О неподвижных точках многозначных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Список обозначений .4.

Введение

ГЛАВА I. Многозначные отображения и измеримые многозначные отображения . . Z

§ I.I. Многозначные отображения.2.

1. Многозначные отображения из одного множества в другое.Z

2. Многозначные отображения из одного топологического пространства в другое.2.

3. Метрика Хаусдорфа.

4. Мера некомпактности Куратовского и сгущающее отображение.

§ 1.2. Измеримые многозначные отображения.

1. Определения и элементарные свойства. . . • • • ъЬ

2. Соотношение между различными определениями измеримости

3. Теоремы об измеримом выборе.

ГЛАВА П. Неподвижная точка многозначных отображений.

§ 2.1. Отображения в субсимметризуемом пространстве

§ 2.2. Отображения типа Эдельштейна в метрическом пространстве.

§ 2.3. Отображения нигде не удовлетворяющие внешним нормальным граничным условиям . 63 I. Случай банахова пространства.

2. Проекция UTq в гильбертовом пространстве. . . £

3. Случай гильбертова пространства

ГЛАВА Ш. Случайная неподвижная точка многозначных отображений

§ 3.1. Определения и вспомогательные результаты . . 74.

§ 3.2. Случайная неподвижная точка непрерывных отображений.gO

§ 3.3. Случайная неподвижная точка полунепрерывных сверху отображений

§

§ 3.4. Случайная неподвижная точка для отображений без условия непрерывности.

Настоящая диссертация посвящена неподвижным точкам многозначных отображений - обычных и случайных.

Всем известна та значительная роль, которую играют в анализе принципы неподвижной точки, скажем, теорема о неподвижной точке Брауэра и принцип сжимающих отображений Банаха. На них основано огромное число теорем существования - в линейной алгебре, математическом анализе, теории дифференциальных уравнений и т.п.

С момента появления первых общих теорем о неподвижных точках стала расширяться область их применимости (Лере, Шаудэра, Тихонов и т.п.). Затем эти результаты были распространены на многозначный случай (Какутани, Ки Фан, Гальперн, Надлер и др.). Сравнительно недавно появился новый объект исследования - "случайные неподвижные точки" (Щпасек, Ханс, Боксан, Рейд, Энгль, Итог, Мукериа и др.).

Целью настоящей работы является доказательство существования неподвижных точек для многозначных отображений множеств при возможно более слабых условиях на множество и отображение.

Работа содержит 9 параграфов и разбита на 3 главы. Первая глава носит предварительный характер. Основные результаты диссертации содержатся в двух последующих главах.

В первой главе изложены необходимые сведения о многозначных и измеримых многозначных отображениях. В § I.I сначала дается определение многозначных отображений без топологии, а затем рассматриваются многозначные отображения топологических пространств.

Пусть F : X ЛУ - многозначное отображение из топологического пространства J[ в топологическое пространство У. Мы говорим, что F полунепрерывно снизу в точке эса

X. * если Для любого открытого множества GTCI У » для которого f~jc0 C\QфФ* сУИ1еС!гвУет окрестность Uo0J точки такая, что р* С\ ф ф для всех x^U^)»

Мы говорим, что F полунепрерывно сверху в хо , если для любого открытого множества G » содержащего р*0 » существует окрестность Uc^o) такая, что £ € \3с*0) ==> Fx CI Сл.

F называется непрерывным в xQ , если оно одновременно полунепрерывно сверху и снизу в х0 . р называется полунепрерывным снизу (полунепрерывным сверху, непрерывным), если оно полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) во всех точках пространства .

Пусть (Xj°0 ~ метрическое пространство. Через С[Х] и С5ГХ] обозначим семейство всех непустых замкнутых подмножеств X и семейство всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств X" соответственно. Для положим: dcx, 5) = in/Ы*:,*) :ge5l d(А,3) = euf{dC*jВ) я е А}.

Расстоянием Хаусдорфа называется числовая функция

ГА, в) = m^{<LCAJd')Jd(3JA)}.

Хорошо известно, что свщ ю является метрическим пространством.

Пусть л - банахово пространство,

UX) - семейство всех ограниченных подмножеств в JT . Мера некомпактности Куратовско-го : б [Jf] —* R определяется следующим образом: о((А) = 1п/{б>0 : А г Ц At , diet т. А{ < tjt-^-n}

Определение. Пусть С С X. Отображение F : С —• называется сгущающим, если (F А) ^ (А) для всех ограниченных, но не вполне ограниченных множеств А СГ С.

§ 1.2 посвящен измеримым многозначным отображениям.

Измеримое пространство, по определению, есть пара(£^27>)^ где Q есть множество, а z; - некоторая 6 - алгебра подмножеств множества Q.

Положительная мера у* , определенная на Z , называется о - конечной, если можно представить в виде объединения счетного числа множеств конечной меры. называется А -полной, если из бС/4 и J*G4)^0 следует В<£ Z и у^СВ)-0 . Измеримое пространство Z^,) называется полным, если ^ С- конечна а 22л полна. В этом случае будем говорить, что полно.

Пусть

X, Л) - метрическое пространство. Множество А CZ (X, d) называется полным, если (Ajd) является полным метрическим пространством.

Определение. Многозначное отображение р из измеримого пространства (£t! 2Z ) в топологическое пространство называется измеримым (слабо измеримым), если для любого замкнутого (соответственно, открытого) множества В множество

F~(B) = [cveQ: FcHB фф] принадлежит z:.

Теорема Куратовского - Рилл надзевского (I.I9). Пусть JC ~ сепарабельное метрическое пространство, (£~i)} 21) - измеримое пространство, р : —ci^ ~ многозначное слабо измеримое отображение с образами, являющимися полными множествами. Тогда F имеет измеримое сечение, т.е. существует однозначное измеримое отображение & такое, что & 6°) £ Fto для всех а> £ Q.

Пусть А\ подмножество в линейном топологическом пространстве. Через со А и с/со /4 обозначим выпуклую оболочку А и выпуклое замыкание А •

Через ^ обозначим борелевскую $ - алгебру подмножеств в топологическом пространстве X » а через Z1 -наименьшую б* - алгебру подмножеств в X » содержащую все множества вида /4* В » Ае 27» •

Пусть р - многозначное отображение из множества X во множество ~Y • Множество | С*^) £ ^ х У; # £ FjcJ называется графиком отображения р и обозначается через Grp

Теорема Ауманна (I.2I). Пусть Q - <г- конечно, Х-борелевское множество в сепарабельном метрическом пространстве, F : Q —* £Х - отображение с измеримым графиком: Gr F € ® • Тогда существует измеримая функция -f : X такая, что /(to) £ ра> для всех us е С*) за исключением множества меры нуль.

Переходим к формулировке основных результатов диссертации. Глава П посвящена неподвижным точкам многозначных отображений. Хорошо известны теоремы о неподвижных точках выпуклознач-ных отображений в банаховых пространствах. Эти теоремы восходят к исследованиям Какутани. В дальнейшем они многократно обоща-лись. Анализ логической структуры рассуждений, приводящих к доказательству такого рода теорем показывает, что и требование банаховости и требование выпуклозначности не связаны с существом дела. Фактически используется лишь наличие ослабленной метрики (симметрика) и оператора замыкания с некоторыми свойствами компактности. Эта идея была оформлена Лиепиныпем в ряде работ [?, 32] для однозначных отображений. В § 2.1 доказывается обобщение этих результатов для многозначных отображений. Кроме того, получено несколько результатов о неподвижных точках полунепрерывных снизу отображений. В настоящее время такого рода теорем немного. Нам известен лишь результат теоремы 1.9 в [35] .

Пусть X - непустое множество. ^

Определение 2.1. Отображение S ' т ^ ^v называется оператором замыкания на Jf , если для любых A j Ь е Zx выполнено: I) А С В => 5M)CS(6). 2) А С S(A) •

3) S(S(/|)) = S(A) .

Определение 2.2. Оператор замыкания S на X называется алгебраическим, если для любого л С 2. и х € S(A) существует такое конечное множество KCZ А » что 6fS(Kj»

Пусть S - оператор замыкания на X • Назовем множество Л £ л* о - замкнутым, если А . SCA).

Отметим, что множество S (Д^О всех S - замкнутых подмножеств множества Jf инвариантно относительно пересечений, т.е. пересечение любой системы S - замкнутых множеств S - замкнуто.

Обратно, если множество (SX С инвариантно относинельно пересечений (в частности Г\Ф )» 10 ото~ бражение ; > ^ЗГ , определенное для любого А € равенством:

S'(A) = Г\\Ъе & : 5Э А/, является оператором замыкания на X , причем 5 (z^)- (£l . В этой ситуации условимся говорить, что оператор S' порождается множеством а. „

Пусть р; X—> % ~ многозначное отображение. Очевидно, что множество {ACL X: FAc: А} инвариантно относительно пересечений. Оператор замыкания, порождаемый этим множеством, обозначим через Sp .

Если Я^ , оператops замыкания на X» so оператор замыкания, порождаемый множеством S^CZ^jf^S (Z^) » обозначим через у

Назовем множество j~i £ Z ^ ~ компактным, если для любого множества (Q- CZ S » Для которого Г) {АПН: /\ £ (£Х £ = ф » существует такое конечное множество

FcQl , ч«? .ЩА(\Н ■ А € F/ =

Определение 2.3. Отображение JT* jf—► $ ( -множество вещественных неотрицательных чисел) называется симметрией, если для любых <£ , у € JT выполнено:

1) i(z}2) = о а: =г у .

2) - -t .

Назовем топологическое пространство субсимметризуемым, если на нем существует непрерывная симметрика.

Пусть А ,В б Я* ,ге $ . Положим:

J ГА, 6) = sup [i(x)9) : *еА,у£ £>},

В (A,t) = fztX : $(А,х) * r}J diam A = : xj $ € A}.

Определение 2.4. Пусть S - некоторый оператор замыкания на X • Симметрика i называется S - непрерывной, если cLianv г1 ~ лСлугх.

SCA) для любого А 6 Z •

Пусть F : X—$ • * называется неподвижной точкой для F » если ас е Fx •

Определение 2.5. Последовательность {^j п = оZ • ■ j называется орбитой отображения F ючки зс , если = ■* и F^n i n^Oji,* . .

Теорема I (2.6). Пусть (Xrf) ~ некоторое непустое множество с симметрикой на нем, F : X—*■ » S - некоторый оператор замыкания, S ~ inf { S} Sp J и непустое

S - компактное множество. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) симметрика i S - непрерывна^

2) =>

Далее, для любого % существует орбита (З^О^я^пгр^.^ t для которой выполнено:

3) ~S'(Qc*)) ПН ^Ф,

4) из того, что £ ф pjc следует

Тогда существует такое X 6 Н » что X 6 Fx . Далее, доказывается теорема о неподвижной точке для полунепрерывного снизу отображения, из которой получен следующий результат:

Следствие (2.10). Пусть X. непустое выпуклое слабо компактное подмножество нормированного пространства, i(Xjу) = II и полунепрерывное снизу отображение р ; ][—gX при любых удовлетворяет неравенству $ (F*> Fy) s Сх, Fx) + Fy)) ■

Предположим, что для любого выпуклого замкнутого множества/1 С содержащего более одного элемента и инвариантного относительно р , существует такое * в А , что $(*,Fz) < s«t>№(f,Ff):yeA}.

Тогда р имеет неподвижную точку.

§ 2.2 посвящен неподвижным точкам отображений сжимающего типа в метрическом пространстве. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 2 (2.12). Пусть X - метрическое пространство, F С[Х] - отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

I) существуют действительные числа jf ' такие, что

Ж (F*; Fx) 4 % d(Xjу) + Ь { d (*J Fx) + dCy,Fy), d(zjF9) + dfyF*)} для всех л и с Г.

2) Существует орбита [^п. j п - Oj i - , содержащая две последовательные сходящиеся подпоследовательности п. — ** ; хп£ + 1 — ** •

Тогда Р^ .

В [l7] Сириком было доказано существование неподвижной точки отображения р , действующего в полном метрическом пространстве и удовлетворяющего обобщенному условию сжатости: fcCFMj Fcs)) ч< <f £(*#), J(x,Fx), ,d(hF*) J cH^Fjf)}, где U I •

Отметим, что здесь не требуется условие непрерывности р.

В § 2.2 показано, что класс отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 2 строго шире, чем класс, исследованный Сирином. Показано также, что утверждение теоремы 2 неверно, если заменить ^ на единицу.

§ 2.3 посвящен неподвижным точкам многозначных отображений в линейных топологических пространствах. Фундаментальным результатом в этом направлении является теорема Тихонова - Какутани - Ки Фана, которая утверждает, что каждое полунепрерывное сверху отображение из выпуклого компактного множества локально выпуклого пространства с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями в этом же множестве имеет неподвижную точку. Различные обобщения этой теоремы можно найти в работах [l3] , [22] ,

2з] , [зб] . Обычно рассматриваются замкнутое выпуклое множество С в линейном топологическом пространстве и полунепрерывное сверху отображение F ; С —> • Для гарантии существования неподвижных точек F даются ограничения на множество С , на пространство JC » на образ FC » а также на образы F от точек на границе множества С . В этом параграфе получены некоторые результаты для отображений, нигде не удовлетворяющих внешним нормальным граничным условиям в банаховых и гильбертовых пространствах, содержащие, для этих пространств, теорему Тихонова-Какутани-Ки Фана. Один результат такого рода был получен Гальперном фактически для лишь конечномерных пространств (см. Г23] , теор. 20, 24).

Норма 11-11 в пространстве X называется строго выпуклой, если никакой открытый отрезок единичного шара не пересекает единичной сферы. Пространство со строго выпуклой нормой называется строго выпуклым пространством. Мы говорим, что пространство X обладает свойством (Н), если из х. и Цд:к || —|| х 1| следует II - эс Ц о .

Пусть С - непустое замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве X* Через обозначим проекцию на С* Через с^С обозначим алгебраическую границу С » т.е.

С = { к еС + при всех 3>о].

Множество 3Tq = fy^X: ^gCy)-5^} называется нормальным внешним множеством множества С в точке sc .

Определение 2.19. Отображение F: С—называется нигде не удовлетворяющим внешним нормальным граничным условиям, если для всех х € Ъ^С имеет место Jfg CZ {х.} .

Обозначим класс всех таких отображений через .

Теорема 3 (2,21). Пусть С - непустое замкнутое выпуклое множество в рефлексивном строго выпуклом банаховом пространстве, F: С " полунепрерывное сверху многозначное отображение с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что

1) Feb,

2) Образ FC относительно компактен.

Тогда, если С компактно или X обладает свойством (Н) » то F имеет неподвижную точку.

Далее, рассмотрим случай гильбертова пространства. Впервые введен комплексный конус Nq С*) = £ х € X ' Re ; х: - и } { о для всех и, € С } . Доказано, что совпадают.

Теорема 4 (2.26). Пусть С - непустое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве X » F : С^ ~ нерастягивающее отображение с непустыми компактными значениями. Предположим, что

I) FC ограничено л г) Fe <<? •

Тогда р имеет неподвижную точку.

Глава Ш посвящена случайным неподвижным точкам многозначных случайных отображений. Пусть 22) - измеримое пространство, топологическое пространство, Q - некоторое множество В X И F : О. к С —V ЯХ

- многозначное отображение. Ставится вопрос, при каких условиях существует измеримая функция X (со) такая, что # (со) € F(u>, *(«>)) для всех со Если такая функция существует, то она называется случайной неподвижной точкой р . Таким образом, если р имеет случайную неподвижную точку, то F(cи.,.) должно иметь неподвижную точку. Поэтому для каждой теоремы о неподвижной точке естественно ставится вопрос существует ли случайная неподвижная точка, если рассматриваемое в теореме отображение зависит еще от случайного параметра to . В [24] Ханс получил случайный вид принципа сжимающих отображений Банаха. В [33] Му-кериа и Рейд получили случайный вид теоремы Шаудера [39] . Эти результаты играют важную роль в исследовании случайных интегральных уравнений Вольтера, Фредгольма, Урысона. В [27] Итот доказал существование случайной неподвижной точки для случайных многозначных сжимающих отображений. Ряд вопросов о случайных неподвижных точках был поставлен и обсужден в обзорной статье [37] .

Определение 3.1. Пусть X - метрическое пространство. Отображение называется сепарабельным, если оно является измеримым и существует счетное множество Z, С X. такое, что для каждого ь> Z П С С40) = Q М

Определение 3.2. Отображение р : Qr Q^ назы~ вается случайным оператором со случайной областью определения

С у если С измеримо и для всякого X 6 X отображение f(-jX) измеримо, р называется измеримым по обеим переменным, если для всякого открытого множества D CI X множество £ (to, х) €

Gr С : F (V,*) п D ф ф ] принадлежит 72 0 где ~ борелевская ^-алгебра в , aZ ® - наименьшая 6*- алгебра подмножеств в х X * содержащая все множества вида Ах В »А € »Ъ € • Определение 3.3. Случайный оператор называется полунепрерывным сверху (полунепрерывным снизу, непрерывным), если для каждого w 6 Q отображение F(w,-) •' СУш)

2х полунепрерывно сверху (полунепрерывно снизу, непрерывно, соответственно).

В § 3.1 получен следующий результат, обобщающий подобный результат в [25] на случай некомпактных отображений.

Предложение 3.5. Пусть JT- банахово пространство, С .—С С ЕХ] сепарабельно, счетное множество, участвующее в определении сепарабельности и р; Qr (2 —С [X]

- компактнозначный полунепрерывный сверху случайный оператор. Рассмотрим отображение Н ; С —Z » определенное следующим образом: оо

НС»,*) = HcfcoUfFM , г е 2 Л См П &

Тогда а) для всякого (<*>,х) 6" GrC \~\ (vo}x) ф Ф и

И Go,*) С F&i,*) » б) ДЛЯ ВСЯКОГО ьо и ВСЯКОГО SC € C(w)| I/»

Н г) = FOvjX) 1 в) Н измеримо по обеим переменным, г) для всякого ю в Q, Нс«, .) полунепрерывно сверху. § 3.2 посвящен случайной неподвижной точке непрерывных отображений. Мы имеем следующий общий результат.

Теорема 5 (З.б). Пусть Х- полное сепарабельное метрическое пространство, С .* —> С [X] сепарабельно, F : Gr С —^ С LK ] ~ случайный непрерывный оператор. Предположим, что для всякого со 6 Q отображение имеет неподвижную точку. Тогда р имеет измеримую неподвижную точку.

Мы заметим, что во многих теоремах о неподвижной точке рассматриваются непрерывные отображения. Поэтому теорема 5 позволяет сразу сформулировать случайный вид этих теорем. В частности, из теоремы 5 можно получить случайный вид результатов Эделынтейна, Сегала, Шмидсона. Сюда относится также теорема 2.26, где рассматривается нерастягивающее отображение. Из этой теоремы следует результат в [2?] , где рассматривается случайная неподвижная точка для сжимающего отображения.

В § 3.3 получены некоторые результаты для случайных полунепрерывных сверху операторов, нигде не удовлетворяющих внешним нормальным граничным условиям. Общий результат получен лишь при условии, что F измеримо по обеим переменным.

Теорема б (3.7). Пусть Х- рефлексивное банахово пространство, С : Сс? —С С [X] - сепарабельное отображение, F ; Gr С —- полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что

1) для всякого фиксированного со £ С^ , отображение

Fc«v) £

2) FО*9j См) относительно компактно,

3) либо X обладает свойством (Н) , либо Cfa) компактно для всякого to € . Тогда F имеет измеримую неподвижную точку.

Теорема 7 (3.8). Пусть Х- сепарабельное гильбертово пространство, С - как в предыдущей теореме,/"; GrC —Z -полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми выпуклыми компактными значениями. Предположим, что для всякого собСЗ

1) С (<o) —£ -сгущающее,

2) F(wj С fa)) ограничено,

3) F&v) € <*?.

Тогда p имеет измеримую неподвижную точку. Теорема 8 (3.9). Пусть X.- полное сепарабельное метрическое пространство, С * —С [.ХЗсепарабельно,

F: GrC — С Ш

- случайный полунепрерывный сверху оператор. Предположим, что

1) для всякого со €

О , р(со,.) имеет неподвижную точку,

2) р измеримо по обеим переменным. Тогда F имеет измеримую неподвижную точку.

В § 3.4 получена следующая теорема. Теорема 9 (3.IO). Пусть X - полное сепарабельное метрическое пространство,

С : Q — С [X] сепарабельно, F .• GrC С CXJ - случайный оператор, удовлетворяющий условию р(cofx.) а С(Ц) ДЛЯ любого ^х) 6GrC. Пусть для каждого «о 6 Q

I) существует ^Сю) € [оу + оо) , (со) 6 fOj, 1) такие, что j + J Су, Ffa,x)) f для всех €СС*>)}

2) отображение F (Ч.): С fc) г ■ имеет неподвижную точку. Тогда F имеет измеримую неподвижную точку.

Отметим, что эта теорема позволяет сразу сформулировать случайный вид почти всех известных теорем о неподвижной точке в метрическом пространстве. Такими теоремами являются теоремы для сжимающих отображений (как однозначных, так и многозначных отображений), теоремы для отображений, удовлетворяющих условию Липшица, теорема Кананна [зо] , теорема Сирика [17] , теорема 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.М.Тихомирову за постоянную заботу и многостороннюю помощь. Автор также благодарит кандидата физико-математических наук С.В.Конягина за чтение рукописи и полезные замечания.

1. Колмогоров А. Н.,Фомин С. В.,Элементы теории функций и функционального анализ а, М. 1981.

2. Кон П. .Универсальная алгебра,М. 1968.6. ^гратовский К., Топология, т. I,Мир 1966.

3. Лиепинын А. X. .Топологические пространства и их отображения/Сборник научных трудов/,Рига 1983,с. 61-69.

4. ХалмошП., Теория меры,ИЛ, 1953.9. дитапп Д. J.,Measurable utility and the measurable choice theorem, Proc. Int. Colloq.,Ia Decision,C.N.B.S, ,Aix en Provence (1977),15\~26.

5. Berge C.,Espaces topologiaues.Dunod Paris*,1966.

6. Bocsan G. ,0n some fixed point theorems in random normed spaces.Proc. 5-th Conference on probability Theory(1974) ,153-156.

7. Browder F.,A new generalization of the Shauder fixed point theorem,Math. Annal. 171, 1967,285-290.

8. Browder P.The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector spaces, Math. Annal. 177,1968,283-301.

9. Castaing Ch.,Sur les multifonctions measurables,These,Paculte des Sciences de Caen,1967.

10. Castaing Ch,,Valadier M.,Convex Analysis and measurable multifunction ,Xecture Hotes,580,Spriger-Veifeg,1977.

11. Chuong P. V.,On an approximation theorem for sed-valued mappings,Acta Math. Vietnam.,1976,t.1,2,97-104.

12. Ciric L.,д.generalization of Banach contraction principle, Proc. Amer. Math. Soc.,45,2,1974,267-273.

13. Darbo G.,Punti uniti in transformazioni a codominio non compacto,Eend. Sem. Math. Univ. Padova,24">1955,84-92.19» Dugundji J. and Granas A.,Fixed point theory,vol. 1,WarszaVa 1982.

14. Edelstein M. ,0n fixed point under contractive mappings, J. London Math. Soc.,37,1962,74-80.

15. Fan £y,Fix*d point and minima* theorems in locally convex topological linear spaces,Proc. Nat. Acad. Sci. USA 38,1952, 121-126.

16. Halpern В.,Bergman G. ,A fixed point theorem for inward maps, Iran. Amer. Math. Soc.,130,2,1968,353-358.

17. Halpern В.,Fixed point theorems for set-valued maps in infinite dimensional spaces,Math. Ann. 189,1970,87-98.

18. Himmelberg C. J.,Measurable relations,Fund. Math.,vol. 87, 1975,52-72.2?. Itoth S. ,A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping,Рас. J. Math.,68,1977»85-90.

19. Xakutani S.,A generalization of Brouwerfi fixed point theo-. rem,Duke Math. J.,8,1941,457-459»29» Kannan R.,Fixed point theorems in reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc.,vol. 38,1975,111-118.

20. Kannan В.,Some results on fixed point 2,Amer. Math. Monthly, vol. 76,1969,405-407.

21. Mukherja A. and Reid A.'T. Br.,Separable Random Operators 1,Rev. Roumanie Math. Pares and Appl. ,14,1 969,1553-1561.

22. Eadler S.,Multi-valued contractions,Pacifl с J. Math. ,30, 1969,475-488.

23. Keich S.,Fixed points in locally convex spaces,Math. Z.fvol. 125,1972,17-31.

24. Eeich S.,Fixed points of contractive fundH.ons,Buletino U. N. 1.(4),5,1972,26-42.37» Eeid д. T. Br.,Fixed point theorems in probabilistic analysis ,Bull. Amer. Math. Soc.,82,5,1976,641-657.

25. Bhoades B.,A comparison of various definitions of contractive mappings,Irans. Amer. Math. Soc.,226,1977,257-290.39* Schauder J.,Die Fixpunktsatz in Funktionalraume.Studia Math. 2,1930,171-180.

26. Sehgal V.,0n fixed and periodic points for a class of map. pings,J. London Math. Soc.,5,1972,571-576.

27. Smithson R., Fixed points for contractive mult if unctions, Proc. Amer. Math. Soc.,27,1972,409-417.

28. Spaceк A.,Zufollige Gleichungen,Czechoslovak Math. J.,580, 1955,462-468.

29. Tan D. H. ,0n The contraction principle, A eta Math. Vietnam., 4,2,1979,88-102.

30. Tichonoff A. H. ,Ein Fispunktsatz,Math. Ann. ,111,1935,767-776.45* Tuy H. jOombinatorical method for solving nonlinear eauations, Preprint ZIMM Berlin,1978.

31. Wong C. S.,A generalized contractions and fixed point . theorems, Proc. Amer. Math. Soc.,42,1974,409-41?.47* Viet ft. H.,Some fixed point theorems for nowhere normal outward seii valued mappings,Acta Math. Vietnam.,vol. 7,2,i 1982,59-66.

32. Нгуен Хыу Вьет,К теореме о.случайной неподвижной точке для случайных многозначных отображений,Мат. заметки,1984(в печати).

33. Нгуен Хыу Вьет,Неподвижные точки многозначных отображений субсимметризуемых топологических пространств,Весник МГУ, 1984 (в печати).