Большие уклонения и предельные теоремы для некоторых функционалов от случайного блуждания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова

Большие уклонения и предельные теоремы

для некоторых функционалов от случайного блуждания

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Механико-математический факуль'

Шкляев Александр Викторович

2 1 ДПР 2011

Москва 2011

4844182

Работа выполнена на кафедре математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Козлов Михаил Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Ватутин Владимир Алексеевич кандидат физико-математических наук Козлов Андрей Михайлович

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации

им. A.A. Харкевича.

Защита диссертации состоится «29» апреля 2011 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «29» марта 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Сорокин

Актуальность темы

Теория больших уклонений для сумм независимых случайных величин является классической областью теории вероятностей, активно развивающейся и в настоящее время. Одним из наиболее хорошо исследованных направлений теории больших уклонений являются большие уклонения функционалов от случайных блужданий, являющиеся базовыми для исследования вероятностей больших уклонений целого ряда процессов: ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона в случайной среде1,2, асимптотически однородных марковских цепей3, процессов восстановления5. Результаты теории больших уклонений для случайных блужданий применяются в финансовой математик^, статистической физике7.

Фундаментальными работами в этой области стали труды Бахадура, Ранга Рао8, Петрова9, в которых была исследована асимптотика вероятности P(Sn > вп) для случайного блуждания с шагами, чье распределение имеет экспоненциально малые хвосты. Полученные результаты стали основой для получения предельных теорем и асимптотик вероятностей больших уклонений ряда важных статистик, связанных с траекторией блуждания. Продолжением результатов для случайного блуждания стали работы Эрдеша-Реньи10, Шеппа11, открывшие проблематику больших уклонений статистик "типа скользящего среднего". Связанные с этой проблематикой задачи возникают в биологии при исследовании цепочек ДНК12,13,14, в финансовой

1М. В. Козлов. О больших уклонениях строго докритических ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическим распределением числа потомков. Теория вероятностей и ее применения, 2009 54, 3, 439-465

2Boinghoff С., Kersting G. Upper large deviations of branching processes in a random environment—Offspring distributions with geometrically bounded tails. Stochastic Processes and their Applications, 2010, 120, 10, 206-207

5Боровков А.А., Могульский А.А. Большие уклонения для цепей Маркова в положительном юадравте. Успехи математических наук, 2001, 56, 5, 3-116

* Д. А. Коршунов. Одномерные асимптотически однородные цепи Маркова: преобразование Крамера и вероятности больших уклонений. Матем. тр., 2003, 6, 2, 102-143

5 А. А. Боровков, К. А. Боровков. Вероятности больших уклонений для обобщенных процессов восстановления с правильно меняющимися распределениями скачков. Матем. тр., 2005, 8, 2 , 69*136

®Kluppelberg С. and Mikosch Т. Large Deviations of Heavy-Tailed Random Sums with Applications in Insurance and Finance. Journal of Applied Probability, 1997, 34, 2, 293-308

7Ellis S. The theory of large deviations: from Boltzmann's 1877 calculation to equilibrium macrostates in 2D turbulence. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1999.

8Bahadur R.R., Rango Rao R. On deviations of the sample mean. Ann. Math. Statist., I960, 31, 4, 1015-1027. ®Петров B.B. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1965 т. 10, 310-322. l0Erdos P., Renyi A. On a new law of large numbers. Anal. Math., 1970, 23,103-111. uShepp L.A. A limit law concerning moving averages. Ann. Math. Statist., 1964, 36, 424-428.

13Arratia R-, Gordon L., Waterman M. The Erdos-Renyi Law in Distribution, for Coin Tossing and Sequence Matching. The Ann. of Stat, 1990, 18, 2, 539-570 13Arratia R., Waterman M. An Erdos-Renyi law with shifts. Adv. in Math., 1985, 55, 1, 13-23

"Arratia R., Gordon L. Tutorial in Large Deviations for the Binomial Distribution. Bulletin of Mathematical Biology,

математике15, в географии16.

Теория, связанная со статистиками типа статистик Шеппа и Эрдеша-Реньи, развивалась в ряде направлений: получении законов больших чисел и законов повторного логарифма17,18|1Э'20, изучении траекторий блуждания, подчиненного условию уклонения21, нахождении точной асимптотики вероятностей больших уклонений. Последнему вопросу посвящены работа Комлоша и Тушнеди22, работы Новака23, A.M. Козлова и В.И. Питербарга24'25,26, М.В. Козлова27. В русле этой тематики лежит и настоящая диссертация. В рамках диссертации рассматривается задача о больших уклонениях максимума случайного блуждания, решается вопрос исследования асимптотики большого уклонения максимума блуждания с нулевым сносом, что перекликается с результатами работ Боровкова28,29, исследуется условное функциональное поведение уклоняющейся траектории, распределения ряда функционалов от такой траектории. Эти результаты дополняют вышеупомянутые работы Боровкова и являются продолжением работы Петрова. Предложенное решение задачи о больших уклонениях максимума позволяет исследовать вероятности больших уклонений других функционалов и дает ключ к решению задачи о большом уклонении статистики Шеппа, упомянутой выше.

1989, Vol 51, 1,125-131

l5Binswanger К., Embrechts P. Longest Run in Coin Tossing. Insurance: Math. Econom., 1994, 15, 139-149.

leBonin 0. Large deviation theorems for weighted sums applied to a geographical problem. J. Appl. Probab.,2002, 39, 2, 251-260.

17Deheuvels P. On the Erdosh-Renyi theorem for random fields and sequences and its relationships with the theory of runs and spacings. Probability theory and related fields, 1985, 70,1, 90-115.

lsDeheuvels P., Devroye L. Limit laws related to the Erdoa-Renvi theorem. Tech. Report 83-6, L.S.T.A., Universite Paris VI, 1983.

19Csorgo M., Steinbach J. Improved Erdos-Renyi and strong approximation laws for increments of partial sum. Ann. Probab., 1981, 988-996.

30Frolov A. Erdos-Renyi-Shepp type laws in the non-I.I.D. case. Studia Scientiarum Math. Hungarica, 1997, 33,127-151

Боровков А.А. О преобразовании Крамера, больших уклонениях в граничных задачах и условном принципе инвариантности. Сибирский математический журнал, 2000, т. 36, 3, 453-468.

"Komlos J., Tusnady G. On sequence of "pure heads". Ann. Probab., 1975, 3, 4, 608-617.

"Новак С.Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи. Теор. вероятностей и ее приложения, 1997, 42, 274-293.

"Козлов A.M. О больших уклонениях статистики Шеппа для гауссовского блуждания. Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2004, 3, 48-52.

"Козлов A.M. О вероятностях больших уклонений статистики Шеппа. Дискретная математика, 2004, Т.16,1, 140145.

"Козлов A.M., Питербарг В.И. О больших скачках случайного блуждания. Теория вероятностей и ее применения, 2002, 47, 4, 803-814.

"Козлов М.В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: большие уклонения, условное поведение. Теория вероятностей и ее применения, 2001, т. 46, 4, 678-696.

"Боровков А.А., Коршунов Д.А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределения. Теория вероятностей и ее применения,1996, т. 41,1, 3-30,

29Воровков А.А., Коршунов Д.А.' Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 2. Достационарные распределения в экспоненциальном случай. Теория вероятностей и ее применения, 2000, т. 45, 3, 437-468.

В частности, в диссертации удается в явном виде получить константу, фигурирующую в асимптотике, до этого выведенную A.M. Козловым неявно. Стоит отметить, что константы в асимптотике больших уклонений (так называемые константы Пикандса) играют значимую роль в исследовании гауссовских случайных процессов и переходе от процессов с дискретным временем к процессам с непрерывным временем30. Для максимума и статистики Шеппа в работе получены условные функциональные предельные теоремы, позволяющие получить достаточно общие результаты, связанные со сходимостью непрерывных функционалов, определенных на рассматриваемом блуждании, что дополняет работы A.M. Козлова, М.В. Козлова, Комлоша, Тушнеди, Шеппа, A.A. Боровкова.

Цель работы

Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач:

1. Расширить спектр функционалов для которых исследуется асимптотика вероятностей больших уклонений случайного блуждания крамеровского типа.

2. Получить для стационарного и движущегося окон вероятностное описание траекторий, на которых достигаются большие уклонения этих функционалов.

3. Получить функциональное описание траекторий блужданий, подчиненных условию большого уклонения рассматриваемых функционалов.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми. Перечислим наиболее значимые из них:

1. Нахождение асимптотики вероятностей больших уклонений максимума, взлета, падения и размаха крамеровского случайного блуждания, получение при условии большого уклонения максимума условных предельных теорем для ряда функционалов, условных функциональных предельных теорем для всей траектории.

2. Получение константы, фигурирующей в асимптотике вероятностей больших уклонений статистики Шеппа в явном виде.

3. Получение условных функциональных предельных теорем для участков блуждания, связанных с моментом первого уклонения статистики Шеппа.

30Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. Издательство Московского Университета, 19S8.

Методы исследования

Базовую часть работы составляют прямые вероятностные рассуждения, использующие классические теоремы Петрова и Бахадура, связанные с большими уклонениями и метод Крамера преобразования мер. При функциональном анализе случайных процессов, соответствующих блужданию, используется подход Прохорова, связанный исследованием плотности семейства вероятностных мер. Существенную часть работы составляет прямой вероятностный анализ траекторий, демонстрирующий вероятностное содержание полученных результатов.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистике, могут иметь приложения в биологических задачах.

Апробация результатов работы

Результаты работы докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (руководитель член-корреспондент РАН А.Н. Ширяев, 2010 г.), на семинаре по теории кодирования Института проблем передачи информации им. A.A. Харкевича (руководитель д.ф.-м.н. Л.А. Бассалыго, 2010 г.), на семинаре отдела дискретной математики математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук (руководители член-корреспондент РАН Б.А. Севастьянов, д.ф.-м.н. A.M. Зубков, д.ф.-м.н. В.А. Ватутин, д.ф.-м.н. В.П. Чистяков, 2010 г.), на кафедральном семинаре кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (руководитель д.ф.-м.н. A.M. Зубков, 2009, 2010 г.), на семинаре по случайным процессам механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (руководители д.ф.-м.н. В.И. Оселедец, д.ф.-м.н. Б.М. Гуревич, д.ф.-м.н. С.А. Пирогов, 2010 г.), на семинаре „Вероятность и процессы" механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (руководитель к.ф.-м.н. М.В. Козлов, 2009 г.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора (все 3 в журналах

из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, насчитывающего 26 наименований. Общий объем диссертации составляет 101 страницу.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, разбитые на параграфы, которые делятся на подпараграфы. Нумерация теорем двойная — первая цифра указывает номер главы, вторая — номер теоремы внутри главы. Нумерация формул аналогична. Нумерация вспомогательных утверждений (лемм) едина для всей работы. Введение.

Во введении рассказывается о развитии тематики больших уклонений, описывается структура имеющихся по тематике диссертации результатов и место, которое в них займёт данная работа, приводится общая характеристика результатов диссертации, а также вводятся основные обозначения. Глава 1. Большие уклонения максимума. Будем рассматривать случайное блуждание

п

= 2 1=1

где Х{ - невырожденные независимые одинаково распределенные (н.о.р) случайные величины (сл.в.) с функцией распределения Р(х), удовлетворяющие свойствам:

ЕХ = 0, Я(Л) = Еенх < оо, 0 < /г <

где X здесь и далее - общее обозначение для величины с распределением Р(х). Эти условия будут считаться выполненными везде далее, за исключением тех случаев, когда это специально будет оговорено. Все приведенные результаты переносятся на случай ЕХ > 0, случай ЕХ < 0 принципиально отличается

и достаточно полно рассмотрен в работе Д.А. Коршунова31. Изложение в диссертации ведется для нерешетчатых величин для упрощения рассуждений.

Введем ряд параметров, используемых в теории больших уклонений: m(h) = d(lnR(h))/dh, т+ = lim m(7i), a2{h) = dm(h)/dh.

Единственное решение уравнения m(h) = в при в € (0, т+) будем обозначать h$. Положим

А(в) = 9he-In R(h9).

Для любого в Е (0, т+) введем сопряженную к F(x) = Р(Х < х) функцию распределения (ф.р.)

Fe{х) = Rihe)-1 J eh°4F{y).

-ОО

Обозначим через Xs случайную величину с ф.р. F9, Х(, ... - последовательность н.о.р. сл. в. с ф.р. Fe, = £ Xf. Для величин, связанных с блужданием S®, будут использоваться такие же обозначения, что и для блуждания S„, с добавлением верхнего индекса в.

Асимптотика P{Sn > вп + и), 0 < в < т+, и — 0{s/v) при п оо была изучена в работе Петрова9. В первой главе работы рассматриваются задачи, связанные с асимптотикой вероятностей Р(М„ > вп + и), где Мп = maxi<nSi. Теорема 1.2 является продолжением теоремы Петрова на случай Мп > вп: Теорема 1.2. При п -> оо соотношение

Р(Мп >вп + Су/^ + и) = { 1 + 0{i))e'c,^^D{e)C{e)e-^n-c^-h'un-1'2,

выполнено равномерно по С € [С\,Сг\ С (-оо, оо), |и„| < 7„ = о(\/п), в € [Ма] 6 (0,т+), где С(в) = D{6) = P(S? > 0.« > 0) Дрф < 0,0 <

j<i)R{h9)-\

3lKorshunov D.A. One-dimensional asymptotically homogeneous Markov chains: Cramer transform and large deviations probabilities. Siberian Advances in Mathematics, 2004, v. 14, № 4, 30-70.

Стоит заметить, что теорема 1.2 схожа с теоремой, доказанной в работе А.А. Боровкова28, и, вероятно, может быть получена с помощью рассуждений, схожих с рассуждениями Боровкова, но доказательства теоремы 1.2 и вспомогательной для нее теоремы 1.1 являются фундаментальными для построения последующей теории.

Идея доказательства теоремы 1.2 состоит в преобразовании траекторий случайного блуждания, совершающего большое уклонение, к форме, позволяющей использовать классическую теорему Петрова о больших уклонениях. В доказательстве используются прямые вероятностные рассуждения, связанные с явным выделением множества траекторий случайного блуждания, имеющих основную вероятностную массу для рассматриваемой вероятности, упомянутая выше теорема Петрова и тождества Спарре-Андерсона32,33. Особенность используемых методов — явная интерпретация аналитических действий на уровне траекторий, что позволяет понять происхождение константы Б (в) и общую структуру блуждания, чей максимум совершает большое уклонение. В связи с этим удается получить ряд предельных теорем 1.3-1.8 для величин, связанных с блужданием, чей максимум совершает большое уклонение.

Теорема 1.3 описывает поведение величин, принадлежащих "левому краю" блуждания, чей максимум совершает большое уклонение: Теорема 1.3. Для любых Д* : Р(Х € <ЭД;) = 0 Уг, следующее соотношение

Р(Х1 6 Дь..., Хк Е Д*|Мп > вп) = (1 + о(1)) П Р(Х9 € Д,-)

1=1

выполнено равномерно по в € [^,62] С (0,т+),

Таким образом, величины "на левом краю" при условии большого уклонения максимума асимптотически распределены также как величины сопряженного блуждания. Теорема 1.5 указывает на аналогичное поведение величин "из центра" блуждания. Та же картина наблюдается в классическом случае 5„ > вп. Разница между случаями 5П > вп, Мп > вп видна в распределении величин из "правого края". В случае больших уклонений максимума предельное распределение величин Хп^, I < к существенно отличается от предыдущих:

33Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. 1964.

33Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2. 1964.

Теорема 1.4. Для любых Д1: Р(Х € ЗД,) = 0, Уг следующее соотношение Р(Хп € Дг,.... 6 Д*|М„ > Л») = (1 + о(1))д(Д1>..., Д*),

выполнено равномерно по 0 е [01,02] С (0,т+), где <Э(А1?..., Д*) - мера, для которой в работе дано явное, пускай и несколько громоздкое выражение. Теоремы 1.3-1.5 служат аналогами теоремы Бахадура?2, однако, как мы видим, распределение величин "правого края" оказывается значительно более сложным, чем в случае, изучаемом Бахадуром.

Естественным образом возникает задача о распределении Мп — 5П при условии Мп > вп, связывающая большие уклонения максимума с классическими большими уклонениями 5П > вп. Ответ на этот вопрос дает теорема 1.6:

Теорема 1.6. Для любого интервала и с концами, не являющимися атомами распределения б при п -» оо соотношение

Р(Мп -Бпе и\мп > вп) ^(1 + о{1))С(и),

выполнено равномерно по в € [01,0г] € (0,т+),>

где в{и) = £ < 0,г < г,5г € -[/)Д(М~7 Е < О]» < ОВД-'-

1—0 I 1—0 .

Следующие теоремы 1.7 и 1.8 подводят черту под теоремами 1.3-1.6, получая совместное предельное распределение всех рассмотренных рацее величин цри условиях Мп > вп, Мп > вп + и, и = 0(у/п). Полные формулировки теорем можно найти в диссертации.

Теоремы 1.3-1.8 не только естественно возникают при рассмотрении задачи о большом уклонении максимума, но и являются важными пунктами доказательств теорем в главах 2 и 3.

В заключении главы 1 доказываются условные функциональные предельные теоремы для блуждания, чей максимум совершает большое уклонение. Обозначим через тп момент первого достижения блужданием уровня Мп на отрезке [0, п], положим

Х^и) = + (п* ~ И)*М+1 ~ Ш

Эти процессы, рассматриваемые при 0 < t < 1, являются аналогами случайного процесса с п.н. непрерывными траекториями, конструируемого из случайного блуждания в классическом принципе инвариантности Донскера-Прохорова?4. Однако, в силу того, что в нашем случае блуждание рассматривается при условии большого уклонения максимума, в определении X^(t) возникает сдвиг Ont и параметр масштаба <r(h$)\/ñ. Процесс представляет себе

аналог Х^ (í), построенный только по участку (0, тп) блуждания. Обозначим через Q^ распределения вероятностей случайных элементов У(п'(<), X(n)(t) в пространстве С[0,1] непрерывных на отрезке [0,1] функций при условии большого уклонения Мп> вп- и, где и = о(а/п), а через Qwо -распределение вероятностей броуновского моста. Теорема 1.9. Q(n' Qw°, n -4 оо. Теорема 1.10. Q(n) => Qwa: п оо.

Теоремы 1.9 и 1.10 родственны теоремам работ A.A. Боровкова21, О.М.Полещук35 для классического большого уклонения. Методы доказательства теорем 1.9 и 1.10 базируются на теореме Ю.В. Прохорова, устанавливающей связь между слабой относительной компактностью и плотностью семейства мер, и используют упомянутые результаты.

Условные функциональные теоремы дают широкие возможности для получения предельных распределений функционалов с множеством точек разрыва, имеющим винеровскую меру 0, определенных на множестве траекторий Sn, при условии того, что максимум этих траекторий совершил большое уклонение. Теоремы 1.9,1.10 позволяют свести задачу исследования предельных распределений таких функционалов к задаче о распределении функционалов от броуновского моста, хорошо изученной в ряде работ36,37.

Особенностью первой главы является прозрачность получаемых результатов и удобство используемых методов для получения новых результатов. В частности, за счет результатов первой главы значительно упрощается получение аналогичных результатов для вероятностей больших уклонений статистик "взлета" и "размаха", рассматриваемых в третьей главе.

"Billmgsley Р., Convergence of probabilty measures. John Wiley, New York - London, 1968.

85Полещу1: О.M. Условная предельная теорема для случайного блуждания. Сборник Теория зероягностей, теория случайных процессов и функциональный анализ. Издательство МГУ, 1935, 53-55

38Клячко A.A., Ю.В. Солодянников. Вычисление характеристических функций некоторых функционалов от винеровского процесса и броуновского моста. Теория вероятностей и её применения, 1986, 31, 3, 569-573.

37Вerzin-Joseph С., Leon J., Ortega J. Non-linear functionals of the Brownian Bridge and some applications. Stochastic Processes and their Applications, 2001» 92,1, 11-30.

Глава 2. Большие уклонения статистики Шеппа

Для рассматриваемого в главе 1 случайного блуждания введем статистику Шеппа

Рп,т ••= гаахМ„,ь

к<т

где Мп к = max Si к (Si.t = SM - Sk, Mn,k = Mn), и величину тп(в)miu{m :

1<П

М„,т > 9п}. Иначе говоря, статистика Шеппа представляет собой максимальное приращение внутри "окна" ширины п, движущегося внутри интервала (0, т+п). Задача о больших уклонениях статистики рп,т в различных вариантах рассматривалась рядом математиков, однако, по-видимому, точную вероятность большого уклонения удалось вычислить лишь в 2002 году в работе A.M. Козлова25. Специфика использованного им подхода не позволяла получить константу, фигурирующую в вероятности больших уклонений, в явном виде, а также, по-видимому, не давала возможности получения условных функциональных предельных теорем для блуждания, чья статистика Шеппа совершает большое уклонение. Во второй главе настоящей диссертации эти пробелы в исследовании статистики Шеппа заполняются. В духе первой главы подход к рассматриваемым задачам базируется на прямых вероятностных рассуждениях.

Следующая теорема связывает вероятность большого уклонения статистики Шеппа с вероятностью большого уклонения максимума: Теорема 2.2. При m,n оо, тп = о(ех^пу/п) равномерно по в е С

(0, m+), |u| < 7n = o(Vn) выполняется соотношение:

Р{рп,т >вп-и)= mb{e)ehiUe-K^nn-ll2{ 1 + о(1)), D{6) := p{e)D(9)C{d),

где р(в) - явно посчитанная в диссертации вероятность. Несмотря на несколько громоздкий вид, эта величина может быть посчитана численно с нужной степенью приближения, что весьма важно для практических приложений.

Теорема 2.2 является аналогом теоремы, полученной в работе Комлоша и Тушнеди22, а также родственна теоремам, полученным М.В. Козловым27 и A.M. Козловым25. Используемый метод работы с большими уклонениями статистики Шеппа родственен подходу работ Комлоша, Тушнеди и М.В. Козлова: задача о максимальном приращении внутри окна (статистика Шеппа) сводится к задаче о большом уклонении М„. Однако, вследствие более сложного

поведения правого участка блуждания, чей максимум совершает уклонения (теорема 1.4), теорема 2.2 доказывается значительно сложнее и вычисление константы р(в) в явном виде требует дополнительной работы.

Теорема 2.2 описывает асимптотическое поведение вероятности P(pnj,n > вп) в зоне т = о(л/пеЛ^"). Следующий результат расширяет рассматриваемую область до т = 0(у/пеА^п):

Теорема 2.6. При любом х & R равномерно по в € 9-¡\ С (0, тп+) выполнено следующее соотношение:

Р(Рп,т - вп < х) exp(e-AÚWh°x),

где те~^пп~112 равномерно по в е [в\,в?\ сходится к А. Для случайного момента т„(0) справедлива следующая предельная теорема: Теорема 2.5. При х > 0, п оо равномерно по 9 е [01,02] С (0,т+) выполнено следующее соотношение:

Р(С{в)тп{в)е-к^пп^ >*)-*• е~х.

Теорема 2.5 описывает распределение времени ожидания до первого уклонения статистики Шенпа. Как и в случае статистики Эрдаша-Реньи, оно имеет экспоненциальный порядок по п и после нормировки сходится к экспоненциальному распределению. Теорема 2.6 описывает соотношения на п, га, необходимые для того, чтобы уклонение статистики Шеппа на величину вп перестало быть событием малой вероятности. Величина р„|П1 — вп при этом имеет двойное экспоненциальное распределение, что аналогично имеющемуся в работе Комлоша и Тушнеди22 результату для статистики Эрдаша-Реньи.

Завершают главу 2 условные предельные функциональные теоремы. Рассмотрим

у(п)м _ g[nt],m + {nt - [wt])X[nt]+i+m - 6nt Am [t> ~

xm{t) = ¿m + M-WW приусловии^:= EX2<00i

£Ti/m

представляющие собой случайные процессы, соответствующие блужданию на отрезке [m,m+n] и [0,т], соответственно. Заметим, что процессы нормируются неодинаково. Это связано с тем, что дальнейшие рассуждения будут вестись относительно условных мер при условии m = тп(9), следовательно, процессы

X${t) и Xm(t) описывают участки в момент уклонения и до уклонения. Соответственно, для первого из них предельным процессом будет служить, как и в теореме 1.10 броуновский мост, а для второго, как и в принципе инвариантности Донскера-Прохорова, броуновское движение. Более точно, введем условные распределения вероятностей и случайных элементов X$(t) и Xm(t) в пространстве С[0,1] непрерывных функций с вир-нормой при условии тп(9) = тп. Обозначим через Qw распределение вероятностей броуновского движения. Тогда справедливы следующие утверждения: Теорема 2.7. =Ф Qwо, тп, п -> оо. Теорема 2.8. При ст2 < оо Qfe' Qw, m,n ->• оо, m < п.

Теоремы 2.7 и 2.8 являются аналогами условных функциональных предельных теорем работы М.В. Козлова27. Метод их доказательства близок к методам, использованным при доказательстве теоремы 2.2 — задача о движущемся окне сводится к задаче о неподвижном, решенной в прошлой главе.

Как и условные функциональные предельные теоремы главы 1, условные функциональные предельные теоремы 2.7 и 2.8 позволяют получить широкий спектр предельных соотношений на поведение функционалов, чьи точки разрыва имеют винеровскую меру 0, применнных к соответствующим теоремам 2.7, 2.8 участкам блуждания

Методы главы 2, как и методы главы 1, вероятностно прозрачны, и доказательства каждого из результатов 2.1-2.8 позволяют увидеть специфику рассматриваемой задачи.

Глава 3. Статистика размаха и многомерная статистика Шеппа.

Рассмотрим для случайного блуждания из глав 1,2 статистику "взлета" Rn — maxi<nSi — mm¡<XnS¡. Зададимся вопросом об её больших уклонениях. Оказывается, что вероятность большого уклонения для неё тесно связана с вероятностью большого уклонения максимума: Теорема 3.1. При п оо соотношение

P(Rn > вп + Cy/ñ+u) = (1 + o(l))e-cS/^2(('»D2(0)C(6)e-AWn-c^-''íün-1/2,

выполнено равномерно по С £ [Ci, СУ С (—оо, оо), |и| < Ъ = o(-\/ñ). 6 € [0i, 62] € (0,m+), где D(6) — величина, описанная в теореме 1.2

Таким образом, множитель в асимптотике вероятности> вп+С^/п+и),

аналогичный D(9) для Р(Мп >9п + Cy/ñ+u), является квадратом D{6).

Логичным продолжением изучения задачи о статистике взлета являются теоремы 3.2 и 3.3, аналогичные теоремам 1.8, 1.10. Теорема 3.2 получается достаточно общей и потому громоздкой, поэтому ее формулировка в автореферате будет опущена.

Положим, как и прежде Jf<n>(i) = в е (0,ш+), t е [0,1],

yW(í) = í € [0,1], где т™" - момент первого минимума

перед первым максимумом.

Обозначим через Q^ распределения вероятностей случайных элементов X^n\t) в пространстве С[0,1] при условии большого уклонения iîj, > вп — и. Как и прежде будем считать, что и = o(^/ñ). Теорема 3.3. 1) Q(n) QWo, п оо. 2) QWq, п -> оо.

Если потребовать от блуждания выполнения левостороннего условий Крамера EehX < оо, h < h < 0, отсюда получаются аналогичные 3.1, 3.2, 3.3 утверждения, связанные со статистикой падения Д, = max¿<rM5¡ — mm¿<riSi, где т^ — момент первого максимума случайного блуждания перед первым минимумом на отрезке [0,п].

Удается сформулировать теорему об асимптотике вероятностей больших уклонений и для статистики размаха Тп — maXi<nSi — mint<nSi: Теорема 3.4. Пусть X удовлетворяет левостороннему и правостороннему условиям Крамера. Тогда соотношение

Р{Тп >вп + и) = (P{Dn >вп + и) + P(Rn >6п + щ))(1 + о(1))

выполнено равномерно по |и| < 7„ = o(>/ñ), в 6 [^ь^г] € (О, min(m~,m+)).

Доказательства теорем 3.1-3.4 значительно упрощаются за счет полученных в первой главе оценок и по трудоемкости значительно уступают теоремам первой главы.

Вторая часть третьей главы посвящена многомерной задаче о статистике Шеппа, аналогичной рассматриваемой, например, Девельсом18.

Рассмотрим Xiu..„ik — н.о.р. сл.в., удовлетворяющие условиям (А), (В). Тогда

положим

,.,kd - ; <n [Zh<h<h+n.....ki-^ji-^kt-i+nfaKùiki+u-l +

max

ki<mi,...,ki<mi

Величина ^ является (1-мерным аналогом статистики Шеппа. Для нее

удается найти асимптотику вероятности большого уклонения > впй:

Теорема 3.5. При п -¥ оо, тгц оо, % < к : тг—тп^ = соотношение

выполнено равномерно по С € [Ci, С2] С (—оо, оо), 0 £ $2] € (0, т+)).

Эта теорема является аналогом теорем, полученных Девельсом18. Однако, следует заметить, что при рассмотрении многомерной задачи теряется специфика движущегося окна, присутствовавшая в одномерной. Фактически, в многомерной задаче отсутствует сцепление окон — вероятность большого уклонения на одном из окон асимптотически равна сумме вероятностей уклонения на каждом. За счет этого зависимость между уклонениями на разных окнах мала и фактически задача сводится к mi...rrik независимым испытаниям Бернулли. Таким образом, многомерная постановка задачи оказывается менее сложной и гораздо менее содержательной, нежели одномерный случай.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Михаилу Васильевичу Козлову за постановку задач, обсуждения результатов и ценные замечания.

WL..,m*n ^ вп") = С1 + о(1))С(0)е-АЮп''тхтг...ткп

-d/2

Работы автора по теме диссертации

1. Шкляев A.B. Предельные теоремы для случайного блуждания при условии большого уклонения максимума. Теория вероятностей и ее применения, 2010, 55, 3, 590-598.

2. Шкляев A.B. Большие уклонения статистики Шеппа. Теория вероятностей и ее применения. Теория вероятностей и ее применения, 2010, 55, 4, 796-803.

3. Шкляев A.B. Большие уклонения статистик взлета, падения и размаха. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010,18, 1, 594-596.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (00 экз. Заказ № ИЪ

1 Большие уклонения максимума

1.1 Задача о больших уклонениях максимума

1.1.1 Основные результаты

1.1.2 Доказательство теоремы 1.1 о точной асимптотике вероятностей больших уклонения максимума.

1.1.3 Доказательство теоремы 1.2. об асимптотике вероятностей больших уклонений максимума на величину вп + 0(д/п)

1.2 Распределения некоторых функционалов от блуждания, чей максимум совершает большое уклонение.

1.2.1 Основные результаты

1.2.2 Доказательство теоремы 1.3 об условном предельном распределении величин, принадлежащих левому краю блуждания, чей максимум совершает большое уклонение

1.2.3 Доказательство теоремы 1.4 об условном предельном распределении величин из правого края блуждания, чей максимум совершает большое уклонение.

1.2.4 Доказательство теоремы 1.5 об условном предельном распределении величин из центра блуждания, чей максимум совершает большое уклонение.

1.2.5 Доказательство теоремы 1.6 о предельном распределении величины Мп — Бп для случайного блуждания, чей максимум совершает большое уклонение.

1.2.6 Доказательство теоремы 1.7 о совместном предельном распределении ряда функционалов на случайном блуждании, чей максимум совершает большое уклонение

1.2.7 Доказательство теоремы 1.8 о совместном предельном распределении ряда функционалов на случайном блуждании, чей максимум совершает большое уклонение на величину Оп + О(\/п)

1.3 Функциональные предельные теоремы для случайного блуждания при условии совершения его максимумом большого уклонения

1.3.1 Основные результаты

1.3.2 Доказательство условной функциональной предельной теоремы 1.9 о сходимости процесса У^ к броуновскому мосту

1.3.3 Доказательство условной функциональной предельной теоремы 1.10 о сходимости процесса X^ к броуновскому мосту.

1.3.4 Доказательство теоремы 1.11 о совместном распределении траектории блуждания до и после момента достижения максимума

2 Большие уклонения статистики Шеппа

2.1 Задача о больших уклонениях статистики Шеппа.

2.1.1 Основные результаты

2.1.2 Доказательство теоремы 2.1 об условном распределении первого большого уклонения статистики Шеппа.

2.1.3 Доказательство теоремы 2.2 об асимтотике вероятностей больших уклонений для статистики Шеппа.

2.1.4 Доказательство теорем 2.3, 2.4 об условных и безусловных больших уклонениях статистики Шеппа на величину Оп + 0(у/п).

2.2 Предельные распределения статистики Шеппа и связанных с ней величин.

2.2.1 Основные результаты

2.2.2 Доказательства предельных теорем 2.5, 2.6. для статистики Шеппа и статистики тп{9).

2.3 Функциональные предельные теоремы для участков блуждания при условии большого уклонения статистики Шеппа.

2.3.1 Основные результаты

2.3.2 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 2.7 о сходимости процесса к броуновскому мосту

2.3.3 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 2.8 о сходимости процесса к броуновскому движению. з Статистика размаха и многомерная статистика

Шеппа

3.1 Большие уклонения статистики размаха.

3.1.1 Основные результаты

3.1.2 Доказательство теоремы 3.1 о больших уклонениях статистики взлета.

3.1.3 Доказательство теоремы 3.2 о совместном условном предельном распределении ряда функционалов от случайного блуждания при условии совершения его статистикой взлета большого уклонения.

3.1.4 Доказательство условной предельной функциональной теоремы 3.3 о сходимости процессов У^ при условии совершения статистикой взлета большого уклонения к броуновскому мосту.

3.1.5 Доказательство теоремы 3.4 об асимптотике больших уклонений статистики размаха.

3.2 Большие уклонения многомерной статистики Шеппа.

3.2.1 Основные результаты

3.2.2 Доказательство теоремы 3.5 об асимптотике больших уклонений многомерной статистики Шеппа.

4 Литература

Основные обозначения.

Рассмотрим Xi, г < п - невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р. сл.в.) с функцией распределения

Т1 ф.р) F{x), Sn — £ Xi. Будем использовать обозначение X для величины, г=1 распределенной также как любая из величин Х{. Положим

R(h) = EehX, h+ = sup{h : R(h) < oo}, h~ = —inf{h : R(h) < oo}. Потребуем EX = 0. Введем m(h) = d(\nR(h))/dh, m+ = lim m(h), m~ = 0 lim rn(h), h->h+-0 v ' h-+h~ +0 4 n cr2(h) = dm(h)/dh > 0.

Если X не равно 0 п.н., то функция m{h) монотонно возрастает от — га-до т+ на (~h~, h+), следовательно, у уравнения m{h) = в существует единственное решение при любом 9 £ (—т~,т+). Будем обозначать его Hq. Для удобства, при положительных в положим hß = h-e Положим

А(в) = dhe - InR(he), А'(в) = -ВЦ - In Д(^) Положим р[ := P{S\ < 0, .,5/ < 0).

Для любого 9 Е (—т~,т+) введем сопряженную к F(x) = Р(Х < х) функцию распределения (ф.р.)

F\x) = R(he)1 I eheydF{y). oo

Обозначим через сл:.в. с^ф.р. Xf,X2,. - последовательность н.о.р. сл.в. с ф.р. и положим Sп — Y, Xf. Для величин, связанных с блужданием г=1

5®, будут использоваться такие же обозначения, что и для блуждания 5„, с добавлением верхнего индекса 9.

Будем обозначать

Мп = maxSfc, тп = min к<п к<п

Тп = 'Тп min{fc : Sk = Мп], т™ = maxjfc < п : Sk = mn}, Rn = Мп- min Sk, Dn = max Sk - mn, Tn = Mn- mn.

Введем к<тМ к<т%

Зп,к — к ~ и под величинами МП:ГП, тп,т, тщгп будем понимать величины Мп, тп, тп, примененные к блужданию §к = З^т? к < п. Введем лестничные моменты и высоты для блуждания гпгп{к > 0 : 5й>т > Н\,т,у = ^.„т, где V - положительный параметр, и положим Ащтп := Ап,т{и) = Мп^т-6п-\-и, $п,т — — 5П,ТО. В случае, когда параметры т, V равны 0, мы будем употреблять обозначения Ь^Щ.

Также, для сокращения записи, мы будем употреблять запись Р{Х € йу), где у - вещественное число, подразумевая под этим Рх(<Лу). Под равенством такого рода выражений мы будем понимать равенство соответствующих мер.

Основные результаты

Объектом изучения данной работы является случайное блуждание п — 1 где Хг - н.о.р сл.в. с ф.р. Р, чей максимум Мп = тах^<п вь совершает большие уклонения Мп > 9п, 9 <Е (0, ш+), где т+ - положительная константа.

Предположим, что величины Хг невырождены, имеют математическое ожидание равное 0 и удовлетворяют правостороннему условию Крамера: ЕекХ1 = I еНх(1Р(х) < оо, д для всех 0 < /г < Н+ < схэ.

В первой главе нас будет интересовать поведение

Р(тах5^ > вп), к<п при п —^ оо в области 0 < 9 < т+. Эта вероятность есть о(1) при п —> оо в силу принципа инвариантности Донскера-Прохорова, однако, нас будут интересовать более точные оценки.

Для этой вероятности в первой главе работы найдена точная асимптотика, для случайного блуждания, подчиненного условию Мп > 9п, исследовано асимптотическое распределение некоторых функционалов и получены функциональные предельные теоремы.

Стоит отметить, что условие нулевого математического ожидания может быть заменено на его неотрицательность, при этом все описанные результаты остаются в силе. В случае отрицательного среднего поведение вероятности Р(Мп > 9п) качественным образом меняется (см. (КогзЬипоу, 2003)). Правостороннее условие Крамера, обеспечивающее экспоненциальную скорость убывания 1 — Р(х) при х оо, является принципиальным для методов, используемых в работе.

Теория больших уклонений ведет отсчет от работ Бахадура и Ранга Pao (Bahadur, Rao, 1960), Петрова (Петров, 1965), где были получены, соответственно, "грубая" и "точная" асимпотики

In P(Sn > On)/п -Л(0), п —^ оо

P(Sn > вп) ~ СОТп-^е"^", п оо, причем функции Л(0), С {в) были найдены явно. В работе (Bahadur, Rao, I960) описаны распределения функционалов, связанных с блужданием, при условии совершения Sn большого уклонения, в том числе распределение отдельных величин Х{ при этом условии. Удается изучить и всю траекторию в целом - в работах (Боровков, 2000), (Полещук, 1989) при разных условиях получены функциональные предельные теоремы о слабой сходимости процесса

X{n\t) = (S[nt] + X[nt+1](nt - [nt]) - 9nt)/(y/ña{ho)), t E [0,1], при условии Sn > вп к процессу броуновского моста в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1].

Большие уклонения Мп описаны менее полно, хотя показано, что асимптотика вероятностей больших уклонений для нее получается такой же с точностью до мультипликативной константы. В работе (Боровков, Коршунов, 2000) получено явное выражение для этой константы в более общем случае, когда вместо случайного блуждания рассматривается асимптотически N-однородная марковская цепь.

Первая глава данной диссертации дополняет описанные выше работы.

В теореме 1.1 выводится асимптотика

Р(Мп > вп) ~ £>(0)е-л(б)7л/п, п —У оо.

Результат теоремы 1.1 близок к результатам, полученным в (Боровков, Коршунов, 2000), однако подход диссертации, заключающийся в прямом вероятностном анализе траекторий, существенно отличается от методов, используемых Боровковым и Коршуновым. Доказательство теоремы 1.1 является базовым для получения последующих результатов работы. Теорема 1.2 обобщает результат теоремы 1.1, в ней приведен явный вид асимптотики Р(Мп > вп-\- сл/п — и), где с - вещественная константа:

Р{Мп >9п + cyfa -и)~ D{9)e~<?l^he))-hec^ieheue

Теоремы 1.3, 1.4, 1.5 описывают предельные распределения отдельных участков блуждания Sn при условии Мп > вп. Теорема 1.3 показывает, что "левый край" Хг-, г < к = O(l) блуждания при условии большого уклонения асимптотически распределен как н.о.р. величины Xf с так называемым "сопряженным" распределением F9(x), имеющим математическое ожидание 9:

Р(Хг G Дь Хк G Ак\Мп > вп) = П Р(Хв G Дг)( 1 + о( 1)), г=1 п —> сю. Теорема 1.5 показывает, что величины где 1 < г < к различные вещественные числа из промежутка (0,1), распределены по тому же закону:

P{X[nti] е Дь .,X[ntk] g Afc|Мп >9n)=f[ Р(Х9 Е Дг-)(1 + о(1)), г=1 п —> оо. Замечание 1.3, приводимое после теоремы 1.5 указывает, что в действительности вместо [nil],., [ntk] можно рассматривать любую последовательность целочисленных моментов такую, что п — тах(г7-„)) —со j<n

Теорема 1.4 демонстрирует специфическое для максимума отличие в распределении Xn~i, i < к = 0(1):

Р(Хп G Дь . A-fe+i G Дй|Мп > вп — и) оо

-оо-, п —> оо.

P(S!>0,l<j<oo) £ Р(5,<0Д<^<0Д(Л«)-' 1=0

В случае Sn > вп такие особенности величин из "правого края" отсутствуют. Теорема 1.6 описывает предельное распределение величины Мп — Sn : оо

Р{Мп - Sn б U\Mn >dn-u)=Yl P{Si < о,Sk < О,ske U)R{he)~k к=0 оо

Е P{Si < 0,.,Sk < 0)R(h9)-k)-\ к=О

Теорема 1.7 подытоживает теоремы 1.3-1.6, описывая совместное распределение функционалов, рассматриваемых выше.

Во всех теоремах 1.1-1.7 доказана равномерность сходимости по в Е [0ъ02] С (0,ш+), в теоремах 1.2, 1.8 - равномерность по |с| < С < оо.

В заключительной третьей части первой главы, описывается условное функциональное поведение траекторий блуждания Sn, подчиненных условию Мп > вп. Рассмотрим процессы XV>(tTn/n), где тп := min{fc : Sk = Mn}, X^n\t) - процесс, описанный выше. Теорема 1.9 утверждает, что процесс Y^{t) при условии Мп > вп сходится к броуновскому мосту в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1], теорема 1.10 утверждает, что для процесса X^n\t) справедлив тот же результат, теорема 1.11 описывает совместное асимптотическое распределение процесса Уи марковской цепи Zk = STn+k — Мп при условии Мп > вп.

Таким образом, первая глава настоящей работы продолжает серию работ о больших уклонениях и больших уклонениях максимума, заполняя ряд имеющихся там пробелов.

Теоремы о больших уклонений для случайных блужданий позволили изучить большие уклонения ряда функционалов от них: статистик Эрдеша-Реньи Тп тп = max(Sjfc+n - Sk) и Шеппа Wn,m = max max(Sk+i - Sk). Cere, k<m k<m i<n

Штейнбах (Csorgo, Steinbach, 1960), Эрдеш, Рсньи (Erdos, Renyi, 1970) и Шепп (Shepp, 1964) рассматривали предельное поведение статистик ТП)7П, Wnjm при различном соотношении на п,т оо. В работе (Erdos, Renyi, 1970) при условии EXi = 1 доказано, что

Р(^ТпШ1пп]/[с(в)Ып^ = в) = 1, в работе (Csorgo, Steinbach, 1960) - что

Р( Ит (ТпШ1пп]/[с(в) Inn]1/2 - в[с(в) Inn]1/2) = 0) = 1, в работе (Deheuvelse, Devroy, 1983) что

Р(limsup((Tn [с(0)inn] - 0[c(ö)lnn])/lnlnn) = 1/Щ) = 1, n—» 00

P(limmf((Tn5[c(ö)lnn] - 0[c(0)lnn])/lnlnn) = -1 /Щ) = 1.

Продолжением темы являются, в частности, работы (Козлов М.В., 2001), (Козлов A.M., Питербарг, 2002), (Козлов A.M., 2004 (2)), а также очень важная работа (Komlos, Tusnady, 1975). В частности получены асимптотика

Р{Тт,п > вп) = тС{в)е~^п/^ где те~А^п/^/п — о(1), m, п —> оо, и аналогичная асимптотика для больших уклонений статистики Шеппа. Для статистики Эрдеша-Реньи удается отыскать константу С(в) в явном виде (см. (Козлов М.В., 2001), (Komlos, Tusnady, 1975)). Метод "двойных сумм", используемый в работах (Козлов A.M., 2004 (1)), (Козлов A.M., 2004 (2)), не позволяет получить соответствующую константу для статистики Шеппа.

В работе (Козлов М.В., 2001) получены функциональные предельные теоремы о сходимости к броуновскому мосту и броуновскому движению отдельных участков блуждания, в работах (Komlos, Tusnady, 1970), (Козлов A.M., 2004 (2)) - предельные теоремы для статистик ТП)Ш, Wn^m и некоторых связанных с ними статистик. Некоторые интересные результаты также имеются в работе (Козлов A.M., 2004) и связаны со случаем гауссовских и субгауссовских величин Xjt.

Настоящая работа продолжает исследования описанной области. Во второй главе получен явный, хотя и достаточно громоздкий, вид мультипликативной константы, фигурирующей в описании вероятности P(WniTn > On) в зоне гпе~~А^пл/п —у 0, n, га —> оо с помощью подхода, родственного методам работы (Komlos, Tusnady, 1970).

Теорема 2.1 описывает асимптотику условной вероятности события Wn>m > On при условии W^m-1 < вп:

P(Wn,m > en\Wn,m^ < On) ~ p(e)C(0)D(0)e~AW

Значения на отдельных участках [к, к + п], разумеется, зависимы, но зависимость не меняет асимптотики вероятности, лишь добавляя к константе D(ß)C(ß), фигурирующей в теореме 1.1, дополнительный мультипликативный множитель р(в), вычисленный в работе явно.

Пользуясь теоремой 2.1, удается получить теорему 2.2, задающую асимптотику вероятностей большого уклонения статистики Шеппа в явном виде:

P(Wn,m > вп-и) = me~mnn-1/2p(e)C(e)D(e), m = о(л/пеА^п). Теоремы 2.3 и 2.4 обобщают теоремы 2.1, 2.2 на случай уклонений на величину вп + Су/п — и. Как и в случае теорем 1.2, 1.8, это выражается в добавлении коэффициента e~hec\/n

Теоремы 2.2, 2.4 описывают поведение вероятности большого уклонения статистики Шеппа в зоне га = о(д/пеЛ^п). В следующих теоремах 2.5 и 2.6 исследуется блуждание в зоне mn~1/2e~A^n —> const. Для статистик рТп,п и тп(в) := min{& : > On} получены следующие предельные теоремы:

Jim Р{тп{в)р{в)С{в)0{в)е-^пп-1/2 > х) = е"*.

P(pn,m - On < х) е-лтстюе-ьв* ^ еЛ(0)п^/т А

Теоремы 2.7 и 2.8 являются функциональными предельными теоремами для участков блуждания (0, тп(В)], (тп(6),тп(6) + п). Положим при t £ [0,1]

X^{t) = (STn+[tn] - Sr„ + XTn+[tn]+1(nt - H) - 9nt)/yñr{he)),

У<">(*) = S[Tnt]/V^DX¡, где во втором случае требуется дополнительное условие конечности дисперсии Xi). Тогда процесс Х^п>){€) сходится при условии Мп > 9п к броуновскому мосту, a Y^ (t) при том же условии сходится к стандартному винеровскому процессу. Теорема 2.5 является аналогом классического "принципа инвариантности", но со случайным концом тп{9), теорема 2.6 близка к теореме 1.10.

В третьей главе рассматриваются большие уклонения некоторых других статистик, связанных с максимумом, а также многомерная задача о статистике Шеппа. Теорема 3.1 описывает большие уклонения "взлета" случайного блуждания Rn — maxi<nSi — minj<TnSi\

P(Rn > Bn + cy/ñ-u) = (l + oílJJe-^/^^^WCOTe-^-^^+^n-1/2, и = o(y/ñ). Теорема 3.2 является аналогом теоремы 1.8 для больших уклонений максимума и описывает совместное распределение различных функционалов, связанных с блужданием, при условии Rn > Вп + с^/п + и. Теорема 3.3 является аналогом теорем 1.9-1.10. Пусть

T-min л тmin\

У(»>(*) = Х^Сп п j), t G [0,1], тъ где т™ш - момент первого достижения минимума перед максимумом, Х^ (t) - процесс, определенный выше. Тогда процессы Y^(t), X^(t) при условии Rn > Вп слабо сходятся к броуновскому мосту в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1]. Аналогичные теоремы удается получить для статистики Dn = maxi<TmSi — m¿n¡<nS¿, где т™ - момент первого достижения минимума на отрезке [0, п], при замене правостороннего условия Крамера на левостороннее: R(h) < сю, h~ < h < 0. При выполнении двустороннего условия Крамера можно сформулировать теорему 3.4 о больших уклонениях статистики размаха Тп — max^<n S{ — min^<n Sf

P(Tn > вп + и) = (1 + о( 1)) (.P{Rn >9п + и) + Р(Тп >вп + и))

Также в третьей главе рассматривается d-мерная статистики Шеппа: ^ki<ji<ki+n,.,kd-2^d-2<kd-2+n,kd-i<jd-i<kd-i+id-i—l,jd—kd +

-. + ^k1<j1<k1+i1,j2=k2,.,jd=kd)Xj1,.,jd'

Wnm, ти := max к

Для неё находится асимптотика вероятности больших уклонений P{WL.,md,n > On2) = (l + o(l))C(e)D(e)e-A^n2n-1m1m2.mk, что продолжает работу (Deheuvels, 1985).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах (Шкляев, 2010), (Шкляев, 2010 (2)), (Шкляев, 2011).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Михаилу Васильевичу Козлову за привлечение интереса к данной проблематике, неоценимую помощь в работе над диссертацией и за участие в становлении автора как математика.

Автор признателен С.А. Пирогову, Д.А. Коршунову за полезные обсуждения тематики диссертации, позволившие внести в неё некоторые коррективы. Мне приятно поблагодарить И.В. Денисова, руководившего моей научной деятельностью в студенческие годы.

3.2.1 Основные результаты

Рассмотрим матрицу {Х^.^, ц — 1,2,., у = 1,2,.} из н.о.р. сл.в., удовлетворяющих условиям (А), (В). Положим ^k1<jl<kl+n,.,kd-2<jd-2<kd-2+n,kd-l<jd^1<kd-1+id-l~l,jd=:kd +

Величина является с!-мерным аналогом статистики Шеппа.

Именно, для каждого "кубического окна" п х . х п с одной из вершин в пределах параллелипипеда [0,шх] х . х [0, т^], мы выписываем координаты 21,., ^ векторов, принадлежащиъ этому окну, в порядке возрастания чисел

Зъ-За, в которых фигурируют в качестве цифр, а затем выбираем максимум среди сумм по первым к < номерам. Полученную величину мы максимизируем по всем таким кубическим окнам и полученную величину называем статистикой Шеппа. Для нее удается вычислить вероятность большого уклонения П

Теорема 3.5. При п —> оо, тг —у оо,г < к : т1.тк " о(еА^п<1 п^2), соотношение

Рф^тьп > 0пй) = (1 + о(1))С(0)е"л^ т1т2.т,п-й/2, выполнено равномерно по 0 Е [01,02] £ (0,т+)).

Эта теорема является аналогом теорем, полученных Девельсом (БеЬеиуе^, 1983) для многомерной статистики Эрдеша-Реньи. Однако, следует заметить, что при рассмотрении многомерной задачи теряется специфика движущегося окна, присутствовавшая в одномерной. Фактически, в многомерной задаче отсутствует сцепление окон - вероятность большого уклонения на одном из окон просто равна сумме вероятностей уклонения на каждом. Это связано с тем, что если ранее для любого положения окна находились соседние, получающиеся из него сдвигом на 1, то для многомерной задачи максимальное пересечении двух окон равно п^ — п. За счет этого зависимость между уклонениями на разных окнах мала, и, фактически, задача сводится к т\.Шк независимым испытаниям Бернулли. Таким образом, многомерная постановка задачи работы (БеЬеиуеЬ, 1983) оказывается по существу менее содержательной, нежели одномерный случай.

3.2.2 Доказательство теоремы 3.5 об асимптотике больших уклонений многомерной статистики Шеппа

Распишем вероятность Р(М*м^кй > впА, > впа), къ ., ка, к,.,

- различные наборы индексов. Заметим, что разность кубов Д + п] х . х [ка, ка + п] и := [/1,+ п] х . х [¡¿, 1а + п] состоит не менее чем из т/-1 наборов ¿1, Действительно, пусть кг < тогда параллелипипед

1, &1 + п] х . х [кг-1, кг-г+п] х к{ х &г-+1 + п] х . х [к^ ка+п] полностью содержится в 1\, но не содержится во /2. Рассмотрим 1\ П/2 и выберем из них п/2 точек с наименьшими координатами (в смысле упомянутой в начале части нумерации). Полученное множество обозначим через I.

Тогда

Р{М1к1ка > 9п\ > впа) = Р(М£М^Л > 9па) (3.31)

Ж^-А, > £ А,-Л > ^1/21^ > 0пл) + • ч ,.,г'й)б/ ^.д, < 0|/|/2, > < гь.,г,г)б1 П Е > > + гь-лОе/ Е ^ь-А* < 0|/|/2).

Первое слагаемое (3.31) есть ОЦЦ-^е-^^п^е-^71"), то есть 0^е~к{в/2)п/2п-й/2е-к{в)па^ ПрИчем 0(1) равномерно мало по рассматриваемым I. Оценим второе. Выпишем наборы (¿1,., г^), входящие в /1, в порядке возрастания в смысле упомянутой нумерации и определим X,; := Х^.^, где

0 < г < 72^, а (¿1,- г-ое по порядку число из §к = Х\ + . + Хк, Мк — гпахг<к3{, к < п2. Образ множества ¿-мерного множества номеров

1 при этом обозначим через I = {¿1, г2,., гр}, I С {1,гг.^}, р = |/|, ¿1 < ¿2 < . < гр. Заметим, что в силу определения I справедливо неравенство

Е 1} < — п/2. Выразим второе слагаемое (3.31) через X:

Р(Мпа > 9п\ ]ГХг < 9р/2) = (3.32) ш

Р(Мп<Мр,гр+ §гр > < 9р/2), ге/ где ^ < Р(тп<* < пА - п/2,МпЛ > 9пй) < Р{Мпап/2 > впй) < е-Л^п"п-^2Р(/г0)-п/2( 1 + о(1)), п оо, в силу теоремы 1.2.

Преобразуем второе слагаемое (3.32) следующим образом:

Р(Мп^р4р + §{р > 9па, £ Хг < Ор/2) = /./ Р(Мп^р > 9п'* - (3.33) ш я я -Ж1 - . -Хр-ух- .ур)хт.хг<вр12Р(.\-1 е йу^Р^Хь £ С^х) X . ш хР{§гр-1-гр1 € ¿Ур)Р(Хгр £ £&р) =/./ Р{Мпа^р + >

Л Д 98

Xi £ dx 1,., Xp £ dxp, S^-i+p — Sp E .5гр1+р — 5fp1+p G dyp) X хХЕхг<ер/2 = P{Mnäiptip + 5ip > 4 < 0p/2) < гб/ P(M„d > 0nd, < 0p/2), где x ~ характеристическая функция множеств. Применяя к правой части (3.33) теорему 1.2, имеем вр/2

P(Mnd > 6nd, Sp < вр/2) = f P(Sp e dx)P(Mndp > dnd - x) + (3.34)

-вр/2 dp/2 t = (1 + о(1))п-^2Л(0)С(0)е-л^п" | P(Sp e dx)e~x"

-вр/ 2 xeheXR{heYP + < (1 + o(l))D(0Kd(0,0)P(|S*| < 0p/2) + (1 + о(1))£>(б)тгп.,(0,О)тгп/2(0/2,0)+ Л?, где o(l) равномерно мало по n/2 < р < nd — n/2.

Л? < < p) + P(Mndp > 0(nd+n/4)) < 2e-A(ö)ndn-d/2P(/iö)-n/4(l + o(l)), Подставляя (3.34), (3.33), (3.32) в (3.31), имеем

P(MdnMkd > end, MdÄld > 0nd) < D(e)7rnd(0,0)(3P(M""/4 + (3.35)

2e-A(e/2)n/2j < а{в)Ъ{вуп1Гпа{в,0), где 6(0) < 1,а(0) < oo V0 G (0, m+), а o(l) равномерно мало по ki,kd,h,h в силу предыдущих замечаний.

Пользуясь формулой включения-исключения, мы можем написать для вероятности, фигурирующей в условии теоремы 3.5 следующие оценки: впа) = Р(к тМл„мкл > впл) < (3.36) < Р{М%м.kd > вп") = mi.mdP{Mnä > вп% kt<mui<d вп") = .^ > вп") > (3.37) Е > вп") - Е Е йад* кл>вп\М^„41>вп\

Заметим, что при фиксированных найдется не более пй окон, содержащих ., к^ поэтому последняя сумма в правой части (3.37) из (3.34) I оценивается сверху величиной а{9)Ь{9)-пп(1Р{МГ111 > вп(1)+т1.т(1Р(Мп<1 > впй)2 = о(Р(Мп. > впа)), п оо. Подставляя полученную оценку в (3.37) и используя (3.36), имеем при п —У оо 0п2) - Ш1.ШЙР(МП2 > 9п2)| = о(ш1.тс/Р(Мп2 > 0п2)). Теорема 3.5 доказана.

Глава 4

1. Боровков A.A., Коршунов Д.А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределенияэ Теория вероятностей и ее применения, 1996, т. 41, 1, 3-30.

2. Боровков A.A., Коршунов Д.А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 2. Достационарные распределения в экспоненциальном случае. Теория вероятностей и ее применения, 2000, т. 45, 3, 437-468.

3. Боровков A.A. О преобразовании Крамера, больших уклонениях в граничных задачах и условном принципе инвариантности. Сибирский математический журнал, 2000, т. 36, 3, 453-468.

4. Козлов A.M. О больших уклонениях статистики Шеппа для гауссовского блуждания. Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2004, 3, 48-52

5. Козлов A.M., Питербарг В.И. О больших скачках случайного блуждания. Теория вероятностей и ее применения, 2002, 47, 4, 803-814.

6. Козлов A.M. О вероятностях больших уклонений статистики Шеппа. Дискретная математика, 2004, Т.16, 1, 140-145.

7. Козлов М.В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: большие уклонения, условное поведение. Теория вероятностей и ее применения, 2001, т. 46, 4, 678696.

8. Петров В.В. О вероятностях больших уклонений сумм независимыхслучайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1965 т. 10, 310322.

9. Полещук О.М. Условная предельная теорема для случайного блуждания. Сборник Теория вероятностей, теория случайных процессов и функциональный анализ. Издательство МГУ, 1985, 53-55

10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. 1964.

11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2. 1964.

12. Шкляев А.В. Предельные теоремы для случайного блуждания при условии большого уклонения максимума. Теория вероятностей и ее применения, 2010, 55, 3, 590-598.

13. Шкляев А.В. Большие уклонения статистики Шеппа. Теория вероятностей и ее применения. Теория вероятностей и ее применения, 2010, 55, 4, 796-803.

14. Шкляев А.В. Большие уклонения статистик взлета, падения и размаха. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, 18, 1, 594-596.

15. Bahadur R.R., Rango Rao R. On deviations of the sample mean. Ann. Math. Statist., 1960, 31, 4, 1015-1027.

16. Billingsley R, Convergence of probabilty measures. John Wiley, New York London, 1968.

17. Csorgo M., Steinbach J. Improved Erdos-Renyi and strong approximation laws for increments of partial sum. Ann. Probab., 1981, 988-996.

18. Deheuvels P., Devroye L. Limit laws related to the Erdos-Renyi theorem, Tech. Report 83-6, L.S.T.A., Universite Paris VI, 1983.

19. Deheuvels P. On the Erdosh-Renyi theorem for random fields and sequences and its relationships with the theory of runs and spacings. Probability theory and related fields, 1985, 70, 1, 90-115.

20. Erdos P., Renyi A. On a new law of large numbers. Anal. Math., 1970, 23,103.111.

21. Komlos J., Tusnady G. On sequence of "pure heads". Ann. Probab., 1975, 3, 4, 608-617.

22. Korshunov D.A. One-dimensional asymptotically homogeneous Markov chains: Cramer transform and large deviations probabilities. Siberian Advances in Mathematics, 2004, v. 14, № 4, 30-70.

23. Shepp L.A. A limit law concerning moving averages. Ann. Math. Statist., 1964, 35, 424-428.