Некоторые предельные теоремы для ассоциированных случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

V '< о

/у ""

О О г4, Т) С.Г.?

Московск1Н1 "Госут^йрственный Университет им. М. В. Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Вронский Михаил Александрович

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ АССОЦИИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Булинский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. Ю. Веретенников доктор физико-математических наук, профессор В. Ю. Королев

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится " ^ ^ " ^'^•тР^ ^ 1998 г- в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу Москва, 119899, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 19д8 г_

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ,

профессор Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Предельные теоремы для сумм случайных величин составляют один из самых важных разделов теории вероятностей. Лучше всего исследованы задачи, связанные с суммированием независимых случайных величин (современное состояние этой теории см. в монографиях В.М. Золотарева1 и В.В. Петрова2). Однако еще классиками - А. А. Марковым, С. Н. Бернштейном, А. Н. Колмогоровым, П. Леви, А. Я. Хннчиным было начато исследование асимптотических свойств сумм зависимых случайных величин. В настоящее время такие свойства достаточно хорошо изучены для классов случайных величин, заданных на множестве целых чисел Z, либо на «¿-мерной целочисленной решетке Ъл и образующих, например, марковский процесс, мартингал, перемешивающее случайное поле (случайный процесс).

Понятие ассоциированности случайных величин было введено Дж. Иэери и др.3 Оказалось, что свойством ассоциированности обладают случайные величины, возникающие во многих моделях математической статистики4, теории надежности5, статистической механики и квантовой теории поля6. Полностью описаны гауссовские ассоциированные случайные величины; имеются условия, при которых ассоциированными будут диффузионные, устойчивые процессы.

В 1980 году Ньюмен7 заметил, что свойство ассоциированности случайных величин позволяет эффективно оценить близость характеристической функции их суммы к произведению характеристических функций слагаемых. Это замечание послужило основой его доказательства

iB.M. Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986, 415 с.

2В.В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987, 320 с.

3J. Esary, F. Proschan, D. Walkup. Association of random variables with applications. — Ann. Math. Statist., 1967, Vol. 38, p. 1466-1474

1E. L. Lehmann. Some concepts of dependence. — Ann. Math. Statist., 1966, Vol. 37, p. 1137-1153

5Р.Э. Барлоу, Ф. Прошан. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М.: Наука, 1984, 327 с.

6С. Fortuin, P. Kasteleyn, J. Ginibre. Correlation inequalities on some partially ordered sets. — Commun. Math. Phys., 1970, Vol. 22, p. 89-103

7C.M. Newman. Normal fluctuations and FKG inequalities. — Commun. Math. Phys., 1980, Vol. 74, p. 119-128

центральной предельной теоремы для ассоциированных стационарных случайных полей. После выхода этой работы началось интенсивное исследование асимптотических свойств сумм ассоциированных случайных величин. При некоторых предположениях для них были доказаны усиленный закон больших чисел, локальная предельная теорема, слабый и сильный принципы инвариантности, функциональный закон повторного логарифма. Также были получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме и моментные неравенства.

Цель работы.

1) Получение новых оценок скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для ассоциированных случайных полей.

2) Доказательство нового варианта центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей. Исследование сильных версий ЦПТ при условии ассоциированности.

3) Доказательство ЦПТ с самонормировкой для ассоциированных полей.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

— Доказано новое моментное неравенство (типа Розенталя) для ассоциированного случайного поля.

— Получены оценки (степенные и экспоненциальные) скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для ассоциированных случайных процессов и полей.

— Приведены новые условия, при которых справедлива центральная предельная теорема для ассоциированных случайных процессов и полей.

— Введены два семейства статистических оценок восприимчивости ассоциированного случайного поля, доказана их состоятельность.

— Проведено сравнение этих семейств при дополнительных ограничениях.

Указанные здесь основные результаты являются новыми н обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки приведены ниже.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при решении различных задач теории вероятностей и математической статистики, связанных с исследованием зависимых случайных величин.

Методы исследования.

В диссертации используются методы теории вероятностей (максимальные неравенства, характеристические функции, перенормировка, сильный принцип инвариантности), кроме того применяется техника урезания, техника корреляционных и моментных неравенств.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по предельным теоремам теории вероятностей в МГУ, а также на международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышёва (1996), на 19ой конференции молодых ученых МГУ (1997), на Европейской конференции молодых статистиков в Варшаве (1997) и на 7-ой Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике в Вильнюсе (1998). Результаты опубликованы в пяти статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации - 81 страница.

Обзор содержания диссертации

Во введении формулируются основные определения и дается краткий обзор работ по предельным теоремам для ассоциированных случайных процессов и полей.

Действительные случайные величины ... заданные на вероятностном пространстве Р), называются ассоциированными, если для любых ограниченных покоординатно неубывающих функций /, д : М* —> М выполнено неравенство

соу(/(&,...,&),$(&,...,&))> О-

Бесконечное множество случайных величин ассощшрованно, если всякое его конечное подмножество - ассоциированно.

Для ассоциированного случайного поля {Xj, j € Zd\ с EX? < 00 при всех j, в качестве характеристики зависимости удобно использовать коэффициент Кокса - Грилшета, определяемый как

u(tl) = SUp £ CO\(Xj,Xg).

i&t I|?-j||>n

где ||x|| = maxx<,<rf |a;£| для x 6

В Главе 1 производится исследование скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для ассоциированных случайных процессов п полей. Сначала устанавливается справедливость нового моментного неравенства для сумм ассоциированных случайных величин (о момент-ных неравенствах для сумм зависимых случайных величин см.8 и там же библиографию).

Теорема 1. Пусть {Yj, j € Zd} - поле ассоциированных с.в. с Е>} = О и ~E>Yj > cr2, j g Zd и для целого четного к > 2 и $ > 0 выполнены следующие условия

сю

£(u(r))Wt+t-V<*-1>-1 < 00,

Г=1

B|5j|i+i < 00, j е zd.

Тогда, существует С(к) = C(k,d,S,a~2u(-)) такое, что для любого конечного множества ТО? справедливо неравенство

Е

зет

Е Yj[ < C(k)max(E Wi\\w> (S Ilyjll2+i)fe/2)

ier Ver

Задача степенной оценки скорости сходимости в УЗБЧ для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин восходит к работе Баума - Каца9. Аналоги такой оценки для

8Г. Пешкир, А. Н. Ширяев. Неравенства Хинчина и мартингальное расширение сферы их действия. — УМН, 1995, т. 50, вып. 5, с. 3-62.

9L.E. Baum, M. Katz. Convergence rates in the law of large numbers. — Trans. Amer. Math. Soc., 1965, v. 120, N 1, p. 108-123

процессов с перемешиванием см. например в работе10. Для процесса {Xj. i € N) обозначим

5n = £ Xj, M„ = max()Sij,..., |5n|). i=i

Теорема 2. Пусть X\,.. -,Xn,... - последовательность ассоциированных, одинаково распределенных случайных величин с EA'i = 0, такал что и(0) < оо. и{п) —)■ 0 при п —ъ оо. Пусть, кроме того, для некоторых р > 2, 5 > 0, а € (1/2,1] и k ~ целом четной, большем (pa — 1 )/{а — 1/2) выполнены условия

El^l^ < оо,

ОО

Z(u(r)f(k~2+5)rk-* < оо.

Г=1

Тогда для любого е > О

оо

£ Пйр-2Р(М„ > £Па) < ОО. (1)

п=1

В этой же главе доказывается обобщение теоремы 2 для ассоциированных случайных полей на

Далее показывается, что должная скорость сходимости в законе больших чисел и достаточно быстрое убывание ковариаций обеспечивает конечность явным образом указанного степенного момента слагаемых.

Теорема 3. Пусть Xj,..., Л"„,... - последовательность ассоциированных, одинаково распределенных случайных величин с EXi = 0, такая, что и(0) < оо, и(п) —> О при п —> сю. Пусть, кроме того. для некоторых р > 2, а € (1/2,1], 0 < 5 < min(p-l/a,l/a) и всеге > 0 выполнены условил

оо

£ пар~2Р(Мп > епа) < оо,

П=1

g r(P-2-¿)/í-lu(r) < оо, г=1

Тогда

E|Xi¡í>~'5 < оо.

ШМ. Peligrad. The rate of convergence in the strong law for the stationary mixing sequences. — Z. Waht. verw. Geb., 1985, Bd. 70, N 2, S. 307-314.

Из более жестких моментных ограничений на слагаемые, при достаточно быстро убывающем и(п), вьюодятся экспоненциальные оценки вероятностей больших уклонений сумм.

В Главе 2 доказывается применяемое далее обобщение центральной предельной теоремы Ньюмена для ассоциированных случайных полей на случай суммирования по множествам, растущим по Ван Хову. Исследование справедливости ЦПТ для сумм зависимых величин - важная задача, которой посвящено большое число работ (см.11,12 и там же библиографию).

Введем некоторые обозначения. Для а £ Н+, V С И/*, 3 £ обозначим з • а = .. .^¿ал) £ и, кроме того,

и+(а, V) = {] : и ■ а,з ■ а + а] П У ф 0} € Ъ\ ,У+(а, V) = \и+(а, V)

и~{а,У) = Ц : (; ■ а,• а + о] С V} £ Ъ\ V) = |СГ(а, У)1, Говорят, что К^ Э Уа —» ос по Ван Хову при п —> оо, если для каждого

-*00' 1 4« поо.

Поскольку последние соотношения выполняются при любом фиксированном о, мы можем выбрать т„ оо, г„ 6 И, так,чтобы при а(п) = г„( 1,..., 1) выполнялись условия

N («(„), V.) оо, 1 при п оо.

Теорема 4. Пусть {А^,€ Ъ*1} - ассоциированное, строго стационарное случайное поле, такое что и(0) < оо. Тогда для любой последовательности множеств V,, оо по Ван Хову и IIп = Уп С\ имеем

|У|1/2 —1 —> ЩО, а2) при п ^ оо, где Б{ип) = X,-.

ПИ. А. Ибрагимов, Ю. В. Лвнвик. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965, 524 с.

12А. В. Булинский. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости. М.: изд-во МГУ, 1989, 135 с.

Далее в этой главе мы исследуем значимость условия и(0) < оо для справедливости центральной предельной теоремы. В частности, мы приводим новые примеры, когда ЦПТ не выполнена, а также показываем, что теорема Ньюмена может быть обобщена на процессы с более слабыми условиями на ковариационную функцию, но более жесткими моментнъши требованиями. Также исследуется вопрос о сильных версиях центральной предельной теоремы для ассоциированных процессов.

В Главе 3, для ассоциированного стационарного поля X = {АГ;-, ] € удовлетворяющего условию 0 < и(0) < оо и последовательности регулярно растущих множеств £/„ С Ъ6, решается задача нахождения статистического варианта ЦПТ. А именно, из теоремы 4 следует, что

——--> М (0, сг ) при п -» ос,

где а2 — к(0) = И^сх* соу(Л"(ь Л^). Для решения многих задач статистического анализа (например, для построения приближенных доверительных интервалов для неизвестного ЕХо) требуется состоятельная оценка з € ип) параметра а по значениям поля на множестве 17п.

Если такая оценка есть, то мы, в частности, можем написать, что

5(1ГЯ) - \Цп\ЕХ0 ® .

Я/Г ■• е ГП1ГГ 11 /2 ~► Л'(°>1 ПР" П

В диссертации предложены статистические оценки а по значениям X на множестве 17, имеющие вид

вш)=(Ш-т) щи) ^ 11^1 \и\)'

¡еи

где : а = д}(и) с и, д, ф 0 приj е и.

Введем для ] £Zd п г > 0 множества

= ||?-Я1<г},

где для х € мы обозначили ¡Ы| = тахк,^,;

Выбирая для целочисленного прямоугольника U € со сторонами

Q¿U) = UHRj, íf\x) = ( П log¿j(í7))~1|gi|5/2-1|^|s,

приходим к семейству оценок, зависящих от параметра s € (0,2] которое назовем семейством оценок первого типа Bi(s,U). Полагая для любого множества U € и г > О

Q,(E0 = ипК;(г), fP(x) = |«7|-1|í3il*/a|®l'.

получим семейство оценок, зависящих от параметра s 6 (0,2] которое назовем семейством оценок второго типа J?2(s, U, г).

Введенные семейства являются новыми даже в случае независимых случайных величин. В работе М. Пелиград и К.-М. Шао13, для процессов были предложены две опенки сг, входящие в наше первое семейство. В диссертации доказывается состоятельность введенных семейств.

Теорема 5. Пусть {Xj,j € — ассоциированное, строго стационарное случайное поле с 0 < <т2 = и(0) < оо. Тогда для любой последовательности прямоугольников Un ~ (а^, Ь^], такой что = bjn) - ajn) и

mini<i<dLi -> оо, при каждом s € (0,2] имеем

Г2/.Л2

Bi(s,U„) —> с Ме при п -юс,

где Мв = E|yjs, a Y имеет стандартное нормальное распределение (иначе говоря, М£ = 7Г-1/225^Г((5 + 1)/2)).

Теорема 6. Пусть {Xj,j G Zd} — ассоциированное, строго стационарное случайное поле с 0 < сг2 = и(0) < оо. Пусть последовательность ограниченных множеств Kd 3 Vn оо по Ван Хову при п —> оо и Un = V„C[ Zd. Тогда при каждом s € (0,2] и достаточно медленно растущей последовательности гп имеем

Дг(s,rn,U„) asMs при п оо.

13М. Peligrad and Q. М. Shao. Self-Normalised Central Limit Theorem for Sums of Weakly Dependent Random Variables. — J. Theor. Probab., 1994, Vol. 7, p. 309-338

В этой же главе доказывается сходимость почти наверное статистик B\(s, Un) и производится сравнение введенных семейств при дополнительных условиях. Для первого семейства в случае процесса нами выводится предельная теорема, которая дает нижнюю оценку скорости сходимости используемых статистик к предельному значению. В следующей теореме рассматривается случай d = 1, U„ = {1,..., п}.

Теорема 7. Пусть X = {X}-, j Ç Z} — ассоциированный стационарный случайный процесс, ЕА'о = 0. Пусть, кроме того, выполнены условия

E|Xoi2+i < °о, (2)

u(r) 5- Сехр(—Лг) длл некоторых С > 0, Л > 0. (3)

Тогда,

{logn)l/2(Bi(a,Un) - \tso*) A ,V(0, o2sA'i) при п оо,

где As > 0 при s 6 (0,2], поэтому соотношение xx(n)(\ogn)^2 —> оо эквивалентно тому, что

P(|jBi(s,ï7„) - Msos| > ii(n)) 0 при п -+ оо.

Важную роль в доказательстве этой теоремы играет, в частности, сильный принцип инвариантности Хао Ю14.

Для статистик из второго семейства получена степенная оценка скорости сходимости к предельному значению. Возмем Un = {q € Zd : 0 < q{ <n,i= 1,... ,d}.

Теорема 8. Пусть X = {X7-, j G Zd}, d> 1 - ассоциированное стационарное центрированное поле, такое что E|Xo|2+<S < оо для некоторого S € (0,1] и

и(г) < Сг~х, где С > 0,А > d/( 1 + 5).

Тогда при достаточно малых (3, ¿1,^2 > 0, rn = ni3 и всех п выполнено неравенство

P(|J3a(s, U„,ra) - M$os| > n~Si) < Сп~&2.

I4H. Yu. A atrong invariance principle for associated sequances. Ann. Probab., 1996, Vol. 24 ,N 4, p. 2079-2097

При доказательстве этой теоремы мы, в частности, используем оценку А. В. Булинского для скорости сходимости в ЦПТ для ассоциированных случайных полей10.

Из последних двух теорем вытекает предпочтительность второго семейства в случае слабо зависимых процессов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. В. Булинскому за постановку задачи, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные советы.

Работы автора по теме диссертации

[1] Булинский А. В., Вронский М. А. Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей. — Фундамент, и прикл. матем., 1996, т. 2, N 4, с. 999-1018.

В этой работе А. В. Булинскому принадлежит постановка задачи и применение новых ковариационных неравенств в доказательстве теорем 1 и 2; остальные результаты, в том числе доказательство сильной состоятельности статистик первого типа и исследование статистических оценок второго типа (теоремы 3 и 4) получены М. А. Вронским самостоятельно.

[2] Булинский А. В., Вронский М. А. Статистическая ЦПТ для случайных полей. — Материалы международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П. JI. Чебышёва, М.: изд-во мех-мат ф-та МГУ, 1996, т. 1, с. 62-65.

A.B. Булинскому принадлежит постановка задачи и применение коэффициента перемешивания, М. А. Вронскому принадлежит анализ асимптотического поведения изучаемых статистик и учет характера роста множеств, по которым ведется усреднение.

[3] Вронский М. А. Скорость сходимости в УЗБЧ для ассоциированных процессов и полей. — Теор. вероятн. и ее примен., 1998, т. 42, N 3, с. 426-441.

16А. V. Bulinski. On the convergence rates in the CLT for positively and negatively dependent random fields. — Proc. Kolmogorov Semester (March 1993), Int. Euler Math. Inst., St. Petersburg, Gordon and Breach, 1996, p. 1-12

[4] Vronski M. A. Some Asymptotic Properties of Associated Random Fields. — Proceedings of the 10th European Young Statisticians Meeting, August 18-22, 1997, Stephan Banach International Mathematical Center, Warsaw; p. 77.

[5] Vronski M. A. CLT and Self-Normalization for Associated Random Fields. — 22nd European Meeting of Statisticians and 7th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, August 12-18, 1998, Vilnius, Lithuania; Abstracts of Communications, TEV, Vilnius, 1998, p. 449-450.

1. Барлоу Р.Э., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М.: Наука, 1984, 327 с.

2. Бахтин Ю.Ю., Булинский A.B. Моментные неравенства для сумм зависимых мультииндексированных случайных величин. — Фунд. и прикл. математика, 1997, т. 4, N 3.

3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977, 352 с.

4. Булинский А. В. Неравенства для моментов сумм ассоциированных мультииндексированных случайных величин. — Теория вероятн. и ее примен., 1993, т. 38, вып. 2, с. 417-425.

5. Булинский A.B. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости. М.: изд-во МГУ, 1989, 135 с.

6. Булинский A.B., Вронский М. А. Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей. — Фундамент, и прикл. матем., 1996, т. 2, N 4, с. 999-1018.

7. Булинский A.B., Вронский М. А. Статистическая ЦПТ для случайных полей.Материалы международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П. JI. Чебышёва, М.: изд-во мех-мат ф-та МГУ, 1996, т. 1, с. 62-65.

8. Булинский А. В. Центральная предельная теорема для полей дробового шума.Проблемы теории вероятн. распределений. XI (ред. В.Н.Судаков), Записки научных семинаров ЛОМИ, JL, Наука, 1989, т. 177, с. 28-36.

9. Булинский A.B. Функциональный закон повторного логарифма для ассоциированных случайных полей. — Фундамент, и прикл. матем., 1995, т. 1, с. 623-639.

10. Булинский А. В., Шабанович Э. Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей. — Фундамент. и прикл. матем., 1998, т. 4, N 2.

11. Веретенников А.Ю. Об оценках скорости перемешивания для стохастических уравнений. — Теор. вероятн. и ее примен., 1987, т. 32, N 2, с. 299-308.

12. Вронский М. А. Скорость сходимости в УЗБЧ для ассоциированных процессов и полей. — Теор. вероятн. и ее примен., 1998, т. 43, вып. 3.

13. Гордин М. И. О центральной предельной теореме для стационарных процессов.ДАН СССР, 1969, т. 188, N 4, с. 739-741.

14. Городецкий В. В. О сходимости к полуустойчивым гауссовским процессам. — Теор. вероятн. и ее примен., 1977, т. 22, вып. 3, с. 513-522.

15. Екишева С. В., Тихомиров А. Н. Оценки Берри Эссеена для статистик от ассоциированных случайных величин. — Труды Коми научного центра УрО РАН, 1997, т. 138 (алгебра, теория вероятностей, дифференциальные уравнения), с. 110-139

16. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986, 415 с.

17. Ибрагимов И. А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965, 524 с.

18. Ибрагимов И. А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. М.: Наука, 1970, 384 с.

19. Круглое В.М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: изд-во МГУ, 1990, 269 с.

20. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987, 320 с.

21. Пешкир Г., Ширяев А.Н. Неравенства Хинчина и мартингальное расширение сферы их действия. — УМН, 1995, т. 50, вып. 5, с. 3-62.

22. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир, 1971, 368 с.

23. Фук Д. X., Нагаев С. В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. — Теор. вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, вып. 4, с. 660-675.

24. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989, 692 с.

25. Baum L. Е., Katz М. Convergence rates in the law of large numbers. — Trans. Amer. Math. Soc., 1965, v. 120, N 1, p. 108-123.

26. Birkel T. A note on the strong law of large numbers for positively dependent random variables. — Statist. Probab. Lett., 1987, Vol. 7, p. 17-20

27. Birkel T. Moment bounds for associated sequences. — Ann. Probab., 1988, Vol. 16, N 3, p. 1184-1193.