Методы многозначного анализа в качественной теории дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Гельман Борис Данилович

Методы многозначного анализа в качественной теории дифференциальных уравнений

01 01 02 — дифференциальные уравнения, 01 01 01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург — 2007

003161523

Работа выполнена на кафедре теории функций и геометрии Воронежского государственного университета

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Ведущая организация факультет вычислительной математики

и кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова

Защита состоится 24 октября 2007 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д004 006 01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук по адресу г Екатеринбург, ГСП-384, ул С Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН

Автореферат разослан «—» сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор Арутюнов А В.

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор, Толстоногов А А

доктор физико-математических наук, профессор Тонков Е.Л

Н Ю Лукоянов

Общая характеристика работы

Актуальность темы Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась в середине 20-го века и сразу нашла многочисленные приложения в различных разделах математики в теории управляемых систем (А Ф Филиппов, Т Важевский, В Г Болтянский, В И Благодатских, Ж -П Обэн, Б Ш Мордухович, К Деймлинг и др), в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (Е А Барбашин, А Ф Филиппов, Я Курцвель и др ), в теории дифференциальных игр (Н Н Красовский, А И Субботин, А Б Куржанский и др ), выпуклом анализе и теории экстремальных задач (Р Рокафеллар, А Д Иоффе, В М Тихомиров, И Экланд, Р Темам, Б М Пшеничный и др ) и многих других 1

Отметим, что теория дифференциальных включений, которая возникла в работах С Зарембы и А Маршо, после работ А Ф Филиппова и Т Важевского стала широко использоваться для описания управляемых систем с обратной связью В настоящее время имеются монографии излагающие различные аспекты теории дифференциальных включений Это монографии Ф Кларка, Б Ш Мордуховича, А А Толстоногова, А Ф Филиппова, Ж П Обена и А Челлины, К Даймлинга и некоторых других

Существенное место в теории многозначных отображений занимает

Ч1одробная библиография до 1990 года содержится в обзорах Борисович Ю Г, Гельман Б Д , Мышкис А Д, Обуховский В В Многозначные отображения ! / Итоги пауки и техп , ВИНИТИ Мат анализ - 1982 - 19 - с 127-230

Борисович Ю Г, Гельман Б Д , Мышкис А Д , Обуховский В В Многозначный анализ и операторные включения // Итоги науки и техн ВИНИТИ Соврем пробл мат Новейшие достижения -1986 - 29 - с 151-211

Гельман Б Д , Обуховский В В О новых результатах в теории многозначных отображений// Итоги науки и теш ВИНИТИ Мат авали* - 1991 -29 - С 107-159

проблема изучения операторных включений вида

f(x) € Ф(ж) или х 6 Ф(ж)

Включения такого вида естественно возникают в теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других вопросах современной математики

Современна^ теория неподвижных точек многозначных отображений была построена в работах С Какутани, С Эйленберга и Д Монтгомери, А Гранаса, И Яваровского, А Д Мышкиса, Ки Фаня, И Гликсберга, Ю Г Борисовича, автора, В В Обуховского, Л Гурневича и многих других 2

Актуальной задачей является изучение топологических свойств множества решений операторных включений Некоторые результаты в этом направлении были получены в работах Ж -М Ласри и Р Робера, Б Ричери, Ж Сан Раймонда, автора и др Они интерпретируются как топологические свойства множества решений дифференциального или интегрального включения, свойства множества решений управляемой системы и т д

Интересные приложения теория многозначных отображений нашла при изучении вырожденных (сингулярных) дифференциальных уравнений Сингулярные дифференциальные уравнения имеют много конкретных интерпретаций (см , например, монографию А Фавиии и А Яги и библиографию в ней) Одним из первых задачу Коши для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных, изучал С Л Соболев С тех пор вырожденные дифференциальные уравнения соболевского типа,активно изучались многими авторами (см , на-

2Некоторые результаты работы Воронежской школы подытожены в обзоре Борисович Ю Г, Гельман Б Д , Мышкис А Д , Обуховский В В Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений// Успехи мат паук - 1980 - 35, N1 - С 59-126

пример, монографии Демиденко Г В и Успенского С В , Егорова Н И , Пяткова С Г и Попова С В , Мельниковой И В и Ануфриевой У А и библиографию в них)

Цель работы и научная новизна Целью работы является изучение качественных свойств множеств решений дифференциальных уравнений и включений, основанное на изучении топологических свойств множества решений операторных включений

Все основные результаты диссертации являются новыми К главным результатам можно отнести следующие

1 Доказаны теоремы о топологической размерности интегральной воронки дифференциального включения

2 Доказана теорема об ацикличности множества решений интегральных включений Вольтерра

3 Выделен класс обобщенных динамических систем (аппроксимируемые динамические системы), для которого удается доказать теоремы о существовании точек покоя

4 Доказаны теоремы существования и изучены свойства множества решений задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений соболевского типа с замкнутыми линейными сюръективными операторами, у которых правая часть является липшицевой

5 Доказаны теоремы существования и изучены свойства множества решений задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений и включений соболевского типа с замкнутыми линейными сюръективными операторами, у которых правая часть является вполне непрерывной

6 Доказана бесконечномерная версия классической теоремы Борсука-Улама о нулях нечетного отображения на сфере конечномерного пространства Опираясь на доказанную теорему, изучены множества ре-

шений вырожденных дифференциальных уравнений соболевского типа, правая часть которых нечетна по второму аргументу

Основная методика исследования. В работе развивается операторный подход к исследованию поставленных задач При этом используются методы многозначного анализа, нелинейного функционального анализа и топологии

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть применены в теории дифференциальных уравнений, управляемых систем, многозначного и функционального анализа Развитая в диссертации техника может найти применение в выпуклом анализе и теории экстремальных задач

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах семинар по системному анализу (МГУ, рук акад А Б Куржанский), семинар по приложениям топологии (МГУ, рук акад АТ Фоменко), семинар по уравнениям в частных производных (ЛОМИ, рук проф М Ш Бирман), семинар по общей топологии (МГУ, рук проф В В Федорчук), семинар по глобальному анализу (ВГУ, рук проф Ю Г Борисович), семинар по нелинейному анализу и краевым задачам (ВГУ, рук проф В Г Звягин), на семинаре по нелинейному анализу Гданьского университета (рук проф К Гемба)

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях по топологическим методам в нелинейном анализе (Бахотек, Польша, 1990), на топологических конференциях (Киев, 1992, 1995), Интернациональном конгресе по математике (Цурих, 1994), по стахостиче-скому и глобальному анализу (Воронеж, 1996), Колмогоров и современная математика (Москва, 2003) и др

Различные разделы диссертации неоднократно докладывались на Во-

ронежских зимних математических школах и Понтрягинских чтениях (Воронеж)

Содержание работы

Во введении обсуждаются постановки задач, дается обзор литературы и излагаются основные результаты

Первая глава является вспомогательной В ней излагается предложенный автором новый простой подход к доказательству теорем о непрерывных однозначных сечениях и е-агшроксимациях многозначных отображений с выпуклыми замкнутыми образами, которые используются в дальнейшем на протяжении всей работы Основные результаты этой главы опубликованы в работах [10], [14]

Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство, Cv(Y) (Kv(Y)) - множество непустых замкнутых ( компактных ) подмножеств в Y

Доказывается следующая теорема

1.3 2. Теорема. Пусть F X —► Gv{Y) - полунепрерывное сверху многозначное отображение, тогда для любого е > 0 существует полунепрерывное снизу многозначное отображение Fe X —► Cv(Y) удовлетворяющее следующим условиям

1) Fe(x) = ( £ (р0(х)Аj), где {fj}jeJ - разбиение единицы, построен-

jeJ

ное по некоторому локально конечному покрытию пространства X, {A3}j€j, - выпуклые замкнутые множества в пространстве Y,

2) F(x) С Fe(x) для любого х € X,

3) график ГX(FE) С Ue(rx(F))

4) Fe{X) С co(F(X)),

Опираясь на эту теорему и теорему Майкла о сечениях, легко получается теорема Челины и некоторые другие теоремы о существовании

однозначных непрерывных е-аппроксимаций

Также в этой главе доказана следующая теорема, обобщающая теорему доказанную в работе Веп-Е1-МесЬа1екЬ Н и Кгувгешзк! Ш

1 4.2 Теорема. Пусть ^ X —> Су(Е), г = 0,1, , к, - полу непрерывные снизу многозначные отображения, С3 X —» Су(Е), у = 1, , в,

- полунепрерывные сверху многозначные отображения Если для любого х € X пересечение

(пвд)п(л ад)^,

1=0 .7=1

то для любого е > 0 существует непрерывное отображение /е X —> Е удовлетворяющее следующим условиям

1) fe является непрерывным сечением многозначного отображения ^о,

2) для любого х е X расстояние р(^(х), Ег(х)) < е, г = 1, ,к,

3) отображение /е является е-аппроксимацией многозначных отображений <3„ ] — 1, , в

Вторая глава диссертации посвящена изложению основных фактов теории неподвижных точек многозначных отображений

В первом параграфе этой главы изучаются многозначные сжимающие отображения и доказывается теорема о неподвижной точке, обобщающая теорему Надлера

2 1.5 Теорема Пусть X - полное метрическое пространство, Вд[жо]

- замкнутый шар радиуса И с центром в точке хо Пусть Е 5д[жо] —> С(Х) многозначное отображение Пусть существует число к € [0,1) такое, что выполнены следующие условия

(1) р(х0,Е(х0) <Я(1~к),

(2) для любой точки х е Вц\гсо] пересечение F(a;) П Вц[хо] ф 0,

(3) для любых х € Вя[хо] и у € ^(а:)П.Вд[а;о]) справедливо неравенство

р,{Р(х)ПВв[х0},Р(у)) < кр(х,у) Тогда, для любого числа Дх удовлетворяющего неравенству

р(х0,Р{хй) < В.1 < Я(1 - к), существует неподвижная точка х„ отображения Р такая, что

р{хо, ж») < ~-

Более того, среди неподвижных точек отображения Р существует точка х* такая, что

2

р(хо, ж») < у—

Также в этой главе изучаются многозначные сжимающие отображения, зависящие от параметра

Пусть Е - банахово пространство, X - замкнутое выпуклое подмножество в Е, У - метрическое пространство Пусть

многозначное отображение Р ХхУ-> Су(Х) удовлетворяет следующим условиям

(1) существует такое число к е [0,1), что для любых х',х" € X и любого у 6 У справедливо неравенство

Ъ{Р{х',у),Р{х",у) <к\\х' -х"\\,

(2) многозначное отображение Р - полунепрерывно снизу по совокупности переменных Справедлива следующая теорема

2 1 10 Теорема Пусть выполнены условия (1), (2), пусть А - замкнутое подмножество вУ^ А X - непрерывное отображение такое, что /(у) 6 Р(1{у),у) для любого у € А

Тогда существует непрерывное отображение д V —> X удовлетворяющее условиям

а) д(у) & Р{д{у), у) для любого у еУ,

б) отображение д является непрерывным продолжением отображения /, те д\А = /

В качестве следствия из этой теоремы доказывается теорема о структуре множества неподвижных точек многозначных сжимающих отображений, уточняющая теорему Ричери

2 1.12 Теорема. Пусть X - замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства Е, -Р X —> Су(Х) - многозначное сжимающее отображение Тогда множество К неподвижных точек этого отображения является сильным деформационным ретрактом пространства X

Вторая часть этой главы посвящена доказательству теоремы о би-екции многозначных векторных полей и построению теории вращения многозначных векторных полей

Пусть V X —> Е - фиксированное непрерывное собственное однозначное отображение, Р1 X —> Ки(Е) - полунепрерывное сверху компактное многозначное отображение Рассмотрим многозначное отображение Ф — у — Р X —> Ку(Е) Такое отображение называется многозначным векторным полем с главной частью V и компактной частью Е Пусть А - замкнутое подмножество в X, а В - компактное подмножество в Е

2 2.4 Определение Будем говорить, что многозначное компактное векторное поле Ф допустимо относительно пар (X, А) и (Е, Е\В), если Ф(А) С (Е\В) Обозначим Т>((Х, А), (Е, Е\В)) множество допустимых многозначных компактных векторных полей с главной частью

V

Вводится определение гомотопности допустимых многозначных компактных векторных полей, которое является отношением эквивалентности в множестве

V((X,A),(E,E\B))

Пусть М[(Х, А), (Е, Е\В)] - множество различных гомотопических классов

Так как однозначное непрерывное компактное отображение является частным случаем полунепрерывного сверху компактного многозначного отображения, то в множестве Т>((Х, А), (Е, Е\В)) можно выделить подмножество Т>о((Х, А)\ (Е, Е \ В)) - множество допустимых однозначных непрерывных компактных векторных полей с главной частью V Для которых также определяется гомотопности, которое также разбивает множество V0((X, А), (Е, Е \ В)) на множество Л/"0[рГ, А), (Е, Е \ В)] различных гомотопических классов

Очевидно, что гомотопический класс поля

МеЩ(Х,А),(Е,Е\В)}

вкладывается в гомотопический класс из М[(Х, А), (Е, Е \ В)] 2.2.6. Теорема Отображение вложения

г ЛГ0[(Х, А), (Е, Е \ В)] -> ЩХ, А), (Е, Е \ В)),

устанавливает биективное соответствие между этими множествами

Теорема биекции играет основополагающую роль в построении топологических инвариантов многозначных векторных полей с выпуклыми образами В диссертации рассматривается абстрактная схема этого построения

Отображение 7 Т>о((Х, А), (Е, Е \ В)) —> С? называется топологическим инвариантом на Т>0((Х, А), (Е, Я \ В)), если из того, что

6 ((Х,А),(Е,Е\В))

и гомотопно <¿>1 в этом множестве, вытекает, что 7(1^0) = 1(^1)

Множество бо С (3 называется существенным для топологического инварианта 7, если, для любого поля <р € Т>о((Х, А), (Е,Е\В)), из того, что 7(^>) € бо, вытекает, что В С <р(Х)

Аналогично можно определить понятие топологического инварианта на множестве Т>({Х, А), (Е, Е \ В)) Справедлива следующая теорема 2 2.8. Теорема. Пусть топологический инвариант

7 Т>о((Х>А),(Е,Е\В))-^0

такой, что множество (?о с б является для него существенным Тогда существует единственный топологический инвариант

7 ЩХ,А),(Е,Е\В))~>С

такой, что

(a) если <р — V — f - однозначное векторное поле, то 7((р) = 7(</?),

(b) если Ф = V - ^ € Л), (Я, £ \ В)) и 7(Ф) 6 в0, то В С Ф(Х), т е множество Со также является существенным для 7

В заключение главы, основываясь на теореме 2 2 8, дается построение вращения многозначных векторных полей и приводятся его свойства

Третья глава диссертации посвящена изучению топологических свойств множеств решений дифференциальных и интегральных включений Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [1], [3], [18], [5]

Первый параграф этой главы посвящен исследованию топологической размерности множества неподвижных точек

Пусть Е - банахово пространство, 17 - ограниченное открытое множество в Е, Г II —* Кь(Е) - компактное многозначное отображение Обозначим N^,11) множество неподвижных точек Р

3 13 Следствие Пусть Е и —► Кь(Е) - непрерывное компактное многозначное отображение Если

(a) поле Ф = г — Е невырождено на дЩ,

(b) 7(Ф,й) ф о,

(c) <1гт(Е(х)) > п для любого х € II, то йгт{Ы{Ф, £/)) > п

В работе также доказана теорема о локальной размерности множества неподвижных точек

Основываясь на этих теоремах были получены результаты о локальной и глобальной топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений Каратеодоревского типа

Пусть (? - открытая область в К1 х Д™ такая, что [¿0, + х В[хо, г] С б, где В[хо,г] - замкнутый шар радиуса г с центром в точке хо Пусть Р С —> Ку(Кп) - многозначное отображение, удовлетворяющее следующим условиям

1) ) В[хо,г] —> Ки{В.п) является непрерывным многозначным отображением для почти всех £ € [¿о, ¿о + Щ,

2) ,х) + Л] —> Ку(ЯР') является измеримым для всех х е В[х0,г],

3) существует интегрируемые по Лебегу неотрицательные функции а, Ъ [¿О, ¿о -\-Щ Н1 такие, что для любого х € В[хо, г] выполнено неравенство

шах 1Ы|<а(<) + Ь(4)||аг||

у€Р(Ь,х)

для почти всех 4 е ^о 5 ¿о + Щ

Рассматривается следующую задачу х € Р(Ь,х), х(¿о) = х0 Пусть Е([«о, > жо) множество решений этой задачи на промежутке [¿0, ¿о+¿1 3.1.14. Теорема Пусть Р удовлетворяет условиям 1,2,3 Пусть множество

А = {Ь 6 [¿о, и + с1гт((Р(£, ж)) > 1 для любого х € В[х0, г]} измеримо и

11Ш М^П[<о,«о + й]) > 0

Л-0 /I

ТЬг^а существует такое число Дь что ¿ля любого 0, 0 < /3 < 0о, множество Е = + Р],хо) и размерность <1гт(Т!) = оо

Если условие 1) заменить условием 1') ) В[ж0,г] —► ^(Д™) является липшидевым с константой а для почти всех Ь € + Л], те Р(Ь,у)) < а\\х - у\\ для почти

всех Ь € [¿о > ^о -Ь

Тогда имеет место следующая теорема

3 1 16 Теорема. Пусть Е удовлетворяет условиям 1', 2, 3 Пусть множество

А = {Ь € [¿о, ¿о + Щ | йгт{(Р(Ь, х)) > 1 для любого х € В[ха, г]} измеримо и

1ю1МАг,м0 + ь]) 0

/г

ТЬгда существует такое число что для любого ¡3, 0 < ¡3 < 0о, множество Е = Е([£о,^о + ^ и для любого е > 0, и любого

решенияу £ Е размерность йгт{Т,у>е) = оо, где Е^ = {г € Е | \\г—г/|[ <

Следующий параграф этой главы посвящен изучению связности множества неподвижных точек многогозначных отображений В работе до-

казано обобщение принципа Красносельского-Перова для случая многозначных отображений

3 2 2. Следствие Пусть F С/ —> Кь(Е) - вполне непрерывное многозначное отображение без неподвижных точек на дV Пусть 7(г— Р, II) ^ 0 Если для любого 5 > 0 и любой точки XI € 7У(г — ^ V) существует однозначное вполне непрерывное отображение ДХ1 II —> Е такое, что

V 1б,х 1 - является 5-аппроксимацией многозначного отображения Г,

2) отображение fstXl имеет связное множество неподвижных точек

3) существует точка у € N5^ такая, что || у — х\ || < 8, тогда множество N(1 — Р, II) - непусто и связно

В 1942 году Ароншайн доказал, что интегральная воронка обыкновенного дифференциального уравнения является ацикличным множеством в пространстве непрерывных функций Этот результат был обобщен в работе Ласри и Робера на случай дифференциальных включений В дальнейшем, ацикличность интегральной воронки была доказана для различных классов дифференциальных включений в работах Л Гурневича, М И Каменского, В В Обуховского и П Зекки и др

В следующим параграфе этой главы рассматривается некоторая общая схема доказательства ацикличности множества решений операторных включений, опираясь на которую, устанавливается ацикличность множества решений интегрального включения Вольтерра

Пусть Е2 - банаховы пространства, X - замкнутое подмножество в Еъ / X —» Е2 - однозначное непрерывное собственное отображение, Р X —» К(Е2) - полунепрерывное сверху многозначное отображение такое, что К = Р(Х) - компакт в Е2 Рассмотрим операторное включе-

ние f(x) € F(x) Пусть множество решений этого включения А ф 0

3 2.11 Теорема. Если для любого е > 0 существует непрерывное отображение де [0,1] х А х X —»■ Е2, удовлетворяющее следующим условиям

1) gs([0,1] х А х X) - относительно компактно в Еъ,

2) для любых (А, х) е [0,1] х Л непрерывное отображение g\ x = gs(X, х, ) X —► является е- аппроксимацией F, причем уравнение f(u) = де(А, х, и) имеет непустое ациклическое множество решений

3) при Л = 0 и любом х & А справедливо тождество /(х) = gs(0, х, х),

4) при Л = 1 существует ао 6 X такое, что /(ао) = cf(l,x, ао) для любого х 6 Л

Тогда множество А ациклично

Опираясь на эту теорему удается доказать ацикличность множества решений интегрального включения Вольтера Для включений такого вида в работе А И Булгакова и Jl Н Ляпина ранее была установлена связность этого множества

Пусть F [а, Ь] х RJ1 —► Kv(Rn) - многозначное отображение, удовлетворяющее условиям

(A) F(t, ) Rn —» Kv(Rn) - полунепрерывное сверху многозначное отображение для почти всех t € [a, b],

(B) F( ,х) [а, 6] —> Kv(Rn) содержит однозначное измеримое сечение для любого х € Rn,

(C) max || у II< u(t), где v{t) - суммируемая функция па промежутке

yeF(t,x)

м

Пусть v [а, 6] х [а, Ь] —* L(Rn) - однозначное отображение в пространство линейных операторов в ii", удовлетворяющее следующим условиям

(D) отображение v(t, ) [a, b] L(Rn) -

измеримо для любого t 6 [а, Ъ] и следующая функция k(t) — игагтах^д || v(t,s) || ограничена на [а, 6], (Е) для любого ii 6 [а, b] предел

km ьгагтахцфд II v(t> s) — v(t\,s) ||= О Рассматривается следующее интегральное включение x(t) € g{t) + J* v(t, s)F(s, x(s))ds, подразумевая под этим, что

x(t) S {y(t) = g(t) + j*v(t,s)h(s)ds \ h(s) S F{s,x(s)) для почти всех s € [es, 6]},

где g [a, b] —> Rn - некоторое фиксированное непрерывное отображение 3.2 19 Теорема Пусть выполнены условия (А)-(Е), тогда множество решений К включения Волътерра является ацикличным множеством в пространстве Сдадд»>)

Следующий параграф этой главы посвящен изучению точек покоя обобщенных динамических систем В 1954 году в работе А Д Мышкиса была поставлена задача исследования точек покоя обобщенных динамических систем

Существует несколько различных определений обобщенной динамической системы (динамической системы без единственности) Наиболее распространенным является определение, предложенное Е А Барбашиным

Пусть X - топологическое пространство, R+ - множество неотрицательных чисел

3 3 1 Определение Многозначное отображение Ф X х R+ —> К(X) называется обобщенной односторонней динамической системой, если выполнены следующие условия

(1) Ф(, 0) X —> X является гйх,

(2) для любых х & X и ¿2 € справедливо равенство

Ф(Ф(:с, £х), ¿2) = ¿1 + ¿2),

(3) многозначное отображение Ф полунепрерывно сверху,

(4) для любого хо € X многозначное отображение Ф(жо, ) Я —> К{Х) непрерывно

Точкой покоя односторонней динамической системы Ф называется точка хо € X такая, что Хо € Ф(а;о,£) для любого t € Я+

3 3 8 Определение. Будем говорить, что односторонняя динамическая система Ф является аппроксимируемой на множестве X, если существует последовательность однозначных динамических систем {1п}, /п X х Н+ —» X (аппроксимирующее семейство) таких, что выполнены следующие условия

1) для любых (хЕХхй+ предел ^.ип Ф(а;,£)) = 0,

2) для любых е > 0, Т > 0 существует такое 5 = 3(е,Т) > 0, что для io.ii £ [0, Г], | ¿о—\< 6 справедливо неравенство р(/п(х^о),/п(х,11)) < £ для любых п и х € X

Справедлива следующая теорема о точках покоя аппроксимируемых динамических систем

3 3 17 Теорема. Пусть X - компактное ЛИЯ-пространство, Ф -односторонняя динамическая система Пусть выполнены следующие условия

1) динамическая система Ф является аппроксимируемой на X,

2) существует такое Т € Е+, что множество Я?(Х,Т) ациклично в X

Тогда система Ф имеет в X точку покоя

Следующий параграф этой главы посвящен изучению топологической

структуры множества неподвижных точек произвольного абстрактного оператора Вольтерра

Пусть С[й,б] - пространство непрерывных вектор-функций со значениями в Я™, Т = Вг[0] С С[ад - замкнутый шар радиуса г с центром в нуле этого пространства Пусть д Т —» С^ц - вполне непрерывный оператор 3 4.2. Определение. Будем говорить, что отображение д является оператором Вольтерра, если для любого е € [О, Ъ — а] и для любых функций х,у еТ из того, что х{Ь) — у{1) для £ € [а, а + £•] вытекает, что д(х= д(у)(Ь) для t из того же промежутка [а, а + е]

Пусть отображение г Яп —> С[ад является каноническим вложением Рассмотрим отображение да % —» Д™, до(Н) = д{ъ(К)){0) Обозначим А(д) - множество неподвижных точек отображения д, а А(до) - множество неподвижных точек отображения д0

3 4 4 Теорема. Пусть д Т —» С[ад - вполне непрерывный оператор Вольтерра Если для любого х £ Т образ ||з(ж)|| < т — ео, где £о - произвольное положительное число, то отображение р А(д) —► р(х) = х(а), порождает изоморфизм групп когомологий Александера-Чеха этих пространств

Четвертая глава диссертации посвящена изучению разрешимости задачи Коши и исследованию свойств интегральной воронки следующих сингулярных дифференциальных уравнений

(о®)' = /(*,®)

и

а(х ')=/(«, я)

в случае, когда а - замкнутый линейный сюръективный оператор, / -нелинейное отображение Основные результаты этой главы опубликованы в работах [7], [9], [11], [12], [13]

Первый параграф этой главы посвящен основным свойствам замкнутых линейных сюръективных операторов

Пусть - два банаховых пространства, a D{a) С Ei —» -

замкнутый линейный оператор Рассмотрим многозначное отображение 0-1 2?2 —> Cv(Ei) Число

„-i,, _ mm lmí{\\x\\\xeEl,a{x)=y}^ IIa II — SUP ГТ~п /

уев2,у^0 112/11

называется нормой многозначного отображения аГ1

В этом параграфе приводятся некоторые примеры вычисления норм, доказывается липшицевость многозначных обратных отображений и изучаются некоторые другие их свойства

Второй параграф этой главы посвящен изучению задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения с липшицевой правой частью

Первый раздел этого параграфа посвящен изучению операторного уравнения, у которого левая часть является замкнутым сюръективным оператором, а правая липшицево отображение

Пусть Ei, Еъ - два банаховых пространства, a D(a) —> Ei - замкнутый линейный сюръективный оператор, f Ei —>■ Е2 - липшицево отображение с константой Липшица с Изучается следующее уравнение

а{х) = f(x) (4 2 1)

Пусть N(a, /) множество решений этого уравнения

4.2 1 Теорема (1) Если с < j¡¿-i|p то множество решений N(a,f) непусто и является сильным деформационным ретрактом пространства Ei

(2) Если кроме этого Кег(а) ф {0}, то АГ(а,/) содержит, по крайней мере, две точки

Рассмотрим теперь разрешимость уравнения (4 2 1) в шаре банахова пространства Ех

Пусть х0 € Е\ - некоторая точка, Вд[хо] - замкнутый шар радиуса Д с центром в точке а;0, / -Вд^о] -» йг - липшицево отображение с константой Липшица с

4 2 2. Теорема. Пусть отображения а и / удовлетворяют следующим условиям

существует такая точка уо 6 О (а), что а(уо) — /(хо) и Цхо-уо^^-сЦа^ЮЯ

Тогда уравнение (4 2 1) имеет решение в шаре Вд[хо]

Полученные теоремы применяются для изучения вырожденных дифференциальных уравнений

Пусть а И(а) С Е\ —» - линейный замкнутый сюръективный оператор, Хо 6 0(а) — некоторая точка, Вд[®о] - замкнутый шар радиуса К с центром в точке хо, / [0, Т] х Вц[хо] —> Ег — отображение, удовлетворяющее следующим условиям {Ь\) / непрерывно по совокупности переменных, (1/2) / липшицево по второму аргументу с константой Липшица с Рассматривается следующая задача

(о*)'= /(«,*), (4 2 3)

а(®(0)) = а(®0) (4 2 4)

Пусть Е(жо, [0, Н\) - множество решений этой задачи на промежутке [0, /г]

4 2.6 Теорема При сделанных предположениях существует такое Но > 0, что задача (4 2 3), (4 2 4) имеет решение на промежутке [О, До]

В случае если правая часть дифференциального уравнения (4 2 3) определена на [0,Т] х Е\ и удовлетворяет условиям {Ь{) и (¿2)1 то справедлива следующая теорема

4 2.7. Теорема. (1) При сделанных предположениях, существует такое /г > 0, что задача (4 2 3), (4 % 4) имеет решение на промежутке [О, А], и множество решений Е(жо, [О, А]) является сильным деформационным ретрактом пространства Сдо.а],^)

(2) Если Кег{а) ф {0}, то задача (4 2 3), (4 2 4) имеет, по крайней мере, два решения

(3) Если Кег(а) Ф {0}, и существует такое число т, что ||/(4,а;)|| < т для любых (Ь,х) £ [0,Т] х Е\, то множество решений Е(жо, [0, А]) является неограниченным

Третий параграф четвертой главы посвящен изучению вырожденных дифференциальных уравнений, у которых правая часть является вполне непрерывной

Первый раздел этого параграфа посвящен изучению операторного уравнения (4 2 1), у которого правая часть является а-вполне непрерывным отображением

Пусть отображение / X С Е\ —> £2

4.3 2. Определение Будем говорить, что отображение / - вполне непрерывно по модулю отображения а (или а-вполне непрерывно), если оно непрерывно и для любого ограниченного множества А с Е2 и любого ограниченного множества В с X множество /(В Л а-1(Л)) является компактным Пустое множество по определению считает-

ся компактным

4 3.7 Те<зрема. Пусть / Е\ —> 2?г является а-вполне непрерывным отображением и удовлетворяет следующему условию существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х € Ei справедливо неравенство ||/(ж)|| < с||ж|| + d Если с < pijrji, то N(a, /) Ф 0

Можно оценить топологическую размерность множества решений уравнения (4 2 1)

4 3.12 Теорема Пусть выполнены условия теоремы 4 3 1, тогда dim{N{a, /)) > dtm(Ker{a))

Можно изучить разрешимость уравнения (4 2 1) на шаре в пространстве Е\

Пусть xq € Ei, f Br[x0] —у £2 - вполне непрерывное отображение

4 3 14. Теорема. Если существует такое число к > ||а_1||. что для любой точки х € Br[x0] справедливо неравенство

R

\\а{х0) - f(x)\\ < —, то уравнение (4 2 1) имеет решение и топологическая размерность dim(N(a, /)) > dim(Ker(a))

Во втором разделе этого параграфа полученные теоремы применяются к изучению разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений с компактной правой частью

Пусть xq 6 Е\ - произвольная точка, / [О, Т] х Вц\хо] —> -непрерывное компактное отображение

Рассмотрим следующую задачу

<a/ = f(t,x), (43 8 )

®(0) = х0 (4 3 9 )

Имеет место следующая теорема

4.3.15. Теорема. При сделанных предположениях существует h > О такое, что задача (4 3 8), (4 3 9) имеет решение на промежутке [0, h] Если Кег(а) -ф {0}, то топологическая размерность dvm(T,(xо, [0, Л])) = оо

Аналогичная теорема имеет место и для следующей задачи

(ax)' = f(t,x), (4 3 11)

а(®(0)) = а(хо) (4 3 12 )

В четвертом параграфе четвертой главы результаты §3 обобщаются на случай вырожденных дифференциальных включений (ах)' € F(t, х), где F - а-вполне непрерывное многозначное отображение Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [7], [13]

Для операторных включений вида

а(х) € F(x), (4 4 1)

где а является линейным замкнутым сюрьективным оператором, F - а-вполне непрерывным многозначным отображением, доказана следующая теорема

4.4.7. Теорема. Пусть многозначное отображение F * Е\ —> Kv(Ei) удовлетворяет следующим условиям 1) F - а-вполне непрерывно,

2) существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х € Ei справедливо неравенство mm ||у|| < с||:г1| + d

yüF(x)

Если с < [)tt-i|p то N(a, F) является непустым множеством и dvm(N(a, F)) > dim(Ker(a))

Доказанная теорема применяется для изучения вырожденных дифференциальных включений

Пусть ЕЪЕ2 - сепарабельные банаховы пространства, a D(a) с Ei —> Е2 - линейный замкнутый сюръективный оператор, xq £ D(a) - некоторая точка, F [О, Т] х Е\ —» Kv(E%) - вполне непрерывное многозначное отображение

Рассмотрим следующую задачу

(ах)'€ F(t,x), (4 4 6)

a(s(0)) = а(х0) (4 4 7)

Пусть E(a¡o, [О, Л]) - множество решений этой задачи на промежутке [О, h]

4.4 13. Теорема. (1) Если многозначное отображение F удовлетворяет следующему условию

(а) существуют такие числа d\ и d2, что для любых (t,x) 6 [0,Т] х Е\

справедливо неравенство max |Ы| < c¿i||a:||+<á2, то существует число

yeF(í^)

h € (О, Т] такое, что задача (4 4 6)> (4 4 7) имеет решение на промежутке [0, h]

(2) Если выполнено условие (а) и Кег(а) Ф {0}, то множество Л(х0, [0, h]) является неограниченным и dim(Y,(xo, [0, h])) = оо

В пятом параграфе этой главы изучаются некоторые свойства решений следующей задачи

{ах)' = /(¿.ж),

(4 5 4)

а(ж(0)) = О,

(4 5 5)

в случае, когда правая часть f{t, х) является нечетным по х отображением и Кег{а) ф {0} Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [11], [12]

Для изучения этой задачи используется бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама, доказанная автором

Пусть Е\,Ег - банаховы пространства, а И (а) с Е\ —> Е^ - замкнутый линейный сюръективный оператор Пусть 5Г(0) - сфера радиуса г с центром в нуле пространства Е\, отображение / £>(/) С 5Г(0) ^г удовлетворяет следующим условиям

1) £>(/) = В{а) Л -5,(0),

2) /(—ж) = —/(ж) для любого х 6 £(/),

3) отображение / является а-вполне непрерывным

Пусть И{а, /) С 5г(0) - множество решений уравнения а(ж) = f{x) 4 5 3. Теорема. Если йгт{Кег а) > 1, то

Эта теорема является естественным обобщением теоремы Борсука-Улама на случай бесконечномерных банаховых пространств

Пусть Кег{а) ф {0}, / [0, оо) х Е\ —> - вполне непрерывное отображение, нечетное по второму аргументу Рассмотрим следующую задачу

Ы{а, /)ф& и <1гто(ЛГ(а, /)) > с1гт{Кег а) - 1

{ах)' = }{Ь,х),

(4 5 4)

а(х(0)) =0 (4 5 5)

Изучается следующий вопрос

существует ли решение х* задачи (4-54), (4 5 5) на заданном промежутке [0, h] такое, что max ||a:*(i)|| = М, где М - некоторое наперед заданное число

Пусть Ем(0, [0, h]) - множество решений этой задачи 4.5.4. Теорема. При сделанных предположениях, для любого числа h > 0 и любого числа М > О множество £м(0, [0, h}) ф 0 и топологическая размерность с1гт(11м(0, [0, /г])) = оо

В шестом параграфе четвертой главы теоремы о разрешимости операторных уравнений вида а(х) = f(x) применяются к проблеме управляемости конечномерными нелинейными системами вида

х' = Ах + Ви + fit, х, и),

где А и В - линейные операторы, / - нелинейное возмущение В этом разделе предлагается новый подход к решению этой задачи, основанный на результатах параграфа 3 Он позволяет не только доказать управляемость возмущенной системы, но и позволяет получить информацию о свойствах множества решений соответствующих краевых задач Рассматрим линейную управляемую систему

х' - A(t)x - B(t)u = 0, (4 6 1)

х(0) = х0, х(1) = хъ (4 6 2)

где А [0,1] -> L(Rn, Я"), В [0,1] -> L(Rm, Я") - суммируемые отображения

Пусть линейный оператор а -<4С([0,1],Д") X Ьфд^дт) с С([оДЯ1) X Х/ДОд^дт) —► £([0д],д») х Rn х Rn

определен условием,

а{х,и){£) = (х'(Ь) - А{Ь)х{€) - В^)и(£),х{0),ж(1))

Нетрудно проверить, что а является замкнутым линейным оператором 4 6 2. Лемма Система (4 61) вполне управляема, тогда и только тогда, когда оператор а является сюръективным

Рассмотрим теперь нелинейные системы Пусть / [0,1] х Д" х Д"1 —► Дп - отображение, удовлетворяющее следующим условиям Л) для любых х € Дп, и & Нт отображение — [0,1] —> Вы-

является сумируемым,

/г) Для почти всех Ь € [0,1] отображение /г = /(£, , ) Я" х Дт —> Яп является непрерывным,

/3) существует такое число с> 0, что для любых х, у € Ип, и, V € В,т и почти всех £ е [0,1] выполнено неравенство

||/(*,а;,«) - /(<,»,«)|! < с(\\х - у\\ + ||и - «||)

Рассматрим следующую задачу

х' - А(г)х - В(£)и = /(£, х, и), (4 6 3)

ж(0) = х0, ж(1) = хг (4 6 4)

4 6 3 Теорема. Пусть система х'—А(£)х — В{€)и = 0 вполне управляема Пусть отображение f удовлетворяет условиям 1\, и /з Если число с из условия /3 меньше р=тц> ч710 система (4 6 3) является вполне управляемой, причем, для любыхх$,х\ € Д™, множество решений задачи (4 6 3), (4 6 4) является сильным деформационным ретрактом пространства С([0,11,Я») X £([0Д],Дт)

Во втором разделе этого параграфа изучается управляемость системы (4 6 3), (4 6 4) в случае, когда отображение / удовлетворяет условиям

Ь), Ь) и условию

13) существует суммируемая функция т = т(£) такая, что для любых (х, и) 6 Дп х Дт и почти всех Ь 6 [0,1] выполнено неравенство |/(4,х,«)| <ш(4)

Имеет место следующая теорема

4 6 8. Теорема Пусть система х' + А(Ь)х + Вфи = 0 управляема Пусть отображение / удовлетворяет условиям Д, /г и условию 13 Тогда система (4 6 3) является управляемой, для любых х$, Х\ € Яп множество решений задачи (4 6 3), (4 6 4)

Ы{ха, хх) С Ж7([о,1],л») х

является неограниченным и

йгт(Ы(х о, Ж1)) = оо

Список литературы

[1] Гельман Б Д О структуре множества решений включений с многозначными операторами /БД Гельман // Глобальный анализ и мат физика - Воронеж, 1987 - С 26-41

[2] Гельман Б Д Топологическая структура множества неподвижных точек многозначных отображений /БД Гельман // Тезисы IX международной конференции по топологии и ее приложениям (12-16 октября 1992 г) - Киев,1992 - С 13

[3] Гельман Б Д Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений /БД Гельман // Мат сб - 1997 -Т 188, N 12 - С 33-56

[4] Гельман Б Д Точки покоя обобщенных динамических систем /БД Гельман // Мат заметки - 1999 - Т65, вып 1 - С 28-36

[5] Гельман Б Д Топологическая размерность множества решений задачи Коши для дифференциальных включений /БД Гельман // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика - 2000 - Вып 1 -С 107-115

[6] Гельман Б Д Обобщенная теорема о неявном отображении /БД Гельман // Функциональный анализ и его приложения - 2001 - Т 35, вып 3. - С 183-188

[7] Гельман Б Д О топологической размерности множества решений операторных включений, содержащих сюръективные операторы /БД Гельман // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика -2001 - Вып 1 - С 75-80

[8] Гельман Б Д О топологической структуре множества неподвижных точек абстрактного уравнения Вольтерра /БД Гельман // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика - 2001 - Вып 2 - С 63-66

[9] Гельман Б Д Об одном классе операторных уравнений /БД Гельман // Мат заметки - 2001 - Т 70, вып 4 - С 544-552

[10] Гельман Б Д Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений /БД Гельман // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика - 2002 - Вып 2 - С 50-55

[11] Гельман Б Д Теорема Борсука-Улама в бесконечномерных банаховых пространствах/ Б Д Гельман // Мат сб - 2002 - Т 193, N 1 -С 83-92

[12] Гельман Б Д Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама / Б Д Гельман // Функциональный анализ и его приложения - 2004

- Т 38, N 4 - С 1-5

[13] Гельман Б Д Об операторных включениях с сюръективными операторами /БД Гельман // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика - 2005 - Вып 2 - С 115-123

[14] Гельман Б Д Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижные точки /БД Гельман // Мат заметки - 2005

- Т 78, вып 2 - С 212-222

[15] Gel'man В D On operator equations with surjective operators / В D Gel'man // Междунар конф "Колмогоров и современная математика" M Тез докл - M 2003 - С 165-166

[16] Gel'man В D Topological properties of the set of fixed points for multivalued maps / В D Gel'man // International Congress of Math Zurich, 1994 - P 59

[17] Gel'man В D On acyclicity of a set of solutions of operator inclusions / В D Gel'man // International conference on topology and its applications, may 28 - june 4 - 1995 - P 20

[18] Gel'man В D On topological dimension of a set of solutions of functional inclusions / В D Gel'man // Differential Inclusions and Optimal Control, Lecture Notes m Nonlinear Analysis -1998 - V 2 - P 163-178

[19] Gel'man В D On the structure of the set of solutions for inclusions with multivalued operators / В D Gel'man // Lecture Notes m Math , Springer-Verlag - N 1334 - P 60-78

Формат 60x84 1/16 Уел деч л 1,9 Тираж 100 экз Заказ 1585

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, г Воронеж, ул Пушкинская, 3

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений

§1. Основные факты теории многозначных отображений

§2. Непрерывные сечения многозначных отображений.

§3. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений.

§4. Однозначные сечения и аппроксимации пересечения многозначных отображений.

Глава 2. Неподвижные точки многозначных отображений

§1. Сжимающие многозначные отображения.

1.1. Квазиметрика Хаусдорфа.

1.2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений

1.3. Многозначные сжимающие отображения зависящие от параметра

§2. Гомотопические классы. Теорема биекции.

§3. Вращение вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми образами.

Глава 3. О некоторых топологических свойствах множеств решений дифференциальных уравнений и включений

§1. Топологическая размерность множества решений дифференциальных включений.

1.1. Топологическая размерность множества ненодвижных точек многозначных отображений.

1.2. О топологической размерности множества решений дифференциальных включений.

§2. Связность и ацикличность множества решений дифференциальных и интегральных уравнений и включений.

2.1. Принцип связности Красносельского-Перова множества неподвижных точек многозначных отображений

2.2. Ацикличность множества неподвижных точек многозначных отображений

2.3. Ацикличность множества решений интегрального включения Вольтерра.

§3. Точки покоя обобщенных динамических систем

§4. О топологической структуре множества решений абстрактного уравнения Вольтерра.

Глава 4. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений соболевского типа

§1.0 некоторых свойствах сюръективных операторов.

§2. Вырожденные дифференциальные уравнения с липшицевой правой частью

2.1. Разрешимость операторных уравнений с липшицевой правой частью

2.2. О разрешимости задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений.

§3. Вырожденные дифференциальные уравнения с компактной правой частью

3.1. Разрешимость и свойства множества решений операторных уравнений с а-вполне непрерывной правой частью.

3.2. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений с компактной правой частью

§4. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных включений.

4.1. Существование решений и топологическая размерность множества решений операторных включений

4.2. Разрешимость задачи Коши для вырожденных дифференциальных включений.

§5. О решениях вырожденных дифференциальных уравнений с нечетной правой частью.

5.1. Теорема Борсука-Улама в бесконечномерных банаховых пространствах

5.2. О некоторых приложениях теоремы Борсука-Улама

§6. О некоторых задачах управляемости.

6.1. Об управляемости нелинейных систем с липшицевой правой частью

6.2. Об управляемости нелинейных систем с компактной правой частью

Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась в середине 20-го века и сразу нашла многочисленные приложения в различных разделах математики: в теории управляемых систем (А.Ф. Филиппов [78], Т. Важевский [141], В.Г. Болтянский [9], В.И. Благодатских [6], Ж.-П. Обэн [85], Б.Ш. Мордухович [61], К. Дейм-линг [94] и др.), в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (Е.А. Барбашин [3], [4], А.Ф. Филиппов [79], [80] и др.), в теории дифференциальных игр (Н.Н. Красовский [50], А.И. Субботин [51], А.Б. Куржанский [56], [57] и др.), выпуклом анализе и теории экстремальных задач (Р. Рокафеллар [68], А.Д. Иоффе и В.М. Тихомиров [48], И. Экланд и Р. Темам [82], Б.М. Пшеничный [65], Ф. Кларк [49] и др.), в теории обобщенных динамических систем (Е.А. Барбашин [2], А.Д. Мышкис [62], Е. Роксин [139], К.С. Сибирский [66] и др.) и многих других.

Теория дифференциальных включений, которая возникла в работах С. Зарембы [142] и А. Маршо [124], [125], после работ А.Ф. Филиппова и Т. Важевского стала широко использоваться для описания управляемых систем с обратной связью. В настоящее время имеется несколько достаточно содержательных и подробных монографий целиком или в значительной своей части излагающих различные аспекты теории дифференциальных включений. К числу таких работ можно отнести монографии Ф. Кларка, Б.Ш. Мордуховича, А.А. Толстоногова, А.Ф. Филиппова, Ж.П. Обена и А. Челлины, К. Даймлинга и некоторых других.

Отметим, что подробная библиография но теории многозначных отображений и их приложений до 1990 года содержится в обзорах: [15], [16], [44].

Существенное место в теории многозначных отображений занимает проблема изучения операторных включений вида f(x) е Ф(я) х 6 Ф(х).

Решения этих включений в различных задачах могут интерпретироваться как оптимальные стратегии, равновесные цены, оптимальные траектории, точки покоя обобщенных динамических систем и т.д. Включения такого вида естественно возникают в теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других вопросах современной математики.

Современная теория неподвижных точек многозначных отображений была построена в работах С. Какутани [117], С. Эйленберга и Д. Монтгомери [98], А. Гранаса [113], И. Яваровского [115], А.Д. Мышкиса [62], Л. Гурневича [111], Ю.Г. Борисовича, автора, В.В. Обуховского и многих других. Отметим, что некоторые результаты работы Воронежской школы в этом направлении подытожены в обзоре [13].

В настоящий момент актуальной задачей является изучение топологических свойств множества решений операторных включений. Некоторые результаты в этом направлении были получены в работах Ж.-М. Ласри и Р. Робера [120], Б. Ричери [130], Ж. Сан Раймонда [137], автора [30] и др. Они интерпретируются как топологические свойства множества решений дифференциального или интегрального включения, свойства множества решений управляемой системы и т.д.

Интересные приложения теория многозначных отображений нашла при изучении вырожденных дифференциальных уравнений ах)' = f(t,x) и a(x') = f(t,x).

Сингулярные дифференциальные уравнения имеют много конкретных интерпретаций (см., например, монографии [70], [99] и библиографию в них). Одним из первых задачу Коши для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных, изучал C.JL Соболев [72]. С тех пор уравнения такого вида принято называть уравнениями соболевского типа. Абстрактные дифференциальные уравнения соболевского типа изучались в работах [25], [47], [5], [69] и многих других.

Целью работы является доказательство новых теорем существования решений дифференциальных уравнений и включений и изучение топологических свойств множества этих решений, основанное на исследовании топологических свойств множества неподвижных точек многозначных отображений и множества решений операторных включений.

К главным результатам можно отнести следующие:

1. Доказаны теоремы о топологической размерности интегральной воронки дифференциального включения.

2. Доказана теорема об ацикличности множества решений интегрального включения Вольтерра и выделен класс обобщенных динамических систем (аппроксимируемые динамические системы), для которого удается доказать теоремы о существовании точек покоя.

3. Доказаны теоремы существования решений задачи Коши для нового класса вырожденных дифференциальных уравнений соболевского типа у которых правая часть является липшицевой по второму аргументу. Исследованы топологические свойства множества решений таких уравнений.

4. Доказаны теоремы существования решений задачи Коши для нового класса вырожденных дифференциальных уравнений и включений соболевского типа у которых правая часть является вполне непрерывной. Исследованы топологические свойства множества решений таких уравнений.

5. Исследованы свойства множества решений задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений соболевского типа у которых правая часть является нечетной по второму аргументу.

В работе развивается операторный подход к исследованию поставленных задач. При этом используются методы многозначного анализа, нелинейного функционального анализа и топологии.

Работа состоит из введения и четырех глав.

Первая глава является вспомогательной. Она посвящена изложению основных фактов теории многозначных отображений. В ней излагается предложенный автором ([38], [43]) новый простой подход к доказательству теорем о непрерывных однозначных сечениях и ^-аппроксимациях многозначных отображений с выпуклыми замкнутыми образами, которые используются в дальнейшем на протяжении всей работы. Подробная библиография по непрерывным сечениям многозначных отображений содержится в работах [67], [136].

Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство, F : X —> P(Y) - многозначное отображение.

1.2.1. Определение. Непрерывное отображение / : X ->Y называется сечением многозначного отображения F, если для любой точки х Е X выполнено включение f(x) Е F(x).

1.3.1. Определение. Многозначное отображение G : X —► P(Y) называется е-аппроксимацией многозначного отображения F, если график Tj^G) отображения G принадлежит е-окрестностпи графика Tx{F) многозначного отобраэюения F.

В случае, если G является однозначным непрерывным отображением, говорят, что G - однозначная ^-аппроксимация многозначного отображения F.

1.3.2. Теорема. Пусть F : X —> Cv(Y) - полунепрерывное сверху многозначное отображение, тогда для любого £ > 0 существует полунепрерывное снизу многозначное отобраоюение Fe : X —> Cv(Y) удовлетворяющее следующим условиям:

1) F£(x) = (Е (pj(x)Aj), где {<Pj}jeJ - разбиение единицы, построенjeJ ное по некоторому локально конечному покрытию пространства X; {Aj}jej, - выпуклые замклсутые множества в пространстве Y;

2) F{x) С Fe(x) для любого х £ X;

3) график Vx{F£) С U£(TX(F)).

4) Fe{X) С co(F()Г»;

Опираясь на эту теорему и теорему Майкла о сечениях, легко получается теорема Челины о существовании однозначных непрерывных ^-аппроксимаций.

Также в этой главе доказана следующая теорема. 1.4.2. Теорема. Пусть F{ : X —> Cv(E), i = 0,1,., А;, - полунепрерывные снизу многозначные отображения, Gj : X Cv(E), j = 1,., s, - полунепрерывные сверху многозначные отображения. Если для любого х G X пересечение пвд)п i=0 j=l то для любого е > 0 существует непрерывное отображение /£ : X —> Е удовлетворяющее следующим условиям:

1) fe является непрерывным сечением многозначного отображения Fq;

2) для любого х € X расстояние p(f£(x), Fi(x)) < е, г = 1,., к;

3) отображение f£ является е-аппроксимацией многозначных отображений Gj, j = 1,., s.

Вторая глава диссертации посвящена изложению основных фактов теории неподвижных точек многозначных отображений. Для многозначных отображений, также как и для однозначных, существует различные подходы к изучению неподвижных точек, это метрические (сжимающие многозначные отображения) и топологические. В настоящей главе коротко рассмотриваются оба эти подхода.

В первом параграфе этой главы изучаются многозначные сжимающие отображения и доказывается теорема о неподвижной точке, обобщающая теорему Надлера.

2.1.5. Теорема. Пусть X - полное метрическое пространство, Br[xq] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке xq. Пусть F : Br[xо] —>• С(Х) многозначное отображение. Пусть существует число к 6 [0,1) такое, что выполнены следующие условия:

1) p(xQ,F{x0)<R{l-k),

2) для любой точки х G Br[xq] пересечение F{x) П Br[xо] ф 0,

3) для любых х G Br[xq] и у € (F(x)nBR[xо]) справедливо неравенство p,(F(x)nBR[xo\,F{y)) < kp(x,y). Тогда, для любого числа Ri удовлетворяющего неравенству p(x0}F(x0) <RX< R{l-k), существует неподвижная точка х* отображения F такая, что

Более того, среди неподвиоюных точек отображения F существует точка х* такая, что 2 р(я0,£*) < о))

Также в этой главе изучаются многозначные сжимающие отображения, зависящие от параметра.

Пусть Е - банахово пространство, X - замкнутое выпуклое подмножество в Е, Y - метрическое пространство. Пусть многозначное отобра,-жение F : X хУ —> Ci;(X) удовлетворяет следующим условиям: (%) существует такое число к £ [0,1), что для любых х',х" £ X и любого yeY справедливо неравенство: h(F(x',yy,F(x'\y)<k\\xf-x'%

2) многозначное отображение F - полунепрерывно снизу по совокупности переменных.

Справедлива следующая теорема.

2.1.10. Теорема. Пусть выполнены условия (1), (2), пусть А - замкнутое подмножество в Y, f : А —> X - непрерывное отображение такое, что f(y) £ F(f(y),y) для любого у £ А.

Тогда существует непрерывное отображение g :Y —> X удовлетворяющее условиям: а) g(y) £ F(g(y),y) для любого у £ Y; б) отображение g является непрерывным продоло/сением отображения I, т.е. д\А = /.

В качестве следствия этой теоремы, доказывается теорема о структуре множества неподвижных точек многозначных сжимающих отображений.

2.1.12. Теорема. Пусть X - замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства Е, F : X —» Cv(X) - многозначное сжимающее отображение. Тогда множество К неподвижных точек этого отображения является сильным деформационным ретрактом пространства X.

Эта теорема уточняет теорему Ричери [137], в которой доказано, что в условиях теоремы 2.1.12 множество К является ретрактом пространства X .

Вторая часть этой главы посвящена доказательству теоремы биекции для многозначных векторных полей и построению теории вращения (топологической степени). Теоремы биекции для различных классов многозначных векторных полей изучались в работах [И], [12], [16] и других. В настоящем параграфе излагается предложенный автором подход к этой проблеме.

Пусть v : X —> Е - фиксированное непрерывное собственное однозначное отображение, F : X —» Kv(E) - полунепрерывное сверху компактно е многозначное отображение. Рассмотрим многозначное отображение ф = у — F : X —» Kv(E). Такое отображение называется многозначным векторным полем с главной частью v и компактной частью F. Пусть А - замкнутое подмножество в X, а В - компактное подмножество в Е.

2.2.4. Определение. Будем говорить, что многозначное компактное векторное поле Ф допустимо относительно пар (X, А) и (Е,Е\В), еслиФ(А) С (Е\В). Обозначим V((X, А); (Е,Е\В)) множество допустимых многозначных компактных векторных полей с главной частью

Вводится определение гомотопности допустимых многозначных компактных векторных полей, которое является отношением эквивалентности в множестве

V((X,A)-,(E,E\B)). Обозначим множество различных гомотопических классов

ЩХ,А)-,(Е,Е\В)].

Так как однозначное непрерывное компактное отображение является частным случаем полунепрерывного сверху компактного многозначного отображения, то в множестве

V((X,A);(E,E\B)) можно выделить подмножество

Щ(Х,А);(Е,Е\В))

- множество допустимых однозначных непрерывных компактных векторных полей с главной частью v. Для которых также определяется понятие гомотопности, которое также разбивает множество

V0((X,A)-,(E,E\B)) на множество различных гомотопических классов.

Очевидно, что гомотопический класс поля <р из множества

Щ(Х,А);(Е,Е\В)] вкладывается в гомотопический класс этого же поля из множества

ЛГ[(Х,А);(Е,Е\В)]. 15

Возникает некоторое отображение вложения множества

Щ(Х,АУ,(Е,Е\В)] во множество

ЩХ,А);(Е,Е\В)].

2.2.6. Теорема. Отображение вложения г : Щ(Х, А)] (Е, Е\В)]—> ЩХ, А); (Е, Е\В)], устанавливает биективное соответствие между этими множествами.

Теорема биекции играет основопологающую роль в построении топологических инвариантов многозначных векторных полей с выпуклыми образами. В диссертации рассмотривается абстрактная схема этого построения.

Отображение y.V0((X,Ay,(E,E\B))->G, называется топологическим инвариантом на множестве

V0((X,Ay,(E,E\B)), если из того, что o,<PieV0((X,A);(E,E\B)) и ipo гомотопно cpi в этом множестве, вытекает, что 7(^0) = 7(^1) ■

Множество Go С G называется существенным для топологического инварианта 7, если, для любого поля из того, что 7{if) € Gq, вытекает, что В С ф{Х).

16

Аналогично можно определить понятие топологического инварианта на множестве Т>((Х, Л); (Е, Е \ В)). Справедлива следующая теорема. 2.2.8. Теорема. Пусть топологический инвариант j:Vq((X,A);(E,E\B))-,G такой, что множество Go С С является для него существенным. Тогда существует единственный топологический инвариант

7 :V((X,A);(E,E\B))->G такой, что: a) если <р = v — f - однозначное векторное поле, то j(<p) = 7(ip); b) если Ф = v - F е V({X, А)-, (Е, Е\В)) и 7(Ф) G G0, то В С Ф{Х), т.е. множество Go также является существенным для 7.

В заключение главы, основываясь на теореме 2.2.8, дается построение вращения (топологической степени) многозначных векторных полей и приводятся его свойства.

Третья глава диссертации посвящена изучению топологических свойств множеств решений дифференциальных и интегральных включений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [26], [30], [108], [32], [35].

Первый параграф этой главы посвящен исследованию топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений Каратеодоревского типа. Топологическая размерность множества решений других типов дифференциальных включений изучалась в работах [86], [87].

Изучение топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений основано на изучении топологической размерности множества неподвижных точек многозначных отображений. Эта проблема изучалась в работах Ж. Сан Раймонда [130], автора [26], [30], [104] и др.

Говорят, что топологическое пространство X имеет топологическую размерность dim(X) < п, если в любое конечное открытое покрытие X можно вписать конечное открытое покрытие кратности < п + 1.

Из этого определения вытекает, что если существует конечное открытое покрытие пространства X такое, что в него нельзя вписать конечное открытое покрытие кратности < п, то dim(X) > п. Топологическая размерность обладает рядом замечательных свойств (см., например, [1], [45]).

Пусть Е - банахово пространство, U - ограниченное открытое множество в Е, F : U Kv(E) - компактное многозначное отображение. Обозначим Л^Ф, U) множество неподвижных точек F.

3.1.3. Следствие. 1) Пусть F : U Kv(E) - непрерывное компактное многозначное отображение. Если: a)$ = i-F е&{у,ди), b)<у(Ф,Т7)?0, c) dim(F{x)) > п для любого х € U, то dim(N^,U)) > п.

2) Пусть Т - ограниченное выпуклое замкнутое подмножество банахова протранства Е, пусть F :Т Kv(T) - непрерывное компактное многозначное отображение. Если dim(F(x)) > п для любого х £Т, то dim(N(i - F,T)) >п.

Справедлива также следующая теорема о локальной размерности множества неподвижных точек.

3.1.5. Теорема. Пусть F : U —*■ Kv(E) - непрерывное компактное многозначное отображение, Xq Е U - неподвижная точка отображения F. Если существует открытая окрестность W С U точки Xq и вполне непрерывное сечение f : W —>• Е отображения F такие, что: 1) точка xq является единственной особой точкой вполне непрерывного поля </? = i — f; 2) ind(ip, Хо) Ф 0. Тогда для любого е > 0 размерность dim(NXo>£(i - F,U)) > dim(F(x0))t где

NXo>s(i - F,U) = {x6 N(i - F, U) | \\x-x01|< e}.

Основываясь на этих теоремах были получены результаты о локальной и глобальной топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений Каратеодоревского типа.

Пусть G - открытая область в Rl х Rn такая, что [£о, х В[:г0, г] С G, где B[xq, г] - замкнутый шар радиуса г с центром в точке Xq. Пусть F : G —> Kv(Rn) - многозначное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) F(t, •) : В[хо,г] —»■ Kv(Rn) является непрерывным многозначным отображением для почти всех t £ [to, to -f /*];

2) F(-,x) : [to, to + h] —► Kv{Rn) является измеримым для всех х € B{xQ,r\,

3) существует интегрируемые по Лебегу неотрицательные функции а, Ъ : такие, что для любого х € В\х$,г] выполнено неравенство: max || у ||< a(t) + b(t) [И| y£F(t,x) для почти всех t € [£oj £о +

Рассмотрим следующую задачу: х € F(t,x), x(to) = Xq. Обозначим to+d],Xo) множество решений этой задачи на промежутке [to, to+d}. Справедлива следующая теорема.

3.1.14. Теорема. Пусть F удовлетворяет условиям 1,2,3. Пусть множество

А = {t € [to,to + h) | dim((F(t,x)) > 1 для любого х Е В[хо,г]} измеримо и imm^njmо±м>0 h-> о h

Тогда существует такое число что для любого f3, 0 < (5 < J3q, множество £ = E([to) ^о + 0\, хо) Ф 0 и размерность dim(T,) = оо.

Если условие 1) заменить условием Г) F(t, •) : B[xq, г] —> Kv{Rn) является липшицевым с константой а для почти всех t G [to,to + h], т.е. h(F(t,x),F(t,y)) < а\\х — у\\ для почти всех t G [to, to + h].

Тогда имеет место следующая теорема.

3.1.16. Теорема. Пусть F удовлетворяет условиям Г, 2, 3. Пусть множество

А = {t е [to, to + h] \ dim((F(t, х)) > 1 для любого х € В[хо, г]} измеримо и lim M^njMo + Ч) > 0 h-*0 h

Тогда существует такое число (Зо> что для любого j3, 0 < (3 < (3q, множество £ = E([£o,io + Р],хо) / 0 и для любого е > 0, и любого решения у 6 Е, размерность dim(Ey,£) = оо, где

E^^^gEI \\z-y\\<e}.

Второй параграф этой главы посвящен изучению свойств связности и ацикличности множеств решений дифференциальных и интегральных включений.

В 1959 году М.А. Красносельский и А.И. Перов [55] доказали известный принцип связности множества неподвижных точек однозначных вполне непрерывных отображений. Этот принцип широко применяется для исследования связности множеств решений различных классов дифференциальных уравнений. В диссертации рассмотривается обобщение принципа Красносельского-Перова на случай многозначных отображений.

3.2.2. Следствие. Пусть F : U Kv(E) - вполне непрерывное многозначное отображение без неподвижных точек на dU. Пусть 7(г — F, U) т^ 0. Если для любого S > 0 и любой точки х\ Е N(i — F, U) существует однозначное вполне непрерывное отображение ДЖ1 : U —> Е такое,что:

1) fs,xi - является 5-аппроксимацией многозначного отображения F;

2) отображение ДХ1 имеет связное множество неподвижных точек

Ns,Xl;

3) существует точка у £ ЩХ1 такая, что || у — х\ ||< 5; тогда множество N(i — F,U) - непусто и связно.

В 1942 году Ароншайн [83] доказал, что интегральная воронка обыкновенного дифференциального уравнения является ацикличным множеством в пространстве непрерывных функций. Этот результат был обобщен в работе Ласри и Робера [120] на случай дифференциальных включений. В дальнейшем, ацикличность интегральной воронки была доказана для различных классов дифференциальных включений в работах

JI. Гурневича [110]; м.и. Каменского, В.В. Обуховского и П. Зекки [118] и др.

В настоящем параграфе рассматривается некоторая общая схема доказательства ацикличности множества решений операторных включений, опираясь на которую, устанавливается ацикличность множества решений интегрального включения Вольтерра.

Пусть X - метрическое пространство, Нп(Х, G) - когомологии Алексан-дера-Чеха пространства X с коэффициентами в группе G (см., например [73]).

3.2.7. Определение. Будем говорить, что пространство X является G-ацикличным, если приведенные когомологии

Hn{X,G) = 0 для любого п > 0.

В дальнейшем будем опускать G и говорить просто об ацикличности, считая группу G фиксированной.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства, X - замкнутое подмножество в Ei, / : X —> Е2 - однозначное непрерывное собственное отображение, F : X —> К{Е2) - полунепрерывное сверху многозначное отображение такое, что К = F(X) - компакт в Е2. Рассмотрим следующее операторное включение: f{x) € F{x).

Обозначим множество решений этого включения А и пусть А ^ 0. Имеет место следующее утверждение.

3.2.11. Теорема. Если для любого е > 0 существует непрерывное отображение де : [0,1] х А х X —> Е2, удовлетворяющее следующим условиям:

1) 9е([0,1] х А х X) - относительно компактно в

2) для любых (Л, х) G [0,1] х А непрерывное отображение

9lx=g£(X,x,-):X^E2 является е- аппроксимацией F, причем уравнение f(u) = ge(X,x,u) имеет непустое ациклическое множество решений.

3) при X = О и любом х 6 А справедливо тождество: f(x) = ge(0,x,x);

4) при X = 1 существует ао £ X такое, что f(aQ) = g£(l,x,ao) для любого х Е А.

Тогда множество А ациклично.

Опираясь на эту теорему удается доказать ацикличность множества решений интегрального включения Вольтера. Для включений такого вида ранее в работе А.И. Булгакова и JT.H. Ляпина [23] была установлена связность этого множества.

Пусть F : [a, b] х Rn —» Kv(Rn) - многозначное отображение, удовлетворяющее условиям:

A) F(t, •) : Rn —» Kv(Rn) - полунепрерывное сверху многозначное отображение для почти всех t € [а, 6],

B) F(-,x) : [а, Ъ] —»• Kv{Rn) содержит однозначное измеримое сечение для любого х 6 Rn;

C) max || у || < v(t), где u(t) - суммируемая функция на промежутке yeF(t,x) [а,Ъ].

Пусть v : [a, b] х [а, Ь] —> L{Rn) - однозначное отображение в пространство линейных непрерывных операторов в Rn, удовлетворяющее следующим условиям:

D) отображение г>(£, ■) : [а, Ъ] —> L(Rn) - измеримо для любого t G [а, Ь] и следующая функция k(t) = ыштах3фд || v(t,s) || ограничена на [a, fc];

23

Е) для любого t\ 6 [а, 6] предел lkn vraimaxs^b] || v(t,s) - v(ths) ||= 0.

Рассмотрим следующее интегральное включение: x(t) Eg(t) + t v(t,s)F(s,x(s))ds,

•j d подразумевая под этим, что x(t) е {y(t) = git) + /tv(t,s)h(s)ds | h(s) € F(s,x(s))

JO, для почти всех s £ [a, b]}, где g : [a, b] Rn - некоторое фиксированное непрерывное отображение.

3.2.19. Теорема. Пусть выполнены условия (А)-(Е), тогда множество решений К включения Вольтерра является ацикличным множеством в пространстве С^ацдпу

Третий параграф этой главы посвящен изучению проблемы существования точек покоя обобщенных динамических систем. Обобщенные динамические системы возникли в связи с изучением обыкновенных дифференциальных уравнений без единственности и дифференциальных включений.

В 1954 году в работе А.Д. Мышкиса [62] была поставлена задача исследования точек покоя обобщенных динамических систем. В ней данная задача сводилась к изучению неподвижных точек многозначных отображений. Однако, эта задача оказалась очень сложной, т.к. описать структуру образов многозначного отображения, возникающего при изучении этой задачи в размерностях больших 1, оказалось невозможно.

В настоящем параграфе выделяется класс обобщенных динамических систем, для которых соответствующие многозначные отображения име

24 ют специальный вид: они представляются в виде композиции однозначного непрерывного отображения и многозначного отображения с ациклическими образами. Так как для таких отображений развита теория неподвижных точек, то удается доказать некоторые теоремы о существовании точек покоя для динамических систем из этого класса.

Существует несколько различных определений обобщенной динамической системы (динамической системы без единственности). Наиболее распространенным является определение предложенное Е.А. Барбаши-ным.

Пусть X - топологическое пространство, R+ - множество неотрицательных чисел.

3.3.1. Определение. Многозначное отображение Ф : X х R+ —► К(Х) называется обобщенной односторонней динамической системой, если выполнены следующие условия:

1) Ф(-,0) : X —» X является idx;

2) для любых х £ X и £2 £ R+ справедливо равенство

3) многозначное отображение Ф полунепрерывно сверху;

4) для любого xQ 6 X многозначное отображение Ф(хо, К(Х) непрерывно.

Точкой покоя односторонней динамической системы Ф называется точка хо £ X такая, что жо £ Ф(жо, t) для любого t £ R+.

3.3.8. Определение. Будем говорить, что односторонняя динамическая система Ф является аппроксимируемой на множестве X, если существует последовательность однозначных динамических систем {fn},fn X х R+ X (аппроксимирующее семейство) таких, что выполнены следующие условия:

1) для любых (х, t) Е X х R+ предел lim^p(fn(x, t)\ Ф(ж, t)) = 0;

2) для любых е > 0, Т > 0 существует такое 5 = 6{е,Т) > 0, что для t0,ti Е [О, Г], ( t0—ti |< 6 справедливо неравенство p(fn(x, to)-, fn(x,ti)) < £ для любых п и х Е X.

Справедлива следующая теорема.

3.3.17. Теорема. Пусть X - компактное ANR-пространство, Ф -односторонняя динамическая система. Пусть выполнены следующие условия:

1) динамическая система Ф является аппроксимируемой на X;

2) существует такое Т 6 R+, что множество Я/(Х,Т) ациклично в X.

Тогда система Ф имеет в X точку покоя.

Четвертый параграф этой главы посвящен изучению топологической структуры множества неподвижных точек произвольного абстрактного оператора Вольтерра.

Пусть С^щ - пространство непрерывных вектор-функций со значениями в Rn, Т = Вг[0] С С[ад - замкнутый шар радиуса г с центром в нуле этого пространства. Пусть g :Т —> С^ц - вполне непрерывный оператор.

3.4.2. Определение. Будем говорить, что отображение g является оператором Вольтерра, если для любого е Е [0, b — а] и для любых функций х,у Е Т из того, что x(t) = y(t) для t Е [а, а + е] вытекает, что g{x){t) = g(y)(t) для t из того же промежутка [а, а + е].

Пусть отображение г : Rn —»■ С^ц является каноническим вложением, т.е. любому вектору h Е Rn сопоставляется функция x(t) = h для любого t Е [а, Ь]. Если То = Бг[0] - шар в пространстве Rn радиуса г с центром в нуле, то г (То) С Т. Рассмотрим отображение до : Т0 Rn определенное условием: go{h) = g(i(h))(0). Обозначим А{д) - множество неподвижных точек отображения д, а А(д0) - множество неподвижных точек отображения д0.

Имеет место следующая теорема.

3.4.4. Теорема. Пусть д : Т —>■ С[а>щ - вполне непрерывный оператор Вольтерра. Если существует £q > 0 такое, что для любого х £ Т норма образа ||</(я)|| < г — £ о, то отображение р : А(д) —> А(д$), р(х) = х(а), порождает изоморфизм групп когомологий Александера-Чеха этих пространств.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению разрешимости задачи Коши и исследованию свойств интегральной воронки следующих сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах: ax)' = f(t,x) и a(x') = f(t,x) в случае, когда а - замкнутый линейный сюръективный оператор, / -нелинейное отображение. Такие уравнения естественно возникают в теории дифференциальных уравнений.

Простейшим примером такой задачи является следующая конечномерная система:

Ф') = f{t,x), а(х(0)) = уо, где а : Rn —>■ Rk - линейный сюрьективный оператор, / : [О, Т] х Rn —> Rk - непрерывное отображение, уо - фиксированная точка из Rk.

Первый параграф этой главы посвящен изучению свойств замкнутых линейных сюръективных операторов.

Пусть Е\,Е2~ два банаховых пространства, D(a) - линейное многообразие в Ei, a: D(a) С Е\ —» Е2 - замкнутый линейный оператор, Кег(а) - ядро оператора а. Рассмотрим многозначное отображение а"1 : Е2 Cv{Ei), а'1 (у) = {х G Ех \ а{х) = у}.

Число ii-iii ,M{\\x\\\xeEha{x) = y} ||а ||= sup (-r-r-) veE3,y?o \\у\\ будем называть нормой многозначного отображения а-1.

В этом параграфе приводятся некоторые примеры вычисления норм, доказывается липшицевость многозначного отображения а-1 и изучаются некоторые другие свойства этого отображения.

Второй параграф этой главы посвящен изучению задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения с липшицевой правой частью.

Первый раздел этого параграфа посвящен изучению операторного уравнения, у которого левая часть является замкнутым сюръективным оператором, а правая липшицево отображение.

Пусть Ei, Е2 - два банаховых пространства, а : D(a) —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, / : Ei —> Е2 - липшицево отображение, т.е. существует константа с > 0, такая, что для любых xi,x2 6 Ei выполнено неравенство: \\f(xi) - f(x2)|| < с||з;1 - Ж2Ц.

Изучается следующее уравнение: а(х) = f{x). (4.2.1)

Пусть N(a, /) множество решений этого уравнения, т.е.

N(aJ) = {xeEi\ a(x) = f(x)}.

4.2.1. Теорема. (1) Если с < jjpijp то множество решений N(a,f) непусто и является сильным деформационным ретрактом пространства Е\.

2) Если кроме этого Кег(а) ф {0}, то N(a,f) содержит, по крайней мере, две точки.

Рассмотрим теперь разрешимость уравнения (4.2.1) в шаре банахова пространства Е\.

Пусть Жо Е Е\ — некоторая точка, Br[xо] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке xq, f : Br[xq] —Е2 - липшицево отображение с константой Липшица с.

4.2.2. Теорема. Пусть отображения а и f удовлетворяют следующим условиям:

1)с< ф\\>

2) существует такая точка € D(а), что а(уо) = f(x0) и x0-y0\\<(l-c\\a-l\\)R.

Тогда уравнение (4-2.1) имеет решение в шаре Вц[хо].

Изучается также разрешимость уравнения (4.2.1) на сфере банахова пространства Е\.

Полученные теоремы применяются для изучения вырожденных дифференциальных уравнений.

Пусть а : D(a) С Е\ —» Е2 - линейный замкнутый сюръективный оператор, хо 6 D(a) - некоторая точка, Br[xq] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке / : [0,Т] х Br[xq] —> Е2 - отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

Li) / непрерывно по совокупности переменных; (Ь2) / липшицево по второму аргументу с константой Липшица с. Рассмотрим следующую задачу: ах)'= f(t,x), (4.2.3) а(:е(0)) = а(х0). (4.2.4)

Обозначим £(:го, [0,/1]) ~ множество решений задачи (4.2.3), (4.2.4) на промежутке [0, h].

Имеет место следующая теорема.

4.2.6. Теорема. При сделанных предположениях существует такое ho > 0, что задача (4-2.3), (4-2.4) имеет решение на промежутке

ОМ

В случае если правая часть дифференциального уравнения (4.2.3) определена на [0, Т] х Е\ и удовлетворяет условиям (Ь\) и (Ь2), то можно больше сказать о свойствах множества решений задачи (4.2.3), (4.2.4).

4.2.7. Теорема. (1) При сделанных предположениях, существует такое h> 0, что задача (4-2.3), (4-2-4) имеет решение на промеэ/сут-ке [0, h], и множество решений Ti(xq,[0,/г]) является сильным деформационным ретрактом пространства С^л],^)

2) Если Кег(а) Ф {0}, то задача (4-2.3), (4-2-4) имеет, по крайней мере, два решения.

3) Если Кег(а) ф {0}, и существует такое число т, что \ \f(t,x)\\ < т для любых (t,x) G [0,Т] х Е\, то множество решений Е(жо, [0, К\) является неограниченным.

Третий параграф четвертой главы посвящен изучению вырожденных дифференциальных уравнений, у которых правая часть является вполне непрервной.

Первый раздел этого параграфа посвящен изучению операторного уравнения, у которого левая часть является замкнутым сюръективным оператором, а правая а-вполне непрерывное отображение.

Пусть Е\,Е2 - банаховы пространства, а : D(a) С Е\ —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть отображение / : X С Е\ —* Е2.

4.3.2. Определение. Будем говорить, что отображение / - вполне \ непрерывно по модулю отображения а (или а-вполне непрерывно), если оно непрерывно и для любого ограниченного множества А С Е2 и любого ограниченного множества В С X множество f(BC]a~1(A)) является компактным. Пустое множество по определению считается компактным.

Изучим разрешимость операторного уравнения (4.2.1) в случае когда отображение / является а-вполне непрерывным.

4.3.7. Теорема. Пусть а : D(a) С Е\ —> Е2 - замкнутый сюръективный линейный оператор, пусть а-вполне непрерывное отображение f : Ei —> Е2 удовлетворяет следующиму условию: существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х 6 Ei справедливо неравенство: \\f(x)\\ < сЦяЦ + d. Если с < цртц; то N(a, /) Ф 0.

При некоторых естественных предположениях, множество N(a, /) является неограниченным и можно оценить размерность множества решений уравнения (4.2.1).

4.3.12. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 4-3.7, тогда dim(N(a, /)) > dim{Ker{a)).

Рассмотрим уравнение (4.2.1) на шаре в пространстве Е\.

31

Пусть Xq G Ei - некоторая точка, Br[xо] - замкнутый шар радиуса R с центром в xq, / : Br[xо] —► Е2 - вполне непрерывное отображение.

4.3.14. Теорема. Если существует такое число к > ||я1||, что для любой точки х 6 Br[xq] справедливо неравенство ф0)-Д*)||<р то уравнение (4.2.1) имеет решение и топологическая размерность dim{N(aJ)) > dim(Ker(a)).

Во втором разделе этого параграфа полученные теоремы применяются к изучению разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений с компактной правой частью.

Пусть а : D(a) С Ei —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, xq £ Ei - произвольная точка,

Br[x0] = {хеЕх\ ||я-ж0|| < R}

- замкнутый шар в пространстве Ei, f : [О, TJ х Br[x0] —► Е2 - непрерывное компактное отображение. Рассмотрим следующую задачу: ax' = f(t,x), (4.3.8.) s(0) = xq. (4.3.9.)

Имеет место следующая теорема.

4.3.15. Теорема. При сделанных предположениях существует h > о такое, что задача (4-3.8), (4-3.9) имеет решение на промежутке [0, h]. Если Кег(а) ^ {0}, то топологическая размерность dim(Tl(xQ, [0,/i])) = оо.

Рассмотрим теперь следующую задачу: ах)' — f(t, х),

4.3.11) а(х(0)) = а(х0).

4.3.12.)

Имеет место аналогичная теорема.

4.3.16. Теорема. При сделанных предположениях существует h > О такое, что задача (4-3.11), (4.3.12) имеет, решение на промежутке

Если Кег(а) Ф {0}; то топологическая размерность dim(Y,(xo, [0,/i])) = оо.

В четвертом параграфе четвертой главы результаты §3 обобщаются на случай вырожденных дифференциальных включений (ах)' £ F(t,x), где а - замкнутый линейный оператор, F - а-вполне непрерывное многозначное отображение. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [34], [42].

Для операторных включений вида где а является линейным замкнутым сюрьективным оператором, F - а-вполие непрерывным многозначным отображением, доказана следующая теорема.

4.4.7. Теорема. Пусть многозначное отображение F : Е\ —» Kv(E2) удовлетворяет следующим условиям:

1) F - а-вполне непрерывно;

2) существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого

О, Л]. а(х) € F(x),

4.4.1) х Е Е\ справедливо неравенство: min ||г/|| < с\\х\ \ +d. yeF(x)

Если с < (|ртц; то N(a, F) является непустым множеством и dim{N{a,F)) > dim(Ker(a)).

В случае, если многозначное отображение F является непрерывным многозначным отображением, то в теореме 4.4.7 можно уточнить оценку размерности множества N(a,F).

4.4.10. Теорема. Пусть многозначное отображение F : Е\ —» Kv(E2) удовлетворяет следующим условиям:

1) F - непрерывно и а-компактно;

2) dim(F(x)) > т для любого х € Е\;

3) существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х € Ei справедливо неравенство: min [|у|| < с\\х\ \ + d. yeF{x)

Если с < то множество N(a, F) непусто и dim(N(a, F)) > dim(Ker(a)) 4- т.

Применим доказанные теоремы к изучению следующей задачи. Пусть Ei,E2 ~ сспарабельныс банаховы пространства, а : D(a) С Ei —> Е2 - линейный замкнутый сюръективный оператор, Xq Е D(a) - некоторая точка, F : [0,Т] х Е\ —> Kv(E2) - вполне непрерывное многозначное отображение.

Рассмотрим следующую задачу: ах)' eF(t,x), (4.4.6) а(х(0)) = а{х о). (4.4.7)

34

Решением задачи (4.4.6), (4.4.7) на промежутке [0, h], 0 < h < Т, называется абсолютно непрерывная функция х* : [0, h] —> D(а) С Ei такая, что (ax*(t))' Е F(t, x*(t)) для почти всех t Е [0, h] и а(гЕ*(0)) = а(хо). Обозначим Е(хо, [0, h]) - множество решений этой задачи на промежутке

О, Л].

Имеет место следующая теорема.

4.4.13. Теорема. (1) Если многозначное отображение F удовлетво-i ряет следующему условию: а) существуют такие числа d\ и d2, что для любых (t,x) Е [0,Т] х Е\ справедливо неравенство: max \\у\\ <di||a;|| + d2, yeF(t, х) то существует число h Е (О,Т] такое, что задача (4-4-6), (4-4-V име~ ет решение на промежутке [0, h],

2) Если выполнено условие (а) и Кег(а) ф {0}7 то множество Е(жо, [0, h]) является неограниченным и dim(E(x{), [0, /г])) = со.

В пятом параграфе четвертой главы изучаются некоторые свойства решений следующей задачи: йх)' = f(t,x), (4.5.4) а(х{ 0)) = 0, (4.5.5) в случае, когда правая часть /(£, х) является нечетным по х отображением и Кег(а) ф {0}. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [39], [41].

Для изучения этой задачи используется бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама, доказанная автором.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства, а : D{a) С Е\ —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть 5Г(0) - сфера радиуса г

35 с центром в нуле пространства В\, отображение / : D(f) С Sr(0) —> Е2 удовлетворяет следующим условиям:

1) Я(/) = Я(а)П5г(0);

2) /(—ж) = —/(ж) для любого х е D(f)\

3) отображение / является а-вполне непрерывным.

Обозначим множество решений этого уравнения N(a,f) С £г(0). 4.5.3. Теорема. Если dim(Ker а) > 1, то уравнение (4-2.1) на сфере Sr{0) имеет решение и dim(N(a,f)) > dim(Ker а) — 1.

Нетрудно проверить, что эта теорема является естественным обобщением теоремы Борсука-Улама на случай бесконечномерных банаховых пространств.

Пусть Е\,Е2 - банаховы пространства, а : D(a) С Е\ —> Е2 - линейный замкнутый сюръективный оператор и Кег(а) ф {0}. Пусть / : [0, оо) х Е\ —► Е2 — вполне непрерывное отображение, нечетное по второму аргументу. Рассмотрим задачу (4.5.4), (4.5.5).

Изучается следующий вопрос: существует ли решение х* задачи (4-5-4), (4-5-5) на заданном промежутке [0,/г] такое, что шах )|я*00|| = М, где М • некоторое наперед заданное число. В этой связи отметим работы С. А. Брыкалова [20], [91], в которых изучались решения дифференциальных уравнений с заданными максимумом и минимумом.

Пусть Ем(0, [0, h]) - множество решений этой задачи на промежутке [0,Л].

Имеет место следующая теорема.

4.5.4. Теорема. При сделанных предположениях, для любого числа h > 0 и любого числа М > 0 множество Ел/(0, [0,/г]) ф 0 и топологическая размерность dim(Y,M(%o, [0, h])) = оо.

В шестом параграфе четвертой главы теоремы о разрешимости операторных уравнений вида а(х) = f(x) будут применены к проблеме управляемости конечномерными нелинейными системами вида х' = Ах + Ви -f f(t, х, и), где А и В - линейные операторы, / - нелинейное возмущение. Ранее, подобная задача изучалась в работах [93], [123], [127] и многих других. Отметим работу [102], в которой для решения подобной задачи применялись топологические методы. В настоящем разделе предлагается новый подход к решению этой задачи. Он позволяет не только доказать управляемость возмущенной системы, но и позволяет получить информацию о свойствах множества решений соответствующих краевых задач. Рассматрим управляемую систему: х' - A{t)x - B(t)u = 0, (4.6.1) х(0)=х0, x(l) = xh (4.6.2) где А : [0,1] L(Rn, Rn), В : [0,1] L(Rm, Rn) - суммируемые отображения.

Решением этой задачи будем называть такую пару (х = x{t), и = u(t)), х £ АСфЛцп}, управление и Е -£(|од],ят)> которые удовлетворяют уравнению (4.6.1) для почти всех t £ [0,1] и краевым условиям (4.6.2).

4.6.1. Определение. Будем говорить что система (4-6-1) вполне управляема, если задача (4-6.2) разрешима для любых Xq.xi £ Rn. Рассмотрим множество

D(a) = АСцр^дп) х Щ"щдт) С С([адл") х L™Q^Rmy

Пусть линейный оператор а : D(a) —> I^ij,^) х Rn Rn определен условием, a{x,u){t) = {x'(t) - A(t)x(t) - B(t)u(t),-.г(0),ж(1)).

37

Нетрудно проверить, что а является замкнутым линейным оператором.

4.6.2. Лемма. Система (4-6.1) вполне управляема, тогда и только тогда, когда оператор а является сюрьективным.

Некоторые критерии управляемости линейными системами содержатся в [60].

Рассмотрим теперь нелинейные системы. Пусть / : [0,1] х Rn х Rm —» Rn - отображение, удовлетворяющее следующим условиям: ^ 1\) для любых х Е Rn, и Е Rm отображение fXiU — /(•, х, и) : [0,1] —> Rn является сумируемым;

2) для почти всех t Е [0,1] отображение ft = f(t, •, ■) : Rn х Rm -> Rn является непрерывным;

3) существует такое число с > 0, что для любых х,у Е Rn, u,v Е Rm и почти всех t Е [0,1] выполнено неравенство f(t,x,u) - f(t,y,v)\\ < с()\х -y\\ + \\u-v\\).

Рассматрим следующую задачу: х' - A(t)x - B(t)u = /(£, ж, и), (4.6.3) х(0) = х0, х(1) = хи (4.6.4) где А : [0,1] L(Rn, Rn), В : [0,1] L{Rm, Rn) - суммируемые отображения.

Будем говорить что система (4.6.3) вполне управляема, если задача (4.6.3), (4.6.4) разрешима для любых XQ,X\ Е Rn. Имеет место следующая теорема.

4.6.3. Теорема. Пусть системах'—A(t)x — B{t)u — 0 вполне управляема. Пусть отображение f гудовлетворяет условиям 1\, /2 и /3. Если число с из условия /3 меньше цртц) то система (4-6.3) является вполне управляемой, причем, для любых XQ,X\ £ Rn, множество решений задачи (4-6.3), (4-6-4) является сильным деформационным ретрактом пространства Сдодьл») х Щщд™)

Во втором разделе этого параграфа изучается управляемость системы (4.6.3), (4.6.4) в случае, когда отображение / удовлетворяет условиям /i), /2) и условию

3) существует суммируемая функция m = m(t) такая, что для любых (х, и) е Я7! хГ и почти всех t 6 [0,1] выполнено неравенство: \f{t,x,u)\<m{t).

Имеет место следующая теорема.

4.6.8. Теорема. Пусть система х' + A{t)x + B(t)u = 0 управляема. Пусть отображение f удовлетворяет условиям I^h и условию /3. Тогда система (4-6.3) является управляемой, для любых х0,34 € Rn множество решений задачи (4-6-3), (4-6-4)

N{xq,x{) С АСф^дп) х L^0jl]tRm) является неограниченным и dim(N(xo,xi)) = 00.

1. Александров П.С. Введение в теорию размерности/П.С.Александров,B.А.Пасынков. М: Наука, 1973.

2. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических си-стем/Е.А.Барбашин// Учен. зап. МГУ. Математ. 1948. - вып.135, N2. - С. 110-113.

3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. /Е.А.Барбашин. -М: Наука, 1967.

4. Барбашин Е.А. К теории релейных дифференциальных уравне-ний/Е.А.Барбашин, Ю.И.Алимов// Изв. высших учебн. заведений. Математика. 1962. - N 1. - С. 3-13.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов/А.Г.Баскаков, К.И.Чернышов// Математ. сборник. 2002. - Т.193, N11. - С. 3-42.

6. Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений/В.И.Благодатских// Тр. мат ин-та АН СССР. 1984.C. 23-43.

7. Благодатских В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление/В.И.Благодатских, А.Ф.Филиппов// Тр. мат. ин-та АН СССР. 1985, т.169. - с.194-252.

8. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных зада-чах./Н.А.Бобылев, С.В.Емельянов, С.К.Коровин. -М: Магистр, 1998, 658 с.

9. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления/В.Г.Болтянский.- М: Наука, 1964, 408 с.

10. Богатырев А.В. Неподвижные точки и свойства решений дифференциальных включений/А.В.Богатырев// Изв. АН СССР. 1983. т.47, N 4. - С. 895-909.

11. Борисович Ю.Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. I./Ю.Г.Борисович// Геом. и теория особенностей в нелинейных уравнениях. Воронеж, ВГУ. 1987. - С.24-46.

12. Борисович Ю.Г. Современный подход к топологических характеристик нелинейных операторов. П./Ю.Г.Борисович// Глобал. анал. и нелинейн. уравнения. Воронеж, ВГУ. 1988. - С. 22-43.

13. Борисович Ю.Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных точек многозначных отображений/Ю.Г.Борисович, Б.Д.Гельман, А.Д.Мышкис и др.//Успехи мат. наук. 1980, т.35, N 1. - С. 59-126.

14. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений. /Ю.Г.Борисович, Б.Д.Гельман, А.Д.Мышкис и др. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986.

15. Борисович Ю.Г. Многозначные отображения./Ю.Г.Борисович, Б.Д.Гельман, А.Д.Мышкис и др.// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1982, т. 19. - С. 127-229.

16. Борисович Ю.Г. Многозначный анализ и операторные включения./Ю.Г.Борисович, Б.Д.Гельман, А.Д.Мышкис и др.// Совремснные проблемы математики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Новейшие достижения. 1986, т.29. - с. 151-211.

17. Борисович Ю.Г. О новых результатах в теории многозначных отображений./Ю.Г.Борисович, Б.Д.Гельман, А.Д.Мышкис и др.// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1987. т.25. - С. 121-195.

18. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. М: КомКнига (УРСС), 2005. - 214с.

19. Борсук К. Теория ретрактов/Борсук К. М: Мир. - 1971. - 291 с.

20. Брыкалов С.А. Решения с заданными минимумом и максимумом/ С.А. Брыкалов// Дифференциальные уравнения. 1993, т. 29, N 6. -С.938-941.

21. Будак Б.М. Дисперсные динамические системы/Будак Б.М.// Вестник МГУ. 1947, N8. - С. 135-137.

22. Будак Б.М. Понятие движения в обобщенной динамической систе-ме/Б.М.Будак// Учен.зап. МГУ. Математ. 1952, вып.155, N5. - С. 174-194.

23. Булгаков А.И. Некоторые свойства множества решений интегрального включения Вольтерра-Гаммерштейна/А.И.Булгаков, Л.Н.Ляпин// Диф. уравн. 1978, т. 14, N 8. - С. 1465-1472.

24. Булгаков А.И. О связности множеств решений функциональных включений/А.И.Булгаков, Л.Н.Ляпин// Матем. сборник. 1982, т. 119(161), N 2(10). - С. 295-300.

25. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения/М.И.Вишик// Мате-мат. сборник. 1956, т.39, N 1. - С. 51-148,

26. Гельман Б.Д. О структуре множества решений включений с многозначными операторами/Б.Д.Гельман// Глобальный анализ и матем. физика. Воронеж, ВГУ. 1987. - С. 26-41.

27. Гельман Б.Д. Обобщенная степень многозначных отображений/Б.Д.Гельман// Нелинейные операторы в глобальном анализе, Воронеж, ВГУ. 1991. - С. 34-51.

28. Гельман Б.Д. Топологическая структура множества неподвижных точек многозначных отображений/Б.Д.Гельман// Тезисы IX международной конференции по топологии и ее приложениям (12-16 октября 1992 г.), Киев. С. 13.

29. Гельман Б.Д. Теорема об антиподах и точки совиаде-ния/Б.Д.Гельман// Успехи матем. наук. 1996, т.51, N1. - С. 147-148.

30. Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений/Б.Д.Гельман// Математ. сборник. -1997, т. 188, N 12. С. 33-56.

31. Гельман Б.Д. Точки покоя обобщенных динамических систем/Б.Д.Гельман// Матем. заметки. 1999, т.65, в.1. - С. 28-36.

32. Гельман Б.Д. Топологическая размерность множества решений задачи Коши для дифференциальных включений/Б.Д.Гельман// Вестник ВГУ, серия физика, математика. 2000, в.1. - С. 107-115.218

33. Гельман Б.Д. Обобщенная теорема о неявном отображении/Б.Д.Гельман// Функциональный анализ и его приложения. 2001, т.35, в.З. - С. 183-188.

34. Гельман Б.Д. О топологической размерности множества решений операторных включений, содержащих сюръективные операторы/Б.Д.Гельман// Вестник ВГУ, серия физика, математика. 2001, в.1. - С. 75-80.

35. Гельман Б.Д. О топологической структуре множества неподвижных точек абстрактного уравнения Вольтерра/Б.Д.Гельман// Вестник ВГУ, серия физика, математика. 2001, в.2. - С. 63-66.

36. Гельман Б.Д. Об одном классе операторных уравнений/Б.Д.Гельман// Матем. заметки. 2001, т.70, в.4. - С. 544-552.

37. Гельман Б.Д. Теорема Борсука-Улама в бесконечномерных банаховых пространствах/Б.Д.Гельман// Воронежская зимняя математическая школа 2002. - Воронеж: ВГУ. - 2002. - С. 15-16.

38. Гельман Б.Д. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений/Б.Д.Гельман// Вестник ВГУ, серия физика, математика. 2002, в.2. - С. 50-55.

39. Гельман Б.Д. Теорема Борсука-Улама в бесконечномерных банаховых пространствах/Б.Д.Гельман// Матем. сборник. 2002, т.193, N 1.- С. 83-92.

40. Gel'man B.D. On operator equations with surjective operators/B.D.Gel'man// Международная конференция "Колмогоров и современная математика Москва. Тезисы докладов. 2003. -С. 165-166.

41. Гельман Б. Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама/Б.Д.Гельман// Функциональный анализ и его приложения.2004, т.38, N 4. С. 1-5.

42. Гельман Б.Д. Об операторных включениях с сюръективными операторами/Б.Д.Гельман// Вестник ВГУ, серия физика, математика.2005, в.2. С. 115-123.

43. Гельман Б.Д. Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижные точки/Б.Д.Гельман// Матем. заметки. 2005, т.78, в.2. - С. 212-222.

44. Гельман Б.Д. О новых результатах в теории многозначных отображений.II./Б.Д.Гельман, В.В.Обуховский// Анализ и приложения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1991, т.29. - С. 107-159.

45. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности./В.Гуревич, Г.Волмэн. -М: Иностранная литература. 1948.

46. Дмитрук А.В. Теорема Люстарника и теория экстрему-ма/А.В.Дмитрук, А.А. Милютин, Н.П.Осмоловский// УМН. -1980, т.35, N6(210). С. 11-46.

47. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной/С.П.Зубова, К.И.Чернышов// Дифференц. уравнения и их применение. 1976. Т. 14. - С. 21-39.

48. Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач./А.Д.Иоффе, В.М.Тихомиров. М: Наука. - 1974.

49. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ./Ф.Кларк. М: Наука. - 1988.

50. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений./Н.Н.Красовский М: Наука. - 1970.

51. Красовский Н.Н. Позиционные дифференциальные иг-ры./Н.Н.Красовский, А.И.Субботин. М: Наука. - 1974.

52. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом простран-стве./С.Г.Крейн. М: Наука. - 1971.

53. Красносельский М.А. Об одной теореме Л.А. Люстерни-ка/М.А.Красносельский// Оптимальное управление. Математические вопросы управления производством. М: изд-во МГУ. - 1977, выпуск 7. - С. 14-22.

54. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа./М.А.Красносельский, П.П.Забрейко. М: Наука. -1975.

55. Красносельский М.А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений/М.А.Красносельский, А.И.Перов// ДАН СССР. 1959, т.126, N 1. - С. 15-18.

56. Куржанский А.Б. Дифференциальные игры сближения при ограниченных фазовых координатах/А.Б. Куржанский// ДАН СССР. -1970, т. 192, N 3. С. 492-494.

57. Куржанский А.Б. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием/А.Б.Куржанский// Диф. уравнения. 1971, т.7, N 8.

58. Куржанский А.Б. К задаче программного преследования в линейных задачах/А.Б.Куржанский, Ю.С.Осипов// Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1970, N3.221

59. Куржанский А.Б. Об описании множества выживающих траекторий дифференциальных включений/А.Б.Куржанский, Т.Ф.Филиппова// ДАН СССР. 1986, т.289, N 1. - С. 38-41.

60. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления./Э.Б.Ли, Л.Маркус.- М: Наука. 1972.

61. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задача.х оптимизации и управления./Б.Ш.Мордухович. М: Наука. - 1988.

62. Мышкис А.Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории/А.Д.Мышкис// Матем. сб. -1954, т.34(76), N3. С. 525-540.

63. Натансон И.П. Теория функций вещественной перемен-ной./И.П.Натансон. М: Наука. - 1974.

64. Обэн Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.-П.Обэн, И.Экланд. М: Мир. - 1988.

65. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные зада-чи./Б.Н.Пшеничный. М: Наука. - 1980.

66. Сибирский К.С. Полудинамические системы./К.С.Сибирский, А.С.Шубэ. Кишинев: Штиинца. - 1987.

67. Реповш Д. Теория Э. Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения./Д.Реповш, П.В.Семенов.// Успехи матем. наук. 1994, т.54, N6. - С. 49-80.

68. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ./Р.Т.Рокафеллар. М: Мир. -1973.

69. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов/Г. А.Свиридюк// Успехи мат. наук. 1987, Т.49, N 4. - С. 47-74.

70. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа. Учеб. по-собие/Г.А.Свиридюк, В.Е.Федоров. Челяб. гос. ун-т. Челябинск. -2003.

71. Скляренко Е.Г. О некоторых приложениях теории пучков в общей топологии/Е.Г.Скляренко// Успехи мат. наук. 1964, т. 19, N 6. - С. 47-70.

72. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики/С.Л.Соболев// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954, т. 18. - С. 3-50.

73. Спеньер Э. Алгебраическая топология/Э.Спеньер. М: Мир. - 1971.

74. Тихомиров В.М. Теорема Люстсрника о касательном пространстве и некоторые ее модификации/В.М.Тихомиров// Оптимальное управление. Математические вопросы управления производством. М: изд-во МГУ. - 1977, в.7. - С. 22-30.

75. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве/А. А.1Толстоногов Новосибирск: Наука. - 1986.

76. Треногин В.А. Функциональный анализ/В.А.Треногин. М: Наука. - 1980.

77. Улам С. Нерешенные математические задачи/С.Улам. М: Наука. -1964.

78. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования/А.Ф.Филиппов// Вестн. Моск. ун-та. Сер. матам., механ., астрон., физ., химии. 1959, N 2. - С. 25-32.

79. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью/А.Ф.Филиппов// Матем. сб. 1960, т. 51, N 1. - С. 99-128.

80. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью/А.Ф.Филиппов. М: Наука. - 1985.

81. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравне-ния/Ф.Хартман. М: Мир. - 1970.

82. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы./И.Экланд, Р.Темам. М: Мир. - 1979.

83. Aronszajn N. Le correspondent topologique de l'unicit dans la theorie des equations differentiellcs/N.Aronszajn// Ann. Math. 1942, v.43. - P. 730-738.

84. Aubin J.-P. Viability Theory/J.-P.Aubin. Birkhauser-Verlag, Boston -Basel - Berlin. - 1991.

85. Aubin J.-P. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory/J.-P.Aubin, A.Cellina. Grundlehren math. Wiss. - 1984, v.264, N 14.

86. Augustynovicz A. The solutions set to В VP for some functional differential inclusions/A.Augustynovicz, Z.Dzedzej, B.D.Gelman// Set-Valued Analisis. 1998, N6. - P. 257-263.

87. Bartle R.G. Mappings between function spaces/R.G.Bartle, L.M.Graves.// Trans, of the American Math. Society. 1952, v.72.- P. 400-413.

88. Ben-El-Mechaiekh H. Equilibria of set-valued maps on nonconvex domains/H.Ben-El-Mechaiekh, W.Kryszewski// Transactions of the AMS. 1997, v.349, N 10. - P. 4159-4179.

89. Benkafadar N.M. Generalized Local Degree for Multi-Valued Mappings/N.M.Benkafadar, B.D.Gel'man// International Journal of Math., Game Theory and Algebra. 2000, v. 10, N5. - P. 413-434.

90. Brykalov S.A. Mutiplicity results for problems with uniform conditions/ S.A. Brykalov // Nonlinear Anal. 1997, v. 30, N 8. - P. 4781-4788.

91. Cellina A. Approximation of set-valued functions and fixed point theorems/A. Cellina // Ann. Math. Рига. Appl. 1969, v.82. - P. 1724.

92. Dauer J.P. Nonlinear Perturbations of Quasilinear Control Systems/ J.P. Dauer// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1976, v.54.- P. 717-725.

93. Deimling K. Multivalued Differential Equations/K.Deimling. Walter de Gruyter, Berlin - New York. - 1992.

94. Dugundji J. Fixed point theory/J.Dugundji, A.Granas. Warszawa: PWN. - 1982.

95. Dontchev A.L. An inverse mapping theorem for set-valued maps/ A.L.Dontchev, W.W.Hager// Proc. Amer. Math. Soc. - v.121, N2, 1994. - P. 481-490.

96. Dzedzej Z. Dimension of solution set for differential inclusions/Z.Dzedzej, B.D.Gelman// Demonstratio Math. 1993, v.26, N 1. - P. 149-158.

97. Eilenberg S. Fixed point theorems for multivalued trasformations/S.Eilenberg, D.Montgomery// Amer. J. Math. v. 68. - P. 214-222.

98. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces/A.Favini, A.Yagi. N.Y.: Marcel Dekker. - 1999.

99. Fitzpatrick P.M. On the covering dimension of the set of solutions of some nonlinear equations/P.M.Fitzpatrick, I.Massabo, I.Pejsachowicz// Trans, of the American Math. Society. 1986, v.296, N 2. - P. 777-798.

100. Furi M. Linear controllability by piacewise constant controls with assigned switching times/M.Furi, P.Nistri, N.P.Pera, P.L.Zezza // Journal of optimization and applications. 1985, v.45, N 2. - P. 219-229.

101. Furi M. Topological Methods for the Global Controllability of Nonlinear Systems/M.Furi, P.Nistri, M.P. Pera, P.L. Zezza// Journal of optimization and applications. 1985, v.45, n. 2. - P.231-256.

102. Gel'man B.D. Generalized degree of multi-valued mappings/B.D.Gel'man// Lect. Notes in Math. Springer-Verlag. -1992, v.1520. - p. 173-192.

103. Gel'man B.D. Topological properties of the set of fixed points for multivalued maps/B.D.Gel'man// International Congress of Math. Zurich. 1994. Shart Com. - P.59.

104. Gel'man B.D. On acyclicity of a set of solutions of operator inclusions/B.D.Gel'man// International conference on topology and its applications, Kiev, May 28 June 4. - 1995. - P. 20.

105. Gel'man B.D. A Generalized Degree of multivalued mapping in Banach spaces/B.D.Gel'man// Стохастический и глобальный анализ: Тезисы международной конференции. Воронеж: Воронежский университет. -1996. С. 21-23.

106. Gel'man B.D. On the structure of the set of solutions for inclusions with multivalued operators/B.D.Gel'man// Lecture Notes in Math., Springer-Verlag. N 1334. - P. 60-78.

107. Gel'man B.D. On topological dimension of a set of solutions of functional inclusions/B.D.Gel'man// Differential Inclusions and Optimal Control, Lecture Notes in Nonlinear Analysis, v.2. 1998. P. 163-178.

108. Gorniewicz L. Homological methods in fixed point theory of multivalued maps/L. Gorniewicz. Diss. Math. 1975. N 129.

109. Gorniewicz L. On the solution of differential inclusions/L. Gorniewicz// J. of Math. Anal, and Appl. 1986, v.113. - P. 1349-1366.

110. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings/ L. Gorniewicz. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht-Boston-London. - 1999.

111. Granas A. The theory of compact vector felds and some of its applications to the topology of functional spaces/ A.Granas. Warszawa: Rozprawy Matematyczne. - N 30. - 1962.

112. Granas A. Sur la notion du degre topologique pour une certaine classe de transformations multivalentes dans les espaces de Banach/A.Granas// Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1959, v. 7, N 4. - P. 191-194.

113. Hu S. Handbook of Multivalued Analysis, v.l: Theory./S.Hu, N.S.Papageorgiou. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht-Boston-London. -1997.

114. Jaworowski J.W. Theorem on antipodes for multi-valued mappings and a fixed point theorem/J.W.Jaworowski// Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1956, N 4. - P. 187-192.

115. Izydorek M. The Bourgin-Yang theorem for multi-valued maps in the nonsymmetric case/M.Izydorek// Zeszyty naukowe wydzialu matem., fiziki i chemii, uniwers. Gdan'sk. 1987, n.6. - P. 37-41.

116. Kakutani S. A generalization of fixed point theorem/S.Kakutani// Duke Math. J. 1941, N 8. - P. 457-459.

117. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spces/ M.Kamenskii, V.Obukhovskii, P.Zecca. De Gruyter Ser. in Nonlinear Analysis and Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-New York. - 2001.

118. Kikuchi N. On contingent equations satisfying the Caratheodory type conditions/N.Kikuchi// Pub. Res. Inst. Math. Sci. 1968, N 3. - P. 361371.

119. Lasry J.M. Acyclicite de l'ensemble des solutions de certains equations fonctionnelles/J.M.Lasry, R.Robert // C.R.Acad. Sci., Paris. 1976. v.282. - P. 1283-1286.

120. Lasry J.M. Analise non-lineare multivoque/J.M.Lasry, R.Robert. -Centre de Recherche de Math. Paris-Dauphine. N 7611.

121. Lasota A. An approximation theorem for multivalued mappings/Lasota A., Opial Z. /А.Lasota, Z.Opial// Podstavy Sterovania. 1971, N1. - P. 71-75.

122. Lukes D.L. Global Controllability of Nonlinear Systems/ D.L. Lukes//SIAM Journal on Control. 1972, v. 11. - P. 112-126.

123. Marchaud A. Sur le champs de demidroites et les equations differentiallesdu premier orde/A.Marchaud // C.R. Acad. sci. 1933, v. 197, N 21. - P. 1178-1178.

124. Marchaud A. Sur le champs continus de demi-cones convexes et leurs integrales/A.Marchaud// C.R. Acad. sci. 1934, v. 199, N 23. - P. 12781280.

125. Michael E. Continuous selections, 1/E.Michael// Ann. of Math. 1956, V.63, N 2. - P. 361-382.

126. Mirza K.B. On the Controllability of a Class of Nonlinear Systems/ K.B. Mirza, B.F. Womack// Transactions on Automatic Control. 1972, v. AC-17. - P.531-535.

127. Nadler S.B. Multi-valued contraction mappings/S.B.Nadler// Pasif. J. Math. 1969, v.30, N 2. - P. 475-488.

128. Petryshyn W.V. A degree theory, fixed point theorems, and mapping theorems for multivalued mapping theorems for multivalued noncompact mappings/W.V.Petryshyn, P.M.Fitzpatrick// Trans. Amer. Math. Soc. -1974, v.194. p.1-25.

129. Saint Raymond J. Points fixes des multiapplications a valeurs convexes/J.Saint Raymond// C. R. Acad.Sci., Paris. 1984, v.298. - P.71-74.

130. Saint Raymond J. Points fixes des contractions multivoques/J.Saint Raymond// Fixed Point Theory and Appl. Pitman Research Notes in Math. Ser. v.252. - P. 359-375.

131. Saint Raymond J. Multivalued contractions/J.Saint Raymond// Set-Valued Analisis. 1994, N 2. - P. 559-571.

132. Steinlein H. Borsuk's antipodal theorerem and its generalizations/H.Steinlein// A servey, Meth. topol. en anal, non lineaire, Сотр. rend. coll. par A.Granas, Montreal 1985. P. 166-235.

133. Szufla S. Sets of fixed points of nonlinear mappings in function spaces/S.Szufla// Funkcial. Ekvac. 1979, v.22. - P. 121-126.

134. Szego G.P. Semigruppi di transformazioni multivoche/G.P.Szego, G.Treccani. Lect. Notes Math.,Springer-Verlag. - 1969, v. 101.

135. Repovs D. Continuous Selections of Multivalued Mappings/D.Repovs, P.V.Semenov. Mathematics and Its Applications, v.455. - Kluwer, Dordrect. - 1999.

136. Ricceri B. Une propriete topologique de l'ensemble des points fixes d'une contraction multivoque a valeurs convexes/B.Ricceri// Atti Accad.Nas. Lincei CI. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 1987, v.81. - P. 283-286.

137. Ricceri B. On the topological dimension of the solution set of a class of nonlinear equations/B.Ricceri// C.R. Acad. Sci., Paris. 1997, v.325.- P. 65-70.

138. Roxin E. Stability in general control system/E.Roxin// G. Diff. Equat.- v.l, N1. p.115-150.

139. Rybiriski L.E. An application of the continuous selection theorem to the study of the fixed points of multivalued mappings/L.E.Rybinski// Journal of Math. Anal, and Appl. 1990, v. 153. - P. 391-396.

140. Wazewski T. On an optimal control problem/T.Wazewski // Proc. Conf. Diff. equat. and their appl., Prague. 1962. - P. 229-242.

141. Zaremba S.K. Sur une extension de la nation d'equation differentielles/S.K.Zaremba// C.R. Acad. sci. v. 199, N 10. - P. 545-548.