Обобщенные решения возмущенных включений с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений и функционально-дифференциальные включения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БЕЛЯЕВА Ольга Петровна

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЗМУЩЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С МНОГОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМ СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ

ЗНАЧЕНИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р.Державина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Булгаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Я. Дерр; доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Клейменов

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 21 декабря 2005 г. в_часов на заседании ученого совета К 212.275.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д.1,

корпус 4, ауд._

Отзывы в двух экземплярах, скрепленные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д.1, корпус 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Н.Н. Петров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые или замкнутые выпуклые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Причем "плохое" многозначное отображение является композицией линейного непрерывного интегрального оператора и многозначного отображения с выпуклыми по переключению образами. Такие включения называются возмущенными. Термин "возмущенные включения" связан с тем, что "плохое" многозначное отображение оказывает существенное влияние на топологические свойства значений этого отображения, порожденного правой частью этого включения. Дело в том, что замкнутые образы, не говоря уже о выпуклости значений, такого оператора нельзя получить ни при каких малых значениях "плохого" многозначного отображения. В связи с этим, все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани, принцип сжимающих отображений ) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Если предположить, что в "плохом" операторе многозначное отображение не имеет выпуклые по переключению значения, то как показывают простые примеры, нарушается равенство между множеством квазирешений возмущенного включения и множеством решений "овыпукленного" возмущенного включения. Дело в том, что в рассматриваемом случае замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) значений многозначного отображения не совпадает с его замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствии чего, не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Данную ситуацию нельзя исправить никакой нещ " ния, не облада-

ющего свойством выпуклости по переключению образов. Более того, эти свойства не выполняются даже с многозначным отображением, удовлетворяющим в метрике Хаусдорфа условию Липшица с константой равной нулю! Это обстоятельство еще раз подтверждает высказанное профессором В.М. Тихомировым утверждение о том, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений, математическом моделировании и т.д.

В диссертации утверждается, что выход из данной ситуации можно найти с помощью введения понятия обобщенного решения, которое определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций. Это обобщенное решение наследует многие свойства классического решения возмущенного включения. И, кроме того, если многозначное отображение в произведении регулярно, т.е. имеет выпуклые по переключению значения, то обобщенное решение совпадает с классическим

Цель работы. Целью работы является изучение свойств выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций, с помощью которых можно получить условия существования обобщенных решений возмущенного включения. Получение эффективных оценок обобщенных решений, а так же исследование топологических свойств множеств обобщенных решений возмущенных включений.

Общая методика исследования. Поставленные в диссертации вопросы решаются с применением методов функционального анализа, теории функций вещественной переменной, дифференциальных уравнений и включений, теории многозначных отображений.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. В работе доказаны теоремы о существовании обобщенных решений возмущенного включения, которые "почти" реализуют или реализуют расстояния от наперед заданных функций до соответ-

ствующих значений многозначных отображений. Такой подход позволяет получить оценки обобщенных решений возмущенного включения аналогичные оценкам решений А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений. Доказано, что множества обобщенных и обобщенных экстремальных квазирешений возмущенного включения совпадают с множеством решений обобщенно овы-пукленного включения. Рассмотрен вопрос о существовании обобщенных и обобщенных экстремальных квазирешений возмущенного включения. Доказан принцип плотности для обобщенных решений возмущенного включения. На основе полученных результатов исследуются краевые задачи функционально-дифференциальных включений.

Апробация диссертации. Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований № 01-01-00140, № 04-01-00324, грантом Министерства Образования РФ № Е 02-1.0-212.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научной конференции "Державинские чтения - 9,10" (Тамбов, 2004, 2005); на Воронежских весенних математических школах "Понтря-гинские чтения - 6, 15, 16" (Воронеж, 1995, 2004, 2005); на международной конференции "Экстремальные проблемы и приближения", посвященной 70-летию В.М. Тихомирова (Москва, МГУ 2004); на международном семинаре "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби", посвященном 60-летию академика РАН А.И. Субботина (Екатеринбург, 2005); на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления под руководством профессора Е.Л.Тонкова (Ижевск, 2005); на Тамбовском городском семинаре по функционально -дифференциальным уравнениям и включениям под руководством профессора А.И.Булгакова (Тамбов, 2003-2005).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в четырнадцати публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 120 страниц состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, состоящего из 82 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся методика исследования и краткое содержание работы.

Основные обозначения

Пусть Р - система подмножеств банахова пространства Х\ ЩР) -множество всех выпуклых подмножеств пространства X, принадлежащих Р; сошр[ЛГ] - множество всех непустых компактов пространства Х\ ||Л||х = sup ||а||х, где А С X; А - замыкание мно-

оел _

жества А; со А - выпуклая оболочка множества А, соА = со А; Рх(-,-) - расстояние в пространстве X и расстояние между точкой и множеством в этом пространстве; hx{-,-] - расстояние по Хаусдор-фу в пространстве X; Rn - n-мерное пространство с нормой | • |; L х(И) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : U —» К™ (U с [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество, ¡i(U) > 0, р(-) - мера Лебега) с нормой = /|a;(s)|ds; П[Ь"[а, 6]] (Q(L"[a,6]))

1 и

- множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению (замкнутых, ограниченных суммируемыми функциями) подмножеств пространства L"[a, i>]; С" [a, b) - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] —► Жп с нормой ||а;||с"[о,ь] = max{|:r(£)| : t € [a, b]};

Содержание первой главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и обозначения, а также утверждения, используемые в основном тексте.

Главы 2, 3 содержат основные результаты диссертации.

Приведем вкратце результаты изложенные в главах 2 и 3. Нумерация приводимых утверждений совпадает с их нумерацией в параграфах.

Глава 2 посвящена обобщенным решениям возмущенных включений. В §2.1 этой главы вводится понятие выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций; исследуются свойства этой оболочки; описываются характеристические свойства множеств выпуклых по переключению; рассматривается многозначное отображение, значения которого принадлежат пространству суммируемых функций и, вообще говоря, не

обладают свойством выпуклости по переключению. По этому отображению строится "овыпукленное по переключению" отображение; изучаются топологические свойства такого отображения.

Определение. Пусть Ф с L™ [а, 6]. Будем говорить, что множество ф выпукло по переключению, если для любых х, у £ Ф и любого измеримого множества Ы с [а, b] выполняется включение Х(Ц)х + х([а, 6] \ U)y е Ф , где х(-) - характеристическая функция соответствующего множества.

Пусть Ф С L"[a, Ь]. Обозначим через ПФ совокупность всевозможных конечных комбинаций

У = + Х{ЩХ2 + • • • + X(Um)xm (1)

элементов хг £ Ф, г = 1,2,...,т, в которых Ыг С [а,6], i = l,2,...,m - непересекающиеся измеримые множества, удовлетво-

m _

ряющие условию [a, b] = (J Ыг. Обозначим через ПФ замыкание

i=i

множества ПФ в пространстве Ly[a, 6].

По заданному многозначному отображению Ф : С" [а, 6] —►

Q[L"[a, b]} определим многозначный оператор Ф : Сп[а, Ь] —> n[Ljf[a, 6]] равенством

Ф(®) = ПФ(а;). (2)

Отображение Ф : С" [а, 6] —» П[Ь"[а, 6]] будем называть "овыпуклен-ным по переключению" отображением.

Определение. Будем говорить, что многозначное отображение Ф : Сn[a,b) —> Q[L"[a,b]] обладает свойством А, если найдется непрерывный оператор Г : C+[a,í>] —> L+[a, b], удовлетворяющий равенству Г(0) = 0, что для любых х, у € С" [а, 6] и любого измеримого множества U с [а, Ь] имеет место соотношение

ЛьГ(м)[ф(«); ВД] < IIг№ - 2/))IIL}(i/)i (3)

где непрерывное отображение Z : Сп[а, 6] —► 6] задано равен-

ством

(Zx)(t) = |®(t)|. (4)

Теорема 2.1.1Пустъ многозначное отображение Ф : Сп[а, 6] —» Q[L"[a, 6]] обладает свойством А. Тогда "овыпукленное по переключению" отображение Ф : Сп[а, 6] —> n[Lj[a, 6]], определенное

равенством (2), для любых х, у € С™[а, 6] и любого измеримого множества U с [а, Ь] удовлетворяет неравенству (3).

В §2.2 главы 2 вводится понятие обощенного решения возмущенного включения. Приведем его.

Рассмотрим в пространстве С"[а, 6] включение

х € Ф(х) + УФ(х), (5)

где сумма понимается как алгебраическая сумма множеств, многозначный оператор Ф : С"[а, 6] —> fi(comp С"[о, Ъ]) компактен, а многозначное отображение Ф : Cn[a, Ь] —> Q(L"[a, b\) обладает свойством: для каждого ограниченного множества U с Сп[а, Ь] образ Ф({7) ограничен суммируемой функцией. Линейный непрерывный интегральный оператор V : L"[a, b] —> Cn[a, b\ определен равенством

ь

(Vz)(t) - J V{t,s)z(s)ds, i€[a,b], (6)

a

и переводит каждое слабо предкомпактное в L"[a, í>] множество в предкомпактное множество пространства С™ [а, 6].

Определение. Под обобщенным решением включения (5) будем понимать всякую функцию х € С"[а, 6], для которой существуют функции v е Сп[а,Ь) и г 6 L"[a,6], что v G Ф(х), 2 6 ПФ(х) и выполняется соотношение х = v + Vz.

Отметим также, что к возмущенному включению вида (5) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления, в которых в связи с отказами тех или иных приборов и устройств объекты регулируются разными законами управления (разными правыми частями). Так как отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом всегда должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные фазовые траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения включения (5) и составляют множество всех таких фазовых траекторий.

В §2.3 исследуются обобщенные решения включения (5) в предположении, что ядро оператора V : L"[a,6] —> С™[а, 6], определенного

равенством (6), вообще говоря, может состоять не только из нулевого элемента.

Приведем некоторые результаты этого параграфа. Пусть оператор 9Л : С" [а, 6] —> 2с"1а'ь1 задан соотношением

Ш(х) = Ф(х) + УФ(х), (7)

где "овыпукленное по переключению" отображение Ф : Сп[о, Ь] —» П[Ь"[а, &]] определено равенством (2).

Теорема 2.3.3. Пусть II - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства Сп[а,Ь], что выполняется вложение С и. И пусть отображения Ф : Сп[а, 6] —»

П(сотрСп[а, 6]) и Ф : Сп[о, 6] —> П[Ь"[а, &]] непрерывны на множестве II. Тогда для любого е > 0 и любых функций г & С" [а, Ь] и V) € Ь"[а,Ь] существует обобщенное решение х € и включения (5) и существуют V € Ф(х) и г € ПФ(х), которые удовлетворяют равенству х = V + Уг, и обладают следующими свойствами

IIг - Ч1о[а,Ь] ^ />С»[а,Ь]И Ф(х)] + £; (8)

для любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется неравенство

||«> - «||< Рь?(И)[«;ПФ(а;)] +ец{Ы). (9)

Если Ф : Сп[а, Ь] —► [а, 6]]), то утверждение справедливо и

при е = 0.

Пусть до € С™[о,6], го € Ф(до) и и>0 £ Ь"[а, Ь]. Представим функцию ад в виде равенства

9о = П> + Уи) о + е, (10)

где е = цо — го — Учщ . Предположим, что функция к £ Ь} [а, 6] для каждого измеримого Ы С [а, 6] удовлетворяет неравенству

Рь?(1/)[шо;Ф(до)] < (11)

и

а непрерывная функция ие : [а, Ь] —> [0, оо) определена соотношением

ь

1/е(*) = J |У'(«,я)|(е + ф))<Ь + £ + |е(«)|, О 0, (12)

где я)| - согласованная с пространством К" норма пхп- матрицы в представлении (6), е - функция в правой части равенства (10).

Определение. Будем говорить, что для непрерывного оператора $ : С+[а, 6] —> 6] сходятся последовательные приближения,

если для любой функции уо € 6], удовлетворяющей неравен-

ству уо ^ ^ Уо, последовательные приближения у1+\ = ^ (уг), г = 0,1,... сходятся в пространстве С1 [а, 6] к функции у, независящей от функции уо-

Определение. Будем говорить, что отображения V : Ь"[а,6] —» Сп[а,6], Ф : Сп[а,6] П(Сп[а,Ь]), Ф : Сп[а,Ь] -* д(Ьу[а,Ь]) обладают свойством АУ на множестве и С С"[а, 6], если найдется изотонный непрерывный оператор Г : С+[а, 6] —> Ь^а, Ь], удовлетворяющий неравенству (3), и изотонный непрерывный функционал Р : С^[а,Ь] —> К1, для которого для любых х,у £ и имеет место оценка

Лс»[«.ч[ОД; ф(2/)] < Р(2{х - у))-, (13)

для непрерывного оператора ^ : С}_ [а, Ь) —> С*. [а, Ь], определенного равенством

ь

(&)(«) = /а)|(Г*)(в)<Ь + Р{г) + !/(«), (14)

а

сходятся последовательные приближения. Здесь и £ Ь], а

отображение Z : Сп[а, Ь] —► С+[а, 6] определено равенством (4).

Рассмотрим в пространстве С1 [а, 6] уравнение

ь

Ш = / «)|(Г6,)(а)<*в + Р&,) + !/(«). (15)

а

Теорема 2.3.4. Пусть отображения V : Ь^[а,6] —> С"[а, 6], Ф : Сп[а,Ь] П(сотрСп[а, Ь]), Ф : Сп[а,Ь] д(Ь?[а,Ь]) обладают свойством А"е на множестве [/ С С" [а, Ь], где функция

€ С+[а,6] определена равенством (12), е ^ 0 и пусть функция до, представимая равенством (10), принадлежит множеству

и. Тогда для каждого обобщенного решения х € V (х = V + Уг, V £ Ф(ж), г £ ПФ(ж)) возмущенного включения (5), удовлетворяющего неравенствам (8), (9), в которых г = го и и> = и)о, выполняются следующие оценки: при любом Ь € [а, 6]

Ш - яо(г)\ < Ш; (16)

Н«-го||о-[а,ч<Л€«)+е; (17)

при почти всех Ь € [а, 6]

|г(*) - шо(4)| £ + /с(4) + (Г&)(«), (18)

где - решение уравнения (15) при и = ие, заданной равенством (12), функции од, го, и>о представимы равенством (10), а Г, Р, к удовлетворяют неравенствам (3), (13), (11), соответственно.

Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ь] включение

х 6 Ф(я) + Усо(ПФ(х)). (19)

Включение (19) будем называть "обобщенно овыпукленным" возмущенным включением (5).

Определение. Будем говорить, что отображения V : Ь"[а, Ь] —> Сп[а,Ь], Ф : Сп[а,Ь] П(сошрСп[а,6]), Ф : Сп[а,Ь] -» д(Ц*[а,6]) обладают свойством А на множестве ¡7 С Сп[а, 6], если для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что для любого и € 6], удовлетворяющего неравенству И^НсЧа.Ц ^ выполняется свойство А" на множестве С/, в котором для отображений Г : С+[а,6] —> Ь\.[а, Ъ] и Р : С+[а, Ь] —> К1 справедливы равенства Г(0) = 0, Р(0) = 0, а решение уравнения (15) удовлетворяет неравенству И&ИсЧа.Ь] < е-

Пусть множество I/ С Сп[а,Ь]. Обозначим Н(11), Нсо(и) - множество всех обобщенных решений включений (5), (19), принадлежащих множеству и, а Я, Нсо - множество всех обобщенных решений соответствующих включений.

Теорема 2.3.7. Пусть II - такое выпуклое ограниченное замкнутое множество пространства С"[о, 6], что 9Л(?7) С С/, где оператор Ж : С"[а, 6] 2с"'а'6' определен равенством (7). Далее, пусть отображения V : Ь"[а, Ь] С" [а, Ь], Ф : Сп[а,Ь) —►

Г2(сотр Сп[а, 6]), Ф : С"[а, Ь] —><3(Ь"[а, 6]) обладают, свойством А на множестве и . Тогда справедливо равенство

Н(и) = Нсо(и),

где Н(11) - замыкание в пространстве С"[а,Ь] множества Н(11).

Отметим, что теорема (2.3.7) устанавливает достаточные условия выполнения принципа плотности для обобщенных решений включения (5).

В §2.4 доказан "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений возмущенных включений.

В главе 3 рассматривается квазилинейная краевая задача с многозначным отображением не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Для этой задачи определяется обобщенное решение и на основе результатов, полученных в главе 2, изучаются его свойства. Приведем основные утверждения этой главы.

В §3.1 определяется квазилинейная краевая задача функционально-дифференциального включения следующего вида:

Сх 6 Ф(х), 1х 6 (20)

где С : О™ [а, Ь] —» Ь™ [а, 6], I : О" [а, Ь] —> К" - линейные непрерывные операторы, Ф : С™[а, Ь] <Э[1//[а,Ь]], ¡р : С"[а, 6] Г2(сотр[Мп]) многозначные отображения. При этом линейная краевая задача для функционально-дифференциального уравнения

Сх — 0, 1х = 0 (21)

имеет только нулевое решение и существует непрерывный оператор Грина С : Ь"[а, Ь] —> Оп[а, 6] этой задачи, определенный равенством

ь

{вг){Ь) = I С(*,а)ф)<*в, Ь € [а, 6]. (22)

а

Определение. Под обобщенным решением квазилинейной краевой задачи (20) понимаем абсолютно непрерывную функцию х : [а, Ь] —» К71, удовлетворяющую включениям

Сх е ПФ(х), 1х е <р{х). (23)

В §3.2 рассматриваются вопросы существования обобщенных решений квазилинейных краевых задач.

Пусть до £ С" [а, 6], Го € <р(<й) и ю0 € Ц*[а,6]. Представим функцию до в виде равенства

до = Хг0 + Ои>о + е, (24)

где е — % - го - От0. Предположим, что функция к е Ь^а, Ь] для каждого измеримого Ы с [а, Ь] удовлетворяет неравенству (11), с д0 — до а непрерывная функция и€ : [а, Ь] —» [0, оо) определена соотношением

ь

и£{Ь) = I в)|(е + + г + |е(<)|, с > 0, (25)

а

где з)| - согласованная с пространством К" норма п х п-матрицы з) в представлении (22), е - функция в правой части равенства (24), функция к € Ь+[а, Ь] удовлетворяет неравенству (11) с 9о = «То • Обозначим

А = шах{|Х(г)| € [а, 6)}, (26)

где X -фундаментальная матрица решений первого уравнения (21).

Определение. Будем говорить, что оператор Грина б : Ь"[а, 6] —» С"[а, 6], и многозначные отображения <~р : С"[а, 6] —» П(сотр[Кп]), Ф : Сп[а, 6] —> <Э[Ь"[а,6]] обладают свойством А" на множестве II С С" [а, Ь], если найдется изотонный непрерывный оператор Г : С+[а, Ь] —> Ь}[а, 6], удовлетворяющий неравенству (3) с Г = Г и изотонный непрерывный функционал Р : С+[а, Ь] —> К1, для которого для любых х,у € п[а, 6] имеет место оценка

Лс»[«,цМ®); ¥>(у) 1 ^ Рг(2(х - у)); (27)

для непрерывного оператора $ : 6] —> 6], определенного равенством

ь

(ЗМ) = I № «)|(Гг)(«)А + АР{г) +

сходятся последовательные приближения. Здесь и е С]|_[а,6], число Л - задано равенством (26).

Рассмотрим в пространстве С1 [а, 6] уравнение ь

U*) = j IG(t, s)\(rl)(s)ds + AP(l) + u(t). (28)

a

Теорема 3.2.2. Пусть оператор Грина G : L"[a,b] —> С"[a,b] и многозначные отображения ip : Cn[a, b] —> comp[R"],Ф : Cn[a, b] —> Q[L"[a, Ь]] обладают свойством A"c на множестве U С Cn[a, b], где функция vE € C^ [a, 6] определена равенством (25), e ^ 0 и пусть функция qó , представимая равенством (24), принадлежит множеству U. Тогда для каждого обобщенного решения х £ U задачи (20), удовлетворяющего неравенствам: для любого измеримого множества Ы с [а, 6]

II и>0 - Их Hlj(w)^ Рьг(Ы)И);ПФ(а;)] +

||Xr0 - Xlx||с»[а,Ы < Ро[а,ь)[-Х>0; Ху{х)) + е; выполняются следующие оценки: при любом t € [а, 6]

\x(t) ~ q0(t)\

1№о - te)llc-|e,4 ^ + е;

при почти всех t € (а, Ь]

|(£x)(t) - too(í)| ^ £ + k(t) + (ri¿) W.

где - решение уравнения (28) при v — v€ , заданной равенством (25), число А определено равенством (26), функции qó,wо и число го представимы равенством (24), а Г,Р удовлетворяют неравенствам (3),(27), соответственно.

В § 3.3 изучаются свойства обобщенных квазирешений и доказывается "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Александру Ивановичу Булгакову и всем членам кафедры алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко A.A. К теории возмущенных включений и о ее приложениях.//Матем. сб. 2005. Т. 196. № 10. С.21-78.

2.Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Удмуртского университета 2005. № 1. С.3-20.

3.Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Обобщенные решения функционально-дифференциального включения.// Control Theory and Theory of Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. Abstracts of International Seminar. Ekaterinburg. Ural University Publisher 2005. P.43-45.

4.Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Обобщенные и классические решения функционально-дифференциального включения.// "Понтрягинские чтения - 16". Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач".Воронеж. 2005. С.31-33.

5.Беляева О.П., Булгаков А.И. Выпуклая по переключению оболочка множества пространства суммируемых функций.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2005, Т.10. Вып.1 С. 56-57.

6.Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко A.A.,Пучков Н.П., Скоморохов В.В. О некоторых задачах возмущенных включений и их приложениях к дифференциальным включениям. Часть 1. //Вестник ТГТУ 2004. Т.10. № 4. С.712 - 730.

7.Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко A.A.,Пучков Н.П., Скоморохов В.В. О некоторых задачах возмущенных включений и их приложениях к дифференциальным включениям. Часть 2. //Вестник ТГТУ 2004. Т.10. № 4А. С. 1053 - 1073.

8.Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко A.A. Обобщенное решение возмущенного включения. //An International Conference Extremal problem and approximation. Dedicated to the 70th birthday of V. M. Tikhomirov. December 2004. MSU. Moskow. P.29-30.

Э.Беляева О.П., Булгаков А.И. Краевые задачи функционально-дифференциальных включений с многозначным отображением

»24933

не обладающим свойством вып ний.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Вып.1 С. 102-104.

Ю.Беляева О.П., Булгаков А возмущенного включения вложе та. Сер. Естеств. и техн. науки. \

П.Беляева О.П., Булгаков А. гозначным отображением не обла^,

преключению значений.//"Понтрягинские чтения - 15". Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач".Воронеж. 2004.С.28-29.

12.Беляева О.П., Булгаков А.И. Априорные оценки решений и нелокальная разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений с разрывным оператором.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004, Т.5. Вып. 1 С. 102-103.

13.Беляева О.П., Булгаков А.И. Обобщенное решение задачи Коши функционально-дифференциального включения.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 1995. Т.. Вып. С.23-25.

14.Беляева О.П., Булгаков А.И. Краевые задачи функционально-дифференциальных включений.//"Понтрягинские чтения - 6". Воронеж. 1995. С.15.

РЫБ Русский фонд

2006-4 26116

Отпечатано ПК "СПЕКТР", г Тамбов, б-р Строителей, 2. Тел. (0752)56-25-12. Тираж 100 эю.

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

Глава 2. Обобщенное решение возмущенного включения

§2.1. Выпуклая по переключению оболочка множества в пространстве суммируемых функций и "овыпукленное" по переключению отображение.

§2.2. Обобщенное решение возмущенного включения

§2.3. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее

§2.4. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, состоящим только из нулевого элемента

Глава 3. Краевые задачи для обобщенных решений функционально-дифференциальных включений.

§3.1. Квазилинейная краевая задача функциональнодифференциального включения.

§3.2. Существование обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений

§3.3. Обобщенные квазирешения и "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений

В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не'обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного" включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [17], [18], [19], [30], [41], [64], [70], [78]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [75], S. Zaremba (Заремба) [82] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.А. Григоренко, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, JI.H. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обу-ховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Ра-гимханов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, С.И. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филиппов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Чепцов, П.И. Чугунов, З.Б. Цалюк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi,

M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и многие другие). В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые или замкнутые выпуклые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Такие включения здесь называются возмущенными. Термин "возмущенные включения" связан с тем, что "плохое" многозначное отображение оказывает существенное влияние на топологические свойства значений этого отображения, порожденного правой частью этого включения. Дело в том, что замкнутые образы, не говоря уже о выпуклости значений, такого оператора нельзя получить ни при каких малых значениях "плохого" многозначного отображения. В связи с этим, все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какута-ни [42], принцип сжимающих отображений [40]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Основы теории возмущений заложены в работах [24]-[28], [33]-[36], где "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые или просто замкнутые образы, а "плохое" многозначное отображение является композицией линейного непрерывного интегрального оператора и многозначного отображения, имеющего выпуклые по переключению образы. Для этого случая рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [27], [35], [36] оценок доказан принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Если предположить, что в "плохом" операторе многозначное отображение не имеет выпуклые по переключению значения, то как показывают простые примеры (см. замечание (2.3.16)), нарушается равенство между множеством квазирешений возмущенного включения и множеством решений "овыпукленного" возмущенного включения. Дело в том, что в рассматриваемом случае замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) значений многозначного отображения не совпадает с его замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствии чего, не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не обладающего свойством выпуклости по переключению образов. Это обстоятельство еще раз подтверждает высказанное профессором В.М. Тихомировым утверждение о том, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений, математическом моделировании и т.д.

В диссертации утверждается, что выход из данной ситуации можно найти с помощью введения понятия обобщенного решения, которое определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций. Это обобщенное решение наследует многие свойства классического решения возмущенного включения. И, кроме того, если многозначное отображение в произведении регулярно, т.е. имеет выпуклые по переключению значения, то обобщенное решение совпадает с классическим.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Азбелев Н.В., Ли Муи Су, Рагимхаиов Р.К. К вопросу об определении понятия решений интегрального уравнения с разрывным оператором. //ДАН СССР, 1966. Т.171, № 2.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280с.

3. Азбелев Н.В., Рагимханов Р.К., Фадеева Л.Н. Интегральные уравнения с разрывным оператором // Дифференц. уравнения, 1969. Т 5, № 5. с.862-873.

4. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А. К теории возмущенных включений и о ее приложениях.//Матем. сб. 2005. Т.196. № 10. С.21-78.

5. Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначршм отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Удмуртского университета 2005. № 1. С.3-20.

6. Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Обобщенные и классические решения функционально-дифференциального включения.//"Понтрягинские чтения 16м. Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач".Воронеж. 2005. С.31-33.

7. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А.,Пучков Н.П., Скоморохов В.В. О некоторых задачах возмущенных включений и их приложениях к дифференциальным включениям. Часть 1. //Вестник ТГТУ 2004. Т.10. № 4. С.712 730.

8. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А.,Пучков Н.П., Скоморохов В.В. О некоторых задачах возмущенных включений и их приложениях к дифференциальным включениям. Часть 2. //Вестник ТГТУ 2004. Т.10. № 4А. С. 1053 1073.

9. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А. Обобщенное решение возмущенного включения. //An International Conference Extremal problem and approximation. Dedicated to the 70th birthday of V. M. Tikhomirov. December 2004. MSU. Moskow. P.29-30.

10. Беляева О.П., Булгаков А.И., Коробко А.И. Аппроксимация возмущенного включения вложением в среднем.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004, Т.9. Вып.2 С. 259-263.

11. Беляева О.П., Булгаков А.И. Априорные оценки решений и нелокальная разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений с разрывным оператором.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004, Т.5. Вып. 1 С. 102-103.

12. Беляева О.П., Булгаков А.И. Обобщенное решение задачи Коши функционально-дифференциального включения.//Вестн. Тамб. унта. Сер. Естеств. и техн. науки. 1995. Т. Вып. С.23-25.

13. Беляева О.П., Булгаков А.И. Краевые задачи функционально-дифференциальных включений.//"Понтрягинские чтения 6". Воронеж. 1995. С.15.

14. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений //Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P.29-67.

15. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

16. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАП СССР, 1985. Т.169. С.194-252.

17. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103с.

18. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений //Матем. сб. 1992. Т.183. N 10. С.63-86.

19. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространстве суммируемых функций //Матем.сб.1988.Т.136. № 2. С.292-300.

20. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Квазирешения возмущенных включений с нелинейным оператором //"Понтрягинские чтения 12"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 2001. С.39.

21. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Бэнг бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 427-429.

22. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением //Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика 2000, №1. С. 33-40.

23. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2003, Т.8. Вып.З С. 351-352

24. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 1999.Т4, вып. 4. С.461-470.

25. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1587-1598.

26. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором // Дифференц. уравнения, 1979. Т.15, № 5. с.876-884.

27. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем. сб. 2002. Т.193, №2. С.35-52.

28. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 5 -решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

29. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. N6. С.3-32.

30. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Мат. 1999. N3. С.3-16.

31. Григоренко А.А. О непрерывности многозначного оператора с выпуклыми по переключению значениями и порождающего его отображения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 2003.Т8, вып. 1. С.158.

32. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896с.

33. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (СМБ). М.: Наука, 1968. 448с.

34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

35. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752с.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496с.

38. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 450с.

39. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

40. Куратовский К. Топология. Т.1. М.: Мир. 1966.

41. Куратовский К. Топология. Т.2. М.: Мир. 1969.

42. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520с.

43. Ляпин Л.Н., Муромцев Е.Л. Гарантированная оптимальная программа управления на множестве состояний функционирования //Автоматика и телемеханика. 1993. Т. 24, № 3. С.85-93.

44. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480с.

45. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512с.

46. Панасенко Е.А. О свойстве сечений измеримого многозначного отображения // Вестн. Тамб. ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.111.J