Асимптотический анализ некоторых стохастических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУ ИЛРОТВИШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ именVI М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

МОХАМЕЦ ХАДЖАР

А СИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.00. - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕ ФИ Р А Т диссертация на соискатгие ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Москва - 1994 год

у

г

Работа рнполнена на кафещэе теории вероятностей ме-механико-математического факультета Московского . государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Нйучннй руководитель - доцент Булинская Е.Б.

Официальные оппоненты - д.ф.м.н., профессор Круглов В.М

(ВМиК, ЮТ) . .

д.ф.м.н.,. профессор Рыков В.В. (Московчкая гос. академия Нефти и Газа)

Ведущая организация - Московский государственный институт электроники и математики ^технический университет).

Загаитз диссертации состоится , 16 декабря__ 1994г.

в.16 час. 05 мин..на заседании.диссертационного совета Ц. 053.05.04 при Московской государственном.университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 1.19899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, Московский государственный университет" им.. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудаотжя 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ, Главное здание, 14 этаж.

Автореферат разослан '¿I " К^^Л. 1994г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при. МГУ

доктор физико-матеиатических наук, ...

профессор ' Т.П. Лукашенко

а

Г~~7~ .......:... .. --=--\

1, ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Случайные блуждания являются оцним из самих популярных объектов исследования в теории вероятностей. Это обусловлено, многочисленными приложения.-ми, кодовые имеет теория случайных блужданий. Среди этих приложений находится теошя запасов, в, котопой изучается процесс (^ушсцконитювания хранилища. В храни-, лище возможны случайные поступления я случайные расходы. Интевес представляет асимптотика времен первого опустошения и неисполнения хранилища. С. математической точки зоения это приводит.к изучению случайного блуждания в полосе и исследованию моментов достижения границ полосы. Эта задача изучалась и ранее см. например обзорную' , статью си . Однако в отличие от других работ мы будем, рассматривать эту асимптотику не в простейших предположениях независимости и одинаковой распределенности приращений случайного блужгания, а в более сложных, которые возникают в теории запасов.

- ЦЕЛЬ РАБОТЫ 1 . Получение предельных теорем для времени первого достижения границы для различных видов случайных блужданий. 2. Оценка скорости сходимости е таких предельных теоремах.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ,.Применяется метод моментов, метод преобразований Лапласа, стохастическое упорядочивание. .

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. . .

1. Получены предельные теоремы для времени попадания на границу в неоднородном.случайном блуждании в полосе.

СП . Л.Г..Афанасьева, Е.Н» Булинская. Случайные блуждания с условиями на границе и их применение. Дополнение-

к книге'Н. Прабху. Стохастические процессы теории запасов. М., Мир, 1984.

______,_ а

/"-—--:- ■ -—-:-;-

2. Получены .оценки скорости сходимости в предельных теоремах туи однородного случайного блуждания. 3.. Доказана асимптотическая "экспоненцикяьно.сть момента . достижения "высокого уровня" для о иной модели случайного блуждания, возникающей в теории запасов.. • 4. Исслечованы условия, обеспечивающие-малость вероятнос-■ ти выхода случайного блуждания из полосы за время Т.

ПРИЛОЖЕНИЯ. Диссертация имеет теоретический характер.. Ее результаты могут найти приложения в теории запасов. .

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.Основные результаты диссертации .докладывались на Конференции молодых ученых механико-математического фекулътета МГУ" в 1.992 году и~ка научно- . исследовательском семинаре кафедры теории вероятностей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. Основные результаты дис-сеотации опубликованы в одной работе и две работы подготовлены к печати. '

СТРУКТУРА .И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ,, Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Работа изложена на Ьч страницах. Библиография насчитывает названий.

И. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Первая глава "Асимптотика.момента первого переполнения, (опустошения) хранилища" состоит.из четырех параграфов. В ней исследуются некоторые характеристики качества функционирования.хоанилища.при неограниченном росте, его объема..А именно, исследуется асимптотическое поведение нормированных времен первого, опустошения и.переполнения хранилища. . -Это.лозволяет оценивать надежность рассматриваемой системы и выбирать ее оптимальные параметры

ч_:_;_>

СИ

см. [2] . С математической точки зрения речь пойдет об изучении пне дельного поведения случайного блужтания в полосе при росте ее ширины.

В §1 дается описание рассматриваемой системы. Лред?-полагается, что пополнение запасов может производиться через равные промежутки времени, называемые периодами. Обозначим Zn --уровень запасов в конце.-И- - го периода,

- "чистое пополнение" в течение п - го периода, т.е. разност£ между поступлением и потреблением, ус, -начальный уровень запасов и р - объем.хранилища.

В предположении, что неудовлетворенный спрос, и излишек доставленной продукции теряются, справедливо следующее рекурентнэе соотношение

Vs М'ЧВ • max Co. 2n + xn+f)>n * о

- . U Выражение (!t) задает случайное блуждание, в полосе (Q, с .двумя задерживающимися барьерами. Предельное поведение такого .процесса.при ^ —было изучено в m в том.случае, когда последовательность {^Х^ . состояла из.независимых случайных величин с одинаковым нерешетчат им распределением,- - - - -. . В. отличие от tз5 ниже рассматривается тот-случай, когда пополнение (и потребление). ;может.производиться лишь партиями фиксированного (единичного)размера. При

саз , ^(¡^Цоуа Е, V, _ 0Н(та1 _ слтра.с!йи

о/ /ел Ьоъц _____[*сое. £е-смс/

Зитр. си Уйшкиьш / )

[3]..Афанасьева-Л.Г.,. Еуликская.Е.В. - Некоторые асимптотические результаты.для. случайных блужданий в полосе./ Теория вероятностей и ее применения, т. ХХ1Х,

М, 1984, стр. 654-668.

_;_/

___щ

• • • • -------- - -

эт.омуцается отказаться от требования независимости и .' одинаковой распределенности Х^ (модели 3, 4.данной главы, а также модели с переключением главы 2).

Б §2 изучаются методом моментов четыре модели. В модели 1 предполагается, что в.кажднй из моментов

t = 1,2,... независимо от того, как .протекал процесс ранее, либо поступает требование на хранимый.продукт,. либо происходит пополнение запасов единичного, размера. Иначе говоря, случайные величины Х^ независимы и

?(х11=1)=р, Р(хп=-1)=.д, р+д=1,

т.е. речь идет, о классическом случайном блуждании, возникающем в задаче о разорении игрока. Хотя такой пио-цеос хорошо изучен со многих сторон (см. например [4]), ко исследование различными методами является не.только подготовительным этапом к рассмотрению более сложных . моделей, но и позволяет уточнить известные результаты. В частности, отказаться от требования X // -г-* а при

I—»оо , наложенного в-ш -в случае р><£ . ■ В модели 2 уровень запасов может.не только увеличиваться или уменьшаться на единицу, но и отаваться неизмен-г ныгл, однако требования.независимости и одинаковой распределенности сохраняются. Напротив, в,моделях 3 и 4 распределения спроса.и .пополнения-зависят от.имеющегося уповня запасов. Поскольку Хп-цело численны,- .естественно-предгголожить тоже самое относительно начального состоять ... Феллер В. Введение в.теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964, т.1.

_ С5_]:# ог-оа/ей/. си ('тр'ШСй С*^ $

¿¿шипе- Ы*т 'ФшЛЫ {о . е.и-г?и/-£аЛсе ¿щи РЧШ-сШш сыьо/ и'гшй — ¿Ш/ел с^иеиес. У. Ор^. ¡ж4. . /№, /р. Аао- . .

____па

/• ....... ,. ...... -N

ния и объема хранилища..Нас Ьулут. интересовать моменты первого переполнения и.-первого..опустошения хранилищаг поэтому удобно положить объем хранилища к= /-1 и рас-, сматривать блуждание с поглощащим барьером в. точке / . Идя моцелей Т и 3 в нуле рассматривается отражающий, а для моделей 2 и 4 задерживающий барьер. К рассмотрению отражающего барьера в нуле приводит предположение.-о возможности.экстренных постановок в случае опустоше:-ния хранилища. Случайная .величина - момент первого достижения точки / , исходя из.точких .будет предоставлять собой момент первого.переполнения хранилища. Наша главная цель .состоит в доказательстве асимптота-, ческой показательности Т^дяя блужданий .с отрицатель-.ным сносом. Поскольку в этом случае применение метода моментов требует знания и^Ыя (1^/п;при. всех Y1 • -то даже в простой модели.1 приходится проводить "громоздкие вычисления. А именно, исследуется репение слоте-"-мы разностных уравнений

,Uri(X)=pUn(3f+1)+<iU:n(X-T) +Jn(X j ,n>0. (2)

где £ (X) = yKtt) .11*1. f(%) S 0 ,

M-o - 1

с граничными значениями 1

Цп(/) .-о . ч/

Справедлива следующая лемма. - .

В случае p-^fc <f при всех Л и 1 < Х< / решение задачи (2), (3) имеет вид

--" . ■ " - :...... - ......: -■ .

. З'-чр'1 . 8 =(<3 - Р)"1 • -1)1 •

Поскольку _ -и; (X) =С ( $■*) - £ {I - *) , где

—л

С=2рс[(С[-р) , то ясно, что в случае отрицательного сноса среднее время достижения высокого уоовня

/ растет экспоненциально, а при положительном сносе

(п > сП линейно-

(X) „.<*> '

Обозначим ^ .= . Ьг/МТ^ . Представление (4) позволяет доказать еледующий.результат

ТЕОРЕМА, При р<3 ■ если. начальное состояние X -фикси- | ровано или растет с ростом / так, что / - % —э-о-о.то

РЫ'^ут) п?и / —♦ оо . (5;

В случае-р>о; асимптотическое поведение Т} носит-иной характер, как показывает

ТЕОРЕМА, при р>д , если, начальное состояние-Л?- фиксировано или растет с ростом (. так, что I -х—>со, то и> - - - - ' - -

1 гфК I —-V ( 6)

Для доказательства этого результата достаточно знать

только ИТ/*1 и .....

В модели 2 вместо (3) изучается система уравнений

ипс* ) = р г ип (.х)+чиь{% -1) +/пс%) (7)

с граничными условиями:

ип(/)= о- .

о) (1) + — с п"1Г. (о) •

Расоуждекия,. аналогичные предыдущим позволяют доказать

следующее утверждение

ШШк любом У/ О и >ру

П Чг^-^г-Т (Ч1 —

п Чч -Р У / к Р '

_ ш

■■

Отсюда,следует, что отношение С6) .справедливо.и для модели 2. ' • .

.' .Случай р?(| и р= 7 исследованы в - т: где установлено, что при любом % ^.О.и р;> ^.справедливо соотношение (6), а при р= с| предельное распределение имеет плотность, зависящую от с, где с=1ш1 х»'

Г,

I

Б моделях 3 и 4 , соответственно в упавнениях С 2) и (7) вместо р, ^ иг стоят рг и • так. как распре-,

деление, сдвига зависит от той точки, в которой находится процесс блуждания.

ЛЕММА Предположим, что в модели 3 —£->1 + сГ у О,

тогда

и.п(.о) ^п! ( с X |

£ =4 '2,... I -1; -гг-Х } =1.2,... I -2

.... * V ..............

Аналогично результаты справедливы дая модели 4.......

В §3 результат (5) устанавливается.с помощью преобразований Лапласа.. Это служит подготовкой .к §4, где оцени--вается скорость.сходимости к. показательному распределению. Обозначим через •) функцию распределения., случайной величины - Т/УМТр , а через СО)-- .показательную функцию распределения С {рО =1- . Тогда

I) С I —*2>3> а каша Пель состоит.в том, чтобы оценить величину р I Г^ С*) -йМ I • Доказан следующий..результат..для..модели..1,___________________________

ргМиш А? Ьогиг сш^Ш ¡>Шб£/е/& ?*и>сЫ$, ХХШ ' ОцоЫ'' РоЫа ЫемльЗ? ¿смшал •та/'Ьг- Х^ее^апе, р. /У.

______________, ш

У-.....- ■ " ■

ТЕОРЕМА При р< Ч ^ (

I^с ь у ,

где С - некоторая постоянная.

Во второй главе диссертация изучаются, модели с переключением. В.§1 дается описание этих моделей, которые иначе можно назвать управляемыми моделями. Причины, по которым интересно ими заниматься, легко -. . объяснить, обратившись к.их.интерпретации, на языке тео;-рии запасов..Как..известно (см. [(];), каков бы ни-был ... начальный уровень .запасов % , если его изменение опи-т ... сывается простым случайным блужданием,, то .рано или.поздно произойдет'опустошение или пополнение хранилища. Поскольку такие события .нежелательны, естественно ввести управление,, задерживающее -их.поступление- как.можно дольше.-Так как среднее-время достижения.границы растет линейно, -если спро.с направлен в.сторону границы, и экспоненциально,, 'когда он в.противоположном.направлении. .. то вдоль границы Он/, .выделяются..две полосы, .где производится управление поставками и потреблением. А.именно если уровень запасов опускается ниже./*. , то часть тре-. бований на гоанимый продукт удовлетворяется (либо прои,з-водягся дополнительные заказы),.в.то время как .превышение. уровш (/, £ ¿а) ведет к тому, что уменьшается частота поставок» .. ......... ..............." ____ ...

. Таким, образом,, мы приходим к изучению- .случайных блужданий, у ко.торых при ..достижении .."состояний переключения 11 и /.„. может, меняться направление -спроса. Этим :они. от-лкчаотсяютг неуправляемых-моделей 'главы,!, где направление сноса-было постоянно-во зсей..долосе {о,1) . Для таких .блужданий- решаются .две задачи: исследование асимптотики . .времени..достижелия .".высокого.уровня'.' и находятся условия,...обеспечивающие малость вероятности выхода из. полосы за-время Т......... ...

В §2 изучается сле дующее случайное - блуждание В.на отрезке [о,. На интервале (О, частица может совершать ,

и

прыжок на один иаг влево или вправо с вероятностями 10 я р( . В промежутке[ эти вероятности равны ч^и ^

В области [¿¿9 ¿) частица может либо совершить .прыжок на один шаг влево с вероятностью , либо на один шаг вправо с вероятностью р , либо остаться на месте с вероятностью .

Точка 0 является отражающим барьером, а I - поглощают щим. Мы будем всюду предполагать, что ро > Чд .Р^-С Обозначим через .момент первого достижения точки / исходя из точки х . Если > . , введем два случайных блуждания В1 и В2 на (- оа, + со). В В1 вероятности ска чков из точки ¿у/ í■l влево и .вправо равны соответственно о^и р , а из точки с < - соответственно ^и р , , (=1-р -- вероятность остаться на месте). Блуждание В2 ведет себя при ¿'-^ также как и В1, а при к ¿1 соответствующие вероятности равны:

ч0 (;I - 71))". . Р, =1 - л - чэ •

Обозначим через Т]г времл через которое частица в блуждании В впервые 'поподет (исхочя из (г) в I или . Аналогично, пусть Т(1) к Т(2) - это времена первого, возвращения в /¿(исходя .из /д.)в блужданиях В1 и В2. ЛЕММА 1. Имеет место'сходимость

т

^' Т (Т) , t

ЛЕША 2. Блуждания В и В2 можно определить на одном

вероятностном.пространстве так, .что ,п.н.

Для.доказательства леммы 2 используется следующая

ЛЕША 3. Рассмотрим два случайных блуждания В', и В на

ьа , о] с отражением в 0,. начинающееся в точке У <0,

Эти случайные блуждания задаются соответственно вероят-

' л'' J' 4

ностями скачков.с[к , , р^ и , . vH . к

Предположит, что выполнены.елеяухдае условия: 4 > ?к. . к=-1,-2,...

it < _в< .....

г, г, / t Л— « t —-С. # • • •

X \

{

Р^ ^ \ ^ 1 к—1 ,-2,..,

//

Тогда, если и Т^ - это времена попадания в 0, то блуждания В' и Б' можно определить на.одном вероятностном пространстве так, что-, Т* >/ .

ТЕОРЕМА 1. При ^ // —/ , 0 < 1 справедливо соотношение 1т Р(

ОО .

Покажем тепёрь "как изменятся наш рассуждения при В этом случае основную роль играет величина Т^1' , где 1. Аналогами_случайных блужданий 81 и В2,букут следующие блуждания В1 и В2^ В В1 вероятность скачков влево к впсаво из .точки равны и р (и о веро-

ятностью частица останется на месте),. а из точки «•* ^ - соответственно р , Етуждание. В2. при

I ^ 1 совпадает с В1, а. при ¿ соотвётствутащие -вешятноетк есть Р?=1ПаХ(Рг' ( ~

Мы вводим в рассмотрение величины Т^ - время через которое частица в В впервые попадет .(.исхода из 7,) в или.£ Т(1.) и Т(2)- времена возвращения в 1 в .Ш и В2. Справедливы аналоги лемм 1-3.

ДЕЖА .4. Имее.т место -сходимость- Т?-Д» Т(1) , I —> & , ЛЕША 5. Блуждания В.и В2 можно определить на одном вероятностном поостранст.ве так, что .т)''^ ,Т(2) п.н. ^ ЛЕММА 5. Рассмотрим два случайных .блуждания В' и В' на оо) сотражением в - 0,. .начинающееся в точке %> 0... Зти случайные блуждания задабтея соответственно вероятностями скачков , и- ^ , . р* . Предположим, что выполнены следующие условия:

Тогда, если Т^ и Т^- это времена попадания в 0. то .... . блуждания В и В' можно определить на одном вероятности

G3

// ^

ном пространстве так, что Тх ^ Тх . , ТЕОРЕМА 2, При l,/t —»-а. 0<а<1 справедливо соотношение tjf

Um p(%'/ и i,/^ t) =i-e . £>o.

Основной результат состоит в доказательстве предельной теооемы: .

ТЕОРЕМА 3. Пусть % фиксировано и t —со. Тогда

если Jj_ ^ Qi / , о <а < ^ < 1

£*гл Р(Т;х>/ МГД t) =1- ё*. f > о.

В §3 рассматривается случайное блуждание на отрезке [о, Л . На интервале (О, частица может совершать прыжок на один шаг вверх или вниз с вероятностями.р и 90 . 4 < Р • В промежутке [а i , эти вероятности вавгш рГ , q и На отрезке[ v v а/) слу-

чайное блуждание симметрично,■т.е. р= ij = 2' Предположим, что.в начальный момент времени частица находится .в точке С/..Нам требуется найти.условия, при которых существует такие константы с, / < с, что вероятность вийти за время Т на границы 0 или / стремится к 0. Пусть есть симметричное случайное блуждание в полосе (0.L) и глк начинаем его из точки 1, Обозначим через ^ момент достижения точки 0 или Ь . Пусть Т^ ,"7^,...-независимне случайные величины с ti = Т'

ЛЕММА 7. Если Ь |--^оо , то

Т-1+Т1+--.+% _п —"пГ-------^ 7 '.

Обозначил? через № Т^ числа попаданий на границы 0 или Ь .

ЛЕША 8. Пусть --<*■ оа , I. —> ей , тогда ----" \1

1 т

Основной результат: необходимые нам условия выглядят следующим образом: если существует такое £>0, что

(А)

Г4 (8) ч-Г-У

т1 т

о,

то вероятность выйти на границы.0. или С за время.Т стремится к 0, если взять а=1-(1-с)(1-¿) , $ =с(1-1) Если условие .(8) нарушено, то тогда для любого 1> О

либо Т^-Ь) О ■>

и

либо тС-^) и нужных нам констант а и

0 /

не существует.

Пусть в тодках 0 к / есть отражение. В начальник момент времени Т=0 мы находимся в точке е./ . Обозна-

будат обозначаться первый момент

чим через - <57 момент, первого .достижения уровня О или I . Через

достижения уровня / . Положим (

(I)

^ V '

-1

Я У

а.,/

а =

2

ТЕОРЕМА 4.

о

ТЕОРЕМА 5.

\ - ■ - -х -

оО .

— оо

и

/'

Пусть I/ ттоемя попадания в точку I .при условии, что вначале мы находимся в точке 7 =

ТРОРР.ЗДА в. если: ;2j¡f/<7< а/;

2 а1 , t со, тогда

ТЕОРЕМА 7 если Jy al , i ~2 =с= Con S/", тогда

В заключение автор выражает глубокую благодарность, своему научному руководителю. - доценту Еулинской Е.В. за постановку интересных задач,, постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.

Ж . иУБШАтдаи артора по ттата ВДга?РТАГ1М.

1. Мохамвд Хад.тар. Асимптотика времени первого опустошения хранилища. Вестник Московского университета,. -сер. 1.математика, механика, 1993, .№1, стр. 97-101.

По теме диссертации будет опубликовано:

2. Мохамед Хаджар. Асимптотическая экспоненцкалъность-момента достижения "высокого уровня". Вестник Московского университета, в печати . ...

3. Мохамед Хаджар. Исследование условий,.обеспечивающих малость вероятности выхода из.полосы. Вестник Мосвовс-кого университета, в печати .