Предельные теоремы для подчиненных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ПОДЧИНЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

§ I. Подчиненные случайные процессы и их представление с помощью кратных стохастических интегралов

§ 2. Семиинварианты кратных стохастических интегралов

§ 3. Полиномы Аппеля и их семиинварианты

§ 4. Ц.п.т. для подчиненных процессов (общий случай)

§ 5. Ц.п.т. для подчиненных процессов, являющихся функциями от линейного процесса

§ б. Нецентральные предельные теоремы

§ 7. Н/ц.п.т. для конечных преобразований

Фурье

Глава II. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ К.С.И. К СТАТИСТИКЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 8. Оценки спектра подчиненных процессов

§ 9. Ки. имметричиеатики

В диссертационной работе рассматриваются предельные теоремы для зависимых случайных величин, представимых в виде кратных стохастических интегралов (к.с.и.). К.с.и. широко используются для исследования случайных процессов, являющихся (нелинейными) функционалами от независимых случайных величин (в частности, гауссовских). Такие функционалы часто встречаются в математической физике, радиотехнике, статистике случайных процессов и других областях. Приведем два примера.

ПримерJE^ Пусть ^^ . ~ независимые случайные величины с общей функцией распределения F (х) ; F^Cx) = d. ^ ЯС EL КЗцх)

- эмпирическая функция распределения. Многие вопросы статистики входят в класс статистик фон Мизеса [50]:

T^CF *) - о*=> L-1

Известно, что предельное распределение нормированных статистик (0.1) совпадает с распределением к.с.и. по гауссовой случайной мере (см. подробнее [50, 36, 51, 44]). npmepj^ В (евклидовой) квантовой теории поля основной объект исследования - это случайные поля, являющиеся возмущением "свободного поля", т.е. гауссовского случайного поля d 2, — 1 X (A") со спектральной плотностью С4+ \\\ ) > dl eR . Возмущение "свободного поля" определяется с помощью замены меры, соответствующей аддитивному функционалу f : X^V-dlt ,где

- к.с.и. (гь -ая "степень Вика" поля ХШ) > ZCdX)- случайная спектральная мера стационарного поля ХОЬ) (см. [24-]).

Ряд примеров использования к.с.и. можно найти в теории ренорм-группы и автомодельных распределений [27 , 32"], статистической турбулентности [22] и других областях физики.

Основными результатами диссертации являются:

1. Центральная предельная теорема (ц.п.т.) для (стационарных процессов, порожденных независимыми случайными величинами, при условиях на весовые функции разложения в ряд по к.с. и. (теоремы 4.1, 4.2);

2. Ц.п.т. для функционалов ^ }

ЪеТ вида от линейного (в частности, гауссовского) процесса при условиях на корреляционную функцию процесса ^ (теоремы

5.1-5.4).

Кроме того, в диссертации доказан ряд нецентральных3^ предельных теорем (н/ц.п.т.), обобщающих и развивающих результаты Розенблатта, Добрушина, Майора, Такку, Городецкого, Филипповой и др. авторов, в частности, предельная теорема для симх^Следуя [33], этот термин будем применять к предельным теоремам о сходимости к негауссовским процессам. метрических статистик в схеме серий, где предельный процесс представим в виде к.с.и. по гауссовской и пуассоновской случайным мерам (теорема 9.1).

Приведем более подробный обзор диссертационной работы, а также связанных с ней исследований других авторов.

Основным классом случайных процессов, рассматриваемым в диссертации, является класс (стационарных) процессов, подчиненных данному стационарному процессу ^^ >"Ье'2. т.е. процессов ^ } -Ь X , имеющих вид ^ f ' (0.3)

В [Х8] такие процессы ^ называются порожденными процессом } 4т е 7L . Предполагается, что процесс ^^ > состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин ("(дискретный) белый шум"). В том случае, когда процесс ^ подчинен стационарному гауссовскому процессу с абсолютно непрерывной спектральной мерой, его также можно рассматривать как процесс, подчиненный "белому шуму". Подчиненные процессы второго порядка допускают естественное разложение в ряд по "дискретным к.с.и.": п-о s.-^ru которое в случае гауссовского "шума" превращается в известное разложение Ито - Винера: б Ч

Здесь Г| - , ^Cdx) - случайнай спектральная мера процесса ("комплексный белый шум"), el^CR^)

- функции, коэффициентами Фурье которой являются числа

••• > ' Впервые, по-видимому, представление (ОЛ) в случае негауссовских появилось в работе Рубина» Витале [51]. В разделе I диссертации приведены определения "проекций"

•■ ■ и "Декретных" к.с.и. (0.4), их связь с "непрерывными" к.с.и. Ито --Винера, а в разделе 2 - формулы для семиинвариантов, обобщающие известные диаграммные формулы для "гауссовских" к.с.и. и играющие важную роль в процессе доказательств ц.п.т. ниже, основанных на методе семиинвариантов.

Раздел 4 посвящен ц.п.т. подчиненным процессам, допускающим разложение (ОЛ). Оказывается, что для справедливости ц. п.т. главное значение имеет порядок роста функций с^юЛ**»---, Х^) вблизи диагонали •

Теорема 0.1. Пусть ряд (ОЛ) конечен (т.е. <х^=0 для

N .

УЬ>к и некоторого к > А } -Если

СО = Е( S^j )XN , it) для каждого £. > О и п. -1, ., /?< i laja 4(lx1+.+ x,j < i/N п1^

AhXBn 0 с JW An/Bn4^W An/Bn<c*=>. то

S>N М" СО, 4) . (0.6)

В теореме 4.2 рассмотрен случай бесконечного ряда (0.4). Условия типа (ii) для процессов, подчиненных гауссовскому шуму, впервые рассматривал Маруяма [46] (см. также [45]) (доказательство неопубликовано). В случае ограниченных коэффициентов ц.п.т. и ее уточнения (большие уклонения) следует из результатов Пликуса [23]. Отметим, что одно условие (I) теоремы 4.1 недостаточно для ц.п.т., а величина "урезания" 8 (КГ в условии (ii) - оптимальная (т.е. если fN~ заменить на g-(N) , где ^ (N)/fN —> сумма SN /Щ" > вообще говоря, не будет асимптотически нормальной). Отметим также, что в вышеупомянутой теореме Маруямы вместо £fN" стоит значение Ь N^'^ . Существенным в теореме 4.1 является также требование конечности ряда (0.4) (соответствующий контрпример см. в теореме 6.3).

Представляет интерес сравнение теоремы 4.1 и теоремы 4.2 с теоремой Ибрагимова ([18], т. 18.6.1) для подчиненных процессов, согласно которой условие E^C^-ECfyl^ ,№Krv>)a<oo (0.7)

CV --1 достаточно для асимптотической нормальности (0.6). Как показывает теорема 4.А, условие (0.7)сильнее условий теоремы 4.1 и теоремы 4.2. Следует отметить, однако, что в конкретных случаях проверка условия (6С) теоремы 4.1 может оказаться более трудной по сравнению с (0.7).

В исследованиях по предельным теоремам для зависимых случайных величин, особая роль принадлежит процессам вида

У[ь = /f СХ4.) , (0.8) где -h G 7L - стационарный гауссовский процесс,

- данная функция. Хотя процессы (0.8) представляют собой частный случай подчиненных процессов, для них можно получить более простые и точные условия асимптотической нормальности. Предельное распределение сумм процессов (0.8) рассматривалось в работах Розенблатта [47, 48, 49], Такку [57, 58] , Гирайтиса [п], Гирайтиса, Сургайлиса [37], Брейера, Майора [31], Суна [54] и др. Как показали Добрушин и Майор [33], если корреляционная функция ^х^^ гауссовского процесса Xj.» -fc- е 7L асимптотически ведет себя как |-b| °CiC0<oC<i)J> ранг Эрмита функции Я (т.е. номер первого ненулевого коэффициента Сд в разложении Jj- = ZZc^H^ по полиномам

Эрмита равен rv\ C^-d ) и С А., то процессы ИЫ4г] 4.-«ога/2, сходятся по распределению к сильно зависимым", негауссовским при автомодельным процессам, представимьш с помощью кратных интегралов Ито -Винера. Аналогичный результат в случае (негауссовского) линейного процесса Х^ был получен Сургайлисом [29], правда, при этом функция % должна была удовлетворять некоторым жестким условиям аналитичности. Как уже отмечалось, одним из основных результатов диссертации является

Теорема 0.2. Пусть X = (X ^ , "Ь £ "2.) - стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией аЛ а) = Е Х0 Xt —> 0 - измеримая функция; ^ - ^ (Х^) , Е Ц0 -0 ,

Е ЧоЧ* " \ (t) 1 = f-4% ' Е°ЛИ

ZZ (0.9) и

7Z T^CV) = СГ* >0 , (оло) то

SN <г чЛГ С од) . (0.11)

Аналогичный результат независимо был получен Брейером и Майором [31]; при этом условие (0.9) в [31] было заменено на (эквивалентное) условие

Г 1ах (-Ъ)Г' < оо , (0.12) fc * где п\, - ранг Эрмита функции В теореме 4.2 рассмотрен случай, когда ряд (0.9) расходится, а корреляционная функция процесса к^ (0.8) имеет вид Ш =■ LCl-Ы) / I4rl ; где L - медленно меняющаяся функция. Хотя условия (0.9) и (0.10) несколько сильнее условия

A* - «г N , (0.13) последнее недостаточно для ц.п.т. для процессов ^ (0.8) (см. теорему б.З).

В том случае, когда функция ^ принадлежит некоторому классу аналитических функций (содержащих, в частности, все полиномы), аналогичные ц.п.т. верны для произвольного (негауссо-вского) линейного процесса Х^. , -Ь £ И > Ho.a-s)^, (0.14) где ^ s j S € 1L - независимые и одинаково распределенные величины с нулевым средним и конечными моментами, И аЗЧ-ё)< < оо (теоремы 5.3, 5.4). Эти ограничения на функцию Sj-объясняются, главным образом, методом доказательства, основанным на разложений Jf- в ряд по полиномам Аппеля с*=> f Сх^> = П А^СХ) , (0.15) определяемым с помощью производящей функции

KV — О

0.16)

В случае гауссовского процесса Х^ разложение (0.15) совпадает с разложением по полиномам Эрмита. Роль полиномов Аппеля в доказательстве теорем 5.3 и 5Л, объясняется следующими причинами. Во-первых, существуют простые и естественные формулы для семиинвариантов полиномов Аппеля (это важно, поскольку доказательства теорем 5.3 и 5.4 основаны на методе моментов). Другое обстоятельство - это эквивалентность условий (0.9) и У~ ll^C-tOl1^ < оо при ,где па - ранг Аппеля функции (см. раздел 3, определение 3.1). К сожалению, полиномы Аппеля вообще не образуют ортогональной системы в L? и вопрос о том, когда функцию /f можно разложить в ряд

0.15), достаточно неясен. Можно, однако, показать, что если функция Jj- аналитична на всей прямой и коэффициенты ее степенного ряда убывают быстро, то разложение (0.15) имеет место и выполнено условие (5.13) теоремы 5.4. В этом случае коэффициенты Ск имеют простой вероятностный смысл: Сf(/f0 - /f< -ая производная функции f.

Легко привести примеры, когда выполнены условия теорем 5.1, 5.3 или 5.4, но процесс (Х^.) не удовлетворяет условию' сильного перемешивания (и даже нерегулярен). Некоторые более слабые условия перемешивания, введенные в работе [59], предполагают, грубо говоря, сходимость ряда » что также может не выполняться в упомянутых теоремах. Отметим, наконец, результат Ибрагимова [18], согласно которому ц.п.т. для самого линейного процесса (ХО (0-14) имеет место, если

N * только Е С 7~ Xj. ^ -> С N —> .

В разделе 7 получена н/ц.п.т. для конечных преобразований Фурье нелинейных функционалов (0.8) от стационарного гауссовского процесса (Xj.) , обобщающая и развивающая известные результаты работ [49, 33]. В частности, в работе Розен-блатта [49] предполагается, что корреляционная функция гауссовского процесса имеет вид

IYV ахСО - L(m) Itr* И Sf anc^-t^ где О <С < 4 • s1> . .jS^ >0 , А.^ - вещзственные числа; рассматривается предельная теорема для преобразований Фурье нелинейных функционалов от процесса (Xt ) .

В теореме 7.1 мы рассматриваем аналогичную задачу для случая, когда показатели степенной асимптотики корреляционной функции процесса (Xt) зависят от частот Xj периодической составляющей Со^ К^ Л/ ; при этом условии на процесс CXj.) формулируются в спектральных терминах.

В разделе 8 главы II исследуется асимптотическая нормальность оценок спектра некоторых (нелинейных)функционалов —вида (0.5) от стационарного гауссовского процесса (теорема 8.1). Рассматривается также случай функционалов вида (0.8) (теорема 8.2). Асимптотическая нормальность оценок спектра таких процессов исследовалась Маруямой [>б] при довольно жестких условиях, включающих ограниченность весовых функций.

В теоремах 8.1 и 8.2 нам удалось эти условия значительно ослабить. Следует отметить, что некоторые частные случаи этих теорем вытекают из общих результатов Бриллинджера [5], Бент-куса [2], Бенткуса, Журбенко [з] и др. Теорема 8.1 является обобщением для к.с.и. известного результата Ибрагимова [16"] в случае (т.е. когда процесс С^^ - гауссовский).

В разделе 9 главы II кратные стохастические интегралы выступают в качестве предельных распределений симметрических статистик.

Пусть ^^ , /Рс,П/>4 - двойная последовательность вещественных случайных величин, независимых и одинаково распределенных при любом фиксированном П/> a hsj^ : R —^ R - симметрические функции, удовлетворяющие условиям г- ( О СИ/) / V СЮ/) v- (KV) и

Рассмотрим следующую симметрическую статистику i>cirv4-b) = , ъ^а) з (о.19) где D^ Ot) - (симметрическая)статистика порядка :

К,

Важный класс симметрических статистик образуют 'у -статистики, введенные Хоеффингом [39], который первый получил представление (0Д9)-(0.20) для ^ статистик с ядрами удовлетворяющими условиям (0.17) и (0.18). Асимптотическое распределение симметрических статистик исследовалось многими авторами, большинство из которых рассматривали сходимость к гаус-совскому распределению или его уточнения. С другой стороны, в недавних работах Рубин и Витале [51], Дынкин и Мандельбаум [34] (см. также Филиппова [Зб], Мандельбаум и Такку [44])рассмотрели ситуацию, когда В^Ч-Ь) сходятся по распределению к случайному процессу, представимому в виде суммы кратных интегралов Ито - Винера по некоторой гауссовской мере (или в виде-суммы произведений полиномов Эрмита от гауссовских случайных величин). В этих работах предполагалось, что величины У принадлежат области притяжения гауссовского закона. Мы рассматриваем аналогичную задачу, когда HL ^^ сходятся к общему безгранично делимому распределению. Точнее говоря, мы предполагаем, что rt) и уь е dx) —у if Ux) (0.21) е dx/^)^ ч) Cdx) (о.22) при п. —> > где и \i - некоторые меры на прямой IR. о (.ко

При некоторых условиях на (условие (А) теоремы 9.1, называемое ниже условием равномерной аппроксимации простыми функциями), конечномерные распределения (P^^^-fc^o • сх0~ дятся к соответствующим распределениям случайного процесса ьад = Ц = Ц. (л/А!>

АА (C0;i] xfR)^ ' (0.23) где R =■ R' vy R-J } fR', R" суть два экземпляра прямой fR , = R - некоторые функции, а

WCds,dx) - случайная мера на с независимыми значениями на непересекающихся множествах, которая является гауссовской на х R! и пуассоновской на L0,oo)x х IRq' с дисперсиями, равными ds \Kdx) и d^TCCcix) соответственно. Условие (0.22) довольно жестко и не является необходимым для сходимости сумм Ц ^^ к безгранично делимому закону. С другой стороны, оно выполнено в случае ^^ > где k^ ^ ~ независи" мые одинаково распределенные случайные величины, распределение которых не зависит от п. Этот случай рассматривается в с»].

Доказательство нашей теоремы 9.1 отличается от доказательств, приведенных в работах [51 , 34], хотя, с другой стороны, оно достаточно естественно для установления сходимости к.с. и. А именно, мы показываем, что при условии (А) статистики D^ft) могут быть приближены в среднем квадратичном конечными с ушла ми

Aio где суть либо (I) (фиксированные) интервалы вещественной прямой, либо (2) = (а^ /[й7 } /Са7) \

VW(C0,±] равно считающей мере скачков Щ

• i ^ Cirvt] ^Aj) -РД^) в случае (I), а в случае (2) отличается от этой меры на множитель 4/п . Легко показать, что при условиях (0.21) и (0.22) * ^l) сходится по распределению к к.с.и. вида (0.23).

Результаты разделов 4 и 9 получены совместно с Д. Сургайлисом.

В работе принята сплошная нумерация всех утверждений, в том числе определений и замечаний, а также формул; первые цифры указывают на номер раздела, в котором находится данное утверждение или формула. Знак ■ означает конец доказательства.

В заключение хочется выразить глубокую благодарность руководителю доктору физико-математических наук Д.Г.Сургайлису за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Бенткус Р. Об ошибке оценки спектральной функции стационарного процесса. - Литовский матем. сб., 1972, т.X1.,Не I, с.55-71.

2. Бенткус Р. Об асимптотической нормальности оценки спектральной функции. Литовский матем. сб., 1972, т.XII,3, с.3-18.

3. Бенткус Р., Журбенко И.Г. Асимптотическая нормальность спектральных оценок. ДАН СССР, 1976, т.229, Ш I, с.П-18.

4. Бенткус Р., Рудзкис Р. Об экспоненциальных оценках распределения случайных величин. Литовский матем. сб., 1980, т.XX, Ш I, с.16-30.

5. Бриллинджер Д.Р. Временные ряды: обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.

6. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции, вып. I: Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959.

7. Геронимус Я.Л. On a class of Appell polynomials. Хрк., Зап.Матем.о-ва, 1934, сер. 4, 8, с.13-24.

8. Гирайтис Л. О сходимости некоторых нелинейных преобразований гауссовской последовательности к автомодельным процессам. Литовский матем. сб., 1983, т.23, te I, с.57-68.

9. Гирайтис Л. Об асимптотическом распределении спектральных оценок интегралов Ито Винера. - Литовский матем. сб.,1984, Т.ХХ1У, № 3, с.98-104.

10. Гирайтис Л. Центральная предельная теорема для функционалов от линейного процесса. Литовский матем. сб.,1985, т.ХХУ, Ш I (в печати).

11. Гирайтис Л. Предельные теоремы для локальных функционалов. ХХ1У конференция Литовского матем. общества. Тезисы докладов. Вильнюс, 1983, с.52-53.

12. Гирайтис Л. О центральной предельной теореме для нелинейных преобразований линейного процесса. ХХУ конференция Литовского матем. общества. Тезисы докладов. Вильнюс, 1984, с.84-85.

13. Гирайтис Л., Сургайлис Д. ЦПТ для процессов, порожденных независимыми случайными величинами. ХХУ конференция Литовского матем. общества. Тезисы докладов. Вильнюс, 1984, с.82-83.

14. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л., ГТТИ, 1949.

15. Городецкий В.В. Принцип инвариантности для функций от стационарно связанных гауссовских величин. Зап.научн. семинаров Ленинградского отд. Матем. ин-та АН СССР, 1980, т. 97, с.32-44.

16. Ибрагимов И.А. Об оценке спектральной функции стационарного гауссовского процесса. Теория вероят. и ее примен., 1963, т.УШ, № 4, с.391-430.

17. Ибрагимов И.А. Некоторые предельные теоремы для стационарных процессов. Теория вероят. и ее примен., 1962,т.УП, № 4, с.361-392.

18. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

19. Йосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

20. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

21. Малышев В.А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики квантовой теории поля. Успехи матем. наук, 1980, вып.2, с.3-53.

22. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. 4.1. М.: Наука, 1965.

23. Пликусас А. Некоторые свойства кратных интегралов Ито.- Литовский матем. сб., 1981, т.XXI, № 2, с.163-173.

24. Саймон Б. Модель РС^)^ евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

25. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962.

26. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Физматгиз, 1963.

27. Синай Я.Г. Автомодельные распределения вероятностей. -Теория вероят. и ее примен., 1976, т. 21, № X, с.63-80.

28. Сургайлис Д. Линейные и им подчиненные случайные поля.- Докторская диссертация. Вильнюс, 1981.

29. Сургайлис Д. О зонах притяжения автомодельных кратных интегралов. Литовский матем. сб., 1982, т. ХХП, № 3, с.185-201.

30. Функциональный анализ. Справочная матем. б-ка. Под общ. ред. С.Г.Крейна. М.: Наука, 1972.

31. Breuer P., Major P. Central limit theorems for non-linear functionals of Gaussian fields. Journal of multivariate analysis, 1983, v. 13, p .425-441.

32. Dynkin E.B., Kandelbaum A. Symmetric statistics, Poisson point processes, and multiple Wiener integral. Ann. Math.Statist., 1983, vol. 8, p. 733-74-5.

33. Engel D .D. The multiple stochastic integral. Mem. MS, 38.

34. Ito К. Multiple VJiener integral. J .Math.Soc .Japan, 1951, vol.3, p. 157-164.

35. Ito K. Spectral type of shift transformations of differential process with, stationary increments. Trans. Amer.Math.Soc., 1956, vol.81, p.253-263.

36. Major P. Limit theorems for non-linear functionals of Gaussian sequences. Z.Wahr.verw.Geb., 1981, v.57, p. 129-158.

37. Major P. Multiple Wiener Ito integrals. - Lecture Notes in Math., vol.849, Berlin-Heidelberg-New-York: Springer, 1981.

38. Mandelbaum A., Taqqu M.S. Invariance principle for symmetric statistics. Technical report No 573. Cornell University, 1983, 25 p. (Preprint.)

39. Maruyama G. Non-linear functionals of Gaussian processes and their applications. In: Proceeding of the Third Japan-USSR Sympos.РгоЪаЪ. Theory. Lecture Notes in Math., vol.500, p. 375-378, Berlin: Springer, 1976.

40. Maruyama G. Applications of Wiener's expansions to some probability limit theorems. In: Third Internat. Vilnius Conference of Probab. Theory and Math.Stat., Vilnius, 1981, p. 206-210.

41. Rosenblatt M. Independence and dependence. Proc. 4th Berkeley Sympos. Math.Statist.Probab., p.411-443, Berkeley: Univ .Calif .Press 1961.

42. Rosenblatt M. Some limit theorems for partial sums of quadratic forms in stationary Gaussian variables. Z.Wahr.verw.Geb., 1979, vol.49, p.125-132.

43. Rosenblatt M. Limit theorems for Fourier transforms of functional of Gaussian sequences. Z.Wahr .vervv.Geb.,1981, vol.55, p.123-132.

44. Rosinski J., Woyczynski W. Products of random measures, multilinear random forms, ana multiple stochastic integrals. Case Western Reserve University, 1984, 22 p. (Preprint 84-5.)

45. Rubin H., Vitale R.A. Asymptotic distribution of symmetric statistics. Ann .Math. Statist., 1980, vol.8, p.165 -170.

46. Serfling R.J. Approximation theorems of mathematical statistics. New-York: Wiley, 1980.53• Shohat I. The relation of the classical orthogonal polynomials to the polynomials of Appel. Amer.J.Math., « i1936, vol. 58, p.453-^64.

47. Sun Ш.С. Some further results on central limit theorems for non-linear functions of normal stationary process.J.Math, and Mech., 1965, vol.14, p.71-85.1iZ.

48. Surgailis D. On l and non- l multiple stochastic integrals. In: Lecture Notes Control.Inform.Sciences, 1981, vol.36, p.212-226.

49. Surgailis D. On Poisson multiple stochastic integrals and associated equilibrium Markov processes. In: Lecture Notes Contr. Inform. Sciences, 1983, vol. 4-9, p.233.248.

50. Taqqu M.S. Weak convergence to fractional Brownian motion and to the Rosenblatt process. Z.Wahr.verw.Geb., 1975, vol. 31, p.287-302.

51. Taqqu M.S. Convergence of iterated processes of arbitrary Her mite rank. Z.Wahr.verw.Geb., 1979, vol.50, p. 53-33.

52. Withers C.S. Central limit theorems for dependent variables. I. Z.Wahr.vervv.Geb., 1981, vol.57, p.509-535.