании точности аппроксимации распределений смешанных пуассоповских случайных сумм масштабными смесями нормальных законов можно успешно использовать уже известные аналогичные оценки для пуассоновских случайных сумм. А именно, доказан следующий аналог неравенства Берри-Эссеспа для смешанных пуассоновских случайных сумм.

ТЕОРЕМА 2 [7, 3, 21, 80]. Предполооюим, что р2+5 = E\Xi\2+s < оо. d

Пусть также имеет место сходимость Л{t)/d(t) —> Л при t —> оо. Тогда при каждом t > 0 имеет место оценка supPt(x) ^ С(6) ■ %fE[A(¿)]-*/2 + isup5t(x), (6) х С ¿ х где С (ó) - константа из неравенства Берри-Эссееиа для пуассоновских случайных сумм (см. (5)). В частности, С( 1) ^ 0.3041.

Впервые неравенство (6) было доказано в работе С. В. Гавриленко [7], но с другими оценками абсолютной константы O(S). Однако вопрос о нижних оценках постоянной С(5) оставался открытым.

Если N(t) имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г > 0 и р = (1 + t)~l > 0, t > 0, то при условии г > 5/2 справедливо неравенство, являющееся следствием теоремы 2: sup^XCÍr.í)^^, (7) где C(r,S) = С(5)Г(г — 5/2)/Т(г). Однако задача построения оценки точности аппроксимации распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при г ^ 5/2 рапсе решена не была.

Рассмотренные выше оценки скорости сходимости распределений сумм независимых случайных величин к соответствующим предельным распределениям, устанавливаемые неравенством Берри-Эссеена (2), и его аналогами (5), (6), равномерней по х. Но поскольку и допредельная, и продельная функции - функции распределения, должно выполняться, например, соотношение Ап(х) —>■ 0 при —>• оо и каждом фиксированном п. Это обстоятельство не учитывается в равномерных оценках. Вместе с том точность нормальной аппроксимации для функций распределения сумм случайных величин именно при больших значениях аргумента представляет особый интерес, например, при вычислении рисков критически больших потерь. В данной диссертации большое внимание уделено неравномерным оценкам скорости сходимости в центральной предельной теореме.

Вопрос о зависимости остаточного члена в центральной предельной теореме от п и х рассматривался еще в работе Г. Крамера [62] для распределений с экспоненциально убывающими хвостами, т. с. таких, что Еехр{а|Х1|} < оо для некоторого а > 0. Для распределений же. удовлетворяющих рассматриваемым моментиым условиям, по-видимому, исторически первая оценка величины Ап(х) была получена К.-Г. Эсссеном [65] в 1945 г. для случая 5 = 1 и одинаково распределенных слагаемых и имела вид

Л м < Ь(2 + \х\) п[ ^ у/Е ' 1 + М3 ' где А±(Рз) зависит только от /?з. В работе Л. Д. Мешалкипа и Б.А.Рогозина [24] с помощью неравенства сглаживания, отличного от неравенства сглаживания, использованного Эсссеном, было доказано существование абсолютной постоянной Л5 такой, что при всех ж € К. и п ^ 1

А ( \ <£■ Атах0п п-> 1п(2 + \х\)}

Г— 1 I I П ' а также существование абсолютной постоянной Аб такой, что при всех п > 1

8ир(1 + х2)Ап(х) < А6 • Ь1. хеЖ

Результаты работ [65] и [24] затем были усилены и обобщены в работах С.В.Нагаева [26] (для случая одинаково распределенных слагаемых и 5 = 1) и А. Бикялиса [4] (для случая необязательно одинаково распределенных слагаемых и 0 < 6 ^ 1), где было показано, что существуют такие положительные конечные числа С(6), что впр(1 + \х\2+6)Ап(х)^С(5)Ь1+5. (8)

Вопрос о «правильности» (точности) устанавливаемого оценкой (8) порядка по п и х изучался в работах JI. В. Осипова и В. В. Петрова [29],

A. Бикялиса [5], К.Хсйди [72], Т. Накаты [87], Р.Михсля [84],

B.В.Петрова [35], Л.В.Розовского [37].

Впервые верхние оценки для С (5) были получены в работах J1. Падитца [93, 94, 95, 96] для необязательно одинаково распределенных слагаемых. В частности, в своей первой работе на эту тему [95], опубликованной лишь в 1978 г., для С( 1) им была получепа оценка, превосходящая 1955. Затем в [96] приведены оценки

7(0.9) ^ 820.4, С{0.7) ^ 569.5, С(0.5) < 376.7,

7(0.3) < 241.4, С(0.1) ^ 151.3.

В [94] было показано, что С( 1) ^ 114.7. В работе Р. Михеля [85] для случая одинаково распределенных слагаемых было показано, что (7(1) ^ <70(1) + 8(1 + е), что с учетом оценки для С0( 1), полученной в работе [21], влечет неравенство С( 1) ^ 30.2247. В работе В. Тысиака [108] для случая 0 < 5 ^ 1 и необязательно одинаково распределенных слагаемых были получены оценки

7(1.0) ^ 32.88, С(0.9) ^ 29.83, С(0.8) ^ 27.21, С(0.7) < 25.06,

7(0.6) < 23.41 (7(0.5) < 21.94, (7(0.4) ^ 20.58, С(0.3) ^ 19.32,

7(0.2) ^ 18.17, С(0.1) ^ 17.05.

Ш. А. Мирахмедов [25] утверждал, что результат Михеля (7(1) < Со(1) + 8(1 + е) справедлив и в общем случае произвольно распределенных слагаемых. Однако вычисления в работах [108, 25] содержали неточности (см. замечания в [30] и [101]). В [30] Падитц и Мирахмедов получили оценку С(1) ^ 32.153. В 1986 г. Падитц [100] показал, что (7(1) ^ 31.935. Полностью повторяя метод Падитца, но с учетом новых оценок для констант Со(5) в равномерном неравенстве (2), авторы статьи [113] получили таблицу

7(1.0) ^ 25.80, (7(0.9) ^ 24.23, С(0.8) < 22.41, <7(0.7) < 20.68,

7(0.6) ^ 19.01, <7(0.5) ^ 17.37, <7(0.4) ^ 15.69, С(О.З) < 14.08,

7(0.2) ^ 12.65, С(0.1) < 11.37.

В статье С. В. Гаврилепко [8] для случая 5 = 1 была получена неравномерная оценка уточненной структуры вида sup(l + |ж|3)Ап(х) ^ 22.7707 п ^ 1, F е (9) хек Vn

Заметим, что в силу неравенства Ляпунова @3 ^ 1, а следовательно, при больших значениях /Зз оценка (9) точнее, чем (8) за счет меньшего значения абсолютной константы.

В 2001 году Чен и Шао [60] получили неравномерное уточнение неравенства Осипова (4), построив неравномерную оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме, не требующую существования моментов порядка выше двух у суммируемых случайных величин. А именно, если Х\,., Хп - независимые случайные величины с Е.Х{ = 0 и ЕХ^ + . + ЕХ^ — 1, то, как показано в [60], существует константа Ссз такая, что для всех ж £ Ж а м<г V f W > 1 + N) | < 1 +М) Д„М « ccs ^ |-^^-+-

Верхним оценкам константы Ces посвящены работы [88, 107, 89]. Примечательно, что эти оценки зависят от значения х. В частности, в [89] приведена оценка Ces ^ 76.17, а также показано, что Ces ^ 39.39, если |х| > 14.

В статье Бенткуса и Кирши [57] для случая 5 = 1 при п = 1 была доказана следующая неравномерная оценка: sup|z|3Ai(a;) ^ /?3. тек

В работе В. Н. Никулина [27] (также см. [91]) было показано, что для случая 5—1 абсолютную константу С7(1) в неравенстве

-sMl + \x\3)An{x) <С(1) Рз жбК можно заменить на невозрастающую функцию Сдг(ж) от ж ^ 0 такую, что п ,.,3 sup\t\6An(t)^CN(x). (10)

РЗ \tfex

В статье Никулина [90] вычислены значения функции С^{х) прп некоторых х > 3.18 (см. таблицу 2). Несмотря на то, что использованиый в [90] алгоритм подсчета Сдг(.г) при больших х дает лишь оценку lim С^{х) = 1+е (равномерную по n > 1 и F £ .Fg), в той же работе при

X-»ОО каждом фиксированном п ^ 1 и F € J-% было аналитически исследовано предельное поведение Сдг(ж) при х —> оо и показано, что для такой ситуации lim С^(х) = 1. х-^оо

X С„{х) X Ся(х) X С^х)

3.18 28.4057 7.00 9.0590 20.00 4.9095

4.00 22.1853 8.00 7.2512 50.00 4.2732

5.00 16.0240 9.00 6.0329 100.00 4.0200

6.00 11.8046 10.00 5.7370 оо 1-т-е

Таблица 2. Значения функции Слг(х) пз работы [90].

Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для пуассоповских случайных сумм были получены Р. Михслсм [86] (для случая 5 = 1) и Ю. С. Нефедовой, И. Г. Шевцовой [113] (для общего случая 0 < 6 ^ 1). Было показано, что для любых ж € К и любого А > 0 справедливо неравенство

1 + |*п - Ф(*)| < т (и) где С(6) - та же константа, что в «классической» неравномерной оценке (8) для сумм фиксированного числа слагаемых. В работе С. В. Гаврилснко [8] устанавливается, что неравенство (11) справедливо с той же константой, что и в неравенстве (9): С( 1) < 22.7707.

Для смешанных пуассоновских случайных сумм неравномерные оценки были получены только для случая 5 = 1 в работе Гаврилснко [8], где было доказано неравенство оо 0 оо

I |й(А)|<гдф(-д), ¿>0, (12)

Как вытекает из сказанного выше, задача изучения точности аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин весьма популярна и достаточно хорошо изучена. Однако, как оказалось, в ней все-таки остались некоторые пробелы. Заполнению нескольких таких пробелов и посвящена данная работа.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации.

1.2.2. Основные результаты

Положим inf maxjCi (¿)£Г2+г,

К, a, b, c, 7 l

19(K,6,a,b,c,7), Р№а,Ь>С,ЛГ)}, (1.53) где инфимум берется по множеству всех значений вспомогательных параметров а, 6, с, 7, К, удовлетворяющих условиям теоремы 1.2, а также условиям К ^ 1/л/27г и а ^ а, 6, с,К)/х (величина ^ = 0.5409 . определена в лемме 1.4). Значения параметров а, Ь, с, 7, К, доставляющие минимум в (1.53), обозначим соответственно ао, ¿о, со, 70,-Ко- Положим v(s) = max {r(k0, 6, а0, &о, йь70), С^)/^}.

ТЕОРЕМА 1.6. Для любого п ^ 1 и F & J~2+5 справедливо неравенство sup М2+5ДП(Ж) ^ U(S)L2n+5 + V(ó)n-5/2. xeR

Следствие 1.2. Для всех п ^ 1 и F е J^+í sup(i+м2«)д„(*) < (y(í)+cm ig*+1/(¿)+ClW.

T6R nó!¿

Замечание 1.4. Если дополнительно к условиям теоремы 1.2 потребовать, чтобы Аи(К) ^ и Ais(K) ^ R%(K), то получим, что R(K,ó, a,b,c,j) ^ Aiq(K, 5, a, b, с, 7) при любых допустимых параметрах. Поскольку Ci(á)X02+í ^ U(5),

V(ó) sC тах{/Т19(#0ДаД c,7),í/(¿)} = t/(¿).

А следовательно, приведенная в следствии 1.2 оценка имеет структуру оценки (1.48), аналогичную (1.45), и справедливо следующее утверждение.

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Неравенство (1.48) при всех п ^ 1 и F G F2+s справедливо с Cst(ó) ~ U(6) + Ci(6), т.е. sup(l + М2+5)Дп(х) < (U(S) + С^б)) хек n0'¿

В таблице 1.6 приведены значения величин U(ó) и Cst(d) при некоторых í> Е (0,1]. Алгоритм оптимизации в (1.53) реализован с использованием пакета Matlab 7.10.0, при этом применялась процедура fminsearch(.) от аргументов К, а, 6, с, 7. Оптимальные значения Ко(6), <2q(Ó), bo (ó), Cq(Ó) и 7o (J), доставляющие минимум U (£), также приведены в таблице 1.6.

Доказательство теоремы 1.6. Покажем, что для любых значений параметров К, а, Ь, с, 7, удовлетворяющих условиям теоремы, при всех xeR, п ^ 1 и F € Тч+5 выполняется неравенство a;|2+JAn(a;) ^ ma^{С^К2*5, А19(К, 6, а, Ь, с, 7), P(ó, а, Ь, с, K)}L2n+5+ max {С^К2*5, R(K, 5, а, b, с, 7)} тГ5/2.

Зафиксируем К их. Возможны два варианта:

1. \х\ ^ К, тогда И^ДпОс) < C^K^L2*5 + С^К^гГ*^

2. |ж| > К, тогда для заданных а, Ь, с, п ^ 1 и F € J-^+s имеется три возможности:

J К0(8) ш со (5) 7о (Я) т СЛ(8)

1.0 3.7042 10.3597 1.6838 1.0727 0.5204 15.4560 15.7601

0.9 3.7545 10.3167 1.7154 1.0905 0.5118 14.3228 14.6317

0.8 3.7900 10.0747 1.7399 1.1043 0.5044 13.2918 13.6105

0.7 3.8114 9.6837 1.7560 1.1142 0.4977 12.3564 12.6898

0.6 3.8201 9.4647 1.7756 1.1272 0.4916 11.5064 11.8592

0.5 3.8158 9.1820 1.7938 1.1395 0.4856 10.7370 11.1145

0.4 3.7986 8.4243 1.8021 1.1433 0.4798 10.0405 10.4485

0.3 3.7687 8.0664 1.8185 1.1547 0.4738 9.4103 9.8553

0.2 3.7246 7.6049 1.8346 1.1649 0.4676 8.8442 9.3343

0.1 3.6652 6.9744 1.8286 1.1665 0.4609 8.3386 8.8837

1. В.Е. Бснинг, В.Ю. Королев. Введение в математ ическую теорию риска. — М., "Макс Пресс", 2000.

2. В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, С.Я. Шоргин. Введение в лштематическую теорию актуарных расчетов. — М., "Макс Пресс", 2002.

3. В.Е. Беиинг, В.Ю. Королев, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска. — М., "Физматлит", 2007.

4. А. Бикялис. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. — Литое, машем, сб., 1966, т. 6, вып. 3, с. 323-346.

5. А. Бикялис. О точности аппроксимации распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин нормальным распредедепнсм. — Литое, матем. сб., 1971, т. 11, вып. 2. с. 237-240.

6. Р. Н. Бхаттачария, Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением. М.: Наука, 1982, 286 с.

7. C.B. Гавриленко, В.Ю. Королев. Оценки скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм — Системы и средства информатики, ИПИ РАН, Москва, 2006, специальный выпуск, с. 248-257.

8. C.B. Гавриленко. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону. Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып. 1, с. 12-24.

9. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. Предельные распределения длясумм независимых случайных величин. — Москва—Ленинград, ГИТТЛ, 1949.

10. М. Е. Григорьева, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Каца-Бер-ри-Эссеена. — Информатика и ее применения, 2010, т. 4, вып. 2, с. 78-85.

11. В.М. Золотарев. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. — Теория вероятн. и ее примен., 1966, т. 11, вып. 1, с. 108-119.

12. В. М. Золотарев. Современгмя теория суммирования независимых случайных величин. — М., "Наука", 1986.

13. И. А. Ибрагимов. О точности аппроксимации функций распределения сумм независимых случайных величин нормальным распределением. Независимые и стационарно связанные величины. — Теория вероятн. и ее примен., 1966, т. 11, вып. 4, с. 632-655.

14. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник. Независимые и стационарно связанные величины. — М., "Наука", 1965.

15. В. Ю. Королев, С. В. Попов. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при отсутствии моментов порядков, бблыпих второго. Теория вероятностей и ее применения, 2011, т. 56, вып. 3, в печати.

16. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, вып. 3, с. 353-366.

17. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. II. — Теория вероятн. и ее примен2005, т. 50, вып. 4, с. 555-563.

18. В.Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных константах в неравенстве Берри-Эссееиа и его аналогах. — В сб. Системы и средства информатики. Специальный выпуск. ИПИ РАН, Москва, 2005, с. 333-358.

19. В.Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Берри-Эсссена. — Докл. РАН, 2010, т. 430, вып. 6, с. 738-742.

20. В.Ю. Королев, И.Г. Шевцова. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. — Теория вероятностей и ее применения. 2009, т. 54, вып. 4, с. 671-695.

21. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Берри-Эссеена с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. -Обозрение прикл. и пролшшл. матем., 2010, т. 17, вып. 1, с. 25-56.

22. В.М. Круглов, В.Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. — М., Изд-во Московского университета, 1990.

23. В. К. Мацкявичюс. О нижней оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. — Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. 28, вып. 3, с. 565-569.

24. Ш.А. Мирахмедов. Об абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. -Изв. АН УзССР\ сер. физ.-мат. ?1аук: 1984, вып. 4, с. 26-30.

25. C.B. Нагаев. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 231-254. '

26. В.Н. Никулин. Неравномерные оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен 1992, т. 34, вып. 4, с. 831-832.

27. Л. В. Осипов. Уточнение теоремы Линдеберга. — Теория вероятпн. и ее примен., 1966, т. 11, вып. 2, с. 339-342.

28. Л. В. Осипов, В. В. Петров. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. 12, вып. 2, с. 322-329.

29. JT. Падитц, Ш.А. Мирахмедов. Письмо в редакцию (Замечание к оценке абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в ц.п.т.) Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат. паук, 1986, вып.З, с. 80.

30. В. И. Паулаускас. Об одном усилении теоремы Ляпунова. -Литовский математический сборник, 1969, т. 9, вып. 2, с. 173-179.

31. В. В. Петров. Одна оценка отклонения распределения суммы независимых случайных величин от нормального закона. Докл. АН СССР, 1965, т. 160, вып. 5, с. 1013-1015.

32. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. — М., "Наука", 1972.

33. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М., "Наука", 1987.

34. В. В. Петров. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме. -Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т. 341, с. 142-146.

35. А.П. Прудников. Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементар^ьые функции. — AI., "Наука", 1981.

36. Л. В. Розовский. Неравномерная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. Записки научных семинаров ПОМП, 2007, т. 351, с. 238-241.

37. Б. А. Рогозин. Одно замечание к работе Эссеена "Моментное неравенство с применением к центральной предельной теореме". — Теория вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, вып. 1, с. 125-128.

38. Г. В. Ротарь. Некоторые задачи планирования резерва. — Дисс. канд. физ.-матем. наук, Центральный экономике»-математический институт, Москва, 1972.

39. Г. В. Ротарь. Об одной задаче управления резервами. — Эконом. мате.м. методы, 1976, т. 12, вып. 4, с. 733-739.

40. В. В. Сенатов. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разлоэюения. — М., Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

41. И. С. Тюрин. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова. Успехи мателг. паук, 2010, т. 65, вып. 3, с. 201-202.

42. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее прилооюения. Т. 2.-М., «Мир», 1984.

43. Г. П. Чистяков. Об одной задаче А. Н. Колмогорова. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1990, т. 184, с. 289-319.

44. Г. П. Чистяков. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, вып. 2, с. 326-344.

45. И. Г. Шевцова. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. — Теория вероятн. и се примен., 2006, т. 51, вып. 3, с. 622-626.

46. И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоповских случайных сумм. — Обозрение промышленной и прикладной математики, 2007. Т. 14. Вып. 1. С. 3-28.

47. И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена-Каца. — Теория вероятностей и ее применения, 2010. Вып. 2. С. 271-304.

48. И. Г. Шевцова. Нижняя асимптотически правильная постоянная в центральной предельной теореме. Докл. РАН, 2010, т. 430, вып. 4, с. 466-469.

49. И. С. Шиганов. Об уточнении верхней константы в остаточном члене центральной предельной теоремы. — Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды ВНИИСИ, 1982, с. 109-115.

50. Р. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb1972, Bd. 23, s. 187-196.

51. P. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1972, Bd. 23, p. 187-196.

52. V. E. Bening, V.Yu. Korolev, S.Ya. Shorgin. On approximation to generalized Poisson distribuions. — Journal of Mathematical Sciences, 1997, vol. 83, No. 3, p. 360-373.

53. V. E. Bening, V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and'Finance. — VSP, Utrecht, 2002.

54. V. Bentkus. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality. — Preprint 91 078, Universität, Bielefeld, 1991.

55. V. Bentkus. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality. — J. Theor. Probab., 1994, vol. 2, No. 2, p. 211-224.

56. V. Bentkus, K. Kirsa. Estimates of the proximity of a distribution to the noiinal law. Lithuanian Mathematical Journal, 1989. Vol. 29, No. 4, p. 657-673.

57. H. Bergström. On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables. — Skand. Aktuar¡etidskr1949, vol. 33, p. 37-62.

58. A. C. Berry. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates. — Trans. Amer. Math. Soc., 1941, vol. 49, p. 122139.

59. L.H.Y. Chen, Q.A4. Shao. A non-uniform Berry-Esseen bound via Stein's method. Probability Theory and Related Fields, 2001, v. 120, p. 236-254.

60. R. von Chossy, G. Rappl. Some approximation methods for the distribution of random sums. — Insurance: Mathematics and Economics, 1983, vol. 2, p. 251-270.

61. H. Cramer. Sur un nouveau théorèm-limite de la théorie des probabilités. Actualités scientifiques et industrielles, 1938, No. 736, Paris.

62. P. Delaporte. Un problème de tarification de l'assurance accidents d'automobile examiné par la statistique mathématique. in: Trans. 16th Intern. Congress of Actuaries, Brussels, 1960, Vol. 2, p. 121-135.

63. C.-G. Esseen. On the Liapunoff limit of error in the theory of probability. — Ark. Mat. Astron. Fys., 1942, vol. A28, No. 9, p. 1-19.

64. G.-G. Essecn. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. — Acta Math., 1945, vol. 77, p. 1125.

65. C.-G. Esseen. A moment inequality with an application to the central limit theorem. — Skand. Aktuarrietidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

66. B.V. Gnedenko, V.Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. — CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

67. J. Grandell. Mixed Poisson Processes. Chapman and Hall, London, 1997.

68. M. Greenwood, G. U. Yule. An inquiry into the nature of frequency-distributions of multiple happenings, etc. J. Roy. Statist. Soc., 1920, vol. 83, p. 255-279.

69. A. Gut. Stopped Random Walks. Springer, New York, 1988.

70. C. C. Heyde. On the influence of moments on the rate of convergence to the normal distribution. — Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 1967, vol. 8, No. 1, p. 12-18.

71. C. C. Heyde. A nonuniform bound on convergence to normality. Ann. Probab., 1975, v.3, No. 5, p. 903-907.

72. W. Hoeffding. The extrema of the expected value of a function of independent random variables. Ann. Math. Statist., 1948, v. 19, p. 239-325.

73. M.S. Holla. On aPoisson-inverse Gaussian distribution. Metrika, 1967, Vol. 11, p. 115-121.

74. P. L. Hsu. The approximate distributions of the mean and variance of a sample of independent variables. — Ann. Math. Statist., 1945, vol. 16, No. 1, p. 1-29.

75. J. 0. Irwin. The generalized Waring distribution applied to accident theory. Journal of the Royal Statistical Society, Ser. A, 1968, Vol. 130, p. 205-225.

76. V. V. Kalashnikov. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.

77. M.L. Katz. Note on the Berry-Esseen theorem. Ann. Math. Statist 1963, v. 34, p. 1107-1108.

78. V.Yu. Korolev. A general theorem on the limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951-2956.

79. V. Korolev, S. Popov. On the univeisal constant in the Katz-Petrov theorem. Discussiones Mathematicae, 2011. To appear.

80. L. LeCam. On the distribution of sums of independent random variables. — in: Bernoulli, Bayes, Laplace (anniversary volume). Springer, Berlin Heidelberg - New York, 1965, p. 179-202.

81. R. Michel. On the accuracy of nonuniform Gaussian approximation to the distribution, functions of sums of independent and identically distributed random variables. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1976, Bd. 35, No. 4, S. 337-347.

82. R. Michel. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1981, Bd.55, S. 109-117.

83. R. Michel. On Berry-Esseen results for the compound Poisson distribution. Insurance: Mathematics and Economics, 1993, Vol. 13, No. 1,p. 35-37.

84. T. Nakata. A nonuniform bound on convergence to normality for independent random variables. -Advances in Applied Probability, 1977, v. 11, No. 2, p. 285-286

85. K. Neammanee. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005, v. 12, p. 1951—1967.

86. K. Neammanee, P. Thongtha. Improvement of the non-uniform version of Berry-Esseen inequality via Paditz-Siganov theorems. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2007, vol.8, iss.4, art. 92.

87. V. Nikulin. An algorithm to estimate a nonuniform convergence bound in the central limit theorem, 2010, http://arxiv.org/PScache/arxiv/pdf/1004/1004.0552vl.pdf

88. V. Nikulin, L. Paditz. A note on nonuniform CLT-bounds. -Ith Vilnius Conference on Probability Theory and 22nd European Meeting of Statisticians. Abstracts. 1998, p. 358-359.

89. H. Prawitz. Limits for a distribution, if the characteristic function is given in a finite domain. — Skand. AktuarTidskr., 1972, p. 138-154.

90. L. Paditz. Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwortsatz. Wiss. Z. der TU Dresden, 1976, v.25, p. 1169-1177.

91. L. Paditz. Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkcit zur Normalverteilung unter Voraussetzung einseitiger Momente. Math. Nachr., 1978, v.82, p. 131-156.

92. L. Paditz. Uber eine Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz. -Wiss. Z. der TU Dresden, 1979, v. 28, No. 5, p. 1197-1200.

93. L. Paditz. Bemerkungen zu einer Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz. Wiss. Z. Hochschule für Verkehrswesen «Friedrich List», 1980, Bd. 27, No. 4, S. 829-837.

94. L. Paditz. Einseitige Fehlcrabschätzungen im zentralen Grenz wertsatz. -Math. Operationsforsch, und Statist., ser. Statist1981, Bd. 12, S. 587604.

95. L. Paditz. On error-estimates in the central limit theorem for generalized linear discounting. Math. Operationsforsch, и. Statist, Ser. Statistics, 1984, Bd. 15, No. 4, S. 601-610.

96. L. Paditz. Uber eine Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz. -Wiss. Z. Hochschule für Verkehrswesen «Friedrich List». Dresden. 1986, v. 33, No. 2, p. 399-404.

97. L. Paditz. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of the Esseen inequality. Statistics (Berlin: Akademie-Verlag), 1989, v. 20, No. 3, p. 453-464.

98. Z. Rychlik. Nonuniform central limit bounds and their applications. Теория веролти. и ее примен., 1983, т. 28, вып. 3, с. 646-652.

99. Н. Seal. Survival Probabilities. The Goal of Risk Theory. Wiley, Chichester New York - Brisbane - Toronto, 1978.

100. V. V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. — VSP, Utrecht, 1998.

101. II. S. Sichel. On a family of discrete distributions particular suited to represent long tailed frequency data. in: Proceedings of the 3rd Symposium on Mathematical Statistics. Ed. by N. F. Laubscher. CSIR, Pretoria, 1971, p. 51-97.

102. K. Takano. A remark to a result of A. C. Berry. — Res. Mem. Inst. Math., 1951, vol. 9, No. 6, p. 4.08-4.15.

103. P. Thongtha, K. Neammanee. Refinement on the constants in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. Thai Jo urnal of Mathematics, 2007, v. 5, p. 1—13.

104. W. Tysiak. Gleichmäßige und nicht-gleichmäßige Berry-Esseen-Abschätzungen. Dissertation, Wuppertal, 1983.

105. D.L. Wallace. Asymptotic approximations to distributions. — Ann. Math. Statist., 1958, vol. 29, p. 635-654.

106. G. E. Willmot. The Poisson-inverse Gaussian distribution as an alternative to the negative binomial. Scandinavian Actuarial Journal, 1987, p. 113-127.

107. V. M. Zolotarev. A sharpening of the inequality of Berry-Esseen. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1967, Bd. 8, s. 332-342.

108. Ю.С. Нефедова, И. Г. Шевцова. О неравномерных оценках скорости сходимости в ЦПТ. Теория вероятностей и ее применения, 2011, т. 56, вып. 3.

109. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм. Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып. 1, с. 39-45.

110. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. Уточнение структуры неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме с приложением к пуассоновским случайным суммам. — Доклады РАН, 2011.

111. Ю. С. Нефедова. Оценки скорости сходимости в предельной теореме для отрицательных биномиальных случайных сумм. — Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Изд-во Пермского университета. Пермь, 2011, Вып. 23.

112. Yu. Nefedova, I. Shcvtsova. On the constants in the unifoim and nonuniform versions of the Berry-Esseen inequality for Poisson random sums. — International Conference on Ultra Modern Telecommunications (.ICUMT), 2010, IEEE, p.1141-1144.

113. Yu. Nefedova. The lower estimates for the constants in the analogs of the Berry-Esseen inequality for sums of random number of random variables. — Proceedings of the l^th Conference of Applied Stochastic Models and Data Analysis, 2011, Rome, Italy.

114. Ю. С. Нефедова. Нижние оценки для константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для обобщенных процессов Кокса. — Сборник тезисов конференции «Ломоносов-2011» , секция «Вычислительная математика и кибернетика», стр. 19-21.

115. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. Двусторонние оценки для констант в равномерном и неравномерном аналогах неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. — Материалы научной конференции «Тихоновские чтения 2010», стр. 56-57.

116. Yu. Nefedova, I. Shevtsova. On the accuracy of the normal approximation to Poisson random sums. — Book of abstracts of the conference Prague Stochastics 2010, p. 112.

117. Ю. С. Нефедова. Численный поиск нижней оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. — Сборник тезисов «Ломоносов-2010», секция «Вычислительная математика и кибернетика», стр. 124-126.