Возмущенные включения и функционально-дифференциальные включения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ГРИГОРЕНКО Анна Александровна

ВОЗМУЩЕННЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2003

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р.Державина.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Е. С. Жуковский

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор

физико-математических наук, профессор А.Г. Ченцов доктор физико-математических наук, профессор В. Я, Дерр

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится "_"_2003 г. в_часов на

заседании специализированного совета К 212.275.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмурт^ ском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д.1, корпус 4, ауд.

Отзывы в двух экземплярах, скрепленные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д.1, корпус 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_2003 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физ.-мат. наук, доцент H.H. Петров

[ 8 5^-^ОБЩАЯ характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Такие включения называют возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани, принцип сжимающих отображений) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Основы теории возмущений заложены в работах А.И. Булгакова и Л.И. Ткача, в которых для случая, когда "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы, рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, топологические свойства множеств решений и квазирешений. Отметим, что доказательство этих свойств основывалось на теореме Майкла, с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви у "хорошего" многозначного отображения с выпуклыми образами. В настоящей работе не предполагается, что "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла для исследования такого возмущенного включения невозможно.

Цель работы. Целью работы является изучение условий существования решений возмущенных включений, а также топологических свойств множеств решений и квазирешений таких включений, приложение этих результатов к исследованию краевых задач для функционально - дифференциальных включений.

Общая методика исследования. Поставленные в диссертации вопросы исследуются с применением методов функционального анализа, теории функций вещественной переменной, дифференциальных уравнений и включений, теории многозн....."

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. В работе доказаны теоремы о существовании решений возмущенного включения, а также получены оценки близости решений к наперед заданной функции. Доказан принцип плотности и "бэнг - бэнг" принцип. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости множества решений возмущенного включения к внешним возмущениям. На основе теории возмущенных включений исследованы свойства решений краевых задач функционально-дифференциальных включений.

Апробация диссертации. Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 01-01-00140, грантом Министерства Образования РФ № Е 02-1.0-212.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: научных конференциях "Державинские чтения -5"(Тамбов, 2000), Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - 10 - 13"(Воронеж, 1999-2002), Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999, 2001, 2003), конференции молодых ученых (Тамбов, 1999-2003), Симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (Воронеж, 2000), международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения"(Воронеж, 2000), Тамбовском городском семинаре по функционально -дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.И. Булгакова (Тамбов, 1999-2003), Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения"(Рязань, 2001), международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики", посвященной 100 летию А.Н. Колмогорова (Тамбов, 2003), Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Е.Л.Тонкова (2003).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в восемнадцати публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 108 стра-

ниц состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, состоящего из 74 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся методика исследования и краткое содержание работы.

Приведем некоторые обозначения, используемые для формулировки основных результатов диссертации

Основные обозначения

Вх[х, г] - открытый шар в метрическом пространстве X с центром в точке х и радиусом г > 0; А - замыкание множества А\ Ае - замкнутая е - окрестность множества А; F(-,s) - s фиксировано и F рассматривается как функция лишь первого аргумента; рх (', •) - расстояние в метрическом пространстве X и расстояние между точкой и множеством в этом пространстве; hx (-, •] - расстояние по Хаусдорфу в метрическом пространстве X; со А - выпуклая оболочка множества А, сбА — со А; ext Л - множество крайних точек множества Л, ёх£Л = ext А; Rn - n-мерное пространство с нормой | • |; сотр[М"] - множество всех непустых, компактных подмножеств пространства К!1; Lп(И) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : U 1™ (U С [а,6] - измеримое по Лебегу множество, fi(U) > 0, yu(-) - мера Лебега) с нормой Цэ:||ь»(г/) =

/ |a;(s)| ds\ II[Ln[a, 6]] - множество всех непустых, замкнутых, огра-и

ниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a, b]; П(П[Ь"[а, 6]]) - множество всех непустых, выпуклых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению подмножеств пространства L"[a,b]; С"[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, b] К" с нормой ||®||с»[а,б] = max{|x(i)| : t 6 [а, Ь]}; сотр[Сп[а,Ь]] - множество всех непустых компактов пространства Сп[а,Ь]; ЦЛЦд- = sup||a||x, где А - подмножество нормированного

а€-4

пространства X.

Содержание первой главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и обозначения, а также утверждения, используемые в основном тексте. В § 1.1 приводятся общие

сведения из функционального анализа и топологии. В § 1.2 собраны используемые сведения из теории многозначных отображений. В § 1.3 приводятся необходимые свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств. Главы 2, 3 содержат основные результаты диссертации. Приведем вкратце результаты изложенные в главе 2 и 3. Нумерация приводимых утверждений совпадает с их нумерацией в параграфах.

Во второй главе предлагаемой диссертации в пространстве С" [а, 6] рассматривается возмущенное включение

х € Ф(аг) + УФ(®), (1)

где Ф : Сп[а,Ь] comp[Cn[a, 6]], Ф : Сп[а,Ъ] П[Ьп[а,6]] - многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : L"[a, í>] ->■ С" [а, &] определен равенством

ь

(Vz) (f) = J V(t,s)z(s)ds, te[a,b]. (2)

a

Под решением включепия (1) будем понимать элемент х £ С™[а, Ь], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а, Ь] —¥ К" является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы v £ Ф(х) и г Е $(i) , что справедливо равенство х = v + Vz .

Пусть до € Сп[о, Ь], го € Ф(<?о) и гио €' Ln[a,6]. Представим функцию до в виде

до = г0 + Vw0 + е, (3)

где е = до — го — Vwq . Предположим, что функция к € L1 [а, Ь\ для каждого измеримого ТА С [а, Ъ] удовлетворяет неравенству

РЪ"{и)[™о-,Цчо)} < Jk(s)ds, (4)

и

а непрерывная функция v : \а, 6] —> [0, оо) определена соотношением

ь

= f\V(t,8Ma)d8 + \e{t)\, (5)

где \У{Ь, я)| - согласованная с пространством Кп норма пхп матрицы У(4,в) в представлении (2), е 6 Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (3).

Будем говорить, что отображения V : Ьп[а, 6] —»■ С"[а, Ь], Ф : С"[а,Ь] сотр[Сп[а,Ь]], Ф : Сп[а,Ь] -»■ П[Ьп[а,Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотонные операторы Г : С+[а, 6] 1Д[а, Ъ) и Р : Ь] —> К1 , удовлетворяющие условиям: для любых х,у 6 С"[а, 6] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняются неравенства:

Аь-(И)[ф(*)> *(»)] ^ \\TZix - »)||Ь1(10|1 (6)

Лс-[«,ЧЕФ(®), ФЫ] < Р № - у)); (7)

для функции V 6 £>], определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1 [а, Ь] ряд

с»

ЛЧ А0 и = V, = А (А*-1*),» = 1,2, ■ - •, (8)

¿=о

где непрерывный оператор А : С+[а, Ь] С+[а, £>] определен равенством

ь

(Аг) (*) = I |У"(4,в)|(Гг)(я)йв + Р(г),

а

а отображение 2 : С"[а, 6] —)■ С+[а, 5] определено соотношением = |х(г)|. Пусть ((¡/) - сумма ряда (8), то есть

оо

= (9)

¿=0

Теорема 2.2.1. Пусть д0 € Сп[а,6], г0 € Ф(«ь), Щ € Ьп[а,Ь] и пусть функция до представима равенством (3). Далее, пусть отображения V : Ь"(а,Ь] С"[а,Ь], Ф : С" [а, Ь] -» сотр[С"[а, Ь]], Ф : Сп[а,Ь] —г П[Ьп[а,Ь]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х ( х — у+Уг, ь € Ф(х), г 6 Ф(ж)) включения (1), для которого выполняются следующие оценки: при любом Ь € [а, Ь]

l|w-ro||c«[»,4

при почти всех t £ [а, Ь]

\z(t)-w0(t)\^k(t)+m»)m,

где i/,£(v),P,r,k удовлетворяют соотношениям (5), (9), (7), (6), (4), соответственно.

Будем говорить, что функция х € С" [а, Ь] является квазирешением включения (1), если найдется такой элемент v G Ф(г) и такая последовательность z¡ е $(i), г = 1,2,..., что последовательность Xi=v + Vz¡ -и в С" [а, 6] при г оо.

Далее, будем считать, что если х - квазирешение включения и х G U С С"[а,Ь], то найдется такой элемент v 6 Ф(ж) и такая последовательность е Ф(г), г = 1,2,..., что для любого i = 1,2,... вьшолняется включение х¿ = v + Vzí 6 U и x¡ х в С"[о, Ь] при г -> оо.

Обозначим И - множество всех квазирешений включения (1).

Рассмотрим в пространстве С"[а,Ь] включение

X е Ф(х) + Усо(Ф(х)). (10)

Включение (10) будем называть "овыпукленным" возмущенным включением или просто "овыпукленным" включением.

Пусть Н, Нсо - множества решений включений (1), (10) соответственно. Справед ливо следующее утверждение для квазирешений включения (1)

Теорема 2.3.2. Пусть линейный непрерывный оператор V : Ln[a, Ь] —» С"[а, Ь], определенный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ln[a, 6] множество в предкомпактное множество пространства Сп[а,Ь]. Тогда справедливо равенство

ti ~ Нса.

Определим отображение соФ : Cn[e, Í»] —> íí(II[Ln[a, 6]]) равенством

(со Ф)(х) = со(Ф(я)).

Теорема 2.3.4. Пусть отображение V : Ln[a, Ь] -4 С"[а, 6] непрерывно, а многозначные отображения Ф : С" [а, Ь] сотр[Сп[а,Ь]], соФ : Сп[а,Ь] -4 П(П[Ьп[а, &]]) полунепрерывны сверху по Хаусдорфу. Тогда множество Нсо замкнуто в пространстве Сп[а, 6].

Будем говорить, что отображения V : Ln[a, 6] —»■ С"[а, &], Ф : Сп[о, Ъ] -> сотр[Сп[а, &]], Ф : С"[а,Ь] П[Ь"[о,Ь]] обладают свойством В, если найдутся непрерывные изотонные операторы Г : С+[а, Ь] -> I/Ца, 6] и Р : Ь] —»■ Е1, удовлетворяющие неравенствам (6), (7), а также соотношениям Г(0) = О, Р(0) = 0, и, кроме того, для любой функции и £ Ь] из некоторой окрест-

ности 0 ряд (8) сходится в пространстве С1 [а, 6] и сумма ряда (8) непрерывна в 0, оператор V переводит каждое слабо компактное в Ln[a,b] множество в предкомпактное множество пространства С"[о,Ь].

Теорема 2.3.5. Пусть отображения V : Lп[а,Ь] —>• Сп[а, &], Ф : С"[о, 6] сотр[Сп[а, £>]], Ф : Сп[а,Ь] П[Ь"[а,Ь]] обладают свойством В. Тогда множество Н ф 0 и справедливо равенство

Я = Ясо, (11)

где Н - замыкание в пространстве С" [о, Ь] множества Н.

Отметим, что выполнение равенства (11) в последнее время называют принципом плотности.

Пусть многозначное отображение Д : [а, &] х Сп[а, b] comp[®n] обладает свойством: при каждом фиксированном х € С" [а, Ь] отображение Д(-,а;) измеримо и удовлетворяет равенству

Ф(ж) = {у е Ln[a,b] : y{t) е A(t,x) при п.в. t £ [а, &]}.

Будем называть отображение Д : [а, Ь] х Сп[а, 6] comp[Kn], отображением порождающим оператор Ф : С"[а, £>] —> П[Ь»[а,Ь]].

Определим отображение ext Ф : С"[а, 6] П[Ь"[а,Ь]] равенством (ех*Ф)(э;) = {j/ G L"[a,b] : y(t) е ехЕ(соД(*,х))при n.B.í е [а,Ь]}.

Рассмотрим в пространстве С"[а, Ь] включение

I е Ф(г) + V(ext Ф)(х). (12)

Пусть Hext - множество всех решений включения (12).

Будем говорить, что множество Нсо разложимо по многозначным отображениям Ф, соФ или просто разложимо, если каждое решение х 6 JETco однозначно представимо в виде

х — v + Vz,

где v € Ф(х), z Е (соФ)(х).

Будем говорить, что отображения V : Ln[a, b] С"[а, 6], Ф : С"[а, Ь} сотр[Сп[а, Ь]], Ф : Сп[а, Ъ] ->• П[Ьп[а, Ь}} обладают свойством В*, если эти отображения обладают свойством В, ядро оператора V состоит только из нулевого элемента, а множество Нса разложимо.

Теорема 2.4.6. Пусть отображения V : Ln[a, i>] —>■ Сп[а,Ь], Ф : С" [а, 6] ->■ сотр[С"[а, 6]], Ф : Сп[а,Ь] -»■ ЩЬ"[а,Ь]] обладают свойством В*. Тогда Hext ф- 0 и справедливо равенство

■Hext — Н = Нсо, (13)

где Hext, Н - замыкание множеств Hext и Н в пространстве Сп[а,Ъ].

Отметим, что выполнение равенства (13) для включения (1) называют "бэнг-бэнг" принципом.

В заключении второй главы рассматривается включение с внешними возмущениями.

Обозначим через Ä"([a,6] х [0, оо)) множество всех функций г) : [а, 6] х [0, оо) —)• [0,оо), обладающих свойствами: при каждом 6^0 функция T](-,S) G Ьг[а, 6]; для каждого S ^ 0 найдется такая функция ßs(-) € L1 [а, b], что при почти всех t 6 [а, Ь] и всех г 6 [0,выполняется неравенство rj(i,т) ^ ßs{t)', при почти всех t € [а, Ь] справедливо равенство lim rj(t, S) = 0.

Обозначим через P(Cn[a,6] х [0, оо)) множество всех непрерывных функций и): Сп[а, 6] х [0, оо) -4 [0, оо), для которых для любого х £ Сп[а, Ь] справедливо соотношение и>(х, 0) = 0.

Будем говорить, что отображение Д(-, •) при почти всех t £ [в, 6] непрерывно в точке х £ Сn[a, £>], если для любой последовательности ж; £ С" [а, Ь], г = 1,2,... сходящейся к а; в пространстве С"[о, 6] при г оо, при почти всех t £ [а, 6] выполняется равенство

lim Л[Д(«,®); A(í, а:,)] = 0.

i—юо

Если отображение Д(-, •) при почти всех t £ [а, Ь] непрерывно в каждой точке х £ Сп[а,Ь], то будем говорить, что оно при почти всех t £ [а, 6] непрерывно на С" [а, Ь].

Далее будем считать, что отображение Д(-, •), порождающее отображение Ф : Сп[а, 6] -4 n[Ln[a, Ь]], при почти всех t £ [о, 6] непрерывно на С" [а, 6].

Рассмотрим оператор Ф : С" [а, Ь] —П[Ьп[а, Ь]] и порождающее его отображение Д : [а, 6] х С"[о, Ь] -»• сотр[Жп]. Значения отображения Д(-,-), а, следовательно, и образы оператора Ф(-), могут вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать функцией •/•/(-, •) G К([о, b] х [0, оо)). В связи с этим рассмотрим отображение Дч : [а, 6] х С" [а, ö] х [0, ос) -4 comp[®n], заданное равенством

Д^,*,<5) = (Д(*,х)Г^>, (14)

где функция r¡(-, •) £ K([a,b] х [0, оо)) в каждой точке (t,x) £ [а, 6] х Сп[а, Ь] при каждом фиксированном 5 £ [0, оо) определяет погрешность вычисления значения порождающего отображения Д(-, •), причем эти погрешности равномерны относительно переменной х £ Сп[а, Ь]. Далее, функцию »?(•,•) будем называть радиусом внешних возмущений порождающего отображения Д(-, •) или просто радиусом внешних возмущений.

Далее, определим отображение Фч : С"[а, 6] х [0, оо) -)• П[£п[а, Ь]], заданное соотношением

Ф„(з:,6) = {у £ Ъп[а,Ь] : y(t) £ Av(t,x,S)при п.ъЛ £ [а,Ь]}. (15)

Пусть U С С"[а, 6] и пусть функция •) € Р(Сп[а, 6] х [0, оо)). 1

Рассмотрим многозначное отображение Ми(и>) : U х [0, оо) —> 2и, '

определенное равенством

Ми(ы)(х,5) = J3c»Ml[*.«(z,í)] П U. (16) ■

Определим отображение <pu(<¿) : [а, Ь] х t/ х [0, оо) -> [0, оо) соот- f

ношением I

ipu(u>)(t,x,S) = sup Л[Д(*,х);Л(*,у)], (17) I

где отображение Мц(ш) :U х [0, оо) -> 2и задано равенством (16). ¡

Значение функции tpu(tj)(-, •) в точке (t,x,S) G [a,6]xf/х[0,оо), ,

на наш взгляд, естественно назвать модулем непрерывности отображения А : [а, 6] х С"[а, Ь] —> comp[Rn] в точке (t,x) по переменной , х на множестве U, функцию •) - функцией радиуса модуля ' непрерывности или просто радиусом непрерывности, a саму функцию ipu(v)(-, •) - функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения А : [а, 6] х С"[а,Ь] сотрГ®"] на множестве U относительно радиуса непрерывности ш(-,-).

Пусть U С Сп[а, 6]. Будем говорить, что функция »?(•,•) € К([а,Ь] х [0, оо)) равномерно на множестве U С Сп[а,Ь] оценивает сверху относительно радиуса непрерывности •) 6 .Р(Сп[а, 6] х [0, оо)) модуль непрерывности отображения Д : [а, Ъ] х Сп[а,Ь] —»■ сошр[Кп], порождающего оператор Ф : Cn[a, Ь] —> П[Ь"[а, Ь]], если для любого е > 0 существует такое ^

6(е) > 0, что при почти всех t G [а, Ь] и всех х € U и 5 € (0, J(e)] выполняется неравенство

•

<Pu("){t,x,S) ^ r¡(t,e),

где отображение t¿>u(u>) : [a, í>] х U х [0, оо) —> [0, оо) определено соотношением (17).

Пусть i¡(.,.) 6 К([а,Ь] х [0,оо)) и {(.,.) € Р(С»[а,Ь] х [0,оо)). Рассмотрим в пространстве Cn[a, Ь] для каждого S > 0 включение

х е (Ф(х))«х'г> + V94(x,6), (18)

где отображение Фп : С"[а, 6] х [0, оо) П[Ь"[а, Ь]] задано соотношениями (14), (15).

Каждое решение включения (18) при фиксированном <5 > О будем называть S - решением включения (1). Обозначим, через HV(6)¿(S)(U) - множество всех 5 - решений включения (1), принадлежащих множеству U С Сп[а, Ь]. Обозначим множества решений включений (1), (10), принадлежащих множеству U С Сп[а, 6], через ■ H(U), HC0(U), соответственно.

Теорема 2.5.7. Пусть U - непустое замкнутое множество пространства Cn[a, b] и £(•, •) 6 Р(Сп[а, b] х [0, оо)). Тогда для любой функции r¡(-,-) £ К([а,Ь] х [0,оо)), равномерно на множестве U С Сп[а, 6] оценивающей сверху относительно радиуса непрерывности üj(-, •) е Р(С"[а, Ь] х [0, оо)) модуль непрерывности отображения Д : [а, 6] х С" [а, Ъ] —> сотр[К"], порождающее оператор Ф : Сп[а, Ь] —^ П[Ьп[а, Ь]], справедливо равенство

■ Hco(U) = f| ЯП(<5Ш<5)(1/), í>0

где Нцф^^и) - замыкание множества Hti(S)¿(S)(U) впростран-' стве Сп[а,Ь].

^ Пусть U С С™[а, 6]. Будем говорить, что для включения (1)

1 на множестве U С С"[а, Ь] выполняется принцип плотности

(условие плотности), если справедливо равенство

H(Ü) = HC0(U).

г Теорема 2.5.8. Пусть £(•,•) 6 Р(Сп[а,Ь] х [0,оо)). Если U -

непустое замкнутое множество пространства С" [а, Ь], то для « выполнения равенства

г _ Л_

< H(U) = р| Hmm(U) (19)

| á>0

для любого радиуса внешних возмущений ?}(•, •) £ Ä"([a, fe] х [0, оо)) достаточно, а если U - непустое выпуклое компактное множе-i ство пространства С™ [а, Ь]. то и необходимо, выполнения прин-

ципа плотности на множестве U С С™[а, Ь].

^ Отметим, что выполнение равенства (19) для любых внешних

¡ возмущений (т)(-, •),£(•,•)) € К([а,Ь] х [0, оо)) х P(Cn[o,6] х [0,оо))

является свойством устойчивости множества решений H(U) включения (1) относительно этих возмущений.

Следствие 2.5.5. Пусть отображения V : L"[a, 6] -> Cn[a,b], Ф : С"[о, 6] comp[Cn[a, b}], Ф : С"[a, 6] П[Ь"[о,Ь]] обладают свойством В. Тогда для любых (г](-,-),£(-,•)) G K([a,b] х [0, оо)) х P(Cn[a, Ь] х [0, оо)) выполняется равенство (19) на множестве U = С"[а, 6].

Третья глава посвящена изучению краевой задачи для функционально-дифференциальных включений вида:

Сх е Ф(х), 1х е у(х), (20)

где С : Dn[a, 6] -4 Ln[a,b], I : С" [a, b] -4f - линейные непрерывные отображения, ip : С" [a, 6] —> comp[Kn] - многозначный вектор -функционал.

В § 3.1 рассматривается вопрос о существовании, задачи (20), а также доказывается принцип плотности и "бэнг - бэнг" принцип для этой задачи. В § 3.2 рассматривается задача (20) с многозначным оператором Немыцкого. В § 3.3 исследована возмущенная задача (20).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту Е.С. Жуковскому, профессору А.И. Булгакову и всем членам кафедры алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных. включений //Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. 2003. Т.8. Вып.З С.351-352.

2 Григоренко A.A. О непрерывности многозначного оператора с выпуклыми по переключению значениями и порождающего его отображения // Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. 2003.Т8. Вып. 1. С.158.

3 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Квазилинейные краевые задачи функционально - дифференциальных включений //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж. 2003. С. 44,45.

4 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. К теории возмущенных включений //"Понтрягинские чтения - 13"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж. 2002. С. 27-28.

5 Григоренко A.A. О реализации расстояний от точки до об-1 раза решений многозначного отображения возмущенных включений г // Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. 2002. Т.7. Вьш.1.

С.31-33.

'4 6 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Бэнг -

бэнг принцип для квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 2001. С.61.

7 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Возмущенное включение с нелинейным оператором //Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. Л*5. С. 31-33.

' 8 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Квазире-

шения возмущенных включений с нелинейным оператором //"Пон-трягинские чтения - 12"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж. 2001. С.39.

9 Булгаков A.M., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Об одной оценки решения возмущенного включения //"Понтрягинские чтения -11 "на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 26.

10 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Бэнг -бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением //Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. 2000. Т.5. Вып. 4 С. 427-429.

11 Булгаков А.И., Григоренко A.A., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением //Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика 2000. №1. С. 33-40.

12 Григоренко A.A. О замыкании множества решений возмущенного включения //Симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках".' Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 73.

13 Григоренко A.A. Существование экстремальных решений возмущенного включения //"Понтрягинские чтения - 11"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 43.

14 Григоренко A.A. Квазирешения крайних точек возмущенного включения //Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 83.

15 Григоренко A.A. Об одной оценки решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений // Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. 2000. Т.5. Вып. 4 С. 436-437.

16 Григоренко A.A. О существовании периодических экстремальных решений дифференциальных включений //Державинские чтения - 5. Материалы научн. конфер. преподавателей и аспирантов. Тамбов. 2000. С.25.

17 Григоренко A.A. О неустойчивости множества решений функционального включения с оператором типа Гаммерштейна //"Понтрягинские чтения - 10"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С. 49.

18 Григоренко A.A. Возмущение замкнутозначного оператора вызванное многозначным отображением типа Гаммерштейна //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С. 45.

16

1 I 1

I

I

r

Подписано к печати 4.11.2003. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 0,93 усл. печ. л.: 1,0 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. зак. 743.

Отпечатано в издательско-полиграфическом центре Тамбовского государственного технического университета

A

»1835 0

v.

/

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1.Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

§1.3. Свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств

Глава 2. Возмущение компактнозначного отображения многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами

§2.1. Возмущение линейной краевой задачи для функционально дифференциальных уравнений.

§2.2. Существование и оценки близости решений возмущенного включения к наперед заданным функциям

§2.3. Квазирешения и принцип плотности

§2.4. "Бэнг - бэнг" принцип

§2.5. Возмущенное включение с внешними возмущениями

Глава 3. Применение теории возмущенных включений к дифференциальным включениям.

В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного"включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [3], [17], [48], [21], [49]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [67], S. Zaremba (Заремба) [74] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторов-ский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Кра-совский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, JI.H. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимха-нов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, С.И. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногое, Е.Л. Тон-ков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филлипов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Ца-люк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi,

M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и др.)

В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Изучению подобных включений посвящена вторая глава предлагаемой диссертации. Такие включения здесь называются возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани[§1.2;32], принцип сжимающих отображений [§1.2;18]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Основы теории возмущений заложены в работах [20], [21], [22], [23], в которых для случая, когда "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы, рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [22] оценок доказан принцип плотности и "бэнг -бэнг" принцип. Доказательство этих свойств в [22] основывалось на теореме Майкла [§1.2;23], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви у "хорошего" многозначного отображения с выпуклыми образами. Здесь не предполагается, что "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла [§1.2;23] для исследования такого возмущенного включения невозможно. Исследования в этом случае здесь осуществляется на основе теоремы 2.2.1, доказанной в § 2.2 главы 2.

Третья глава диссертации посвящена приложению полученных результатов главы 2 к исследованию краевых задач для функционально -дифференциальных включений.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука,1991. 280с.

2. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений //Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P.29-67.

3. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

4. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194252.

5. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103с.

6. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений //Матем. сб. 1992. Т.183. N 10. С.63-86.

7. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенное включение с нелинейным оператором //Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001, №5. С. 31-33.

8. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Об одной оценки решения возмущенного включения //"Понтрягинские чтения -11"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 26.

9. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Бэнг бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 427-429.

10. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением //Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика 2000, №1. С. 33-40.

11. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. К теории возмущенных включений //"Понтрягинские чтения 13"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2002. С. 27-28.

12. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Квазилинейные краевые задачи функционально дифференциальных включений //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2003. С. 44,45.

13. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2003, Т.8. Вып.З С. 351-352

14. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 1999.Т4, вып. 4. С.461-470.

15. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1587-1598.

16. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем. сб. 2002. Т. 193, №2. С.35-52.

17. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 5 -решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

18. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. N6. С.3-32.

19. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Мат. 1999. N3. С.3-16.

20. Григоренко А.А. О реализации расстояний от точки до образа решений многозначного отображения возмущенных включений // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.31-33.

21. Григоренко А.А. О замыкании множества решений возмущенного включения //Симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 73.

22. Григоренко А.А. Существование экстремальных решений возмущенного включения //"Понтрягинские чтения 11" на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 43.

23. Григоренко А.А. Квазирешения крайних точек возмущенного включения //Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 83.

24. Григоренко А.А. Об одной оценки решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 436-437.

25. Григоренко А.А. О существовании периодических экстремальных решений дифференциальных включений //Державинские чтения -5. Материалы научн. конфер. преподавателей и аспирантов. Тамбов, 2000. С.25.

26. Григоренко А.А. Возмущение замкнутозначного оператора вызванное многозначным отображением типа Гаммерштейна //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, 1999. С. 45.

27. Григоренко А.А. О непрерывности многозначного оператора с выпуклыми по переключению значениями и порождающего его отображения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 2003.Т8, вып. 1. С.158.

28. Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Вольтерровость сопряженного оператора //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, 2001. С.99.

29. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896с.

30. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (СМБ). М.: Наука, 1968. 448с.

31. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

32. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752с.

34. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496с.

35. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 450с.

36. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

37. Куратовский К. Топология. T.l. М.: Мир. 1966.

38. Куратовский К. Топология. Т.2. М.: Мир. 1969.

39. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520с.

40. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480с.

41. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512с.

42. Панасенко Е.А. О свойстве сечений измеримого многозначного отображения // Вестн. Тамб. ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.111.

43. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О переодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1972. Т.541. С.145-154.

44. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

45. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

46. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

47. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N11. Новосибирск, 1989. С.14.

48. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип И. Бесконечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N12. Новосибирск, 1989. С.18.

49. Толстоногое А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296с.

50. Толстоногов А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. N6. С.144-159.

51. Толстоногов А.А., Финогенко И.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве //Матем. сб. 1984. Т.125,№ 2.С. 199-230.

52. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. N3. С. 16-26.

53. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224с.

54. Функциональный анализ. (СМБ). / Под общ. ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1972. 544с.

55. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы //Прикл. математика и пакеты прикл. программ, Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С.155-179.

56. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360с.

57. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems //Boll. Unione Math. Italiana, suppl.,1980. V.l. P.53-59.

58. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuons differential inclusions // Ref. S.I.S.S.A, 85 M (Iune 1990), 13 c.

59. Hermes H. The generalized differential equation x E R(t, x) // Advances Math., 1970, V.4, N2, P.149-169.

60. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations //Proc. Amer. Math. Soc., 1971. V.29, N3. P.535-542.

61. Lasota A., Opial Z. An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1965 V.13, N11-12 P.781-786.

62. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs integrales // Сотр. Math., 1936, V.3, N1, P.89-127.

63. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bang-bang" principle //Mathematical theory of coutrol. N.Y.: Acad press, 1967. P.35-45.

64. Papargeorgiou N.S. Functional-differential unclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side //Funkcial. Ekvac., 1989. V.32. P.145-156.

65. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations //J.Different. Equations, 1977. V.25, N1. P.30-38.

66. Plis A. On trajectories of orientor fields //Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. math., 1965. V.13., N8. P.571-573.

67. Plis A. Traejectories and quasitrajectories of an orientor field //Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. math. Astron. Phys. 1963. V. 11. N6. P. 369-370.

68. Wazewski T. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent //Bull. Acad. Pol. Sci. ser. Sei. Math. Astron. Phys. 1962. V.10, N1. P. 11-15.

69. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent //Bull. Sci. Math., 2 ser., 1936. V.60, N5, P.139-160.