Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах

Шамарова, Эвелина Юрьевна

Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Шамарова, Эвелина Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах»

Автореферат диссертации на тему "Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах"

На правах рукописи УДК 517.981.1+519.216.22

ШАМАРОВА Эвелина Юрьевна

ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ И ФОРМУЛА СТОКСА В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

(специальность - 01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор О Г Смолянов

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор А И Кириллов,

доктор физико-математических наук, профессор Е Т Шавгулидзе

Ведущая организация

Математический институт им В А Стеклова РАН

Защита состоится 20 мая 2005 г 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском Государственном Университете им M. B. Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 20 апреля 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация относится к бесконечномерному анализу В ней рассматриваются два класса поверхностных мер в локально выпуклых пространствах Первый из этих классов образован поверхностными мерами на обладающих конечной коразмерностью (бесконечномерных) подмногообразиях локально выпуклых пространств При этом предполагается, что поверхностные меры порождаются гладкими мерами на этих пространствах Второй класс образован поверхностными мерами на подмногообразиях, обладающих бесконечной коразмерностью При этом в качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций, определенных на квадрате и принимающих значения в евклидовом пространстве, и предполагается, что в этом пространстве задана мера, порождаемая так называемым броуновским листом, в качестве подмногообразия рассматривается множество непрерывных функций, определенных на (том же) квадрате и принимающих значения в компактном римановом многообразии этого евклидова пространства В диссертации также доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов

Исследование свойств поверхностных мер первого класса составляет одно из традиционных направлений бесконечномерного анализа Оно тесно связано с исследованием бесконечномерных дифференциальных операторов и общей проблемой дезинтегрирования мер Изучение таких поверхностных мер начато в работах А. В. Скорохода 1 иА.В. Угланова 2 около 30 лет назад в рамках теории гладких мер на бесконечномерных пространствах, созданной в работах С. В. Фомина, О. Г. Смолянова и их учеников Теория таких поверхностных мер существенно используется в так называемом исчислении Малливена 3 4 В настоящее время эта область бесконечномерного анализа может рассматриваться как классическая

1Скороход А В Интегрирование в гильбертовом пространстве Москва 1995

2Угланов А В Поверхностные интегралы в банаховом пространстве //Матсб 1979, т ПО, N 2, с 189217

3Malliavin P Hypoellipticity m infinite dimensions Diffusion processes and related problems in analysis , Vol 1 (Evanston IL 1989) 1990 pp 17 31

4 H Airault P Malliavin Integration on loop groups II Heat equation for the Wiener measure, J Funct Anal 104 (1992) No 1 71-109

X. ф Вайцзеккера и их соавторов5 6 7 8 9 В этих работах была развита техника построения поверхностных мер на подмногообразиях векторного пространства функций вещественного аргумента, принимающих значения в R", в предположении, что подмногообразия образованы функциями принимающими значения в римановом подмногообразии R". Полученные результаты связаны с исследованием эволюционных дифференциальных уравнений на многообразиях Следующим естественным шагом является распространение этой техники на случай векторного пространства и его подмногообразия, состоящих из функций нескольких вещественных переменных 10 (см также 11 12 13 14 15). Такого рода многообразия возникают в квантовой теории поля и в N-теории Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми Основные из них состоят в следующем

1 Описан метод аппроксимации поверхностных мер Угланова с помощью мер некоторых окрестностей для подмногообразий коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве и доказана теорема о поверхностном слое.

2 Развито исчисление дифференциальных форм конечной костепени в

локально выпуклом пространстве и доказана формула Стокса для

5 Смолянов О Г, Гладкие меры на группах петель, ДАН, т.345 №4, с 455-458, 1995

6 Smolyanov О G , Weizsacker H v , Wittich О , Brownian motion on a manifold as a limit of stepwise

conditioned standard Brownian motions, Canadian Mathematical Society, Conference Proceedings, Vol 29, 2000, pp 589-602

7 Смоляное О Г, Вайцзеккер X ф, Виттих О , Сидорова Н А Поверхностные меры, порождаемые диффузиями на путях в римановых многообразиях, ДАН, т 377, в 1-6, 441-463 (2002)

8 Смоляное О Г, Вайцзеккер X ф, Виттих О , Сидорова Н А Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях, ДАН, т 383, в 4, 458-446 (2001)

9 Sidorova Nadezda A , Smolyanov, Oleg G , von Weizsa"cker, Heinrich, Wittich, Olaf The surface limit of Brownian motion in tubular neighborhoods of an embedded Riemannian manifold (English) J Funct Anal 206, No 2, 391-413 (2004)

10 Смолянов О Г, Вайцзеккер X ф, Виттих О , Построение диффузий на множестве отображений отрезка в компактное риманово многообразие, ДАН, т 402, №6, с 1-5, 2005

11 Driver В К , Integration by parts and quasi-invanance for heat kernel measures on loop groups, J Funct Anal 149 (2) (1997) 470-547

12 Driver В К , Snmurthy V , Absolute continuity of heat kernel measure with respect to pinned Wiener measure on loop groups, The Annals of Probability, 2000

1 3 Malliavin P, Hypoellipticity in infinite dimensions, Diffusion processes and related problems in analysis , Vol 1 (Evanston, IL, 1989), 1990, pp 17-31

14H Airault, P Malhavin, Integration on loop groups II Heat equation for the Wiener measure, J Funct Anal 104 (1992), No 1, 71-109

15 Snmurthy, Vikram К , On the equivalence of measures on loop space, Probab Theory Relat Fields 118, No 4, 522-546 (2000)

поверхностей коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве.

3. Доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.

4. Описан метод построения броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии, вложенном в конечномерное евклидово пространство. Этот результат существенно усиливает аналогичный результат Малливена для групп Ли.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении задач стохастического анализа на многообразиях, в частности при исследовании случайных полей со значениями в компактном римановом многообразии.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на семинаре механико— математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководствам профессора О. Г. Смолянова и профессора Е. Т. Шавгулидзе, на семинаре отдела математической физики института математики РАН под руководством академика В. С. Владимирова и член.-корр. РАН И. В. Воловича и на XXV конференциях молодых ученых МГУ (2003).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 3-х работах автора, работ по теме диссертации написанных в соавторстве нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 100 страниц. Список литературы включает 35 наименований.

Краткое содержание диссертации

Ведение

Во введении формулируются основные результаты диссертации, приводится обзор работ по теме диссертации.

Глава 1

В этой главе рассматриваются поверхностные меры на подмногообразиях конечной коразмерности и доказываются теоремы о поверхностном слое. Всюду в этой главе Е — локально выпуклое пространство, Н — подпространство пространства Е, наделенное структурой гильбертова пространства относительно скалярного произведения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть Пр с Е — открытое множество и F : Др —* К — непрерывная функция, имеющая производную Р' : Ор —^Н'^Н вдоль подпространства П. Пусть 5 = {1 € Юр '■ = 0}; причем

F'(x) -ф 0 для всех а; 6 5. Вектор п5 = (линейный непрерывный

на Н функционал Е'(х) мы отождествили с элементом пространства Н) назовем нормалью к S в точке х.

Пусть множество Этакое же, как в определении 1, и В С 5 — некоторое множество. Для всех е > 0 определим множество

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество G назовем поверхностью, если для него выполнены следующие условия (1-3):

УСЛОВИЕ 1. Множество О представляет собой график непрерывной ограниченной функции /, определенной на открытом подмножестве Ы замкнутого подпространства Ть коразмерности 1 пространства Е и принимающей значения на прямой В,ь, где Ь (Е Н — единичный вектор, ортогональный в Нподпространству Нь *= .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Обозначим через Д оператор проектирования на подпространство вдоль вектора

УСЛОВИЕ 2. Функция / имеетп непрерывную первую производную /' : 1Л Н'ь = Нь, вторую производную /" : К ЦНЬ, Н'ь) = ЦНЬ< Нь) и третью производную /"' : Ы —> И{Нь,£(#б> Нь)) = £(#(,. £(-№>, #ь)) вдоль подпространства Н, причем существуют константа К/ > 0, такая что

||/'(*)|| < К} , \\Г(.Х)\\^Щ^КП \\1"'(х)\\ц{Нь,Цнь,Нь)) ^ К1 >

где II ■ 11£(яь,яь) " II ' Ийда, ,&(Нъ,Нь)) операторные нормы в соответствующих пространствах

УСЛОВИЕ 3 Существует £ь > О, такое что отображение д, может быть продолжено до взаимно-однозначного отображения

причем обратное отображение ф = <р~г, определенное на непрерывно.

Под мерой на топологическом пространстве X понимается а- аддитивная функция, определенная н сг-алгебре ; в с к и х подмножеств пространства X.

Всюду далее под дифференцируемостью мер будем понимать т3-диффе-

ренцируемость .

Пусть V — неотрицательная мера Радона, определенная на Е, дважды дифференцируемая по подпространству Н\ ь>а — поверхностная мера на G, определенная в статье Угланова 17.

На функция ¡/с, согласно статье Угланова 17, задается следующим образом.

(■п°(Рьх),Ь)) '

где тА — мера на G, определяемая так: = и {С? + Я € •

В этом случае иа является (неотрицательной) мерой на О".

Пусть В С С — некоторое подмножество. В силу непрерывности отображения гр, для любого е ^ £ь множество Ве открыто, если множество В открыто, и множество Ве борелевское, если В борелевское.

Пусть иТ — проекция меры и на Ть. Будем говорить, что борелевское множество В С С обладает свойством (*), если ^(дРьВ) = 0.

ТЕОРЕМА 1. Пусть В С. С — открытое подмножество, содержащееся в О вместе со своим замыканием и обладающее свойством (*). Тогда

"а(В) =

е-о 2е

Идея доказательства На УхК определим функцию

(1)

16Далецкий Ю Л, Фомин С В, Меры и дифференциальные уравнения на бесконечномерных пространствах М , Наука, 1983

17 Угланов А В Поверхностные интегралы в линейных топологических пространствах //ДАН 1995, т344, №4, с 450-453

Пусть ВсС - открытое множество, обладающее свойством (#). Положим

/е(х) = Дх.е), Вии ^ {х + Ы , х € РЬВ , Дх) < * < /Е(х)} . В силу результатов работы Угланова 18

Шпе-Чад - |(п°(х),Ь)^(х,0)»а(с1х) = ^(3) . в

Мы доказываем, что и(Ве Д = о(е) , что будет влечь формулу (1). □

ТЕОРЕМА 2. Пусть семейство функций /в(е) = —715т, где В € 23(С),

равномерно ограничено на полуинтервале (0, £&]. Тогда формула (1) имеет

место для любого борелевского подмножества поверхности G.

Идея доказательства. Теорема доказывается с использование того факта, что меры ис и и обладают свойством Радона. □

Глава 2

В этой главе доказывается формула Стокса для дифференциальных форм конечной костепени и для подмногообразий конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве. Обозначим через Н„ (п € Щ векторное пространство всех дифференцируемых по подпространству Н дифференциальных форм степени таких что их дифференциалы непрерывны, а множества значений самой дифференциальной формы и ее дифференциала ограничены. Через Эп обозначим пространство всех дифференцируемых по подпространству Н дифференциальных форм костепени п, являющихся мерами Радона и таких, что сами дифференциальные формы из и их дифференциалы представляют собой меры ограниченной вариации. Обозначим через псевдо-топологические векторные

пространства линейных функционалов на Зп и 5П соответственно. Будем предполагать что 5П и Нп с о д е5н ж в качестве плотных подмножеств. Пусть V — область пространства X, граница дУ которой может быть покрыта объединением конечного числа поверхностей ЪЦ, (под поверхностью мы понимаем объект, определенный в предыдущем параграфе) коразмерности 1. Предположим, что индикатор 1у множества V является элементом Ео-

ТЕОРЕМА 3. Пусть и € Тогда (с?1у) • 1/(€ 51) представляет собой сосредоточенную на дУ меру Радона на X, принимающую значения в Н, причем имеет место равенство (как элементов В\)

(<11у) ■ » =-п™ ■ V™, (2)

18 Угланов А. В., Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. // Мат.сб 1979, т. 110, №2, с. 189217.

где означает поверхностную меру на дУ (в смысле определения из статьи Угланова 18), порождаемую мерой V

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 Интеграл от дифференциальной формы ш € ^х по поверхности дУ определим следующим образом

[ и>= [ (nav,we JdV JdV

(dx)),

гдеш9У € 5х таков, что каждая его компонентамявляется поверхностной мерой, порождаемой мерой шр.

ТЕОРЕМА 4 (ФОРМУЛА СТОКСА) ДЛЯш 6 5х имеет место формула

JdV Jv

Идея доказательства Формула Стокса доказывается с использованием тео-ремы3 □

Глава 3

В этой главе исследуются поверхностные меры на подмногообразиях бесконечной коразмерности При этом подмногообразиями являются множества непрерывных функций, определенных на квадрате и принимающих значения в компактном римановом подмногообразии евклидова пространства; объемлющие пространства состоят из непрерывных функций, определенных на (том же) квадрате и принимающих значения в (том же) евклидовом пространстве Предполагается, что на этом объемлющем пространстве задана мера, порождаемая так называемым броуновским листом Полученный результат можно рассматривать как построение броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии. Этот результат существенно усиливает аналогичный результат Малливена для групп Ли 19 В этой главе доказывается также аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов, с помощью этого аналога строится некоторый неоднородный диффузионный процесс в компактном римановом многообразии

Пусть At — генераторы сильно непрерывных полугрупп на банаховом пространстве Е, такие что пространство F = C\tD(At) плотно в Е Предположим, что для всех Введем норму в пространстве F

||х||р = ||х||£ + supi || F является банаховым пространством относи-

тельно этой нормы и все операторы непрерывны.

19 Malliavin P Hypoellipticity in infinite dimensions, Diffusion processes and related problems in analysis , Vol 1 (Evanston, IL, 1989), 1990, pp 17-31

Рассмотрим неавтономную задачу Коши

где t,s € [5, Т], s ^ t. Далее будем предполагать, что задача Коши (3) поставлена корректно 20 (Существует несколько достаточных условий корректной постановки задачи Коши (3). Ссылки на соответствующую литературу можно найти, например, в книге20). Согласно теореме из этой книги20, в случае корректной постановки задачи Коши (3) существует сильно непрерывное эволюционное семейство разрешающих операторов U(t, s), s,t €

Рассмотрим другую неавтономную задачу Коши

Г u(t) = -Atu{t)

\ и(г) = X '

для t ^ г и At = As+T-t-

ЛЕММА 1. Задача Коши (4) разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача Коши (3). При этом эволюционное семейство разрешающих операторов U(t, r) t ^ г для задачи Коши (4) удовлетворяет тождеству U(Jit hWfa, h) = U{ti, ¿3), справедливому для всех t\ ^ ¿2 ^ ¿3-

ТЕОРЕМА 5. Пусть At — генераторы сильно непрерывных полугрупп, В — другой генератор сильно непрерывной полугруппы. Предположим, что выполнены следующие условия:

1. пространство G — F П D(B) плотно в Е;

2. для каждого х € F функции [S,T] —* Е, t >-* AtX непрерывны;

3. оператор В коммутирует с каждым оператором At;

4 {Л(} является стабильной системой генераторов11;

5. задача Коши (4) поставлена корректно на F, пусть U(t, г) — эволюционное семейство разрешающих операторов,

б существует плотное в Е подмножество D С G, такое что для всех

20Engel, Klaus-Jochen, Nagel, Rather, One-parameter semigroups for linear evolution equations (English) Graduate Texts in Mathematics 194. Berlin Springer, xxi, 586 p , 2000

21 Tanabe, Hiroki, Equations of evolution. Translated from Japanese by N Mugibayashi and H Haneda (English) Monographs and Studies in Mathematics 6 London - San Francisco - Melbourne Pitman XII, 1979, 260 p

7для каждого фиксшравс&н/Екосемейства функций э (-»

А^и (в, г) х, в ► Ви ($,г) х являются равностепенно непрерывными;

8 для каждого у 6 Р семейство функций 5 »-+ А^зТ^) у равностепенно непрерывно в точке 5 — О

Пусть >0, — двупараметрическое семейство линейных

сжимающих отображений на Е, такое что еаВх —* АТ еаВх при

Ат —* 0 для всех х € Р, а > 0 и равномерно по т Пусть Э ^ в < £ ^ Т и {в = ¿о, ¿1, , 1п = £} —разбиение отрезка [я, t], такое что тахД^ —» О при п —* оо, где Д^ = — t:¡ . Тогда для всех х £ Е

при п —> оо

Пусть М — с!-мерное компактное рнманово многообразие без границы, изометрически вложенное Жт. Пусть Т\ = {¿о = 0, ¿1,..., = 1} —разбиение интервала [0,1], <р : [0,1] —► М — х — дифференцируемая функция, такая что <¿>(0) = 0 Если Е — это ЛВП, то каждое из £ Е1 может быть отождествлено с конечной последовательностью из п элементов ■ ■ ■ ,шп) € Е^хЕ1г~ь 1 х

.. х где определено на интервале [0, ^ — по формуле =

+ I) Определим функцию на интервале [0, £г — ¿,-1] формулой

Далее, рассмотрим процесс = + В?, где ф : [0,1] —» Кт —

непрерывная функция, удовлетворяющая условию тр(0) = 0, а В* — броуновское движение с параметром 5, начинающееся в точке г Пусть означает распределение процесса означает математическое

ожидание относительно этого распределения В последующем построении броуновского листа на многообразии мы докажем существование предела

относительно семейства непрерывных ограниченных цилиндрических функций. Этот предел определяет меру Используя эту меру мы определим меру следующим образом

I л("№.,,,Р1(<ч=

С(;0 {„-¡„-11,К")

ТЕОРЕМА 6 Пусть <р — дифференцируемая функция. Тогда, если мелкость разбиения "Р\ стремится к нулю, то последовательность мер слабо сходится относительно семейства цилиндрических функций

Идея доказательства Теорема Чернова для эволюционных семейств применяется к семейству генераторов А4/ = ~ ■ □

изометрическое вложение многообразия М в

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть г Шт,деС2{М). Тогда

(¿^Х^К^М^ = 9{у)+\9{у){с{у)-зса1{у))-г-&м9(у)+ЬЩ,у)

где |Я(^г/)| < К^^2, К — константа, которая не зависит от у, яса1(у) — скалярная кривизна в точке у; функция с(у) имеет вид:

СЫ) = к£) ;) хк — нормальные координаты в некоторой

окрестностиЛу точки у, обеспечиваемые гомеоморфизмом окрестности 1]у на некоторую окрестность нуля II в Ш*, г — отображение г, записанное в координатах хк. Независимо от локальных координат с(у) может быть записана в виде с(у) = —|Дд/Дм |у — '|2|у ~ 3 зса1(у), и, следовательно, с{у) зависит только от вложения г.

О доказательстве. Получено более точное асимптотическое выражение по сравнению с тем, которое было получено для интеграла такого же вида в статье Смолянова, Вайцзеккера и Виттиха22. Идея доказательства та же самая. □

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть д £ С2(М). Тогда мы имеем следующую асимптотику:

[ g{z)e-^\M{dz)/ [ е-^АM(dz) = JM JM

9{y)-\^M9{y) + tRl{t,y),

где |/?i(i,2/)| < K\t1/'2) a Ki — константа, независящая от у.

СЛЕДСТВИЕ2 Пусть г — изометрическое вложение многообразия М в Rm, g £ С2(М), у € М, 0 < t < t\ < 1, Ui ии2 таковы, что {щ — Uj| < t". Пусть, далее, Ргд/ — отображение проектирования на многообразие М вдоль нормальных к многообразию подпространств, определенное в подходящей окрестности многообразия, определены так:

(«2-«Од/ = PrM(y + U2-Ui)-y, (U2-Ili)^ = у + ^-Щ-Рхм^ + Щ-Щ)-

22 Smolyanov О G, Weizsacker Нv, Wittich О , Brownian motion on a manifold as a limit of stepwise conditioned standard Brownian motions, Canadian Mathematical Society, Conference Proceedings, Vol 29, 2000, pp 589-602

Тогда имеет место следующая асимптотика

IM9(z)e

2' XM(dz)

Xu{dz) = ^ + ^ _ ^^ _ Кмд(у + ^ _

+ Щу,и2~щ) +tR2(t,ti,y,u2-ui), (6)

причем для остаточных членов справедливо \R2(t,ti,y,V-2 — Ui)| < K^t" (К2 — константа),

П{у, и2 - ui) = (Дмг{у + (и2 - ui)yM), (u2 - ui)^)2

+ П О^Ш^иъ-щУЛу+^-чЛ),

П=3 +^=71

где

£>2,1,

— дифференциальные операторы на многообразии вида И2'1* = операторы применяются к произведению 1г функций, ^к и ]к — числа от 1 до означающие номер функции в произведении, на которую действует соответствующий оператор, индекс 2 говорит о том, что 1к и принимают одно и тоже же значение ровно 2 раза, вторая сумма в последнем члене содержит конечное число слагаемых, а число N выбрано так, что ^ < Ь

Далее мы перейдем к краткому изложению основного результата третьей главы

Пусть, как и ранее, М — ¿-мерное компактное риманово многообразие без границы, изометрически вложенное Кт Под броуновским листом со значениями в Кт мы понимаем семейство т независимых стандартных броуновских листов Пусть — п-мерный броуновский лист Рассмотрим как

процесс, принимающий значения в пространстве С([0,1],Кт) Обозначим этот процесс символом Введем следующие обозначения если Е — локально выпуклое пространство (ЛВП), тогда Е4 означает С([0,если -^ф^ф^А^ёйрфрывная функция, то означает распределение процесса = у + \У( Если тр 6 С([0,1], Кт), то определим процесс = ?/)(£) + Пусть — распределение этого процесса,

Ку^ф — математическое ожидание относительно меры УУ^ Далее, С/г(М) означает е-окрестность многообразия М Мы будем рассматривать ЛУ^ для функций у и ф удовлетворяющих условиям у(0) € М,'ф(0) = 0 Мы доказываем существование следующего ниже предела относительно семейства ограниченных непрерывных цилиндрических функций, где под цилиндрической функцией С([0,1] х [0,1],Ет) К мы всюду будем понимать такую функцию для которой найдется конечный набор точек

Ту ,тп, и функция / К"* —» К, такие что /(ш) =

/М-Г1,£1),Цгь£2), ,и(тп,£к)) Этот предел определяет меру ^ 54

Перед тем, как мы докажем существование этого предела, рассмотрим еще раз обсуждавшийся ранее процесс = ф({) + В}, где ф

[0,1] —+ Кт — непрерывная функция, удовлетворяющая условию 0) = О Результаты, полученные для этого процесса, будут применены для последующего построения

Некоторые результаты для процесса Пусть означает

распределение процесса 3)(, Е2д5 3 — математическое ожидание относительно этого распределения

ЛЕММА 2 Предел ¡СШЯт) ЯиЩ^^ш) =

рассматриваемый относительно семейства непрерывных ограниченных цилиндрических функций, существует и определяет меру а (

Процесс, соответствующий мере Шобозначим через ^ 5»

Идея доказательства Найдем функцию / —+ К и конечное множест-

во точек гь , га, такие что /(ш) = /(01(71),

[ .. , , , , /с([0,),»■») Я") ^ «(Оещм» .(¿ц)

У = -„(ОбЕЦМ)}-

С([0 1] В")

Йз Pw(í, 0,1/г(М-г-•!/>(*)))

f Pw(rb 0, ctei) f Pw(r2-rbXbdï2)

7¡Rm

JU,ÍM-<li(t)-z)

xk,dxM)f{xi +г + ф(т1), ,хк + г + ф(тк),хк+1 +z + i>(t)),

где Pw(r, x, dz) — Так как функция под знаком интеграла

ограничена, то по теореме Лебега достаточно доказать существование предела

/ />, + г + V(n), ,хк+1 + г + ф(1))Р™(Ь-тк,хк,с1хк+1)

í™ Pw(í,0,C4(A/-í-^(t)))

//(il + г + *0(t¡), ,xt+1 + Ifc + г + i/j(i))Pw(í - П, 0, _ . и.Щ-_

г™ Pw(í,0,C/t(M-Z-^(í))

Обозначим через Mi многообразие M — ^(í) — z — xk, через M2 многообразие Ai - 0(i) - г Пусть далее Ле = = га^у ¿|y,(Afl), где

I — мера Лебега на Rm Легко видеть, что доказательство существования этого предела сводится к доказательству существования предела вида

lim^o Jr-»(**+'> 'J'r" M^+i^ где g ]R К — другое обозначение

/Ят е TK~ii,{dxk+1)

для функции /, в котором выражена зависимость только от последней переменной Легко показать, что при е —► 0 меры \е и /1е сходятся слабо к поверхностным мерам на My и Mi соответственно □

ЛЕММА 3 Предел (7) существует относительно семейства непрерывных ограниченных цилиндрических функций

Идея доказательства Пусть Pw(i, у, Г) = W'(ш • w(i) £ Г) - переходная вероятность для меры Wy, где у € С([0, l],Rm) Пусть далее функция /• С([0,s], RT"),:+1 —> К и конечное множество точек Т\,Т2, ■ , г*, таковы что /(w) = /(w(ti), w(t2), ,w(rfc),w(i)). Символ 7rs означает координатное отображение Доказательство проводится с использованием формулы из книги 23 на странице 204

f f(ui)W°(dw) =fpw(T1,0,dwi)fpw(T2-Thwl,dw2) ff(mu ,wk+x)P*(t-Tk wk,dwM)

./C([0 i| Xm)' J J J

C([0j|H">) C([0 i] Hm) *ТЧЧгШ-1><.')-у(*т

и применением леммы 2 к мере в последнем интеграле □

Построение случайного поля Пусть / — непрерывная ограниченная цилиндрическая функция на С([0, s], Rm)1, <р : R —» М — функция, являющееся траекторией броуновского движения на М, такая что tp(0) = х Как и ранее, V\ = {0 = to < ii ^ . < tn = 1} — разбиение интервала [0,1], и £'ЭУ = (ш\,и>2, ,Шп) 6 X-Ei2-il х х^4"-'"-', rflewj(i) = Vt,_it,(i) = + 0 - i € [0,tj - t}-1] Определим меру W^^

формулой

С([0,з] R™)1 C(fO,s],Rm)*i C([0,s],Rm)'2-'i

Непосредственно проверяется, что -f,_i)(0) € M, так что мера W^ определена корректно Далее, пусть Р2 = {0 = s0 < si ^ ^ si, = 1} — разбиение интервала [0,1] Теперь рассмотрим s как параметр времени

2iIkeda Nobuyuki, Watanabe Shinzo Stochastic differential equations and diffusion processes 2nd ed (English) North-Holland Mathematical Library 24 Amsterdam etc North-Holland, Tokyo Kodansha Ltd xvi, 555 p

Вместо символа будем пользоваться символом Определим

меру формулой

//("те,р,^) = ¡чги^дыг) I

С([0,1] К"1)1 С([01] Кт),1 С([0,1],Кт)»2-*1

I Чг^-^^Яи 1, ,шп)

С([0 1)Д")»п-'„-1

ТЕОРЕМА 7 Для каждого х 6 М, если мелкости разбиений Т\ и р2 стремятся к нулю, то последовательность мер сводится

слабо относительно семейства непрерывных ограниченных цилиндрических функций к мере Мера рассматриваемая как распределение

процесса со значениями в С([0,1},М), обладает переходной вероятностью в момент времени совпадающей с распределением броуновского движения на многообразии с параметром Ь, начинающегося в точке х

Идея доказательства Пусть мера ¥,3р1 определена аналогично случаю дифференцируемой функции ¡р, т е по формуле (5) Далее, пусть существует / : С([0,1],Кт) ->■ К, такая что = }{ш{Ь)) Тогда

/ /И = / /(«О ° = I/М УГЪ^йю),

с((0,а],кт)1 с([0,1]дт) с([0,1]дт)

Отсюда следует

(¿■иц) У

с([0,1|,нт)1 с([0,1)дт) с([0,1]дт)

С([0Д1,Кт) С((0,1],Кт)

Рассмотрим интеграл вида /С([0_4]дт) где функция д €

С([0, ¿],Кт) такова, что существует функция д € С(К), такая что д(ш) = <?(ш(4)) В результате несложных вычислений получим

=1ш- {ш ^ £ иЛМ)}-

С((0(]Кт)

I е-'11 д(хг) Хм{йх1) _ м_

] е Лм(ах1)

Предположим сначала, что функция / такова, что найдутся функция р : Rm —► R и числа t,s е [0,1], такие что f(uj) = p(u(t,s)) Интеграл /С([0Д]Д")/МШМ,7>ьР2(^) имеет ВИД;

ln-il2 l*n-i-*n-2l2 I»n-r„-il2

J„e ^i^dxi JMe ^'.^-i dxn-i JMe »"»^

_J£iZf!l ' " „ Hn-l-'n-zl2 - |in-*„-il2

jMe i^dx! JMe dxn~i fM e df„

Ivi-I]i2 _lVn-l-Vn-2-In-l+'n-2l2 llW-tn-I-in+Xn-il2

Itl-nl2 ' ' ' IJn-1 -Уп-2-*п-1+*п-212 Ivn-tn-l-m+Jn-ll2

JMe /ме dyn-iJMe ^пда ¿ft,

' ' ' lfir.-%-ra-Hn-ll2

JMe "bk-^dui JMe fMe ^T^ dun

Ivi-Ull2 _ l"i.-l-''n-2-«n-l+,4i-2l2 |vn-"n-l-"n+un-ll2

j^e JMe dvn.ifMe p{vn)dvn

JMe "'^'idvx JMe 2Aititn_i e

где Aij = t, — ii-i, Asj = Sj — Sj-.i, для упрощения обозначений вместо A,\/(ijz) использовано обозначение dz. Мы также считали, что tn = t, s^ = s. Обозначим этот интеграл через I{VL, Р2, р) ■

Лемма 4. I(V\,Vi,p) сходится ке~%Амр, если мелкости \Р\\ и |Р2| стремятся к нулю.

Идея доказательства. Выберем 0 < а < а < Да = а — а. В интеграле

I»,-»,-tla Г е ¿х

вида JJd—¡—7—¡5—, стоящему на г-ом месте в первой строке, интегрирование

1м е" »a.iar, dSx

по всему многообразию заменяется интегрированием по окрестности точки x,_i радиуса \Vra{L\tl)a. При этом получается остаточный член, не превос-

ходящий ---т е (д»!^,)1 2а, С — константа. Для г-ого интеграла во второй

(21гД»1Д«,)з

строке имеем \хг — а?»_11 < ^"(Д^)0. Далее мы выбираем окрестность на

М точки 1, для точек уг которой справедливо - уг-\\ < 2Да|Р2|й(Д^)й

г__С1,

и опять имеем остаточный член, не превосходящий----г е , С,

(2тгд82д(1)5

С\ — константы. Продолжая выбор окрестностей указанным образом, г-ый интеграл последней строки мы будем рассматривать для точек иг и и,_ 1 вида |иг - и,_1| < (К - 1)До|Р2|й(Дг»)а < \Г2\а{Мг)а, где последнее неравенство справедливо для достаточно малой мелкости разбиения \Vi\i для которой {К\р1\Д£;)Ла < 1. Далее, начиная с последнего интеграла в последней

строке, мы применяем асимптотику (6) из следствия 2 предложения 1 Асимптотика применяется последовательно к каждому интегралу При переходе к интегралам каждой предыдущей строки интегрирование по окрестностям, зависящим от \Р\\ и \р2\, заменяется интегрированием по некоторой достаточно малой е- окрестности на многообразии и в качестве

остатка получается член, не превос ---3-е <л'>а,'> ' " л я

(21ГД4,Д4,)3

некоторого ] Члены, содержащие разности вида и, — исчезают

либо после применения первой строки интегралов, либо ранее. Таким образом, мы получаем некоторое асимптотическое разложение для интеграла /(Рь Рг; р) Это разложение сравнивается с разложением для =

е 2 ^м ...е г если мы применяем асимптотику е 2 = 1 — Ам + 0((Л19,Д<;)5) к каждой такой экспоненте. С точностью до членов, стремящихся к нулю при \Р\\ —> 0, [Рг! —+ 0, разложения будут совпадать. □

Для функции /, зависящей от ш в нескольких точках, скажем в точках 6 [0,5] и т3 е [0,{], вид интеграла 1("Р\,'Р-2,р) будет таким же и сходимость доказывается аналогично. Интеграл будет сходиться к произведению операторов вида е 2 каждый из которых действует

на соответствующую переменную функции р, определенную как /(ш) = р(Ц1(6,п), ■ ■ где Шу определена на [0,£, - ^—г] х [0,т, -

по формуле шг}(з, ¿) = + + □

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть М — компактная группа Ли. Тогда рассматриваемый как процесс со значениями в С([0,1], М), совпадает с броуновским движением, построенным в 24.

Идея доказательства. Доказательство следует из теоремы 7 и теоремы 2.15

из статьи 25 (теорема 2.15 из статьи 25 доказана также в лемме 3 3 в статье 26).

□

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору О. Г Смолянову за постановку задач, внимание к работе и полезные советы.

24 Malliavin P , Hypoellipticity in infinite dimensions, Diffusion processes and related problems in analysis , Vol 1 (Evanston, IL, 1989), Birkhauser Boston, Boston, MA, 1990, pp 17-31

25 Driver В ^ Srimurthy V, Absolute continuity of heat kernel measure with respect to pinned Wiener measure on loop groups, The Annals of Probability, 2000

26 Srimurthy, Vikram К , On the equivalence of measures on loop space, Probab Theory Relat Fields 118, No 4, 522-546 (2000)

Список публикаций по теме диссертации

1. Шамарова Э.Ю. Об аппроксимации поверхностных мер в локально выпуклом пространстве.// Мат. Заметки 2002, т.72. № 4. стр. 597 - 616.

2. Шамарова Э.Ю. Теорема Чернова для эволюционных семейств.// Сборник конференции молодых ученых МГУ, 2003, стр. 457 - 460.

3. Шамарова Э.Ю. Построение броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии. // Мат. Заметки 2004, т.76. № 4. стр. 635 - 640.

0101-

о 1о.г

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М.В. Ломоносова Подписано в печать /4 СЬ Формат 60x90 1/16 Усл. печ. л 12ь

Тираж 100 экз. Заказ//

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20 02 2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском _ оборудовании механико-математического факультета _

0 0 У

1 Ч М.-1- '

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шамарова, Эвелина Юрьевна

1 Аппроксимация поверхностных мер на поверхностях конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве

1.1 Терминология и обозначения главы.

1.2 Теоремы о поверхностном слое.

1.3 Применение полученных результатов к гауссовским мерам

1.4 Построение поверхностной меры.

2 Применение теоремы о поверхностном слое к доказательству формулы Стокса

2.1 Операции в классе дифференциальных форм соболевского типа относительно гладкой меры на ЛВП.

2.2 Формула Стокса.

3 Поверхностные меры на поверхностях бесконечной коразмерности — Броуновский лист со значениями в компактном ри-мановом многообразии

3.1 Первый шаг построения процесса

3.2 Теорема Чернова для эволюционных семейств.

3.3 Асимптотика по Ь для интеграла вида Ше-^ау.

3.4 Применение теоремы Чернова для эволюционных семейств к построению неоднородных процессов на многообразии.

3.5 Второй шаг построения процесса

Введение диссертация по математике, на тему "Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах"

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются два класса поверхностных мер в локально выпуклых пространствах. Первый из этих классов образован поверхностными мерами на обладающих конечной коразмерностью (бесконечномерных) подмногообразиях локально выпуклых пространств. При этом предполагается, что поверхностные меры порождаются гладкими мерами на этих пространствах. Второй класс образован поверхностными мерами на подмногообразиях, обладающих бесконечной коразмерностью. При этом в качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций, определенных на квадрате и принимающих значения в евклидовом пространстве, и предполагается, что в этом пространстве задана мера, порождаемая так называемым броуновским листом; в качестве подмногообразия рассматривается множество непрерывных функций, определенных на (том же) квадрате и принимающих значения в компактном римановом многообразии этого евклидова пространства. В диссертации также доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.

Исследование свойств поверхностных мер первого класса составляет одно из традиционных направлений бесконечномерного анализа. Оно тесно связано с исследованием бесконечномерных дифференциальных операторов и общей проблемой дезинтегрирования мер. Изучение таких поверхностных мер начато в работах А. В. Скорохода [10}, и А. В. Угланова [19} около 30 лет назад в рамках теории гладких мер на бесконечномерных пространствах, созданной в работах С. В. Фомина, О. Г. Смолянова и их учеников. Теория таких поверхностных мер существенно используется в так называемом исчислении Малливена [33}, [23}. В настоящее время эта область бесконечномерного анализа может рассматриваться как классическая.

Техника, развитая при исследовании поверхностных мер на подмногообразиях конечной коразмерности, оказалась недостаточной для исследования поверхностных мер на подмногообразиях, обладающих одновременно бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью. Возникающие здесь трудности были преодолены в серии работ О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзек-кера и их соавторов [11}г [36}, [15}> [14}, [35}. В этих работах была развита техника построения поверхностных мер на подмногообразиях векторного пространства функций вещественного аргумента, принимающих значения в Г, в предположении^ что подмногообразия образованы функциями, принимающими значения в римановом подмногообразии К". Полученные результаты связаны с исследованием эволюционных дифференциальных уравнений на многообразиях. Следующим естественным шагом является распространение этой техники на случай векторного пространства и его подмногообразия, состоящих из функций нескольких вещественных переменных [16] (см. также [25], [26], [33], [23], [39]). Такого рода многообразия возникают в квантовой теории поля и в ТУ-теории. Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Описан метод аппроксимации поверхностных мер Угланова с помощью мер некоторых окрестностей для подмногообразий коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве и доказана теорема о поверхностном слое.

2. Развито исчисление дифференциальных форм конечной костепени в локально выпуклом пространстве и доказана формула Стокса для поверхностей коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве.

3. Доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.

Методы исследования

Теоретическая и практическая ценность

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководствам профессора О. Г. Смолянова и профессора Е. Т. Шавгулидзе, на семинаре отдела математической физики института математики РАН под руководством академика В. С. Владимирова и член.-корр. РАН И. В. Воловича и на XXV конференциях молодых ученых МГУ (2003).

Публикации

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы включает 40 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шамарова, Эвелина Юрьевна, Москва

2. Шамарова Э.Ю. Теорема Чернова для эволюционных семейств.// Сборник конференции молодых ученых МГУ, 2003, стр. 457 460.

3. Шамарова Э.Ю. Построение броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии. // Мат. Заметки 2004, т.76. № 4. стр. 635 640.

4. Авербух В. И., Смоляное О. Г., Фомин С. В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения на линейных пространствах. I. Дифференцируемые меры.// Тр. ММО. 1971. Т.24. с.133-174.

5. Богачев В. И., Гауссовские меры. М.: Наука. Физматлит, 1997.

6. Вайцзеккер Х.фон, Смоляное О. Г. Дифференциальные формы на бесконечномерных пространствах и аксиоматический подход к формуле Стокса. //Доклады Академии Наук, 1999, том 367, № 2, с. 151-154.

7. Вайцзеккер Х.фон, Леандр Р., Смоляное О.Г. Алгебраические свойства бесконечномерных дифференциальных форм конечной костепени. //Доклады Академии Наук, 1999, том 369, № 6, с. 727-731.

8. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В., Меры и дифференциальные уравнения на бесконечномерных пространствах. М., Наука, 1983.

9. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Наука, 1970.

10. Скороход А. В., Интегрирование в гильбертовом пространстве. Москва, 1995.

11. Смоляное О. Г., Гладкие меры на группах петель, ДАН, т.345 №4, с. 455-458, 1995.

12. Смоляное О. Г. Потоки де Рама и формула Стокса в гильбертовом пространстве.// ДАН СССР, 1986. Т. 286. № 3. 554-558.

13. Смоляное О. Г., Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М., Издательство МГУ, 1979.

14. Смоляное О. Г., Вайцзеккер X. ф, Виттих О., Сидорова Н. А. Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях, ДАН, т. 383, в. 4, 458-446 (2001).

15. Смоляное О. Г., Вайцзеккер X. ф, Виттих О., Сидорова Н. А. Поверхностные меры, порождаемые диффузиями на путях в римановых многообразиях, ДАН, т. 377, в. 1-6, 441-463 (2002).

16. Смоляное О. Г., Вайцзеккер X. ф, Виттих О., Построение диффузий на множестве отображений отрезка в компактное риманово многообразие, ДАН, т.402, №6, с. 1-5, 2005

17. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

18. Угланов А. В., Поверхностные интегралы в линейных топологических пространствах. // ДАН. 1995, т.344, N 4, с.450-453.

19. Угланов А. В., Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. // Мат.сб. 1979, т. 110, N 2, с. 189-217.

20. Яхлаков В.Ю. Поверхностные меры на поверхностях конечной коразмерности в банаховом пространстве.// Мат. заметки, 1990, т.47, вып. 4, с. 147-156.

21. Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства. М., Мир, 1967.

22. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972.

23. Н. Airault, P. Malliavin, Integration on loop groups. II. Heat equation for the Wiener measure, J. Funct. Anal. 104 (1992), No 1, 71-109

24. Bogachev, Vladimir /., Gaussian measures. TYansl. from the Russian by the author. (English) Mathematical Surveys and Monographs. 62. Providence, RI: American Mathematical Society, xii, 433p.

25. Driver B.K., Integration by parts and quasi-invariance for heat kernel measures on loop groups, J. Funct. Anal. 149 (2) (1997) 470-547.

26. Driver B.K., Srimurthy V., Absolute continuity of heat kernel measure with respect to pinned Wiener measure on loop groups, The Annals of Probability, 2000.

27. Goldstein, Jerome A., Semigroups of linear operators and applications. (English) Oxford Mathematical Monographs. New York: Oxford University Press; Oxford: Clarendon Press. X, 245 p., 1985.