Вероятности больших уклонений асимптотически однородных в пространстве эргодических цепей Маркова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С. Л. СОБОЛЕВА

На правах рукописи

КОРШУНОВ Дмитрий Алексеевич

ВЕРОЯТНОСТИ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОДНОРОДНЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ ЭРГОДИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2004

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Ватутин Владимир Алексеевич д.ф.-м.н., профессор Гринь Анатолий Гаврилович д.ф.-м.н., профессор Саханенко Александр Иванович

Ведущая организация: Институт проблем передачи

информации РАН

Защита состоится 29 сентября 2004 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4, к. 417.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан « ^_» 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н. /> Ю. В. Шамардин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблематика вероятностей больших уклонений для различных стохастических моделей — давно и интенсивно развивающаяся область теории вероятностей. В последнее время в связи с многочисленными приложениями активно исследуются разнообразные модели в теории очередей, теории страхования и пр., которые можно условно назвать устойчивыми, и для них исследуются маловероятные события переполнения, длительного ожидания, разорения и т. д. При этом для получения содержательных результатов обычно рассматриваются модели, не слишком далеко уходящие от классических, связанных с суммами независимых случайных величин. Наиболее распространёнными являются марковские модели; цепи Маркова с непрерывным или дискретным временем, с одной стороны, позволяют моделировать пространственную зависимость (зависимость от состояния системы), а, с другой стороны, наследуют некоторые свойства независимости.

Простейшей и одновременно с тем базовой моделью является случайное блуждание на положительной полуоси с задержкой в нуле. Эта модель возникает при изучении одноканальной системы массового обслуживания 01/01/1, а также модели Спарре — Андерсена в теории страхования. Впервые она подробно изучалась в работах Лундберга и Крамера [14] в ситуации лёгких хвостов распределений, т. е. когда слагаемые имеют конечные положительные экспоненциальные моменты. Была получена экспоненциальная асимптотика распределения супремума случайного блуждания. Подробно случайное блуждание с задержкой в нуле в случае лёгких хвостов рассмотрено А. А. Боровковым [5].

Асимптотическое поведение инвариантной меры случайного блуждания с задержкой в нуле в случае так называемого тяжёлого хвоста распределения отдельного слагаемого (когда все положительные экспоненциальные моменты бесконечны) было исследовано многими авторами, в том числе: А. Пэйкс [19], Дж. Коэн [13], А. А. Боровков [1], Н. Веравербеке, П. Эмбрехтс [17].

Что касается общих цепей Маркова, то к настоящему времени известны лишь верхние оценки Боровкова [6] типа Р{ХП > ж} ^ где — функция, определяемая по общей мажоранте хвостов скачков цепи: Тесно связанная с этим проблематика существования моментов стационарного распределения в терминах пробных функций подробно рассмотрена Ш. Майном и Р. Твиди [18]. Из их результатов в силу неравенства Чебышёва легко выводятся верхние оценки (также несколько грубые) для вероятностей больших уклонений цепи как в случае степенных хвостов, так и в случае хвостов с конечными экспоненциальными моментами.

Большое число работ посвящено многомерным эргодическим цепям Маркова (см., например, И. А. Игнатюк, В. А. Малышев, В. В. Щербаков [10], А. А. Боровков, А. А. Могульский [7], Р. Эл-лис, П. Дюпии [15, 16], В. М. Блиновский, Р.Л. Добрушин [12]). Наиболее значительные результаты в этом направлении, в том числе точные асимптотики, получены А. А. Боровковым и А. А. Могульским в [7]. При этом рассматриваются только частично однородные в пространствах и цепи Маркова; исследование асимптотически однородных цепей в многомерном случае представляется весьма затруднительным. В одномерном случае ситуация более благоприятная, и в настоящей диссертации удалось разработать подходы к исследованию асимптотически однородных цепей Маркова со значениями в R.

Другое обширное направление исследований — грубые (в основном) теоремы о вероятностях больших уклонений в функциональных пространствах для марковских процессов, связанные с именами Вентцеля и Фрейдлина (см. книгу А. Д. Вентцеля [8]; см. также § 5.4 в книге А. Пухальского [20]). В этих монографиях результаты, известные для классических случайных блужданий (т. е. для последовательностей частичных сумм независимых слагаемых), обобщаются на более общие марковские процессы. Достигаемая при этом общность ограничена процессами с так называемыми непрерывными статистиками. Однако эргодические цепи Маркова, например, однородное случайное блуждание на

полуоси или осциллирующее блуждание, не удовлетворяют соответствующим условиям непрерывности некоторых характеристик, как это предполагается в [8].

Блуждание осциллирующего типа в случае лёгких хвостов рассмотрено П. Дюпии и Р. Эллисом [15, 16]; для такого случайного блуждания они нашли функцию уклонений.

Цель работы — разработать методы исследования вероятностей больших уклонений асимптотически однородных в пространстве эргодических цепей Маркова как в случае лёгких так и в случае тяжёлых хвостов распределений.

Методика исследований основана, прежде всего, на общих методах теории вероятностей, в частности, на использовании предельных теорем и теорем о вероятностях больших уклонений для сумм случайных величин и цепей Маркова невозвратного типа. Используются методы стохастического мажорирования и мино-рирования. Применяется теория субэкспоненциальных распределений.

Научная новизна. В качестве предварительных результатов получены предельные теоремы для цепей Маркова невозвратного типа со значениями в общем измеримом пространстве. В различных предположениях о природе пространства состояний цепи получены утверждения типа закона больших чисел, интегральной и локальной центральной предельной теоремы.

При весьма широких условиях, близких к минимальным, доказан принцип больших уклонений для асимптотически однородных эргодических цепей Маркова в крамеровском случае. В частности, обобщён принцип больших уклонений Эллиса и Дюпии для инвариантной меры осциллирующих случайных блужданий в одномерном случае.

В крамеровском случае методом пробных функций найдены условия на асимптотическую однородность цепи Маркова, при которых имеет место показательная асимптотика инвариантной меры.

В диссертации предложен и обоснован новый метод примене-

ния преобразования Крамера к цепи Маркова, когда в результате преобразования возникает марковская эволюция масс (а не вероятностных распределений). Развита теория предельных теорем для марковской эволюции масс. На этом пути удалось доказать теорему о точной асимптотике вероятностей больших уклонений достационарной асимптотически однородной в пространстве эргодической цепи Маркова. В качестве вспомогательных получен также ряд результатов, касающихся классических случайных блужданий, порождённых суммами независимых одинаково распределённых случайных величин.

В случае тяжёлых хвостов доказана необходимость условия субэкспоненциальности интегрального распределения в классической теореме об асимптотике хвоста распределения супремума последовательных сумм при конечном отрицательном среднем значении слагаемых. Исследована асимптотика хвоста распределения супремума последовательных сумм при бесконечном среднем значении слагаемых; накладываемые при этом условия на распределение одного слагаемого близки к необходимым. Изучены локальные свойства субэкспоненциальных распределений.

Найдена равномерная по времени субэкспоненциальная асимптотика частичных максимумов сумм независимых одинаково распределённых слагаемых с отрицательным средним. Такая же асимптотика доказана и для асимптотически однородной в пространстве эргодической цепи Маркова. Проведён асимптотический анализ случайных блужданий с зависимыми приращениями в случае тяжёлых хвостов; рассмотрены случайные блуждания, приращения которых представляют собой процесс скользящих средних.

Доказана теорема об асимптотике вероятностей больших уклонений цепи Маркова в случае, промежуточном между крамеров-ским случаем и случаем тяжёлых хвостов.

Теоретическое и практическое значение. Результаты диссертации имеют прежде всего теоретическое значение. С точки зрения приложений отметим следующие области применения по-

лученных результатов.

(а) Во многих приложениях «нагрузка» некоторой физической системы описывается цепью Маркова и необходимо знать вероятность того, что эта нагрузка превзойдёт некоторый заданный большой уровень х. Это и есть вероятности больших уклонений, асимптотика которых изучается. Например, если в одноканальной системе обслуживания GI/GI/1 время ожидания вызова имеет распределение, зависящее от текущего состояния системы, то мы приходим к весьма общим цепям Маркова. Можно говорить о возмущённой системе обслуживания, а также о системе с контролем.

(б) В теории страхования в моделе Спарре — Андерсена вероятность разорения также описывается через вероятности больших уклонений. Если страховые взносы пересматриваются в зависимости от текущего капитала страховой компании после наступления очередного страхового случая, то опять приходим к процессу, скачки которого зависят от его состояния.

(в) Случайные блуждания и цепи Маркова, скачки которых обладают экспоненциальными моментами, часто возникают при решении статистической задачи о разладке. Например, знание асимптотики стационарного распределения асимптотически однородных в пространстве цепей Маркова оказывается полезным при исследовании последовательных процедур определения разладки, см. [4].

(г) Полученные результаты позволяют установить существование обобщённых моментов распределения цепи Маркова, оперировать этими моментами в различных задачах оптимизации и оценивать эти моменты с помощью метода Монте-Карло.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре лаборатории теории вероятностей и математической статистики ИМ СО РАН; на вероятностной семинаре Хэриот-Ватт университета в Эдинбурге (Шотландия), вероятностном семинаре Добрушинской математической лаборатории Института проблем передачи информации РАН, а также на общеинститутском математическом семинаре Института математики

СО РАН, на семинаре отдела дискретной математики Математического института им. Стеклова РАН, на большом кафедральном семинаре кафедры теории вероятностей Московского государственного университета, в Ecole Normale Superieure, на семинаре стохастических моделей в Ecole Polytechnique в Париже (Франция), на математическом коллоквиуме в университете г. Ульм (Германия), на семинаре статистической лаборатории в Кэмбри-дже (Великобритания), на семинаре статистической группы университета в г. Ноттингем (Великобритания), на объединённом семинаре SOR/EURANDOM в Эйндховене (Нидерланды). Кроме того, были сделаны доклады на следующих конференциях: пленарный доклад на 27-й конференции Stochastic Processes and their Applications в Кэмбридже (2001), доклад на Украинском математическом конгрессе в Киеве (Украина, 2001), доклады на семинарах "Stochastic Networks: Large Deviations, Stability and Fluid Models" в г. Лейден (Нидерланды, 1998), "Heavy Tails and Queues'" в Эйндховене (Нидерланды, 1999), "Modern Problems in Applied Probability" в Новосибирске (2000), "The Mathematics of Stochastic Networks" в Эйндховене (Нидерланды, 2001), "Long Range Dependence, Heavy Tails and Rare Events" в Копенгагене (Дания, 2002), "Modern Problems in Applied Probability" в Эдинбурге (Шотландия, 2002), "Applied Probability and Advanced Communication Networks" в Бедлево (Польша, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [21-32]; список которых приведен в конце автореферата. Работы-[21], [22], [24] и [25] написаны совместно с А. А. Боровко-вым, работа [31] — совместно с Ф; Шмидтом и С. Шлёгель, [26] — с С. Фоссом, [29] — с С. Асмуссеном и С. Фоссом, а работа [32] — с Д. Денисовым и С. Фоссом.

Структура и объём диссертации. Диссертация содержит 271 страницу и состоит из введения, трех глав, содержащих 50 параграфов, и списка литературы, содержащего 109 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Благодарности. Автор искренне признателен своему учите-

лю Александру Алексеевичу Боровкову, который вовлёк меня в проблематику больших уклонений и постоянно оказывал большое влияние. Автор с удовольствием вспоминает совместное творчество с Сергеем Георгиевичем Фоссом и надеется на успешность его продолжения.

Содержание диссертации

Пусть Р(х,В), х £ R, В (Е — некоторая однородная

во времени переходная вероятность в R; здесь ^(R) — а -алгебра борелевских множеств в R. Всюду в настоящей диссертации параметр-время п принимает значения из множества целых неотрицательных чисел Z+ = {0,1,2,...}. Рассмотрим цепь Маркова {Х„} со значениями в R и с переходной вероятностью , т. е.

Пусть 7Г„ — распределение Хп: лп(В) — Р{-Х"„ 6 В]. Обозначим через £(х) случайную величину с тем же распределением, что и у скачка цепи- {Х„} из состояния х/

Р{г-К(х)€В} = Р(х,В), веЩ R).

Определение. Цепь Маркова X называется асимптотически однородной (в пространстве), если распределение скачка £ (ж) имеет слабый предел при , т. е. найдётся такая случайная

величина что при . Распределение обознача-

ется через F.

В диссертации рассматривается (главным образом) асимптотически однородная в пространстве цепь Маркова X. Предполагаем, что Хп — эргодическая Харрисова цепь, имеющая единственное инвариантное распределение 7Г. Тогда распределение Хп сходится при к в метрике полной вариации, т. е.

Для цепи Хп со счётным множеством состояний это имеет место автоматически, если цепь неразложимая, непериодическая и положительно возвратная; для вещественнозначных цепей соответствующие условия можно найти, например, в [6, 18].

Ввиду сходимости (1) семейство распределений Х„ относительно компактно, т. е.

sup Р{ХП > ж} 0 при х —> оо.

В диссертации исследуются условия, при которых асимптотическое поведение вероятности Р{-Х„ > ж} при п, х —> оо возможно выписать в явном виде в терминах «локальных характеристик» цепи, прежде всего в терминах распределения F предельного скачка £. В том числе исследуется асимптотика хвоста инвариантной меры

Простейшим и одновременно с тем очень важным примером асимптотически однородной цепи Маркова является случайное блуждание W„ с задержкой в нуле (называемое в [22, 24] однородной в пространстве цепью Маркова), задаваемое рекуррентным равенством

Wn+l = (Wn + £„+а)+, (2)

где ... суть независимые копии случайной величины По-

ложим . So = 0, 5„ = fi + ... + и Мп.= max{S0ySi,...,Sn}.

Известно (см. например, [11, гл. VI, § 9]), что распределение цепи Wn с нулевым начальным условием Wq — 0 совпадает с распределением , т. е.

В частности, если , то последовательность является

стохастически возрастающей и, следовательно, имеет слабый предел; обозначим через случайную величину с этим предельным распределением.

Известно (см. теорему 1 в [11, гл. XII, § 2]), что М^ (эквивалентно, ТУоо) конечно почти наверное тогда и только тогда, когда при с вероятностью 1. Также известно, что ес-

ли Етах(0,£) конечно, т5я -й -ооч т и наверное при поо тогда и только тогда, когда ; если ,

то условия для почти наверное сходимости также дав-

но известны, более подробно см. диссертации. В диссертации как правило предполагается, что

Другой важный пример — частично однородная в пространстве цепь Маркова, занимающая в некотором смысле промежуточное положение между случайным блужданием с задержкой в нуле и асимптотически однородной цепью Маркова.

Определение. Следуя [22], будем говорить, что цепь X со значениями в Я является ^частично однородной в пространстве (или просто частично однородной), если для любого борелевского множества В С (С/, оо) переходная в е р о я т н оВ^/Ъ ^впадает с вероятностью Р{у+£ € В}, когда у пробегает множество (17, оо) Другими словами, в области (С/, оо) поведение цепи X совпадает с процессом суммирования независимых случайных величин, имеющих общее распределение F. Очевидно, что однородная цепь (случайное блуждание с задержкой в нуле) является 0-частично однородной.

Частично однородную цепь Маркова можно трактовать как возмущённое в некоторой окрестности нуля однородное случайное блуждание, а асимптотически однородную цепь, в свою очередь, как ещё более сильно возмущённое случайное блуждание.

Асимптотическое поведение вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова самым существенным образом определяется тем обстоятельством, допускает или нет предельный скачок конечный экспоненциальный момент с положительным показателем. Это хорошо известно на примере — случайного блуждания с задержкой в нуле. Кратко напомним основные факты, известные для стационарного распределения , т. е. для

Преобразование Лапласа <р(А) = Бе^ случайной величины £ есть функция выпуклая, причём <¿>(0) = 1 и <р'(0) = Е£ < 0. Поэтому множество {А : <£>(А) ^ 1} представляет собой отрезок вида [0,/3]>где

Всюду предполагаем, что Р{£ > 0} > 0. Поэтому число /3 конечно. Возможны лишь три случая:

(а) /3 > 0 и ^(/3) — 1 — «крамеровский» случай;

(б) /3 > 0 и <р(/3) < 1 — «промежуточный» случай;

(в) /3 = 0 — случай «тяжёлых хвостов», когда = оо для любого

В диссертации рассматриваются все три случая, при этом основными являются крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов.

Если имеет место крамеровский случай, причём <¿>'(/3) = конечно, то хорошо известна оценка, восходящая к Лундбергу и Крамеру:

Р{^оо > я} ~ се при X -> оо.

(4)

Если имеет место случай тяжёлых хвостов, когда , то

асимптотическое поведение вероятности совершен-

но другое, и при условии субэкспоненциальности распределения интегрального хвоста (определение см. ниже) имеет место эквивалентность

1 —

Р{И^оо > х} - —у. р(у)(1у при х

оо.

(5)

Если же имеет место промежуточный случай, когда ,

то асимптотическое поведение вероятности также

своеобразно, и при условии принадлежности Г классу имеет место эквивалентность

Крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов сильно отличаются не только асимптотическим поведением вероятностей больших уклонений супремума, но и самой природой формирования этих больших уклонений. В крамеровском случае наиболее вероятными траекториями, приводящими к маловероятным большим уклонениям, являются траектории более или менее равномерного движения вверх; в формировании события Р{5„ > ж} свой вклад вносят все скачки случайного блуждания, причём в приблизительно равной мере. В случае же тяжёлых хвостов наиболее вероятный способ формирования больших уклонений — это присутствие одного большого скачка, сразу приводящего к уровню выше .

В диссертации показывается, каким образом приведённая классификация для стационарного распределения случайного блуждания с задержкой в нуле может быть перенесена на асимптотически однородную в пространстве цепь Маркова. При этом также исследуются и достационарные распределения, а в случае тяжёлых хвостов, кроме того, приводятся локальные асимптотики. Естественно, что при этом техника доказательств в каждом из трёх случаев (как и для однородных случайных блужданий) принципиально различная; потребовалось разработать новые подходы (подробнее см. соответствующие главы диссертации).

Выделение класса асимптотически однородных в пространстве цепей в качестве основного объекта исследования продиктовано тем обстоятельством, что среди эргодических цепей этот класс представляется максимально широким, для которого возможно вычисление вероятностей больших уклонений. Если не предполагать асимптотической однородности в пространстве, то известны лишь весьма грубые верхние оценки типа ,

где — функция, определяемая по общей мажоранте хвостов скачков цепи; см. теоремы 3.1 и 25.1 в [6]. Тесно связанная с этим проблематика существования моментов стационарного распределения в терминах пробных функций подробно рассмотрена Ш. Майном и Р. Твиди в [18, гл. 14].

. Диссертация организована следующим образом.

Известно, что важнейшую роль при исследовании вероятностей больших уклонений, особенно в крамеровском случае, играют различные предельные теоремы в области нормальных уклонений. Поэтому глава I; основанная на работе [27], посвящена предельным теоремам для цепей Маркова невозвратного типа со значениями в измеримом пространстве; при этом однородность во времени переходных вероятностей, вообще говоря, не предполагается. В различных предположениях о природе пространства состояний цепи получены утверждения типа закона больших чисел, интегральной и локальной центральной предельной теоремы.

Конкретнее, в § 2 главы I выясняются условия, при которых /(Х„)/п сходится почти наверное к некоторому пределу, где функция-/ : 5 —> & принимает значения в сепарабельном так называемом ^-гладком банаховом пространстве &. В § 3 исследуется поведение во времени характеристического функционала цепи Маркова со значениями: в произвольном сепарабельном банаховом пространстве. В 4 для цепи Маркова со значениями в конечномерном евклидовом пространстве формулируются условия, при которых Хп удовлетворяет центральной предельной теореме. В § 5 выводится верхняя оценка вероятности попадания в компакт асимптотически однородной во времени и по пространству (в некотором направлении) цепи Маркова со значениями в 11/*. В § б для асимптотически однородной цепи Маркова со значениями на целочисленной решётке доказана локальная центральная предельная теорема. В § 7 доказывается аналог этой теоремы для нерешётчатой цепи Маркова со значениями в вЛ

Хотя в условиях теорем явно не оговаривается, является ли цепь Маркова {Х„} положительно возвратной, нуль-возвратной или невозвратной, предлагаемые результаты являются наиболее содержательными для невозвратных цепей. Более того, в ряде теорем явно предполагается, что значение цепи «уходит на бесконечность в некотором направлении».

В главе II изучаются асимптотически однородные в простран-

стве цепи Маркова в крамеровском случае, когда предельный скачок £ удовлетворяет условию: существует ¡3 > 0 такое, что = 1. Выделим следующие основные результаты. Прежде всего показано , что принцип больших уклонений для инвариантного распределения имеет место практически для любой асимптотически однородной цепи Маркова, т. е. почти всегда справедлива логарифмическая (грубая) асимптотика

Далее принцип больших уклонений доказывается для достаци-онарного распределения. Чтобы сформулировать этот принцип, нам понадобятся следующие обозначения: — А+ =

sup {А г 1/>(А) < оо},

Функция.

Л(а) = sup {аА — In <^(А)} = аА(а) - In ^(А(а)), а < ог+, (7)

называется функцией уклонений. Введём в рассмотрение непрерывную функцию :

<ч= {;(в)/в

при a^aoi при

Теорема 14. Пусть Ах £ \Р,\+) 'и а\ —решение уравнения А (о?) = Ах. Пусть для любого А £ (0, Ах) • начальное распределение цепи имеет конечный экспоненциальный момент Ее*^0, а скачки цепи удовлетворяют условию

sup Ee^+ii"» < оо, sup Еел*М < оо.

ti<0 и>0

(8)

Пусть, кроме того, для любого и £ Я найдётся По такое, что

(9)

inf Р{Х„ > и} > 0.

А

Тогда при х оо имеет место равенство

равномерно по п таким, что х/п ^ сц

Для [/-частично однородных в пространстве цепей возможно использование формулы по последнему попаданию во множество ({/, оо). Используя это обстоятельство, а также теоремы о вероятностях больших уклонений для сумм с запретом попадания ниже определённого уровня, в § 14 удаётся посчитать асимптотику вероятностей больших уклонений частично однородной цепи Маркова.

Далее в главе II основные усилия направлены на поиск условий, позволяющих вычислить точную асимптотику вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова. Оказывается, для нахождения точной асимптотики недостаточно знать лишь, что цепь асимптотически однородна. Необходима дополнительная информация о скорости сближения распределения скачка ^(ж) к предельному распределению Г. В следующей теореме показывается, что упомянутая скорость сближения должна быть, грубо говоря, интегрируемой функцией. Так как <р(/3) = 1, то мера, определяемая равенством

является вероятностной. Пусть £— случайная величина с распределением . Предполагаем, что

Теорема 19. Предположим что распределение Г случайной величины £ нерешётчато. Пусть конечно. Пусть семей-

ство скачков {£(«), и 6 Н} имеет стохастическую мажоранту £ такую, что

Е(()3е*? < оо (12)

16

Пусть скачки цепи удовлетворяют следующим условиям:

Кроме того, пусть для любого 'А >0 найдется ограниченная, убывающая, интегрируемая на бесконечности функция ¿(и) = такая, что для любого

вир ке^^М-Ее^)« АеМ.л)1

(15)

Тогда сп

Р{ХП > х) = се

4 у/х/а '

1

прих-> ос = 1 (Ее«М-1)^7г(^)е[0|Оо). (16)

Р® J—оо

предлож!

В качестве условия, достаточного для выполнения (15), можно

/оо

< «} - Р{£ < и}| Л; < ¿(и).

■оо

Из теоремы 2 вытекает

Следствие 7. Пусть у{х) -> оо при х —^ оо. Тогда при х оо имеет место равномерная по асимптотика

Если с > 0, то в указанной зоне значений п справедлива эквивалентность

Р{Х„ > х} ~ тг^оо) при X —>• оо

17

Очень кратко доказательство теоремы состоит в следующем. Сначала к исходной цепи применяется преобразование Крамера с параметром /3. В результате получается некоторый объект, который мы называем марковской эволюцией масс. Основным отличием марковской эволюции масс от обычной цепи Маркова является то, что скачки первой могут иметь общую массу («вероятность») отличную от единицы, в том числе и больше единицы. Далее развивается теория предельных теорем для марковской эволюции масс и для цепей Маркова, в том числе доказываются аналоги центральной предельной теоремы. После этого к марковской эволюции масс применяется обратное преобразование Крамера, что и позволяет вычислить асимптотику вероятности события {Х„ > х}

Основные результаты главы II опубликованы в работах [21], [22], [23], [24] и [30].

В главе Ш исследуется случай тяжёлых хвостов. В этом случае существенное значение имеют понятия распределения с длинным хвостом и субэкспоненциального распределения.

Определение. Говорим, что распределение О имеет длинный хвост (и пишем С 6 если (?(ж) >0 для всех ж, и для любого фиксированного I предел отношения £т(х -(- £)/(?(ж) равен 1 при х -> оо

Определение. Распределение в И+ с неограниченным носителем принадлежит классу У и называется субэкспонепциалъ-ным распределением, если хвост свёртки <?*Сг(а;) асмптотически эквивалентен 2С(х) при ж —> оо. Эквивалентно, Р{?71 + Щ > ~ , где независимые случайные величины и имеют распределение О.

Отметим, что эквивалентность (5) доказывалась разными авторами (А. Пэйкс, Дж. Коэн, А. А. Боровков, Н. Веравербеке, П. Эмбрехтс) при всё более общих условиях на распределение одного слагаемого. В 25 диссертации доказывается, что субэкспоненци-альность распределения интегрального хвоста, т. е. распределе-

ния с хвостом

является необходимым для справедливости асимптотики (5).

В § 26-30 предложен новый способ исследования асимптотического поведения хвоста распределения супремума частичных сумм, когда скачки имеют бесконечное среднее значение; ранее подобные результаты были получены А. А. Боровковым при несколько других условиях и другими методами.

В § 37-41 найдены минимальные условия субэкспоненциального типа, при которых асимптотика конечного по времени максимума частичных сумм выписывается в виде

при х оо равномерно пп о 1; для справедливости этой асимптотики достаточно, чтобы распределение Г было сильно субэкспоненциальным.

Определение. Говорим, что субэкспоненциальное распределение О является сильно субэкспоненциалъпым (и пишем С? 6 если (^♦(^¿(^/(•¡'¿(ж) —> 2 при х оо равномерно по Ь 6 , где для любого распределение в определяется следующим равенством для хвоста:

Показано, что для сильной субэкспоненциальности распределения ^достаточно принадлежности распределения ^(а;)1{а; > 0} классу

Определение. Распределение Г в с конечным средним т принадлежит классу 5?*, если

Р{и)йи

(17)

В § 31-36 изучаются локальные свойства субэкспоненциальных распределений.

Наконец, при весьма общих естественных условиях найдена асимптотика вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова. Сформулируем эту теорему.

Пусть £ — неограниченная сверху случайная величина с распределением G и отрицательным средним значением. Предполагаем, что распределение случайной величины сильно субэкспоненциальное.

Теорема 36. Пусть причём Е£<0. Пусть найдёт-

ся уровень U такой, что семейство случайных величин {|£ и > и} обладает интегрируемой мажорантой и выполнено условие

для и. Пусть для некоторой сфу^кц^иимеет место

равномерная по и сходимость

Тогда, если начальное распределение 7Го сосредоточено на множестве, ограниченном сверху, то при х —оо имеет место равномерное по п ^ 1 соотношение

где постоянные с^ определяются равенствами

В частности,

Р{Хп >х} = (соо/|Е£| + о(1))Сп|в*|(аО

20

при п, х оо, где

Отметим, что соответствующие оценки снизу получены при-существенно более слабом условии; вместо сильной субэкспонен-циальности достаточно требовать, чтобы распределение G имело длинный хвост.

В случае правильно меняющего на бесконечности хвоста распределения G из теоремы вытекает, что асимптотика при п/х

вероятности имеет вид (если

и, в частности, совпадает с асимптотикой хвоста инвариантной меры:

В § 45-48 рассматривается случайное блуждание с зависимыми приращениями, когда скачки представляют собой процесс скользящих средних.

Изложение в главе III основано на работах [22], [23], [25], [28], [29], [31] и [32].

В главе IV изучается промежуточный случай.

Определение. Говорят, что нерешётчатое распределение Fв R принадлежит классу распределений 7), 7^0, если функция имеет длинный хвост, и

F * F(x) ~ 2(p(j)F(x) при ж —^ оо.

Говорят, что распределение /' на решётке {nh,n £ Z+} принадлежит классу , если упомянутые свойства справедливы для х кратным шагу решётки h.

Предполагается, что существует случайная величина г/ с распределением G и преобразованием Лапласа ф(^) = ЕеАч такая, что для некоторого выполняются неравенства

v + £(«) ^.t V + т? при и V, <6t т? при и > V. (18)

21

Основные условия накладываются на т\\ Ет/ < 0 и ф(Р) < 1, где /3 = sup{A : ip(X) ^ 1}. Отметим, что теперь параметр /3, играющий всюду важную роль, относится к распределению G мажоранты 77, а не к распределению F величины Основной является следующая теорема.

Теорема 42. Пусть распределение G случайной величины г/ нерешётчатое и принадлежит классу Пусть выполнено

условие (18) и для каждого и Е R существует с(и) такое, что

при t -> оо равномерно по и из любого компакта. Кроме того, предполагаем выполненной сходимость (1). Тогда

(i) если начальное распределение цепи таково, что Р{Х0 > x}/G(x) со ^ 0, то имеет место равномерное по п ^ 0 соотношение

Р{Х„ > х} = (с„ + o(l))G(x) при х -» оо, (20)

где сп при п ^ 1 определяется рекуррентным образом сп — an-i +

<р(Р)сп-и

<*„_! = /, c(u)e^uK„-i(du) > 0; J R

(ii) если P{Xo > x} ^ c'G(x), то при n, x oo

P{Xn > x} = (coo + o(l))G(x), (21)

где

с«, = lim cn =

n-KX)

, a°°/0s, «оо = lim an~ c(u)e0an(du) ^ 0. 1~V(P) n"+0° J R

Из пункта (а) теоремы.вытекает, что при п, х оо асимптотика вероятности Р{ХП > х} совпадает с асимптотикой хвоста инвариантной меры: Р{Х„ > х} = (1 + о(1))7г(х,оо).

Результаты главы IV опубликованы в работах [22], [23] и [24].

Литература

1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

2. Боровков А. А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука; Изд-во Института математики, 1997.

3. Боровков Л. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

4. Боровков А. А. Асимптотически оптимальные решения в задаче о разладке // Теория вероятн. примен. 1998. Т. 43. С. 625-654.

5. Боровков А. А. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3. С. 645-694.

6. Боровков А. А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

7. Боровков А. А., Могульский А. А. Большие уклонения для цепей Маркова в положительном квадранте // Успехи мат. наук. 2001. Т. 56. N. 5. С. 3-116.

8. Вентцель А, Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М.: Наука, 1986.

9. Добрушин Р. Л., Печерский Е. А. Большие уклонения для случайных процессов с независимыми приращениями на бесконечном интервале // Проблемы передачи информации. 1998. Т. 34 С. 76-108.

10. Игнатюк И. А., Малышев В. А., Щербаков В. В. Влияние границ в задачах о больших уклонениях // Успехи мат. наук. 1995. Т. 49. N. 2. С. 43-102.

11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984.

12. Blinovskij V. M., Dobrushin R. L. Process level large deviations for a class of piece-wise homogeneouse random walks // The Dynkin Festschrift: Markov Processes and Their Applications, ed. Freidlin, Boston: Birkhauser, 1994. P. 1-59.

13. Cohen J. W. Some results on regular variation for distributions in queueing and fluctuation theory // J. Appl. Probab. 1973. V. 10. P. 343-353.

14. Cramer #., Collective risk theory. Stockholm: Esselte, 1955.

15. Dupuis P., Ellis R. S. Large deviations for Markov processes with discontinuous statistics, IP. random walks // Probab. Th. Rel. Fields. 1992. V. 91. P. 153-194.

16. Dupuis P., Ellis R. S. A weak convergence approach to the theory of large deviations. Wiley, 1997.

17. Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims // Insurance: Math, and Economics. 1982. V. 1. P. 55-72.

18. Meyn S. P., Tweedie R. L. Markov Chains and Stochastic Stability. London, Berlin, etc.: Springer-Verlag, 1993.

19. Pokes A. G. On the tails ofwaiting-time distribution // J. Appl. Probab. 1975. V. 12: P. 555-564.

20. Puhalskii A. Large deviations and idempotent probability. Chapman к Hall / CRC, Boca Raton, 2001.

Работы автора по теме диссертации

21. Боровков А. А., Коршунов Д. A. Ergodicity in a sense of weak convergence, equilibrium-type identities and large deviations for Markov chains // Probability Theory and Mathematical Statistics. Proceedings of the Sixth Vilnius Conference. 1993. P. 8998.

22. Боровков Л. А., Коршунов Д. А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределения // Теория вероятн. примен. 1996. Т. 41. С. 3-30.

Перевод па английский: Large-deviation probabilities for one-dimensional Markov chains Part 1: Stationary distributions // Theory Probab. Appl. 1997. V. 41. P. 1-24.

23. Korshunov D. On distribution tail of the maximum of a random walk // Stochastic Processes Appl. 1997. V. 72. P. 97-103.

24. Боровков А. А., Коршунов Д. А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 2. Достационарные распределения в экспоненциальном случае // Теория, вероятн. примен. 2000.' Т. 45. С. 437-468.

Перевод на английский'. Large-deviation probabilities for, one-dimensional Markov chains. Part 2: Prestationary distributions in the exponential case // Theory Probab. Appl. 2001. V. 45. P. 379-405.

25. Боровков А. А., Коршунов Д. А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 3. Достациоиарные распределения в субэкспоненциалыюм случае // Теория вероятн. примен. 2001. Т. 46. С. 640-657.

Перевод па английский:. Large-deviation probabilities for one-dimensional Markov chains. Part 3: Prestationary distributions in the subexponentiai case // Theory Probab. Appl. 2002. V. 46. P. 603-618.

26. Foss S., Korshunov D. Sampling at a random time with a heavy-tailed distribution // Markov Processes and Related Fields. 2000. V. 6. P. 543-568.

27. Коршунов Д. А. Предельные теоремы для общих цепей Маркова // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. С. 354-371.

Перевод на английский: Limit theorems for general. Markov chains // Sib. Math. J. 2001. V. 42. P. 301-316.

28. Коршунов Д. А. Вероятности больших уклонений максимумов сумм независимых слагаемых с отрицательным средним и субэкспоненциальным распределением // Теория вероятн. примен. 2001. Т. 46. С. 387-397.

Перевод на английский: Large-deviation probabilities for maxima of sums of independent random variables with negative mean and subexponential distribution // Theory Probab. Appl. 2002. V. 46. P. 355-366.

29. Assmusen S., Foss S., Korshunov D. Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour // J. Theoretical Probab. 2003. V. 16. P. 489-518.

30. Коршунов Д. А. Одномерные асимптотически однородные цепи Маркова: преобразование Крамера и вероятности больших уклонений // Математические труды. 2003. Т. 6. С. 102— 143.

31. Коршунов Д. А., Шмидт Ф., Шлёгель С. Асимптотический анализ случайных блужданий с зависимыми приращениями в случае тяжелых хвостов // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. С. 1067-1081.

Перевод на английский: Asymptotics for random walks with dependent heavy-tailed increments // Sib. Math. J. 2003. V. 44. P. 833-844.

32. Foss S., Denisov D., Korshunov D. Tail asymptotics for the supremum of a random walk when the mean is not finite'// Queueing Systems. 2004. V. 46. P. 15-33.

Коршунов Дмитрий Алексеевич

ВЕРОЯТНОСТИ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОДНОРОДНЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ ЭРГОДИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 12.05.2004 г. Формат 60x84 1/16 Усл.-печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 80 экз. Заказ 32

Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия

ÍH3 992

Введение

Глава! Предельные теоремы для общих цепей Маркова невозвратного типа

§ 1. Предварительные замечания.

§ 2. Утверждения типа усиленного закона больших чисел для функции от цепи Маркова.

§ 3. Изменение во времени значения характеристического функционала цепи Маркова.

§ 4. Центральная предельная теорема для цепи Маркова со значениями в евклидовом пространстве.

§ 5. Локальная оценка для распределения цепи Маркова со значениями в евклидовом пространстве.

§ 6. Локальная центральная предельная теорема в решётчатом случае

§ 7. Локальная центральная предельная теорема в нерешётчатом случае.

Глава II. Вероятности больших уклонений в крамеровском случае

§ 8. Асимптотика супремума случайного блуждания.

§ 9. Большие уклонения асимптотически однородных цепей.

§ 10. Доказательство теорем 10 и 11.

§ 11. Оценка второго члена асимптотики 7г(х) в крамеровском случае

§ 12. Вероятности больших уклонений сумм случайных величин

§ 13. Принцип больших уклонений для асимптотически однородной цепи.

§ 14. Точная асимптотика тгп(х) для частично однородной цепи

§ 15. Осциллирующее случайное блуждание.

§ 16. Марковская эволюция масс.

§ 17. Локальная теорема восстановления для невозвратной цепи Маркова

§ 18. Некоторые предварительные оценки распределения марковской эволюции масс.

§ 19. Аналог центральной предельной теоремы для марковской эволюции масс.

§ 20. Вероятности больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова.

§ 21. Завершение доказательства теоремы 19.

§ 22. Решётчатый случай

§ 23. О положительности постоянного множителя с в теореме

§ 24. О необходимости условия интегрируемости скорости сближения распределения скачка с предельным

Глава III. Вероятности больших уклонений в субэкспоненциальном случае

§ 25. Асимптотика супремума случайного блуждания.

§ 26. Асимптотика хвоста супремума случайного блуждания когда среднее скачков не является конечным.

§ 27. Асимптотики и оценки для первой убывающей лестничной высоты в случае бесконечного среднего.

§ 28. Асимптотики и оценки для первой возрастающей лестничной высоты в случае бесконечного среднего.

§ 29. Асимптотики и оценки для хвоста распределения супремума

§ 30. Достаточные условия субэкспоненциальности распределения интегральнго взвешанного хвоста.

§31. Асимптотика распределения сумм случайных величин с локально субэкспоненциальным распределением.

§ 32. Д-Субэкспоненциальные распределения.

§ 33. Распределения с субэкспоненциальными плотностями.

§ 34. Достаточные условия Д-субэкспоненциальности и субэкспоненциальности плотностей

§ 35. Некоторые приложения локальных асимптотик.

§ 36. Функция восстановления и основная теорема восстановления

§ 37. Равномерная по времени асимптотика хвостов частичных максимумов сумм.

§ 38. Оценка снизу для вероятностей больших уклонений максимума сумм.

§ 39. Некоторые свойства распределений класса ystT.

§ 40. Оценка сверху для хвоста распределения первой до момента времени п неотрицательной суммы.

§ 41. Оценка сверху для вероятностей больших уклонений максимума сумм.

§ 42. Достационарные распределения цепей Маркова в субэкспоненциальном случае

§ 43. Оценка снизу вероятностей больших уклонений для достационарной цепи.

§ 44. Оценки сверху вероятностей больших уклонений для достационарных и стационарных цепей.

45. Асимптотический анализ случайных блужданий с зависимыми приращениями в случае тяжёлых хвостов.

§ 46. Оценки снизу.

§ 47. Оценка сверху

§ 48. Асимптотики в случае правильно меняющихся хвостов.

Глава IV. Вероятности больших уклонений в промежуточном случае

§ 49. Асимптотика супремума случайного блуждания.

§ 50. Точная асимптотика 7Гп(х) для асимптотически однородной цепи

Пусть Р(х,В), х Е R, В G <^(R), — некоторая однородная во времени переходная вероятность в R; здесь и далее ¿^(R) — сг-алгебра борелевских множеств в R. Всюду в настоящей диссертации параметр-время п принимает значения из множества целых неотрицательных чисел Z+ = {0,1, 2,.}. Рассмотрим цепь Маркова {Хп} со значениями в R и с переходной вероятностью Р(-,-),т. е.

Р{хп+1ев\хп = х} = Р(х,в).

Пусть тгп — распределение Хп: irn{B) = Pj-X^ G В}. Обозначим через случайную величину с тем же распределением, что и у скачка цепи {Хп} из состояния х:

P{x + ((i)Eß} = Р(х,в), ВеЩ R).

Определение 1. Цепь Маркова X называется асимптотически однородной (в пространстве), если распределение скачка имеет слабый предел при х —> оо, т. е. найдётся такая случайная величина что £(х) £ при х —> оо. Распределение £ обозначается через F.

В настоящей диссертации рассматривается (главным образом) асимптотически однородная в пространстве цепь Маркова X. Предполагаем, что Хп — эргодическая Харрисова цепь, имеющая единственное инвариантное распределение 7Г. Тогда распределение Хп сходится при п —>■ оо к 7Г в метрике полной вариации, т. е. тгп-7г|(К) = 2- sup |тгп(В)-тг(В)|-+0 (1)

ВеЩ R) здесь и далее для любой знакопеременной меры ц и множества В через \ц\(В) обозначаем полную вариацию меры ¡л на множестве В). Для цепи Хп со счётным множеством состояний это имеет место автоматически, если цепь неразложимая, непериодическая и положительно возвратная; для веществен-нозначных цепей соответствующие условия можно найти, например, в [6, 72].

Мера 7Г доставляет решение уравнению оо

P(x,B)ir{dx), тг(Н) = 1. (2) оо

Ввиду сходимости (1) семейство распределений Хп относительно компактно, т. е. supP{Xn > х} —> 0 при х —► оо. О

В настоящей диссертации исследуются условия, при которых асимптотическое поведение вероятности Wn(x) = Р{ХП > при п, х —> сю возможно выписать в явном виде в терминах «локальных характеристик» цепи, прежде всего в терминах распределения F предельного скачка В том числе, исследуется асимптотика хвоста тг(х) = тт(х, оо) инвариантной меры 7г.

Для любого распределения G в R функцию G(x) = G(x, оо) называем хвостом распределения G.

Простейшим и одновременно с тем очень важным примером асимптотически однородной цепи Маркова является случайное блуждание Wn с задержкой в нуле (называемое в [87, 89] однородной в пространстве цепью Маркова), задаваемое рекуррентным равенством wn+l = (Wn + in+1)+,

3) где £2, • • • суть независимые копии случайной величины Положим Sq = О, Sn = & + • • • + ^ и

Мп = m&x{So, Si,., Sn}. (4)

Известно (см. например, [29, гл. VI, § 9]), что распределение цепи Wn с нулевым начальным условием Wo = 0 совпадает с распределением Мп, т. е.

P{Wn>x\W0 = 0} = Р {Мп>х}. (5)

В частности, если Wq = 0, то последовательность Wn является стохастически возрастающей и, следовательно, имеет слабый предел; обозначим через W^ случайную величину с этим предельным распределением.

Известно (см. теорему 1 в [29, гл. XII, § 2]), что Mqq (эквивалентно, W0с) конечно почти наверное тогда и только тогда, когда Sn —► — 00 при п —> оо с вероятностью 1. Также известно, что если Етах(0, £) конечно, то Sn —► —00 почти наверное при п —» оо тогда и только тогда, когда Е£ € [—оо,0); если Етах(0,^) = оо, то условия для почти наверное сходимости Sn —> —00 также давно известны, более подробно см. § 26. В диссертации почти всюду предполагается, что Е£ < 0.

Другой важный пример — частично однородная в пространстве цепь Маркова, занимающая в некотором смысле промежуточное положение между случайным блужданием с задержкой в нуле и асимптотически однородной цепью Маркова.

Определение 2. Следуя [87], будем говорить, что цепь X со значениями в R является U-частично однородной в пространстве (или просто частично однородной), если для любого борелевского множества В С (U, оо) переходная вероятность Р(у,В) совпадает с вероятностью Р{у + £ 6 В}, когда у пробегает множество (U, оо). Другими словами, в области (U, оо) поведение цепи X совпадает с процессом суммирования независимых случайных величин, имеющих общее распределение F. Очевидно, что однородная цепь (случайное блуждание с задержкой в нуле) является 0-частично однородной.

Можно трактовать частично однородную цепь Маркова как возмущённое в некоторой окрестности нуля случайное блуждание, а асимптотически однородную цепь, в свою очередь, как ещё более сильно возмущённое случайное блуждание.

Асимптотическое поведение вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова Хп самым существенным образом определяется тем обстоятельством, допускает или нет предельный скачок £ конечный экспоненциальный момент с положительным показателем. Это хорошо известно на примере Wn — случайного блуждания с задержкой в нуле. Кратко напомним основные факты, известные для стационарного распределения Wn, т. е. для Woo

Преобразование Лапласа ц>(Х) = Еел^ случайной величины £ есть функция выпуклая, причём </?(0) = 1 и <£>'(()) = Е£ < 0. Поэтому множество {Л : </?(А) ^ 1} представляет собой отрезок вида [0, /3], где

3 = sup{A : <р{А) < 1}.

Всюду предполагаем, что Р{£ > 0} > 0. Поэтому число (3 конечно. Возможны лишь три случая: а) ¡3 > 0 и ip((3) = 1 — «крамеровский» случай; б) ¡3 > 0 и <р{/3) < 1 — «промежуточный» случай; в) (3 = 0 — случай «тяжёлых хвостов», когда ЕеЛ^ = оо для любого Л > 0.

В работе рассматриваются все три случая, при этом основными являются крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов.

Если имеет место крамеровский случай, то хорошо известна оценка, восходящая к Лундбергу и Крамеру: для любого х ^ 0 справедливо

P{WQ0>x} < е~@х.

Если, кроме того, а = <р'((3) = ЩеР* конечно, то (см., например, [29, гл. XII, §5])

Р{\¥00>х} ~ при х —> оо, (6) где р = Р{Моо>0}, а = Е{5те/35т; г < оо}, где, в свою очередь, г = тт{п ^ 1 : 5П > 0}.

Поскольку Е£ < 0, то р < 1, ат и 5Т - несобственные случайные величины.

Если имеет место случай тяжёлых хвостов, когда (3 = 0, то асимптотическое поведение вероятности Р{И^оо > х} совершенно другое, и при некоторых условиях субэкспоненциальности (подробнее см. § 25) имеет место эквивалентность

1 Г°° —

Р{]¥00 > х} ~ щ j Е(у)<1у при х —>■ оо. (7)

Если же имеет место промежуточный случай, когда <£>(/?) < 1, то асимптотическое поведение вероятности Р{И/00 > х} также своеобразно, и при некоторых условиях принадлежности классу (подробнее см. § 49) имеет место эквивалентность

Ее/^оо

Р{Жх> > х} ~ ---ггГ{х) при х^ оо. (8)

1 - (р[Р)

Крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов сильно отличаются не только асимптотическим поведением вероятностей больших уклонений супремума, но и самой природой формирования этих больших уклонений. В крамеровском случае наиболее вероятными траекториями, приводящими к маловероятным большим уклонениям, являются траектории более или менее равномерного движения вверх; в формировании события Р{,!?п > ж} свой вклад вносят все скачки случайного блуждания, причём в приблизительно равной мере. В случае же тяжёлых хвостов наиболее вероятный способ формирования больших уклонений — это присутствие одного большого скачка, сразу приводящего к уровню выше х.

В настоящей диссертации показывается, каким образом приведённая классификация для стационарного распределения случайного блуждания с задержкой в нуле может быть перенесена на асимптотически однородную в пространстве цепь Маркова. При этом также исследуются и достационарные распределения, а кроме того приводятся локальные асимптотики, изучение которых оправдано в случае тяжёлых хвостов. Естественно, что при этом техника доказательств, как и для однородных случайных блужданий, в каждом из трёх случаев принципиально различная, и потребовалось разработать новые подходы; подробнее см. соответствующие главы.

Выделение класса асимптотически однородных в пространстве цепей в качестве основного объекта исследования продиктовано тем обстоятельством, что среди эргодических цепей этот класс представляется максимально широким, для которого возможно вычисление вероятностей больших уклонений. Если не предполагать асимптотической однородности в пространстве, то известны лишь весьма грубые верхние оценки типа Р{ХП > х} ^ х6(х), где 6(х) — функция, определяемая по общей мажоранте хвостов скачков цепи; см. теоремы 3.1 и 25.1 в [6]. Тесно связанная с этим проблематика существования моментов стационарного распределения в терминах пробных функций подробно рассмотрена Майном и Твиди в [72, гл. 14]. Из их результатов в силу неравенства Чебышёва легко выводятся верхние оценки (также несколько грубые) для вероятностей больших уклонений цепи как в случае степенных хвостов, так и в случае хвостов с конечными экспоненциальными моментами.

Диссертация организована следующим образом.

Известно, что важнейшую роль при исследовании вероятностей больших уклонений, особенно в крамеровском случае, играют различные предельные теоремы в области нормальных уклонений. Поэтому глава I, основанная на работе [92], посвящена предельным теоремам для цепей Маркова со значениями в измеримом пространстве; при этом однородность во времени переходных вероятностей, вообще говоря, не предполагается. В различных предположениях о природе пространства состояний цепи получены утверждения типа закона больших чисел, интегральной и локальной центральной предельной теоремы. Полученные результаты являются наиболее содержательными для невозвратных цепей Маркова.

В главе II изучаются асимптотически однородные в пространстве цепи Маркова в крамеровском случае, когда предельный скачок £ удовлетворяет условию: существует ß > 0 такое, что <p(ß) = 1. Выделим следующие основные результаты. Прежде всего показано, что принцип больших уклонений для инвариантного распределения имеет место практически для любой асимптотически однородной цепи Маркова, т. е. почти всегда справедлива логарифмическая (грубая) асимптотика (см. теорему 10) lim lül^) = -ß. х—юо X

В теореме 14 принцип больших уклонений доказывается для достационарного распределения. Далее основные усилия направлены на поиск условий, позволяющих вычислить точную асимптотику вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова. Оказывается, чтобы найти точную асимптотику, недостаточно знать лишь, что цепь асимптотически однородна. Необходима дополнительная информация о скорости сближения распределения скачка к предельному распределению F. Показывается, что упомянутая скорость сближения должна быть, грубо говоря, интегрируемой функцией. Тогда хвост инвариантной меры асимптотически эквивалентен

7г(х, оо) ~ се~@х при х —> оо.

Также найдена точная асимптотика хвоста достационарного распределения; основными являются теоремы 19 в § 20 и 20 в § 22. В частности, найдена зона значений времени п, в которой вероятность Т*{Хп > х} асимптотически эквивалентна хвосту 7г(гг, оо) инвариантного распределения. Основные результаты главы II опубликованы в работах [86], [87], [88], [89] и [95].

В главе III исследуется случай тяжёлых хвостов. Основными являются теоремы 24 и 25 в § 26 об асимптотике хвоста супремума, когда скачки имеют бесконечное среднее значение; теорема 35 в § 37 об асимптотике конечного но времени максимума частичных сумм типа

Р{Мп>х} ~ Щ-J F(u)du при х —> оо равномерно по п ^ 1; теорема 28 в § 32 о локальной асимптотике распределения суммы, остановленной в случайный момент времени; и, наконец, теорема 36 в § 42, утверждающая, что при весьма общих естественных условиях асимптотически однородная цепь Маркова в случае тяжёлых хвостов имеет следующую асимптотику вероятностей больших уклонений: гх+п\Щ\

Р{Хп >х} ~ с F(u)du

Jx при п, х —> оо. Также в § 45 рассматривается случайное блуждание с зависимыми приращениями, когда скачки представляют собой процесс скользящих средних. Изложение в главе III основано на работах [87], [88], [90], [93], [94], [96] и [97].

В главе IV изучается промежуточный случай. Основной является теорема 42 в § 50 об асимптотике вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова в промежуточном случае, в которой выясняются условия, обеспечивающие при n, х —► оо выполнение асимптотики

P{Xn>x} ~ cF(x).

Результаты опубликованы в работах [87], [88] и [89].

С точки зрения приложений отметим следующие области применения полученных результатов. а) Во многих приложениях Хп описывает «нагрузку» некоторой физической системы и необходимо знать вероятность того, что эта нагрузка превзойдёт некоторый заданный большой уровень х. Это и есть вероятность Тп(х), приближённое значение которой изучается. Например, в одноканальной системе обслуживания GI/GI/1, в которой n-й вызов приходит после (п — 1)-го через время тп и требует обслуживания в течении времени сгп, время ожидания Wn п-го вызова удовлетворяет реккурентному соотношению

Wn+i = (Wn + (тп ~ rn+i)+.

Полагая £n = crni — тп, приходим к случайному блужданию с задержкой в нуле (3). Если же скорость обслуживания зависит от текущей нагрузки (текущего времени ожидания) в системе, то мы получаем марковскую последовательность вида Wn+1 = {Wn + <J„(Wn) — Tn+i)+, где оп(х) имеет распределение, зависящее от х, что отражает зависимость скорости обслуживания от текущего состояния системы. Если упомянутая скорость имеет предел при стремлении состояния системы к бесконечности, то мы и приходим к асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова. Можно говорить о возмущённой системе обслуживания, а также о системе с контролем. б) В теории страхования (см., например, [49], [78] или [33, Ch. IX]) в моде-ле Спарре — Андерсена предполагается через моменты времени тп наступают страховые случаи с величинами страховых выплат Ап. Если интенсивность страховых взносов равна с, а первоначальный страховой резерв равен х, то вероятность разорения страховой компании после наступления гг-го страхового случая равна Р{Мп > х}, где £п+х = Ап — стП: см. (4). Если же пересматривать страховые взносы (т. е. значение интенсивности с) в зависимости от текущего капитала страховой компании после наступления очередного страхового случая, то мы опять приходим к процессу, скачки которого зависят от его состояния. в) Случайные блуждания и цепи Маркова, скачки которых обладают экспоненциальными моментами, часто возникают при решении статистической задачи о разладке. Например, знание асимптотики стационарного распределения асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова оказывается полезным при исследовании последовательных процедур определения разладки, см. [4]. г) Полученные результаты позволяют установить существование «моментов» Е/(Хп) для заданного класса растущих функций /, оперировать этими моментами в разного рода задачах оптимизации и оценивать эти моменты с помощью метода Монте-Карло. Кроме того, если установлено, например, что Т(х) ~ сх~ае~@х, где какие-либо из параметров с, а или р в явном виде неизвестны, то с помощью метода Монте-Карло можно оценивать также и эти параметры (см., например, [2, гл. 5, § 68], [50, 62, 21]); при этом для получения более полной информации об оценках полезно знать также следующий член асимптотики Т(х), т. е. асимптотическое поведение п(х) — сх~ае~@х при х —> оо (вопрос оценки этой разности затрагивается в § 11).

Несколько слов относительно примыкающей (но другой) тематике по большим уклонениям для цепей и процессов Маркова. Большое число работ посвящено многомерным эргодическим цепям Маркова (см. список литературы в [12]). Наиболее совершенные результаты в этом направлении, в том числе точные асимптотики, получены Боровковым и Могульским в [12]. При этом рассматриваются только частично однородные в пространствах И,2 и К3 цепи Маркова; исследование асимптотически однородных цепей в многомерном случае представляется весьма затруднительным. В одномерном случае ситуация более благоприятная, и в настоящей диссертации удалось разработать подходы к исследованию асимптотически однородных цепей Маркова со значениями в R.

Другое обширное направление исследований — грубые (в основном) теоремы о вероятностях больших уклонений в функциональных пространствах для марковских процессов, связанные с именами Вентцеля и Фрейдлина (см. книгу Вентцеля [14]; см. также § 5.4 в книге Пухальского [77]). В этих монографиях результаты, известные для классических случайных блужданий (т. е. для последовательностей частичных сумм независимых слагаемых), обобщаются на более общие марковские процессы. Достигаемая при этом общность ограничена процессами с так называемыми непрерывными статистиками. Однако эргодические цепи Маркова, например, однородное случайное блуждание на полуоси или осциллирующее блуждание, не удовлетворяют соответствующим условиям непрерывности некоторых характеристик, как это предполагается в [14].

Блуждание типа осциллирующего рассмотрено в работе Дюпии и Эллиса [51], а в несколько более общей постановке в книге тех же авторов [52, Chapter 7]. Изучена цепь Маркова со значениями в Rd, фазовое пространство которой разделено на две области D\ = {х G Rd : х\ ^ 0} и D2 = {х G Hd : х\ > 0}. В области D\ цепь имеет скачки с общим распределением Fi, а в области D2 — с F2. Дюпии и Эллис нашли функцию уклонений 1(a) случайного блуждания такого типа. В случае эргодического одномерного блуждания (т. е. когда Fi имеет положительное среднее значение, a F2 — отрицательное) она имеет вид

Здесь ßi < 0 и ß2 > О — ненулевые решения уравнений относительно Л eXuF\(du) = 1,

J R f eXuF2(du) = 1 J R соответственно. Функция 1(a) выпуклая и кусочно линейная в областях [ßi, 0] и [0, При выполнении некоторых дополнительных технических условий авторы доказали принцип больших уклонений типа lim -\пР{Хп > па) = 1(a), п—юо 71 lim ilnP{Xn < -na} = /(-a). n-+oo n

С точки зрения нашего подхода одномерное осциллирующее случайное блуждание есть частный случай 0-частично однородных цепей Маркова. Тем самым из наших результатов для [/-частично однородных цепей Маркова напрямую вытекает принцип больших уклонений, причём при существенно более слабых ограничениях на скачки (см. § 15).

1. Боровков А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

2. Боровков А. А., Математическая статистика. Новосибирск: Наука; Изд-во Института математики, 1997.

3. Боровков А. А., Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

4. Боровков А. А., Асимптотически оптимальные решения в задаче о разладке. Теория вероятн. примен. 43 (1998) 625-654.

5. Боровков А. А., Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых. Сиб. мат. жури. 3 (1962) 645-694.

6. Боровков А. А., Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

7. Боровков А. Л., О преобразовании Крамера, больших уклонениях в граничных задачах и условном принципе инвариантности. Сиб. мат. журн. 36 (1995) 493-509.

8. Боровков А. А., Об условных распределениях, связанных с большими уклонениями. Сиб. мат. журн. 37 (1996) 732-744.

9. Боровков А. А., Боровков К. А, О вероятностях больших уклонений для случайных блужданий. I. Распределения с правильно изменяющимися хвостами. Теория вероятн. примен. 46 (2001) 211-232.

10. Боровков А. А., Могульский А. А., Вторая функция уклонений и асимптотические задачи восстановления и достижения границы для многомерных блужданий. Сиб. мат. журн. 37 (1996) 745-782.

11. Боровков А. А., Могульский А. А., Большие уклонения для цепей Маркова в положительном квадранте. Успехи мат. наук 56 (2001) 3-116.

12. Боровков А. А., Фосс С. Г., Оценки для перескока случайного блуждания через произвольную границу и их применения. Теория вероятн. примен. 44 (1999) 249-277.

13. Вентцель А. Д., Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М.: Наука, 1986.

14. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей. 5-е изд. М.: Наука, 1969.

15. Годованчук В. В., Вероятности больших уклонений для сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Теория вероятн. примен. 23 (1978) 624-630.

16. Добрушин Р. Л"., Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. I. Теория вероятн. и её примен. 1 (1956) 72-89.

17. Добрушин Р. Л., Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. II. Теория вероятн. примен. 1 (1956) 365-425.

18. Добру шин Р. Л., Печерский Е. А., Большие уклонения для случайных процессов с независимыми приращениями на бесконечном интервале. Проблемы передачи информации 34 (1998) 76-108.

19. Дынкин Е. Б., Некоторые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин с бесконечными математическими ожиданиями. Изв. Академии Наук СССР, Сер. Матем. 19 (1955) 247-266.

20. Новак С. Ю., Утев С. А., Об асимптотике распределения отношения сумм случайных величин. Сиб. мат. журн. 31 (1990) 92-101.

21. Петров В. В., Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

22. Петров В. В., О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. примен. 10 (1965) 310-322.

23. Пинелис И. Ф., Одна задача о больших уклонениях в пространстве траекторий. Теория вероятн. примен. 26 (1981) 73-87.

24. Рогозин Б. Л., О постоянной в определении субэкспоненциальных распределений. Теория вероят. примен. 44 (1999) 455-457.

25. Рогозин Б. А., Сгибнев М. С., Банаховы алгебры мер на прямой. Сиб. мат. журн. 21 (1980) 160-169.

26. Рогозин Б. А., Сгибнев М. С., Сильно субэкспоненциальные распределения и банаховы алгебры мер. Сиб. мат. журн. 40 (1999) 1137-1146.

27. Сгибнев М. С., Банаховы алгебры функций, обладающих одинаковым асимптотическим поведением на бесконечности. Сиб. мат. журн. 22 (1981) 179-187.

28. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984.

29. Чистяков В. П., Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложения к ветвящимся процессам. Теория ве-роятн. примен. 9 (1964) 710-718.

30. Ширяев А. Я., Вероятность. М.: Наука, 1989.

31. Asmussen S., Applied Probability and Queues. John Wiley & Sons, Chichester, 1987 (2nd ed., Springer, New York, 2003).

32. Asmussen S., Ruin Probabilities. World Scientific, Singapore, 2000.

33. Asmussen SA probabilistic look at the Wiener-Hopf equation. SI AM Review AO (1998) 189-201.

34. Asmussen S., Henriksen L. Fl0e, Kliippelberg C., Large claims approximations for risk processes in a Markovian environment. Stochastic Process. Appl. 54 (1994) 29-43.

35. Asmussen S., H0jgaard В., Ruin probability approximations for Markov-modulated risk processes with heavy tails. Theory Random Proc. 2 (1996) 96-107.

36. Asmussen S., Kalashnikov V., Konstantinides D., Kliippelberg C., and Tsi-tsiashvili G., A local limit theorem for random walk maxima with heavy tails. Statist Probab. Letters 56 (2002) 399-404.

37. Asmussen S., Schmidli H., Schmidt V., Tail probabilities for non-standard risk and queueing processes with subexponential jumps. Adv. Appl. Probab. 31 (1999) 422-447.

38. Athreya К., Ney P., Branching Processes. Springer: Berlin, 1972.

39. Baccelli F., Schlegel S., Schmidt V., Asymptotics of stochastic networks with subexponential service times. Queueing Systems. Theory Appl. 33 (1999) 205-232.

40. Bertoin J., Doney R. A., On the local behaviour of ladder height distributions. J. Appl. Prob. 31 (1994) 816-821.

41. Bertoin J., Doney R. A., Some asymptotic results for transient random walks, Adv. Appl. Prob. 28 (1996) 207-226.

42. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L., Regular Variation. Cambridge University Press, 1987.

43. Borovkov A. A., Large deviations probabilities for random walks in the absence of finite expectations of jumps, Probab. Theory Relat. Fields 125 (2003) 421-446.

44. Callaert H., Cohen J. W., A lemma on regular variation of a transient renewal function. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 24 (1972) 275-278.

45. Chover J., Ney P., Wainger 5., Functions of probability measures. J. d Analyse Mathématique 26 (1973) 255-302.

46. Chover J., Ney P., Wainger S., Degeneracy properties of subcritical branching processes, Ann. Probability 1 (1973) 663-673.

47. Cohen J. W., Some results on regular variation for distributions in queueing and fluctuation theory. J. Appl Probab. 10 (1973) 343-353.

48. Cramer H., Collective risk theory. Stockholm: Esselte, 1955.

49. Csorgo S., Deheuvels P., Mason D. M., Kernel estimates of the tail index of a distribution. Ann. Statist 13 (1985) 1050-1077.

50. Dupuis P., Ellis R. 5., Large deviations for Markov processes with discontinuous statistics, II: random walks, Probab. Th. Rel. Fields 91 (1992) 153-194.

51. Dupuis P., Ellis R. S., A weak convergence approach to the theory of large deviations. Wiley, 1997.

52. Embrechts P., Goldie C. M., On closure and factorization properties of subexponential distributions, J. Austr. Math. Soc., Ser. A 29 (1980) 243256.

53. Embrechts P., Goldie C. M., On convolution tails, Stochastic Process. Appl. 13 (1982) 263-278.

54. Embrechts P., Goldie C. M., Veraverbeke TV., Subexponentiality and infinite divisibility. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 49 (1979) 335-347.

55. Embrechts P., Kliippelberg C., Mikosch T., Modelling Extremal Events. Springer, Berlin, 1997.

56. Embrechts P., Omey E., A property of longtailed distributions, J. Appl. Prob. 21 (1984) 80-87.

57. Embrechts P., Veraverbeke N., Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims, Insurance: Math, and Economics 1 (1982) 55-72.

58. Erickson K. B., Strong renewal theorems with infinite mean, Transactions of the American Mathematical Society 151 (1970) 263-291.

59. Erickson K. B., The strong law of large numbers when the mean is undefined, Transactions of the American Mathematical Society 185 (1973) 371-381.

60. Foss S., Zachary S., The maximum on a random time interval of a random walk with long-tailed increments and negative drift. Ann. Appl. Prob. 13 (2003) 37-53.

61. Haeusler E., Teugels J. L., On asymptotic normality of Hill's estimator for the exponent of regular variation. Ann. Statist. 13 (1985) 743-756.

62. Harris T., The Theory of Branching Processes. Springer, Berlin, 1963.

63. Hoffman-J0rgensen J., Pisier G., The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces. Ann. Probab. 4 (1976) 587-599.

64. Hoglund T., A unified formulation of the Central Limit Theorem for small and large deviations from the mean. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 49 (1979) 105-117.

65. Jelenkovid P. R., Lazar A. A., A network multiplexer with multiple time scale and subexponential arrivals. In Stochastic Networks: Stability and Rare Events. New York: Springer, 1996. P. 215-235.

66. Karlin S., Taylor H. M., A First Course in Stochastic Processes. 2nd Edition. New York, London, etc.: Academic Press, 1975.

67. Kliippelberg C., Subexponential distributions and integrated tails, J. Appl. Probab. 25 (1988) 132-141.

68. Kliippelberg C., Subexponential distributions and characterization of related classes. Probab. Th. Rel. Fields 82 (1989) 259-269.

69. Kliippelberg C., Kyprianou A. E., Mailer R. A., Ruin probabilities and overshoots for general Levy insurance risk processes. Submitted for publication (2003).

70. Korshunov D. A., Transition phenomena for real-valued Markov chains. Sibirian Adv. Math. 3 (1993) 53-100.

71. Meyn S. P., Tweedie R. L., Markov Chains and Stochastic Stability. London, Berlin, etc.: Springer-Verlag, 1993.

72. Mikosch T., Samorodnitsky G., The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps, Ann. Appl. Probab. 10 (2000) 10251064.

73. Pakes A. (?., On the tails of waiting-time distribution, J. Appl. Probab. 12 (1975) 555-564.

74. Pinelis /., Optimum bounds for the distribution of martingales in Banach spaces. Ann. Probab. 22 (1994) 1679-1706.

75. Pisier G., Martingales with values in uniformly convex spaces. Israel J. Math. 20 (1975) 326-350.

76. Puhalskii A., Large deviations and idempotent probability. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, 2001.

77. Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J., Stochastic Processes for Insurance and Finance. Wiley, Chichester, 1998.

78. Stadje W., A note on the maximum of a random walk, Statistics & Probability Letters 23 (1995) 227-231.

79. Stone C., On characteristic functions and renewal theory. Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965) 327-342.

80. Stone С., On moment generating functions and renewal theory. Ann. Math. Statis. 36 (1965) 1298-1301.

81. Teugels J. The class of subexponential distributions, Ann. Probab. 3 (1975) 1000-1011.

82. Varadhan S. R. 5., Large Deviations and Applications. Philadelphia: Soc. for industr. and appl. math., 1984.

83. Veraverbeke Nn Asymptotic behavior of Wiener-Hopf factors of a random walk. Stochastic Process. Appl. 5 (1977) 27-37.

84. Woodroofe M., Nonlinear Renewal Theory in Sequential Analysis. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 39. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, Pa., 1982.Работы автора по теме диссертации

85. Боровков А. А., Коршунов Д. A., Ergodicity in a sense of weak convergence, equilibrium-type identities and large deviations for Markov chains. Probability Theory and Mathematical Statistics, Proceedings of the Sixth Vilnius Conference (1993) P. 89-98.

86. Korshunov D., On distribution tail of the maximum of a random walk. Stochastic Processes Appl. 72 (1997) 97-103.

87. Foss S., Korshunov D., Sampling at a random time with a heavy-tailed distribution. Markov Processes and Related Fields 6 (2000) 543-568.

88. Коршунов Д. А., Предельные теоремы для общих цепей Маркова. Сиб. мат. журн. 42 (2001) 354-371.Перевод на английский: Limit theorems for general Markov chains. Sib. Math. J. 42 (2001) 301-316.

89. Assmusen S., Foss S.; Korshunov D., Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour. J. Theoretical Probab. 162003) 489-518.

90. Коршунов Д. А., Одномерные асимптотически однородные цепи Маркова: преобразование Крамера и вероятности больших уклонений. Математические труды 6 (2003) 102-143.

91. Foss S., Denisov D., Korshunov D., Tail asymptotics for the supremum of a random walk when the mean is not finite. Queueing Systems 46 (2004) 15-33.Препринты автора по теме диссертации

92. Боровков А. А., Коршунов Д. А., Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. 1. Стационарные распределения. Препринт №10, Институт математики СО РАН (1995) 35 с.

93. Korshunov D., Schlegel S., Schmidt К, Asymptotics for random walks with dependent heavy-tailed increments. Eurandom Report 2000-043 (2000).Тезисы конференций по теме диссертации

94. Коршунов Д. А., Об асимптотике распределения супремума частичных сумм. Предельные теоремы и смежные вопросы, Тезисы докладов международного семинара, Омск (1995) 32-34.

95. Korshunov D., Large deviations for one-dimensional Markov chains with subexponential jumps. Abstracts of the Workshop Heavy tails and queues, Eurandom, Eindhoven University of Technology, The Netherlands (1999).

96. Korshunov D., Asymptotics for random walks with dependent heavy-tailed increments. Abstracts of the Workshop Modern Problems in Applied Probability, Novosibirsk, Russia (2000) p. 12.

97. Korshunov D., Large deviation probabilities for one-dimensional Markov chains. Abstracts of the 27th Conference on Stochastic Processes and their Applications, Cambridge, UK (2001).

98. Korshunov D., Large deviations for sums and Markov chains: heavy-tailed case. Abstracts of reports of the Ukrainian Congress of Mathematics, Section Probability Theory and Mathematical Statistics, Kiev, Ukraine (2001) 18-19.

99. Korshunov D., Subexponential distributions revisited: local properties. Abstracts of the Workshop The mathematics of stochastic networks, Eindhoven, The Netherlands (2001).

100. Korshunov D., Subexponential distributions revisited: local behaviour of convolutions. Abstracts of the Advanced Concentrated Course on Long Range Dependence, Heavy tails and Rare Events, Copenhagen, Denmark (2002).

101. Korshunov D., Large deviation calculations for Markov chains via Cramér transform and CLT. Abstracts of the LMS/ICMS Workshop Modern Problems in Applied Probability, Edinburgh, UK (2002).

102. Korshunov D., Tail asymptotics for the supremum of a random walk when the mean is not finite. Abstracts of the Workshop Applied Probability and Advanced Communication Networks, Bçdlewo, Poland (2003) p. 10.