Неподвижные точки отображений и геометрические свойства пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Список обозначении.

ВВЕДЕНИЕ.

§ 0. Предварительные сведения.'.

ГЛАВА I

МЕРЫ НЕЕЬШУКЛОСТИ И ЧЕШШЕВСКИЕ РАДИУСЫ

§ I. Мери невыпуклости множеств.

§ 2. Оценка чебышевского радиуса множеств в гильбертовом пространстве

ГЛАВА

ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 3. Две теоремы о неподвижной точке.

§ 4. Отображения, уменьшающие меру невыпуклости

§ 5. Приложение к нелинейным интегральным уравнениям.

Г Л А В А

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 6. Условия типа Роте.

§ 7. Условие Фрум - Кеткова.

§ 8. Отображения, направленные внутрь.

§ 9. Минимальное перемещение.

Теория неподвижных точек нерастягивающих отображений в линейных нормированных пространствах, - сравнительно новая область нелинейного функционального анализа,-в последние годы привлекает внимание многих математиков своими глубокими связями с геометрией нормированных пространств и нелинейной эргоди-ческой теорией (см. обширную библиографию в [б] , [27] , [29] , [31] , [33] ).

Хотя отдельные результаты по нерастягивающим отображениям появлялись и раньше, активные исследования в этой области начались после работ Браудера [16 ] , Геде [24] и Кирка [25] 1965 года.

Очертим круг задач, которые рассматриваются в нашей работе.

Пусть X равномерно выпуклое банахово пространство, В с X ж У'' В нерастягивавдее отображение. Тогда известно, что j имеет неподвижную точку, если выполнено любое из следующих условий:

1) | (В) с В (теорема Браудера - Геде - Кирка [1б] , [24], [25] );

2) ЯЭВ^ В (теорема Кщжа ¡2б] );

3) (Л, $ (х)] Г) Ф ф для всякого X € зв (теорема Райха [31] ).

Возникает вопрос: будет ли отображение } В Л иметь неподвижную точку, если в условиях 1),2) и 3) множество В заменить некоторым произвольным множеством А ^ [В] ?

Рассмотрим несколько иную ситуацию. Пусть Е невыпуклое ограниченное и замкнутое подмножество равномерно выпуклого банахова пространства X и Е X нерастягивавдее отображение. Понятно, что £ уже не обязано иметь неподвижную точку, даже если ^ (£) с £ . Тогда представляет интерес проанализировать, как влияют на наличие неподвижной точки у отображения а) те или иные аппроксимативные свойства множества £ ; б) звездность множества Е. ; в) свойство отображения § уменьшать меру невыпуклости любого подмножества £ .

Этим вопросам, в основном, и посвящена диссертация.

Основное содержание диссертации изложено в главах 1-Ш. Им предпослан параграф 0, в котором собраны некоторые предварительные сведения, используемые на протяжении всей работы.

В главе I изучаются меры невыпуклости и чебышевские радиусы множеств. Результаты этой главы, интересные сами по себе, используются в дальнейшем в теоремах о неподвижных точках.

По-ввдимому впервые, термин "мера невыпуклости" встречается у Грюнбаума (см. [б ] , стр.51).

В дальнейшем другие конкретные меры невыпуклости множеств в линейных нормированных пространствах нашли приложения в задачах математической экономики [19] и теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [22] .

В § I дается общее определение меры невыпуклости на X » как отображения А'Ж) — ¡Я ^ , удовлетворяющего следующим аксиомам:

I. Ш)=Ш) для всякого А е 4 (Ю, тогда и только тогда, когда м выпукло,

3- МА) да всех 4 таких*что А ^ Я

И СО /\ = со Ё .

Примером меры невыпуклости на X служит мера невыпуклости Старра (см. [19] , [22] ).

В § I приводятся также другие меры невыцуклости.

С использованием меры невыпуклости доказывается одно характеристическое свойство гильбертовых пространств (теорема 1.2): банахово пространство X ( ¿¿у» X * 3) является гильбертовым тогда и только тогда, когда для всякого

А*т

Параграф 2 посвящен уточнению известной оценки Раутледжа [34] : г (А) ^ I (А) ДОЯ любого /\ £ 4(И). В теореме 2 Л доказывается, что для относительно компактного Д с Н с! (А) > 0) в оценке Раутледжа имеет место строгое неравенство.

В главе 2 приводится несколько новых теорем о неподвижных точках нерастягивающих отображений в линейных нормированных пространствах.

Недавно Альспах [15] дал отрицательное решение долгостояв-шей проблемы: обязано ли всякое нерастягивавдее отображение, переводящее в себя непустое выпуклое слабо компактное подмножество банахова пространства, иметь неподвижную точку?

Однако, если дополнительно потребовать, чтобы выпуклое слабо компактное подмножество имело нормальную структуру (это понятие ввели М.С.Бродский и Д.П.Мильман [з! ), то указанная проблема решается положительно (Кирк [25] ).

Возникает вопрос: в каких пространствах )( любой выпуклый слабый компакт, содержащий более одной точки, имеет нормальную структуру? Известно, что это так для равномерно выпуклых и, более общих, равномерно выпуклых по каждому направлению пространств X (см., например, [б] ).

В предложении: 3.1 доказывается, что в пространствах П.К. Белоброва И , которые являются естественным обобщением равномерно выпуклых по каждому направлению пространств, всякий выпуклый слабый компакт, содержащий более одной точки, имеет нормальную структуру.

Теорема Браудера - Геде - Кирка, ставшая уже классической, обобщалась многими авторами, в том числе М.Каукичем [в] , Кир-ком [26] , Е. А. Лившицем [п] и др.

Теорема 3.1, обобщающая теорему Браудера - Геде - Кирка, утверждает, что нерастягивающее отображение, переводящее в себя непустое выпуклое слабо компактное подмножество пространства Белоброва, имеет неподвижную точку.

В § 3 также приводится теорема 3.2, которая усиливает в случае строго выпуклого пространства X известную теорему Де Марра [20] о общей неподвижной точке коммутирующего семейства нерастягивающих отображений, действующих на выпуклом компакте. Отметим, что в условиях теоремы 3.2 фигурирует понятие базы выпуклого замкнутого множества.

В § 4 вводится понятие отображения, уплотняющего относительно меры невыпуклости, по аналогии с отображениями, уплотняющими относительно меры некомпактности, которые ввел и всесторонне исследовал Б.Н.Садовский (см. [12] ). Приводятся примеры нерастягивающих отображений, уплотняющих относительно некоторых мер невыпуклости на X » а также - признак существования неподвижной точки для таких отображений, определенных на невыпуклом множестве (теорема 4.1). Указан пример ситуации, в которой выполняются все условия теоремы 4.1. Отметим, что Ю.Г.Борисович и Ю.И.Сапронов [2] были первыми, кто указал на возможность применения мер невыпуклости к теории неподвижных точек. Более слабый, чем теорема 4.1, признак существования неподвижной точки для оС -уплотняющего отображения приведен в

22] . Здесь надо учесть то, что любое оС -уплотняющее отображение (т.е. отображение, уплотняющее относительно меры невыпуклости ) автоматически является нерастягивавдим.

В § 5 продемонстрирована возможность применения теорем о неподвижных точках нерастягивакхцих отображений к вопросу разрешимости нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна в пространствах ( I < р < + о^ ).

Глава 3 является основной в диссертации. Здесь даются базовые аналоги теорем Браудера - Геде - Кирка, Кирка и Райха в случае гильбертова пространства, а также приводится ряд теорем о неподвижных точках нерастягивавдих отображений в Н .

Б § 6 доказывается несколько теорем типа Роте. Теорема 6.1 усиливает теорему Кирка в случае гильбертова пространства и является ее базовым аналогом. В теореме 6.2 показывается, как можно ослабить условие теоремы 6.1.

Параграф 7 содержит несколько теорем о неподвижных точках нерастягивавдих отображений, удовлетворяющих условию Фрум - Кет-кова.

Параграф 8 является центральным в главе 3, в нем активно используются аппроксимативные свойства множеств (см. [.4] ) для получения новых признаков существования неподвижных точек.

Отметим, что одними из первых использовали аппроксимативные свойства множеств в теории неподвижных точек нерастягиваю-щих отображений Гоэбель и Шенеберг [23 ] .

Напомним (см. [4] ), что отображение • X где АСХ » ставящее в соответствие каждому £ & множество

РдХ = {у ¿А : II У-XII - ¿С*,А)} называется метрической проекцией на А .

Множество А-Х называется: а) множеством существования, если для любого Л е){ множество непусто; б) чебышевским множеством, если для любого X £ }{ множество Р х одноэлементно.

А V

Известно, что всякий непустой слабый контакт в Д является множеством существования (см., например, [4] ). Однако множество существования не обязано быть слабо-компактным.

Теорема 8.1 утверждает, что нерастягиваадее отображение £; |3 , где В Н » имеет неподвижную точку, если для некоторого Д е [£] выполнены условия: а) А есть множество существования, б) А Ф ф для любого X С Ж

Теорема 8.1 есть базовый аналог теоремы Райха в случае гильбертова пространства. Отметим, что в диссертации приводится пример ситуации, к которой применимы теоремы 6.1 и 8.1, но не применимы теоремы Кирка и Райха.

Из теоремы 8.1, в качестве следствий, получаем теоремы 8.2 и 8.3 о неподвижных точках нерастягивающих отображений, определенных на ограниченных невыпуклых множествах существования или на ограниченных чебышевских множествах.

Так как проблема выпуклости чебышевских множеств в |-| (см. [4] ) не решена, остается неясным вопрос: может ли чебы-шевское множество /\ °Н быть невыпуклым? Однако, если рассмотреть множества, являющиеся чебышевскими для своей замкнутой выпуклой оболочки (см. [23] ), то теоремы 8.2 и 8.3 остаются справедливыми для таких множеств (предложение 8.1) и эти множества не обязаны быть выпуклыми. Отметим, что предложение 8.1 ус иливает основной результат работы [23] .

В теореме 8.4 показывается, что от условия а) в теореме 8.1 можно отказаться, если усилить условие б).

Лемма 8.1, обобщающая принцип сжимающих отображений Банаха в Н , утверждает, что сжимающее отображение Д Н » где А непустое замкнутое подмножество Н , имеет неподвижную точку, если СХ,}ОсЯпА ^ Ф для любого X е 9А.

Доказательство леммы 8.1 основано на том факте (см. [4] ), что множество Н ^ ф] имеет Д категорию в Ц .

Напомним, что множество А <=Х называется звездным (относительно точки Хо ), если для любого А отрезок 1Хо, X] с Д.

Теорема 8.6 дает достаточное условие существования неподвижной точки для нерастягивающего отображения, определенного на непустом ограниченном звездном и замкнутом подмножестве гильбертова пространства, и является обобщением известной теоремы Рай-нерманна [32] , а также усиливает соответствующий результат А.Н.Фщюова [13] в случае гильбертова пространства.

Пусть Я) непустое подмножество X • Тогда минимальным перемещением отображения ^ ; % —г X , как обычно, называется величина А (|) = {||Х-|00||; х £ X)} • При помощи понятия минимального перемещения уточняется теорема 8.1 (теорема 9.1).

В предложении 9.2 показывается, что для нерастягивающего отображения £; В X » где В компактно в X » имеет место оценка А ¿4)» если для некоторого А & [В] . Предложение 9.2 не переносится на произвольные непрерывные отображения.

Завершают диссертацию теоремы 9.2 и 9.3, в которых оценивается расстояние между множеством неподвижных точек нерастягивавдего отображения и некоторым ограниченным подмножеством, при этом используются результаты главы I.

Результаты диссертации докладывались на семинарах по функциональному анализу в Ленинградском и Воронежском педагогических институтах, на семинаре кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского университета, на семинаре по теории неподвижных точек в Ленинградском отделении Математического института АН СССР, на Ленинградской международной топологической конференции в 1982 г, на Герценовских чтениях (1981-1983 г.г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Зб] , [37] , [38] .

1. Белобров П.К. Об одной задаче чебышевского приближения. -Изв.вузов. Математика, 1967, № 2, с.3-8.

2. Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.И. К топологической теории компактно сужаемых отображений. В кн.: Тр.семин. по фунщ. анализу, Воронежск.ун-т, вып.12, Воронеж, 1969, с.43-68.

3. Бродский М.С., Мильман Д.П. О центре выпуклого множества. Докл.АН СССР, 1948, т.59, № 5, с.837-840.

4. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах. УМН, 1973, т.28, вып.6,с.3-66.

5. Данцер Л., Грюнбаум Б., Юш В. Теорема Хелли. М.: Мир, 1968. - 160 с.

6. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа, 1980. - 216 с.

7. Дэй М.М. Нормированные линейные пространства. М.: ИЛ, 1961. - 234 с.

8. Каукич М. Неподвижные точки нелинейных операторов, Дис. . канд.физ.-мат.наук. - Тбилиси, 1980. - 84 с.

9. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

10. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

11. Лившиц Е.А. Теорема о неподвижной точке для операторов в сильно выпуклых пространствах. В кн.: Тр.мат.фак-та ВГУ, вып.16, Воронеж, 1975, с.23-28.

12. Садовский Б.Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы. УМН, 1972, т.27, вып.1, с.81-146.

13. Фирсов А.Н. Слабо компактные множества и неподвижные точки нерастягиващих отображений в банаховом пространстве, Докл.АН СССР, 1980, т.254, № 3, с.559-561.

14. Шефер X. Топологические векторные пространства, М.: Мир, 1971. - 360 с.15» Alspach D.E. A fixed point free nonexpansive map.-Proc. Amer.Math.Soc., 1981, v.82, N 3, p.423-424.

15. Browder P.E. Konexpansive nonlinear operators in a Banach space.-Proc.Nat.Acad.Sci.(USA), 1965, v.54, N 4, p.1041--1044.

16. Browder P.E., Petryshyn W.7. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach.spaces.-Bull. Amer.Math.Soc., 1966, v.72, N 3, p.571-575.

17. De Marr R. Common fixed points for commuting contraction mappings.-Pacific J.Math., 1963, v.13, p.1139-1141.

18. Edelstein M., Thompson A.C. Contractions, isometries and some properties of inner-product spaces.-Indagat.Math., 1967, v.29, p.326-331.

19. Eisenfeld J., Lakshmikantham V. On a measure of non-convexity and applications.-Jokohama Math.J., 1976, v.24,1. 1-2, p. 133-140.

20. Goebel K., Schöneberg R. Moons, bridges, birds. and nonexpansive mappings in Hilbert space.-Bull.Austral. Math.Soc., 1977, v.17, N 3, p.463-466.

21. Gohde D. Zum Prinzip der Kontraktiven Abbildung.-Math.Nachr., 1965, Bd.30, N 3-4, S.251-258. 25* Kirk W.A. A fixed point theorem for mappings which do not increase distance.-Amer.Math.Monthly, 1965, v.72, N 9, p.1004-1006.

22. Kirk W.A. Fixed point theorems for nonlinear nonexpansive and generalized contraction mappings.-Pacific J.Math., 1971, v.38, IT 1, p.89-94.

23. Kirk W.A. Fixed point theory for nonexpansive mappings. -Lect.Notes Math., 1981, v.886, p.484-505.

24. Klee V. Circumspheres and inner products.-Math.Scand., 1960, v.8, IT 2, p.363-370.

25. Krauthausen CI., Muller G., Reinermann J., Schoneberg R. Hew fixed point theorems for compact and nonexpansive mappings and applications to Hammerstein equations.-Bonn, 1976. 112 p. (Preprint / Sonderforschungsbereich 72 an der Univ.Bonn: N 92).

26. Luu D.Q. On the Radon Nikodym property in Banach spaces.' Bull.Acad.Polon.Sci., ser.sci.math., 1980, v.28, IT 5-6,p.269-271.

27. Reich S. Fixed points of nonexpansive functions.-J.London Math.Soc. (2), 1973, v.7, IT 1, p.5-10.

28. Routledge N.A. A result in Hilbert space.-Quart. J.Math. Oxford (2), 1952, v.3, N 9, p.12-18*

29. Schoneberg R. Some fixed point theorems for mappings satisfying Frum Ketkov conditions.-Comment#Matli.Univ.Caroli-nae, 1976, v.17, H 2, p.399-411.