Предельные теоремы для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Демичев Вадим Петрович

Предельные теоремы для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей

01.01.05 —теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 ФЕВ 2014

Москва — 2014

005545118

005545118

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В'. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Булинский Александр Вадимович. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Никитин Яков Юрьевич, заведующий кафедрой теории вероятностей

и математической статистики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

кандидат физико-математических наук Мусин Максим Маратович,

доцент кафедры дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий Московского физико-технического института Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 14 марта 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2?__Лл^к/иЯ__2.0/9 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д 501.001.85 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

В. Н. Сорокин.

Актуальность темы

Положительно или отрицательно зависимые семейства случайных величин играют важную роль в рамках современной теории случайных процессов и полей. Такие формы зависимости исследовались в основополога-ющих работах Т. Харриса, Е. Лемана, Дж. Изери, Ф.Прошана, Д.Уолкапа. К. Фортуина, П. Кастелейна, Ж. Жинибра, К. Алама, К. Саксены и К. Йоаг-Дева. Интерес к подобным стохастическим системам обусловлен наличием у них широкого класса приложений к задачам математической статистики, теории надежности, теории перколяции и статистической физики. Ключевым понятием тут является ассоциированность рассматриваемых случайных величин, представляющая собой одно из обобщений независимости. Начиная с 80-х годов прошлого века ведется активная работа по установлению классических предельных теорем теории вероятностей для ассоциированных случайных полей, а также полей, обладающих родственными формами зависимости. Данной тематике посвящены труды Ч. Ньюмена, А. Райта, А. В. Булинского, А. П. Шашкина, Т. Биркела, ХаоЮ, К.-М.Шао, С. Луиши, П.Оливейры, Ш. Сюкэ, Б.Мореля, М.А.Вронского, Н. Ю. Крыжановской, Л.-К. Жанга, Дж. Вена, Б. Пракаса Рао и других исследователей. Условия, обеспечивающие выполнение многих предельных теорем для упомянутых полей, формулируются достаточно просто и легко проверяются. Так, например, при рассмотрении стационарного поля обычно предполагается, что входящие в него случайные величины обладают абсолютным моментом определенного порядка, а ковариационная функция убывает достаточно быстро при росте аргументов.

В диссертации основное внимание уделяется изучению нелинейных функций, берущихся от семейств зависимых случайных величин. Примером таких функций могут служить индикаторы, возникающие при исследовании эмпирических распределений, непараметрических статистик, экскурсионных множеств. Доказательства ряда предельных теорем для таких стохастических объектов опираются на оценку ковариаций индикаторных функций от ассоциированных случайных величин, установленную в работе

И.Багай, Б.Пракаса Рао1. В диссертации получено уточнение упомянутой оценки и показано, что этот результат является в определенном смысле оптимальным. * ч* '

В диссертации также исследуются (BL, 0)-зависимые случайные поля, которые часто возникают при рассмотрении нелинейных функций от элементов ассоциированных полей. Получена новая оценка моментов мульти-индексированных сумм (ВЬ,в)-зависимых случайных величин, обобщающая теоремы К.-М. Шао, ХаоЮ2 и А. В. Булинского, А. П. Шашкина3. С ее помощью устанавливается новый вариант слабого принципа инвариантности для зависимых случайных величин. А именно, обобщаются результаты А. В. Булинского, М. С. Кина4 и А. В. Булинского, А. П. Шашкина5 (теорема 5.1.5 (д)).

Теория экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей является одной из динамично развивающихся областей стохастической геометрии. Отметим вклад в изучение подобных случайных объектов, который внесли Ю. К. Беляев, А. В. Иванов, H. Н. Леоненко, А. П. Шашкин, Д.Н.Запорожец, И.А.Ибрагимов, Д.Мешенмозер, Р.Адлер, Д.Тейлор, Ж.-М. Азаис, М. Вшебор. В диссертации получены несколько предельных теорем для объемов экскурсионных множеств стационарных случайных полей с непрерывной ковариационной функцией. В частности, установлен функциональный вариант центральной предельной теоремы из работы А. В. Булинского, Е. Сподарева и Ф. Тиммерманна6.

Кроме того, в диссертации изучаются асимптотические свойства ряда функций от случайных мер. Получено обобщение центральной предельной теоремы С.Эванса7 для интегралов по случайным мерам и

'Bagail., PrakasaRaoB. L. S., Estimation of the survival function for stationary associated processes // Statistics and Probability Letters, 1991, 12, 5, 385-391.

2ShaoQ.-M., YuH., Weak convergence for weighted empirical processes of dependent sequences // Annals of Probability, 1996, 24, 4, 2098-2127.

3BuliuskiA., ShashkiuA., Strong invariance principle for dependent random fields // IMS Lecture Notes — Monograph Series Dynamics and Stochastic!, 2006, 48, 128-143.

4Bulinski A. V., KeaneM. S., Invariance principle for associated random fields // Journal of Mathematical

Sciences, 1996, 81, 5, 2905-2911.

бБулинскийА. В., Шашкин А. П., Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

GBulinskiA.V., SpodarevE., TimmermannF., Central limit theorems for the excursion sets volumes of weakly dependent random fields // Bernoulli, 2012, 18, 1, 100-118.

TEvansS.N., Association and random measures // Probability Theory and Related Fields, 1990, 86, 1, 1-19.

доказан ее функциональный вариант. В качестве примера применения этого результата установлено обобщение теоремы Ю.Ю.Бахтина8 для преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными. Предельные свойства таких решений интенсивно изучаются начиная с 90-х годов прошлого века. Им посвящены работы М. Розенблатта, А. В. Булинского, С. А. Молчанова, Д. Сургайлиса, В. Войчинского, Я. Г. Синая, Н. Н. Леоненко, Э.Орзингера, Т. Фунаки, М. Руиз-Медины, О. Барндорфф-Нильсена и других исследователей. В диссертации также доказана функциональная предельная теорема в пространстве гладких функций для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым определенными полями дробового шума.

Отметим, что в диссертации уделяется внимание и исследованию макс-обобщенных процессов Кокса, играющих важную роль при анализе неоднородных потоков экстремальных событий, см., напр., монографию В. Ю. Королева и И. А. Соколова9.

Цель работы

Цель данной диссертации состоит в решении следующих взаимосвязанных задач: получить оптимальную ковариационную оценку для индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин; обобщить слабый принцип инвариантности Булинского-Кина; доказать функциональный вариант предельной теоремы Булинского-Сподарева-Тиммерманна для объемов экскурсионных множеств; обобщить предельную теорему Эванса для интегралов по случайным мерам; изучить асимптотические свойства решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым определенными полями дробового шума; исследовать предельные свойства макс-обобщенных процессов Кокса, порожденных зависимыми случайными величинами.

8БахтинЮ. Ю., Функциональная центральная предельная теорема для преобразованных решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными // Теория вероятностей и ее применения, 2001, 46, 3, 427-448.

9КоролевВ. Ю., Соколов И. А., Мателштические модели неоднородных потоков экстремальные событий. Москва: ТОРУС-ПРЕСС, 2008.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:

1. Установлена оптимальная ковариационная оценка для индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных полей. Кроме того, найдена новая моментная оценка для сумм зависимых случайных величин, обобщающая неравенства К.-М. Шао, Хао Ю и А. В. Булинского, А. П. Шашкина.

2. Доказаны новые варианты функциональных предельных теорем, в частности, для объемов экскурсионных множеств ассоциированных и квази-ассоциированных стационарных случайных полей, заданных на последовательности многомерных блоков.

3. Получена центральная предельная теорема для интегралов по случайным мерам, обобщающая результат С. Эванса. Установлена ее функциональная версия.

4. Доказана функциональная предельная теорема в пространстве гладких функций для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым определенными полями дробового шума.

5. Получена предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса, порожденных зависимыми случайными величинами, обобщающая результат статьи В. Ю. Королева и И. А. Соколова.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно.

Методы исследования

В диссертации использовалась разнообразная техника. Помимо вероятностных методов изучения распределений случайных функций автором применяется аппарат теории функции и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Доказанные в ней новые предельные теоремы для систем слабо зависимых случайных величин будут полезны при изучении асимптотического поведения широкого класса стохастических моделей. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами МГУ им. М. В. Ломоносова, Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургского государственного университета, Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, а также других ведущих научных центров.

Апробация работы

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова:

—- Большом семинаре кафедры теории вероятностей под рук. академика РАН А. Н. Ширяева (2013),

— семинаре «Асимптотический анализ случайных процессов и полей» под рук. профессора А. В. Булинского и доцента А.П.Шашкина (2011-2013),

а также

— Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под рук. академика РАН И. А. Ибрагимова (2013),

— семинаре «Forschungsseminar Stochastische Geometrie und raumliche Statistik» университета г. Ульм под рук. профессора Е. Сподарева и профессора Ф. Шмидта (2011).

Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: «Ломоносов-2011» (Москва, 2011), «XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models» (Светлогорск, 2011), «Ломоносов-2012» (Москва, 2012), «Ломоносов-2013» (Москва, 2013), «XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models» (Москва, 2013), «29-th European Meeting of Statisticians» (Будапешт, Венгрия, 2013).

Работа автора поддержана грантом РФФИ 10-01-00397-а.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, из которых три — в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1-9]. Все работы написаны без соавторов.

Структура диссертации

Диссертация изложена на 105 страницах и состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 102 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор исследований, относящихся к анализу асимптотических свойств слабо зависимых случайных полей, приводится краткое описание результатов диссертации, а также их сопоставление с предшествующими.

В первой главе изучаются ковариационные и моментные оценки для определенных классов слабо зависимых случайных полей, а также даются приложения этих оценок к выводу предельных теорем для таких полей.

Чтобы сформулировать основные результаты главы, нам потребуется несколько определений.

Определение 1.1.110. Семейство случайных величин £ = i £ Т} называется ассоциированным (пишут £ € А), если для любых конечных множеств I = {ti,...,tn} С Г, J = {sj,..., sm} С Т и ограниченных покоординатно неубывающих функций F : 1" -> Е и G : Rm R выполнено неравенство

(1)

Определение 1.1.2й. Семейство f = t £ Т] слабо ассоциировано или положительно ассоциировано (пишут £ 6 РА), если соотношение (1) справедливо для любых конечных множеств I = {£ь ... ,i„} С Т, J = {si,..., sm} С Т таких, что /П J — 0, и ограниченных покоординатно неубывающих функций F : Rn ->• R и G : Rro ->■ M.

10Esary J.D., ProschanF., WalkupD.W., Association of random variables, with applications // Annals of Mathematical Statistics, 1967, 38, 5, 1466-1474.

11 Newman C. M., Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables // Tong I. L. (Ed.), Inequalities in Statistics and probability, Hayward, 1984, 127-140.

Определение 1.1.312. Семейство £ = t £ Т} отрицательно ассоциировано (пишут £ £ NA), если левая часть (1) неположительна, когда I, J и F, G удовлетворяют условиям из определения 1.1.2.

Будем также говорить, что случайный вектор £ = ... ,£„), п е N, обладает одним из перечисленных выше типов зависимости, если этим свойством обладает множество случайных величин, составленное из его компонент.

Ассоциированность семейства случайных величин влечет положительную ассоциированность. В то же время обратное утверждение неверно даже для двухэлементных семейств. Кроме того, система независимых случайных величин является одновременно ассоциированной и отрицательно ассоциированной. Известно, что любое гауссовское случайное поле с неотрицательной ковариационной функцией является ассоциированным, а гаус-совский вектор, различные компоненты которого неположительно коррели-рованы, отрицательно ассоциирован.

Пусть F : Rn ~¥ R, п G N, — некоторая липшицева функция. Для i = 1,..., п положим

Lipi(F) = sup sup гг—г|F(x!,... ,Xi-i,Xi + Axi,xi+i,... ,xn) — F(a;)|

хбЕ" AxijLQ l^il

и введем Lip(F) = maxj=lv..in Lipi(F). Легко видеть, что Lip(F) является липшицевой константой функции F по отношению к Ii норме в пространстве Rn.

А. В. Булинский и Э. Шабанович13 показали, что если семейство случайных величин £ = {£t, t G Т} квадратично интегрируемо (£ € L2) и является положительно или отрицательно ассоциированным, то для произвольных непересекающихся конечных множеств I = ..., tn} С Т, J = {si,..., sm} CT и ограниченных липшицевых функций F : R™ —> К и G : Rm R верна оценка

12Joag-DevK., ProschanF-, Negative association of random variables, with applications // Annals of Statistics, 1983, 11, 1, 286-295.

13Булинский A.B., ШабановичЭ., Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, 4, 2, 479-492.

lew^,...,^),6J)I

n m ...

¿=1 j=i

n m ¿=i j=l

Определение 1.1.414. Случайное поле £ = t e T}, где £ € L2, называется квази-ассоциированным (пишут £ £ QA), если справедливо соотношение (2).

В силу (2) положительная или отрицательная ассоциированность квадратично интегрируемого поля влечет его квази-ассоциированность. Кроме того, согласно С. Луиши и А. П. Шашкину15 (последним автором рассматривались векторнозначные поля) любое гауссовское случайное поле автоматически квази-ассоциировано.

С понятием квази-ассоциированности тесно связано понятие (BL, (?)-зависимости.

Определение 1.1.516. Случайное поле £ = {£/с, k £ Zd} называется (BL, 9)-зависимым, если найдется такая монотонно убывающая к нулю функция 0(r), г G N, что для произвольных непересекающихся конечных множеств I = {¿1,... ,tn} с Zd, J = {sj,...,sm} с Zd и ограниченных лип-шицевых функций F : Rn —> R и G : Rm R справедливо соотношение

\cov(F(£ti,... ,6„)>G(eei, • • . I ^ Lip(F)Lip(G)(\I\ A\J\)ddi8t{u),

где dist(I, J) — mixeityej ¡[гс — &|[oo3 a |7| обозначает число элементов конечного множества I.

В случае, когда поле £ является (BL, 0)-зависимым с некоторой функцией 0, мы часто будем писать вj вместо в.

14БулинскийА. В., Статистический вариант центральной предельной теоремы дая векторных случайных полей /,/ Математические заметки, 2004, 76, 4, 490-501.

15ШашкинА. П., Квазиассоциированность гауссовской системы случайных векторов // Успехи математических наук, 2002, 57, 6, 199-200.

leBulinskiA.V., SuquetC., Normal approximation for quasi-associated random fields // Statistics and Probability Letters, 2001, 54, 2, 215-226.

Рассмотрим случайное поле £ = к 6 Zd}. Формулой

щ{г) = sup |cov(£„,ffe)|, reZ+,

neZli itez^piu^r

задается так называемый коэффициент Кокса-Гримметта. Если и^(0) < оо, то говорят, что £ удовлетворяет условию конечной восприимчивости. Легко видеть, что если для квази-ассоциированного случайного поля £ = k S Zd} выполнено условие конечной восприимчивости, то £ является (BL, 0)-зависимым в силу (2) с = щ(г), г 6 N. Отметим также, что любое (BL, 0)-зависимое случайное поле £ = к £ Zd}, для которого

sup - < оо,

ksZd

удовлетворяет условию конечной восприимчивости.

Введем функцию /, которая строго монотонно и непрерывно отображает отрезок [0,1] на себя, формулой:

/(0) = о, /(30 = ^*6(0,1].

Следующая теорема уточняет ковариационную оценку И. Багай и Б. Пракаса Pao1.

Теорема 1.2.1. Если квадратично интегрируемый случайный вектор (X, У) положительно или отрицательно ассоциирован, и у его компонент существуют ограниченные плотности рх, Py, то имеет место неравенство

sup \cov(I{X > Ж}Д{У > у})| < Crv{\\px\U\pY\\oo\cov{X,Y)\ А 1),

x,yeR

где fmv -■•- обратная функция к /, а С — положительная константа. Оптимальность этой оценки демонстрирует

Теорема 1.2.2. Для любого г £ (0,1] найдется случайный вектор (X,Y) е PAnL2 такой, что cov(X,Y) е (0,г], ||рх||оо = Ы|«> = 1, и

sup cov{l{X > х}Д{У > х}) ^ cfinv(cov(X, У)), х,уеЖ

где с — положительная константа.

Следствие 1.2.3. Для любого 5 из интервала (0,1/2) найдется такое С = C(ö) > 0, что

sup \cov(I{X > x},I{Y > у})| ^ C(|bx||oolby||oc|cOU(X,y)|)Ä, (3)

x,yeR

если (X, Y) € РА П L2 или (X, Y) 6 NA П L2, а соответствующие плотности рх и py существуют и ограничены. В то же время оценку вида (3) нельзя получить при Ö = 1/2.

В статье И. Багай и Б. Пракаса Рао1 оценка (3) была установлена при 5 = 1/3 для ассоциированных случайных величин X и У. В дальнейшем это неравенство использовалось при доказательстве предельных результатов для эмпирических функций распределения1,17,18'19, некоторых других статистик20,21,22,23, объемов экскурсионных множеств случайных полей6. Отметим, что следствие 1.2.3 позволило нам обобщить центральную предельную теорему Хао Ю17 для эмпирических функций распределения.

Введем семейство блоков в пространстве Rd, de N, положив Дг = {(ai, 61] x ... x (ad,bd], а{,Ъ{ G R, сц < b{, i = 1,... ,d}.

Пусть Ud С Bd — подмножество блоков, вершины которых имеют целочисленные координаты. В диссертации установлена

Теорема 1.4.1. Пусть X = {Xk, k G Zd} — некоторое центрированное (BL, в)-зависимое случайное поле с 0,v(r) < Cr~x, г € N, где С, Л > 0. Предполооким, что найдется 2 < s ^ оо, для которого справедливо соотношение

Ms = sup \\Xk\\s < 00. (4)

kezd

17YuH., A Glivenko-Cantelli lemma and weak convergence for empirical processes of associated sequences // Probability Theory and Related Fields, 1993, 95, 3, 357-370.

1801iveiraP.E., Suquet Ch., Weak convergence in 1/(0,1) of the uniform empirical process under dependence // Statistics and Probability Letters, 1998, 39, 363-370.

19KimT.-S., KoM.-H., YooY.-S., Estimation of the distribution function for stationary random fields of associated processes // Communications of the Korean Mathematical Society, 2004, 19, 1, 169-177.

20Roussas G. G., Asymptotic normality of a smooth estimate of a random field distribution function under association // Statistics and Probability Letters, 1995, 24, 1, 77-90.

2IDewanI., PrakasaRaoB. L. S., Wilcoxon-signed rank test for associated sequences // Statistics and Probability Letters, 2005, 71, 2, 131-142.

22DewanI., PrakasaRaoB. L. S., Mann-Whitney test for associated sequences // Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 2006, 55, 111-119.

"GuessoumZ., SaidE.O., SadkiO., TatachaiA., A note on the Lynden-Bell estimator under association // Statistics and Probability Letters, 2012, 82, 11, 1994-2000.

Тогда для любого блока С/ £ 1А,{, и всех р £ (2, в) и и > 0 выполнено неравенство

кеи

Хк \Р +1 {7|7С(з-р)/(8-2)Мб(р-2)/(5-2) + | щр/2 др/2

Здесь К = К{й, з,р,и,Х) > О,

7 = тах{(я(р - 1) - р - А(я - р)/«г)/(в - 2), 1 + г/},

Я{Х) = вир

ишЛ 14

Подобные моментные оценки играют ключевую роль при доказательстве принципов инвариантности для случайных полей. Данный результат обобщает неравенство из статьи К.-М. Шао и Хао Ю2, а также оценку из работы А. В. Булинского и А. П. Шашкина3.

Пусть X — {Х^, к 6 — стационарное в широком смысле центрированное случайное поле. Для п £ Н'* положим

ад-(п)-1/2 ]Г хк, ¿€[0,1]".

Здесь х * у = (хт,.. .,хЛу,1), х = (хь ... ,ха) е Ш*, у = {уи ... ,уа) е Будем говорить, что поле X удовлетворяет слабому принципу инвариантности (функциональной центральной предельной теореме), если имеет место сходимость по распределению в пространстве Скорохода £>([0,1]й)

п оо,

где V/ есть ¿-параметрическое броуновское движение (случайное поле Винера-Ченцова или броуновский лист), а и — некоторое неотрицательное число. Здесь и далее сходимость при п —> оо, где тг £ понимается в секвенциальном смысле: для любой последовательности п№ = („<*>, ..., т#>) е с п\к) оо, к -> оо, I = сходимость

имеет место, и предел не зависит от выбора такой последовательности.

С помощью теоремы 1.4.1 в диссертации установлена

Теорема 1.5.1. Предположим, что описанное выше случайное поле X является (BL, в)-зависимым, и в(Х)г = 0(r~x), г —>■ оо, где А > 0. Пусть также справедливо соотношение (4). Тогда X удовлетворяет слабому принципу инвариантности, причем

k£Zd

В работе А. В. Булинского и М.С. Кина4 принцип инвариантности доказывается при более жестких условиях на поле X. А именно, вместо (BL, 0)-зависимости требуется ассоциированность, и, соответственно, вместо вх(г) = 0(г~А) используется соотношение их{т) = 0(г~х). Теорема 1.5.1 обобщает также пункт (д) теоремы 5.1.5 из монографии А. В. Булинского и А. П. Шашкина5, в котором тоже фигурируют (BL, 0)-зависимые случайные поля, однако при этом вводятся дополнительные ограничения на Л.

Во второй главе рассматриваются приложения полученных в первой главе ковариационных и моментных оценок к доказательству предельных теорем для объемов экскурсионных множеств случайных полей.

Пусть £ = {£f,i £ Rd} — измеримое строго стационарное квадратично интегрируемое случайное поле. Предположим, что £о имеет ограниченную плотность. Будем также считать, что ковариационная функция поля задаваемая соотношением R(t) = cov(Ç0,Çt), t £ Rd, непрерывна и допускает оценку

R(t) = 0(\t\'a), \t\ оо, (5)

для некоторого а > 0.

Возьмем произвольное и £ R. Для любого ограниченного измеримого V с Rd определим экскурсионное множество

A(V,u) = Aç(V,u) = {teV: & > к}.

Введем семейство полей

Sn(t) = (n>""1/2(|A((0,n*i],u)| - Е|Л((0,п* i],u)|), t £ [0, l]d, neNd.

В диссертации получены следующие варианты функциональной центральной предельной теоремы для объемов экскурсионных множеств.

Теорема 2.2.1. Если£ 6 А, и (5) справедливо при а > 2д, то случайные поля вп сходятся по распределению в пространстве С([0,1]<г) при п -> оо к центрированному гауссовскому полю а(и)\¥, где

а2{и)= [ сои(1{£0 > «}Д{6 > и})(Й,

JU^¡

а ТУ есть д-параметрическое броуновское движение.

Теорема 2,3.1. Если £ € РА, и (5) справедливо при а > Зс2, то случайные поля 5П сходятся по распределению в пространстве С([0,1]^) к а(и)\У при п —»• оо.

Отметим, что теорема 2.3.1 является функциональной версией центральной предельной теоремы, доказанной в статье А. В. Вулинского, Е. Сподарева и Ф. Тиммерманна6.

Третья глава посвящена доказательству ряда предельных теорем для функций от случайных мер.

Рассмотрим Во(Е.а) — семейство ограниченных борелевских подмножеств М^, д, е N. Пусть М(ш, В) — стационарная случайная мера на Е4*, д Е М, т.е. для почти всех ш е П функция М(ш, ■) является локально конечной мерой на ст-алгебре борелевских подмножеств Е1*, а М(-, В) — случайная величина для каждого В е £?о(Е^). Стационарность случайной меры означает, что для любых Вх,В], Е Д)(ЕЙ) и для произвольного t из К.'' распределения случайных векторов (М{В\),..., М{Вк)) и {М{Вх ©£),..., М(Вк © £)) совпадают. Здесь © обозначает сложение по Минковскому.

Введем

Вя(к) = (к Ф (0,1]<*)/д, деМ,

Нас будет интересовать ситуация, когда мера М квадратично интегрируема, т.е. ЕМ2(В) < оо при любом В е Д^Е**). Для таких случайных мер положим

а2м = £ соу(М(В1(0))>М(В1(к))),

кеж,*

если этот ряд сходится абсолютно. Рассмотрим следующие два условия:

(С1) найдется число Гд/ е М+ такое, что для всех д € N £ \соь(М(Вч(0)),М(В<1(кт ^ ТМЧ~Л-

(С2) случайное поле {М(Вх(к))}ке2л является {ВЬ, 0)-зависимым.

Отметим, что если для любых ограниченных борелевских множеств В\ и ¿?2 справедливо неравенство

соу(М(В1),М(В2))^ 0, (6)

то (С1) вытекает из конечности а2м. Если мера М ассоциирована (т.е. соответствующее семейство случайных величин, индексированное множествами из ^(К^), является ассоциированным), то (6) автоматически выполнено.

Для Т > 0 и произвольной борелевской функции / определим

Мт[/} = / !{х/Т)М{йх), если интеграл существует почти наверное. Положим ЗД] = Т-^2 (Мт[/] - ЕМг[/]).

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия (С1) и (С2). Тогда для любой функции / € ^(К^) П Ь^Ж4) имеет место сходимость по распределению:

гТ[П-*->що,о2м\\№), т->оо.

Данный результат является обобщением центральной предельной теоремы С. Эванса7 для интегралов по ассоциированным случайным мерам. В диссертации показано, что теорема 3.1.1 позволяет устанавливать варианты центральной предельной теоремы для интегралов по случайным мерам, порожденным квази-ассоциированными полями. Кроме того, в диссертации получена функциональная версия теоремы 3.1.1, с помощью которой удалось обобщить предельную теорему Ю. Ю. Бахтина8 для параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.

В третьей главе также изучаются решения уравнения Бюргерса, соответствующие начальным потенциалам, задаваемым определенными полями

дробового шума. Для таких решений доказывается функциональная предельная теорема в пространстве гладких функций.

Рассмотрим процесс Кокса Z = t ^ 0} и некоторую последовательность случайных величин X = {Хп, п е К}, не зависящую от 2. В недавней работе В.Ю.Королева и И.А.Соколова24 исследуется предельное поведение макс-обобщенного процесса Кокса {тах£=1^ ^(г) Хк, £ ^ 0} в случае, когда X состоит из независимых одинаково распределенных величин. Этот процесс имеет ряд приложений в теории риска9. В диссертации рассмотрена более общая модель, когда случайные величины Хп, пей, вообще говоря, зависимы, и распределение Хп может зависеть от п. Оказывается, что если для их максимумов Мп — тах^.....пХк справедлива

определенная предельная теорема при п —> оо, то можно без каких-либо дополнительных ограничений на распределение X получить предельный результат для соответствующих макс-обобщенных процессов Кокса.

Благодарности. Автор очень признателен профессору А. В.Булин-скому за постановку задач, постоянное внимание и неоценимую помощь в работе. Автор также благодарен доценту А. П. Шашкину за полезные замечания.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] ДемичевВ. П., Предельные теоремы для экстремальных потоков событий // Математические заметки, 2009, 86, 2, 184-189.

[2] ДемичевВ. П., Функциональная центральная предельная теорема для объемов экскурсионных множеств квази-ассоциированных случайных полей // Записки научных семинаров ПОМИ, 2013, 412, 109-120.

[3] ДемичевВ.П., Функциональная предельная теорема для решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика, 2013, 2, 42-46.

[4] ДемичевВ.П., Центральная предельная теорема для интегралов по стационарным случайным мерам // XVIII Международная научная

24КоролевВ. Ю., Соколов И. А., Некоторые вопросы анализа катастрофических рисков, связанных с неоднородными потоками экстремальных событий // Системы и средства информатики, Специальный выпуск: "Математические модели и методы информатики, стохастические технологии и системы", Москва: ИПИ РАН, 2005, 108-124.

конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов", секция "Математика и механика", Тезисы докладов, Москва: МАКС Пресс, 2011, 1.

[5] DemichevV. P., CLT for associated systems // XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models and V International Workshop "Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems", Book of Abstracts, Moscow: Institute of Informatics Problems, RAS, 2011, 15-16.

[6] ДемичевВ.П., Функциональная центральная предельная теорема для интегралов по случайным мерам // XIX Международная молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" секция "Математика и механика", Тезисы докладов, Москва: МАКС Пресс, 2012, 1.

[7] ДемичевВ. П., Принцип инвариантности для слабо зависимых случайных полей // XX Международная молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов", секция "Математика и механика", Тезисы докладов, Москва: МАКС Пресс, 2013, 1.

[8] DemichevV. P., A moment inequality for a certain class of weakly dependent random fields // XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models and VII International Workshop "Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics Related to Modeling of Information Systems" and International Workshop "Applied Probability Theory and Theoretical Informatics", Moscow: Institute of Informatics Problems, RAS, 2013, 18.

[9] DemichevV. P., Covariance estimate for indicator functions of associated random variables and applications // Abstracts of the 29-th European Meeting of Statisticians, Budapest, 2013, 86.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ЮО экз. Заказ № {_

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

УДК 519.21

0420'! 456157

Демичев Вадим Петрович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор А. В. Булинский

Москва 2013

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Ковариационные и моментные оценки для слабо зависимых случайных полей 13

1.1 Ассоциированность случайных полей и родственные понятия ... 13

1.2 Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин ........................................................................17

1.3 ЦПТ для эмпирических функций распределения....................33

1.4 Моментная оценка для сумм (ВЬ, 0)-зависимых случайных величин 34

1.5 ФЦПТ для (ВЬ, 0)-зависимых случайных величин..................42

Глава 2. Предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств случайных полей 45

2.1 ЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей............................ 45

2.2 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей............................ 48

2.3 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств квази-ассоциированных случайных полей.................. 56

Глава 3. Предельные теоремы для функций от случайных мер 62

3.1 Обобщение ЦПТ Эванса для интегралов по случайным мерам . . 62

3.2 ФЦПТ для интегралов по случайным мерам........................71

3.3 ФЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса................................................................74

3.4 ФПТ для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым полями дробового шума ... 77

3.5 Предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса ... 88

Заключение Список литературы

Введение

Исследование разнообразных функций от случайных полей играет важную роль в современной теории вероятностей. При этом многие теоретические проблемы и прикладные задачи требуют рассмотрения нелинейных функций, что часто сопряжено со значительными трудностями. Примером таких функций могут служить индикаторы, возникающие при изучении эмпирических распределений, разнообразных непараметрических статистик, а также экскурсионных множеств. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке техники получения предельных закономерностей для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей. Установленные результаты применяются к обобщению ряда известных теорем теории вероятностей и случайных процессов.

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 102 наименования. Во введении дается краткий обзор содержания диссертации и проводится сопоставление полученных результатов с предшествующими. При этом точные формулировки доказанных утверждений отнесены в основную часть работы, а во введении указываются номера соответствующих результатов и формул.

Начиная с 80-х годов прошлого века активно исследуются случайные поля, обладающие свойством ассоциированности или каким-либо родственным типом зависимости. Интерес к ним обусловлен с одной стороны простотой проверки этого свойства для широкого класса случайных объектов, а с другой — наличием развитой техники получения предельных теорем для таких полей. В этой связи укажем на монографию А. В. Булинского и А.П.Шашкина [10]. Ассоциированность позволяет устанавливать множество предельных закономерностей при наложении ограничений исключительно на моменты рассматриваемого поля и на его ковариационную функцию. Так, например, согласно теореме Ньюмена [82] строго стационарное ассоциированное случайное поле £ = {&) к Е б 1_2 удовлетворяет центральной предельной теореме (ЦПТ), если выполнено условие конечной восприимчивости (1.6), т.е. его ковариацион-

ная функция суммируема. Ч. Ньюменом также была выдвинута гипотеза, что вместо (1.6) достаточно потребовать всего лишь, чтобы функция К^, определяемая соотношением К^(п) — Х^н^н^п сог,(£о-Лк), п Е М, была медленно меняющейся на бесконечности. Однако через четыре года данная гипотеза была опровергнута в работе Н. Херрндорфа [69]. Позднее А. П. Шашкин [38] показал, что требование выполнения условия конечной восприимчивости является в определенном смысле оптимальным. Наконец, в 2011-м году А. В. Булинским [7] был установлен критерий, обеспечивающий справедливость ЦПТ для положительно ассоциированных случайных полей с медленно меняющейся функцией Кс.

Доказанная в работе А. В. Булинского и Э. Шабанович [9] ковариационная оценка (1.2) для липшицевых функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных нолей является основным инструментом, позволяющим устанавливать предельные теоремы для таких полей. В последствии квадратично интегрируемые случайные поля, удовлетворяющие неравенству (1.2), были названы А. В. Булинским и Ш.Сюкэ [53] квази-ассоциированными (РА). Оказалось, что на класс (¡}А полей можно распространить множество предельных результатов, доказанных ранее в предположении ассоциированности. В [53] был также определен класс (ВЬ,в)~зависимых случайных полей, расширяющий класс квази-ассоциированных полей, заданных на целочисленной решетке и удовлетворяющих условию конечной восприимчивости. (ВЬ, #)-зависимые поля часто возникают при рассмотрении липшицевых фукнций от элементов С)А полей, причем как представляющие самостоятельный интерес случайные объекты, так и как аппроксимации некоторых нелипшицевых функций от наборов величин, входящих в (^А поле.

Если элементы исследуемого поля представимы в виде нелипшицевой функции от элементов положительно или отрицательно ассоциированного поля, то задача проверки условия конечной восприимчивости является нетривиальной и обычно требует применения различных приемов аппроксимации. В случае, когда рассматриваются индикаторные функции, для ее решения можно использовать ковариационную оценку, доказанную в работах И. Багай и Б. Пракаса-Рао [41], а также ХаоЮ [101], и имеющую вид (1.7). В дальнейшем эта оценка была обобщена в статье П. Матулы и М. Зиемба [77] на случай

неограниченности плотностей рассматриваемых случайных величин. П. Матула [76] также доказал несколько ее уточнений при наложении на характер зависимости случайных величин X и У (фигурирующих в (1.7)) достаточно жестких ограничений. Оценка (1.7) играет основополагающую роль при доказательстве предельных теорем во множестве работ, посвященных анализу асимптотического поведения самых разных случайных объектов. В частности, она имеет ряд приложений к теории непараметрических статистик. Для семейств независимых величин многие их свойства хорошо исследованы (см., напр., [31] и там же ссылки), однако перенос классических результатов на случай зависимых величин часто сопряжен со значительными трудностями. В предположении ассоциированности оценка (1.7) позволила получить варианты ЦПТ, например, для ¿/-статистики [61] и Т-статистики [62]. Отметим, что величина показателя степени в правой части (1.7) напрямую влияет на ограничения, которые приходится налагать на скорость убывания на бесконечности ковариационной функции рассматриваемого случайного поля. В данной работе мы показываем, что показатель степени может быть сколь угодно близок к 1/2. Более того, полученная нами оценка является оптимальной с точностью до постоянного множителя.

В качестве примера применения доказанной нами ковариационной оценки мы ослабляем ограничения на скорость убывания ковариационной функции ассоциированной случайной последовательности в ЦПТ для эмпирических функций распределения, полученной ХаоЮ [101]. Подобные варианты ЦПТ играют важную роль в математической статистике. Среди результатов для случайных полей со структурой зависимости тина ассоциированности следует отметить также функциональную центральную предельную теорему (ФЦПТ) в пространстве Скорохода для эмпирических функций распределения, доказанную вначале Хао Ю [101], и в дальнейшем обобщенную в работах К.-М. Шао и ХаоЮ [94] и С.Луиши [75]. П. Оливейрой и Ш. Сюкэ [88], а затем В. Морелем и Ш. Сюкэ [80] исследовались и ФЦПТ для эмпирических функций распределения в пространствах интегрируемых функций.

В первой главе мы также доказываем (теорема 1.4.1) оценку для 1_р норм сумм мультииндексированных (ВЬ. #)-зависимых случайных величин, взятых

по многомерным блокам. Подобные моментные оценки находят широкое применение при анализе предельного поведения траекторий случайных полей. Так, например, на них опирается ряд методов доказательства принципов инвариантности. Для ассоциированных, положительно или отрицательно ассоциированных, а также {ВЬ1 0)-зависимых полей результаты в этой области были получены Т. Биркелом [44], А. В. Булинским [5], К.-М. Шао и ХаоЮ [94], А. П. Шашкиным [37], Т. Кристофидесом и Е. Ваггелату [55], А. В. Булинским и А. П.Шашкиным [51], М.А.Вронским [12]. Отметим также моментную оценку Н. Ю. Крыжановской [25] для сумм по произвольным множествам, доказанную с применением методов секционирования из [28] и [4]. Установленный нами ре' зультат обобщает оценку из [94]. Кроме того, одно из его следствий является обобщением моментного неравенства из [51].

Полученная в диссертации моментная оценка применяется к доказательству ФЦПТ типа Донскера-Прохорова для (ВЬ, 0)-зависимых случайных полей. Задачи, связанные с исследованием подобных ФЦПТ, образуют крупную область современной теории случайных процессов. Толчком к рассмотрению так называемых слабых принципов инвариантности послужила появившаяся в 1946-м году работа П. Эрдеша и М. Каца [64], в которой доказывалась сходимость распределений четырех функционалов от процессов частных сумм независимых случайных величин к распределениям соответствующих функционалов от броуновского движения. В общей постановке варианты ФЦПТ были установлены М.Донскером [63] и Ю.В.Прохоровым [32]. В дальнейшем было доказано множество подобных утверждений для случайных полей с тем или иным характером зависимости. Так, например, для случайных величин, обладающих свойством перемешивания, результаты, относящиеся к принципу инвариантности, изложены в монографии П.Биллингсли [3]. Рассмотрению ассоциированных, положительно или отрицательно ассоциированных, а также (ВЬ.9)-зависимых полей посвящены работы Ч. Ньюмена и А. Райта [84], Бу-линского и М.Кина [49], Л.-К. Жанга и Дж. Вена [102], А. П. Шашкина [36], А. В. Булинского и А. П. Шашкина [10]. Результаты такого рода также установлены А. В. Булинским и Э. Шабанович [9]. В диссертации удалось обобщить одновременно варианты ФЦПТ из [49] и [10] (теорема 5.1.5, (д)).

Изучение различных геометрических характеристик случайных поверхностей является одной из самых динамично развивающихся областей современной стохастической геометрии, см., напр., труд Р.Адлера и Дж. Тэйлора [39] и там же ссылки. Особое место в рамках данной теории занимает исследование свойств экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей, см., напр., недавнюю книгу Ж.-М.Азаиса и М. Вшебора [40]. В монографии H.H. Леоненко и А.В.Иванова [26] среди прочих результатов была установлена ЦПТ для объемов экскурсионных множеств гауссовских случайных полей, заданных на последовательности расширяющихся шаров Доказательство этого результата было проведено с помощью техники, основанной на разложении рассматриваемой функции (в данном случае эта функция — индикатор) по системе полиномов Чебышева-Эрмита. В дальнейшем ряд результатов, касающихся свойств экскурсионных множеств гауссовских случайных полей, был получен в работах Д. Н. Запорожца, И. А. Ибрагимова, А. П. Шашкина и Д. Мешенмозера (см., напр., [20], [30], [95]). В 2012-м году А. В. Булинским, Е. Сиодаревым и Ф. Тиммерманном [52] был разработан новый метод, позволивший получить ЦПТ для объемов экскурсионных множеств QA нолей. Существенную роль при этом сыграло понятие (ВЬ} #)-зависимости случайных нолей, заданных на пространстве предложенное А. В. Булинским в [48]. Отметим также статью Д. Мешенмозера и А. П. Шашкина [78], в которой доказывается ФЦПТ в пространстве Скорохода D(R) для объемов экскурсионных множеств, индексированных уровнем экскурсии и Е К. Эта теорема представляет собой аналог ФЦПТ для эмпирических функций распределения, только вместо последовательности случайных величин в ней рассматривается некоторое случайное иоле на Rd.

Во второй главе диссертации доказаны три предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств строго стационарных случайных полей. Первая из них (теорема 2.1.1) представляет собой вариант ЦПТ из [52] для ассоциированных полей. Замена требования квази-ассоциированности более жестким условием ассоциированности позволила применить полученную в первой главе диссертации ковариационную оценку для индикаторных функций и, таким образом, ослабить ограничения, налагаемые на ковариационную функцию исследуемого случайного поля. Вторая предельная теорема (теорема 2.2.1) явля-

ется функциональным вариантом первой. Рассматриваются объемы экскурсионных множеств на блоках (О.п^] х ••• х (0, п^], £ = (¿1,...,^) Е [0,1]^, п = (п1,..., п^) Е и доказывается их сходимость по распределению в пространстве непрерывных функций С([0,1]сг) при п —> оо (в секвенциальном смысле). Наконец, мы также доказываем подобную ФЦПТ и для РА случайных полей (см. теорему 2.3.1). Отметим, что обе ФЦПТ установлены при тех же ограничениях на ковариационную функцию случайного поля, что и соответствующие ЦПТ. Их доказательства опираются на моментную оценку для (ВЬ, #)-зависимых случайных нолей из первой главы диссертации и теорему Морица [81].

Многие годы активно развивается теория дифференциальных уравнений с частными производными, начальные данные для которых задаются некоторыми случайными объектами. Уравнение Бюргерса является одним из наиболее интенсивно исследуемых. Известно, что с помощью так называемой подстановки Хопфа-Коула его можно свести к уравнению теплопроводности, так что решение задачи Коши для уравнения Бюргерса иредставимо в явном виде как отношение двух интегралов с определенными ядрами. Данное уравнение описывает множество физических явлений (см., напр., [13]), причем немаловажную роль играют модели, в которых начальный потенциал задается некоторым стационарным случайным полем {£г., х Е М^}. Так, например, подобные стохастические конструкции возникают при анализе крупномасштабного строения Вселенной. Исследованию асимптотических свойств преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными посвящены работы М. Розенблатта, А. В. Булинского, С. А. Молчанова, Я. Г. Синая, Д. Сургаилиса, В. Войчинского, Н. Н. Леоненко, Ю.Ю.Бахтина и многих других (см., напр., [91], [45], [8], [96], [46], [47], [97], [73], [1], [2], [98], [74]). При этом часто задача анализа асимптотики решений сводится к получению ЦПТ для интегралов от определенных гладких функций по случайной мере М{йх) — е^хйх. В третьей главе диссертации установлен ряд ЦПТ и ФЦПТ для интегралов по случайным мерам, которые затем применяются к обобщению ФЦПТ Бахтина для решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.

В первом параграфе третьей главы доказывается обобщение ЦПТ Эванса

[66] для интегралов от ограниченных интегрируемых функций по стационарным квадратично интегрируемым случайным мерам. Потребность в таком результате обусловлена желанием иметь возможность применить подобную ЦПТ к мерам вида М(йх) = Р(^х)йх (где ^ — неотрицательная липшицева функция) для достаточно широкого класса квази-ассоциированных случайных нолей в то время как ЦПТ Эванса применима только к ассоциированным случайным мерам. Во втором параграфе рассматриваются интегралы по случайным мерам от гладких функций с параметром. При этом предложен новый метод оценки второго момента приращений подобных интегралов на блоках, позволяющий установить для них ФЦПТ при весьма широких ограничениях на рассматриваемую меру и интегрируемую функцию. Наконец, в третьем параграфе с помощью этой ФЦПТ выводится обобщение теоремы Бахтина.

Важным примером квадратично интегрируемой случайной меры является пуассоновский точечный процесс и его различные модификации. В четвертом параграфе в качестве начальных потенциалов в задаче Коши для уравнения Бюргерса рассматриваются порожденные им случайные поля дробового шума. Подобная модель изучалась в работах А. В. Булинского [45], [46], А. В. Булинского и С.А.Молчанова [8], Д. Сургаилиса и В. Войчинского [97], а также других исследователей. Распределение пуассоновского точечного процесса характеризуется его интенсивностью. Мы рассматриваем случай, когда интенсивность равна натуральному п, и устанавливаем функциональную предельную теорему (ФПТ) для соответствующих решений уравнения Бюргерса при п —> оо. При этом ин