Асимптотический анализ осциллирующих случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ким Дмитрий Константинович

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор Лотов Владимир Иванович Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор Топчий Валентин Алексеевич к. ф.-м. н., доцент Семенов Александр Трофимович

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состоится ^^ декабря 2005 г. в час. на

заседании диссертационного совета Д.003.015.01 в ауд. 417 Института математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект ак. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института математики СО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

д /4-> и

Ю.В. Шамардин

1ÖG41

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение и изучение марковских моделей управляемых случайных блужданий является весьма важным разделом современной теории вероятностей. Как правило, подобные исследования имеют многочисленные применения в изучении систем массового обслуживания, в задачах теории хранения запасов, в финансовой математике и других областях. В работе изучается марковское случайное блуждание, порожденное суммами независимых случайных величин, скачки которого меняют свое распределение в зависимости от того, в какой из трех зон находится блуждающая частица. Эта модель широко используется в приложениях.

Цель работы. Основной целью этой работы является изучение поведения распределения рассматриваемого блуждания с ростом времени.

Методика исследований. В диссертации проводятся исследования с помощью так называемого факторизацион-ного метода, разработанного в свое время в работах A.A. Бо-ровкова [1], [2], [3], где им были найдены полные асимптотические разложения распределений граничных функционалов для случайных блужданий с одной прямолинейной границей, порожденных суммами независимых одинаково распределенных случайных величин. Как оказалось впоследствии, этот метод применим для исследования граничных функционалов и в других ситуациях (см. ссылки в диссертации на статьи A.A. Боровкова, Б.А. Рогозина, Э.Л. Пресмана, В.И. Лото-ва, В.Р. Ходжибаева). ---—

РОС. UAftUnMA BkUid i

В своих общих чертах факторизационный метод состоит из нескольких этапов. На первом из них находятся представления для двойных преобразований Лапласа - Стилтье-са над искомыми распределениями. Как правило, найденные представления являются слишком сложными для непосредственного обращения. Обращение в явном виде возможно лишь для некоторых специальных типов блуждания (например, для скачков, распределенных по экспоненциальному закону). Поэтому на втором этапе изучаются аналитические свойства полученных представлений и проводится их асимптотический анализ в условиях удаляющихся границ. В итоге удается выделить главные части, пригодные для дальнейшего обращения, и получить экспоненциальные оценки остатков. Эти результаты обычно получаются при весьма широких ограничениях крамеровского типа на исходные распределения. Обращение главных частей найденных асимптотических представлений по пространственной переменной не представляет трудностей. Гораздо более сложной является процедура обращения по переменной, связанной со временем. Для этих целей на третьем этапе применяются метод контурного интегрирования, модификации метода перевала, и в конечном счете находятся полные асимптотические разложения распределений изучаемых граничных функционалов.

В диссертационной работе указанная схема действий адаптирована для исследования введенных выше осциллирующих случайных блужданий.

Научная новизна. В диссертации в условиях Крамера на распределения скачков найдены полные асимптотические разложения при п —¥ оо распределения положения блуждающей частицы в момент времени п, когда абсолютные значения уровней переключения растут пропорционально у/п\ выписаны в явном виде первые члены этих разложений и

указан алгоритм вычисления последующих членов. Далее, при некоторых ограничениях доказано существование стационарного распределения для изучаемого марковского блуждания, и при моментных ограничениях на распределения скачков найдена асимптотика стационарного распределения в случае, когда расстояние между уровнями переключений неограниченно увеличивается. В теоремах об асимптотических разложениях достационарного и стационарного распределений дополнительно предполагается наличие абсолютно непрерывных компонент у функций распределения скачков блуждания.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях объединенного семинара кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН (руководитель семинара — академик A.A. Боровков), на XXVI конференции молодых ученых "Ломоносов 2004"(МГУ), на V Международной Ферганской конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения"(2005).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых помещен в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка литературы из 45 наименований. Объём работы - 87 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть = 0,1,2, — три независимые последователь-

ности независимых случайных величин, одинаково распределенных внутри каждой последовательности; при этом предполагается, что Е£„ < О, Е£„2' > 0. Пусть а и Ъ — произвольные числа, а < 0 < Ь, и Хо — случайная величина, независимая от г = 0,1,2. Определим цепь Маркова

следующим образом: для п > 1 положим

+ £п\ если Хп_х <Е [а,Ь], Хп-1 + если ЛГ„_1 > Ь, Хп-1 + если Хп-.1 < а.

Случайные блуждания такого типа обычно называют осциллирующими. Данная цепь Маркова имеет два уровня переключений в точках а и Ь. Схожие процессы с двумя уровнями переключений изучались в работах Ю.В. Прохорова [4], Д.В. Гусака [5]- [7], В.И. Лотова [8] и Е.В. Булинской [9].

Диссертация посвящена изучению поведения распределения цепи Хп с ростом п.

Во введении приводятся сведения о предшествующих работах других авторов, которые имеют непосредственное отношение к задаче, дается характеристика метода, с помощью которого проводились исследования, и обсуждается краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена доказательству теоремы о существовании стационарного распределения и нахождению

различных представлений для производящих функций доста-ционарного и стационарного распределений цепи Хп.

Первым рассматривается достационарный случай: здесь найдены представления (при разных условиях на Е^0^) для двойных преобразований Лапласа-Стилтьеса

Полученные представления задаются суммами рядов функций, каждая из которых находится итерациями некоторых операторов.

Далее изучается вопрос о нахождении преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. При помощи известных результатов [10] показывается существование стационарного распределения в решетчатом случае и в случае существования числа щ такого, что распределение ХПо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компоненту. Если распределения скачков блуждания сосредоточены на решетке целых чисел, то удается решить эту задачу без дополнительных условий крамеровского типа; здесь применяется метод типа Винера-Хопфа, который позволяет свести задачу к решению системы линейных уравнений. Для случайных блужданий, не сосредоточенных на решетке, задача оказалась гораздо сложнее. Как и в достационарном случае, удается лишь представить искомое преобразование в виде суммы сходящегося ряда функций, вычисляемых с помощью

п=о

ДеА = 0, \г\ < 1.

итераций некоторых операторов. Здесь предполагается, что распределения скачков случайного блуждания имеют абсолютно непрерывные компоненты.

В качестве иллюстрации рассмотрен пример, где найдено

стационарное распределение для любых а < 0 < Ь, Ь — а > О, АО)

когда скачки распределены по симметричному показательному закону с параметром ао, < —х) = (3\е~а1Х, Р(Й2) > = 02е~а2Х, х > 0, 0 < Д < 1, » = 1,2.

Вторая глава посвящена изучению асимптотики стационарного распределения цепи при Ь — а —> оо, когда скачки блуждания имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты.

Найденные ранее в первой главе представления для преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения служат основой для их асимптотического анализа в ситуации, когда расстояние между регулирующими границами неограниченно увеличивается. В итоге выделяется главная часть преобразования Лапласа-Стилтьеса и устанавливается порядок малости остатка в зависимости от количества моментов у случайных величин г = 0,1, 2. Обнаруживается, что полученная главная часть асимптотики преобразования Лапласа-Стилтьеса весьма просто выражается через характеристические функции случайных величин, широко используемых в теории случайных блужданий, таких, как супремум траектории, величина перескока через бесконечно удаленный барьер, лестничные высоты. По этой причине процедура обращения не составляет труда. Поскольку в этой главе исследуется только стационарный случай, то обращения по времени (т.е. контурного интегрирования) не требуется.

Для формулировки результата нам понадобится несколь-

ко обозначений. Положим для г = 0,1,2, ■^ = 0, = + + т^ = т£{п > 1 : в® > 0}, г)- = т^п > 1 : в® < 0},

(всюду полагаем т{0 = со). На множествах Т)^) = оо случайные величины х± >г = 0,1,2 можно считать неопределенными. Пусть

5(1) = эир^1', ^ =

п>О п>°

Р1 = (1 - Р(г#> < оо))"', р2 = (1 - Р(т712) < оо))"'.

Если Е|х±^| < оо, то через будем обозначать случайные величины с плотностями

(еХ$°)_1Р(х? > х) и (|еХ«|)_1Р(х^ < -X)

для х > 0 принято называть величинами перескока

последовательностями 5п' через бесконечно удаленные барьеры).

С целью упрощения обозначений для собственных случайных величин положим

а«=Ех» /?<<>= Е (*£>)',

1 а'У,Зт - а^'/З!1' „ 1 а^/З™

- ос+Р^

2 р® ' В~2 '

\а_ / ое_ а+

Мы также будем использовать компоненты г,+(Л), г~(\) факторизационных представлений при ЯеА = 0 (см., например, [11])

1 _ ЕеА#> = г+(л) Г-(Л)(

где

г,±(А) = 1-Е(еЛх±;^) < оо), г = 0,1,2.

Из [12] вытекают следующие факты: если = 0,

Е|^0)|3 < оо,Е|^|2 < оо,;' = 1,2, то следующие функции являются преобразованиями Лапласа-Стилтьеса функций ограниченной вариации и представимы в виде

для некоторых функций щ(х), и2(х). Нетрудно видеть, что

/О гоо

u\{x)dx = A, I U2{x)dx = В. (2)

■оо J О

Далее мы будем пользоваться одним или сразу двумя условиями:

(Ах). Функции распределения случайных величин {fn^JJLijt' = 0,1,2 имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты.

(Л2). ЕеА^° < оо,г = 0,1,2, Еелл"° < оо для любого Л £ (Л_,А+), где Л_ < 0 < А+.

Обозначим через X случайную величину, для которой Р(Х < х) = Р{х), где Р (х) — функция стационарного распределения цепи.

Теорема 0.1 Пусть выполнено условие {А{), Е^0^ = 0 и для некоторого целого к > 2 < оо, < оо, г =

1,2. Тогда равномерно по х > 0 при Ь — а —»• оо

Р(Х > Ь + х) = ^^Р^1 + 7?} > х)

ъ-а + ь гдор*!

+ 0

(6 - аУ

Р{Х < а-х) = —1— ^£p(S<2> + 7i0) < -х) b-a + L >

и равномерно по всем борелевским множествам ВС [а, 6]

1 Г ( ат

Если выполнено условие (А2), то остаточные члены во всех этих соотношениях можно заменить на О для

некоторого е > 0.

Следствие 0.1 Пусть выполнены условия теоремы 0.1 при к = 2. Тогда для любого г € (0,1)

«/V Г мч гЬ + Ваф/сф ( 1 \

«/V п ^ ч оч гЬ + Аа^/аР ( 1 \

В диссертационной работе также разобран случай, когда ЕЙ0) < 0.

Как следует из доказательств сформулированных теорем, указанный в них порядок убывания остаточных членов относится к полной вариации этих остатков.

Третья глава посвящена нахождению полных асимптотических разложений распределения Хп при п —> оо, где одновременно а = а(п) —» —оо, Ъ = Ь(п) —> оо.

В соответствии с методикой исследования, первый этап факторизационного метода — нахождение представлений двойных преобразований Лапласа-Стилтьеса — выполнен в первой главе. Третья глава посвящена соответственно второму и третьему этапам. Второй этап состоит в изучении аналитических свойств имеющихся представлений и выделении у них главных частей асимптотики при Ь —»• оо и а —» — оо. Далее проводится обращение главных частей найденных асимптотических представлений для двойных преобразований, по пространственной и временной переменным. Это составляет третий этап исследований. В результате находится некоторое предварительное разложение по степеням п, доказанное при весьма общих ограничениях на рост |а|, Ъ и п. Оно не может служить окончательным результатом, поскольку коэффициенты разложения в нем также зависят от п. Если же конкретизировать зависимость чисел а и Ь от п, то предварительное

разложение дает возможность для нахождения полных асимптотических разложений вероятностей. В качестве следствия приводится теорема, где указан алгоритм нахождения полных асимптотических разложений распределения Хп в случае, когда числа |а| и Ъ растут пропорционально ^/п, и выписываются в явном виде первые члены этих разложений. Всюду в главе предполагается, что = 0.

Для формулировки теоремы нам понадобится несколько обозначений. Пусть

= (~Хз + 23X2 + 2(5 + 1)Х1' Х* + 2йХ2 + +

+Фа (~Х3 + 2(в + 1)(®2 + + 2(5 + 1)(®2 + ¡О)

+Ф«г (-аг4 + 2вХ1 + 2(5 + 1)х2,х3 + 25^1 + 2(в + 1)х2) + (~х4 + 2(я + 1)(х2 + ХХ), х3 + 2(5 + 1)(а?2 + ®0)) ■

Ф(,(Х1,Х2,Х3,Х4)

оо

Положим

*

p3(s) = ф2Х4 + (s + 1)(X! + X2)J +

- EX0 - a2 I —^ттг--\-r } - Wi - U)2 + ^r,

p4(s) = -гр2х3 (-y + (s + 1)(аг! + x2)) + s^-Pi(e) = (-y + e«i + (s + l)a:2) + s^-

CT2 1p2

EXq —— wi,

E¿1} Ф1

p2(s) = -ф2Хз (у + 5ГГ! + (S + l)z2) +Sm

Фг

^ « \г Ф2

— Е Х0 —— oji,

p3(s) = -ф2хА (-у + (s -f 1)(ж1 + :г2)^ - s т

Bf}1) Ф\

Ol Фг

- ЕХ0 + <72 ( "^тгу--) + Ч)Х + W2 +

ЕС?) 4

p4(s) = ф2хз (у + (5 + + ®г)) - ^

- ЕХ0 + сг2 ( —^--* I + wi + u>2 +

\eíi^ Ed v 4

^ , Из

= - з^'

(!) I + Ш1 + ш2 /?10) ¿?(0) /?(0) /?(1) 0™

Обозначим через рх (и) плотность случайной величины +

а через б\(и) плотность случайной величины + Пусть также с\, с2 и сз - некоторые положительные константы.

Теорема 0.2 Пусть выполнены условия (Ах), (А2) и пусть = О, < О, > 0. Предположим, что фиксиро-

ванные числа х-! е [сх.сг], ] = 1,2, XI € [0,Сз], I = 3,4, таковы, что для а = —Х\л/п, Ь = Хч^рп, с = —х3л/п, с? = х^у/п выполняются неравенства а<с<0<с1<Ь. Тогда для любого целого д > 1, при п —)■ оо, имеют место равномерные по у > 0 соотношения

Р (Хп > Ь + у) = ¿ Щ^А + О (п-^),

к=1

9

Р (Хп < а - у) = £ ^ь^Й + О (п^) , к=\

Р (Хп е [с, <£]) = Р (Х0 + € [с, + ФаС®!, ®2, ®3,

к=1 п ^

Pi{x\,x2,y)

^ / / 2 Г/ 1

^-irfrSri^ л+2

Х2 + SXi

+ ехр

{-МИ)

- ar2 + (s 4-1)^1

R\{xux2,y)

Го* Híei(u)du

(2)

2тг ЕЙ

+ ехр < --

Qi(x1,X2,X3,X4)

§М4[И)

S + - J + sx2

s + - J Xx + (5 + l)x2

H

(Pl(*) exP \ ~4s TT + + (s +

L 2

-p2(s)expj-^ [-y + sx2 + (s + 1)жх] J -рзООехр j-^ [y -bís + ^íxa + o:!)]2!

+P4(s) exp

{-hi-

Хз

+ (« + I)(x2 + ®1

-Рг(5) ехР { ~

а'

+ 8X1 + (в + 1)х2]

+р4(«)ехр|-^ [у+ (5 + 1)(х1 +х2)]2|^

X

Ё «р

5=0

2 а

Г

2 | \ в + 2 ' Х2 + 5X1

+ ехр < —-

^2 + (5 + 1)^1

-1 /*(х 1+®4)\/"

(^а^)"1 [ и2{х)йх

О (х1-хз)\/п

Хх + 5Х2

+ ехр < —

5 + -)®1 + (5 + 1)а;2

Алгоритм нахождения функций Рк(х\,Х2,у), Дь(х1, х2, у) ^ Сдк(х1, х2, хз, Х4, у) приведен в доказательстве теоремы.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Владимиру Ивановичу Лотову за помощь в работе и постоянное внимание.

Список литературы

1. A.A. Боровков Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сиб. мат. журн. 1962. Т.З, N. 5. С.645-694.

2. A.A. Боровков Предельные теоремы о распределении максимума сумм ограниченных решетчатых случайных величин I// Теория вероятностей и ее применения. 1960. Т. 5, N. 2. С.137-172.

3. A.A. Боровков Предельные теоремы о распределении максимума сумм ограниченных решетчатых случайных величин II// Теория вероятностей и ее применения. 1960. Т. 5, N. 4. С.377-392.

4. Ю.В. Прохоров Управление винеровским процессом при ограниченном числе переключений //Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. Т.71. С.82-87.

5. Д.В. Гусак Об осциллирующих схемах случайного блуждания. I// Теория вероятностей и математическая статистика. 1988. Вып. 39. С.33-39.

6. Д.В. Гусак Об осциллирующих схемах случайного блуждания. 2// Теория вероятностей и математическая статистика. 1989. Вып. 40. С.11-17.

7. Д.В. Гусак Осциллирующие процессы с независимыми приращениями и невырожденной винеровской компонентой // Укр. мат. журн. 1990. Т.42, N. 10. С.1415-1421.

8. В.И. Лотов Об осциллирующих случайных блужданиях //Сиб. мат. журн. 1996. Т.37, N. 4. С. 869-880.

9. Е.В. Булинская Предельные теоремы для моментов остановки случайных блужданий в полосе// Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т.2, N. 4. С.977-997.

10. A.A. Боровков Эргодичность и устойчивость случайных процессов // М.:Эдиториал УРСС, 1999.

11. A.A. Боровков Вероятностные процессы в теории массового обслуживания // М.:Наука, 1972.

12. Б.А. Рогозин Асимптотика функции восстановления // Теория вероятностей и ее применения. 1976. Т.21, N.4. С.689-706.

Список работ автора по теме диссертации

1. Д.К. Ким, В.И. Лотов Об осциллирующих случайных блужданиях с двумя уровнями переключений. Математические труды. 2003. Т.6, N. 1. С. 34-74.

2. Д.К. Ким, В.И. Лотов Асимптотика стационарного распределения осциллирующего случайного блуждания. Сиб. мат. журнал. 2004. Т. 45, N.5. С. 1112-1129.

3. Д. К. Ким Асимптотический анализ осциллирующих случайных блужданий. Математические труды. 2005. Т.8, N.2. С.137-167.

Ким Дмитрий Константинович

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 25 10 2005 Формат 60x84/16 Бумага офсет № 1 Гарнитура Тайме Офсешая печать Меч л 1,2 Тираж 100 Зака) 297

И мл1сл1.спю СО РЛ11 630090,1 1ош>сибирск, Морской нр 2 Филиал "Гсо" 630090, Новосибирск, пр Ак Компот, 3

Р214 15

РНБ Русский фонд

2006-4 20041

Введение

Глава 1. Предварительные сведения и факторизационные представления для производящих функций 9 ■ 1.1 Предварительные сведения о факторизации и вспомогательные леммы

1.2 Достационарный случай.

1.3 Доказательства теорем 1.1-1.5.

1.4 Формулировки результатов в стационарном случае.

1.5 Доказательства теорем 1.6-1.12.

1.6 Пример.

Глава 2. Асимптотика стационарного распределения

2.1 Основные результаты.

2.2 Доказательства теорем 2.1, 2.

Глава 3. Полные асимптотические разложения для распределения осциллирующего случайного блуждания

3.1 Асимптотический анализ производящих функций.

3.2 Предварительные разложения.

3.3 Асимптотические разложения в случае "нормальных" уклонений

Построение и изучение марковских моделей управляемых случайных блужданий является весьма важным разделом современной теории вероятностей. Как правило, подобные исследования имеют многочисленные применения в изучении систем массового обслуживания, в задачах теории хранения запасов, в финансовой математике и других областях. По данной тематике имеется большое количество публикаций, поэтому ниже приводятся ссылки только на те работы, которые имеют лишь непосредственное отношение к предмету проводимых исследований.

Пусть i = 0f 1,2 - три независимые последовательности независимых случайных величин, одинаково распределенных внутри каждой последовательности; при этом предполагается, что Е£п' < О, > 0. Пусть а и b — произвольные числа, о- < 0 < Ь, и Xq — случайная величина, независимая от г = 0,1,2. Определим цепь Маркова следующим образом: для п > 1 положим

Xn-i + й°\ если Xni € [а, 6],

Хп={

Xn-i + если Хп—\ > Ъ,

Хп-1 + Й2), если Х„! < а. Случайные блуждания такого типа обычно называют осциллирующими. Основной задачей этой работы является исследование поведения распределения цепи Хп с ростом п. В ряде работ ( [3], [30], [34], [35]) изучались осциллирующие блуждания, с переключением (или управлением) в нуле. В частности, с помощью факторизацион-ных методов для таких блужданий в статье А.А.Боровкова [3] найдено преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. В остальных трех работах в основном изучались вопросы возвратности и эргодичности. Проблемы эргодичности и вероятности больших уклонений цепей более общего вида изучались в публикациях А.А.Боровкова и Д.А.Коршунова [7] - [10].

Можно рассматривать более общую схему, когда переключения между двумя последовательностями скачков происходят поочередно после достижения полуосей (Ь, со), (—оо,а). Простейшие случайные блуждания такого типа впервые рассматривались в статье Ю.В. Прохорова [26]. Некоторые модификации этой модели при различных предположениях на распределения скачков, а также подобные случайные процессы с независимыми приращениями изучались Д.В.Гусаком, Н.С.Братийчуком, О.И. Елейко (см. [12], [13], [15]- [18]). Позже В.И.Лотовым [24] для этой же схемы блуждания в весьма широких предположениях относительно исходных распределений были найдены преобразования Лапласа-Стилтьеса распределений цепи в стационарном и достационарном режимах. Аналогичные результаты для случайных процессов с независимыми приращениями были получены В.Р. Ходжибаевым (см. [33]).

В настоящей работе мы также имеем два уровня переключений (управлений), однако переключение здесь производится между тремя последовательностями скачков в зависимости от того, в какой из трех зон находится блуждающая частица. Отметим, что случайные блуждания с такой же схемой переключений рассматривались Е.В. Булинской в статье [14] для "трехточечных" случайных величин; при этом изучались вероятности, связанные с выходом рассматриваемого блуждания из полосы.

В диссертации проводятся исследования с помощью так называемого факториза-ционного метода, разработанного в статьях А. А. Боровкова [2], [4], [5], где им были найдены полные асимптотические разложения распределений граничных функционалов для случайных блужданий с одной прямолинейной границей, порожденных суммами независимых одинаково распределенных случайных величин. Как оказалось, этот метод применим для исследования граничных функционалов и в других ситуациях. На его основе впоследствии были найдены полные асимптотические разложения распределений в задаче с одной прямолинейной границей для однородных случайных процессов с независимыми приращениями (Б.А.Рогозин [28], [29]), для некоторых двумерных случайных блужданий (А.А.Боровков, Б.А.Рогозин [11]), а также для случайных блужданий, заданных на конечной цепи Маркова (Э.Л.Пресман [25]). В работах В.И. Лотова ([19] - [22]) использование факторизационного метода позволило найти полные асимптотические разложения распределений функционалов для случайных блужданий с дискретным временем в двуграничной задаче. Двуграничная задача для случайных процессов с непрерывным временем решалась В.Р.Ходжибаевым ([31], [32]) опять же при помощи факторизационной техники.

В своих общих чертах факторизационный метод состоит из нескольких этапов. На первом из них находятся факторизационные представления для двойных преобразований Лапласа - Стилтьеса над искомыми распределениями. Как правило, найденные представления являются слишком сложными для непосредственного обращения.

Обращение в явном виде возможно лишь для некоторых специальных типов блуждания (например, для скачков, распределенных по экспоненциальному закону). Поэтому на втором этапе изучаются аналитические свойства полученных представлений и проводится их.асимптотический анализ в условиях удаляющихся границ. В итоге удается выделить главные части, пригодные для дальнейшего обращения, и получить экспоненциальные оценки остатков. Эти результаты обычно получаются при весьма широких ограничениях крамеровского типа на исходные распределения. Обращение главных частей найденных асимптотических представлений по пространственной переменной не представляет трудностей. Гораздо более сложной является процедура обращения по переменной, связанной со временем. Для этих целей на третьем этапе применяются метод контурного интегрирования, модификации метода перевала, и в конечном счете находятся полные асимптотические разложения распределений изучаемых граничных функционалов.

В диссертационной работе указанная схема действий адаптирована для исследования введенных выше осциллирующих случайных блужданий.

О структуре работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые делятся на пункты (п. 1.1-1.6, п. 2.1-2.2, п. 3.1-3.3), заключения и списка литературы. Результаты первой главы полностью содержатся в работах [37], [45], результаты второй главы опубликованы в [38], и результаты третьей главы — в [39]. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и английскому. Работы автора помещены в конце списка.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Найдены факторизационные представления для двойной производящей функции моментов достационарного распределения исследуемой цепи.

2. Доказано существование стационарного распределения, если Хп принимает значения на решетке целых чисел или если при некотором щ функция распределения ХПо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компоненту; найдены представления для преобразований Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения.

3. Найдена асимптотика стационарного распределения при моментных ограничениях на распределения скачков блуждания в случае, когда расстояние между уровнями переключений неограниченно увеличивается (Ь — а—У оо).

4. В условиях Крамера на распределения скачков найдены полные асимптотические разложения распределения Хп, когда числа |а| и b растут пропорционально -v/n; выписаны в явном виде первые члены этих разложений и указан алгоритм вычисления последующих членов.

1. А.А. Боровков Вероятностные процессы в теории массового обслуокивания // М.:Наука, 1972.

2. А.А. Боровков Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сиб. мат. журн. 1962. Т.З, N. 5. 645-694.

3. А.А. Боровков Предельное распределение для осциллирующего случайного блу- окдания II Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т.25, N.3. 663-665.

4. А.А. Боровков Предельные теоремы о распределении максимума сумм ограниченных решетчатых случайных величин III Теория вероятностей и ее применения. I960. Т. 5, N. 2. 137-172.

5. А.А. Боровков Предельные теоремы о распределении максимума сумм ограниченных решетчатых случайных величин ПЦ Теория вероятностей и ее применения. 1960. Т. 5, N. 4. 377-392.

6. А.А. Боровков Теория вероятностей / / М.:Эдиториал УРСС, 1999.

7. А.А. Боровков Эргодичность и устойчивость случайных процессов / / М.:Эдиториал УРСС, 1999.

8. А.А. Боровков, Д.А.Коршунов Вероятности больихих уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределения 11 Теория вероятностей и ее применения. 1996, Т.41, N.1, 3-30.

9. А.А. Боровков, Д.А.Коршунов Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 2. Достационарные распределения в экспоненциальном случае / / Теория вероятностей и ее применения. 2000, Т.45, N.3, 437-468.

10. А.А. Боровков, Д.А.Коршунов Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 3. Достационарные распределения в субэкспоненциальном случаеЦ Теория вероятностей и ее применения. 2001, Т.46, N.4, 640-657, ^ш

11. А.А. Боровков, Б.А. Рогозин Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блуокданий// Теория вероятностей и ее применения. 1964. Т.9, N.3. 401-430.

12. Н.С. Братийчук, Д.В. Гусак Эргодическое распределение осциллирующего процесса с независимыми приращениями/J Укр. мат. журн.. 1986. Т.38, N.5. 547-554.

13. Н.С. Братийчук, Д.В. Гусак, О.И. Елейко Распределение некоторых функционалов от осциллирующего случайного процесса// Препринт 84.9. Киев: ИМ АН УССР, 1984.

14. Е.В. Булинская Предельные теоремы для моментов остановки случайных блуокданий в полосе// Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т.2, N. 4. 977-997.

15. Д.В. Гусак Об осциллирующих схемах случайного блуоюдания. 1 // Теория вероятностей и математическая статистика. 1988. Вып. 39. 33-39.

16. Д.В. Гусак Об осциллирующих схемах случайного блуоюдания. 2 // Теория вероятностей и математическая статистика. 1989. Вып. 40. 11-17.

17. Д.В. Гусак Осциллирующие процессы с независимыми приращениями и невыро- окденной винеровской компонентой // Укр. мат. журн. 1990. Т.42, N. 10. 1415-1421.

18. Д.В. Гусак, О.И. Елейко Об осциллирующем пуассоновском процессе// Аналитические методы исследования в теории вероятностей. Киев: ИМ АН УССР, 1981.

19. В.И. Лотов. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах.

20. Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т.24, N. 3. 475-485.

21. В.И. Лотов. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах.

22. Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т.24, N. 3, 873-879.

23. В.И. Лотов Предельные теоремы в двуграничных задачах для случайных блуокданий// Докторская диссертация. Москва: МИ АН СССР, 1989. ф

24. В.И. Лотов Об асимптотике распределений, связанных с выходом недискретного случайного блуждания// Труды ИМ СО АН СССР. 1982. Т.1. 18-25.

25. В.И. Лотов Об одном подходе в двуграничных задачах// Статистика и управление случайными процессами. Москва. Наука. 1989, с.117-121.

26. В.И. Лотов Об осциллирующьл: случайных блужданиях //Сиб. мат. журн. 1996. Т.37, N. 4. 869-880.

27. Э.Л. Пресман Методы факторизации и граничная задача для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова// Москва: Изв.АН СССР. Серия матем. 1969. Т.ЗЗ, N.4 861-900.

28. Ю.В. Прохоров Управление винеровским процессом при ограниченном числе переключений / /Тр . Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. Т.71. 82-87.

29. В.А. Рогозин Асимптотика функции восстановления // Теория вероятностей^ и ее применения. 1976. Т.21, N.4. 689-706.

30. Б.А. Рогозин, Г. Фосс Возвратность осциллирующего случайного блуокда- ния// Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т.23, N.1. 161-169.

31. В.Р. Ходжибаев Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах для случайных процессов с независимыми приращениями// Кандидатская диссертация. Новосибирск, ИМ СО АН, 1982.

32. В.Р. Ходжибаев Асимптотический анализ распределений в двуграничных зада- щ^ чах для случайных блуоюданий с непрерывным временем// Предельные теоремы для сумм случайных величин. Труды ИМ СО АН СССР. 1994. Т.З. 77-93.

33. B.P. Ходжибаев Об осциллирующих случайных блужданиях с непрерывным вре- ^ менем// Узбекский матем. журн. 1997,

34. J. Keilson, L.D. Servi Oscillating random walk models for GI/G/I vacation systems with Bernoulli schedules// J. Appl. Probab. 1986. V.23. P. 790-802.

35. J.H. Kemperman The oscillating random walk// Stoch. Proc. Appl. 1974. V.2, N.l. P.1-30.

36. Д.К. Ким, В.И. Лотов Асимптотика стационарного распределения осциллирующего случайного блуокдания. Сиб. мат. журнал. 2004. Т. 45, N.5. 1112-1129.

37. Д.К. Ким Асимптотический анализ осциллирующих случайных блужданий. Математические труды. 2005. Т.8, N.2. 137-167.

38. Д.К. Ким О случайных блуснсданиях с двумя уровнями переключений// Материалы XXXVII Международной Научной Студенческой Конференции, Новосибирск, 2000. 71-72. т

39. Д.К. Ким Об осциллирующих случайных блуокданиях с двумя уровнями переключений/ / Материалы XL Международной Научной Студенческой Конференции, Новосибирск, 2002. 143.

40. Д.К. Ким Об осциллирующих случайных блужданиях с двумя уровнями переключений// Материалы межвузовской научной студенческой конференции, Новосибирск, 2002. 12.

41. Д.К. Ким Асимптотика стационарного распределения осциллирующего случайного блуокдания// Тезисы докладов XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2004. 60.

42. Д.К. Ким Асимптотика осциллирующего случайного блуждания// Тезисы докладов V Международной Ферганской конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения". Фергана, 2005. 41.

43. D.K. Kim, V.I. Lotov Oscillating random walks with two levels of switching// Siberiaa Adv. Math. 2004. V.14. N.l.P. 7-46 (перевод статьи 37.). Ф) m