Функциональные и функционально-дифференциальные включения нейтрального типа с вольтерровыми операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

§ 1.1 Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии.

§ 1.2 Некоторые сведения из теории многозначных отображений.

§ 1.3 Свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств.

Глава 2. Возмущенное включение с вольтерровыми операторами.

§ 2.1 Общая постановка задачи.

§ 2.2 Теорема существования решения возмущенного включения.

§ 2.3 Продолжаемость решений возмущенного включения.

Глава 3. Функционально-дифференциальные включения нейтрального типа.

§ 3.1 Оценки решений функционально-дифференциального включения нейтрального типа.

§ 3.2 Замкнутость множества решений "овыпукленного" включения.

§ 3.3 Принцип плотности для задачи Коши.

В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д.). В то же, время ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного" включения, представление множеств приближенных решений, усточивость множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [7], [14], [21], [23], [26], [27], [28], [60], [61]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах нашего столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [92], S. Zaremba (Заремба) [91] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (A.B. Арутюнов, Н.В. Азбелев, С.М. Асеев, Ю.И. Алимов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахме-ров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, A.B. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ган-го, Б.Д. Гельман, A.B. Дмитрук, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, H.H. Кра-совский, А.Б. Куржанский, A.A. Леваков, JI.H. Ляпин, A.A. Милютин, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимханов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, А.И. Субботин, H.H. Субботина, С.И. Суслов, В.И. Сумин, A.A. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, А.Ф. Филлипов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чу-гунов, З.Б. Цалюк, H.A. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, T. Wazewski, P. Zecca И ДР-)

В настоящее время интенсивно изучаются так называемые возмущенные включения [16], [26], [27] правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые выпуклые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследований (теорема Какутани, принцип сжимающих отображений) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи теории дифференциальных и интегральных включений, теорий аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение основ теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Изучению таких включений посвящается глава 2 диссертации. Здесь возмущенные включения рассматриваются с вольтерровыми операторами. Для таких включений получены общие условия локального существования решений, а также доказаны теоремы о продолжаемости решений. Отметим, что свойство локального существования решения и свойство продолжаемости решений задачи Коши, как отмечено в работах [16], [27], [73] являются важными свойствами в общей теории дифференциальных уравнений и включений. Поэтому доказанные в главе 2 утверждения имеют также важное значение для теории возмущенных включений поскольку дифференциальные уравнения и включения являются частным случаем возмущенных включений с вольтерровыми.

Глава 3 посвящена изучению функционально-дифференциальных включений нейтрального типа с невыпуклой правой частью. Такие включения, по-видимому впервые рассматривал М. Кл81е1еш1сг [85], [86], [87]. В этих работах рассмотрены вопросы существования решений, а также исследована структура множеств решений этих включений. Отметим, что в работе [85] одним из основных условий, позволявших исследовать структуру множества решений дифференциального включения нейтрального типа являлось предположение о существовании так называемого Ь-селектора. На наш взгляд это предположение чрезвычайно ограничительно, поскольку даже в приведенном в работе [85] примере это условие не всегда выполняется (соответствующий пример приведен в конце диссертации). В исследованиях, проводимых в главе 3, мы отказываемся от предположения об Ь-селекторе и заменяем это условие т-вольтерровостью. Отметим, что это условие позволило доказать не только теоремы существования но и получить оценки близости решений к наперед заданной абсолютно непрерывной функции, аналогичных оценкам А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Ананьев Б. И. Теорема существования для дифференциального включения с переменным запаздыванием // Дифференц. уравн., 1975. Т. 11, №7. С. 1153-1158.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М. "Наука", 1991, 280 с.

3. Арутюнов A.B., Асеев С.М., Благодатских В.И. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовым ограничением // Мат. сб. 1993, Т. 184, т. С. 3-32.

4. Арутюнов A.B., Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями. // Тр. МИАН СССР. 1991. Т. 200. С. 4-26.

5. Варбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов, матем. 1962., №1 С. 3-13.

6. Благодатских В. И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений // Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P. 29-67.

7. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

8. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

9. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194-252.

10. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: ВГУ, 1985. 100 с.

11. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. С. 1872-1878.

12. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I, II, III // Дифференц. уравнения, 1992. Т. 23, №3. С. 371-379; Ж. С. 566-571; №5. С. 379-746.

13. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы / Дифференц. уравнения, 1987. Т. 23, №10. С. 1659-1668

14. Булгаков А.И. Асимптотическое представления множеств 6-решений дифференциального включения // Матем. заметки, 1999. Т. 65, №5. С. 775-778

15. Булгаков А.И. Интегральные включения и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. №10. С. 63-86.

16. Булгаков А.И. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дис. . канд. физ.-матем. наук. Горький. 1979.

17. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения // Мат. сборник, 1990. Т. 181. №11 С. 1427-1442.

18. Булгаков А.И. Васильев В.В. Об одном признаке приводимости функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Державинские чтения II. Тезисы докладов. Тамбов 1997. С. 3-4.

19. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений / / Вестн. ТГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1999. Т. 4. вып. 4. С. 461-469.

20. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешнинми возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №12. С. 1578-1598.

21. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Асимптотическое представление множеств приближенных решений дифференциальных включений // Вестн. ТГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т.З. вып.4. С.394-400.

22. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Скоморохов В.В. К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов 2001. Т. 6. вып. 2. С. 131-139.

23. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №8. С. 1362-1374.

24. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Матем. сб., 1998. Т. 189, №6. С. 3-32.

25. Булгаков А.П., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. Математика. 1999. Т. 3. (442). С. 3-16.

26. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств ¿-решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. ТГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. вып. 3. С.294-298.

27. Васильев B.B. О разрешимости задачи Коши для функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Материалы конференции мол. учёных. Тезисы докладов. Тамбов 1997. С. 8-9.

28. Васильев В.В. К вопросу приводимости функционально-дифференциальных включений нейтрального типа // Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж 1997. С. 39.

29. Васильев В. В. Обобщенное решение дифференциального включения нейтрального типа // Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач". Понтрягин-ские чтения VIII. Тезисы докладов. Воронеж 1997. С. 29.

30. Васильев В. В. О примере приводимости задачи Коши одного функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Державинские чтения III. Тезисы докладов. Тамбов 1998. С. 20-22.

31. Васильев В. В. Об одном классе функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Державинские чтения IV. Тезисы докладов. Тамбов 1999. С. 5-6.

32. Васильев В. В. Об одной оценке решения функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж 1999. С. 50.

33. Васильев В.В. О плотности множества решений дифференциального включения нейтрального типа во множестве решений овыпуклен-ного включения // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов. Воронеж 2000. С. 52.

34. Васильев В. В. О замкнутости множества решений дифференциального включения нейтрального типа // Держа.винские чтения V. Тезисы докладов. Тамбов 2000. С. 24-25.

35. Васильев В.В. О продолжаемости решений включений с вольтерро-выми операторами // Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач". Понтрягинские чтения XI. Тезисы докладов. Воронеж 2000. С. 33.

36. Васильев В. В. Об оценке решения дифференциального включения нейтрального типа с запаздывающим аргументом // Воронежекая весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач". Понтрягинские чтения-XII. Воронеж 2001. С. 42-43.

37. Васильев В.В., Ефремов A.A. К вопросу продолжаемости решения возмущенного включения с вольтерровыми операторами // Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж2001. С. 68-70.

38. Булгаков А.И., Васильев В.В., Ефремов A.A. О принципе плотности для функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Вестн. ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. Т. 6, вып 3, 2001. С. 308-314.

39. Васильев В.В. Об одном аналоге оценки А. Ф. Филиппова для функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Вестн. ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. Т. 7, вып. I.2002. С. 106-107.

40. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений /'/ Матем. сб., 1954. Т. 34, №2. С. 213-274.

41. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ., 1962. -896 с.

42. Дмитрук A.B. Квадратичные условия понтрягинского минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлению // Изв. АН СССР: Сер. Матем. I. 1986. Т. 50, №2. С. 284-312; II. 1987, Т. 51, т. С. 813-832.

43. Дмитрук A.B. К вопросу о необходимости достаточных условий оп-тимальноси кротовского типа // Автоматика и телемеханика. 1997, №10, С. 3-17.

44. Дядченко Ю.А. О локальной разрешимости операторных уравнений // В сб. "Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений". Ярославль, 1978. С. 48-61.

45. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (СМБ). М.: Наука, 1968. 448 с.

46. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1977. 479 с.

47. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.

48. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., "Наука", 1972. 542 с.

49. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 450 с.

50. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

51. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравн., 1970. Т. 6, №10. С. 1800-1809.

52. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

53. Милютин A.A. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. М.: Физматлит, 2001. 299 с.

54. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

55. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: "Высшая школа". 1999. 368 с.

56. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: 1959. 655 с.

57. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1986. Т.22, N9. С.1587-1595.

58. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР, 1989. Т.305, N5. С.1056-1059.

59. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1992. 112 с.

60. Сумин В.И., Чернов A.B. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. N10. С.1402-1411.