Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ФИЛИППОВА Ольга Викторовна

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ С ОТОБРАЖЕНИЕМ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМ СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ, И С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О СКТ 2013

Воронеж - 2013

005534813

Работа выполнена в Тамбовском государственном университете имени Г.Р. Державина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Булгаков Александр Иванович ,

Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, заведующий кафедры алгебры и геометрии.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович,

Воронежский государственный университет, профессор кафедры теории функций и геометрии;

доктор физико-математических наук, профессор Финогенко Иван Анатольевич,

Институт динамики систем и теории управления СО РАН, заведующий лабораторией математических методов анализа свойств динамических систем.

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов.

Защита состоится "12" ноября 2013 года в 15— час. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан '^"сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22

Гликлих Ю.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Дифференциальные включения — один из наиболее интенсивно развиваемых в настоящее время разделов теории дифференциальных уравнений. В форме дифференциальных включений можно представить дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории управления, дифференциальных игр, математической экономики.

Дифференциальные включения можно рассматривать как обобщение дифференциальных уравнений на случай, когда правая часть многозначна. Если же производную в точке заменить па оператор дифференцировав ния, а правую часть дифференциального включения заменить оператором Немыцкого, порожденным этой правой частью или другим оператором, действующим в пространство суммируемых функций, то от обыкновенного дифференциального включения перейдем к функционально-дифференци-алыюму включению. К функционально-дифференциальным включениям сводятся многие задачи теории управления и теории игр, если учитывать, например, что скорость воздействия на объект регулирования является не мгновенной, а происходит с запаздыванием1. Отметим, что значения оператора Немыцкого обладают свойством выпуклости по переключению значений (разложимостью) в пространстве суммируемых функций.

Если отказаться от требования выпуклости по переключению значений многозначного отображения, то все существующие в настоящее время методы исследований многозначных отображений нельзя применить даже для изучения вопроса разрешимости включения. Кроме того, в этом случае нарушится равенство между множествами квазирешений включения и "овыпуклепного" включения, впервые установленное Т. Важевским для обыкновенных дифференциальных включений2. Вследствие этого не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: прин-

1 Kamenskii M. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kainenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca. - De Gruytcr Ser. Nonlinear Anal. Appl. 7, Berlin-New York, 2001. - 233 c.

1 Финогенко И.А. О скользящих режимах регулируемых разрывных систем с последействием /И.А. Финогенко // Известия РАН. Серия: Теория и системы управления. — 2004. - № 4. - С. 19-26.

2Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent / A. Wazewski// Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Math., Astr., Phys.. - 1962. -V.10. - №1. - P.ll-15.

цип плотности и "бэнг-бэнг" принцип (см., например, работы А.И. Булгакова3, A. Bressan4). Выходом из этой ситуации, как показано в диссертации, служит введение понятия обобщенного решения функционально-дифференциального включения.

В случае, когда физические законы выражаются разрывными функциями (разрывная зависимость силы трения от скорости в случае сухого трения5, модель Прагера - Ишлинского упруго-пластического элемента6) или, когда в связи с отказом тех или иных приборов и устройств объекты мгновенно "перескакивают" с одной фазовой траектории на другую, в качестве математической модели можно использовать функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями нашли приложения в теории автоматического управления7, в теории автоколебательных систем, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах биологии, медицины, социологии, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается.

В диссертации рассматривается задача Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями в наиболее сложной для исследования ситуации, когда многозначное отображение не обладает свойством выпуклости по переключению значений. В связи с многочисленными приложениями и важным теоретическим значением, изучение разрешимости, исследование свойств множества решений данной задачи Коши является актуальным.

Работа выполнена в рамках проектов № 09-01-97503, № 11-01-00645 Российского фонда фундаментаьлных исследований, а также в рамках проек-

3Булгаков ASÍ. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью/А.И.Булгаков//Дифференциальные уравнения,-1990.-Т. 26.-,\Г«11.-С. 1872-1878.

4Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems / A. Bressan// Boll. Unione Math. Italiana, suppl..- 1980- V. 1. - P. 53-59.

5 Железцов H.A. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с "комбинированным"трением. / H.A. Железцов// ПММ. - 1949Т. 13. - № 1. - С. 3-40.

6 Забрейко П.П. Осциллятор на упруго-пластическом элементе. / П.П. Забрейко, М.А. Красносельский, Е.Л. Лифшиц// ДАН СССР. - 1970. - Т. 190. - № 2. - С. 266-268.

7 Завалищин С. Т. Импульсные процессы. Модели и приложения. / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. - М.: Наука, 1991. - 255 с.

7Arutyunov А. V. On constrained impulsive control problems / A.V. Arutyunov, D.Y. Ka-ramzin, F.L. Pereira// Journal of Mathematical Sciences. - 2010. - T. 165. - №6. - C. 654-688.

то в Минобрнауки РФ: АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)" (проект № 2.1.1/9359), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (ГК № П688).

Объект исследования. В диссертации исследуется задача Коши для функцибналыю-дифференциального включения с больтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений в пространстве суммируемых функций, и с импульсными воздействиями.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов и получении результатов общей теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями и многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений в пространстве суммируемых функций. Основные задачи состоят в нахождении условий разрешимости данных включений, построении оценок обобщенных решений и применении полученных результатов, к исследованию системы управления с фазовыми ограничениями по управлению, запаздыванием и импульсными воздействиями.

Методика исследования. Основным инструментом исследования являются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включений, теории функционально-дифференциальных уравнений, функционального анализа, математической теории управления.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) для задачи Коши функционально-дифференциального включения с вольтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями введено понятие обобщенного решения; изучены вопросы существования и продолжаемости обобщенных решений;

2) введены понятия почти реализации и реализации множеством обобщенных решений задачи Коши расстояния до произвольной суммируемой функции; доказано, что если множество всех локальных обобщенных решений априорно ограничено, то оно почти реализует, а в случае выпуклознач-ной правой части - реализует расстояние до любой суммируемой функции;

3) с помощью свойства почти реализации и реализации множеством обобщенных решений расстояния до произвольной суммируемой функции найдены новые оценки обобщенных решений задачи Коши импульсного

функционально-дифференциального включения;

4) доказан обобщенный принцип плотности для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, правая часть которого не обладает свойством выпуклости по переключению значений;

5) на основании полученных результатов исследования импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой по переключению правой частью изучена управляемая импульсная система с запаздыванием, имеющая фазовые ограничения по управлению и содержащая параметр; для такой управляемой системы:

а) доказано, что если в заданной точке параметра система априорно ограничена, то она априорно ограничена при всех значениях параметра из некоторой окрестности этой точки;

б) получены оценки фазовых траекторий;

в) установлена непрерывная зависимость фазовых траекторий от параметров и начальных условий.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертации понятия и разработанные методы применяются в исследованиях задач управления, краевых задач, проблем устойчивости для различных типов функционально-дифференциальных включений. Полученные результаты могут использоваться для анализа конкретных систем оптимального управления, решения задач управления гибридными системами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научной конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвящённой памяти Н.В. Азбелева (Ижевск, 2008г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва, 2008г.), на международной конференции, посвященной 70-летию В.А. Садовничего "Современные проблемы математики, механики и их приложения" (Москва, 2009г.), на XI и XII международных конференциях "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "имени Пятницкого (Москва, 2010г., 2012г.), на 46 и 47 школах-конференциях "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 2011г., 2012г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-летию И.Г. Петровского (Москва, 2011г.), на международной конференции "ISAAC 2011" (Москва, 2011г.), на Всероссийской конференции "Математическая теория управления и математиче-6

ское моделирование" (Ижевск, 2012г.), на V международной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж, 2012г.), на международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-Ш" (Ростов-на-Дону, 2013г.), на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов, 2007, 2009, 2011, 2013гг.), на конференциях "Державинские чтения" (Тамбов, 2007-2013гг.), на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям и включениям под руководством профессора А.И. Булгакова (Тамбов, 2007-2013гг.), на семинаре по нелинейному анализу под руководством профессора В.В. Обу-ховского и доцента Б.Д. Гельмана (Воронеж, 2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12]. Работы [1-6, 8, 9, 12] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ. Из совместных работ [1,2, 4-6] в диссертацию включены результаты принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 102 наименования. Объем работы составляет 130 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, содержится обзор литературы по тематике исследования, приводятся формулировки и описания основных утверждений диссертации.

В диссертации используются следующие обозначения: для метрического пространства X, если ж € X, Г/, 1Д С X, то рх\х', Щ - расстояние от точки х до множества II; К^Ш^Щ = вир рх[ж, II] - полуотклонение по

хб£/1

Хаусдорфу от и до Щ; = тах{/г£[£Л; С/];^[Ц-.и^} - расстоя-

ние по Хаусдорфу между множествами ¡Ух и II; Мп - га-мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |; сотр[К"] - множество всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств пространства К"; /2 — мера Лебега на К; Ы С М — измеримое ограниченное множество с мерой р{Ъ() > 0; Ь^ (и) — пространство измеримых ограниченных в существенном функций х : и -> Мп с нормой ||а;||ьп = уга1зир{|ж(4)| : £ 6 Ы};

1>п{Ы) - пространство суммируемых функций х : К Шп с нормой

1М1ьп(и) = (и) - множество неотрицательных функций про-

и

странства Ьг(Ы); С}(Ъп{1Л)) - множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства 1Г(1А)\ 5™{Ъп{Ы)) - множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп(И); Щ(}(Ьп(И))) - множество всех выпуклых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ьп(и).

Пусть Ф - непустое подмножество пространства Ь"[а,Ь]. Выпуклой по переключению оболочкой втФ множества Ф, называется совокупность всех

элементов вида у = £ где х1 6 Ф, I - любое натуральное число, а

<=1

произвольные измеримые множества ¿/¿, г = 1,/, осуществляют разбиение

отрезка [а, 6], т. е. Ы^Щ = 0 при г ф з и и Иг = [«, Ь], х(~) ~ харак-

¿=1

теристическая функция. Пусть далее, ШФ замыкание множества вгиФ в пространстве Ьп[а, Ь].

Пусть е [а,Ъ) с М, к = 1 ,т, (и < ... <гт)- конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] пространство непрерывных на каждом промежутке [а, ¿х], (¿х, г2], - -. , Цт, Ь) функций х : [а, 6] —> имеющих пределы справа в точках гк, к = 17т, с нормой ||х||б»[в>ь] = Бир{|х(0| : г € [а,6]};

С+[а, Ь] - множество неотрицательных функций пространства С1 [а, Ь].

В первой главе для функционально-дифференциальных включений не обладающих свойством выпуклости по переключению значений рассматривается задача Коши следующего вида

х е Ф(ж),

Д(®(«*)) = Ых{Ш к = 17т, (1)

х(а) = 10,

где отображение Ф : СП[а,Ь] д(Ьп[а,Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества Г/ С С"[а,6] образ Ф(17) ограничен суммируемой функцией и найдется такое непрерывное и симметричное отображение Р : с"[а,6] х с"[а,6] Ь\[а,Ъ\, что для любых х,у е е С [а, Ь] и любого измеримого множества Ы с [а, 6] выполняется оценка Ль»(М)[Ф(а;),Ф(у)] ^ ||Р(ж,у)||Ь1(1/); отображения 1к : МТ! ->■ Мп непрерывны, Д(х(^)) = х(гк + 0) - х(гк), к = Т7т. 8

В §1.1 для задачи (1) вводится понятие обобщенного решения и изучаются свойства множества таких решений. Под обобщенным решением задачи (1) понимается функция х е С"[а, 6], для которой существует такое д € яшФ(х), что при всех £ 6 [а, 6] имеет место представление

^ ТП

х{Ь) =х0+ д(з)аз + ЫФк))Х(1к,ь](Ь). (2)

в

Данное определение отличается от определения обобщенного решения, введенного А.Ф. Филипповым для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью8. В диссертации обобщенное решение определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества значений отображения Ф : С"[о, 6] <9(Ьп[а,Ь]) (которое, вообще говоря, не обладает свойством выпуклости по переключению значений). При этом, если Ф(ж) является выпуклым по переключению, то МОФ(х) — Ф(х), и тогда обобщенное решение совпадает с "классическим".

Будем говорить, что оператор Ф вольтерров по А.Н. Тихонову9 {вольтерров), если из х\Т = у\т, т е(а,Ь), следует (Ф(х))|г = (Ф(у))|г, где г\т-сужение на [а,-г] функции г е Сп[а, Ь], а (Ф(г))|г- множество сужений на [а,т] функций из множества Ф(л) С Ьп[а,Ь]. Далее предполагается, что оператор Ф : Сп[а, Ь] —> С}{Ъп{а,Ъ}) во включении (1) вольтерров.

Пусть т е (а, Ь]. Определим непрерывное отображение Ут : С" [а, г] —>

. ппг 1.1 /тг / I %(*)> если £ € [а, г];

-)• Сп[а,Ь] равенством (Ут(х))(^ = < ) " '

I х(т), если Ь (= (г, Ь\.

Будем говорить, что функция х € С "[а, г] является обобщенным решением задачи (1) на отрезке [а, г], г € (а,6], если существует такое

<7 € (5«7Ф(К-(а;)))|г, что функция х : [а, г] Мп представима в виде

г

х(г)=х0+Jq(s)ds+ ^ Ых(1к))Х(1к,Ь}(*)- (3)

В диссертации для задачи (1) получены условия существования обобщенного решения, доказано, что локальное обобщенное решение продолжаемо до "максимального" (теоремы 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3). Эти результаты

8Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - 224 с.

9 Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики / А.Н. Тихонов// Бюллетень Московского университета. Секция А. - 1938. - Т. 1. - № 8. - С. 1-25.

удовлетворяют одному из требований к обобщенным решениям дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, сформулированных в монографии А. Ф. Филиппова8: "решение пе должно прерываться".

В §1.2 вводится понятие априорной ограниченности множества обобщённых решений задачи (1) и устанавливается ряд свойств множества обобщенных решений данной задачи.

Множество всех обобщенных решений на [а,т] обозначим Н(хо,т), а (Н(хо, Ь))[т - множество сужений на [а, г] всех функций из Н(хо,Ь).

Будем говорить, что множество всех локальных обобщенных решений задачи (1) априорно ограничено, если найдется такое г > 0, что для всякого т € (а, Ь] не существует обобщенного решения у € Н(ха,т), удовлетворяющего неравенству |Ы1с»[а,г] > г.

В теоремах 1.2.1 и 1.2.2 утверждается, что если множество всех локальных обобщенных решений задачи (1) априорно ограничено, то Н(ха,Ъ) ф Ф 0, существует такой выпуклый компакт К С Сп[а;£>], что справедливо Н(хо,Ь) С К, и для любого г 6 (а, Ь) выполнено Н(хо,т) — (Н(х0,Ь))\т.

Будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (1) почти реализует расстояние до произвольной суммируемой функции, если для любого V 6 Ьп[а, Ь] и любого £ > 0 существует такое обобщенное решение х £ С"[а, 6] задачи (1), что для любого измеримого множества и С [а, выполняется неравенство

где ц € ~яшФ(х) удовлетворяет равенству (2). Еслн неравенство (4) выполняется и при е — 0, то будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (1) реализует расстояние до произвольной суммируемой функции (приведенное определение условно проиллюстрировано на рис. 1).

Рис. 1. Почти реализация расстояния до произвольной функции.

Теорема 1.2.3.Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (1) априорно ограничено. Тогда множество обобщенных

(4)

V

решений задачи (1) почти реализует расстояние до произвольной суммируемой функции. Если Ф : С"[а,Ь] П(<9(Ь"[а,6])), то мнооюество обобщенных решений задачи (1) реализует расстояние до произвольной суммируемой функции.

Будем говорить, что "импульсное воздействие" 1к : К™ -> М™ обладает свойством А, если найдется такая непрерывная неубывающая функция 1к : К+ К+, удовлетворяющая равенству Тк(0) = 0, что для любых ж, у е К" выполняется оценка 11к(х) - 1к{у)\ < Тк(\х - у\).

— п — 1

Определим отображение г : С [а, Ъ) С+[а, Ь] равенством (2х)(Ь) — = |а:(4)|. Пусть заданы функция и б 1/]|_[а, &] и числа £,1/^0. Будем говорить, что отображения 1к : Мп -> К", к - 1,т, и Ф : Сп[а,Ь] <2(Ь"[а,6]) обладают свойством (Ти'е>и ,1к,к = 1 , т), если 1к : К" Мга при любом к = 1,т обладают свойством А, и если найдется такой изотонный непрерывный вольтерров оператор Г : [а, Ь] —> [а, Ь], удовлетворяющий условию Г(0). = О, что для любых функций х, у е С"[а, Ь] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется неравенство

^"^[ФМ^С^^ЦГ^х-у))!!^^, (5)

а множество всех локальных решений задачи

¿ = и + е + Г(г), Д [г{Ьк)) =1к{г{гк)), к = 17т, г(а) = и (6)

априорно ограничено.

Теорема 1.2.4. Пусть для у в Сп[а,Ь] существуют такие и х £ Ъ], что имеет место представление

ь

г т

у{€) = у(а) + / д(з)(1з + ]Г 1кШк))х«к,ь](*)> * е [<*>Ч, (V

а к=1

и для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] справедливо неравенство

рл»(и)[в;Ф(у)К У (8)

и

Далее, пусть существует такое е > 0, что отображения 1к : Кп Кп, к = 1, т, и Ф : Сп[а,Ь] -> (¿(Ъп[а,Ь]) обладают свойством (Ги'е'",Тк,к = = 1,т) при значениях и= к,и — |ж0-у(а)|. Тогда для любого обобщенного

решениях 6 Сп[а,Ь] задачи (1), удовлетворяющего для любого измеримого множества Ы С [а, Ь] неравенству (4) с функцией V = д, имеет место оценка

где £ € Сп[а,Ь] — верхнее решение задачи (6).

Теорема 1.2.5. Пусть для у 6 Cn[a, Ь] существуют такие q € Ln [а, b] « х € Líj_[a,b], что имеют лгест.о соотношения (7) и (8). Далее, пусть множество всех локальных решений задачи (1) априорно ограниченно. Тогда, если отображения Ik : Rn —> R™, fc = l,m, и Ф : С"[а, Ь] Q(L"[a, Ь]) обладают свойством (Г"'£'1/, Ik, k = 1 ,т), где и = х, и = \хо — у(а)|, е > 0, то существует peuiemte х £ Сп[а,6] задачи (1), удовлетворяющее при всех t е [а, 6] оценке (9), и при п. в. t € [а, 6] соотношению (10). Если Ф : Cn[a, b] f2(Q(L"[a,6])), то утверждение верно при £ = 0.

Заметим, что теорема 1.2.4, вообще говоря, не предполагает факт существования обобщенного решения, удовлетворяющего оценке (4). Существование такого решения устанавливает теорема 1.2.5. Впервые вопрос об оценке нормы разности решения задачи Коши обыкновенного дифференциального включения с выпуклой правой частью и заданной абсолютно непрерывной функции был исследован А. Плисом. Решение этой задачи для обыкновенного дифференциального включения с невыпуклой правой частью, удовлетворяющей условию Липшица по второму аргументу, найдено А.Ф. Филипповым. Впоследствии установлению более общих оценок были посвящены работы A.A. Толстоногова, П.И. Чугунова, В.И. Благо-датских, Е.С. Половинкина и др.

В §1.3 доказан обобщенный принцип плотности для импульсного функционально-дифференциального включения, правая часть которого не обладает свойством выпуклости по переключению значений.

' Определим отображение Фсо : Сn[a,b] —> f!(Sw(Ln[a,b])) равенством Фсо(х) = с0(ЖПФ(х)), где со(-) - выпуклая замкнутая оболочка множества в пространстве Ln[a, &]. Рассмотрим задачу

(9)

(10)

х е Фсо(я), A(x(tk)) = Ik(x(tk)), х(а) = х0.

(П)

Пусть Hco(xo,b) - множество всех решений задачи (11) на отрезке [а, Ь].

Будем говорить, что отображения 1к К" —> К", к = 1,ш, и Ф : С"[а,6] —> Q(Ln[a,b]) обладают свойст.вом В, если выполняется свойство (Г"'*'"; ffc, к = 1,га), в котором u(t) = 0, t € [а, Ь], е = v = 0, a задача (6) на каждом отрезке [а, г] (т G (а, Ь}) имеет только нулевое решение.

Теорема 1.3.2. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (1) априорно ограничено. Далее, пусть отображения Ik : Rn R", к = 17т, и Ф : С™[а, b] -> Q(Ln[a,b)) обладают свойством В. Тогда Н(х0, Ь) ф 0 и справедливо равенство Н(х0,Ь) = Нсо(х0,Ь), где Н(хо, Ь)— замыкание множества H(xQ,b) в пространстве Сп[а, b].

В §1.3 также рассмотрены приложения теоремы 1.3.2 к конкретным функционально-дифференциальным включениям.

Во второй главе исследована управляемая импульсная система с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием.

Пусть S — метрическое пространство. Пусть заданы отображения / : [o,6] х Rn х Г х H R" и I/ : [а,6] х 1" х В 4 cornp[Rm], удовлетворяющие условиям:

1) при каждом (х, u,£) € Rn х Rm х Б функция измерима;

2) при п. в. t 6 [а, Ь] отображение f(t, -, -, •) непрерывно;

3) для каждого ограниченного множества W С Rn х RTO х Б существует такая суммируемая функция mw [а, Щ -» [0,оо), что при п. в. t € [а, Ь] и всех (х, u,Ç) е W выполняется неравенство |/(f, х, u,£)| < mw(t)\

4) при каждом (ж, Ç) £ R™ х Б отображение [/(■, х, £) измеримо;

5) при п. в. t G [а, Ь] отображение U(t, •, ■) непрерывно;

6) для каждого ограниченного множества V С Rn х H существует такая константа ту, что при п. в. t € [а,Ь] и всех (.%',£) 6 V выполняется неравенство \U(t,x,Ç)| ^ ту.

Рассмотрим управляемую систему

x(t) = /(t,®(pi(i)),«(i)»0. 6 U(t,x(P2(t)),Ç),

x(s) = ip(s), если s < a, (12)

A(x(tk)) = Jk(x(tk),Ç), к = 1^1, x{a) = x0,

где xq e Rn, функция ¡p : (-oo,a) ->■ R" измерима по Борелю и ограничена, измеримые функции pj : [а, Ь] -> R, j = 1,2, при п. в. всех t € [а, b] удовлетворяют неравенствам Pj (t) < t; отображения Jk : R" х Е Ч R", непрерывны, A(x(tk)) = x(tk + 0) - x(tk), к = l,d.

Пусть г е [а, 6]. Определим непрерывные операторы Р1Т : С "[а, г]

"> \°;т\,з = 1,2, равенствами {Т]тх)(г)=[ ^^ если € (М,

[ <Р(Р}Ш, если р^)<а. Под допустимым управлением на [а, г] (г € (а,Ь}) системы (12) будем понимать измеримуюфункцию и : [а, г] -> Кт, для которой существует такая функция ж 6 С [а, г], удовлетворяющая представлению

*Ю = *о+1Я8,(Г1гх)(з),и(*),№+ £ Мх(Ьк))Хцк,ьМ 4е[а,г],

что при п. в. г € [а, г] выполняется включение и{1) е

Пару (и,х) будем называть допустимой на отрезке [а,г]. Систему (12) будем называть управляемой импульсной системой с фазовыми ограничениями по управлению (поскольку выбор управления зависит от состояния управляемого объекта) и запаздыванием.

Пусть отображение ^ : [а, 6] х К" х К» х Е -> сошррГГ] определено равенством = /(£,*, С7(£, у, £),£). Тогда,

в силу теоремы об измеримом выборе10, управляемая система (12) эквивалентна задаче Коши для Функционально-дифференциального включения

ХЦ) е (р1Гж)(г), {Т2тх){1), О, г е [а, г].

Поэтому исследование управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием вида (12) проводится с помощью результатов, полученных в первой главе. В §2.1 рассмотрены вопросы продолжаемости допустимых пар. Доказано, что если в какой-то точке параметра управляемая система априорно ограничена, то она будет априорно ограничена и в некоторой окрестности этой точки. В §2.2 найдены оценки допустимых траекторий, аналогичные оценкам В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппова. Полученные результаты применены для нахождения в явном виде оценок фазовых траекторий конкретных управляемых систем с запаздыванием и импульсными воздействиями. В §2.3 установлена непрерывная зависимость фазовых траекторий задачи Коши для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием от параметров и начальных условий.

10Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. - М • Наука, 1974. - 480 с.

Публикации по теме диссертации

1. Филиппова О.В. К теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями/ А.И. Булгаков, А.И. Коробко, О.В. Филиппова// Вестник Удмуртского университета. Математика. -Ижевск. - 2008. - Вып. 2. - С. 23-26.

2. Филиппова О.В. О продолжаемости обобщенных решений функционально-дифференциальных включений с вольтерровым оператором и импульсными воздействиями/ А.И. Булгаков, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. -Тамбов. - 2009. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 676-680.

3. Филиппова О.В. Оценка А.Ф. Филиппова для функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями/ О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2009. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 818-821.

4. Филиппова О.В. Оценки обобщенных решений дифференциальных включений с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Части 1-2/ А.И. Булгаков, Е.В. Малютина, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2010. - Т. 15. - Вып. 6. - С. 1631-1644.

5. Filippova O.V. Functional-differential inclusions with impulses without switching convexity assumption/ A.I. Bulgakov, O.V. Filippova// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. -Тамбов. - 2011. - Т. 16. - Вып. 6. - С. 1617-1620.

6. Филиппова О.В. Дифференциальное включение с запаздыванием, зависящим от параметров/ А.И. Булгаков, Е.В. Малютина, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2012. - Т. 17. - Вып. 1. - С. 28-31.

7. Филиппова О.В. Свойства аппроксимирующих дифференциальных включений с импульсными воздействиями и внутренними и внешними возмущениями/ О.В. Филиппова// Известия института математики и информатики УдГУ. - Ижевск. - 2012. - Вып. 1(39). - С. 141-142.

8. Филиппова О.В. Почти реализация и реализация расстояния до заданной функции множеством обобщенных решений/ О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические

15

науки. - Тамбов. - 2013. - Т. 18. - Вып. 4. - С. 1158-1161.

9. Филиппова О.В. Математическая модель управляемых импульсных процессов с фазовым ограничением по управлению и запаздыванием, зависящих от параметров/ О-В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — Тамбов. - 2013. — Т. 18.

- Вып. 4. - С. 1162-1166.

10. Филиппова О.В. Об управляемых импульсных системах с фазовыми ограничениями по управлению/ О.В. Филиппова// Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения

- III. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону. - 2013. - С. 89-90.

11. Филиппова О.В. Оценки допустимых траекторий управляемой импульсной системы, зависящей от параметра, с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием/ О.В. Филиппова// Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования. Тезисы докладов международной научной конференции. - Владикавказ. — 2013. - С. 152-153.

12. Филиппова О.В. Принцип плотности для импульсного функционально-дифференциального включения с запаздыванием и невыпуклой по переключению правой частью/ О.В. Филиппова//Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — Тамбов. — 2013. — Т. 18. - Вып. 5. - С. 2721-2724.

Работы [1-6,8,9,12] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Научное издание Филиппова Ольга Викторовна

Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.09.2013. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ № 1610. Бесплатно.

Издательский дом ТГУ имени Г.Р. Державина 392008, Тамбов, ул. Советская, 190г.

Отпечатано в типографии Издательского дома ТГУ имени Г.Р. Державина

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тамбовский государственный

университет имени Г.Р. Державина"

На правах рукописи

Филиппова Ольга Викторовна

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ С ОТОБРАЖЕНИЕМ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМ СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ, И С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

СО

<о

сч

со °

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

^^ Диссертация на соискание ученой степени

^ кандидата физико-математических наук

^ ^ Научный руководитель -

^^ О) доктор физико-математических наук,

профессор Булгаков А.И.

Тамбов 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения....................... 3

ВВЕДЕНИЕ.............................. 5

Глава 1. Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с

импульсными воздействиями............. 29

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 30 § 1.1. Основные свойства обобщенных решений импульсного функционально-дифференциального включения с отображением, не обладающим свойством выпуклости

по переключению значений ................ 49

§ 1.2. Априорная ограниченность и оценки обобщенных

решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с отображением, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений,

и с импульсными воздействиями............. 61

§1.3. Обобщенные квазирешения и принцип плотности для обобщенных решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями 78 Глава 2. Управляемая импульсная система, зависящая от параметров, с фазовыми ограничениями

по управлению и запаздыванием .......... 86

§2.1. Основные свойства допустимых пар управляемой

импульсной системы, зависящей от параметра, с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием 86 § 2.2. Оценки фазовых траекторий управляемой импульсной системы с параметром, фазовыми ограничениями

по управлению и запаздыванием............. 93

§ 2.3. Непрерывная зависимость фазовых траекторий задачи Коши для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием

от параметров и начальных условий........... 118

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................... 122

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

К71 - п-мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |; сотр[Мп] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства Мп;

X - нормированное пространство с нормой || • ||х;

- открытый шар пространства X с центром в точке х Е X и радиусом е > 0;

рх[х',и] - расстояние от точки х £ X до множества II в пространстве X; К^и^Щ = вир рх[х,и] - полуотклонение по Хаусдорфу множества [Д С

С X от множества и в пространстве X;

Ь>х[и1,11) = та5 ^1]} ~ расстояние по Хаусдорфу между множествами II\ и и в пространстве X;

сотр[Х] - множество всех непустых компактов пространства X; 2х -множество всех непустых ограниченных подмножеств пространства X; Сп[а, 6] - пространство непрерывных функций х : [а, Ъ] —> Еп с нормой ||а;||с,г = тах{|ж(£)| : £ € [а, 6]};

Т)п[а,Ь] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —>• Мп

ь

с нормой ||ж||в>,ч = + /|£(з)| ¿в]

а

¡л - мера Лебега; Ы С [а, Ъ] - измеримое множество р(Ы) > 0; Ьп(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы —У Кп с нормой ЦжЦ^п^) =

и

- пространство суммируемых функций х : Ы —> Мп с р-ой степенью и нормой = ^/¡¡ф)!^^ ;

Sw(Ln[a, 6]) - множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а, 6];

С2(Ц1[а, Ь}) - множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ьп[а, Ь];

6])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а, Ь]; Г2((5(Ьп[а, 6])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых подмножеств пространства Ьп[а, Ь]\

Ь] (1Д[а, &]) - конус неотрицательных функций пространства

С1 [а, Ь] (Г^М);

¿А; £ [а, 6] (а < ¿1 < ... < £т < 6) - конечный набор точек; С [а, 6] - множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а,^], (¿ь^], • • •, ограниченных функций х : [а, 6] —> Жп, имеющих пре-

делы справа в точках к = 1, 2,..., га, с нормой ||#Исп[аь] = 8иР{12:(01 : I е [а, 6]};

С+[а, 6] - множество неотрицательных функций пространства С [а, Ъ];

ТЬ

С [а, т] - пространство функций х : [а, т] —>• Мп, являющихся сужениями на отрезок [а, г] (г (Е (а, Ь]) элементов из С [а, 6] с нормой ||£||с'г[ат] = - вирЦжО)! : Ь Е [а, г]};

I

вшФ - совокупность всех элементов вида у = ^ ГДе £

г=1

I - любое натуральное число, а произвольные измеримые множества

г = 1,1, осуществляют разбиение отрезка [а, 6], т. е. Ы{ = 0 при г I

и и ^ = [а> Щ > х(") ~ характеристическая функция;

-¿=1

¿шУФ - замыкание множества й-шФ в пространстве Ьп[а, &].

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные включения - один из наиболее интенсивно развивающихся в настоящее время разделов теории дифференциальных уравнений. Возникнув первоначально, как естественное обобщение обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальные включения проникли в различные разделы науки благодаря своим многочисленным приложениям. В форме дифференциальных включений можно представить дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории управления, дифференциальных игр, математической экономики.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах прошлого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [94], S. Zaremba (Заремба) [102]. Интенсивно развивающаяся теория оптимального управления и установленная А.Ф. Филипповым связь дифференциальных включений и управляемых систем (лемма о неявной функции) послужили толчком к всестороннему изучению дифференциальных включений.

Важный вклад в развитие дифференциальных и интегральных включений внесли работы Н.В. Азбелева, М.А. Айзермана, A.B. Арутюнова, Ю.И. Алимова, А.Г. Баскакова, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянского, Ю.Г. Борисовича, A.B. Богатырева, А.И. Булгакова, Е.А. Ганго, Р.В. Гамкрелидзе, Б.Д. Гельмана, А.Г. Иванова, А.Д. Иоффе, А.Е. Ири-сова, М.И. Каменского, А.Ф. Клейменова, Б.Г. Колмановского, H.H. Кра-совского, A.B. Кряжимского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Ледяева, JI.H. Ля-пина, В.П. Максимова, М.С. Никольского, В.П. Носова, В.В. Обуховско-го, Ю.С. Осипова, В.А. Плотникова, А.И. Поволоцкого, Е.С. Половинки-на, Е.А. Панасенко, Л.С. Понтрягина, Е.С. Пятницкого, Л.И. Родиной, Д.Б. Силина, С.Н. Слугина, А.И. Субботина, М.И. Сумина, В.И. Сумина, С.И. Суслова, В.М. Тихомирова, Л.И. Ткача, A.A. Толстоногова, Е.Л. Тон-кова, А.Ф. Филиппова, Т.В. Филипповой, И.А. Финогенко, В.З. Цалюка, А.Г. Ченцова, П.И. Чугунова, H.A. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, F.S. De Blasi, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, A. Lasota, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou. G. Pianigiani, A. Plis, A. Ponossov, A. Turowicz, A. Wazewski, P. Zecca и др.. Различные задачи для дифференциальных и интегральных включений продолжают интересовать многих математиков как в России, так и за

рубежом (см., например, [3], [35], [93], [52], [82], [83], [92], [95]).

Дифференциальные включения можно рассматривать как обобщение дифференциального уравнения х = f(t,x) на случай, когда правая часть многозначна. В связи с этим, для дифференциального включения

xeF(t,x), (1°),

где •) - многозначная функция, возникают задачи, подобные задачам теории дифференциальных уравнений. В то же время многозначность правой части дифференциальных включений порождает целый ряд специфических вопросов, такие, как, например, замкнутость, выпуклость семейства решений, принцип плотности, "бэнг-бэнг"принцип, выбор решений с заданными свойствами (например, почти реализации (или реализации) расстояния до произвольной суммируемой функции).

Исследования, посвященные дифференциальному включению (1°). можно разбить на два класса: включение (1°) с многозначной функцией F(-,-), имеющей выпуклые значения, и включение (1°) с многозначной функцией F(-, •), не обладающей свойством выпуклости. Методы исследований этих классов дифференциальных включений и свойства их решений различны. Это связано с тем, что в первом случае многозначный оператор Немыцкого N : Сп[а, 6] Ln[a, b], определенный равенством

N(x) = {у е Lп[а, 6] : y{t) £ F(t, x(t)) при почти всех t G [а, &]},

обладает свойством ослабленной замкнутости (т. е. если последовательности Xi € С п[а, 6], yi (Е N(xi),(i = 1,2,...) сходятся Хг —> х в Сп[а, Ь] по норме, yi —У у слабо в Ln[a, b] при г —> оо, то у G N(x)). Из выпуклости значений функции и свойства ослабленной замкнутости

оператора N следует, что значения произведения AN (здесь оператор

t

Л : Ln[a, b] —У Сп[а,Ь] определен равенством (Лz)(t) = xq + f z(s)ds)

a

являются выпуклыми множествами, а сам оператор AN имеет замкнутый график. В связи с этими обстоятельствами доказательства теорем о разрешимости, продолжаемости решений, замкнутости множества решений проводятся по тем же схемам, что и для дифференциального уравнения. Таким образом, если значения функции F выпуклы, то основные свойства решений и методы доказательства этих свойств остаются такими же.

как и для решений дифференциальных уравнений. Если же отказаться от требования выпуклости значений функции F, то оператор Немыцкого N не будет ослаблено замкнутым и значения композиции AN уже не будут выпуклыми замкнутыми множествами. В этом случае известные методы неподвижных точек (теорема Какутани, принцип сжимающих отображений для многозначных отображений) оказываются неприменимыми к изучению включения (1°).

Впервые вопрос о разрешимости дифференциальных включений с невыпуклой правой частью был решен А.Ф. Филипповым [69]. В 1975 году H.A. Antosiewicz и А. Cellina (см. [79], [80]) предложили оригинальную методику изучения включения (1°). Они доказали, что у непрерывного (в метрике Хаусдорфа) невыпуклозначного оператора Немыцкого найдется непрерывная однозначная ветвь g : Сп[а, 6] —> Lп[а, 6] (см. также работу A. Bressan, G. Colombo [85]). Таким образом, вопрос о разрешимости, например, задачи Коши, для включения (1°) сводится к вопросу о разрешимости задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения

х = д(х): х(а) = xq (x(t) G lRn). (2°)

Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: непрерывная ветвь g : Сп[а: b] —> Lп[а: Ь] многозначного оператора Немыцкого, определенная на множестве непрерывных функций, может и не быть оператором Немыцкого. Таким образом, уравнение х = д{х) может и не быть обыкновенным дифференциальным уравнением: это, вообще говоря, функционально-дифференциальное уравнение. Именно поэтому для получения утверждений о разрешимости включения (1°) на основе разрешимости задачи (2°) следует обратиться к соответствующим разделам теории функционально-дифференциальных уравнений (см. [1]-[3]). Такое обращение оказывается необходимым при исследовании краевых задач (см. [11],

[17])-

Изучение дифференциального включения (1°) с помощью методики Антосиевича-Челлины свелось к изучению функционально-дифференциального уравнения (2°). Многозначный оператор Немыцкого N : Сn[a,b] —> Ln[a, 6], порожденный многозначной функцией F (правой частью включения (I0)), можно заменить общим оператором Ф : Сп[а,Ь] —> Q(Ln[a, b]), определенным на множестве непрерывных функций, со значе-

ниями, которые, вообще говоря, могут быть и невыпуклыми множествами в пространстве суммируемых функций. Поэтому естественно рассматривать задачу Коши для функционально-дифференциального включения вида

х = Ф(ж), х(а) = х0 (х0 е Еп). (3°)

Изучение включения (3°) наталкивается на принципиальные трудности. Простые примеры показывают, что условий непрерывности или полунепрерывности снизу, слабой компактности и замкнутости образов многозначного отображения Ф : Сп[а, 6] —> <3(ЬП[а, Ь]), порождающего функционально-дифференциальное включение (3°), недостаточно. Для построения содержательной теории этого включения, охватывающей классическую теорию включения (1°) с невыпуклозначной функцией Е, требуется дополнительное предположение о структуре многозначного отображения Ф . Таким предположением является выпуклость по переключению значений многозначного оператора Ф (определение см. ниже). Это еще раз подтверждает высказанное профессором В. М. Тихомировым предложение о том, что выпуклость по переключению (разложимость) является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве.

Выпуклость по переключению значений многозначных отображений неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений и т. д.. Если отказаться от требования выпуклости по переключению, то известные методы исследований многозначных отображений нельзя применить даже для изучения вопроса разрешимости включения. Кроме того, в этом случае нарушится равенство между множествами квазирешений исходного включения и "овыпукленно-го" включения, впервые установленное Т. Важевским для обыкновенных дифференциальных включений [101]. Это связано с тем, что замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) невыпуклых по переключению значений многозначного отображения не совпадает с их замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствие чего не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг"принцип (см., например, [15], [16], [18], [59], [60], [93], [96]). Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не об-

ладающего свойством выпуклости по переключению образов. Выходом из данной ситуации, как доказано в диссертации, служит введение понятия выпуклой по переключению оболочки правой части включения.

Отметим далее, что полуотклонения выпуклых замкнутых оболочек компактных подмножеств банахова пространства не превосходят полуотклонений самих множеств. Это свойство широко используется при исследовании овыпукленного многозначного отображения в банаховом пространстве. Для исследования овыпукленного по переключению многозначного отображения это свойство нельзя применить, поскольку в пространстве суммируемых функций выпуклая оболочка заданного множества и его выпуклая по переключению оболочка это два разных понятия. Кроме того, подмножества пространства суммируемых функций, как правило, являются некомпактными даже в случае компактности множеств их значений. В связи с этими обстоятельствами А.И. Булгаковым был разработан метод равномерных оценок полуотклонений относительно сужений подмножеств пространства суммируемых функций на измеримые подмножества области определения функций. Этот метод позволил не только описать топологические свойства овыпукленного по переключению отображения, но и получить оценки расстояния между множеством обобщенных решений включения (3°) и наперед заданной функцией.

Основные положения теории функционально-дифференциальных включений разработаны А.И. Булгаковым, В.В. Васильевым, Б.Д. Гельманом, A.A. Григоренко, А.Г. Ивановым, М.И. Каменским, H.H. Красов-ским, A.B. Кряжимским, А.Б. Куржанским, В.П. Максимовым, В.В. Обу-ховским, Е.А. Панасенко, Л.И. Родиной, В.М. Тихомировым, A.A. Толсто-ноговым, E.JI. Тонковым, И.А. Финогенко, В.З. Цалюком, А.Г. Ченцовым. П.И. Чугуновым, А. Ponossov, Р. Zecca и др..

В работах [9], [10], [20]-[25], [59], [62]-[64] для функционально-дифференциальных включений исследованы вопросы разрешимости, получены оценки решений, аналогичные оценкам А. Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений.

Вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, представление множеств приближенных решений функционально-дифференциального включения рассмотрены в ра-

ботах [6], [52], [62], [63]. В работах [28], [29], [93] рассмотрены возмущенные функционально-дифференциальные включения с внешними и внутренними возмущениями. Доказано, что "небольшими" внутренними и внешними возмущениями нельзя пренебрегать, поскольку они могут существенно изменить множество решений возмущенного включения.

В [9], [18], [19] введено и исследовано понятие квазирешения, показана связь множества решений функционально-дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, с множеством решений "овыпукленного" включения (принцип плотности).

В последние годы интенсивно изучаются функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями (см., например, [20]-[25], [81]-[83], [92]). В случае, когда физические законы выражаются разрывными функциями (разрывная зависимость силы трения от скорости в случае сухого трения [33], модель Прагера - Ишлинского упруго-пластического элемента [36]) или, когда в связи с отказом тех или иных приборов и устройств объекты мгновенно перескакивают с одной фазовой траектории на другую, в качестве математической модели можно использовать функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. К таким включениям сводятся многие классы дифференциальных включений (обыкновенные дифференциальные, функционально-дифференциальные, дифференциальные включения с запаздыванием и т.д.).

Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями нашли приложения в теории автоматическ