Топологическая степень многозначных возмущений (S)+-отображений и её приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

00

На правах рукописи

0972

Барановский Евгений Сергеевич

Топологическая степень

многозначных возмущений (5)+-отображений и её приложения

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2010

004610972

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Звягин Виктор Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Эргаш Мирзоевич

Ведущая организация - Российский университет дружбы народов

Защита состоится 26 октября 2010 г. в 15.10 на заседании диссерта-ционого совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович

Автореферат разослан

сентября 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. К настоящему времени теория топологической степени продолжает оставаться одним из основных методов нелинейного функционального анализа. Этот метод имеет давнюю историю. Понятие степени восходит к работам Кронекера и Пуанкаре, а стройная теория степени конечномерных отображений была предложена Брауэром еще в начале прошлого века. Впоследствии эту теорию удалось распространить на некоторые классы отображений бесконечномерных пространств и многообразий. Были разработаны топологические характеристики типа степени для вполне непрерывных и уплотняющих векторных полей, для различных видов фредгольмовых отображений, для отображений монотонного типа и других классов отображений. Результаты этих исследований нашли широкое применение при изучении нелинейных краевых задач, интегральных уравнений, нелинейных моделей механики, гидродинамики и других задач.

Изучение новых ситуаций, возникающих в приложениях, приводит к необходимости построения новых топологических характеристик. В частности, представляет интерес расширение конструкций уже известных топологических характеристик на некоторые классы возмущений рассматриваемых отображений. Нередко та кос расширение приводит к построению содержательной теории, позволяющей исследовать новые типы задач.

В предлагаемой диссертационной работе построена теория степени одного класса многозначных возмущений (¿^-отображений.

Отметим, что (5)+-отображения представляют собой разновидность обобщенно монотонных операторов. Отображения этого класса естественно возникают при изучении различных типов нелинейных краевых и начально-краевых задач. Топологические методы исследования (¿>)+-отображсний и близких к ним классов монотонных операторов развивались в работах И.В. Скрыпника, Ф.Е. Браудера, В.В. Петри-шина, В.Г. Звягина, А.Г. Картсатоса, B.C. Климова, Ю.Г. Борисовича, Ю. Кобаяши, М. Отани, Д. Берковича, М. Мустонена и других авторов.

При изучении многих задач могут оказаться полезными топологические характеристики многозначных возмущений (¿^-отображений. Применение соответствующей теории степени является эффективным средством качественного исследования задач оптимального управления, систем дифференциальных уравнений и включений, операторных включений и других задач.

Целью работы является построение топологической степени одного класса многозначных возмущений (5)+ отображений и изучение на основе этой характеристики ряда задач управления с обратной связью в системах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

Методика исследований. Использовались топологические методы нелинейного анализа, аппроксимативные методы многозначного анализа, идеи и методы теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить наиболее важные:

1. Построена новая топологическая характеристика - степень СЗ-возмущений отображений класса (5)+.

2. Доказано существование оптимальных решений задачи управления с обратной связью в системах параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.

3. Установлено существование оптимальных решений в одной системе дифференциальных уравнений и включений.

4. Получены условия связности и компактности множества решений для одного класса операторных включений.

5. Доказана разрешимость задачи управления с обратной связью внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины и установлены условия, при которых множество решений этой задачи является связным и компактным.

Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследований. Все результаты диссертации доказаны.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании нелинейных оптимизационных задач, при изучении дифференциальных и операторных включений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), научной сессии ВГУ (2007 - 2010), семинарах под руководством профессора В.Г. Звягина (ВГУ, 2000 - 2010), семинаре под руководством профессора Э.М. Мухамадиева (Вологодский государственный технический университет, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

работах [lj - |7]. Из совместных работ [2], |7| в диссертацию вошли только принадлежащие Е.С. Барановскому результаты. Работы [5], [б) соответствуют перечню ВАК для кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на двенадцать пунктов, и списка литературы, включающего 54 источника. Общий объем диссертации 115 страниц.

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первой главе разрабатывается теория степени многозначных возмущений (5)+-отображений, то есть отображений вида A — G, где А - однозначное отображение, удовлетворяющее условию (б")-)., G -многозначное отображение.

В первом пункте, предваряющем основное изложение, собраны необходимые в дальнейшем понятия и факты.

Во втором пункте предложена конструкция степени компактных CJ-возмущений (5)+-отображений. Для того чтобы описать этот класс многозначных отображений, напомним следующие понятия.

Пусть X - действительное рефлексивное банахово пространство, X* - его сопряженное. Обозначим сильную и слабую сходимости соответственно через —» и —\ Рассмотрим отображение A: D —> X", где D С X - ограниченное открытое множество, a D его замыкание.

Будем говорить, что отображение А удовлетворяет условию (S)+, если для произвольной последовательности {«„} С D из ип щ и lim (А(и„), ип - и0) < 0 следует ип —> «о-

п—>эс

Пусть X, X', Z - метрические пространства.

Многозначное отображение Е: X —> Z называется J-мулътиотобра-жением (Е £ J(X, Z)), если оно полунепрерывно сверху и имеет асферичные значения, то есть для любого х £ X множество Щх) является асферичным.

Многозначное отображение G: X —> X', G = уоЕ, где Е G J(X, Z), <р: Z —> X' - непрерывное однозначное отображение, называется СJ-мультиотображением (G 6 CJ(X,X')).

Чтобы отметить насколько широк класс CJ-мультиотображений, напомним, что примерами асферичных множеств в линейном нормированном пространстве служат компактные выпуклые или стягиваемые множества, R§ - множества (пересечение убывающей последовательности компактных стягиваемых множеств).

Пусть II - ограниченное открытое подмножество X такое, что для любого Е конечномерного подпространства X множество [I П Е локально стягиваемо. Рассмотрим многозначное отображение А — С : V —> X*. Обозначим

Сот(А,С) = {ией: А{и) е С(и)}.

Во втором пункте определяется Deg(Л — С, 0,0) - целочисленная характеристика многозначного отображения А — (7 : 0 —> А'*, удовлетворяющего условиям:

а) однозначное отображение А деминепрерывно и удовлетворяет условию (5)+,

gl) многозначное отображение С = ¡роЕ : £/ —» X* принадлежит классу CJ(U, X*),

g2) множество 0(11) относительно компактно в X* , с) Сот(А, С)Г\ди = 0, гдеди обозначает границу множества и. Для определения Deg(Л — 6?, 0,0) модифицируется конструкция, предложенная И.В. Скрьтпником для построения степени (5)+-отобра-жений. На основе аппроксимационных свойств С,/- м ул ьт и отоб р аже-ний величина Deg(/l — (3, 0,0) определяется как степень некоторого специальным образом сконструированного конечномерного отображения.

Проверяется, что для введенной характеристики выполнены все стандартные свойства топологической степени (аддитивная зависимость от области, гомотопическая инвариантность и другие).

В третьем пункте первой главы конструкция степени распространяется на более общий класс многозначных отображений. Здесь вводится степень обобщенно уплотняющих С ./-возмущений (5)+-отображений. Чтобы описать этот класс мультиотображений напомним следующие понятия.

Функция ф, сопоставляющая каждому ограниченному множеству М банахова пространства ^ неотрицательное число ф(М) называется мерой некомпактности, если

г) ■ф(соМ) — ф(М) для любого ограниченного множества М С Г, где символ соМ обозначает замыкание выпуклой оболочки множества М.

и) ф(М\) ^ ф(М2) для любых ограниченных множеств М\,М2 С -Р таких, что М\ С Мг.

Пусть А : X —> X*, В \ X X* ~ ограниченные отображения. Отображение В называется А-уплотняющим, если

ф(В{О)) < ф(А(П))

для любого ограниченного множества П С X такого, что множество В((2) не является относительно компактным.

В третьем пункте вводится степень отображений А — б : V —> X*, удовлетворяющих условиям а), g^), с) и условию

§а) многозначное отображение (? является А-уплотняющим.

Схема построения степени этого класса мультиотображений развивает идеи работ В.Г. Звягина и В.Т. Дмитриенко, в которых предложена теория степени обобщенно уплотняющих возмущений отображений, характеризующихся тем, что для компактных возмущений этих отображений определена топологическая степень.

Отметим некоторые особенности разработанной в диссертации теории степени. Во-первых, в отличие от ряда работ, где вводятся топологические характеристики близких классов мультиотображений, в предлагаемой работе для построения степени не требуется условие выпуклости значений мультиотображений. Это условие заменяется менее ограничительным требованием асферичности. Во-вторых, условие "монотонности" предполагается выполненным не для всего многозначного отображения, а лишь для одного из двух слагаемых, составляющих это многозначное отображение, а именно для однозначной части. Такой подход позволяет расширить класс рассматриваемых мультиотображений и оказывается удобным при изучении приложений.

В заключение первой главы с помощью построенной степени доказываются две важные для приложений теоремы о разрешимости операторных включений А(и) € С (и).

Теорема 1.3.5. Пусть А : X X* - нечетный деминепрерывный оператор, удовлетворяющий условию (Б)+, и мулътиотображение (? = о Е £ СЗ{Х, А'*) является А-унлотняющим. Предположим также, что множество решений семейства включений

А{х)е\С(х), X £ [0,1]

априори ограничено. Тогда множество Сот(А, С) непусто и компактно.

Теорема 1.3.6. Пусть деминепрсрывный оператор А : X —> X* удовлетворяет условию (5)+, и существует Л > 0 такое, что

(А{х),х) > О

для любого х £ X, ||ж|| > Я.. Пусть мулътиотображение б = <р о £ е X*) является А-уплотпяющим. Предположим также, что множество решений семейства включений

А(х)£\в(х), А е [0,1]

априори ограничено. Тогда множество Сот(А,С) непусто и компактно.

Во всех последующих главах (главы 2-4) изучаются приложения развитой теории степени.

Во второй главе изучаются оптимальные задачи для одного класса систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.

Основному изложению предшествует первый пункт, в котором описываются используемые функциональные пространства и некоторые их свойства.

Во втором пункте рассматривается задача:

= /(*,«,<;, 7), (*. О е Ят = П х (О, Т), (1)

N<2

Ьр{х, = ф{х, <), (х, 4) е Бт = дПх (О, Т), (2)

1/5К1

у(х,0) = к{х), хбП, (3)

7 е Ф(«), (4)

где Г2 - ограниченная область в К" с границей ¿Ю класса С4, а, [3 -мультииндсксы, Г>а = д^/дх"1 • • ■дх"п, аа, Ьр, /, ф, /г - известные функции, Ф - многозначное отображение с асферичными значениями, представляющее в системе управление с обратной связью.

Искомыми являются функция состояния «(ж, Ь) и управление ^(х, В работе изучаются решения, принадлежащие пространству И7^- 2(<5г)х И*1 Юг), р > гпах{(п + 2)/2, 3}. Здесь символы И=1,2 обозначают анизотропные пространства Соболева.

Предполагается, что

АВх) а« е И^-ЧОг), М <2, Ьр е \0\ < 1,

АВг) с некоторой константой щ > 0 справедливы неравенства:

53 аа(ж, £)7?° ^ (х, 0 € <?г, V е К",

)а|=2

53 ОМ*) ^ "о, (ж, 0 е 5Г,

1/31=1

где ту0 = г/"1 ■■■г]"п, п(х) = {пр(х) : |/3| = 1} - единичный вектор внешней нормали к д£1 в точке х.

Рг) функция f : <2т х!хй->1 такова, что оператор /, определенный равенством

[/(иьИгЖМ) = /(х,Ъи1{х,г),и2(х,Ь)), 8

действует непрерывным образом из\\ГрЛ(С}т)х Wp^iQr) в Wp'1(Qt)-

Компактное J-мультиотображсние Ф : lKp'2(Qr) —> Wpl(Qr) Удовлетворяет условию

2-2

Ф) существует функция ро G Wp p(f2) такая, что для любых V е W^2(QT), 7 е Ф(«) верно 7|(=0 =

Для функций ф(х,Ь), h(x) справедливы включения

ф е h^(ST), h е Wp'híl).

Кроме того, предполагаются выполненными условия согласования (первого порядка) на границе ¿Ю.

Корректность постановки задачи обеспечивается свойствами соболевских пространств W^'l(Qx),l = 1,2.

Рассматриваемая задача сводится стандартным способом к аналогичной задаче с нулевым начальным условием (h = 0). Поэтому основное внимание в работе уделяется изучению задачи (1), (2), (4) с начальным условием h = 0. Для описания таких задач удобно использовать

Wp1'1 (Qt) ~ подпространство соболевского пространства Wf,l(Qx), состоящее из всех v € W£l'l(QT) таких, что 0 =0, к = 0,... ,1-1, где I = 1,2;р > тах{(ге + 2)/2, 3}. Предполагается, что

Fa) f(x,0,0,0) = 0, хеП, Ф) ф е1Ур~И~* (Sr),

Ф1) мулътиотображенис Ф : W4,2 (Qt) —»-W2'1 (Qt) полунепрерывно сверху и для любого v Е w4,2 (Qt) множество Ф(и) является асферичным,

о

Фг) для любого ограниченного множества U С IV4,2 (Qt) множество Ф(U) относительно компактно в W21 (Qt),

F$) существуют константа Со > 0 и функция ф : —> R+ такие, что lim ф(в) = 0 и для любых v £IV4,2 (Qt), 7 €

s—»-Ьэо р

выполнено неравенство

Определение 2.2.2. Решением задачи (1), (2), (4) назовем пару

о о

функций (v,7) G W4,2 (Qt)x (Qt), удовлетворяющую уравнениям (1), (2) и включению (4).

Основной результат главы - теорема о существовании оптимальных решений т. е. решений, минимизирующих заданный функционал стоимости 3 : IV1-2 (фг) х (<3г) -> К.

Теорема 2.2.1. Пусть 3 (<2г)х {От) -> К - полуне-

прерывный снизу функционал. Пусть выполнены условия АВ^), АВг), Рх), Р2), Ф), ФО, Ф2), РФ).

Тогда существует [у,, %) - решение задачи (1),(2),(4) такое, что

ЗК,7») = , 3(^,7),

где N - множество решений задачи (1),(2),(4).

Это утверждение доказывается в третьем пункте. Для доказательства производится операторная трактовка задачи и применяются результаты по теории степени, полученные в первой главе.

Такой подход к изучению разрешимости задач оптимального управления имеет ряд преимуществ. Например, он позволяет отказаться от условия выпуклости множества допустимых управлений. Это условие часто используется при исследовании управляемых систем, описываемых уравнениями с частными производными. Однако в приложениях возникают и ситуации, когда условие выпуклости не выполнено.

Один из таких случаев указан в четвертом пункте, где изучается задача оптимального управления температурой в одной модели нагревания сплошной среды с помощью нескольких распределителей тепла. На основе полученных ранее результатов устанавливается существование оптимальных решений данной задачи.

Третья глава посвящена изучению следующей системы дифференциальных уравнений и включений: т

1=0 (5)

т \ '

= £(-1 У0%{1,х{1),...,0тх{1),у{1)),

г=0

у\1)&С{г,х{1),...,От-1х{1),у{1)), (0)

0кх{0) = Бкх{Т) = 0, к = 0,... ,тп — 1, (7)

У{ 0) = |Л>, (8)

где Бк = йк/<Ик - оператор дифференцирования, а* : [0, Т] х Кт+1 —> К, Ь{ : [0, Т] х Ет+2 -»К- известные функции, С : [0, Т] х Кт+1 ->К-многозначное отображение с компактными выпуклыми образами.

Данная задача может быть интерпретирована как управляемая система, в которой функция х = x(t) определяет динамику системы, а функция у = y(t) - управление.

Опишем условия, которые предполагаются выполненными для функций a¿) b¡ и многозначного отображения С.

Пусть í € [0,Т], £ = (,£„, е Mm+1 и =(&,..., G

Aj) Функции a¡(t, £), г = 0, ...,m — 1 измеримы по t при всех значениях непрерывны по £ почти при всех t. Функция am(t,£) равномерно непрерывна на множествах вида [0,Т] х М х R, где М С Мт - ограниченное множество.

Аг) С непрерывной положительной неубывающей фупкциейд1 выполнены неравенства:

|oi(i,OI ^ Si(l£'l)(Mí) + 16»Г), г = о,..., т,

где r¡ = 2, если г = 0,..., т — 1; r¿ = 1, если г = т;

hi 6 £9i[0,T], g,: = 3-r¿.

Аз) Существует постоянная Со > 0 такая, что для любых t G [0,Т], G Rm, (, (6К выполнено неравенство

[am(t,Г, С) - em(í, г, С) ](С - С) ^ СЬ| с - СI2-

А4) С непрерывной положительной невозрастающей функцией д2 выполнено неравенство

am(t,Oím>g2UtVC

А5) Справедливо неравенство ^ 0.

Bi) Функции b¡ : [0,Т] х Mm+1 xK-»R, г = 0,... ,т равномерно непрерывны па множествах вида[0,Т]хМхЖхА, где М cRm, ДС К - ограниченные множества.

Вг) Существует константа q, 0 ^ q < такая, что для

любых t € [0, TJ, € Rm, С, ( € К выполнено неравенство

I bi(t, С, П) - biit,Tf)l < g|C-CI, г = 0,..., m.

Ci) мультифункция C(-,u,w) : [0,Т] —» К имеет измеримое сечение для всех и € Rm, w£l,

С2) мультиотобраэюение C{t, •) : ffim х i -» 1 полунепрерывно сверху для почти ecext £ [0,Т],

Сз) для любого е > 0 найдется S > 0 такое, что

C(t, ü,w) с 0£{C{t,u,w)) и

для всех и>) € [О,Г] х К и и, и е К"1, таких, что ||м — и\\ < 8,

С4) существует фуикция 7 £ такая, что

\С(г,и,ю)\ :=зир{|с| : с € СЦ, и, ш)} ^ 7(*)(1 + ||и|| + |ш|).

Задача (5)™(8) рассматривается в слабой постановке.

о

Пусть V =И/21 [О, Т] - подпространство соболевского пространства И^2т[0,Т\, получающееся замыканием множества всех бесконечно дифференцируемых функций с носителем в (О, Т) по норме пространства ит[0 ,Т].

Определение 3.1.1. Обобщенным решением задачи (5) (8) назовем пару функций (х, у) таких, что х £ V, у - абсолютно пепрервыв-па на [0,Т], справедливо условие (8) и включение (6) для п.в. Ь £ [О, Т], а также равенство Т

. гп

/ ■ • ■ > Отх{1))П1у{Ь)(11 =

о

Т

~ т

о !=0

для всех V £ V.

Основным результатом третьей главы является теорема о существовании оптимальных обобщенных решений задачи (5) (8), т. е. обобщенных решений, минимизирующих заданный функционал стоимости 3 : V х С[0,Т] -> Е.

Теорема 3.1.1. Пусть 3 : V х С[0,Т] —» М - полунепрерывный снизу функционал. Пусть выполнены все условия к{) — А5), В1), Вг), С1) — С4), и множество функций х £ V, удовлетворяющих семейству равенств Т

Р пг

/ V х(*)> • • •, отх(1))о1у(г)сИ =

{ ¿=0

л Ш

А /53ь{{1,х{ь),...,0тх(г),у(1))0Хг)(11, Ае [о, 1]

о

для любого V € V и условиям (6),(8); априори ограничено.

Тогда существует (х»,у*) - обобщенное решение задачи (5) - (8) такое, что

2{х*,у*) = г М 3(х,у),

(х,у)ем 12

где М - множество обобщенных решений задачи (5) - (8).

Это утверждение доказывается во втором пункте третьей главы. Для доказательства производится операторная трактовка задачи и применяется теорема 1.3.6.

В четвертой главе с помощью развитой ранее теории степени изучаются некоторые свойства множества решений операторных включений А(и) G G{u). Полученные результаты применяются при исследовании структуры множества решений задачи управления внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины.

Четвертая глава состоит из трех пунктов.

В первом пункте, предваряющем изложение главных результатов, доказываются необходимые в дальнейшем утверждения о сечениях многозначных отображений.

Во втором пункте изучаются условия, при которых множество решений включения А(и) £ G(u) является связным и компактным. Основной результат этого пункта сформулирован в следующей теореме.

Теорема 4.2.1. Предположим, что деминепрерывное отображение А : U X* удовлетворяет условию {S)+, а многозначное отображение G = о £ g CJ(U, X*) является А-уплотняющим. Пусть определена степень

Deg(v4 — G, Ü, 0) т^ 0.

Предположим также, что для любого £ > 0 и любой точки Xq € Согп{А, G) существует мультиотображение : U х [0,1] —> Z, ^е.з-с € J(Ü х [0,1],Z) такое, что

0 SrJo|(7x{()} = Е, £=Г,.Т0|[/х{1} =

где асао - непрерывное однозначное отображение,

И) множество Coin(A,ip о а£Хо) связно,

ш) существует точка х е Coin(A, ip о а£,Хо), для которой ||х — 2"о||л' <£,

и для мулътиотобраэюения

G£,Xo : Ü х [0,1] - X*, G£,Xo = tp о Ё£Л)

выполнены условия:

iv) при любом t € [0,1] множество Coin(A, Ge,Xg(-,t)) принадлежит Е-окрестности Согп(А, G),

v) мультиотображение Ge,Xo является А-уплотняющим.

Тогда множество Goin(A, G) непусто, компактно и связно.

Это утверждение является обобщением принципа связности Крас-носельского-Перова на случай операторных включений Л(и) 6 G(u).

Пример использования полученных результатов содержится в третьем пункте четвертой главы. Здесь изучается задача управления с обратной связью внешними нагрузками в следующей модели изгиба пластины:

IL

дх2

/гг2/ W (1 д2Ш

+

д2

дхду

d2w

+

+

IL

ду2

g{H2(w))

д2и>

w

1 d2w

2 Их2

dw

on

= f{x,y), (i,ï)eiî, (9)

w = -T- =0. (10)

an on on

Здесь fi С К2 - область пластины, w - скорость прогиба, g - функция, характерная для данного материала, причем такая, что g(t2)t - функция, возрастающая при t > 0; величина Н2(и>) определяется формулой

и2/ (d2w\2 /d2w\2 / d2w \2 d2w d2w

f(x, y) - величина, пропорциональная внешней нормальной нагрузке, рассчитанной на единицу площади.

Эта модель была предложена JI.M. Качановым для описания деформации жестко закрепленной на краю пластины при условиях установившейся ползучести. Предполагается, что

/ 6 F(w), (11)

где F - некоторое многозначное отображение, представляющее в системе управление.

Задача (9)—(11) рассматривается в слабой постановке.

Обозначим через W2 (fi), р > 1 подпространство соболевского пространства W2(fi), получающееся замыканием множества всех бесконечно дифференцируемых функций с носителем в fi по норме пространства W2( fi).

Определение 4.3.1. Обобщенным решением задачи (9) (11) назовем пару (w,f ) € Wp (fi) х [Wp (fi)]*, для которой выполнено включение (11) и равенство

[ (Н2( )\i(~ liM^V d2w d2ip J g (H M) + 2 ду2 ) dx2 + дхду дхду+

+ 2 дх2) dy2 J

dxdy = (/, <p)

для любой функции <р € (П).

Опишем условия, при которых рассматривается задача (9)—(11). G) Функция g непрерывна при t > 0 и существуют константы cq,Ci,Cq,Ci, с которыми выполняется неравенство

OB + cit*-1 ^Co + Cii""1,

причем р > 1, Со > 0, Ci > 0, а при 1 < р < 2 Со = Со = 0;

о о

Многозначное отображение F : W* (П) —> [Wp (П)] удовлетворяет условиям:

Fi) для любой функции w S (Г2) множество F(w) компактно и выпукло,

F2) существует функция ф : М+ —> М+ такая, что lim = 0

t—>+00 1

и для всех w G Wp (П), / € F(w) справедливо неравенство

FG) существует константа fi G [0,1) такая, что для любых u,v £ Wp (О), ифи справедливо неравенство

h(F(u),F(v))^

< / [.9 {Н\и)) Н(и) - g (H\v)) H(v)] (H(u)-H(v))dxdy.

f!

Здесь h - AiempuKa Хаусдорфа.

Основной результат третьего параграфа - теорема 4.3.1. Теорема 4.3.1. Пусть выполнены, условия G), Fi), F2), FG). Тогда множество обобщенных решений задачи (9)—(11) непусто,

компактно и связно в пространстве Wp (fi) х (fi)]*.

Кроме того, для любого полунепрерывного снизу функционала

3 : W2p (fi) х Щ (П)]*-+ К

существует {w*,jt) - обобщенное решение такое, что

ЗК,/*) = , inf ЗКЛ.

(u>J)eM

где М - множество обобщенных решений задачи (9)—(11).

Публикации автора по теме диссертации

[1] Барановский Е.С. Индекс совпадений компактных троек с операторами класса« /Е.С. Барановский//Топологимсские и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. Воронеж. -2005. - С. 15-16.

[2] Барановский Е.С. Конструкция степени одного класса многозначных возмущений операторов, удовлетворяющих условию альфа / Е.С. Барановский, В.Г. Звягин //Нелинейные граничные задачи. - 200G. - Выи.16. - С.107-117.

[3] Барановский Е.С. Теорема о связи условия а и собственности отображения /Е.С. Барановский // Труды математического факультета, Воронеж, ВГУ. - 2006. - Вып. 10 (новая серия). - С. 15-17.

[4] Барановский Е.С. О применении топологической степени к изучению структуры множества решений одного класса включений/ Е.С. Барановский // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. -2007. - №1. - С.112-120.

[5] Барановский Е.С. Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений / Е.С. Барановский // Известия вузов. Математика. - 2009. -№12 - С. 74-79.

[С] Барановский Е.С. Теоремы о структуре множества решений одного класса операторных включений и их приложения / Е.С. Барановский //Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика . - 2010 -№1. - С. 71-80.

[7] Звягин В.Г. Топологическая степень уплотняющих многозначных возмущений отображений класса (S)+ и ее приложения / В.Г. Звягин, Е.С. Барановский //Современная математика. Фундаментальные направления. - 2010. - Т. 35. - С. 60-77.

Работы [5], [6] соответствуют перечню ВАК для кандидатских диссертаций.

Подписано в печать 16.09.10. Формат 60*84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93.

Тираж 100 экз. Заказ 1190

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Топологическая степень CJ-возмущений отображений класса (S)+

1.1 Основные понятия и вспомогательные факты.

1.2 Степень компактных CJ-возмущений отображений класса (S)+.

1.3 Степень уплотняющих CJ-возмущений отображений класса (5)+.

2 Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений

2.1 Функциональные пространства и их свойства.

2.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов

2.3 Операторная трактовка задачи и доказательство теоремы о существовании оптимальных решений.

2.4 Пример: одна задача об управлении температурой

3 Об оптимальной задаче для одной системы дифференциальных уравнений и включений

3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.2 Операторная трактовка задачи и доказательство теоремы о существовании оптимальных решений.

4 Некоторые результаты о структуре множества решений операторных включений и их приложения

4.1 Вспомогательные понятия и факты

4.2 Теоремы о связности множества решений операторных включений

4.3 О структуре множества решений задачи управления внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины.

К настоящему времени теория топологической степени продолжает оставаться одним из основных методов нелинейного функционального анализа. Этот метод имеет давнюю историю. Понятие степени восходит к работам Кронекера и Пуанкаре, а стройная теория степени конечномерных отображений была предложена Брауэром еще в начале прошлого века. Впоследствии эту теорию удалось распространить на некоторые классы отображений бесконечномерных пространств и многообразий. Были разработаны топологические характеристики типа степени для вполне непрерывных и уплотняющих векторных полей, для различных типов фредгольмовых отображений, для отображений монотонного типа и других классов отображений. Результаты этих исследований нашли широкое применение при изучении нелинейных краевых задач, интегральных уравнений, нелинейных моделей механики, гидродинамики и других задач.

Изучение новых ситуаций, возникающих в приложениях, приводит к необходимости построения новых топологических характеристик. В частности, представляет интерес расширение конструкций уже известных топологических характеристик на некоторые классы возмущений рассматриваемых отображений. Нередко такое расширение приводит к построению содержательной теории, позволяющей исследовать новые типы задач (см., например, [11, 12, 19, 48, 51, 53, 54]). Дальнейшее развитие этого направления осуществляется в предлагаемой работе.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению топологической степени одного класса многозначных возмущений (S)+-отображений и изучению на основе этой характеристики ряда задач управления с обратной связью в системах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

Отметим, что (5)+-отображения (в другой терминологии - отображения, удовлетворяющие условию а) представляют собой разновидность операторов монотонного типа. Отображения класса {S)+ естественно возникают при изучении различных типов нелинейных краевых и начально-краевых задач (см., например, [35, 36, 44, 48, 49]). Топологические методы исследования (^^-отображений и близких к ним классов монотонных отображений развивались в работах И.В. Скрып-ника, Ф.Е. Браудера, В.В. Петришина, В.Г. Звягина, А.Г. Картсатоса, B.C. Климова, Ю.Г. Борисовича, Ю. Кобаяши, М. Отани, Д. Беркови-ча, М. Мустонена (см., например, [12, 18, 26, 36, 40, 41, 42, 48, 50, 51]) и других авторов.

Широкое распространение получила теория степени (й')+-отображе-ний, разработанная И.В. Скрыпником [35].

Аналог этой теории для случая многозначных отображений (муль-тиотображений) с выпуклыми значениями был предложен в работах Г.П. Дыбова [17] и B.C. Климова [25]. Позже эти результаты обобщил Ю.Г. Борисович [12], который также рассматривал только выпукл означные мультиотображения. Другой вариант обобщения для случая аппроксимируемых многозначных отображений был предложен совсем недавно И. Бенедетти и В.В. Обуховским [39].

В отмеченных выше работах для построения степени многозначных отображений использовался аппроксимативный подход. Суть этого подхода заключается в замене исследуемого многозначного отображения в определенном смысле близким к нему отображением (однозначным или многозначным), для которого понятие степени уже определено. Поскольку аппроксимативный метод используется и при определении степени многозначных отображений, рассматриваемых в предлагаемой работе, напомним некоторые факты, связанные с этим методом.

Впервые такой способ построения степени мультиотображений был предложен в работах [7], [43], где с помощью метода однозначных аппроксимаций вводится понятие вращения (степени) вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми значениями. Результаты о существовании непрерывных однозначных аппроксимаций у многозначных отображений с невыпуклыми значениями позволили построить теорию степени и для многих других классов мультиотображений. В связи с этим отметим статьи [34], [10], [15], [45], в которых изучаются аппроксимативные свойства мультиотображений с асферичными значениями (J-мультиотображений) и работы [8, 15, 27, 38, 39, 45, 53], в которых эти свойства используются при изучении топологических характеристик различных классов многозначных отображений.

Перейдем теперь к краткому обзору содержания диссертации.

Первая глава посвящена построению степени многозначных возмущений (.^.(--отображений, то есть отображений вида А — G, где А -однозначное отображение, удовлетворяющее условию (S)+, G - многозначное отображение. Предполагается, что G есть композиция полунепрерывного сверху мультиотображения с асферичными значениями и непрерывного однозначного отображения. Такие мультиотображения кратко будем называть CJ-мультиотображениями. Чтобы отметить насколько широк этот класс многозначных отображений, напомним [46], что примерами асферичных множеств в линейном нормированном пространстве служат компактные выпуклые или стягиваемые множества, - множества.

Определению степени предшествует первый пункт, в котором собраны необходимые в дальнейшем понятия и факты.

Во втором пункте предложена конструкция степени компактных CJ-возмущений отображений класса (S)+. Ключевую роль в этой конструкции играет теорема 1.2.1, которая является обобщением теоремы 3.1. (см. [36, глава 2]), предложенной И.В. Скрыпником для обоснования корректности определения степени отображений класса (S)+. Используя теорему 1.2.1 и аппроксимационные свойства CJ-мульти-отображений, можно определить степень многозначного отображения А — G как степень некоторого специальным образом сконструированного конечномерного отображения (определение 1.2.1).

Проверяется, что для введенной таким образом характеристики выполнены все стандартные свойства топологической степени (аддитивная зависимость от области, гомотопическая инвариантность и другие).

В третьем пункте первой главы конструкция степени распространяется на более общий класс многозначных отображений. Рассматриваются отображения вида А — G, где А — отображение, удовлетворяющее условию (5*)+, G — Л-уилотняющее CJ-мультиотображение. Схема построения степени этого класса мультиотображений развивает идеи работ В.Г. Звягина и В.Т. Дмитриенко [20, 54], в которых предложена теория степени обобщенно уплотняющих возмущений отображений, характеризующихся тем, что для компактных возмущений этих отображений определена топологическая степень.

Отметим некоторые особенности разработанной в диссертации теории степени. Во-первых, в отличие от работ [12, 17, 25], где вводятся топологические характеристики близких классов мультиотображений, в предлагаемой работе для построения степени не требуется условие выпуклости значений мультиотображений. Это условие заменяется менее ограничительным требованием асферичности. Во-вторых, условие "монотонности" предполагается выполненным не для всего многозначного отображения (как в работах [17, 25, 39]), а лить для одного из двух слагаемых, составляющих это многозначное отображение, а именно для однозначной части. Такой подход позволяет расширить класс рассматриваемых мультиотображений и оказывается удобным при изучении приложений.

В заключение первой главы с помощью построенной степени доказываются две важные для приложений теоремы о разрешимости операторных включений А(и) € G(u). В первой теореме устанавливаются условия разрешимости включений с нечетным оператором А (теорема 1.3.5). Вторая теорема является аналогом известной теоремы Минти-Браудера для случая операторных включений (теорема 1.3.6).

Во всех последующих главах (главы 2-4) изучаются приложения развитой теории степени. Основное содержание этих глав - исследование задач оптимального управления в системах, описываемых нелинейными дифференциальными (обыкновенными или в частных производных) уравнениями.

Во второй главе изучаются оптимальные задачи для одного класса систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.

Основному изложению предшествует первый пункт, в котором описываются используемые функциональные пространства и некоторые их свойства.

Во втором пункте рассматривается задача: ди y%2aa(x,t)Dav = f(x,t,vt'Y), (x,t) бПх (0,Т), Ь0(х, t)Dpv = ф{х, t), (х: £) £ dfi х (О, Т),

I/3K1 v(x, 0) = h(x), хеП, 7 е &(v), где Г2 - ограниченная область в R" с границей dfi класса С4, а — (аг,., ап). /?=(/?!,., рп) -мультииндексы, Da = д^/дх"1 ■ • • дх%п, aQi bp, f,ijj,h- известные функции, Ф - многозначное отображение с асферичными значениями, представляющее в системе управление с обратной связью.

Искомыми являются функция состояния v(x, t) и управление 7(2;, t).

Во втором пункте устанавливается, что данная задача может быть сведена к эквивалентной задаче с нулевым начальным условием (h = 0), а также формулируется основной результат главы - теорема о существовании оптимальных решений, т. е. решений, минимизирующих заданный функционал стоимости (теорема 2.2.1).

Это утверждение доказывается в следующем третьем пункте. Для доказательства производится операторная трактовка задачи и применяются результаты по теории степени, полученные в первой главе.

Такой подход к изучению разрешимости задач оптимального управления имеет ряд преимуществ. Например, он позволяет отказаться от условия выпуклости множества допустимых управлений. Это условие часто используется при исследовании управляемых систем, описываемых уравнениями с частными производными (см., например, [32], [37], [22] и содержащуюся в них библиографию). Однако в приложениях возникают и ситуации, когда условие выпуклости не выполнено.

Один из таких случаев указан в четвертом пункте, где изучается задача оптимального управления температурой в одной модели нагревания сплошной среды с помощью нескольких распределителей тепла. На основе полученных ранее результатов устанавливается существование оптимальных решений данной задачи (теорема 2.4.1).

Заметим также, что применение степени дает возможность учитывать наличие обратной связи в рассматриваемых системах. Кроме того, предложенный подход позволяет рассматривать задачи оптимизации в достаточно широком классе функционалов стоимости.

Третья глава посвящена изучению следующей системы дифференциальных уравнений и включений: т т

Y^i-iy&OittMi),-,Dmx(t)) = J2(-^yD%(t,x(t),.,Dmx(t),y(t)), г=0 г=0 y'(t)eC(tMt),-.,Dm-1x(t),y(L))t Dkx(0) = Dkx{T) = 0, к = 0,., m - 1, У(0) = Уо, 10 где Dk — dk/dtk - оператор дифференцирования, щ : [0,Т] х Rm+1 —> R, bi : [О, Т] хRm+2 —* R - известные функции, С : [О, Г] xRm+1 —> R-многозначное отображение.

Данная задача может быть интерпретирована как управляемая система, в которой функция х = x{t) определяет динамику системы, а функция у = y(t) - управление.

Третья глава состоит из двух пунктов. В первом пункте дается постановка задачи, вводится понятие обобщенного решения и формулируется основной результат главы - теорема о существовании оптимальных обобщенных решений, т. е. обобщенных решений, минимизирующих заданный функционал стоимости (теорема 3.1.1).

Во втором пункте дается операторная трактовка задачи и на основе результатов первой главы доказывается теорема 3.1.1.

В четвертой главе с помощью развитой ранее теории степени изучаются некоторые свойства множества решений операторных включений А(и) Е G(u). Полученные результаты применяются при изучении структуры множества решений задачи управления внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины.

Четвертая глава состоит из трех пунктов.

В первом пункте, предваряющем изложение главных результатов, приводятся необходимые в дальнейшем утверждения о сечениях многозначных отображений.

Во втором пункте изучаются условия, при которых множество решений включения А(и) £ G(u) является связным и компактным. Основной результат этого пункта - теорема 4.2.1. Это утверждение является обобщением принципа связности Красносельского-Перова [29] на случай операторных включений А(и) Е G(u). Аналогичный результат о структуре множества неподвижных точек вполне непрерывных многозначных векторных полей был получен ранее в работе Б.Д. Гельмана [14].

Теорема 4.2.1 позволила установить некоторые частные результаты. Так, с помощью помощью этой теоремы получены достаточно простые условия связности и компактности множества решений включений А(и) € F{u) с нерастягивающим (по метрике Хаусдорфа) относительно А многозначным отображением F (теорема 4.2.2).

Пример использования последней теоремы содержится в третьем пункте четвертой главы. Здесь изучается задача управления с обратной связью внешними нагрузками в следующей модели изгиба пластины: дх2 дх2 2 ду2 д2 дхду

9 (#») d2w ду2 dw дхду w дп дп 0. дП

Здесь Г2 с М2 - область пластины, w - скорость прогиба, g - функция, характерная для данного материала, величина H2(w) определяется формулой d2w\2 (d2w\2 ( d2w \2 d2w d2w ду2 J \дхду) дх2 ду2^ f(x,y) - величина, пропорциональная внешней нормальной нагрузке, рассчитанной на единицу площади.

Эта модель была предложена Л.М. Качановым [24] для описания деформации жестко закрепленной на краю пластины при условиях установившейся ползучести.

Предполагается, что G F(w), где F - некоторое многозначное отображение, представляющее в системе управление.

Для данной задачи доказывается существование оптимальных обобщенных решений и устанавливаются условия, при которых множество обобщеных решений является связным и компактным (теорема 4.3.1).

Учитывая вышеизложенное, отметим наиболее важные новые результаты, полученные в диссертации.

1. Построена новая топологическая характеристика - степень CJ-возмущений отображений класса (S)+.

2. Доказано существование оптимальных решений задачи управления с обратной связью в системах параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.

3. Установлено существование оптимальных решений в одной системе дифференциальных уравнений и включений.

4. Получены условия связности и компактности множества решений для одного класса операторных включений.

5. Доказана разрешимость задачи управления с обратной связью внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины и установлены условия, при которых множество решений этой задачи является связным и компактным.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения "(Воронеж, 2005), научной сессии ВГУ (2007 - 2010), семинарах под руководством профессора

В.Г. Звягина (ВГУ, 2006 - 2010), семинарах под руководством профессора Э.М. Мухамадиева (Вологодский государственный технический университет, 2010)

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ N 07-01-00137, 10-01-00143-а, а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4], [5], [6] и [21]. Работы [5], [6] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ [3] и [21] в диссертацию вошли только принадлежащие Е.С. Барановскому результаты.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук В.Г. Звягину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Барановский Е.С. Индекс совпадений компактных троек с операторами класса а /Е.С. Барановский//Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. Воронеж. -2005. - С. 15-16.

2. Барановский Е.С. Теорема о связи условия а и собственности отображения /Е.С. Барановский // Труды математического факультета, Воронеж, ВГУ. 2006. - Вып. 10 (новая серия). - С. 15-17.

3. Барановский Е.С. Конструкция степени одного класса многозначных возмущений операторов, удовлетворяющих условию альфа / Е.С. Барановский, В.Г. Звягин //Нелинейные граничные задачи.- 2006. Вып.16. - С.107-117.

4. Барановский Е.С. О применении топологической степени к изучению структуры множества решений одного класса включений/ Е.С. Барановский // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- 2007. Ш. - С.112-120.

5. Барановский Е.С. Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений / Е.С. Барановский // Известия вузов. Математика. 2009. -№12 - С. 74-79.

6. Барановский Е.С. Теоремы о структуре множества решений одного класса операторных включений и их приложения / Е.С. Барановский //Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика . 2010 -Ш. - С. 71-80.

7. Борисович Ю.Г. О вращении многозначных векторных полей/ Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман , Э. Мухамадиев, В.В. Обуховский // Докл. АН СССР. 1969. - 187, N5. - С.971-973.

8. Борисович Ю.Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений /Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский // УМН. 1980. - 35, №1. -С.59-126.

9. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. Москва: КомКнига. - 2005.

10. Борисович Ю.Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений / Ю.Г. Борисович , Ю.Е. Гликлих // 7-я летняя мат. школа. 1969.Киев. 1970. - С. 283-294.

11. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера /Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // УМН, 1977. Т.35. - Вып.4. - С.3-54.

12. Борисович Ю.Г. Топологические характеристики и исследование разрешимости нелинейных проблем / Ю.Г. Борисович // Изв. Вузов. Математика. 1997. - №2. - С.2-23.

13. Борсук К. Теория ретрактов / К. Борсук. Изд-во Мир, 1971.

14. Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений / Б.Д. Гельман // Математ. сборник. 1997. - т. 188, №12. - 33-56.

15. Гликлих Ю.Е. Неподвижные точки многозначных отображений с невыпуклыми образами и вращение многозначных векторных полей / Ю.Е. Гликлих // Сб. тр. аспирантов мат. фак. Воронеж, ун-та. 1971,- N1.- С. 30-38.

16. Дзекка П. Об ориентированном индексе совпадений для нелинейных фредгольмовых включений / П. Дзекка, В.Г. Звягин,B.В. Обуховский // Доклады РАН. 2006. Т.406, №4. - С.63-66.

17. Дыбов Г.П. Введение вращения для одного класса многозначных отображений отображений / Г.П. Дыбов //Краевые задачи для уравнений в частных производных. Киев: Наук, думка. 1978.C. 57-60.

18. Звягин В.Г. Об одном топологическом методе исследования кревых задач, нелинейных относительно старшей производной/ В.Г. Звягин // Граничные задачи математической физики. Киев 1981. - С.39-41.

19. Звягин В.Г. Об ориентированной степени одного класса возмущений фредгольмовых отображений и бифуркации решенийнелинейной краевой задачи с некомпактными возмущениями/ В.Г. Звягин // Матем. сборник. 1991. - Т.12. - С.1738-1768.

20. Звягин В.Г. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений / В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко // Матем. заметки. 1982. - Т.31, №5. - С. 801-812.

21. Звягин В.Г. Топологическая степень уплотняющих многозначных возмущений отображений класса (S)+ и ее приложения / В.Г. Звягин, Е.С. Барановский //Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. - Т. 35. - С. 60-77.

22. Звягин В.Г. Об одной задаче оптимального управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости / В.Г. Звягин, М.Ю. Кузьмин // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - Т. 16. - С. 38-46.

23. Ильин В.П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функкций многих переменных, заданных в n-мерной области / В.П. Ильин // Труды МИАН. 1962. - т.66. - с.227-363.

24. Качанов JI.M. Некоторые вопросы теории ползучести /ЯМ. Ка-чанов. Гостехиздат, М., 1949.

25. Климов B.C. К теории вариационных неравенств / B.C. Климов // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1982. - С.109-119.

26. Климов B.C. Монотонные отобржения и течения вязких сред / B.C. Климов // Сибирский мат. журнал. 2004. - Т.45, №6. - С. 1299-1315.

27. Корнев С.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений / С.В. Корнев, В.В. Обуховский // Труды матем. ф-та (новая серия). Воронеж, ВорГУ. 2004. - вып.8. - С.56-74.

28. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука,1975.

29. Красносельский М.А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // Докл. АН СССР. 1959. - т.12б. №1. - С. 15 -18.

30. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева М.: Наука, 1967.

31. Лере Ж. Топология и функциональные уравнения / Ж. Лере, Ю. Шаудер // УМН. 1946. - Т. 1, №3-4. - С. 71-95.

32. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Лионе Ж.-Л. М.: Мир, 1972.

33. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами /Лионе Ж.-Л. М.: Наука, 1987.

34. Мышкис А.Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории / А.Д. Мышкис // Матем. сборник. 1954. Т. 34. №3. - С. 525-540.

35. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка / И.В. Скрыпник. Киев: Наук, думка, 1973.

36. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач / И.В. Скрыпник. М.: Наука, 1990.

37. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга, 1999.

38. Bader R. Fixed-point index for compositions of set-valued maps with proximally oo-connected values on arbitrary ANR's / R. Bader, W. Kryszewski. // Set-Valued Anal. 1994. - No 3. - P.459-480.

39. Benedetti I. On the index of solvability for variational inequalities in Banach spaces / I. Benedetti, V. Obukhovskii // Set-Valued Anal. -2008,- 16, no. 1. P. 67-92.

40. Berkovits J. On the degree theory for mappings of monotone type / J. Berkovits, V. Mustonen // Nonlinear Anal., Theory Metods Appl. 1986.- V.10. - P. 1373-1383.

41. Browder F.E. Nonlinear operators and nonlinear equations of evolution in Banach spaces / F.E. Browder. American Mathematical Society, Rhode Island, 1976.

42. Browder F.E. Approximation methods and the generalized topological degree for nonlinear mappings in Banach spases/ F.E. Browder, W.V. Petryshyn // J. Funct. Anal. 1969. - V.3, N2. - P. 217-245.

43. Cellina A. A new approach to the definition of topological degree for multi-valued mappings/ A. Cellina, A. Lasota // Atti Acaad. Naz. Lincei Rend. 1970. - V.47.- P.434-440.

44. Gajewski H. To the uniqueness problem for nonlinear elliptic equations / H. Gajewski, I.V. Skrypnik // Nonlinear Analysis. 2003. - V. 52. - P. 291-304.

45. Gorniewicz L. On the homotopy method in the fixed point index theory for multi-mappings of compact absolute neighborhood retracts / L. Gorniewicz, A. Granas, W. Kryszewski //J. Math. Anal. Appl. -1991. V.161.2. - P.457-473.

46. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. Gorniewicz. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999.

47. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin - New York. Walter de Grunter. 2001.

48. Kartsatos A.G. Topological degree theories for densely mappings involving operators of type (5)+ / A.G. Kartsatos, I.V. Skrypnik // Adv. Differential Equations. 1999. - 4, no 3. - P. 413-456.

49. Kartsatos A.G. A Global Appoach to Fully Nonlinear Parabolic Problems / A.G. Kartsatos, I.V. Skrypnik // Transactions of the American Mathematical Society. 2000. - V. 352, No. 10 (2000). -P. 4603-4640.

50. Kobayashi J. Topological degree for (5')+-mapings with maximal monotone perturbations and its applications to variational inequalites/ J. Kobayashi, M. Otani // Nonlinear Analysis. -2004. V.59. - P.147-172.

51. Michael E. Continuous selections! / E. Michael //Ann. of Math. -1956. V.63, N2. - P.361-382.

52. Obukhovskii V. An oriented index for nonlinear Fredholm inclusions with nonconvex-valued perturbations / V. Obukhovskii, P. Zecca, V. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis. 2006. - V.2006 - P. 1-21.

53. Zvyagin V.G. On the theory of generalized condensing perturbations of continuous mappings / V.G. Zvyagin // Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag. 1984. - V.1108. - P.173-193.