Качественное исследование интегральных уравнений Вольтерра и Гаммерштейна с многозначными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение. I

Глава I. Интегральные уравнения Гаммерштейна с многозначными нелинейно стями.

§1. Основные понятия, определения.

§2. Теоремы о структуре спектра и существовании нецрерывных ветвей собственных векторов многозначных операторов, близких к линейным.

§3. Топологический метод исследования разрешимости уравнений

§4. Об интегральных включениях в пространстве Орлича.

Глава П. К теории интегральных уравнений Вольтерра с многозначной нелинейностью.

§1. Достаточные признаки существования решений интегральных включений. Непрерывная зависимость воронки решений от подынтегральной функции и начальных условий.

§2. Оценки решений интегральных включений. Метод мажорант.

Глава Ш. К теории интегральных уравнений Вольтерра с многозначной нелинейностью и запаздывающим аргументом.

§1. Теоремы существования решений интегральных включений.

Методы последовательных приближений Тонелли и Пикара.

§2. Непрерывная зависимость воронки решений от подынтегральной функции, начальных условий и запаздывания.

В последнее время появилось много исследований в теории дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями / так называемых дифференциальных включений/, т.е. соотношений вида м « где хОО - искомая функция, - заданная многозначная функция.

Как оказалось, к дифференциальным включениям вида (I) могут быть сведены многие задачи из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, неравенств и т.д. Приведем несколько примеров.

В работе [I ]рассматриваются дифференциальные неравенства вида

2) где X г (х, Л*, ) - Ш - мерная вектор-функция в пь

D ъ,

- мерном векторном евклидовом пространстве К , однозначная функция jrCtyifr) определена в пространстве Я * переменных i , , Ч. и при каждом ^ , Л неравенство I определяет в /и - мерном пространстве К непустое замкнутое ограниченное множество ЩЬ^) ,непрерывное в хаусдорфовой метрике по t , хХ . Под решением неравенства (2) понимается непрерывно дифференцируемая функция ^(i) , определенная на некотором интервале и всюду на нём удовлетворяющая неравенству (2). Ясно, что задание (2) равносильно заданию множества ♦ а разрешимость (2) равносильна разрешимости уравнения с многозначной правой частью

5Г • 7{i>*}

В работе [ I ] при некоторых условиях на доказана теорема существования решения неравенства (2).

К дифференциальному включению (I) может быть сведена задача о разрешимости уравнений с параметром /например, задача об оптимальном управлении/.

X': {$*,«.) , U.eCL, (3) где J - Л (i) и и/ = и,ft) - искомые функции и при каждом значение Такого рода задача была рассмотрена в работе [2J Филипповым А.Ф. Уравнение (3) сводилось к дифференциальному включению где %)• ((V, Ю.

В работе L3 ] Барбашиным Е.А. и Алимовым Ю.И. предложена идея рассмотрения релейных дифференциальных уравнений в качестве уравнений с многозначной правой частью. Уравнение движения в нормальной форме записывается в виде

Об'-- -- , (4) где (i л, **) и d (i у) - непрерывные функции, характеристика релейного звена. Применяя на поверхностях переключения

5, i(t,«): d>K , К--*,.*,,. (5)

- 3 простую аппроксимацию релейной характеристики

-J* , «zK'<«* где JK может быть любым числом из промежутка Ьк 4(d)} ft*, <е(&) J (6) можно считать, что на поверхностях (5) правые части системы (4) задают не одно, а целый конус направлений, т.е. множество { fo векторов j0 ^ J к ) , соответствующих всем числам JF ^ из (6).

Впервые в работах /4,5 J для дифференциального включения (I) рассматривалась задача Коши для отыскания решения этого дифференциального включения, удовлетворяющего начальному условию

Задача Коши (I), (7) приводит к интегральному уравнению с многозначной правой частью (интегральному включению) вида t jф) 6 j + J 7lstx(s)]oU . t.

Поэтому возникает интерес к изучению таких интегральных включений., Дальнейшее развитие теории дифференциальных включений вида (I) связано с работами японских математиков Хукухара М. б,7] и Кукичи Н. [8,9] ,

В работе [ 7] рассмотрены множества и СоW Е , где - линейное метрическое пространство; Cofop Е - совокупность всех непустых замкнутых компактных подмножеств из Е \ СошгЕ -- совокупность всех непустых замкнутых выпуклых компактных подмножеств из Далее, в [l ]дано определение топологической степени многозначного отображения и с её помощью доказан принцип неподвижной точки Какутани (многозначный аналог принципа Брауэра). Заметим, что Боненбласт Х.Б. и Карлин С. ( [ю] ) обобщили принцип Какутани на банаховы пространства. В работе [6] дано определение интегралов Римана и Лебега от многозначной функции, выяснен ряд свойств этих интегралов ( подробнее см. §1 гл.1). Используя результаты работы [б J в [8,9J исследованы вопросы разрешимости дифференциальных включений типа (I) так называемых уравнений в контингенциях.

В настоящее время широкое развитие получила теория нелинейных интегральных уравнений. Классические методы математического описания задач механики и автоматического регулирования в ряде случаев приводят к нелинейным интегральным уравнениям вида разрешимости такого вида интегральных уравнений занимались Азбелев Н.В., Рахимханов Р.К., Фадеева Л.Н., Ли Мун Су и другие ( см.напр. [II J ). Ляпин Л.Н. в [12] показал, что вопрос о существовании обобщенного решения уравнения (8) может быть сведен к аналогичному вопросу для интегрального включения 6

8)

При этом может быть и разрывной по Jf . Вопросами

Я/ где многозначная фикция & строится особым образом по % (tf исходя из определения решения уравнения (8), а интеграл от многозначной функции понимается в смысле Хукухара. Исследованы топологические свойства интегрального оператора, стоящего в правой части (9) и обосновано применение принципа неподвижной точки многозначного оператора при решении вопроса существования его решений. В работе [13] Ляпин Л.Н. рассматривается определение интеграла от многозначной функции, отличное от определения, введенного Хукухара (см. подробнее в §1 гл.1).

Известен ряд работ Мамедова Я.Д., Аширова С.А., Сеидова З.Б. и других (см., например,[14, 15, 16, 17, 18, где рассматривались нелинейные уравнения Вольтерра t т = + j fLt.'.Mojou (I0) и

Для нахождения решений такого уравнения строились различные итерационные процессы, доказывалась их сходимость и определялась скорость этой сходимости. Метод основан на применении теорем о неравенствах для интегральных операторов Вольтерра. Естественным обобщением уравнений (10) являются интегральные включения Вольтерра t и

В качественной теории уравнений нашла широкое применение построенная Красносельским М.А. теория вращения векторных полей ( [20, 21J ). Существует обобщение на случай многозначных векторных полей (см. /22,23j).

Существенное место в теории многозначных отображений занимает исследование неподвижных точек многозначного векторного поля. Один из подходов к рассматриваемой проблеме, аппроксимативный, основан на замене исследуемого многозначного отображения однозначным, в определенном смысле близким к нему или гомотопным. Этот подход был впервые применен для определения топологических характеристик многозначных отображений с выпуклыми образами (см. подробнее §1 гл.1).

Применение теории вращения многозначных векторных полей явилось одним из важных методов изучения интегральных включений в настоящей работе. Особенно это относится к интегральным включениям типа Гаммерштейна

Ju(±) С- ( Щь) 7 ti*(s)Jds. ч/ д.

Настоящая диссертация посвящена отдельным вопросам теории интегральных включений Гаммерштейна и Вольтерра.

Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава содержит четыре параграфа.

В §1 вводятся основные определения, обозначения, используемые в диссертации; изложены вопросы, связанные с измеримостью и интегрируемостью многозначных функций, а также дано понятие вращения многозначного векторного поля.

§2 посвящен вопросам о структуре спектра и существования непрерывных ветвей собственных векторов многозначных операторов, близких к линейным однозначным операторам в определенном смысле, и является обобщением результатов, полученных Красносельским М.А. с [20,24] ) и Поволоцким А.И. ( [25 ]). Рассмотрен в гильбертовом пространстве н= /Г многозначный оператор

Ubi) JLt,*(i)]Mt (id J Л ще С mt6 Л ^ , - однозначная функция, (FM - многозначная функция.

Вектор Of , !U И 1 0 , назовём собственным вектором многозначного оператора , если существует такое число <Л , что

J Of £ dfx, при этом число d назовём собственным значением многозначного оператора г.

Совокупность собственных значений называется спектром многозначного оператора г.

Исследуется задача о том, при каких условиях вполне непрерывный (т.е. замкнутый и компактный) многозначный оператор может иметь несвязный спектр, различные компаненты которого содержат интервалы; анализируется вопрос о структуре совокупностей собственных векторов. В полученных теоремах существенную роль играют кратности собственных значений различных линейных однозначных операторов.

Введены понятия производной Фреше в б и асимптотической производной многозначного оператора, точки бифуркации и асимптотического собственного значения. Доказана следующая

Теорема 1.2.5. Каждое собственное значение нечётной кратности линейного оператора t& , являющегося производной Фреше в 9 многозначного оператора И/^, является точкой бифуркации оператора w. причём этой точке соответствует непрерывная ветвь собственных векторов многозначного оператора W. Аналогично, каждое нечётно1фатное собственное значение асимптотической производной многозначного оператора Й/^ является асимптотическим собственным значением оператора , причём каждому такому значению соответствует непрерывная ветвь собственных векторов оператора W , уходящая в бесконечность.

Поясняет структуру спектра многозначного оператора W' следующая

Теорема 1.2.8. Пусть многозначный оператор лизок к линейному оператору В , т.е. выполнено неравенство л (И&, Ьл) ± С Ш , ле I?, где d- (.',') - хаусдорфова метрика, С > 0 - некоторая постоянная. Пусть

А ,., ^ ^ — некоторые собственные значения нечётной кратности линейного оператора б , а 8^,., - такие числа, что в каждом сегменте I + ^ J , n, нет отличных от Д. собственных значений оператора В и нуля. Пусть в каждом сегменте l^i'^i ? есть одна точка бифуркации £ и одно асимптотическое собственное значение многозначного оператора X/ , причём Ji ^ •

Пусть

С < f <L + , где =

Тогда интервалы ( V) полностью принадлежат спектру много

Q\w ^ значного оператора v w.

В параграфе выяснены условия существования производной Фреше в 0 и асимптотической производной многозначного оператора W . В §3 вопрос существования решений интегрального включения Гаммерштейна решен с помощью принципа Какутани и принципа сжимающих отображений.

В §4 доказан многозначный аналог принципа Красносельского М.А, и с его помощью в пространстве Орлича найдены условия существования решений интегрального включения Гаммерштейна

12) где ^ - интегральный положительный самосопряженный вполне непрерывный оператор, 9 - многозначный оператор. Доказывается, что задача существования решения интегрального включения (12) в пространстве сводится к задаче существования решения интегрального включения Г в гильбертовом пространстве h- kj . Доказана следующая Теорема 1.4.2. Пусть для любого LT& ь выполняется неравенство

Г,*) + С причём Cjd> 0 , где - наибольшее собственное значение оператора К .

Тогда существует решение интегрального включения (13).

Глава вторая посвящена вопросам разрещимости интегральных включений Вольтерра в !/УЬ- мерном пространстве

1 - (13) t

Ф) 6 + [JLt^^&JoU, CI4) о m, r f где ф)- искомая функция; б R ; t^elojj с Ц ; ^(i^x) - многозначная функция, действующая из области

Lojl х [о,т]* S J S * R" в СоплГ К .

Содержанием §1 является обобщение результатов Мамедова Я.Д, ( ^14,15,16] ) на случай интегральных включений Вольтерра. Доказана возможность построения последовательных приближений То-нелли и Пикара. Приведены достаточные признаки существования решений и определена скорость сходимости итерационных процессов, Справедлива следующая

Теорема 2.1.3. Пусть многозначная функция удовлетворяет условиям

1. МТбЪ , где УК= ШШ ll&(t,s,Jl)ll fo,*)**

2. доя однозначной ветви аМ) б да, х) » ближайшая к , справедливо неравенство где е $ , и,) (t,se [OJl lul ^ b) - непрерывная функция неубывающая по ^ и выполнено: а) уравнение ~Ь w{i) -- S + ]vl%s,HT(s)JcU о

- II имеет решение при достаточно малых б) уравнение t u/i) -- J о имеет лишь нулевое решение.

Тогда существует решение (£) интегрального включения (14), определенное на lO}Tl , это решение является пределом последовательных приближений Тонелли j Jf„ (fy) и сходимость определяется следующим образом

II jiji) - j(i)ii 6 tji), ш где является верхним решением уравнения t s, ejs)]<& ♦ £

Аналогичная теорема с несколько иными условиями доказана для приближений Пикара. В этом же параграфе выяснена непрерывная зависимость воронки решений интегрального включения (14), т.е. множества i,j(i))) < Л'*/Г, telorf, где -Х(к) - решение включения (14), от подынтегральной функции и начальных условий.

В §2 вводится понятие мажоранты для многозначной функции и мажорантного уравнения для интегрального включения и показы

- 12 вается на конкретных примерах как с их помощью можно оценить решения интегрального включения.

Третья глава состоит из двух параграфов. В §1 доказываются достаточные признаки существования решений интегральных включений Вольтерра с запаздывающим аргументом двух видов i

Ф) * J^Its^fs-mjds, 0*t±T СЮ о

Ф) € jr.fi) 4 J 7ft, jcfs-WVJots, osi±T 0 ф) = < № J

Доказана следующая

Теорема 3.1.1. Пусть многозначная функция <F(tjS, х) удовлетворяет условиям

1. II &(t,s,jOll 4 М , Ц

- некоторая постоянная;

2. для однозначной ветви , ближайшей к выполняется неравенство S(((t,S^), f(t,S,jj) £ LfltsJW,-^//] , где е S » и*) - непрерывная функция в области

О - S £ t - Т * /бб / £ t и неубывает по 1С и уравнение juYiU / ^ S, Usfs- T(s))J cU f Obt±T lujt) = 0° 0 имеет лишь нулевое решение.

Тогда интегральное включение (15) имеет решение £(i) , определенное на [ 0}Т1 и являющееся пределом последовательных приближений Тонелли и

-+ о

В §2 рассмотрены вопросы непрерывной зависимости воронки решений интегрального включения (15) от подынтегральной функции, начальных условий и запаздывания.

Изучение интегральных включений является актуальной задачей в области нелинейного анализа. Исследование интегральных включений находится в начальной стадии, результаты полученные в диссертации в большинстве своём новые. Они могут быть применены при изучении вопросов математической физики, в которых важную роль играют многозначные возмущения.

Основные результаты диссертации опубликованы в £35,36,37] . Часть этих результатов доложена на У конференции молодых учёных в Университете им.П.Лумумбы в Москве, на республиканской конференции по методике преподавания математического анализа в пед. институтах в г.Ленинграде, на Герценовских чтениях и семинарах по дифференциальным уравнениям и функциональному анализу в ДГПИ им.А.И.Герцена, на научно-исследовательском семинаре под руководством проф. Я.Д.Мамедова в АГУ им.С.М.Кирова.

1. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах оптимального регулирования. - Вестник МГУ, 1959, сер. мат., мех., астр., физ., хим., № 2, с. 25-32.

2. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Вестник МГУ, 1967, сер. матем., № 3, с. 16-26.

3. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений. Изв. ВУЗов, 1962, математика, № I, с. 3-13.

4. ЛШуЫыиооС А. Swv fe с4г(Ш^>s сюпАплц oil dmiемА.- shuXl. . тМЪ,. ^ЬЬ } svx. Л , г. ЬО/ р. М- U0. 'p. 405-- т.ЫМЛМ0У1.- УиЖ. №. JhM. JlUA%. ьи 19И; sic. 4 r.3J n it ь.$5-3в. 'Hvz сш4ъ?С jfr&ti'f&mi. 9iAt. Км. ^W. Л(лН Sec

5. Боненбласт Х.Б., Карлин С. Об одной теореме Билля. В кн.: Бесконечные антогониетические игры. М., Физматгиз, 1963,с. 489-496.

6. Азбелев Н.В., Рахимханов Р.К., Фадеева Л.Н. Интегральные уравнения с разрывным оператором. Дифф. ур-я, 1969, т. 5, № 5, с. 862-873.

7. Ляпин Л.Н. Множественнозначные отображения в теории интегральных уравнений с разрывным оператором. Дифф. ур-я, 1973, т. 9, № 8, с. I5II-I5I9.

8. Ляпин Л.Н. Интегральный оператор в пространстве многозначных функций. Тр. / Тамб. ин-та хим. машиностр., 1970, вып. 4, с. 33-36.

9. Мамедов Я.Д. К теории нелинейных уравнений в банаховом пространстве. Учен. зап. / АТУ, 1962,сер.ФМ и XH,№I,c.I5-I9 .

10. Мамедов Я.Д. К решению нелинейных интегральных уравнений в банаховом пространстве. Докл. АН Аз.ССР, I960, т. ХУ1,4, с. 327-330.

11. Мамедов Я.Д., Аширов С.А. Нелинейные уравнения Вольтерра. Ашхабад: Ылым, 1977. - 176 с.

12. Гусейнов А.И., Мамедов Я.Д. Исследования решений нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом. Учен. зап.АТУ, I960, сер. ФМ и ХН, $ 3, с. 3-9.

13. Сеидов З.Б. Исследования решений нелинейных интегральных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве. Учен. зап. / АТУ, 1963, сер. ФМН, № 3, с. 25-34.

14. Сеидов З.Б. Приближенное решение систем нелинейных интегральных уравнений с запаздывающим аргументом. Учен. зап. / ЛГУ, 1962, сер. ШН, № 2, с. 19-24.

15. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

16. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 510 с.

17. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мухамадиев Э.М., Обуховский В.В. 0 вращении многозначных векторных полей. Тр. сем.по функц. анализу / Воронеж, ун-т, 1969, вып. 12, с. 69-84.

18. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений. Успехи матем. наук, 1980, т. 35,вып. 1(211), с. 59-126.

19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

20. Ляпин Л.Н. К теории интеграла Ауманна-Хукухары. Тр. /Гамб. ин-та хим. машиностр., 1970, вып. 4, с. 33-36.р. ,т- иы- 126

21. Ляпин Л.Н. О включениях гаммерштейновского типа. Дифф. ур-я, 1976, т. 12, № 5, с. 908-915.

22. Ганго Е.А. О решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. В кн.: Межвузовские XXI Герценовс-кие чтения. Ленинград, 1968, с. 77-79.

23. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. - 271 с.

24. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Пространства Орлича и нелинейные интегральные уравнения. Тр. Доек. мат. об-ва, 1958, т. 7, с. 63-120.

25. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 152 с.

26. Аширов С. Операторные уравнения типа Вольтерра с запаздывающим аргументом. Изв. АН ТССР, 1966, сер. ФТХ и ГН,5, с. 3-9.

27. Свенцицкая Т.А. Интегральные многозначные уравнения Вольтерра. Докл. АН УССР, 1982, сер. А физ.-мат. и техн. наук, № 7, с. 25-29.

28. Свенцицкая Т.А. Мажоранта интегральных включений. Межвуз. сб. "Операторы и их приложения". / Ленингр. гос. пед. ин-т, 1983, с. 83-91.

29. Свенцицкая Т.А., Поволоцкий А.И. О спектрах многозначных операторов Гаммерштейна близких к линейным. Межвузовский сб. "Функциональный анализ" / Ульяновск, гос. пед. ин-т, 1983, вып. 20, с.115-124.