Предельные теоремы для статистик от ассоциированных случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

о-;

о

На пранах рукописи

со см

ЕКИШЕВЛ СВЕТЛАНА ВИКТОРОВНА

УДК 519.21

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СТАТИСТИК ОТ АССОЦИИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (01.01.05 —теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1997

I'абота выполнена н Сыктывкарском государственном университете на кафедре геометрии, математической статистики и теории управления математического факультета.

Научные руководители: доктор физ.-мат. наук, профессор К).А.Давыдов, доктор физ.-мат. наук, профессор А.Н.Тихомиров.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор А.В.Булинский, доктор физ.-мат. наук, профессор Л .В.Розовский.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Защита диссертации состоится ОК^п 11)07 г. в 50\асов па заседании диссертационного совета К, 063.57.29 но защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете (198904 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2, математико-механический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета (Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9)

Автореферат разослан "/¿7'сЦС/тг 199^г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доцент О.ИЛ'ейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятно ассоциированности для случай-пых величин п пел и Esary, 1'roschan и Walk'up в 1974 году. Конечный набор случайных величин ( = (£i, ...,£т) называется ассоциированным или положительно зависимым, если для любых неубывающих но каждому аргументу функций /, д : R/" —» R,, таких, что E/(£)jjr(£), Е/(£). Е//(£) конечны, выполнено неравенство cov (/(£)> > Бесконечное множество называется ассоции|х>-ванным, если любое его конечное подмножество ассоциированно. Ассоциированные случайные величины широко используются в теории надежности, теории перколяции, квантовой теории поля, в некоторых других моделях статистической физики. Появившись из приложений, ассоциированные величины вскоре стали предметом изучения в математической литературе.

Начиная с 80-х годов на ассоциированные случайные величины обобщались многие классические результаты. Центральную предельную теорему для ассоциированного случайного поля доказали Newman (стационарный случай), Сох и Grimmett (нестационарный случай). Для формулировки условий теоремы последними был определен коэффициент, характеризующий степень зависимости случайных величин, образующих ноле (теперь в литературе он часто называется коэффициентом Кокса-Гримметта):

u(n) - sup cov(Xj,Xq).

jeZ" q<EZd \q-j\>n

Были получены принцип инвариантности для ассоциированной стационарной (Newman, Wright) и нестационарной (Birkel) последовательности, локальная предельная теорема (Wood), усиленный закон больших чисел (Birkel) Birkel в работе 1988 года получил моментные неравенства для сумм ассоциированных случайных величин при некоторых моментных ограничениях на слагаемые и требованиях на скорость убывание коэффициента Кокса-Гримметта. Эти результаты были обобщены Булинским на случай мультиплексированных ассоциированных случайных величин. Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для ассоциированных последовательностей получены Wood'ом (1983) и Birkel'oM (1988); для ассоциированных случайных полей при степенной и экспоненциальной скорости убывании коэффициента Кокса-Гримметта — Булинским. Функциональный закон повторного логарифма доказан Dabrowski

для последовательностей, Нулипским для полей на целочисленной решетке.

Представленный обзор исследований позволяет сделать вывод о значительном развитии теории положительной зависимости и разработанности этой теории в области предельных .теорем. Настоящая работа представляет собой первый опыт по изучению предельного поведении широкого класса статистик от ассоциированных случайных величин ({/-статистики, К-статистики, Выборочные квантили, стьюденгизированные выборочные средние и др.) В методологическом отношении мы опираемся, с одной стороны, на обширный опыт изучения предельного поведения статистик от слабо зависимых величин, с другой стороны — на методы, использующиеся при доказательстве предельных теорем для ассоциированного случал и учитывающие специфику положительной зависимости.

Работа над диссертацией велась по планам НИР кафедры геометрии, математической статистики и теории управления Сыктывкарского государственного университета в рамках темы "Аналитические и геометрические вопросы теории динамических систем" №ГР 01.940000:531.

Цель работы. Исследование асимптотического поведения распределений статистик от строго стационарных ассоциированных последовательностей при степенной и экспоненциальной скорости убывания к нулю коэффициента К о к с а - Г р и м м с г га, получение предельных теорем для выборочных квантилей и для и-статистик и V-статистик произвольного порядка от ассоциированных случайных величин.

Научная новизна и практическая ценность.

— Получены новые оценки скорости сходимости в центральной продольной теореме для широкого класса статистик от стационарных ассоциированных последовательностей при экспоненциальной скорости убывания коэффициента Кокса-Гримметга, оптимальные по порядку зависимости от числа слагаемых с точностью до логарифмического множителя. Показано, что данный класс включает такие статистики, как И-статистшси и У-статистики, стьюденгизированные, выборочные средние, гладкие функции от выборочных средних.

— Получены асимптотическое поведение распределений статистик от стационарных ассоциированных последовательностей и доказаны новые предельные теоремы (центральная предельная теорема, функциональная центральная предельная теорема, функцио-

нальный закон повторного логарифма) для выборочных квантилей и lJ-гтатистик и V-статнстшс произвольного порядка от ассоцшцю-ванных случайных величии.

Полученные результаты могут быть попользованы в исследованиях, связанных с развитием асимптотических методов в теории вероятностей, ведущихся в Московском, Санкт-Петербургском, Сыктывкарском университетах, Санкт-Петербургском отделении института математики им. В.А.Стеклова РАН, Институте математики СО РАН и других.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Сыктывкарском университете (1995, 1997), Г10МИ РАН (Санкт-Петербург, 1997), МГУ (Москва, 199(5).

Публикации. По теме диссертации опубликовано Л работы в Трудах Коми научного центра УРО РАН, в сборнике Актуальные проблемы современной математики (Новосибирск, 1997).

Структура и объом работы. Диссертация сос тоит из введения, четырех глав, дополнения и списка литературы, насчитывающего 58 наименований и изложена на 110 страницах текста, набранного в TftX'e и распечатанного в размере машинописного шрифта с двумя машинописными интервалами.

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и дополнения. Во всех главах доказываются предельные теоремы для различных статистик от ассоциированных строго стационарных последовательностей при экспоненциальной ([-лавы I, 2 и 4) и степенной (глава 3) скоростях убывания коэффициента Кокса-Гримметта. Рассмотрим подробнее содержание глав.

Глава 1. Оценки Берри-Эссеена для статистик от ассоциированных случайных величин

Основным результатом первой главы является

Теорема 1.1 Пусть {A"j}jçN — стационарная в узком смысле последовательность ассоциированных случайных величин, для коэффициен та Кокса -Гримметта п(тп) которой выполнено условие п(тп) = 0(е-Ат), при m —- оо для некоторого А > 0. Рассматрива- ' етсл статистика Т, которая представляется в виде Т = S + U, где S = jf HjLi o(Xj ) с некоторой функцией ц : R R такой, что

Eg(Xi) = 0, Е|(/(А'] )|3 < оо, sup |<//(а:)| < С\П\Т,

relt.

и остаточным членом R — Н(Х\, Пусть (Хдг — дисперсии S

— равномерно по N отделены от нуля, а случайные пел и чины К},к = Й,-,,(А 1,..., 1, + 1,..., Л'лО

определены для нгех 1 < ,/' < к-\- 1 < /V +1, ¡1]^-\ = Н V/ = 1, . .., /V и функция Я = Н(т\...., .''л1) имеет ограниченные константой С частные п рои анодные по всем аргументам. Зададим параметр

7 = тах{.Е*|«м- И^-П* : Ь' - к\ < 1п3 /V, 1 < ] < к < М}. Тогда для всех натуральных N выполнено

Дл, = вир \Р{Т < (глгаг}-ф(л:)| < + + С37л/Лг1п:!/V,

хеП. V Лг

здесь Ф(х) — функции распределении стандартного нормального закона, а констан ты ( '{ зависят только от Л, р, С.

Доказательство теоремы опирается на метод локального секционирования, восходящий к работам Стейна и Тихомирова. Для оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для ассоциированных случайных величин метод локального секционирования был разви т в работах ВцкеРа и Булинского. Неравенство Эссеена сводит задачу оценивания близости функций распределения к оцениванию близости их характеристических функций. Метод локального секционировании заключается в использовании дифференциальных уравнений для характеристических функций, что позволяет использовать технику секционирования, отличающуюся от техники Бернштейна. В методе локального секционирования рассматриваются функционалы от случайных величин исходной последовательности, "близких" к фиксированному члену последовательности Xj, и функционалы от "далеких" от него членов последовательности. При этом математические ожидания функционалов от "близких" к членов последовательности оцениваются из заданных моментных условий, а математические ожидания функционалов от "далеких" от X] членов последовательности оцениваются с помощью неравенства №\ушаи'а, позволяющего оценивать кова-риации гладких комплексиозначных функций от ассоциированных случайных величин через ковариации их аргументов и, в конечном итоге, через коэффициен т Кокса-Гримметта. исходной последовательности. Это объясняет появление среди условий теоремы 1.1 требований на гладкость функций у, И и ограниченности производной функции ¡1 и частных производных функции Н.

Глава 2. Применения основной теоремы для различных статистик.

Вторая глава посвящена применению теоремы 1.1 к различным статистикам от ассоциированных последовательностей. Как следствии этой георемы, получены оценки Верри-Эссеена дли II и 1'-статистик второго порядка, стьюдентизи ронянного выбором нош среднего, гладких функций от выборочных средних. Для каждого вида статистик провернется, что условии теоремы 1.1 выполнены.

Согласно классическому результату НоеПсНгщ'а, любая ¿7 и V-статистика второго порядка может быть представлена в виде

иы

N

1

¿=1

АТ(А' — 1) 2

/г (Л';, Л'/),

< I < 7< Лг

Здесь (функция Л является вырояеденным ядром, то есть симметрической на П. х П. функцией, дл я которой выполнено Е \к (х, X, )] = О,

Ух € П.

Теорема 2.1 Пусть {Х}, 7 £ N1 —строго стационарная ассоциированная последовательность случайных величии, имеющих иго-рой момен т, с функцией распределения, удовлетворяющей условии} Липшица с положительным показателем п, коэффициент Кокса-Гриммегта которой имеет экспоненциальную скорость убывания. Потребуем также, чтобы выполнялись условия

тах ^ кир 11-

дк (ж, у)

<)х

. яир П2

дгк(х, у)

дхду

е[А(л!,л^)]1- < /„ Ух. ел.

Тогда для статистики И справедлива следующая оценка:

/1, 1п

Ад? =

хеп

< (ТЛ,х} - Ф(зт)

<

Здесь у1/ — констан та, зависящая только от Л, гу, второго момента Л*1 и коэффциента К.окса-Гримметта.

Теорема 2.2 Пусть для случайной последовательности {Л';) и ядра Л. У-статистики V выполнены условия теоремы 2.1. Тогда справедлива следующая оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме:

А^ = sup xeR

Р^у/NVn < aNx} - Ф(ж)

A2\n?N

- Vn '

где константа Л2 зависит от тех же параметров, что и в теореме 2.1.

Следующее применение теоремы 1.1, рассмотренное и главе 2, относится к стыодентизированным выборочным средним. Определим чти статистики. Пусть {Х}}, ] (Е N — последовательность случайных величин, введем для нее

1 "

X = —VХи 3 = у/ЙХ, а% = Е52, <т2 = Нш ст%.

N —4 Я-юо

! = 1

Вудем считать, что а > 0. Рассмотрим оценку для <т2:

1 Ы

где тп имеет порядок 1п N. Определим а- = у/я^ при л-2 > 0, а = 0 при д2 < 0 и введем стьюдентнэированную статистику

^ _ Г ^,еслиб- > 0,

\ 0,еслия = ().

Теорема 2.3 Пусть {A'; }j6n —строго стационарная ассоциированная последовательность случайных величин, коэффициет Кокса Гримметга которой имеет экспоненциальную ско|юсть убывания к нулю, EXf — < оо. Тогда для статистики /, при любом натуральном N справедлива следующая оценка

, ,w , W yllriiJV

sup\F{t < aNx] - Ф X < -

гея VN

константа А зависит только от коэффициента Кокса-Гримметта и Ра-

Рассмотрим статистику Т, нрсдставимую к пило //(())), здесь X = jj- Н : R — R -— трижды дифференци-

руемая на R, функция.

Теорема 2.4 Пусть - строго стационарная центри-

рованная последовательность ассоциированных случайных величин с экспоненциальной скоростью убывания коэффициента Кокса -Гримметта. Если гладкая функция II удовлетворяет условию HUP $ М, а также выполнено E|A'i|,! = pa < оо, тогда

XSR

для статистики Т имеет место оценка Берри-Эссеена

An = sup |Р {Т < (T/va:j - Ф(-с)| < Л ,

гб я vA'

Здесь /1 — постоянная, зависящая только от Л/, и коэффициента Кокса-Гримметта.

Глава 3. Продельные теоремы для выборочных квантилей В третьей глава проводится исследование предельного поведения выборочных квантилей для выборок из ассоциированных строго стационарных последовательностей. Здесь доказаны центральная предельная теорема для выборочных квантилей, аналог оценки Берри-Эссеена, функциональные предельны*; теоремы для выборочных квантилей и функциональный закон повторного логарифма. Предельные теоремы для квантилей получены на основе так называемого представления Бахадура для эмпирического распределения в окрестности выборочной квантили, что позволяет почти наверное асимптотически выразить выборочную квантиль как сумму случайных величин, для которых выполнена центральная предельная теорема. Впервые аналогичное разложение было получено в 1966 году Bahadur'ом для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин, на нем было основано изящное доказательство центральной предельной теоремы, закона повто|>-ного логарифма и других предельных свойств выборочных квантилей. Позднее разложение Бахадура и вытекающие из пего предельные теоремы для выборочных квантилей были получены для случайных последовательностей с различными типами перемешивания (Sen, Dutta и Sen, Yoshihara).

Пусть {Arj}j€N — строго стационарная последовательность случайных величин с общей функцией распределения F{x), которую мы будем полагать абсолютно непрерывной, f{x) — отвечающая ей плотность. Пусть также 0 < Xj < 1, j 6 N.

Длл ()<]>< 1 обозначим Qp р-квантиль распределения F(x), то есть Вг = inf{a: £ [0,1] : F(x) = р}. Для любого натурального п рассмотрим вариационный ряд A'„;i < А'„,2 < ••• < отвечаю-

щий случайному вектору (A'i, X-¿, ...,Хп). Определим выборочную р-квантиль Zn,P — Ап следующим образом: /j^ — АГ1Г, где г = [пр] + 1. Введем следующие обозначения:

Jn = {t € [0,1] : Эр - м-" < /. < Эр + п~ -fe}, и G N,

л

F„(x) = - I{Хг < х}, — эмпирическая функция распределения, " ¿=1

оо

а; = DI{A"i < Эр} + З^со^ВД < вР),1{Хк < 6Р}); к=2

Yn(t) = n^(Fn(t) - F(t)), t G [0,1].

Тогда, очевидно, a'^ = 1 i mn ^ rxj (н V а г Fn((~)p)).

Теорема 3.1 (гфедстаБление Бахадура) Пусть {A'j}.£N — строго стационарная последовательность ассоциированных случайных величин, F(x) — абсолютно непрерывная функция распределения с плотностью f(x), 0 < Xj < 1, j £ N. Пусть также для некоторого р € (0, 1) выполнено ст* > 0, и имеет место условие на убывание ковариаций n7cov(A'i, Хп) < оо. Тогда для всех до-

статочно больших п почти наверное

sup{|(Fn(l) - F(0) - (ín(6p) -p)\:1 eJn} <Cn-i In н.

Здесь (J не зависит от п.

При доказательстве теоремы возникает необходимость для всех натуральных h оценить вероятности событий

f}k = Р{ U W ■ sup |Yn(t) - У„(ер)| > 4n-¿ ln»»}).

ек<п<ек + * t€Jn

Вначале перейдем от супремума по / 6 Jn к максимуму по соответствующим образом подобранному разбиению множества ,/„ (следуя идее Виллингсли при доказательстве теоремы о слабой сходимости эмпирического процесса от последовательности с ф-иеремешиванием). Затем рассматриваем случайное поле на целочисленной решетке, определенное через приращения случайного процесса У„. Оценку вероятности завершает применение максималь-

иого неравенства Moricz'a для этого поля и оценка четвертого момента приращений процесса Уп. Получаем, что Р*. < С\к~л с, константой Си не зависящей от к, и но лемме Бореля-Кантелли получаем утверждение теоремы.

Теорема 3.2 (центральная предельная теорема для выборочных квантилей) Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и f(x) имеет ограниченную производную и некоторой окрестности точки 07,. Тогда имеет место слабни сходимость:

п'/{вр)(Хп -вр)

При доказательстве этой теоремы вначале показывается, что поч ти наверное для всех достаточно больших п выборочная квантиль Zr попадает в ./„. Затем представляем п^(р — Fn(0;,) как нормированную сумму ассоциированных случайных величин = р — I{Х3 < Эр}, для которых выполнена центральная предельная теорема New-шап'а для ассоциированных случайных величин. Сходимость ряда ковариаций <"oi)(£i следует из условия на убывание ковы-

риаций. Отсюда следует асимптотическая нормальность случайных величин из f(Qp)(Z„ - Qp).

Теорема 3.3 (скорость сходимости в центральной предельной теореме для выборочных квантилей) В условиях теоремы 3.2 справедлива следующая оценка

Д„ = sup\P{y/Hf(ep)[Zn - вр) < х<тр) - Ф(*)| = О In* n) .

rgR v '

Оценка Берри-Эссеена строится с применением неравенства Эссе-ена, условия близости с вероятностью 1 нормированной квантили к асимптотически нормальной случайной величине п?(]> — {0р)) и оценки Берри-Эссенна для ассоциированной последовательности со степенной скоростью убывания коэффициента Кокса-Гриммет та (Булииский).

Рассмотрим пространство (7[0, I] всех непрерывных функций на отрезке [0,1] с равномерной метрикой. Рассмотрим последовательность стандартным образом определенных случайных ломаных Wr»(0> ' ^ f®' со значениями в (7[0,1].

Теорема 3.4 (функциональная центральная предельная теорема для выборочных квантилей) Если условия теоремы 3.2 выполнены, то при —> оо последовательность случайных процессов {Wu, п £ N,1 £ [0, J]} слабо сходится к стандартному броуновскому движению в пространстве 6'[0,1].

Теорема 3.5 Пусть условия теоремы Л.'2 выполнены и последовательность случайных величин {IVг} случайных величии, принимающих значения из множества натуральных чисел, такова, что при г —> оо —А, где Л — некоторая случайная величина,

заданная на том же вероятностном пространстве, что и исходные случайные величины Xj, ] £ N. Тогда при —► оо последовател1>-ность случайных процессов {И7д'г, к £ N,1 £ (0, 1]} слабо сходится к стандартному броуновскому движению в пространстве (7[0, 1].

В пространстве 0[0, 1] с равномерной топологией рассмотрим последовательность случайных нроцесссов:

#„(<) = ---, I £ 10, 1], п >

ар\/2п П1П1 п

и шар Штрассена радиуса 1:

К = {х{1),Ь £ [0,1] : *(0 = [ Цг)Иг, ( (/1(г))2(Ь < 1}.

Jo Jо

Теорема 3.6 (функциональный закон повторного логарифма для выборочных квантилей) Множество предельных точек {//„}, и>3в 0[0,1] почти наверное совпадает с К.

Теоремы 3.4-3.6 для выборочных квантилей получаются как следствие близости нормированных квантилей к нормированным суммам ассоциированных случайных величин, для которых эти предельные теоремы выполняются.

Глава 4. Предельные теоремы для ТЛ-статистик и V-статистик

Четвертая глава посвящена доказательству предельных теорем для и и К-статистик произвольного порядка от ассоции[х)ванных строго стационарных последовательностей. Для II и К-сгатистик доказаны центральные предельные теоремы, оценки Борри-Эссеена, функциональные центральные предельные теоремы и функциональный закон повторного логарифма. Коротко сформулируем результаты четвертой главы.

Пусть {Xj, ] £ ГЧ} — строго стационарная последовательность случайных величин с общей функцией распределения 1г(х). Измеримая функция /г : П."1 —> П, называется ядром для 0 £ К, если она симметрична по своим т агрументам и

^ ^ 1=1

и-статистика Им порядка т с. ядром к определяется следующим образом:

V» = (СХ)-1 £ А№,,.... А'7т), N > т.

1/-статистика Кдг порядка т с ядром Л определяется следующим обра:юм:

У„=М-т £ N>1.

Согласно НоеПУищ'у, любая -статистика может быть представлена как. взвешенная сумма статистик. и и = ХГг^о^'т^Л" гле 1!гы является [/-статистикой с вырожденным ядром

г

Лг(г,, ...*г) = £ СРе(-1)г"еМ*ь .... ®е),

г=0

Мж 1.....■»••<■) = ■■■ Нх1. —>®т) Д

3 ¿ = е+1

Ядро Л называется вырожденным (для Г), если \/а,- £ К и = I,..., ш

Е/г(аь ..,(1;-_1Дья;-+ь ...,ат) = 0.

Обозначим Я/у = ('Тт■ Т°гда статистику /Ул/ можно перепи-

сать в виде:

N N

иы = е + ^ £ Л, №) + Лаг = 6 + ^ ¿(Л, №) - В) + /г*.

«=1 1=1

Аналогично, любая V-статистика Ун может быть представлена в виде

т N

^ = £1л' = 1>> - е) +

г=0 ¿=1

где Кд. являются К-статистиками с вырожденными ядрами 1>г, а = С7„ ^л/ • Введем также следующие обозначения:

аЪ = Е (^/»1(Л'<)>| , гт2 = Е(/11(Х1))2 + З^ЕМЛ'ОВД)-\1=1 / «>1

Теорема 4.1 (центральная продельная теорема для I)-статистик) Пусть {Х}, ] £ N1 — строго стационарная последовательность ассоциированных случайных величин, коэффициент Кокса-Гримметта которой имеет экспоненциальную скорость убывания к пулю. Будем предполагать, что гг2 > 0, Ь"(х) является липшицепой (функцией с положительным показателем а, ядро к //статистики удовлетворяет соотношениям

аир I!'"

дЬ.г

дх\...0хг

< и; «ир Е(/,г(^,, ,..., А'7г)):! < I-

частная производная является неотрицательной функцией па П,т. Тогда при N —1• со имеет место слабая сходимость:

М (1'ц -&)-+< N(0,1).

там

Теорема 4.2 (центральная предельная теорема для 1/-статистик)

Если для случайной последовательности {X^ } и ядра К-статистики 1 /» выполнены условия теоремы 4.1, тогда имеет место слабая сходимость:

там

При доказательстве асимптотической нормальности случайных ве-

111У"

сПсИпд'а эти случайные величины могут быть представлены в виде

личин (1/м — в) и (1''.^ — В) замечаем, что из разложений Но-

там им там

7П(Тм ГТдг 1П(ТМ

где последовательность случайных величин {Д1 (Л';)} удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы Ncwmaп'a для ассоциированных случайных величин. Предельное поведение остаточных членов разложений Ны и Ни при заданных ограничениях на /; и исходную последовательность исследуется на основании их момент-ных оценок, полученных в леммах 4.1 и 4.2. Там доказано, что

ЕН1, < Л'ЛГ2( 1пЯ)2, Е/^ < К N~2(1п N,

здесь К не зависит от N, а зависит только от (}, Ь и коэффициента Кокса-Гримметта. Моментные оценки для остаточных членов обеспечивают асимптотическую нормальность нормированных II и У-статистик.

Теорема 4.3 (оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для (/-статистик) В условиях теоремы '1.1 справедлива оценка:

An — sup rgR

Р { -У—{UN - в) < х !> - ФЫ

1IKTN

= о'(hlNr

vW

Аналогичное утверждение справедливо для V-статистик. Оценки Верри-Эссеена получены применением теоремы 1.1.

Рпассмотрим для t £ [0,1], N <Е N последовательность стандартным образом определенных (но последовательности нормированных V'-статистик) случайных ломаных Zn{í) со значениями в С[(), 1].

Теорема 4.5 (функциональная центральная предельная теорема в С[0,1] для К-статистик) В условиях теоремы 4.2 последовательность случайных функций {Zn, N € N} в С[0, 1] слабо сходится с стандартному винеровскому процессу.

Сформулируем еще две функциональные предельные теоремы для (/-статистик и V-статистик, где рассматриваются случайные процессы со значениями в [)[0, 1]. Зададим для N € N, I. € [0, 1] случайные функции Wn{1)< со значениями в D[(), 1] (будем

считать, что егдт ф 0):

= - 0); = - в). m<TN ni(TN

Теорема 4.6 (функциональная центральная предельная теорема в D{0,1] для К-статнстик) В условиях теоремы 4.2 последовательность случайных процессов [ Wn } в /)[(), 1] слабо сходится к стандартному винеровскому процессу.

Теорема 4.7 (функциональная центральная предельная теорема в £>[0,1] для (/-статистик) В условиях теоремы 4.1 последовательность случайных процессов {WJу} в 1] слабо сходится к стандартному винеровскому процессу.

В пространстве Z?[0, 1] с равномерной метрикой рассмотрим последовательности случайных процессов

7псу ^ In In N

дли I e [0, 1], N > 3.

Теорема 4.8 (функциональный закон повторного логарифма для Г-статистик) Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Тогда в пространстве D[(), 1] с равномерной метрикой множество предельных точек {Ял/}, N > 3 почти наверное есть шар Штрас-сена радиуса 1.

Теорема 4.9 (функциональный закон повторного логарифма для U-статистик) Пусть выполнены условия теоремы 4.2. Тогда в пространстве D[0,1] с равномерной метрикой множество предельных точек {Я^}, N > 3 почти наверное есть шар Штрас-сена радиуса 1.

Функциональные центральные предельные теоремы и функциональный закон повторного логарифма для U и V'-статистик вытекают из соответствующих утверждений для ассоциированных последовательностей (Newman и Wright, Birkel, Булинский) справедливых для линейных частей разложений статистик и максимальных неравенств и оценок почти наверное для остаточных членов этих разложены й.

В разделе Дополнение. Вспомогательные утверждения

приведены без доказательств результаты других авторов (Birkel, Newman, Булинский, Yn, Billigsley, Moricz), наиболее часто использующиеся нами в доказательствах. Эти результаты оформлены в виде лемм (леммы 5.1 - 5.9).

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

Екишева С.В., Тихомиров Л.II. Оценки Перри-Эссеена для статистик от ассоциированных случайных величин. Труды Коми отделения У14) РАН, т. 138 (алгебра, теория вероятностей, дифференциальные уравнения), 110-139 (1997)

Ккишева С.В. Предельные теоремы для (/-статистик и V-статистик от ассоциированных случайных величин. Тезисы XIII Коми республиканской молодежной научной конференции, 214 (1997)

Екишева О.В., Тихомиров Л.П. Оценки Верри-Эссеена для статистик от ассоциированных последовательностей. Актуальные проблемы современной математики, Новосибирск, НИИ МИОО, 9 стр. (1997)