Обобщенно - уплотняющие нелинейные отображения и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Теория степени Л -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений.

§ I. Л -уплотняющие отображения и их свойства.

§ 2. Гомотопическая классификация Л -уплотняющих возмущений собственных отображений.

§ 3. Степень J! -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений.

ГЛАВА 2. Применение Л -уплотняющих отображений к краевым задачам для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ I. Фредгольмовость, собственность и Л -уплотняемость обыкновенных дифференциальных операторов.

§ 2. Вычисление ориентированной степени и индекса множества решений простейших краевых задач.

§ 3. 0 разрешимости задачи Пикара для уравнений

2-го порядка.

§ 4. О существовании периодических решений.

ГЛАВА 3. Л -уплотняющие многозначные отображения и их применение к экстремальным задачам.

§ I. Л -уплотняющие многозначные возмущения собственных отображений и их топологические инварианты.

§ 2. О разрешимости экстремальных задач.

Анализ новых классоЕ нелинейных задач, выделение я исследование адекватных им классов нелинейных уравнений составляют одно из главных направлений в современном нелинейном функциональном анализе. В исследовании нелинейных уравнений Еажное место занимают качественные методы, в частности, принципы неподвижных точек, принципы гомотопии и продолжения решений по параметру, топологические методы. Среди них отметим методы, основанные на понятии степени отображений или понятии вращения Еекторных полей. Использование таких методов для исследования новых классов нелинейных задач требует изучения ноеых топологических характеристик и классов нелинейных отображений, а также приложения этих исследований к конкретным задачам. Это направление и развивается в данной диссертационной работе.

Цель работы. Состоит в исследовании нового класса обобщенно-уплотняюших (однозначных и многозначных) нелинейных отображений, построении топологических инвариантов нелинейных отображений, включающих обобщенно-уплотняющие и фредгольмовы отображения, и получении с их помощью признаков существования решений различных краевых и экстремальных задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.

История вопроса. Впервые построение теории степени отображений бесконечномерных пространств дано в работе [34] , в которой предложена конструкция степени вполне непрерывных векторных полей. Далее в работе [32] была изложена теория вращения того же класса отображений и разработаны Еопросы её применения к различным классам задач. За прошедшие годы теории Еращения и степени были распространены как на новые классы Еозмущений тождестЕенно-ного оператора (см. [5] , [35] ), так и на классы отображений, не являющихся возмущением тождественного оператора, например, на различные классы монотонных отображений и их возмущений ( [26] , [45] , ^50] ), и получили многочисленные приложения к различным классам задач (см., например, [45] , [46] , [74] ).

Среди работ, посвященных теории степени нелинейных отображений и вопросам её приложения, отметим работы, имеющие наиболее тесную связь с диссертационной работой.

Большую известность получила теория уплотняющих отображений. Важный этап развития этой теории составили построение вращения и степени уплотняющих векторных полей и получение с их помощью новых теорем о неподвижных точках (см. [17] , [18] , [20] , [38], [39] , [42] , [43] , [66] , [67] ). Среди работ этого направления отметим работу [43] , е которой впервые сформулирован принцип биективного соответствия гомотопических классов вполне непрерывных и уплотняющих Еекторных полей, обобщаемый в диссертации, и приведена конструкция степени уплотняющих Еекторных полей, опирающаяся на понятие фундаментального множества, введенное в работе [27] .

Теория уплотняющих векторных полей получила многочисленные приложения к исследованию различных классов дифференциальных уравнений (см. [28] , [40] , [68] ). Итоги развития этой теории и ее приложений подеедены в работах [2] , [41] .

Обобщением теории степени Еполне непрерывных и уплотняющих Еекторных полей послужили теории степени Ь -компактных и Ь -сжимающих по мере некомпактности Куратовского или Хаусдорфа возмущений линейного фредгольмоЕа оператора !« нулевого индекса С [56] , [60] , [64] ). Хорошо разработаны вопросы приложения этих теорий к различным классам краевых задач для дифференциальных уравнений различных типов ( [56] , [58] , [61] , [62] ,[.71]).

Итоги разЕития этих теорий и обзор их приложений приводятся в работах [57] , [65] .

Интенсивно развиваются методы исследовании с£редгольмовых отображений. Первые работы, посвященные принципу полной обратимости, были выполнены в 30-е годы [51] , [52] . Новый этап открыли исследования [75] , в которых вводится понятие неориентированной степени собственных Фп С -отображений ( С - гладких фред-гольмовых отображений индекса П ) для п О и 1 > I , и [48] , [54] , [55] , в которых строится ориентированная степень собственных отображений. Иная конструкция степени, не использующая теорему Смейла и предполагающая минимальную С - гладкость фредгольмовых отображений, предложена в работах [15] , [44] и получила обобщение для класса вполне непрерывных возмущений не

Отметим также теорию индекса разрешимости операторных уравнений, построенную в работе [14] , где фредгольмовость и компактность соответствующих отображений предполагается лишь на окрестности множества решений.

Вопросам применения теории степени фредгольмоЕых отображений к различным классам задач посвящены многочисленные работы [6] ,

7] , [16] , [19] , [29] , [35] , [49] , [55] , [77] . Итоги развития теории степени в этом направления и обзор её приложений приводятся в работе [15] .

Широкое применение получила в последнее Еремя теория многозначных отображений (см., например, [31] ). Существенное место в этой теории занимают топологические методы исследования. Так в работах [II] , [53] были определены топологические характеристики многозначных отображений с выпуклыми образами. В ходе дальотображений при п ъ О , г > в работе

29] . нейшего изучения были построены теории степени многозначных уплотняющих Еекторных полей [36] , различных многозначных Еозму-щений'линейных [73] , [76] и нелинейных фредгольмовых отображений [4] , [9] . Итоги развития теории многозначных отображений в этом направлении подведены в работах [12] , [13] .

Среди работ, посвященных приложениям теории степени, выделим серию работ [6] , [7] , [19] , в которых для исследования разрешимости задачи о периодических решениях уравнений нейтрального типа использовалась теория фредгольмоЕых отображений, а также работы [56] , [69] , [70] , [71] , [72] , где методы теории степени применялись к исследованию уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.

Краткий обзор содержания диссертации. Данная диссертация посвяшена изучению обобщенно-уплотняющих, или ^-уплотняющих, (однозначных и многозначных) нелинейных отображений банахоЕых пространств. В диссертации строится теория степени ^-уплотняющих возмущений собственных фредгольмовых отображений нулевого индекса, а также определяется понятие индекса множества решений для некоторых классов нелинейных операторных уравнений и операторных включений. Эти понятия применяются к исследованию различных краевых и экстремальных задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, что позволяет получить новые признаки разрешимости.

Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава диссертации посЕящена исследованию свойств нового класса Л-уплотняющих отображений (определение 1.1), а также изучению Л -уплотняющих возмущений собственных отображений. Глава состоит из трех параграфов.

В §1 исследуются основные свойства ^-уплотняющих отображений, приводятся некоторые признаки Л -уплотняемости. Для исследования локальных свойств отображений ееодится понятие кД -ограниченности отображения в точке (определение 1.6). В случае, когда у/ - мера некомпактности КуратоЕСКого или Хаусдорфа, устанавливается сеязь соотношений К -ограниченности отображений и их производных е точке (теоремы 1.5 - 1.6).

В §2 глэеы рассматриваются Л -уплотняющие возмущения собственных отображений. Обобщение понятия фундаментального множества (определение 2.1) и результатов работы [43] позволяет получить важный принцип компактного сужения для Л -уплотняющих отображений (теорема 2.1) и установить теорему 2.2 о биектиЕности гомотопических классов ^-уплотняющих и вполне непрерывных возмущений собственных отображений.

В §3 определяются ориентированная и неориентированная степени Л -уплотняющих возмущений собственных Ф.Г - отображений (определение 3.1); исследуются основные свойства степени, приводятся простейшие признаки её отличия от нуля. Развивая метод работы [14] строится индекс множества решений нелинейных операторных уравнений (определение 3.2), изучаются основные свойства индекса и условия на уравнения, при которых индекс определён.

Результаты первой главы опубликованы в [24] , [25] .

Вторую главу диссертации составляют приложения построенных теорий степени и индекса множества решений к исследованию разрешимости задачи Пикара и задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной. При этом важным обстоятельством, позволяющим получить новые теоремы существования, является тот факт, устанавливаемый в диссертации, что нелинейные операторные уравнения, к которым сводятся рассматриваемые задачи, содержат Л уплотняющие отображения, изученные в первой главе. Условия разрешимости указанных задач сеодятся к вычислению индекса множества решений эквивалентных операторных уравнений и получению признаков его отличия от нуля.

Вторая глага содержит четыре параграфа. В §1 для краевой задачи общего вида (1.1),(1.2) исследуется эквивалентное операторное уравнение. Приводятся условия на функции > - • > ык) , при которых а) отображение Ш) , построенное по функции Л и отображению

Ь , является аредгольмовым (лемма 1.1); б) отображение (Ж/?) является фредгольмоЕым в некоторой окрестности множества решений уравнения (1.1) (лемма 1.2); в) отображение

IV Ш)

-уплотняет по мере некомпактности КуратоЕСКого на множестве О (теорема 1.5); г) отображение (#,?) (ДЮ -уплотняет по мере некомпактности КуратоЕского е некоторой окрестности множества решений уравнения (1.1) (теорема 1.6).

В параграфе также получены результаты о сходимости решений для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, (теорема 1.2) и о собственности нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов на ограниченных областях (теоремы 1.3 -1.4).

В §2 рассматриваются задача Коши (2.3),(2.4) и модельная краевая задача (2.6),(2.7). Решается задача вычисления индекса множества решений эквивалентного операторного уравнения и ориентированной степени отображений для каждой из задач.

При некоторых условиях на функцию Л и поведение траекторий решений рассматриваемых уравнений показано, что индекс множества решений эквивалентного операторного уравнения для каждой из задач определяется неориентированной степенью некоторого конечномерного отображения (теоремы 2.2 и 2.5). Аналогичным образом устанавливается, что ориентированная степень соответствующих отображений с точностью до знака совпадает с ориентированной степенью тех же конечномерных отображений (теоремы 2.3 и 2.6). Вычисление ориентированной степени проводится в естественной оридения лемм 2.3 - 2.4 об индексе регулярной точки.

В §3 приводятся достаточные условия разрешимости задачи Пика-ра для уравнения (3.1) общего вида (теорема 3.1). Доказательство теоремы 3.1 основано на сведении вычисления индекса множества решений эквивалентного операторного уравнения (3.5) к вычислению индекса для случая задачи Коши. С помощью теоремы 3.1 устанавливаются признаки разрешимости задачи Пикара для частных видов уравнений (следствия 3.1.1 - 3.1.2, теоремы 3.2 - 3.3). Эффективность полученных утверждений иллюстрируется примерами 3.1 и 3.2.

§4 посЕящен исследованию разрешимости задачи о периодических решениях уравнения (4.1) и уравнения нейтрального типа (4.9). Получены обшие признаки разрешимости (теоремы 4.1 - 4.2). Важный этап доказательства этих признаков составляет лемма 4.1, раскрывающая связь рассматриваемой задачи с периодической краевой задачей. Применение полученных утверждений иллюстрируется на примерах.

Результаты второй глаЕЫ опубликованы е [22] , [23] , [24] .

Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств 31 -уплотняющих многозначных отображений и Л -уплотняющих многозначных возмущений собственных отображений. В главе строятся теории степени Л -уплотняющих многозначных возмущений собственных построенной в диссертации, и использует утверж^

-отображений и индекса множества решений операторных включений из некоторого класса, рассматриваются их приложения к вопросу о разрешимости экстремальных задач обшего вида.

Глава включает два параграфа.

В §1- вводится (определение 1.1) и изучается класс Л -уплотняющих многозначных отображений с компактными образами. Получены утверждения о биектиЕНости множества гомотопических классов

Л-уплотняющих многозначных возмущении собственных отображений и вполне непрерывных многозначных и однозначных возмущений собственных отображений (теоремы 1.3; 1.5; 1.7; 1.8). Построена степень Л-уплотняющих многозначных возмущения собственных ФГ -отображений (определение 1.5 и замечание 1.2), установлены основные свойства степени. Выделен класс операторных включений, для которых строится индекс множества решений (определение 1.6 и замечание 1.3), исследованы свойства индекса.

В §2 рассмотрены приложения введенных топологических инвариантов многозначных отображений к вопросу разрешимости экстремальных задач общего вида (2.1) - (2.6). Показано, что изучение разрешимости данной экстремальной задачи можно заменить исследованием разрешимости эквивалентного операторного включения (2.7) (теорема 2.1). Установлены общие признаки разрешимости экстремальных задач (2.1) -(2.5),(2.8) при К = 2 и (2.1) - (2.5),(2.II) при к = 1 (теоремы 2.2 - 2.3). Аналогичным образом изучена экстремальная задача (2.1) - (2.4) на множестве периодических функций, получен общий признак её разрешимости (теорема 2.4). Эффективность полученных утверждений иллюстрируется на примере.

Заканчивая изложение результатов диссертации, отметим, что е работах [8] , |^10] развивается иной подход к определению и исследованию ^-уплотняющих отображений и сформулирован более общий принцип компактного сужения. Отметим также, что с помощью теории степени Л -уплотняющих возмущений фредгольмоЕЫх отображений, построенной е диссертации, в работе [30]получены общие признаки разрешимости задачи Дирихле для класса нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений.

Нумерация формул в главах независимая и номер (2.5) указывает формулу 5 второго параграфа данной главы. Отметим, что знак □ обозначает завершение доказательства, а знак "следует".

Основные авторские результаты, вошедшие е диссертацию, опубликованы е работах [21] - [25] . Результаты диссертации докладывались на и Тираспольском симпозиуме по общей топологии и её приложениям (Тирасполь, 1979г.), на конференции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Латвийского госуниверситета им. П.Стучки (Рига, 1981г.), на XIII - ХУП Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 1979 - 1983гг.), в Московском государственном университете (Москва, 1981г.) и систематически на семинаре по нелинейному функциональному анализу под руководством проф. 10.Г. Борисовича (Воронеж, 1978 - 1982гг.).

Автор благодарит научного руководителя Ю.Г. Борисовича и В.Г. Звягина за постановку задач, научные консультации и внимание к работе.

1. Аркин В.И., Левин B.J1. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи. -Успехи мат. наук, 1972, т.27, JS 3, с. 21-77

2. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов A.C., Садовский Б.Н. Уплотняющие операторы. В кн.: Математический анализ. Т.18 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М., 1980, с. 189-264.

3. Бенкафадар Н. О разрешимости одного класса интегральных включений. Воронеж, 1982. - 16 с.-Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ Завг. 1982, J> 4210-82.

4. Бенкафадар Н., Гельман Б.Д. О локальной степени многозначных векторных полей с фердгольмовой главной частью. Воронеж, 1982. - 28 е.- Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп. в ВИНИТИ I июля 1982, JS 3422-82.

5. Борисович Ю.Г. Вращение слабо непрерывных векторных полей.-Докл. АН СССР, i960, т. 131, JS 2, с. 230-233.

6. Борисович Ю.Г. О некоторых приложениях нелинейных фредголь-мовых отображений и задача о периодических решениях диффе-ренциально-фунгаД'Юнальных уравнений. В кн.: Тр. мат. фак. Воронеж.ун-т, 1971, Ji; 3, с. 35-41.

7. Борисович Ю.Г. О некоторых нелинейных проблемах в теории функщ-юнально-дифферерщиальных уравнений. В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняадимся аргументом. Киев, 1977, с. 42-51.

8. Борисович Ю.Г. Топология и нелинейный функциональный анализ. Успехи мат. наук, 1979, т. 34, J5 6 (210), С. 14-22.

9. Борисович Ю.Г. К теории топологической степени нелинейных фредгольмовых отображений, возмущенных многозначным оператором. Воронеж, 1980, - 7 с. - Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28 нояб. 1980, й 5026-80.

10. Борисович Ю.Г. 0 топологических методах в проблеме разрешимости нелинейных уравнений. В кн.: Труды Ленинградской международной конференции. - Л.: Наука, 1983, с. 39-49.

11. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мухаммадиев Э., Обуховский В.В. О вращении многозначных векторных полей. Докл. АН СССР, 1969, т. 187, В 5, с. 971-975.

12. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений. Успехи мат. наук, 1980, т. 33, й I,с. 59-126.

13. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения. В кн.: Математический анализ. Т.19 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М., 1981,с. 127-231.

14. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г. Об одном топологическом принципе разрешимости уравнений с фредгольмовыми операторами. -Докл. АН УССР, 1978, сер. А, гё 8, с. 204-206.

15. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов 10.И. Нелинейные фред-гольмовы отображения и теория Лере-Шаудера. Успехи мат. наук, 1977, т. 32, В 4, с. 3-54.

16. Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.И. К топологической теории уплотняющих операторов. Докл. АН СССР, 1968, т. 183, № I,- из с. 18-20.

17. Борисович Ю.Г., Сапронов 10.И. К топологической теории компактно сужаемых отображений. В кн.: Труды сем. по функц. анализу, Воронеж, 1969, вып. 12, с. 43-68.

18. Борисович Ю.Г., Шерман П.Б. Нелинейные фредгольмовы отображения и периодические решения дифференциально-разностных уравнений. В кн.: Тр. мат. факт. Ворожен. ун-т, 1973, вып. 10, с. 12-25.

19. Вайникко Г.М., Садовский Б.Н. 0 вращении уплотняющих векторных полей. В кн.: Пробл. мат. анализа сложи, систем, Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1968, вып. 2, с. 84-88.

20. Дмитрпенко В.Т. Гомотопическая классификация одного класса многозначных отображений. Воронеж, 1980, - 18 с.-Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 27 мая 1930,2092-80.

21. Дмитриенко В.Т. К вопросу о собственности одного класса дифференциальных операторов. В кн.: Уравнения на многообразиях. Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1982, с. 105-108.

22. Дмитриенко В.Т. Двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной. В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, 1982, с. 47-58.

23. Дмитриенко В.Т., Звягин В.Г. Индекс множества решений одного класса операторных уравнений и его приложения. Воронеж, 1981, - 31 с.-Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 2 февр. 1982, В 475-82г.

24. Дмитриенко В.Т., Звягин В.Г. Гомотопическая классификацияодного класса непрерывных отображений. Мат. заметки, 1932,т. 31, й 5, с. 801-812.

25. Дыбов Г.П. Введение вращения для одного класса операторов. -В кн.: Краев, задачи для уравнений в частных производных, Киев, 1978, с. 57-60

26. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Стрыгин В.В. 0 принципах инвариантности вращения. Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1972, 5, с. 51-57.

27. Забрейко П.П., Фетисов Ю.И. Об одном применении метода усреднения Боголюбова Крылова к гиперболическим уравнениям. -В кн.: Вестн. Ярослав, ун-та, 1974, вып. 7, с. 150-155.

28. Звягин В.Г. 0 существовании непрерывной ветви собственных функций нелинейной эллиптической краевой задачи. Дифферен. уравнения, 1977, т. 13, 8, с. 1524-1527.

29. Звягин В.Г. К теории обобщенно-уплотнягацих возмущений непрерывных отображении. В кн.: Топологические и геометрические методы в математической физике. Воронеж: Изд-во Воронеж.гос. ун-та, 1983, с. 42-62.

30. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.: Паучка, 1974. 480 с.

31. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с

32. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, - 512 с.

33. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения. -Успехи мат. наук, 1946, т. 1,^3-4, с. 71-95.

34. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. ГЛ.: Мир, 1977, - 232 с.

35. Обуховский В.В. О некоторых принципах неподвижной точки для многозначных уплотняющих операторов. В кн.: Тр. мат. фак.Воронеж, ун-т, 1971, вып.4, с. 70-79.

36. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 280 с.

37. Садовский Б.Н. Об одном принципе неподвижной точки. -Функц. ан. и его прилож., 1967, т. I, & 2, с. 74-76.

38. Садовский Б.Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах. В кн.: Пробл. мат. анализа сложн. систем. Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1968, вып.2, с. 89-119.

39. Садовский Б.Н. Применение топологических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа. Докл. АН СССР, 1971,т. 200, В 5, с. 1037-1040.

40. Садовский Б.Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы. Успехи мат. наук, 1972, т.27, В I, с. 81-146.

41. Сапронов Ю.К. О понятии вращения векторных полей с уплотняющими операторами. В кн.: Сб. студ. работ Воронеж, ун-т (естественные науки), 1970, вып. 3, с. 15-20.

42. Сапронов Ю.К. К гомотопической классификации уплотняющих отображений. В кн.: Тр. мат. фак. Воронеж.ун-т, 1972, вып. 6, с. 78-80.

43. Сапронов Ю.К. К теории степени нелинейных фредголыловых отображений. В кн.: Тр. НИИ Мат. Воронеж, ун-та, 1973, вып. II, с. 93-101.

44. Скрыпник К.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова Думка, 1973. - 220 с.

45. Скрыпник К.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. В сб.: Соврем, пробл. мат. Т.9 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).-М., 1976, с.131-254

46. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970. 720 с. •

47. Шварц A.C. Гомотопическая топология банаховых пространств.- Докл. АН СССР, 1964, т. 154, Jé I, с. 61-63.

48. Вегдег M.S. NonEineazity arid functional! onaEysis. -Neuû Уогк : Académie Piess , 1911.

49. Bwuüdez F. E. Ue^iee of mappincj foi попЕСпеог mappings of monotone type. Pwc.A/at. Acad. Scl . USA Moth. 5oc., 19SÔ , 80 , Мб , p. mi - 1115.

50. CaccioppoEi R. Un piinapio cliinvezsioni рег Ее. cotiispondenze funzionaEi e sue appEicoz^ioni aBEe ecjjUQzioni a dexivate. patzidEi. Rene!. Acc. Lineéis 1952, ¿6, 390-395, kKk - k89.

51. CaccioppoEi R. SuEEe conispondenzß funzionaEi invetse éiwmate : ieozio cjenewEe e appticazioni ad oEcune ecjjUazionL non- Eineaû e. a E pvo&Eema di Plateo и. -Rend. Ass. Lincei, 1936, 2k , ¿58 ¿63, kl6 - к21.

52. CeEEina A., Losota А. А песо appioach to the définition of topoEoyicaE debtee foi muEii-valued mappings.-Mti Accad. naz. uincei Rend. CE scl . /is. ,mat. e natu г ., 1969(1970), kl . -л/б , р.кЗк-ккО.

53. Eíwoithy Е.Ъ.^ТготВо А. 1 Differential stiuctuies and FiedhoEm mops on Banach manifoEds.-Pioc. Symp. Риге Math. 15, AM S, Piovidence, R. 1,19 10, p.k5-9k.

54. EEwoithy E.D.,TwmßaA.J. Degiee theoty on Bonach manifoEdsPioc.Symp. Pute Moth. IS , AMS, Piovidence, /?.!, 1910, p.86-9k.

55. Fitzpatiick P.M. Existence tesuEh fot e^aaUons invoEviny noncompact paituißations of FiedhoEm mappings with oppEications to diffeientini equations.- iMaih.AnaE.and AppE , 1918, 66, я/1, p. 151-171.

56. Coines R.E., Macohin J.L. Coincidence decjtee and лол£шеог dbffetentiaE equations.-Lect. Notes Math., M-56&- betEùn: 5ргтдег, 1911. 262 pp.

57. Hetzei C. 5ome temazks on Ф+- cpEiotots and on the ôoincidencz debtee <=,Ног о FiedhoEm equation with noncompact nonEineoi peitu dation sAnn. ¿oc. $ci. BiuxeEEcs, 1915,5ег.1, 89 , л/4 , р.Ь9?~508.

58. Hetzei (у. Some oppEications of the coincidence debtee foz set- contractions to Junctional differential, equations of neutiaE type. Comment, mo ih.Un LV. сого?., J915, 16, Ml , p. IB! - iSS.

59. Hetzei G. On the existence oj weak soEutions foi some yuaslEin eoi eEEiptic vaiiationaE Eoundavy voEue pioEEems at resonance Comment.math. Univ. cqioE.3 1916, a, p. 315-ззь.

60. Lt&ouo A., 5chechtei M. ôemLgzoups of operators ond measuits o-f non compactness.-J.Fund. f\nol.7 1911 , 7 , Vi , p. 1 26.

61. Mauu h in J. L. E^uivaEence theorems <fot nonEineat opeiatoi equations and coincidence degree theory /о г some mappings in locoEEy convex topoEogicaE vector spaces.- J. Différent. Eyuat >1912, 12,^3, p.Ы0- 63В.

62. М aLohin J.L. TopoEocjicaE degree methods in noniineai Eoundary vaEue pw&Eems.- Re^ionaE Confer. in Moth.n 0 ko , AMS, Ptovidence , £9?9.~ 262pp.

63. Nuss&aum AD. The •fixed point index foi Eocat condensing торз.~ Ann. mat. puio. ed appE., 1971,9 , p. г/7- гзя.

64. A/uss&aum R.D. D ел^ге theow cfot EocaE condensing maps, 1 Math. АпоЕ. and AppE., 37p. 4UL 166.

65. A/ussHoum R. J). Existence and uniqueness theoterns fot some functional? differential! equations ofneutwE iypt.- J. I)iffetent. Equat., 1972 , li , p. 607- 683.

66. Petzyshyn W. V, Уи Z.5. Periodic solutions of nonlimai second-otdei diffeientiaE emotion which ate not3oEvoBEe fox the highest derivative. . IMath.AnaE. and AppE.} i922, S9 9 J Z ,

67. Petiyshyn W.V,UuZ.S. Existence theorems foi higher otdet попйпеаг periodic fcoundaiy vaEue pioHEems. NonEineat AnaE.-. Theotij, Mcth.and AppE., j9s2, 6 ,j/9,p.9b3 -969.

68. Pctiyshyn W.V.tUu Z.5. SoEvoSiEity of А/штапп BV pioEEarns fox nonlinear second-order ODE's which viced not solvaEEe <foi the highest oidez derivative - 1 Moth. AnoE. and AppE, t9S3, 91, wi ,p. 2M Z63.

69. P lushho T. TopoEo^icaE dßcjtee m Mods in mu it i-vaiued ioundo'ttj vaEue pioßtems. Gdansk , Deœmêei 1979.- k9 pp. (Piepiint/Uhiweisytet Gdanshi Instytut mathematyki : V 89) .

70. Tqtardai E.,5uai Khoh Teo. On ihe existence о/ soEutions of the equations Lx e A/x and a coincidence deg гее theo J AustiaE.Math. Зое. ¿979, A 28, V2 , p. 739 -173.

71. Ttomßo A.H. On the numêei of simp ¿y connected minimqE sutfaces spanning o cu tve. Men,. AM5, M¿91/ , V , 19ff. - ill pp.