Дифференциальные свойства выпуклых мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

московский государственный университет

им. М. В. ЛОМОНОСОВА ^ 0 Д Механико-математический факультет

1 1 НОВ №55 „

| • пч/м да правах рукописи

КРУГОВА ЕЛЕНА ПАВЛОВНА

удк 517.987.1

дифференциальные свойства выпуклых мер

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

москва 1996 г.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского, государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор В. И. Богачев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

доценг В. В. Ульянов кандидат физико-математических наук доцент М. У. Хафизов

Ведущая организация - Ярославский государственный университет

Защита диссертации состоится " 1996 г. в 16 час. 05 мин.

на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ, Главное здание, 14 этаж.

Автореферат разослан "1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических

• наук, профессор Т. П. Лукашенко

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Выпуклые меры играют заметную роль во многих вопросах современного анализа и теории вероятностей. Невырожденные выпуклые меры на К" могут быть охарактерзованы как вероятностные меры с плотностями вида р(х) = ехр(—У(а;)), где V - выпуклая функция. Поэтому некоторые классические неравенства анализа могут быть истолкованы как утверждения о выпуклых мерах. Важный подкласс класса выпуклых мер - гауссовские меры. В последние два десятилетия активный интерес к выпуклым мерам был связан с тем, что многие конкретные вероятностные распределения, появляющиеся в приложениях, являются выпуклыми. Прежде всего здесь стоит упомянуть гиббсовские распределения, отвечающие выпуклым потенциалам в статистической физике1.

Другой важный источник задач, связанных с выпуклыми мерами, -изопериметрические проблемы в анализе и теории случайных процессов2,3 Основные аналитические результаты, относящиеся к выпуклым мерам, имеют дело либо с различными неравенствами для мер множеств, либо со свойствами дифференцируемости таких мер. Последнее непосредственно связано с изучением выпуклых мер, появляющихся в качестве инвариантных распределений диффузионных процессов. Все упомянутые вопросы представляют интерес и рассматривались многими авторами как для конечномерных, так и для бесконечномерных пространств. Изучение бесконечномерного случая было предпринято К. Борелем4, который определил выпуклые меры с помощью некоторого неравенства выпуклости (приводимого ниже), но затем показал, что это свойство равносильно выпуклости всех конечномерных проекций. Ряд замечательных результатов, связанных с выпуклыми мерами, был получен в работе5. Следует также упомянуть и о близких резуль-

1Antonjuk A.V., Antonjuk A.V. Smoothing properties of semigroups for Dirichlet operators of Gibbs measures// J. Funct. Anal., 1995, vol. 127, p. 390-430.

2Судаков B.H. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений// Труды МИАН, 1976, т. 140, с. 1-190.

3Ledoux М., Taiagrand М. Probability in Banach spaces. Isoperimetry and processes// Springer-Verlag Berlin - New York, 1991.

4Boreil C. Convex measures on locally convex spaces// Ark. Mat., 1974, vol. 12, No. 2, p. 239-252.

5Brascamp H.J, Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-

Typeset by Дм5-ТеХ

татах В. Н. Судакова, М. Талаграна и М. Леду. После изучения этими исследователями геометрических аспектов теории выпуклых мер естественно встал вопрос о рассмотрении дифференциальных свойств таких мер. В конечномерном случае этот вопрос касается, в частности, суммируемости обобщенных частных производных соответствующих плотностей (само существование первых и вторых производных вытекает из классических теорем Г. Радемахера и А. Д. Александрова). В бесконечномерном же случае речь идет о дифференцируемое™ в смысле С. В. Фомина и А. В. Скорохода. Этим проблемам в основном и посвящена диссертация.

Изучение дифференциальных свойств и подпространств дифферен-цируемости различных специальных классов мер (устойчивых мер, про-дакт-мер, распределений диффузионных процессов) было начато в 80-х годах В. И. Богачевым6 и продолжено во многих работах (см. обзор7), однако выпуклые меры пока с этой точки зрения не рассматривались.

При исследовании этих проблем возник представляющий самостоятельный интерес вопрос о связи степени интегрируемости логарифмической производной меры с порядком дифференцируемости меры. Поясним, что в случае меры с плотностью / на прямой речь идет о существовании интегралов 1Р — /jy \Pfdx при условии суммируемости /, /', Например, в случае р— 2, который был рассмотрен А. В. Углановым, величина I2 является информационным числом Фишера." С точки зрения анализа, вопрос ставится о возможности получения некоторых нелинейных дифференциальных неравенств.

Цель работы. Изучить дифференциальные свойства выпуклых мер в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Изучить связь между порядком дифференцируемости меры по направлению и степенью интегрируемости ее логарифмической производной по этому направлению.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

Leindler theorems, including inequalities for log-concave functions, and with an application to the diffusion equation// J. Funct. Anal., 1976, vol. 22, No. 4, pp. 366-389.

6Богачев В.И. Несколько результатов о дифференцируемых мерах// Мат. Сборник, 1985, т. 127, No. 3, с. 336-351.

7Богачев В.И., Смоляное О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений// УМН, 1990, т. 45, No. 3, с. 3-83.

1. Полностью описаны направления дифференцируемости в смысле С. В. Фомина и А. В. Скорохода для выпуклых мер на конечномерных пространствах, в частности, установлена дифференцируемость выпуклой меры в смысле А. В. Скорохода по всем направлениям из ее аффинного носителя.

2. Решена задача о зависимости степени интегрируемости логарифмической производной меры по направлению от порядка дифференцируемости этой меры по этому направлению. Получено несколько новых нелинейных дифференциальных неравенств, количественно описывающих эту зависимость. Для выпуклых мер доказано, кроме того, что из квадратичной интегрируемости логарифмической производной следует двукратная дифференцируемость в смысле А. В. Скорохода.

3. Доказана взаимная сингулярность выпуклой меры и ее сдвига по направлению, не являющемуся направлением дифференцируемости этой меры в смысле А. В. Скорохода.

Методы исследования. Использованы идеи и методы теории дифференцируемых мер и геометрической теории меры, результаты из выпуклого анализа, а также ряд новых нелинейных дифференциальных неравенств.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах бесконечномерного анализа и стохастики и их приложений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством д.ф.-м.н. В. И. Богачева, "Дифференциальные уравнения и меры на бесконечномерных пространствах" под руководством д.ф.-м.н. О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгули-дзе в МГУ, на конференциях молодых ученых МГУ в 1993, 1995 гг., а также в университете г. Билефедьда (Германия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора, список которых приводится в конце введения.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 34 наименования. Общий объем работы 60 страниц.

2. Краткое содержание диссертации

В работе изучаются дифференциальные свойства мер, т&кие, как дифференцируемость в смысле А. В. Скорохода и С. В. Фомина, а также связь между порядком дифференцируемости мер и степенью интегрируемости их логарифмических производных. Рассматриваются в основном выпуклые меры, но первая глава посвящена произвольным дифференцируемым мерам.

Большинство результатов представляют собой оценки некоторых норм (нормы мер по вариации, нормы логарифмической производной Р/ДаО меры ¡j, в пространстве Lp(/i)) через функции других подобных норм. В некоторых случаях из этих оценок следуют качественные утверждения, например, в третьей главе доказана сингулярность сдвига выпуклой меры /л по направлению Л, не являющемуся направлением дифференцируемое™ fj, в смысле А. В. Скорохода. В других же случаях получены явные формулы для производных мер.

Некоторые результаты касаются мер на конечномерных пространствах, но большинство теорем справедливо для мер Радона на произвольных локально выпуклых топологических векторных пространствах.

Пусть В(Х) обозначает ст-алгебру борелевских множеств локально выпуклого топологического векторного пространства (лвп) X. Мерой на X будем называть числовую (возможно, знакопеременную) меру Радона на В(Х).

Приведем основные определения, связанные с дифференцируемостью и выпуклостью мер, используемые в работе.

Определение 1. Мера ц на локально выпуклом топологическом векторном пространстве называется дифференцируемой в смысле С. В. Фомина по направлению h, если для всякого борелевского множества А существует предел

¡i{A + th) - ¡л{А) , ...

!то -—г—— = dblx{a)■

В этом случае ¿нц является конечной счетно-аддитивной мерой на X, абсолютно непрерывной относительно меры /л.

Логарифмической производной меры /л, заданной на линейном пространстве X и дифференцируемой в смысле С. В. Фомина по направлению к, называется плотность Радона-Никодима рн(р) производной меры р, относительно самой этой меры.

Мера р. на Е1 дифференцируема по ненулевому направлению в точности тогда, когда она имеет абсолютно непрерывную плотность р с р' €-Ь1(Ж1), причем в этом случае — р' ¡р.

Определение 2. Мера ¿1 на X называется дифференцируемой в смысле А. В. Скорохода вдоль вектора /г, если существует такая (знакопеременная) мера Радона и, что для всех непрерывных ограниченных функций / на X выполняется следующее равенство:

Пт I }{х\{<1х)= I }{х)и{<1х).

Такая мера ь> (очевидно, единственная) обозначается символом ¿¡ф и называется производной меры р, вдоль /г в смысле А. В. Скорохода.

Мера р. на К1 дифференцируема в смысле А. В. Скорохода по направлению 1 в точности тогда, когда она имеет плотность ограниченной вариации. Из дифференцируемости по С. В. Фомину следует диффе-ренцируемость по А. В. Скороходу.

Определение 3. Вероятностная мера р. на. X называется выпуклой, если

р{АА + (1 - А)В) >

для всех множеств АиВиз сг-алгебры сг(Х), порожденной цилиндрическими множествами (т. е., порожденной сопряженным пространством

Для изучения выпуклых мер очень полезны две теоремы из цитированной работы К. Бореля. Первая из них утверждает, что мера является выпуклой в том и только том случае, если выпуклы все ее конечномерные распределения, вторая же характеризует выпуклые меры на конечномерном пространстве. Она утверждает, что любая выпуклая мера, заданная на пространстве К", сосредоточена на некотором аффинном подпространстве, на котором имеет плотность вида е~у относительно соответствующей меры Лебега, причем V - выпуклая функция. Это обстоятельство позволяет свести многие задачи о выпуклых

мерах к изучению мер на конечномерных пространствах, имеющих такую плотность.

Теперь перейдем к обзору результатов настоящей работы. В первой главе исследуется связь между порядком дифференцируемое™ по направлению (в смысле С. В. Фомина) для меры Радона р на лвп X и степенью интегрируемости ее логарифмической производной по этому направлению (относительно меры р). В работе8 А. В. Угланова указано, что трехкратная дифференцируемость в смысле С. В; Фомина неотрицательной меры р по направлению к влечет квадратичную интегрируемость р^р), т.е. включение рн[р) 6 Ь2(р). В настоящей работе получено следующее усиление теоремы А. В. Угланова:

Теорема 1. Пусть X - лвп, р. - конечная мера Радона на нем. Тогда справедливы следующие утверждения:

(¡) если мера р дважды дифференцируема по направлению К в смысле С. В. Фомина, то р/,(р) 6 Ьр(р), 1 < р < 2, причем

\\Р1~£Ш1< + (1)

(И) если р - вероятностная мера, трижды дифференцируемая по направлению И в смысле С. В. Фомина, то ри £ Ьр(р), 1 < р < 3, причем

||/>?ГеЫ1|1 < С(е)(|1М| 4- Ш\ + (2)

Однако даже бесконечная дифференцируемость меры р на прямой не обеспечивает принадлежность логарифмической производной к Ь3(р). Действительно, достаточно взять ц> = ¿2е~( .

Легко также привести пример, показывающий, что во втором пункте теоремы нельзя снять требование неотрицательности меры р.

Во второй главе изучаются дифференциальные свойства выпуклых мер. В ее первом разделе приведены необходимые определения и известные результаты, касающиеся выпуклых мер.

Во втором разделе второй главы доказаны две теоремы о дифферен-цируемости выпуклых мер на конечномерных пространствах. Первая из них описывает некоторые выпуклые меры, дифференцируемые по С. В. Фомину:

8Угланов А.В. Частное гладких мер есть гладкая функция// Известия вузов. Математика, 19оЭ, Гчти. Э, и. 72—Ти.

Теорема 2. Пусть V : К" —> Е - выпуклая, всюду конечная функция. Если мера с плотностью е~у конечна, то она дифференцируема в смысле С. В. Фомина один раз по любому направлению.

Поскольку мера дифференцируема один раз по любому направлению, она имеет логарифмическую производную, равную —дУ/дИ. Однако легко привести пример выпуклой меры, заданной на прямой плотностью е~у и обладающей тем свойством, что эта логарифмическая производная не интегрируема ни в какой степени, большей 1. Первая производная этой меры в смысле С. В. Фомина, задаваемая плотностью —Уе~у, не является дифференцируемой даже по А. В. Скороходу, т.к. функция —Уе~у имеет неограниченную вариацию. Таким образом, выпуклая мера на пространстве К" может не быть дважды дифференцируемой даже по А. В. Скороходу. Функцию V в этом примере можно приблизить гладкими функциями так, чтобы она стала строго выпуклой, т.е. У'(х) > 6 > 0, а заключение при этом не изменилось.

Следующая теорема устанавливает точный вид производной по направлению Л в смысле А. В. Скорохода для произвольной выпуклой меры /л на пространстве К", имеющей плотность относительно меры Лебега.

Теорема 3. Пусть V - выпуклая замкнутая функция на Е", такая, что е~у - плотность конечной меры на Жп. Тогда мера ц — е~у¿х дифференцируема один раз по любому направлению из К" •в смысле А. В. Скорохода и

¿нц =

¿а,

х€3(с1отУ)

где ¿о - поверхностная мера на поверхности д^отУ).

Таким образом, для выпуклой меры на конечномерном пространстве описаны все направления дифференцируемое™ в смысле А. В. Скорохода (а именно, это направления того аффинного подпространства, на котором мера /л имеет плотность) и найдена формула для ее производной по любому из этих направлений.

В последнем разделе второй главы изучается двукратная дифферен-цируемость выпуклой меры. Здесь получен результат, в некотором смысле обратный теореме 1.

Теорема 4. Пусть ¡л - выпуклая мера на лвп X, дифференцируемая в смысле С. В. Фомина по направлению h, и пусть ее логарифмическая производная рн{р) по этому направлению принадлежит L2(p). Тогда, мера ¡л дважды дифференцируема по направлению h в смысле А. В. Скорохода и справедлива оценка

\\dU\<2\\Ph(n)\\bw.

Вторая же теорема из последнего раздела второй главы устанавливает существование вторых производных в смысле А. В. Скорохода по разным направлениям для выпуклой меры, имеющей квадратично интегрируемые логарифмические производные по этим направлениям.

Теорема 5. Пусть fi - выпуклая мера на лвп X, дифференцируемая в смысле С. В. Фомина по направлениям h и д, и пусть ее логарифмические производные рн{р) и рд(р-) по этим направлениям принадлежат L2(i.i). Тогда существуют вторые производные dhdgfi и dgdhP и для них выполняется оценка

к<мi < 2(|ым)и:ьы +

В диссертации приведены простые примеры, показывающие, что дважды дифференцируемая в смысле С. В. Фомина выпуклая мера на прямой может иметь не интегрируемую в квадрате производную. Эти же примеры показывают, что в теореме 1 нельзя положить р = 2.

Очевидно, в условии теоремы 4 нельзя отказаться от выпуклости меры р: даже на прямой существуют невыпуклые меры, имеющие квадратично интегрируемую логарифмическую производную, но не дифференцируемые дважды в смысле А. В. Скорохода.

И, наконец, в последней главе изучается вопрос о подпространстве непрерывности выпуклой меры. Главным инструментом является оценка нормы ||¡лн — /i|| для конечномерных распределений меры ц, доказанная в следующей теореме.

Теорема 6. Пусть р. - вероятностная выпуклая мера на Еп, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега. Тогда для всякого h € Ru имеем:

-Whfll

/«. - //II >•>.- ?р—2

ИГ" Г-и — - --

Заметим, что эта оценка не зависит от размерности. Из нее легко следует утверждение о характере сдвигов меры ¡л по разным направлениям /г на бесконечномерном пространстве X.

Теорема 7. Пусть ц - выпуклая вероятностная мера Радона на локально выпуклом пространстве X. Тогда для всякого направления /г, не являющегося направлением дифференцируемости меры ¡л в смысле А. В. Скорохода, меры ц и /и/, взаимно сингулярны, тогда как для любого направления дифференцируемости выполняется следующее неравенство:

> 2~2е--4-.

Аналогичное утверждение верно и для выпуклых мер на сг (X).

г

Как известно, для всякой гауссовской меры 7 на локально выпуклом пространстве X и всякого вектора Л 6 X, меры 7 и 7( • + К) либо эквивалентны, либо взаимно сингулярны. Множество всех векторов /г, для которых эти меры эквиваленты, называется пространством Камерона - Мартина меры 7. Теорема 7 устанавливает аналогичное свойство для произвольных выпуклых мер (заметим, что гауссовская мера является частным случаем выпуклой меры).

Замечание. Напомним введенные В. И. Богачевым определения подпространств дифференцируемости мер. Пусть /х - ненулевая мера на лвп X. Тогда множества = {Л £ X : р дифференцируема вдоль /1 по Фомину } и = {к £ X \ ¡1 дифференцируема вдоль /г по

Скороходу }, наделенные нормой

/1Н И^И, оказываются банаховыми пространствами, естественные вложения которых в X - компактные операторы. В отличие от гауссовского случая, эти пространства могут не обладать эквивалентной гильбертовой нормой. В работе9 показано, что для всякого р € [1,2] существует вероятностная мера р., для которой пространство 0{ц) линейно гомеоморфно V (причем для р > 1 такую меру можно взять выпуклой), а для р > 2 такое невозможно. Известно, что' подпространство дифференцируемости устойчивой меры всегда имеет эквивалентную гильбертову норму. Описание подпространств дифференцируемости продакт-мер получено в

9Богачев В.И. Подпространства дифференцируемости гладких мер на бесконечномерных пространствах// Докл. АН СССР, 1988, т. 299, n0. 1, с. 18-22.

работах10,11, а в работе12 охарактеризованы подпространства непрерывности продакт-мер. Результаты диссертации дают информацию о геометрии подпространств дифференцируемое™ выпуклых мер.

Работы автора по теме диссертации

[1] Кругова Е.П. Об интегрируемости логарифмических производных мер// Мат. заметки, 1993, т. 53, No. 5, с. 76-86.

[2] Кругова Е.П. Дифференцируемость выпуклых мер// Мат. заметки, 1995, т. 58, No. 6, с. 862-871.

[3] Krugova Е. P. On shifts of convex measures// Sonderforschungsbereich 343 "Discrete Strukturen in der Mathematik", Universität Bielefeld, Preprint No. 103, 1995, p. 1-11.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. И. Богачеву за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

10Хафизов М.У. О пространстве дифференцируемое™ продакт-меры// Вестник МГУ, 1989, n0. 2, с. 81-84.

"Хафизов М.У. Несколько новых результатов о дифференцируемых мерах// Вестник МГУ, 1990, n0. 4, с. 79-83.

12Хафизов М.У. О подпространстве непрерывности продакт-меры// Мат. заметки, 1993, т. 54, n0. 5, с. 119-128.