Исследование детерминированных и стохастических задач в бесконечномерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Парфененкова Валентина Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ

И СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ФиЗ 2015

005558446

Екатеринбург 2015

005558446

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Мельникова Ирина Валерьяновна Официальные оппоненты: Федоров Владимир Евгеньевич, доктор

физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа ФГБОУ ВПО «ЧелГУ», г. Челябинск Тимофеева Галина Адольфовна, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика» ФГБОУ ВПО «УрГУПС», г. Екатеринбург Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева», г. Нижний Новгород

Защита состоится «18» марта 2015 г. в 11 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук на базе ФГБУН «Институт математики и механики им. H.H. Кра-совского УрО РАН» (620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН и на сайте ИММ УрО РАН http://wwwrus.imm.uran.ru/C16/Diss/ Автореферат разослан «23» января 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.04 доктор физико-математических наук

«/]И

Скарин В.Д.

Общая характеристика работы

В диссертационной работе изучаются стохастические дифференциально-операторные уравнения и их связь с детерминированными дифференциальными уравнениями в частных производных в бесконечномерных пространствах.

Актуальность темы

Исследование моделей, построенных с учетом случайных возмущений, и решение стохастических уравнений, к которым приводят такие модели — одна из наиболее актуальных проблем современности. Наряду с решением собственно стохастических задач, важным является изучение связи стохастических задач с задачами для детерминированных уравнений в частных производных, решения которых дают вероятностные характеристики решений стохастических задач. Такая связь важна для развития теории и численных методов как стохастических уравнений, так и уравнений в частных производных.

Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах устанавливает связь между решениями задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений с броуновским движением {/3(£), £ 0}:

¿х{г) =а(4,х(4))<й + г е [0,Т], Х(0) = £, (1)

и решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производных

определяющими вероятностные характеристики д(Ь,х) = Е',:|:[/1(Х(Т))]. Здесь /г — произвольная борелевская функция, Е*'3' — математическое ожидание решения уравнения (1) с дополнительным условием X(£) = х,

о < г ^ т.

В последние годы важность взаимосвязи между стохастическими (1) и детерминированными (2) задачами растет в связи с развитием чис-

gt.it, х) + х)дхр, х) + -Ь1^, х) = 0,

1

д{Т,х)=Н{х),

(2)

ленных методов1 и многочисленными приложениями в финансовой математике. Например, если Х(£) — цена акции в момент времени Ь, то д^,х) — цена опциона, определяемая знаменитым уравнением Блэка-Шоулса.2-4 Среди работ с другими приложениями для математической физики и финансовой математики можно назвать работы Аллена Э.5 и Оксендаля Б6.

Однако многие прикладные задачи приводят к задаче Кошн для стохастических дифференциально-операторных уравнений

сЩг) = лх(г)сй + в<1\у{1), í е [о,т], х(0) = (з)

с операторами А — генераторами некоторых полугрупп и к связанным с ними задачам Коши для детерминированных бесконечномерных дифференциальных уравнений в частных производных

д2а

B'^(t,x)BQ

t G [0,Т], g(T,x) = h(x).

(4)

Поэтому требуется аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств. При этом установить связь между задачами (3) и (4) важно в обе стороны: от стохастической задачи к детерминированной и от детерминированной к стохастической.

Аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств, полученный в настоящей диссертации, позволяет осуществить переход от стохастического дифференциального уравнения (3) к бесконечномерному детерминированному уравнению в частных производных (4) для вероятностной характеристики g(t,x) = Ei'I[/i(A'(71))]. Поскольку в приложениях зачастую требуется найти не конкретные траектории

'M.V. Tretyakov G .N. Milstein. Stochastic numerics for mathematical physics. Scientific Computation series. - Springer, 2004. 594 p.

2T. Бьорк. Теория ap6um])aMia н пепрерывшш времени, пер. с англ. Я.И. Белопольской. - М.: МЦНМО, 2010. 560 с.

'U.A. Goldstein H. Einamirad G.R. Goldstein. Chaotic solution for the Black-Scholes equation. Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 140: P. 2043-2052, 2012.

4S.E, Slneve. Stochastic Calculus for Finance. II. Continuous-Time Models. Springer Finance, 2004. 550 1).

"E.J. Allen. Modeling With Ito Stochastic Differential Equations. Mathematical Modelling: Theory и Applications. - Vol. 22, Springer, 2007. 228 p.

''Б. Оксендаль. Стохастические дифференциальные у!>ами:чия. пер. с англ. H.I1 Королевой и А.И. Матасова, под ред. В.В. Колмановкого. - М.: Мир, 2003. 408 с.

решеннй стохастических уравнений, а их вероятностные характеристики, то этот переход является важным. Необходимость связи в обратном направлении диктуется численными методами: имея детерминированное уравнение в частных производных, становится возможным перейти к некоторому стохастическому дифференциальному уравнению и решать его численными стохастическими методами.

В стохастической задаче Коши (3) оператор А является генератором некоторой полугруппы, в частности, класса Со. Вид оператора А и то, какую именно полугруппу он порождает, важны, во-первых, при решении стохастических задач (3) и тесно связанных с ними однородных задач

Х' = АХ, ¿€[0,Т], Х(0) = £, (5)

во-вторых, при переходе к детерминированным задачам (4), в которых правая часть уравнения определяется генераторами различных полугрупп.

Вследствие возникающих приложений, были введены определения для семейств операторов, дающих решения однородной задачи (5) и образующих полугруппы операторов с различными свойствами непрерывности этих полугрупп в нуле. Позднее были введены многочисленные семейства операторов, связанных с однородной задачей (5), но уже не обладающих полугрупповыми свойствами и называемых регуляризованными полугруппами. В результате в теории полугрупп стала актуальной проблема установления взаимосвязей между различными полугруниовыми семействами и построения классификации различных видов полугрупп, которая и разрешается в рамках настоящей диссертации.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 10-01-96003р и 13-01-00090, Министерства Образования и Науки РФ № 2.1.1/2000 и 1.1016.2011, программы государственной поддержки ведущих университетов РФ (соглашение № 02.А03.21.0006 от 27.08.2013).

Цель работы:

• построение классификации полугрупп операторов, исследование строгости построенных вложений;

• доказательство аналога теоремы Фейнмана-Каца в случае гильбертовых пространств;

• моделирование задач с броуновским движением в естествознании и финансовой математике.

Методика исследований

Теория бесконечномерных стохастических задач находится на стыке функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и теории случайных процессов. В диссертации широко используются методы всех указанных областей математики.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории стохастических дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах и теории полугрупп операторов, а также при разработке специальных курсов по теории стохастических задач и теории полугрупп операторов решений. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при моделировании прикладных задач, возникающих в моделях естествознания и финансовой математики.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12]. Из них статьи [1-4] опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Результаты диссертационной работы докладывались:

• на семинарах кафедры математического анализа и теории функций ИМКН УрФУ под руководством проф. В.В. Арестова;

• на семинарах «Дифференциально-операторные уравнения» под руководством проф. И.В. Мельниковой, ИМКН УрФУ;

• на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН;

• на Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2009 и 2010);

• на Всероссийской молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург (2010);

• на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XXI. Современные методы теории краевых задач», Воронеж (2010);

• на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург (2011);

• на Крымской осенней математической школе-симпозиуме, Севастополь (2011);

• на конференции «Semigroups of operators. Theory and applications», Bedlewo, Poland (2013);

• на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Челябинск (2014).

Материалы, указанных выше конференций, опубликованы в [5-12]. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка обозначений и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, которые делятся на разделы. Нумерация формул, теорем, предложений, следствий

и замечаний тройная и сообщает номер главы, параграфа и номера объекта внутри параграфа. Общий объем работы — 94 страницы. Список литературы содержит 55 наименований.

Краткая история вопроса

Важное место в исследовании стохастических задач занимают бесконечномерные стохастические задачи. Под стохастическими задачами в бесконечномерных пространствах, как правило, понимают задачи для стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах, точнее — для проинтегрированных стохастических дифференциальных уравнений. В базовом случае такое интегрированное уравнение имеет вид:

коротко записываемое в форме дифференциалов (3). Здесь А — генератор полугруппы операторов класса Со решения однородной задачи (5) в гильбертовом пространстве Н, оператор В — ограниченный оператор из гильбертова пространства Н в Н, IV(£) — стохастическая составляющая в форме Н-значного винеровского процесса.

Для изучения решения исходной стохастической задачи Коши (3) важным является исследование ее детерминированной составляющей (5). В случае, когда А является генератором некоторой полугруппы {[/(£)> £ ^ 0} операторов решения задачи (5), например, генератором полугруппы класса Со, решение этой задачи представимо в виде Х{Ь) = £/(£)£. Соответственно, изучение решения как однородной зада,-чи (5), так и неоднородных задач, в том числе (3) и более общих стохастических задач, приводит к необходимости исследования полугрупп операторов решения {£/(<), Ь ^ 0}.

Теория полугрупп операторов — одноиараметрических полугрупповых семейств линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве — возникла в середине двадцатого века в работах Хилле Э. и Фил-

липса P.C.7, Иосиды К.8 и Феллера B.'J. Полугруппа класса Со является базовой в теории полугрупп. В случае, когда оператор А порождает полугруппу класса Со, задача Коши (5) является равномерно корректной. Свойства ее решения, теоремы существования и единственности решения задачи (5), устойчивости, формула представления решения через полугруппу операторов изучались многими авторами.7,10 Однако в приложениях задача Коши не всегда равномерно корректна (иначе говоря, не всегда оператор А порождает полугруппу класса Со), ее решение может существовать не на всей области определения оператора А, быть не единственным или неустойчивым относительно начальных данных.

Вследствие возникающих приложений, после введения полугрупп класса Со, сильно непрерывных при t ^ 0, были введены различные семейства операторов, каждое из которых отражало какую-либо особенность поведения решения однородной задачи Коши. Некоторые из введенных семейств обладают полугрупповым свойством, но задача Коши с оператором А, порождающим такое семейство, не является равномерно корректной. Такие семейства (включая полугруппы класса С0) называют классическими. Другие введенные семейства не обладают полугрупповым свойством, но некоторые их преобразования являются полугруппами. Такие семейства называют регуляризованными.

К классическим относятся такие полугруппы как суммируемые по Абелю или Чезаро7, полугруппы роста а11'12, полугруппы класса С^13 или С*... К регуляризованным полугруппам относятся такие классы семейств, как n-раз интегрированные полугруппы (см., напр., работы

7Р.С. Филлипс Э. Хилле. Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ. Д.А. Ваоилькова, под ред. В.М. Алексеева и С.В. Фомина. 2 изд. - М.: ИЛ, 1962. 829 с.

8К. Иоснда. Флрхкциональный анализ, пер. с англ. В.М. Волосова. - М.: Мир, 1967. 621 с.

9В. Феллер. Введении а тг.прчю вероятностей и ее приложения, пер. с англ. Ю.В. Прохорова, под ред. Б.В. Дынкипа. ■ 2 изд. - в 2-х томах, т.2. М.: Мир, 1984. 752 с.

"'справочная математическая библиотека / под ред. С.Г. Крсйна. Функциональный анализ. 2-е изд., переработанное и дополненное. - М.: Наука, 1972. 544 с.

"П.Е. Соболевский. Об одном классе роста «. Докл. АН СССР, Т. 196, N 3: С. 537, 1971.

12G. Da Prato. Nonveau-type <le semi-groupes. C. if. Acad. Sci. Paris, Ser. Л-В 262: P. 996-998, 1966.

1:tS. Oharii. Semigroups of Linear Operators in a Bauach Space. Publ. RIMS, Kyoto Univ., N 7: P. 205-260, 1971/72.

Арендта В.14,15), /С-конволюционные полугруппы (см. работы Чиора-неску И. и Люмера Г., напр.,16), ñ-регуляризованные полугруппы (см. работы Да Прато Дж.17, Дэвиса Э. и Пэнга М.18 и Миадеры И.19).

В результате введения множества различных видов полугрупп в теории полугрупп операторов назрел вопрос о построении классификации введенных семейств. Первые результаты по единой классификации появились в школе Мельниковой И.В.20'21, они получили продолжение в настоящей диссертации, акцент сделан на строгость вложений и анализ более широкого класса классических полугрупп.

Полученные полугрупповые результаты позволяют использовать их для решения стохастических задач с генераторами различных полугрупп. В случае задачи Коши (3), вклад в поведение ее решения наряду со слагаемым, определяемым семейством операторов решения однородной задачи {U(t), t ^ 0}, вносит стохастическая составляющая, также определяемая через семейство {U(t), t ^ 0}. Развитие теории случайных процессов и теории полугрупп оказывают значительное влияние на развитие бесконечномерных стохастических дифференциальных уравнений.

Наряду с решениями собственно стохастических уравнений, важное место в стохастической теории занимает определение вероятностных характеристик этих решений. Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах устанавливает связь решений задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений (1) с решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производ-

14W. Arendt. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, hmtl Journal of Mathematics, Vol. 59, N 3: P. 327-352, 1987.

1SV. Keyantuo W. Arendt O. El-Mennaoui. Local integrated semigroups: Evolution with jumps of regularity. Math. Anal. Appl., N 186: P. 572-595, 1994.

"'G. Lunier I. Cioranescu. Regularization of evolution equations via kernels K(t), К evolution operators and convoluted semigroups, generation theorems. Seininar Notes in Func. Anal, and PDEs. -Lousiana State Univ., Baton Rouge, P. 45-52, 1994.

17G. Da Prato. Semigruppi regolarizzabili. Ricerche di Mat, N 15: P. 223-248, 1966.

"M.M.H. Pang E.B. Davies. The Cauchy Problem and a Geueralization of the Hille-Yosida Theorem. Pnic. of The London Math. Soc., N 55: P. 181-208, 1987.

lyI. Miyadera. On the generators of exponentially bounded C-semigroups. Pi-ос. Japan Acad. Ser. A Math. Sei., Vol. 62, N 7: P. 239-319, 1986.

■^M.A. Alshansky I.V. Melnikova. Well-poseduess of a nondegenerate Cauchy problem and related semigroups. J. of Math. Sei., Vol. 87, No. 4: P. 3732-3780, 1997.

A.I. Filinkov I.V. Melnikova. Abstract Cauchy Problems: Three Appivaches. No. 120, Chapman & Hall/CRC, New York, 2001. 246 p.

ных (2).4,22 Взаимосвязь задач (1) и (2) первоначально использовалась для нужд физики. Например, процесс {X(t), t е [0,Т]} описывает случайное движение частиц в жидкости или газе, a g(t, х) — температуру, являющуюся вероятностной характеристикой.5 В последнее время взаимосвязь стала широко использоваться и в других областях, особенно в финансовой математике, для задач как конечномерных, так и бесконечномерных.4 В результате потребовалось доказать аналог теоремы Фейн-мана-Каца на случай бесконечномерных пространств, что является одним из основных результатов диссертации.

Основное содержание работы

Глава 1 диссертационной работы посвящена классификации полугрупп операторов решений по вложениям полугрупп и их генераторов. В параграфе 1.1 даны определения изучаемых объектов, формулировки необходимых утверждений. В параграфе 1.2 приведена итоговая классификация с доказательствами связей между следующими классами полугрупп операторов решений:

1. классическими полугруппами, среди которых:

(a) полугруппы класса С0;

(b) полугруппы, суммируемые по Чезаро (в том числе с различными дополнительными условиями) — классы Ces, [0,Ces), (1, Ces);

(c) полугруппы, суммируемые по Абелю (в том числе с различными дополнительными условиями) — классы Ab, (0, Ab), (l,Ab);

(d) полугруппы класса Си',

(e) полугруппы класса <£/t;

(f) полугруппы роста а (а > 0);

2. регуляризованными полугруппами (для которых лишь некоторое

преобразование является полугруппой), среди которых:

aG. Da Prato. Kolmogorov equations for stochastic PDEs. Birkhäuser Verlag: Advanced Courses in Math CRM Barcelona, 2004. 182 p.

(a) тг-раз интегрированные полугруппы;

(b) Д-полугруппы;

(c) АГ-конволюционные полугруппы; (<1) регуляризованные полугруппы.

В диссертации построена классификация полугруииовых семейств по вложению полугрупп и их генераторов. Она приведена в виде диаграммы, ее вид изображен на Рис. 1. Стрелка вида СД —> С/г на диаграмме означает, что полугруппа класса СД является полугруппой класса ¡72-Стрелка вида СД --* С/г означает, что генератор полугруппы класса С/1 является генератором полугруппы класса С/2.

Рассматриваемые в диаграмме вложения для классических полугрупп справедливы как по генераторам, так и по полугрупповым семействам. Рассматриваемые в диаграмме попарные вложения полугрупп, одна из которых является регуляризованной, справедливы только по генераторам. В случае регуляризованных полугрупп для каждого семейства можно дополнительно рассматривать экспоненциально ограниченный и локальный аналоги.

Чтобы не загромождать итоговую диаграмму, ее часть, демонстрирующая связи между различными полугруппами, суммируемыми по Абелю, вынесена в отдельную вспомогательную диаграмму связей, изображенную на Рис. 2.

В диссертации приведены доказательства справедливости связей. Для классических полугрупп доказательства приведены по вложению полугруииовых семейств, для регуляризованных полугрупп — по вложению их генераторов. Приведены примеры, демонстрирующие строгость вложений между различными рассматриваемыми классами, а также выявляющие какие-либо специфические особенности полугрупп:

• пример серии полугрупп сколь угодно малого роста, каждая из которых не суммируема по Абелю;

• пример суммируемой по Абелю полугруппы, не суммируемой по Че-заро;

• пример вырожденной полугруппы, суммируемой по Чезаро;

12. Экспон. огр. К-конволюционная полугруппа

13. Экспон. огр. п-раз

интегрированная _полугруппа_

14. Экспон. огр. Р-полугруппа

15. К- 16. п-раз 17. ^полугруппа

конволюционная интефированная

полугруппа полугруппа

I * 4

18. Локальная К- 19. Локальная п-раз 20. Локальная Р?-

конволюционная интегрированная —> полугруппа

полуфуппа полуфуппа

+

21. Локальная регуляризованная полуфуппа

Рис. 1. Диаграмма связей между полугруппами

Рис. 2. Связь полугрупп, суммируемых по Абелю, с полугруппами класса 6\

• пример интегрированной полугруппы, не являющейся полугруппой роста;

• пример Д-полугруппы, не являющейся интегрированной полугруппой;

• пример интегрированной полугруппы, не являющейся сильно непрерывной с бесконечном числе точек.

Глава 2 посвящена изучению связи между решениями стохастической дифференциальной задачи Коши в гильбертовом пространстве (3)

йХ{1) = АХфМ + В(ШЦ), I € [О, Т], Х(0) =

и детерминированной дифференциальной задачи Коши для уравнения в частных производных (4)

для вероятностной характеристики д^,х) = Е*,Х[Ь.(Х(Т))\ с произвольной борелевской функцией 1г. Здесь Е''* обозначает математическое ожидание решения уравнения (3) с дополнительным условием Х(Ь) = х, О < I < Т.

в*и{ь'х)всг

= о.

* е [0.Т],

д{Т,х) = Н{х),

Задача (3) исследована в предположении, что оператор А является генератором полугруппы класса С0 в гильбертовом пространстве Я, оператор В принадлежит пространству £(Н,Я), линейных ограниченных операторов из Н в Я, в случае Е-значного (Э-винеровского процесса IV и оператор В принадлежит пространству £щ(Н, Я), операторов Гильберта-Шмидта, в случае цилиндрического винеровского процесса IV.

В случае, когда винеровский процесс является цилиндрическим, задача Коши (4) принимает следующий вид:

В диссертации дана интерпретация всех объектов уравнений стохастической (3) и детерминированной (4) задач Коши. Доказана взаимосвязь между решениями стохастической (3) и детерминированной (4) задач: «из стохастической в детерминированную» и «из детерминированной в стохастическую». Доказательство импликации «из стохастической в детерминированную» приведено на основе двух подходов: подхода Ито и полугруппового подхода.

Аналог теоремы Фейнмана-Каца для импликации «из стохастической в детерминированную» представляет следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в стохастической задаче Коши (3) оператор А является генератором полугруппы класса Со в гильбертовом пространстве Я, В 6 £(Н, Я) в случае Q-винеровского процесса W и В € £нз(Н, Я) в случае цилиндрического винеровского процесса W. Определим g = g(t,x) := Е1'ЛЩХ{Т))\ : [О,Т] х Я ->• Ж, где h - измеримая функция из Я в Ж. Предположим, что Е'<х\к(Х(Т))\ < оо и производные 0 существуют для всех пар (t,x). Тогда g - решение бесконечномерной обратной задачи Коши (4) в случае Q-винеровского процесса и задачи (7) в случае цилиндрического винеровского процесса.

В диссертации дано два различных подхода для доказательства данного результата. Первый подход, именуемый в настоящей работе подходом Ито, состоит из нескольких этапов. На первом этапе получено свойство Маркова для решения X задачи Коши, на втором этапе доказана

дд

at

1

д2а 1 ^2(t,x)B = 0,

te ад.

g{T,x) = h(x).

(7)

мартингальность функции g(t, на последнем этапе для вывода

уравнения в частных производных применяется бесконечномерная формула Ито для g{t, X(t)).

Второй подход, именуемый полугрупповым, состоит в использовании полугрупповой техники для семейства операторов {Rt,t ^ 0}, определяемых как Rth{x) := g(t,x), затем в вычислении инфинитезимального генератора для этого полугруппового семейства и последующей записи задачи Коши для генератора, который является замыканием инфинитезимального генератора.

Аналог теоремы Фейнмана-Каца для импликации «из детерминированной в стохастическую» представляет следующая теорема.

Теорема 2. Пусть д — решение детерминированной задачи Коши (4), где А — генератор полугруппы класса Со в гильбертовом пространстве Н, В £ £(Н, Я) или В £ £Hs(HI, II). Предположим, что процесс X является слабым решением стохастической задачи Коши (3), где W — Н-значный Q-винеровский процесс в случае В £ £(II, Н) и W — цилиндрический винеровский процесс в случае В £ £#5'(И, Н). Тогда

Доказательство этого результата использует бесконечномерный аналог формулы Ито для функции g(t,X(t)).

Помимо доказательства результатов, сформулированных в теоремах 1-2, где рассмотрена вероятностная характеристика g(t,x) — E'rT[/i(X(T))] и получена обратная детерминированная задача Коши (4), в диссертации также рассмотрена вероятностная характеристика g{t,x) = E0,:r[/i(X(f))], которая приводит к прямой детерминированной задаче Коши

Для характеристики д получен следующий результат.

Теорема 3. Пусть в стохастической задаче Коши (3) оператор А является генератором полугруппы класса Со в гильбертовом пространстве Н, В € £(Н, Н) в случае С^-винеровского процесса Ш и В €

g{t,x) =Е^[НХ(Т))\.

«€ [0,Т], g(0,x) = h(x).

(8)

£НЗ(И, Я) в случае цилиндрического винеровского процесса Ш. Определим д{1, х) := : [О, Т] хЯ —¥ К, где к — измеримая функция из Я ей. Предположим, что Ее,:£|/1(Х(Т))| < оо, производные Ц, и существуют для всех пар {Ь,х). Тогда д(1.,х) — решение бесконечномерной прямой задачи Коши (8).

Глава 3 посвящена моделированию броуновского движения и примерам использования теоремы Фейнмана-Каца в конечномерном случае и ее аналога в бесконечномерном.

При моделировании броуновского движения рассматриваются модели математической физики и финансовой математики с учетом случайных возмущений, приводящие к стохастическим задачам Коши. В каждой модели показана структура броуновского движения (в случае конечномерных пространств) или винеровского процесса (в случае бесконечномерных пространств). Построены последовательности приближений к стохастической составляющей и приближенных (по распределению) решений исходной задачи.

Полученные приближения позволяют использовать их в качестве приближенных решений задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений наряду с другими численными методами типа модификации методов Эйлера и Монте-Карло для стохастических уравнений4.

Среди задач математической физики рассмотрены задача малых колебаний струны с учетом случайных возмущений и задачи распределения тепла в стержне со случайными возмущениями либо на границе, либо на боковой поверхности стержня. Первые две задачи приводят к броуновскому листу, последняя — к броуновскому движению.

Среди задач финансовой математики рассмотрена задача для цены акций в непрерывном времени и доказана теорема о сходимости решений, получаемых в биномиальных моделях с учетом ненулевой процентной ставки, к геометрическому броуновскому движению, определяемому формулой Блэка- Шоулса- Мертона:

Теорема 4. Цена акций 5г(4), полученная в биномиальной модели с риск-нейтральными мерами ри (¡{, взятыми с учетом процентной ставки, при г —> оо стремится по распределению к геометрическому

броуновскому движению

5(i) = 5( О)еКМ+(м2/2)0,

которое является ценой акций в модели непрерывного времени, то есть решением задачи

dS(t) = rS[t) + aS{t)dW{t), t Js О, 5(0) = 5«.

Данный конечномерный результат о цене акций обобщается на бесконечномерный случай и превращается в уравнения для цены бондов и опционов на них.

Основные результаты диссертации

В диссертации основными являются следующие результаты:

• Построена классификация полугрупп операторов решений по вложению самих полугрупп и их генераторов. Приведены примеры, доказывающие строгость вложений полугрупп операторов;

• Получен аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае гильбертовых пространств (доказательство сформулировано на основе двух иод-ходов — полу группового подхода и подхода Ито);

• Построены модели и броуновское движение для ряда задач естествознания и финансовой математики.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в рецензируемых научных изданиях, определенных ВАК:

[1] Парфененкова, B.C. Исследование стохастических задач математической физики / B.C. Парфененкова // Труды ИММ УрО РАН. -18:2. - 2012. - С. 212-221.

[2] Парфененкова, B.C. Классификация полугрупп операторов решения задачи Коши / B.C. Парфененкова // Известия ИГУ. - Т. 9, Иркутск. - 2014. - С. 103-117.

[3] Melnikova, I.V. Relations between Stochastic and Partial Differential Equations in Hilbert Spaces / I.V. Melnikova, V.S. Parfenenkova // International Journal of Stochastic Analysis. - v. 2012, article Id 85873G. - 2012. - 9 pp.

[4] Melnikova, I.V. Feynman-Kac Theorem in Hilbert Spaces j I.V. Melnikova, V.S. Parfenenkova // Electronic Journal of Differential Equations. - v. 2014, No. 208, Texas. - 2014. - P. 1-10.

Другие публикации:

[5] Тихановцева (Парфененкова), B.C. Исследование моделей математической физики, приводящих к стохастическим задачам / B.C. Тихановцева // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Ч. 3, Самара. - 2009. - С. 216-220.

[6] Тихановцева (Парфененкова), B.C. Формализация случайных возмущений в задачах финансовой математики и математической физики / B.C. Тихановцева // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Ч. 2, Самара. - 2010. - С. 257-261.

[7] Тихановцева (Парфененкова), B.C. Свойства операторов решений абстрактной задачи Коши / B.C. Тихановцева // Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург, УрО РАН. - 2010. - С. 289295.

[8] Тихановцева (Парфененкова), B.C. О классификации полугрупп операторов решений абстрактной задачи Коши / B.C. Тихановцева // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XXI». - Воронеж: Издательско-полиграф. центр Воронежского ун-та. - 2010.

[9] Парфененкова, B.C. Исследование стохастических задач математической физики / B.C. Парфененкова // Труды Шестой между-

народной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». - Т. 3, Екатеринбург. - 2011. - С. 263-264.

[10] Мельникова, И.В. Теорема Фейнмана-Каца в гильбертовых пространствах / И.В. Мельникова, B.C. Парфененкова // Труды международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум», Таврический национальный университет. -Т. 22, Севастополь. - 2011. - С. 143-148.

[11] Парфененкова, B.C. Обобщение теоремы Фейнмана-Каца на бесконечномерные пространства и приложения / B.C. Парфененкова // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». -Челябинск. - 2014. - С. 216-217.

[12] Melnikova, I.V. Two Approaches to Infinite Dimensional Extension of Feynman-Kac Theorem / I.V. Melnikova, V.S. Parfenenkova // Semigroups of operators: Theory and applications. — Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 113. - 2014. — P. 225233.

Подписано в печать 19.01.2015. Формат 60x90 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 30. Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4