Сильные решения бесконечномерных линейных стохастических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Стохастические уравнения в бесконечномерных пространствах — популярный объект исследований последних десятилетий. Это вызвано, с одной стороны, общим развитием бесконечномерного анализа и теории стохастических уравнений, и, с другой стороны, необходимостью описывать случайные явления, изучаемые в химии, биологии, экономике, теории управления и характеризуемые бесконечным числом параметров или параметрами, бесконечномерными по своей природе (например, принимающими значения в функциональных пространствах).

Первые результаты о стохастических уравнениях в бесконечномерных пространствах были получены в 1960-е годы в работах В. В. Баклана (И), Ч. Л. Чантладзе ([21]), Л. Гросса ([29]), Ю. Л. Далецкого ([9], [8]).

Фундаментальные вопросы существования и единственности решения при различных условиях ставились и разрешались многими авторами в 70-х и 80-х годах (см. [23], [28], [19]), они обсуждаются в литературе и в последние годы (см. [27], [34], [24]).

Бесконечномерным стохастическим уравнениям посвящена обширная литература. Написано несколько монографий: Я. И. Белопольской, Ю. Л. Далецкого [3], Д. Да Прато, Д. Забчика [27], Б. Л. Розовского [16], А. В. Скорохода [19]. Отдельные вопросы, связанные с такими уравнениями, обсуждаются в книгах Ю. А. Далецкого, С. В. Фомина [10], А. А. Дороговцева [11] и X. Го [7].

Однако даже для линейных бесконечномерных стохастических уравнений во многих случаях остаются открытыми вопросы существования и единственности решений.

Линейные уравнения в бесконечномерном случае исследовались, в основном, в банаховых пространствах. Отметим, что в банаховых пространствах большая часть работ посвящена уравнениям с неограниченным оператором. К таким уравнениям приводят линейные стохастические дифференциальные уравнения с частными производными. Их можно записывать также как уравнения с непрерывными операторами, но уже в более сложных (ненормируемых) функциональных пространствах. Соответствующие приближенные уравнения в конечных разностях, заменяющие уравнения в частных производных, близки к тем, которые рассматриваются в данной работе. Отметим, что линейные стохастические уравнения в конечномерном случае исследованы в монографии1.

Во многих приложениях приходится рассматривать бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений вида dXn(t) = dWn{t) + J2 ank{t)Xk{t) dt.

Такие системы уравнений можно трактовать как линейные стохастические дифференциальные уравнения в пространстве всех последовательностей. В диссертации, в основном, исследуются вопросы существования и единственности сильных решений линейных стохастических дифференциальных уравнений в пространстве Ж°°. Нетривиальность вопроса связана с тем, что пространство небанахово. В банаховых пространствах обыкновенное дифференциальное уравнение

X'(t) = AX{t) + f(t), Х{0) = Х0, (0.1) и стохастическое дифференциальное уравнение dX(t) = AX(t) dt + f(t) dt + d£(t), X(0) = X0, (0.2) где A - непрерывный линейный оператор, a £(£) - непрерывный (или непрерывный в среднем степени р) процесс однозначно разрешимы для любого начального условия. В ненормируемых локально выпуклых пространствах, даже в полных метрических, ситуация кардинально меняется. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение и стохастическое линейное дифференциальное уравнение могут быть неразрешимы или разрешимы неоднозначно (см. примеры в [25]).

Существование слабых решений некоторых специальных нелинейных уравнений на и слабая единственность для широкого класса начальных условий доказаны в работе [34].

Вопросы существования и единственности сильного решения стохастического уравнения в пространстве до сих пор были изучены мало. Ряд результатов в этом направлении имеется в работах [25] и [13], о чем будет сказано ниже.

1Арато М. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход. Москва, Наука, 1989.

Цель работы. Исследовать условия существования и единственности решения линейных стохастических дифференциальных уравнений в пространстве и их приложения, в том числе, к нелинейным уравнениям в пространстве Ж°°.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано существование сильного решения линейного автономного стохастического дифференциального уравнения в пространстве Найдены необходимые и достаточные условия единственности. Приведен пример уравнения, имеющего бесконечно много решений. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной зависимости решения от начальных параметров. В случае, когда решение автономного уравнения неединственно, указано семейство решений, непрерывно зависящее от начальных условий.

2. Построен пример неразрешимого неавтономного стохастического линейного дифференциального уравнения. Получены достаточные условия существования и единственности решения неавтономного стохастического дифференциального уравнения, непрерывной зависимости от начальных условий.

1. Арато М. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход. Москва, Наука, 1989.

2. Баклан В. В. Уравнения в вариационных производных и марковские процессы в гильбертовом пространстве. ДАН СССР. 1964. Т. 159. С.707-710.

3. Белополъская Я. И., Далецкий Ю. Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. Киев, Вигца школа, 1989.

4. Богачев В. И. Гауссовские меры. Москва, Наука, Физматлит, 1997.

5. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. Москва, Физматлит, 1996.

6. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Москва, Наука, 1988.

7. Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. Москва, Мир, 1979.

8. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения. Успехи матем. наук. 1967. Т.22. N.4. С.3-54.

9. Далецкий Ю. Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов. Доклады АН СССР. 1966. Т.166. С.1035-1038.

10. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Москва, Наука, 1983.

11. Дороговцев А. А. Стохастический анализ и случайные отображения в гильбертовом пространстве. Киев, Наукова думка, 1992.

12. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. Москва, Наука, 1977.

13. Медницкий Ю. В. О существовании сильных решений линейных стохастических дифференциальных уравнений на Ж00. Теория вероятностей и ее приложения. 1997. Т.42. N.4. С.826-831.

14. Пустыльников Л. Д. Бесконечномерные странные атракторы и бифуркации в динамических системах с бесконечным числом степеней свободы. Теоретическая и математическая физика. 1992. Т.92. N.1. С.85-91.

15. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. 2 изд. Москва, Наука, 1990.

16. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы: линейная теория и приложения к статистике случайных процессов. Москва, Наука, 1983.

17. Рыбникова Т. С. О бесконечных системах линейных автономных и неавтономных стохастических уравнений. Математические заметки. 2002 (статья принята к публикации).

18. Рыбникова Т. С. О разрешимости бесконечных систем линейных стохастических уравнений. Теор. вероятности и примен. 2000. Т.45. N.3. С.596-603.

19. Скороход А. В. Стохастические уравнения для сложных систем. Москва, Наука, Физматлит, 1983.

20. Хасъминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайном возмущении их параметров. Москва, Наука, 1969.

21. Чантладзе Т. Л. О стохастическом дифференциальном уравнении в гильбертовом пространстве. Сообщ. АН Груз. ССР. 1964. Т.ЗЗ. С.529-534.

22. Шкарин С.А. Несколько результатов о разрешимости обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах. Матем. сб. 1990. Т.181. N.9. С.1183-1195.

23. Bensoussan А., Тетат R. Equations stochastique du type Navier-Stokes. J. Funct. Analysis. 1973. V.13. 195-222.

24. Bonaccorsi S. Nonlinear stochastic differential equations in infinite dimentions. Stochastic analysis and applications. 2000. V.18. N.3. P.333-345.

25. Bogachev V. I. Deterministic and stochastic differential equations in infinite dimensional spaces. Acta Appl. Math. 1995. V.40. N.l. P.25-93.

26. Coppersmith S. N., Fisher D.S. Threshold behavior of a driven incommensurate harmonic chain. Preprint, Phisics Department, Princeton University, Princeton, 1988.

27. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions, Cambridge University Press, 1992.

28. Dawson D.A. Stochastic evolution equations. Math. Biosci. 1972. V.154. N.3-4. P.187-316.

29. Gross L. Potential Theory in Hilbert spaces. J. Funct. Anal. 1965. V.l. P.123-189.

30. Herzog G. On linear time-dependent row-finite systems of differential equations, Travaux mathematiques Fescicule VIII. 1996. Seminaire de mathematique de Luxembourg. P. 167-176.

31. Korber К. H. Das Spectrum zeilenfiniter Matrizen. Math. Ann. 1969. V.181. P.8-34.

32. Lemmert R., Weckbach A. Charakterisierungen zeilenendlicher Matrizen mit abzahlbaren Spektrum, Math. Z., 1984. V.188. N.l. P.l 19-129.

33. Rybnikova T. S. On Linear Row-Finite Systems of Stochastic Differential Equations. International Conference Stochastic Analysis and Related Topics, Abstracts. St. Petersburg, 2001. P.69-70.

34. Skorohod A. V. On infinite system of stochastic differential equations. J. Methods of Funct. Anal, and Topology. 1999. N.4. P.54-61.

35. Sussman H. An interpretation of stochastic differential equations as ordinary differential equations which depend on the sample point. Bull. Amer. Math. Soc. 1977. V.83. P.296-298.