Исследования по стохастическим дифференциальным уравнениям и их приложениям в стохастическом регрессионном анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ



Российская Академия Наук Математический институт имени В.А.Стеклова

на правах рукописи

УДК 519.21

Мельников Александр Викторович

Исследования по стохастическим дифференциальным уравнениям и их приложениям в стохастическом регрессионном анализе

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Ордена Ленива и Ордена Октябрьской Революции Математическом Институте имени В.А.Стеклова Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты;

академик Литовской АН,

доктор физико-математических наук

Б.И.Григелионис

доктор физико-математических наук

А.Н.Бородин

доктор физико-математических наук

М.В.Бурнашев

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации РАН

Защита состоится 11 мая 1995 г. в 14.00 на Заседании специализированного Ученого Совета Д.002.38.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 117966, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан " 7 " апреля 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного ученого совета

д.ф.-м.н., профессор В.А.Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Стохастические дифференциальные (интегральные) уравнения занимают видное место в теории случайных процессов. Наряду с многочисленными применениями они дают эффективный способ построения процессов сложной природы на основе более простых (процесс Орнштейна-Уленбека в физике, геометрическое броуновское движение в финансах и др.). Современное состояние этой теории во многом определили мартингальные методы, которые позволили построить наиболее полную и замкнутую теорию стохастического интегрирования, что послужило теоретической основой изучения стохастических уравнений по семимартинга-лам (см. книги Гихман, Скороход. 1982, Проттер, 1990, Мао, 1991). Непосредственно к этому актуальному направлению стохастических дифференциальных уравнений относится настоящая работа, в которой детально рассмотрены не только традиционные проблемы данной теории (существование, единственность, асимптотические свойства решений), но и даны весьма эффективные приложения ее методов в регрессионном анализе, "стохастизируя" эту классическую область математической статистики.

Цель работы. Целью диссертации является развитие таких новых методов исследования, которые позволяют получить существование и единственность решений стохастических уравнений с негладкими коэффициентами и давать детальный анализ асимптотического поведения решений. В приложениях к стохастическому регрессионному анализу цель работы состоит в систематическом развитии таких общих моделей стохастической аппроксимации и регрессии, которые унифицируют классические дискретные и непрерывные модели, изучавшиеся ранее раздельно.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

В работе систематически исследовано направление стохастических дифференциальных уравнений, связанное с современной теориейин-тегрирования по семимартингалам. Разработанный в ней метод монотонных приближений и обобщенные на семимартингалы оценки Крылова позволили доказать теоремы существования и единственности сильных решений рассматриваемых уравнений с нелишшщев-

скими коэффициентами. Изучены асимптотические свойства сильных решений, включая сходимость в среднем квадратическом и слабую сходимость распределений последовательностей решений.

На основе линейных стохастических уравнений по семимартин-галам построена и изучена унифицированная модель финансового рынка, включающая многие известные модели современной финансовой математики (модель Блэка-Шоулса, модель Кокса-Росса-Рубинштейна и др.).

С помощью методов рассматриваемых стохастических уравнений найден новый подход к некоторым классическим проблемам регрессионного анализа. В диссертациипредложеныобобщенныепро-цедуры стохастической аппроксимации, детерминированным аналогом которых является метод касательных Ньютона. Для изучения их асимптотического поведения (сходимость (п.н.), асимптотическая нормальность и т.д.) найден адекватный математический аппарат в виде стохастических экспонент (экспонент Долеан). В частности, предлагаемый метод стохастических экспонент позволяет сводить вопросы устойчивости таких процедур к сходимости положительных семимартингалов, играющих роль своеобразных стохастических функций Ляпунова.

Доказан усиленный закон больших чисел для многомерных мартингалов, являющийся естественной многомерной формой знаменитого результата Колмогорова.

Изучены линейные по параметру модели регрессии с мартингаль-ными шумами, для которых получены весьма общие результаты о строгой состоятельности и асимптотической нормальности МНК-оценок. - ■.

Введен класс последовательных МНК-оценок, обладающих важным свойством гарантированной точности, позволяющим строить доверительные интервалы и последовательные критерии различения статистических процедур, в том числе в задаче о разладке для семимартингалов. Показала эффективность последовательных МНК-оценок по сравнению со стандартными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре "Статистика и управление случайными процессами" в Математическом институте им. В.А.Стеклова в 1980-

1994 гг., на Вильнюсской Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (1981, 1985, 1989), на Всемирном Конгрессе Общества Беркулли (1986 - Ташкент, 1990 -Упсала), на Европейской встрече статистиков (1991 - Барселона), на Международной конференции по случайным процессам (1988 -Рим), на Международной конференции по статистике и финансам (1992,1994-Берлин), на Советско(российско)-финском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (1987 - Хельсинки, 1989 - Ленинград, 1991 - Турку, 1993 - Москва), а также на целом ряде других семинаров и конференций.

Публикации. Главные результаты диссертации опубликованы в работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав с аннотациями, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы и списка основных обозначений. Список литературы состоит из 120 наименований, общий объем работы - 122 страницы журнального формата.

Содержание диссертации

Во введении дана краткая характеристика того направления исследований, к которому относится настоящая работа, и изложены ее основные результаты.

Глава 1 носит базисный характер для всей диссертации. В § 1.1 излагаются необходимые в дальнейшем понятия и факты из общей теории случайных процессов (понятие (локального) мартингала и семимартингала, понятие предсказуемости и стохастического интеграла, формула Ито). §1.2 посвящен вопросам сходимости (п.н.) локальных мартингалов и семимартингалов. Наряду с известными фактами в нем доказывается один из основных результатов работы

- усиленный закон больших чисел для многомерных (локальных) мартингалов (Теорема 1.2.1), состоящий в следующем. Пусть М

- локально квадратично интегрируемый мартингал со значениями в й > 1, ((М)) - матричная квадратическая характеристика. Пусть предсказуемый "неубывающий" (с£хй)-матричнозначный процесс At оо (п.н.) при г оо в смысле сходимости (с одинаковой

скоростью) всех его собственных значений и (п.н.)

/•со

/ ЪА^сЩМ^АТ^коо.

Ло

Тогда имеет место сходимость

Аг 1М4 -> 0 (п.н.) при * ->■ оо.

(2)

В частности, из (1)-(2) для сумм независимых случайных величин получаем знаменитый усиленный закон больших чисел Колмогорова (см. Колмогоров, 1974). В дальнейшем, (2) находит свое естественное применение для исследования сильной состоятельности рекурентных процедур и МНК-оценок (см. § 3.2, § 4.2).

В главе 2 систематически изучаются вопросы существования и единственности, свойства сравнения, сходимости и точного асимптотического поведения сильных решений стохастических (интегральных) уравнений вида

где Хо - конечная (п.н.) случайная величина, А - непрерывныйвоз-растающий процесс, М - непрерывный локальный мартингал, /, д - заданные функции.

§ 2.1 носит базисный характер в том смысле, что в нем дается описание стохастических уравнений вида (3) и формулируются два принципиальных и необходимых в дальнейшем результата: о сущес-твованиии единственности сильных решений уравнения (3) при лип-шицевских коэффициентах /ид (Лемма 2.1.1) и теорема сравнения для сильных решений этого уравнения (Лемма 2.1.2).

Одной из главных проблем стохастических дифференциальных уравнений является исследование существования и единственности решений при возможно более широких условиях на коэффициенты и компоненты семимартингалов в уравнении (3) (см. Липцер, Ширяев, 1974, Крылов, 1977, Гихман, Скороход, 1982, Проттер, 1990). В § 2.2 для целого класса уравнений (3) разработанновыйме-тод доказательства существования сильных решений, основанный

на установленном ранее свойстве сравнения этих решений (метод монотонных приближений). Это позволяет доказать существование сильного решения для уравнения (3) с непрерывным или кусочно-непрерывным коэффициентом / и лишшшевским коэффициентом д (Теорема 2.2.1). Известные до сих пор методы работают исключительно при условиях лшшшцевского типа на оба коэффициента уравнения.

Изучение вопросов сильной единственности, а также существования слабых решений для широкого класса уравнений (3) с нерегулярными коэффициентами привело к изучению следующих оценок (см. § 2.3, Теорема 2.3.1):

Ef ip(Yt)dVt < const ||</2||i,d(tr), (4)

Jo

где У - семимартингал, V - возрастающий процесс, т - момент выхода процесса У из ограниченной области U С Rd, d > 1. В случае процессов Ито оценки этого типа получены Крыловым (см. Крылов, 1977). С помощью обобщенных оценок Крылова (4) получена сильная единственность сильных решений уравнения (3) с / = О, д - положительной ограниченной сверху и снизу функцией ограниченной вариации (Теорема 2.3.2), а также распространена формула Ито для локальных мартингалов на один из Соболевских классов функций.

В § 2.4 исследовано асимптотическое поведение траекторий сильных решений Xt уравнения (3) при t —»• оо. Даны условия "ухода на бесконечность" и указана его скорость (Теоремы 2.4.1, 2.4.2):

X

--> 1 при' At Т со,

JoAt

где /о = , lim f(x).

'|а:|—>00

На основе стохастической Леммы Гронуолла (см. Метивье, 1982, Мельников. 1982) исследована локальная среднеквадратическая сходимость сильных решений уравнения (3). Изучена также слабая сходимость их распределений (Теоремы 2.4.3, 2.4.4).

Линейным стохастическим уравнениям посвящены § 2.5 и § 2.6. Решениями таких уравнений являются так называемые экспоненты Долеан, или стохастические экспоненты (см. Липцер, Ширяев, 1986, Проттер, 1990). Они играют важную роль в различных разделах теории мартингалов, а в настоящем исследовании систематически используются в качестве действенного технического средства. Поэтому § 2.5 целиком посвящен изучению различных свойств стохастических экспонент, сформулированных в виде Лемм 2.5.12.5.4 и доказанных в этом параграфе. Следующий § 2.6 дает представление о весьма актуальной сейчас области - стохастическом анализе современных финансов и его использовании при моделировании финансового рынка (см., например, Ширяев, 1994, Хулл. 1989). Предлагаемая модель основывается именно на линейных стохастических уравнениях вида (3):

где И, Н - семимартингалы, а а^ и Х1 описывают динамику цен облигаций и акций.

В рамках модели (5) получены критерии отсутствия арбитража, т.е. получения прибыли без риска (Теоремы 2.6.1, 2.6.2), дана

Примерах 2.6.1-2.6.2 показано, что общепринятые в финансовой математике модели Блэка-Шоулса и Кокса-Росса-Рубинштейна естественным образом вкладываются в (5).

Стохастические уравнения вида (3) позволяют по-новому взглянуть (см. Главы 3 и 4) на две большие проблемы классического регрессионного анализа:

задачу нахождения единственного корня в уравнения регрессии R{ß) = 0 и .

задачу оценки самой функции регрессии R.

Редко когда удается получить точное решение первой задачи. Напомним, что даже в детерминированном случае, когда (гладкая)

функция Я доступна точным измерениям, ответ дается в виде ре-куреитной последовательности, получаемой методом касательных Ньютона. В случае же функции регрессии, возникающей в математической статистике, на измеряемое значение Я оказывают влияние случайные помехи, моделируемые последовательностью случайных величин (£„) с нулевым средним. При этом ответ дается с помощью известной процедуры Роббинса-Монро:

вп=вп^ 1-7п-й(0п-1) - 7П£П, п = 1,2,..., (6)

где (уп) - положительная числовая последовательность, стремящаяся к нулю.

Если наблюдения за функцией Я осуществляются непрерывно, то естественна общепринятая диффузионная модель стохастической аппроксимации:

¿вг = -ЪЯ{вь)сИ-ъ6.Ши (7)

где IV - стандартный винеровскпй процесс, (7*) - положительная числовая функция, убывающая к нулю.

Предельное поведенйе (сходимость (п.н.), асимптотическая нормальность и др.) процедур (6)-(7) хорошо изучено и основало на конструировании аналогов функций Ляпунова и предельных теоремах для случайных величин и процессов, модулирующих ошибки наблюдений в моделях (6)~(7) (см. Невельсон, Хасьминский, 1972, Коростелев, 1984, Цыпкин, 1984, Кейнс, 1988).

В § 3.1 вводится следующая модель стохастической аппроксимации, включающая (6)-(7) в качестве частных случаев. Пусть т -локальный (обычно локально квадратично интегрируемый с квад-ратической характеристикой (т)) мартингал, а - возрастающий предсказуемый процесс, 7 -положительный предсказуемый процесс убывающий (п.н.) к нулю. Тогда процедурой стохастической аппроксимации для в называется сильное решение вt стохастического уравнения следующего специального вида

' вг=60- [ -гаИ(9л-)е1а,- [ у„¿та, (8)

Jo Ло

являюшегрся частным случаем уравнения (3).

Общий подход к исследованию (8) излагается в § 3.2 и основывается на следующем. По характеристикам модели (8) строится экспонента Долеан St как решение линейного уравнения

£t = l- [ ßis£s-das, (9)

J о

где величина ß > О определяется из разложения

R(x) = ß(x-e) + U(x), U{x) = 0((x-6)2), х->0.

Ключевое значение указанной экспоненты состоит в том, что в контексте данной работы процесс <?t-1 (вt — в)2 оказывается положительным семимартингалом с хорошо изученным предельным поведением (своеобразная стохастическая функция Ляпунова для уравнения (8)), а 1 (6t — 9) - локальным мартингалом (с точностью до исчезающего при t —> оо слагаемого). Отсюда с помощью теоремы сходимости (п.н.) неотрицательных семимартингалов и предельных теорем для локальных мартингалов (см. Липцер, Ширяев, 1986) получены весьма общие результаты о сходимости (п.н.) и асимптотической нормальности процедуры (8) (Теоремы 3.2.1,3.2.2).

Специальному случаю гауссовской модели (8) посвящен §3.3, где детализированы результаты предыдущего параграфа для детерминированной возрастающей функции at t 00 (t t оо), гауссовского мартингала т с дисперсией (m)t = a2at, a2 > 0, и нормирующего параметра процедуры

7t = с*(1 +Ot)_r, 0 < г < 1.

При достаточно естественных технических предположениях о функции регрессии R имеет место асимптотическая нормальность в сле-

дующей форме (см. Теоремы 3.3.3, 3.3.5):

а\/\вг-в) Л Л^О, V

* у > г-+оо ^ ' 2/Зог - 1 /

рае г=1, (10)

рае г 6(0,1). (11)

Например, как прямое следствие (10), получаем хорошо известные утверждения об асимптотической нормальности процедур (6)-(7) (см. Невельсон, Хасьминский, 1972):

В § 3.3 исследовано и точное поведение траекторий процедуры (8) при < —>• оо с помощью закона повторного логарифма для гауссов-ских мартингалов (см. § 1.2). По существу при тех же предположениях, что ив случае асимптотик (10)—(11) имеют место соотношения, позволяющие судить о скорости сходимости рассматриваемой процедуры (8): (п.н.)

а1/2\в1-в\ аа ' /1

Пт Бир, * 1 ' = ^г-■ Рае{-,1), г= 1,

4->осР(21оё1о8а4)1/2 2/За — 1 м \2 /

1 - § <Ра < 2г - 1 (Теоремы 3.3.3, 3.3.6).

В асимптотике (11), очевидно, наилучшая скорость сходимости достигается при нормировке а\/'2. Взяв эту нормировку и заменяя

стандартную процедуру (8) ее усреднением вг = at 1 / 6S das при

J о

г е (0,1), ßa 6 — r,2r — , имеем, что

а

_я\ А лЛп ^

(12)

Соотношение (12) можно трактовать как асимптотическую эффективность усредненной процедуры поскольку в линейноймоде-ли асимптотика ковариации наилучшей оценки совпадает с ^ (см. §3.3).

В § 3.3 также введена обобщенная модель Кифера-Вольфовица (см. Невельсон, Хасьминский, 1972), для шторой аналогичными методами получены теоремы о сходимости (п.н.), асимптотической нормальности, законе повторного логарифма.

Вторая из указанных выше задач получает свое адекватное решение в Главе 4 для следующей линейной по параметру 9 Е , к > 1, модели регрессии:

¿Хг = Я04аг+Ши (13)

где а - предсказуемый возрастающий процесс, / - (к х (¿)-матрич-нозначный предсказуемый процесс-регрессор, М - локальный мартингал со значениями в В?, ¿>1.

В § 4.1 показано, что модель (13) включает многие частные случаи такие, как процессы авторегрессии, диффузионные и точе^шые процессы. В качестве оценок предлагаются статистики вида

вг = Ц* 1эК ¿а^ 1 £ и ¿Хя, (14)

которые имеют структуру МНК-оценок и называются в дальнейшем МНК-оценками.

Сильная состоятельность (Теорема 4.2.1) оценок (14) выводится из усиленного закона больших чисел (2) и формулируется в терминах информационной матрицы

F.

— / fsfsda3'-+ оо (п.н.)

J о

при I оо в смысле сходимости (с одинаковой скоростью) ее собственных значений. Показывается (Теорема 4.2.2), что модель (13) обладает в некотором смысле свойством робастности, весьма важном в различных статистических моделях. В том же § 4.2 доказана асимптотическая нормальность оценки (14), а для взвешенной МНК-оценки получен аналог закона повторного логарифма (Теоремы 4.2.3, 4.2.4). В § 4.2 обсуждается также связь оценивания по методу наименьших квадратов и рекурентного оценивания (см. Цып-хин, 1984, Кейнс, 1988). Оказывается, при оценивании параметра регрессионной модели (13) также может быть построена рекурент-ная процедура, асимптотические свойства которой эффективно исследуются с помощью специально построенной по параметрам модели экспоненты Долеан (Теорема 4.2.5).

В § 4.3 изложены некоторые уточнения теорем предыдущего параграфа в том случае, когда характеристики модели (13) детерминированы. При этом единственным условием сильной состоятельности изученных оценок является сходимость к бесконечности минимального собственного значения информационной матрицы Рг (Теорема 4.3.1). Там же исследован вопрос о больших уклонениях для многомерных локальных мартингалов. На этой основе получены оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для многомерных мартингалов и, как следствие, скорости сходимости МНК-оценок (Теорема 4.3.2 и ее следствия). Завершает § 4.3 линейная регрессионная модель, оценивание параметра которой осуществляется с помощью достаточно большого повторения наблюдений.

Важный класс оценок введен и изучен в § 4.4. Предлагаемые в нем последовательные МНК-оценки 6н,Н > 0, выгодно отличаются от стандартных. Они строятся на основе оценок (14) по наблюдениям до некоторого момента остановки г я (в одномерном случае -это первыймомент пересечения предсказуемым возрастающим процессом / уровня Н) и имеют при этом гарантированную точ-

Jo

ность оценивания (Теорема 4.4.1):

Ювн < соивШ^. (15)

Там же изложены частные случаи рассматриваемый оценок (см. Конев, 1985) для процесса авторегрессии, диффузионных, точечных, ветвящихся процессов. Показывается, что в ряде случаев последовательные оценки более эффективны в сравнении с обычными МНК-оценками. В § 4.4 построены также (Теорема 4.4.3) последовательные критерии различения статистических гипотез о параметре сноса наблюдаемого семимартингала на основе предложенных последовательных статистик со свойствами (15). Те же последовательные методы используются в § 4.5 для решения задачи о разладке (см. Ширяев, 1976) для семимартингалов, при этом снова оценка дисперсии (15) играет ключевую роль.

Основные работы автора по теме диссертации

1. МЕЛЬНИКОВ А.В. (1982) Лемма Гронуоалай стохастические уравнения по компонентам семимартингалов // Матем. заметки. Т. 32. №3. С. 411-423.

2. мельников А.В. (1986) Закон больших чисел для многомерных мартингалов // ДАН СССР. Т. 286. №3. С. 546-550.

3. МЕЛЬНИКОВ А.В. (1988) Задача о разладке семимартингалов // Теория вероятности и ее примен. Т. 33. №3. С. 621-625.

4. МЕЛЬНИКОВ А.В. (1988) Процедуры стохастической аппроксимации в статистике процессов семимартингального типа // Успехи матем. наук. Т. 43. №4. С. 215-216.

5. мельников А.В. (1989) Процедуры стохастической аппроксимации для семимартингалов // Статистика и управление случайными процессами. Ред. Ширяев А.Н.. М.: Наука. С. 147-156.

6. МЕЛЬНИКОВ А.В. (1990) О вероятностях больших уклонений для многомерных мартингалов // Успехи матем. наук. Т. 45. №2. С. 213-214.

7. Мельников А.В., Новиков А.А. (1988) Последовательные выводы с гарантированной точностью для семимартингалов // Теория вероятн. и ее примен. V. 33. №3. Р. 480-494.

8. MELNIKOV A.V. (1982) On properties of strong solutions of stochastic equiations with respect to semimartmgales // Stochastics 8. C. 103-119.

9. MELNIKOV A. V. (1982) On strong solutions of stochastic equation with respect to semimaxtingales // Lecture Notes in Control and Inf. Sci. V. 43. P. 122-127.

10. melnikov A. V. (1983) Stochastic equations and Krylov's estimates for semimartmgales // Stochastics 10. P. 81-102.

11. melnikov A. V. (1983) On solutions ofstochastic equations with driving semimartmgales / / Proceedings of European Young statisticians Meeting, Leuven, Catholic Univ. P. 120-124.

12. melnikov A. V. (1988) On regressian models with, non-square integrable martingale-like errors // Publications de l'Institut de Reserche de Rennes 1. P. 97-107.

13. melnikov A. V., novikov A. A. (1990) Statistical inferences for semi-martingale regression models // Probab. Theory and Math. Stat. 2. Ed's Grigelionis etal, VSP/Mosklas. Vilnius. P. 150-167.

14. melnikov A.v., Rodkina A.E. (1992) Consistent statistical estimation in semimartingale models ofstochastic approximation // Ann. Acad. Sci. Fennical, Series A. V. 17. P. 85-91.

15. melnikov A.V. (1993) On a class ofstochastic differential equations arising from the stochastic approximation theory // Stochastics and Stoch. Reports. V. 44. P. 253-259.

16. melnikov A.v., Rodkina A.E. (1993) Martingale approach to the procedures of stochastic approximation // Proceedings of the Third Finnish-Soviet Simposium onProbab. and Math. Stat. Ed's Niemi H. et al, TVP/VSP. Moscow. P. 165-182.

17. Melnikov A.V., Rodkina A.E., Valkeila E. (1993) On a general class of stochastic approximation algorithms // Proceedings of the Third Finnis-Soviet Symposium on Probab. and Math/ Stat. Ed's Niemi H. et al, TVP/VSP. Moscow. P. 183-196.

18. melnikov A.V. (1994) Asymptotic behavior of stochastic approximation procedures // Statistics and Control of Stochastic Processes. Ed's Novikov A.A., TVP. Moscow.

19. Melnikov A.V., Shiryaev A.N. (1994) Criteria for the abseiise of arbitrage in financial market // Research Actuarial Financial Center. M., Preprint № 1, 15 p.

Список книг и публикаций по теме диссертации, ссылка на которые содержится в автореферате

1. Гихмлн И.И., Скороход А.В. (1982) Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев, 611 с: Наукова Думка.

2. КОЛМОГОРОВ А.Н. (1974) Основные понятия теории вероятностей. М., 119 с: Наука.

3. конев В.В. (1985) Последовательные оценки параметров стохастических динамических систем. Томск, 267 с: Изд-во Томского гос. ун-та.

4. КОРОСТЕЛЕВ А.П. (1984) Стохастические рекуррентные процедуры. М., 207 с: Наука.

5. КРЫЛОВ Н.В. (1977) Управляющие процессы диффузионного типа. М., 398 с: Наука.

6. липцер Р.ш., ширяев А.Н. (1974) Статистика случайных процессов. М., 696 с: Наука.

7. липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. (1986) Теория мартингалов. М., 512 с: Наука.

8. невельсон М.Б., ХасьминскиЙ Р.з. (1972) Процедуры стохастической аппроксимации и рекуррентное оценивание. М., 304 с: Наука.

9. ЦЫПКИН А.З. (1984) Основы информационной теории идентификации. М., 320 с: Наука.

10. ШИРЯЕВ А.Н. (1976) Статистический последовательный анализ. М., 271 с: Наука.

11. ШИРЯЕВ А.Н. (1994) О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятн. и ее примен. Т. 39. №1. С. 5-22.

12. CAINES Р.Е. (1988) Linear Stochastic Systems. N.Y., 874 р: Wiley.

13. Hull J. (1989) Options, Futures and other derivative securities // Prentice-Hall Internationsl Editions.

14. Mao X. (1991) Stability of stochastic differential equations with respect to semimartingales: Pitman Research Notes in Math. Series, 276 p.

15. Metivier M. (1982) Semimartingales. Berlin, N.Y., 287 p: W.De Gruyter.

16. PROTTER Ph. (1990) Stochastic integration and differential equations. Berlin-Heidelberg, 293 p: Springer-Verlag.