Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. К ТЕОРИЙ ЛИНЕЙНЫХ ФШЩОНАМО-ДИшФЕРЕНЦЙАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§1.1. Предварительные сведения

I.I.I.Общие сведения о линейных уравнениях с фредголь-мовой главной частью / 38 /. I.I.2. Некоторые классы интегральных операторов / 39 /. I.1.3.Главные части некоторых функционально-дифференциальных операторов / 41 /.

§1.2. Матрица Коши.

1.2„I.Определяющее уравнение / 47 /. 1.2.2.Свойства матрицы Коши по каждому аргументу / 52 /. 1.2.3.0 множестве матриц Коши и о восстановлении операции по матрице Коши / 64 /. 1.2.4.0 формуле Коши и полугрупповом свойстве матрицы Коши / 67 /.

§1.3. Об одном классе линейных операторов, определенных на пространстве непрерывных функций

1.3Л. ^-ограниченный оператор С — Lp / 71 /. 1.3.,2.Вспомогательные утверждения об интегральных операторах / 73 /. 1.3.3. Полная непрерывность оператора У: Dp-* Lt / 77 /. 1.3.4. Замечание о матрице Коши операции А - ^ / 78 /.

§1.4. Линейные краевые задачи

I.4„I.Общие сведения / 80 /. 1.4.2. Сопряженная задача / 82 /. 1.4.3.0 начальном значении решения краевой задачи / 86 /. 1.4.4.06 одном признаке разрешимости общей краевой задачи / 87 /.

Глава 2. ПРИВОДИМОСТЬ ФУНКПДОНАЛЬНО-ДИ^ЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§2.1. Определения.

2.1.I.Приводимость на множестве / 92 /. 2.1.2.Приводимость / 93 /. 2.1.3. Вольтеррова приводимость/95 /. 2.1.4. Каноническая приводимость / 96 /.

§2.2. Приводимость квазилинейных уравнений

2.2.1.Dp-приводимость квазилинейных уравнений / 98 /.

2.2.2.С -приводимость квазилинейных уравнений/ 100 /.

§2.3. Схема получения признаков приводимости

2.3.1.Условие ]> Н(«2>) / 106 /. 2.3.2. Условие СН((?) / 107 /. 2.3.3.Некоторые признаки приводимости/ 108 /.

§2.4. Вольтеррово приводимые уравнения

2.4.1.Вспомогательные утверждения / 116 /. 2.4.2. Условие DpHV(S)) / XI9 /. 2.4.3.Условие CHV / 121 /. 2.4.4. Некоторые признаки вольтерровой приводимости / 122 /.

§2.5. Признаки канонической приводимости

2.5.1.Общее утверждение / 124 /. 2.5.2.Пример/ 125 /.

2.5.3.Использование априорной единственности / 128 /.

Глава 3. АПРИОРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

§3.1. Априорные неравенства и разрешимость приводимых уравнений.

3.I.I.Определение / I3X /. 3.1.2. Свойство А априорного неравенства и разрешимость приводимых уравнений / 132 /. 3.1.3. Свойство "V априорного неравенства и разрешимость вольтеррово приводит,шх уравнений / 133 /.

§3.2. Априорные неравенства, основанные на двухсторонних оценках.

3.2Л.Общая схема / 135 /. 3.2.2.Вспомогательные утверждения об интегро-функциональных неравенствах / 136 /. 3.2.3. Мажорантное уравнение / 140 /. 3.2.4.Априорные неравенства для уравнений со степенной мажорантой / 142 /. 3.2.5.Признаки разрешимости / 144 /. 3.2.6.Признаки разрешимости воль-террово приводимых уравнений / 146 /. 3.2.7.0 разрешимости и поведении решений на бесконечном промежутке / 150 /.

§3.3. Априорные неравенства, основанные на односторонних оценках.

3.3.1. Использование майорантной задачи / 153 /.

3.3.2. Алгебраический подход / 155 /. 3.3.3.Некоторые признаки разрешимости / 158 /. 3.3.4. Признаки разрешимости вольтеррово приводимых уравнений/ 161/.

§3.4. Априорные оценки разности двух решений и априорная единственность

Глава 4. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§4.1. Априорные неравенства, априорные оценки и разрешимость

4.1,1. Применение априорных неравенств в условиях канонической приводимости / 170 /. 4.1.2.Применение априорных неравенств в условиях D^ -приводимости 172 /. 4.1.3. Применение априорных неравенств в в условиях С-приводимости / 175 /.

§4.2. Признаки разрешимости, использующие мажорантное уравнение.

4.2.1. Случай канонически приводимого уравнения 178 /. 4.2.2. Случай 3)-приводимого уравнения 183 /. 4.2.3. Случай С-приводимого уравнения / 185 /.

§4.3. Признаки разрешимости, использующие односторонние оценки.

4.3.1. Случай канонически приводит/того уравнения/187/. 4.3.2,, Случай полной непрерывности оператора F:D^Lp / 189 /. 4.3.3. Случай полной непрерывности оператора VF : С С / 191 /.

§ 4.4. О разрешимости квазилинейных краевых задач . 193 4.4.1.Предположения / 193 /. 4.4.2. Теорема о разрешимости / 194 /. 4.4.3. Асимптотически линейная краевая задача / 196 /. 4.4.4.06 использовании априорных неравенств / 198 /. 4.4.5. Использование фундаментальной матрицы линейного уравнения / 200 /. плава 5. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ.

§5.1. Вспомогательные утверждения

§5.2. Теоремы о предельном переходе.

§5.3. Признаки совокупной компактности.

§5.4. О приближенном решении вольтерровых уравнений

•лава 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

§6.1. Управляемость нелинейных функционально-дифференциальных систем.

§6.2. . Задача Томаса-Ферми.

§6.3. Уравнения движения в случае конечной скорости дальнодействия

Математическое описание многих явлений выводит нас за классические ракши дифференциальных уравнений и предлагает все новые виды функционально-дифференциальных уравнений [46, 107]. Возникающая таким образом необходимость в общей точке зрения на широкие классы уравнений вызвала интерес многих исследователей к различным обобщениям обыкновенного дифференциального уравнения. Наиболее энергично развивалась теория "дифференциальных уравнений в банаховом пространстве", где евклидово пространство значений искомой функции заменяется общим банаховым пространством [44, 40, 103, 147]. Однако это обобщение не охватывает ряда актуальных классов функционально-дифференциальных уравнений, в частности, уравнений вида хсЪ = , ^ , -ицсц^э, если[cL.fr).

Таким классам (главным образом, уравнению (I")) посвящены многочисленные работы, связанные с прикладными задачами, с попытками установить общую точку зрения на достаточно широкий класс уравнений и приложениями новых схем функционального анализа (см., например, [46, 143, 36, 26}). Настоящая работа посвящена теории обобщения обыкновенного дифференциального уравнения, охватывающего уравнения с отклоняющимся аргументом и интегро-дифференци-альные уравнения. Это обобщение основано на рассмотрении с единой точки зрения различных уравнений, решениями которых являются абсолютно непрерывные функции. Под функционально-дифференциальным уравнением в широком смысле слова мы понимаем всякое функциональное уравнение, решением которого является дифференцируемая (абсолютно непрерывная) функция. Очевидно, что построение содержательной теории возможно лишь для определенного класса таких уравнений. Границы общности рассматриваемого нами класса уравнений определяются топологическими свойствами операторов, порождаемых уравнением. Особое место в этой теории занимают уравнения с вольтерровыми (по А.Н.Тихонову [127)) операторами. К ним относятся "уравнение с последействием" [71) и его частный случай

- "уравнение с запаздывающим аргументом"[106) . Одним из наиболее актуальных представителей такого обобщения обыкновенного дифференциального уравнения является уравнение в предположении, что -^u-t^t , get) . Уравнения с вольтерровыми операторами оказались изученными наиболее обстоятельно благодаря работам В.Вольтер-ра, А.Н.Тихонова и Н.Н.Красовского.

Здесь предлагается краткий обзор основных идей и результатов диссертации. При этом ради наглядности изложения несколько упрощаются ситуации, рассматриваемые в основном тексте.

Обозначим через R евклидово пространство h, -мерных вектоп. . . Пров с нормой Ы ; L Са-Л /или L / - пространство векторфункций z : Са.,^] -* Rn с суммируемыми компонентами и нормой и хи = I L тЛ

- Jizcbldt /или !D / - пространство вектор-функций а п

X: R с абсолютно непрерывными компонентами и нормой u х и = \xcaoi + \\% \\ ; для сокращения записи введем оператор V: (Vz)(t)= •ь $xcs)cLs. и.

В диссертации систематически используется тот факт, что меж

VI. П. ^ Иду пространством D и прямым произведением L х К существует изометрический изоморфизм:

Основное предположение, определяющее границы общности рассматриваемого нами класса функционально-дифференв[иальных уравнений с 2 )

П -г»*1с оператором У: J) -* L , состоит в требовании приводимости этого уравнения к виду

3) гу п. . к. с вполне непрерывным оператором J: D L . Отметим, что в линейном случае, т.е. для уравнения . п. hгде e>L - линейный оператор из Ъ в L , такая приводимость имеет место, если оператор имеет фредгольмову главную часть, т.е. фредгольмовым является произведение . Общей теории линейных уравнений с фредгольмовой главной частью посвящена докторская диссертация Л.Ф.Рахматуллиной [119] . Типичными представителями класса приводимых уравнений являются, в частности, уравнение ( I) , если, например, существует такая постоянная тг>0, что t-act) t , и интегро-дифференциальное уравнение

4 g &

ХсЪ = S Kcb,so|cs,$d- Rcs/cjxct), $H<s,-c)xc«nck)ols a- ct ^ CL при естественных предположениях относительно ядер К, R , И и функции ^ . Подчеркнем, что при многих качественных исследованиях оказывается необязательным фактическое построение оператора : достаточно установить лишь факт приводимости. Понятию приводимости и ее конкретным признакам посвящена вторая глава диссертации.

Первая глава посвящена некоторым вопросам теории линейных уравнений (4} . Здесь предлагается общий подход к изучению матрицы Копш, дающей интегральное представление решений уравнения С 4), основанный на систематическом использовании сопряженного уравне-^ ния ; изучаются свойства некоторых линейных операторов, играющих существенную роль в теории функционально-дифференциальных уравнений ; рассматривается общая линейная краевая задача, для которой в явном виде выписывается сопряженная задача.

Из представления х =■ xcct)+Vx следует, что всякий линейный оператор : iF-* можно записать в виде х = Q х + Асохссь), где Q= - оператор, называемый главной частью оператора^; каждый столбец |гх гь -матрицы А представляет собой результат применения оператора к соответствующему столбцу единичной к.* ft —матрицы Е : Для любой правой части ^clT" решение уравнения (4} , удовлетворяющее условию хс<х}=0 » можно записать в интегральной форме t Xd)= $Cct,s^cs>d.s

CL гг. Yb тогда и только тогда, когда оператор обратим и обрат

-4. ный оператор Q. является вольтерровым оператором [20] . Ядро

Cd,s) интегрального представления ( 5) называется матрицей Коши уравнения (4) . Очевидно, матрица Коши полностью определяется главной частью Q оператора . Если не делать дополнительных предположений об операторе Q , то о свойствах матрицы Коши

Cd практически ничего нельзя сказать. Она, вообще говоря, даже не является абсолютно непрерывной по первому аргументу. В связи с этим уместно напомнить, что для многочисленных конкретных классов функционально-дифференциальных уравнений матрица Коши определялась многими авторами как решение соответствующего матричного функционально-дифференциального уравнения [57, 80, 38]. Для матрицы Коши Cct,s) обыкновенного дифференциального уравнения xch-РсЪх = ^ имеет место замечательное равенство C(t,$o =

-l X eh X (s") , где ХсЪ - фундаментальная матрица решений однородного уравнения. Таким образом, при фиксированном s матрица Cct,s>") как функция первого аргумента удовлетворяет матричному уравнению

X = F<t> X . Следствием такого представления матрицы Коши является широко используемое при исследовании многих вопросов так называемое полугрупповое равенство:

Cct.s^Cct/oCce,^ , as^s-tsi.

Указанные свойства матрицы Коши непосредственного распространения на другие уравнения не допускают. В диссертации показано, как последовательное сужение класса операторов Q приводит к появлению у соответствующих матриц Коши некоторых свойств, характерных для матрицы Коши обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим еще,- что для обыкновенного дифференциального уравнения к - Pct^x = ^ главная часть Q. оператора ^ тлеет вид cQ*/>ot) = xoh - Feb i>xcs)oLs. си

Как показано в [116], из разрешимости уравнения С4) при любой правой хгасти следует, что пространство решений однородного уравнения и-мерно, таким образом, общее решение уравнения Jzfx — имеет вид т t хсЪ = Xdvc -v i Cct,s^cs^ols , сб}

CU где X - фундаментальная их кг-матрица (ее столбцы образуют базис нуль-пространства оператора ££ ) .

Возможность изучения свойств матрицы Коши связана с уравнениями, решением которых Cci,S) является как функция одного из своих аргументов. Для различных частных случаев функционально- , дифференциальных уравнений вывод таких уравнений можно найти, например, в работах {19» 91, 136]. В общем случае уравнение, определяющее при каждом i функцию СсЬ,0 , имеет вид

-к

QloccMCcV>] = 4AoE, где ^C^s") - характеристическая функция отрезка [a-,t;\ , Q. - оператор, сопряженный к Q . Используя представление оператора Q , можно записать уравнение с 7") в терминах исходного уравнения. Приведем вид уравнения с 7 } для весьма распространенного случая уравнения (4) , - когда главная часть имеет вид

Q - 1-AS -К , где S: L-*L - оператор внутренней суперпозиции: cSx^.gBdvi^1 'если если ^сЪ^сц&з, а K'-L-'L - слабо вполне непрерывный оператор Вольтерра:

С $Kct,s)zc$}cLs. а

Уравнение с 7) в этом случае имеет вид l-l CLt g L I * t

- SCct S где 6 (Vе) - характеристическая функция множества l С9,-c) € xta.,^3: а.c<c) * s *fe} .

Если Я=0 (Главная часть не содержит оператора внутренней суперпозиции ) , то уравнение ( 7) оказывается интегральным: t

Cct.s4) - SC(fc,t)Koe,s">clT =Е , S€ta.,-t3 (8) S

Обозначим через Гс-Ь,^ резольвенту ядра K<t,s) . Тогда для Cc-t,s-) имеем представление ^

Cct^ = Е + 5 . (9) s

Отсюда сразу следует, что почти при каждом s^-t матрица абсолютно непрерывна на [s,63 , причем

Равенство с9) приводит к еще одному весьма важному свойству мат L тлеет место формула дифференцирования , ь t , $ Cot,S)|c*)cU -V fd) . (II)

В диссертации сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять операция izf , чтобы ее матрица Коши обладала свойством (II) .

Равенство сЮ) приводит к уравнению • }

С. - \ Kd,r)Ccr,s>cU: = К (t,s) , (12) ь s которое является определяющим для Cct,s) , т.е. матрицу Cc-t,s) можно определять при фиксированном s как решение матричной задачи Коши ,

УсЪ " $ КЛ/оУсоскс = K(t,S) ,

Y«> = Е. S

В случае, когда элементы ядра Kct,s) имеют ограниченную вариацию по S почти при каждом -t , уравнение (12) можно записать в эквивалентной форме t s

Отсюда следует, что для функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием t ci^xy^-ХСЬ -ScJLRct,s">xcs> = ich (13ч

Си ъ матрицу Коши можно определять как решение (при каждом фиксированном s ) матричной полуоднородной задачи

Xd) - URd.-oXeo = 0 . ci4) s *

Каждое сечение такой матрицы Коши Cct ,S) представляет собой нормальную фундаментальную матрицу соответствующего однородного уравнения (14) и поэтому общее решение уравнения (13) можно представить в виде J xob = СеЬ,а)х(со +• \Ccb,$)<j.c$)ds а ср. с представлением (б)) . Это представление называют формулой Коши. Формула Коши оказывается справедливой и для решений так называемых " S-урезанных" уравнений: для любого решение уравнения "Ь

ХсЪ- ScU^-OXCc) = , имеет вид г t

ХС"Ь = Cct,S)X(M i- 5C(t/r)|codn: .

На этом представлении основано приводимое в диссертации доказательство того факта, что матрица Коши уравнения (13 ^ обладает полугрупповым свойством тогда и только тогда, когда (13) - обыкновенное дифференциальное уравнение.

Приведенные выше соотношения позволяют изучать свойства функции СА,Я по каждому аргументу. В частности, для уравнения (13) СсМ> имеет ограниченную вариацию по S ; условия непрерывности и абсолютной непрерывности этой функции формулируются в терминах ядра Rd,S). Симметричность приведенных соотношений относительно производной матрицы Коши С Ct,S) и ядра Kob,s) главной части позволяет решить вопрос о восстановлении главной части операции ££ по ее матрице Коши. А именно, аксиоматически определяя некоторый класс матричных функций от двух переменных, каждой функции этого класса ставим в соответствие множество операцийс одной и той же главной частью Q (она определяется однозначно) и различными матрицами Act) . Отметим, что в классе уравнений вида (13) вся операция восстанавливается по матрице Коши однозначно. Решение задачи воестановления операции по матрице Коши позволяет, в частности, устанавливать специфические свойства функционально-дифференциальных уравнений (см., например, [16},[130, с. 12"]) .

Специальный параграф посвящен линейному оператору ^f , u-ограниченно отображающему пространство непрерывных на [о-э&Э n-мерных вектор-функций в пространство L . Как известно [63], всякий такой оператор имеет представление 6 сУхкЬ)= SdL Rc-t,s^xcs>. со

С— тч""

Показано, что сужение оператора J на пространство D является вполне непрерывным оператором. Отсюда, в частности, вытекает компактность оператора Немыцкого при условии, что функция удовлетворяет условиям Каратео-дори и имеет по х рост на бесконечности не выше степенного.

Таким образом, например, функционально-дифференциальное уравнение . . о . СГ .

Х(Ь = {(^ОхкЪ) оказывается уравнением с 3") с вполне непрерывным оператором с?= = • Отметим еще, что для весьма широкого класса нелинейных дифференцируемых по Гато операторов производная

SVx} оказывается u-ограниченным оператором из С^ в L и потому имеет представление с 15 "> •

В заключение первой главы рассматривается общая линейная краевая задача, т.е. система уравнений fx - <f , -tx - С* , ol f R^,

16) где краевые условия определяются выражением

ХСОЛ + [Чсякы&ь . с 17) а.

Здесь Y - постоянная It* It -матрица, элементы Yixyl -матрицы ф измеримы и ограничены в существенном на [сцв} . Выражение (17) определяет общий вид линейного ограниченного вектор-функционала, определенного на пространстве Ъ

Как показано в [9], фредгольмовость главной части оператора гарантирует фредгольмовость задачи С16), иначе говоря, - фредгольмовость оператора I

Благодаря этому обстоятельству естественно возникает вопрос о построении в явном виде сопряженной краевой задачи, т.е. уравнения is)

К п. * ц. w * где £f:(LxR) —L х R ) - оператор, сопряженный к ^ . *

Построение оператора ££ сводится к построению оператора Q .

С"

Уравнение (18) можно записать в виде системы * €

Q^Xt) + р jbY + i^Acs^ds . (I9)

Необходимым и достаточным условием разрешимости краевой задачи (16) является ортогональность пары ( ее правых частей любому решению ( однородной сопряженной задачи (т.е. системы (19) при Q - О ; у = О) Jb-dv = О .

Отметим, что вопросы, связанные с построением сопряженной краевой задачи, встречали определенные затруднения у многих ав- ■■., торов.

Глава заканчивается признаками однозначной разрешимости задачи (16) , получение которых основано на фредгольмовости этой задачи.

Вторая глава посвящена вопросам, связанным с понятием приводимости фунгащонально-дифференциальных уравнений к уравнениям с вполне непрерывными операторами. Запишем уравнение С2^ в виде х-Fx, <20> п. п. где F*. В . Решением этого уравнения называется такой элемент ХеЗ)[сц&] , что равенство Х(Ь = < 1~М(Ъ выполняется почти всюду на [<*.,&] .

Будем называть уравнение (20) приводимым, если существует

С7 -TN1 такой вполне непрерывный оператор / г-Оссцё]-* [.[а, 8} , что множество решений уравнения (20 ) совпадает с множеством решений уравнения . ст х = Ух .

Если задача Коши

К - Fx , ХСсь^Ы 21 п. разрешима при любом о( с R , то существует такая функция l|> : п. п. х R R , что решение уравнения

Xct) = Lf(t,xca->>) (22) является также и решением уравнения (20^ . Если, кроме того, задача Коши разрешима однозначно и решение ее непрерывно зависит от ot , то уравнения с 20) и (22) эквивалентны, при этом уравнение (22) - уравнение с вполне непрерывным оператором. В этом случае общее решение уравнения с 20) имеет представление Ь

ХС^О = ot + $ if CS,dl)cLs . a.

Такой случай приводимости уравнения с 20) естественно назвать канонической приводимостью, или приводимостью к канонической форме (224) . Каноническая форма (22) соответствует представлению А =■ X(a) + Vx : в этой записи разделены конечномерная составляюл щая ( ксаЛ R ) и бесконечномерная составляющая ( х € L ") эле

И- П- и. мента ХеЗ) = \* К . Другими словами, в канонической форме уравнение полностью разрешено относительно производной.

Получение достаточных условий приводимости уравнения с 20) конкретизирует следующую схему. Пусть и X - линейные пространства измеримых вектор-функций, определенных на , и опера

F n. П.

D L допускает представление

Fx = •Wcex.Sx) , (23) где S: Z , : EC-C ,

I I rVTN1^" tlпричем существует такой оператор И: оБ —* L. , что для любого

Z*QI) функция у = Нх является единственным решением уравнения

24) и произведение Н 0: D -* L является вполне непрерывным оператором. Будем говорить в этом случае, что выполнено условие М Оператор в такой ситуации определяется равенством И В.

Отметим: некоторые частные случаи приводимости. Если условие М выполнено для представления (23 ■) , где 0Х =ХСа), то уравнение с 20) приводимо к канонической форме С 22).

Пусть в представлении с 23) оператор 0 : !D —* вполне непрерывен, a Yj ij = Яг е 2. ^ для любого у с LT" , Если ^о^)' - непрерывный оператор, то, очевидно, МО = ^(Qx,^-)

4. и уравнение (20) есть уравнение с вполне непрерывным оператором.

Особое место в вопросах, связанных с приводимостью, занимают "t -вольтерровы" [Ю] операторы. Оператор °]f:2, Z2 называется т-вольтерровым, если для данного z > О и каждого из равенства Х^С^ХС-Ь") для почти всехЫ(-оо, Д-гЗП[а£1 следует, что ('Ух= (tKk ) cfc) почти всюду на (-оо, Д in [а,63. t

Интегральный оператор Вольтерра xct}-* ^Kct^xcs^cls будет х

CL вольтерровш, если при S > пгах{а, ■fc-'C'} . Оператор внутренней суперпозиции S является т-вольтерровым оператором, если -fc-^d^T , 1 = 1,., т.

Если оператор непрерывен и вольтерров, а оператор И X -вольтерров, то оператор И существует и может быть записан в явном виде следующим образом. Обозначим через V целое число, большее, чем

4 - сиУг . Тогда для оператора = ЗДх, Е g ) имеем TJ^lj -10(z) для любого • Таким образом, Из. = 10*сх)

Vz^eir.

Отметим еще, что для квазилинейного уравнения = ./Гх с вполне непрерывным оператором ff: D^lT" приводимость гарантируется фредгольмовостью главной части оператора . Уравнение

X - Sx - лГх с линейной частью нейтрального типа ( S - оператор внутренней суперпозиции') приводило, если спектральный радиус оператора S меньше единицы. Оценки спектрального радиуса оператора S предлагаются в работах [I, 28, 49, 791 .

В том случае, когда оператор (- вольтерров, можно говорить о локальных решениях уравнения (20) . Пусть . Решением на [ct, с} уравнения С 20) называется такой X с D [<х,сз , что почти всюду на [а., с Л выполняется равенство xct) = (F х )(t) » где х к.

- произвольней элемент из D [а,ё]| , удовлетворяющий условию: X C-h = X ct) на ta,c3 .

Уравнение (20) с вольтерровым оператором Г называется сг вольтеррово приводимым, если оно приводимо и оператор вольтерров. В ситуации, когда выполнено условие Н , вольтеррова приводимость обеспечивается вольтерровостью операторов зе. 9 и Е и сходимостью последовательных приближений для уравнения tj-^Hcx, при любом %

Вольтеррово приводимые уравнения обладают такими фундаментальными свойствами, как локальная разрешимость задачи Коши (21) п. при любом о( € R и продолжаемость решений.

Для вольтеррово приводимых уравнений (20)имеет место следующая теорема о приводимости к канонической форме.

Теорема I. Пусть выполнены условия: г» И" для каждого о( е R и всех с e(a,t>] имеет место общая априорная оценка всех определенных на [а.,с] решений х.^ задачи с 21):

ПК II £dCch<oo, Ъ ru где функция di\ R ->[0,оо) ограничена на каждом ограниченном множестве ; iv для каждого dL eR задача с 21) не может тлеть более одного решения.

Тогда уравнение (20) приводимо к канонической форме (22) . Канонически приводимое уравнение с вольтерровым оператором, очевидно, вольтеррово приводимо, однако, в отличие от него, всегда разрешимо в целом, т.е. все его решения определены на . Таким образом, для канонически приводимых уравнений нетривиальна (и, значит, требует исследования) лишь разрешимость уравнения при дополнительных (краевых ") условиях. Для вольтеррово приводимых уравнений нетривиальна уже нелокальная разрешимость (разрешимость на [a.,f>3) и разрешимость краевых задач. Для исследования разрешимости функционально-дифференциальных уравнений с дополнительными условиями предлагается использовать так называемые априорные неравенства.

В третьей главе вводится понятие априорного неравенства, предлагаются способы получения и использования априорных неравенств.

Будем говорить, что для решений уравнения с 20") имеет место априорное неравенство

I ХСЫ ntetjxeaM) 9 (25) если существует такая функция иг:Ца-,&1х[0,оо')-*'С0>00') , что ruc»,s) суммируема на при каждом s и каждое решение уравнения

20) удовлетворяет неравенству (25) почти всюду на [аДз .

Подчеркнем, что здесь слово "априорное" несет такую же смысловую нагрузку, как и в названии "априорная оценка": существование решений не предполагается, наличие априорного неравенства означает только, что уравнение (20) не имеет решений, не удовлетворяющих неравенству (25) .

Для уравнений, приводимых к канонической форме, функция № является мажорантой канонического оператора : ^C-t, Х(ал)\6 rru-t,\XCa)i) . (2б)

Для обыкновенных дифференциальных уравнений мажоранта ytl (априорное неравенство (25}) может быть построена на основе теорем о дифференциальных и интегральных неравенствах [22} • В общем случае уравнения (20) для построения априорного неравенства(25) можно воспользоваться следующей схемой.

Пусть uFxxtol \ 1 где оператор сЖ • 3)L обладает свойством монотонности: если , то , "Ь*[а,&з . Тогда для каждого решения % уравнения (20) имеем: ixd)i £МСшм +Уш)&). с27)

- 23 i

Пусть, далее, в пространстве L для мажорантного уравнения =JH cv + v^ (28) справедлива теорема о неравенстве типа теоремы Чаплыгина: если ii для некоторого выполняется неравенство о. ^ JU(V +Vz^, то для верхнего решения ^ ^ уравнения с 28) справедлива оценка ^ > X . Положив теперь %ct) = IXci)l , из неравенства с 27) j v получаем неравенство (25) :

1Х(Ъ\ «ЛЮхссщ + V||xca)i) = m.(t,iKCa^l).

В случае, когда м - оператор Немыцкого: (v/U-u,x-l) = u>ct, ud>), t подстановка i^d) = V + { ^cs>ds сводит уравнение с 28} к задаче

Коши $cb = u»A,t;>,

Если при этом уравнение ^ = (>u(t^) можно проинтегрировать, то задача о построении априорного неравенства (25) решена. Однако функция со удобна лишь для мажорирования операторов Немыцкого: более сложные операторы приходится мажорировать операторами более сложной структуры. Приведем одну схему построения априорного п. неравенства в случае, когда для любого к € Dicing} почти всюду на выполняется неравенство l(Fx}(bl £(ВЛЖх)(Ъ + <Е> ixc-uxt). (29)

4. 2

Здесь В , Ь : L?[a,B] - линейные положительные вольтерровы

1 1 операторы, причем спектральный радиус оператора В меньше едип ^ ницы ; оператор И , действующий изБ [а,В] в некоторое линейное пространство 2 измеримых функций z.:[a.,&;\-* , определяется равенством М X )(t) = CJ(h|X(a)l + ud)iTrCS)|X(b)\cls , L где функция ir: [a-,&3R неотрицательна, измерила и ограничена в существенном Z , причем <j,d) б act); - оператор Немыцкого: (Vz)(t) = co(-t,xd)>, функция не убывает и непрерывна.

Определим функцию -Q- La, В] х[о,оо}-*[о, оо> равенством -1

Ь 2

Теорема 2. Пусть на [сц 8] определено верхнее решение задачи Коши

Л(-Ь^) , = (30)

Пусть, далее, х - такое решение уравнения (20) , что Iжались.

Тогда почти всюду на [си, 8} имеет место неравенство с xd)\ £ иксами \С1-В2) ЪЯz.]ct>, C3I) где xd) = ad) .

Из этой теоремы вытекает, в частности, что функция пг нас

Ft* о свойство подлинеиного роста: если в неаг равенстве (29) для оператора V- можно положить со(t,x) = j>do где , то существуют такие ; S',v>0 > что m,d,r) + + , t € , t e[0,oO).

Будем называть задачу (30) мажорантной задачей Коши для уравнения (20). Отметим два свойства априорного неравенства<31), получаемого с помощью мажорантной задачи Коши.

Свойство I. Пусть оператор Г вольтерров. Тогда для любого определенного на£сс,сз,<х<с^в , решения X уравнения С

20) с начальным значением \хс(а)|^|ъ неравенство с 31) выполняется почти всюду на [a,ci . Иначе говоря, т является общей мажорантой для всех локальных решений уравнения (20) .

Свойство 2. Пусть выполнено условие 1Н. , причем для лю

VL П. бых I) выполняется неравенство

В этом случае неравенство с31) имеет место для любого решениях любого уравнения х - А И 0 X , где Л [о, 1"} . Первое свойство позволяет устанавливать разрешимость задачи Коши c2Ii в случае, когда уравнение (20) вольтеррово приводимо:

Теорема 3. Пусть оператор F удовлетворяет условию с 29) и мажорантная задача Коши с 30) имеет определенное на верхнее решение. Тогда задача Коши с 21) имеет по крайней мере одно определенное на [оц fei решение для каждого сЛ e R^ , такого, что I с* \ ^ (Ь . у

Следствие I. Пусть сосЬ,х)=рсЪ + yucbz + vcbz. > td) = w-bjx-t), xcb = ^cb/ubuct)= .

Неравенство g В

1-^ J testis >0 (33) со 1 CL a гарантирует существование определенного на ta,B] решения задачи (21) . п.

Отметим, что неравенство (33^ выполняется при любом oUR, если выполнено хотя бы одно из условий:

Y< d. ; % ct) = О почти всюду на [а,, В] .

Следствие 2. Пусть при любом В < о° оператор п.

-»L[cl,6] вполне непрерывен и выполняется неравенство (29), где Пусть TrOt)£d , t*[asoo,> , и

OO OO 00 ^

J p(t)cLt = С , jju.cbuct)d.t =C , Jvchuebd-t =C . a- a, a. Z гь

Тогда для каждого Uе R , удовлетворяющего неравенству «xpftl-j'iAc 3(idi + clc) +cl-pd,c2 >0, существует решение задачи (21) , имеющее конечный предел на бесконечности.

Второе свойство априорного неравенства с 31) позволяет устанавливать разрешимость задачи Коши (21) без предположения о воль-терровости оператора V :

Теорема 4. Пусть выполнено условие Н и неравенство (32). Если мажорантная задача Коши с 30) имеет определенное на [а,В] верхнее решение, то задача (21) имеет по крайней мере одно pv ГЬ решение для каждого с< € к , такого, что \<*\

Способы получения априорных неравенств используются далее при исследовании вопроса об априорной единственности решения задачи Коши с 21). Приведем одно из условий априорной единственнос

I гх' ти. Обозначим через X компоненту вектора х е R , < 9) п. скалярное произведение в R . Будем говорить, что оператор F удовлетворяет условию -О- , если при каждом -t е[а,Ьз для таких X,i| £ D , что Х(а) = Ц(а) и

С • • выполняется неравенство x<t)-i^cb,(Fxx-h)-(Fyxt)> ^ coot, jUix-^ub), с34) где(ullx.Xt) = тлк |xcs)i; со :[<х,В"1к[о,оо)-»-[о,оо) удовлетворяет условиям Каратеодори и не убывает по второму аргументу, причем для любого 11 (сцбз задача у = 2 ujcb, ip , ^Са.) = О имеет на только тривиальное решение.

Назовем 1-ой компонентой множества &D с 3) множество, состоящее из L-ых компонент элементов множества 2) . Пусть - некоторое множество скалярных функций, определенных на а-,в] . Будем говорить, что X - верхний (нижний) элемент множества , если ZCb)^ yet1) (ZCt) $t^d)) для всех у € ^Р .

Обозначим через множество решений задачи с 21) .

Теорема 5. Пусть существует такое решение задачи (21), что каждая его компонента является либо верхним, либо нижним элементом соответствующей компоненты множества ^Ylft Тогда при условии JTjL задача С 21) не может иметь более одного решения.

Таким образом, нарушение единственности при условии может происходить только следующим образом. Найдется по крайней мере один та.кой номер L , что графики компонент решений к d) и y^c-t) в некоторый момент времени г начинают переплетаться так, что разность XL<t)-ух-Ь меняет знак в сколь угодно малой правой окрестности точки t . Очевидно, если на [<х,6з существует верхнее или нижнее решение задачи с 21} , то условие гарантирует априорную единственность решения этой задачи. Отметим, что в скалярном случае условие Xl выполнено, например, если F - А + N , где оператор А удовлетворяет условию

KAxx-twAi^dM £ЛсЬ)ЛЛлх-улсЬ), с35) а N - произвольный антитонный вольтерров оператор:

Таким образом, если представимость Г в виде А + N рассматривать как абстрактный аналог условия L^ Н.В.Азбелева [581 » обеспечивающего априорную единственность решения задачи Коши для скалярного обыкновенного дифференциального уравнения то для функционально-дифференциального уравнения X - Г X априорную единственность можно гарантировать разве лишь при дополнительном предположении о структуре интегральной воронки. Отметим, что если условие JL усилить, - потребовать, чтобы неравенство ( 34) выполнялось для любых X, ij. £ D* , совпадающих в начальной точке, то vпредположение о структуре интегральной воронки можно опустить. Отсюда следует, что в скалярном случае (|г=1) априорная единственность имеет место, например, если F - А + N , где оператор А удовлетворяет условию (35), а X оператор Немыцкого, порождаемый невозрастающей по второму аргументу функцией X(t,X) .

Четвертая глава посвящена условиям разрешимости краевых задач, получаемым на основе априорных неравенств. Краевой задачей называется система уравнений ксЬ - (Рх-кЪ, сзб)

37) п. где - непрерывный вектор-функционал. Решением тч** этой задачи называется такая функция хе л)[а,03 , которая почти всюду на [л,63 удовлетворяет уравнению с36) и удовлетворяет краевым условиям (37). Здесь развиваются два подхода к исследованию разрешимости краевых задач. Один из них предполагает каноническую приводимость уравнения (36)и позволяет сводить вопрос о разрешимости задачи (36),(37) к вопросу о разрешимости уравнения о( = G" о< (38) с непрерывным оператором Gr , действующим в конечномерном проп. странстве к . Априорные неравенства в этом подходе используются для установления существования у оператора G- инвариантного множества. Другой подход основан на предположении о выполнении для оператора F условия И . В этом случае априорные неравенства служат источником специальной априорной оценки решений некоторого уравнения с вполне непрерывным оператором, разрешимость которого гарантирует разрешимость краевой задачи.

Остановимся сначала на первом из упомянутых подходов. Если уравнение С 36) приводимо к канонической форме (.22) , то задача (36С 37) разрешила, если имеет решение уравнение

0(oh = + V{ifC-,<*)}3 = 0 (39) era*1* гЛ х : К К . Если это уравнение можно записать в виде с 38) , то всякое условие отображения некоторого шара оператором G в себя является условием разрешимости задачи (36), С37). Так как вид функции Lj> , как правило, неизвестен, то для получения условий разрешимости приходится пользоваться менее полной, но более доступной информацией - оценками канонического оператора, которые доставляют нам априорные неравенства (25) : lipc-t,xca»| £ KVbct, IXCCLM).

Запишем краевые условия в виде

XCOL) = ч> х , п. п где R - непрерывный вектор-функционал, и обозначим че

11 1 рез ^u.:LxK -*R такой неубывающий по первому аргументу функционал, что

Для задачи ух I 1хсал\) VxcD

X = Fx , XCcl) = ^х

40) <41)

6:R -R" оператор сг • к к определяется равенством

Gc* = у[о< + vlipc-,«oVL

Мажоранты Пъ иju. позволяют сформулировать условия, гарантирующие существование у оператора G инвариантного шара. Приведем некоторые из них: „ „ >0, г с-*, (42) что о ^ ах ), д }; множество всех положительных решений скалярного неравенства £ ограничено ; ^^ оо

Используя для получения мажоранты т, теорему 2, приходил к следующему утверждению о разрешимости задачи (41") .

Теорема 6. Пусть уравнение (36) канонически приводимо и мажорантная задача Коши (30) при любом jb^ О имеет определенное на Го-, &3 верхнее решение. Тогда, если выполнено хотя бы одно из условий (42) - (44) , где мажоранта щг определяется равенством с 31) , то задача с 41) имеет по крайней мере одно решение. h. И- П.

С точки зрения изоморфности D и L х R естественно считать канонической формой краевой задачи (.36),(37) систему к =if(-,X(ay) , XCa) = V(M, ViL^-fT, (45)

Т. п в которой составляющие х ь L и X(a.)€ R разделены как в первом, так и во втором уравнении. Задача (45) имеет столько решений, сколько решений имеет уравнение при этом каждое решение краевой задачи можно найти решая задачу Коши х- Fx ,X(cl) = o< , где dL е R - решение уравнения (46). Реально эта схема может быть эффективно использовала для оценки начальных значений решений краевых задач. Как известно, эта информация играет существенную роль при реализации приближенных методов.

Обратимся теперь к другому подходу» Пусть оператор F удовлетворяет условию !Н . В этом случае задача (41) эквивалентна уравнению х - VH9* с вполне непрерывным оператором. Из теоремы Лере-Шаудера следует, что это уравнение имеет по крайней мере одно решение, если установлено, что для всех решений X всех уравнений из семейл ства

X = A{VHQx + , имеет место общая априорная оценка X \\ ^ С < оо . Л ^

Особенность получения такой оценки в нашем случае состоит в том, что оператор И неизвестен (мы располагаем только фактом его существования) . Оценку (47) позволяет получить априорное неравенство (25), обладающее свойством 2. Приведем два типичных для данного подхода утверждения о разрешимости задачи С 41).

Теорема 7. Пусть для оператора f выполнено условие 11-1 и неравенство (32), и мажорантная задача Коши (30) имеет при любом jb^O определенное на верхнее решение. Тогда каждое из условий (43) ,(44) , где Iггъ определяется равенством ( 31), гарантирует разрешимость задачи (41) .

Теорема 8. Пусть вектор-функционал vp ограничен: \<f к \ ^ d V х.€ зЛ Пусть для оператора Г выполнено условие "Sri и неравенство (32) , и майорантная задача Коши (30) имеет при любом ре[Ъ,о1) определенное на [сцвЗ верхнее решение. Тогда, если мажоранта \п, определяемая равенством ( 31) , удовлетворяет условию

J Soop m,c-t,i:)olt < оо , ^re^oL) то задача (41) имеет по крайней мере одно решение.

Признаки разрешимости конкретных классов краевых Задач, Мс-гользугащие априорные неравенства и признаки приводимости предла-?аются в §§ 4.1 - 4.3.

Отдельно рассматриваются квазилинейные краевые задачи , ( 48 )

СГ tv1"1" I "" з вполне непрерывным оператором J-: D L . Здесь существенно используется информация о линейной части задачи. Показано, в частности, что разрешимость асимптотически линейных краевых задач, т.е. задач, в которых нелинейности 5" и подчинены условию JL?!LV = о , w^-o, (49)

И'-» " * V пхп -»оо **У э 3 зЛ гарантируется регулярностью линейной задачи. Иначе говоря, тлеет место

Теорема 9. Пусть линейная задача - О,-£х = 0 имеет только тривиальное решение, а нелинейные операторы 1Г и удовлетворяют условию (49") . Тогда задача (48) имеет по крайней мере одно решение.

Отметим, что в случае обыкновенного дифференциального уравнения с ограниченной нелинейностью эта теорема привлекала внимание многих авторов (см., например, обзор Р.Конти [139]).

Приведем следствие из теоремы 9 для возмущения периодической задачи g х - АсЪх = I Ct, Ы R(t,s)xcs)) , Х(6) - ХСС-") С50")

1 a, s при следующих предположениях. Столбцы матрицы А принадлежат п, . л. п. пространству L ; функция ^'-[a^xR R удовлетворяет условиям Каратеодори и неравенству | <f ct,z)| <■ ecfc) + dlXl ; элементы . матрицы R(-b,S) имеют ограниченное изменение по s при

4 8 почти кадцом-Ы [а,&з и $ var X Ci,S)dt < оо , L,j = 1,2,., rt. a. о

- 33

Обозначим рсЪ = Stup [\\R(-t,s") \\ : cod/o = su,p{i^ct,xcV>M: x^L*", ixcs)i

Теорема 10. Пусть почти при каждом квадратичная форма, порождаемая матрицей Act") строго положительно

С строго отрицательно1) определена. Если при этом Ь

ZLyyl Vr WjOb^di, =о U>\Tb oO2ct) = 0 5 f + ОС) -j. ©о то задача С 50") имеет по крайней мере одно решение.

В заключение этой главы рассматривается краевая задача <f X - О ( 51) в предположении, что уравнение разрешимо при любом

В этом случае, как известно, уравнение = О имеет квадратную фундаментальную матрицу X(i) размерности Уь^гь . Доказанное здесь утверждение позволяет обходиться без выделения из краевых условий линейного вектор-функционала, обеспечивающего однозначную разрешимость соответствующей линейной задачи.

Теорема II. Пусть существует такое открытое ограниченное множество что для любого Л. € [0,4.1 любое решение X задачи не принадлежит границе множества S)

Пусть вращение ^C^i? , Д) конечномерного векторного поля на рранлце области А = € R"-; ХсА € £)} отлично от нуля.

Тогда задача С 51) тлеет в S) по крайней мере одно решение. Отметим, что для обыкновенного дифференциального уравнения при некоторых дополнительных предположениях аналогичное утверждение другим путем получено ранее в [1423 •

В пятой главе изучается возможность предельного перехода для последовательности краевых задач

К=1,2,. Здесь получены условия гарантирующие сходимость последовательности решений задач С 48 ) к решению X предельной задачи (48) . Такую сходимость часто называют непрерывной зависимостью решения задачи (48) от параметров, или корректностью задачи (48) . Отметим, что полученные в диссертации условия непрерывной зависимости не связываются с условиями разрешимости рассматриваемых задач, предполагается лишь, что множества решений задач С48) и (48 ) (множества ^ЗХ и т. соответс

К к твенно ) непусты.

Под сходимостью N последовательности операторов, отображающих нормированное пространство К в нормированное пространство Y , к оператору К'- Х-*4/ всюду понимается непрерывная сходимость:

II х -Х1\ - 0 \ => I ИЛГ X - ^fx U -*0\ к х J 1 k k "y^J

Говорят, что операторы J{ , к =1,2,. компактны в сово

IS купности, если множество \J Н Ъ компактно в У для любого k к ограниченного множества ЗЬ с К .

В §1 устанавливаются вспомогательные утверждения, на основе которых в §2 доказывается

Теорема 12. Пусть операторы 7 и у , к = 1,2,. к к компактны в совокупности. Пусть

Пусть существует такой линейный ограниченный вектор-функциоп. п. нал iQ' 3) R , что при каждом ^ * L задача имеет решение хк , причем t\£ktt ^<00.

•г

Тогда для любого замкнутого ограниченного множества последовательность t*k} » , компактна и ее предельные точки принадлежат множеству . Если, кроме того, то i\x - х \\ -»о при

Отметим, что для линейных краевых задач однозначная разрешимость предельной задачи в условиях этой теоремы обеспечивает однозначную разрешимость каждой к-ой задачи, начиная с некоторого к , и теорема 12 в этом случае превращается в известную теорему Н.В.Азбелева и Л.Ф.Рахматуллиной [20] .

Проверка одного из основных условий теоремы - совокупной компактности операторов - иногда требует специального исследования ; для некоторых конкретных операторов признаки совокупной компактности устанавливаются в §3. Приведем здесь условия совокупной компактности для последовательности операторов Т : Th-*^

Ь к сТ x)(h) - Ы R (t,s)xcs> . К си ь К

Теорема 13. Пусть для каждого элемента *Ъ К матрицы R <t,S) выполняются условия: к £

J c,u,p Vcur t^c-t^dt < OO ; а, к для любой последовательности последовательность {f^c-tV^ компактна по мере.

-Г тЛ I *

Тогда операторы I : D -r L , к-^-,2-»"- компактны в совок купности.

В заключение этой главы теорема о предельном переходе приме-шется для обоснования одного метода приближенного решения функци->нально-дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами. Этот метод является абстрактным аналогом известного в теории интегральных уравнений Вольтерра метода Тонелли. В частности, если задача Коши к - , Х(л) =

С7* "N14* I ^ вольтерровым оператором т : D -* L , обладающим свойством пол-!ой непрерывности, однозначно разрешима, то ее решение X можно юстроить приближенно. Для этого строится последовательность задач О , если t - тк f* , \>0 • где ( Jx)d) = к л Т -* О при к -» со . Каждая такая задача млеет единственное репение X , причем его можно построить за шагов (операk к

Г0Р ^ ~ t -вольтерров) . В силу теоремы 12 будем иметь к к

11 * " *к ^ при \< —* оо . Предлагаются оценки разности

X - X, к

В последней, шестой главе на основе результатов предыдущих глав рассматриваются некоторые специальные задачи для функционально-дифференциальных уравнений: в §1 приводятся условия управляемости некоторых нелинейных систем ; в §2 устанавливаются условия разрешимости возмущенной задачи Томаса-Ферми ; в §3 рассматривается вопрос о приведении к уравнению с вполне непрерывным оператором задачи Коши и некоторых краевых задач для уравнения с отклонением аргумента, зависящим от решения (такие уравнения привлекают все большее внимание в связи с прикладными задачами, возникающими, в частности, в электродинамике и астрофизике) .

В заключении дается краткий обзор исследований по теории функ-тонально-дифференциальных уравнений, в которых используются идеи, зтоды и результаты диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [85,86, 3-98]и в написанных с соавторами работах [10-17, 33, 75, 99-102]. з результатов последних работ в диссертацию вошли только результа-з, принадлежащие автору. Исключение составляет пункт 4.2 первой павы, в котором построено сопряженное уравнение для линейной крае-эй задачи общего вида. Этот результат получен совместно с Л.Ф.Рах-атуллиной и опубликован в [102]. Для несколько более узкого класса равнений сопряженное уравнение для краевой задачи с общими краевы-л условиями было построено ранее в работе автора [88] .

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались [а семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений МГУ, [а совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Ш0 в МГУ I98I-I983), на Белорусском республиканском семинаре по дифференци-льным уравнениям в БГУ, на семинарах Института прикладной матема-ики Тбилисского ун-та, Киевского ун-та, Института математики и ме-яники УНЦ АН СССР, Института математики АН УССР (1982,1984) , а акже на III (Черновцы, 1972) и 1У (Киев, 1975) Всесоюзных конфе-юнциях по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, на III (Самарканд, 1973) и У (Кишинев, 1979) сесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных равнений, на IX Международной конференции по нелинейным колебани-м (Киев, 1981) , на II Республиканском симпозиуме по методам реше-ий нелинейных уравнений и задач оптимизации (Хаапсалу, 1981), на аучных конференциях Латвийского ун-та (1977,1979,1981,1983, на екциях УШ школы по теории операторов в функциональных пространс-вах (Рига, 1983) , на Пермском городском семинаре по функционально-ифференциальным уравнениям (1976 - 1983 ) и на секции "Функциональ-о-дифференциальные уравнения" научно-технических конференций Перм-кого политехнического института (1977-1983) .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Здесь мы дадим краткий обзор некоторых исследований по теории функщонально-дифференциальных уравнений, в которых используются идеи, методы и результаты диссертации. Этот обзор, в частности, освещает перспективы дальнейшего развития результатов диссертации.

Использование априорных неравенств и приводимости в специальных пространствах

При исследовании уравнений вида , еоли'НСсцЬ, иногда возникает ситуация, когда рамки пространств (

1 р < оо , становятся весьма стеснительными и возникает потребность в привлечении других, более подходящих пространств, в частности, пространств абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича ^76] . Таким образом роль основного пространства решений переходит к пространству Ъ** = L^x R^. Поясг» М ним сказанное примером [76]. Сведение уравнения хек) - iot+i)xct2) +x(t)=-t, t^u, с2) к операторному уравнению с последующим изучением в пространстве X , которому принадлежит производная решения, наталкивается на ряд трудностей, если в качестве X выбирать одно из пространств L-p • Трудности эти порождаются тем обстоятельством, что оператор внутренней суперпозиции (Su)d) = uci2) не действует в пространствах и^ , . Изучение уравнения с2) в пространстве абсолютно непрерывных функций с ограниченной в существенном производной тоже нецелесообразно, так как приводит к потере решений (уравнение ( 2) имеет решение Х(4)= tc&vt-l) . В то же время оказывается возможным [76] указать такое пространство Орлича, которому принадлежит производная решения и в котором действует оператор S . Это пространство порождается W -функцией М(и.у= = explu.l-l . Исследованию функционально-дифференциальных уравнений с оператором внутренней суперпозиции, действующим в пространствах Орлича, посвящена диссертация Л.М.Култышевой [761. В третьей главе этой работы получены условия разрешимости краевых задач для уравнения cl) и некоторых его обобщений. Исследование разрешимости краевых задач основано на использовании априорных неравенств, построение которых проведено по методу, изложенному нами в § 3.2. Л.М.Култышева получила также условия канонической приводимости уравнения (I) .

Математическое описание ряда прикладных задач с в частности, задач, возникающих в химической технологии) приводит к сингулярным дифференциальным или функционально-дифференциальным уравнениям. Для сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений к настоящему времени построена достаточно полная и детальная теория ( см.[663). Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения изучены значительно меньше. Остановимся здесь на одной из последних работ, посвященных сингулярным уравнениям. В диссертации А.И.Шиндяпина [132] рассматриваются краевые задачи для уравнений вида t xct)= |ct, i K(-t,s)X(s)oLb +А(Ъх(0), boHxt^ctrt), -Ufota,

Хф = Ч>(£) , если ^[сцЬэ, в случае, когда матрицы К и В имеют в окрестности нуля несум-мируемые особенности, а функция ^ такова, что не обеспечива.ет суммируемости суперпозиции . Здесь, так же как и в предыдущем случае, возникла потребность в использовании пространств, отличных от D^ . А.И.Шиндяпину удалось построить специальное ба

AtX . А п. . п. v р (Лр с Lp) , позволившее рассматривать уравнение (3) как уравнение х = Fx с оператором F , дей

- 252 дП- д"- дП. ствующим из пространства Ар-АрХК в пространство Ар , найти условия Др-приводимости уравнения С 3) и на этой основе исследовать разрешимость задачи Коши и некоторых краевых задач. При исследовании нелокальной разрешимости задачи Коши и разрешимости краевых задач для уравнения С 3) в [132} существенно используются априорные неравенства. Дяя построения априорных неравенств применяется метод, изложенный нами в § 3.2. Таким образом, реализация идеи о приводимых уравнениях и об априорных неравенствах привела А.И.Шиндяпина к эффективным результатам о сингулярных уравнениях.

Приводимость уравнений с запаздыванием аргумента, зависящим от решения

Дифференциальные уравнения вида если

С4) и некоторые их модификации возникают, в частности, в задачах математической экономики, электродинамики и общей теории относительности. Эти уравнения обладают рядом свойств, необычных с точки зрения классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Так, любая степень гладкости функций 4 , & и if не гарантирует единственности и даже существования локального решения задачи Коши для уравнения С4) . Причиной таких эффектов является отсутствие непрерывности оператора FiT)p~*Lp :

CpX)d) ( ^Mt^Mct))}) , если \ ^СЬ^С^МСЪ)}) > если ftC-t,Xct)U[a,B3.

Требования к параметрам уравнения, обычно накладываемые для обеспечения непрерывности оператора F , оказываются чрезвычайно жесткими, если не используют априорной информации о решениях.Самым распространенным из таких требований является так называемое условие непрерывной стыковки: X(ci)=if(a) , исключающее из рассмотрения все остальные задачи Коши (с условием X(сц -d i- ifca.)) и создающее препятствия при исследовании краевых задач.

Остановимся здесь на результатах диссертации Е.С.Жуковского [55], касающихся условий вольтерровой приводимости уравнения с 4) без предположения о непрерывной стыковке. Получение этих условий основано на использовании априорных неравенств. Напомним, что для: вольтеррово приводимых уравнений справедливы утверждения о локальной разрешимости и о продолжаемости решений (см. § 2.4) . Сформулируем условия Е.С.Жуковского, гарантирующие вольтеррову приводимость скалярного уравнения (4) в следующих предположениях: функции <f,&:[a,E>3xR -> R удовлетворяют условиям Каратеодори, оператор Немыцкого Я , порождаемый функцией § : СV:o<t) -^.Cfc,xOt>) непрерывно отображает пространство , isp^*» в пространство Lp,

1 < р < оо f функция непрерывна; 41 V^.

Обозначим XCa) , если »a. cAx)d)r{ , ( i^ca) , если fuc-t,x(l)) <cu, j -xca) , если -kct,xd))>cL,

HX)Ci)= | if|fot,x<fcJQ-ifCa) , если A.cfc,xcfc)) <a. с

Зафиксируем o( € R . Пусть {x *3y. хса.)=о(}? = , cj. * ? Рассмотрим задачу

X(t)= <fct, jci) + С Hx)ct)),t* Ca-,bl , X(a^o( . (5)

Предположим, что нам известна Функция m, : [a,B}x RR такал,

2" что для любого решения Х^ задачи С 5) почти всюду на £а, Ьз выполняется неравенство иксЫ^пг c-t9e«> . Пусть, далее, функция пгс-t,о»)= % Sw-рпгС-ЬсО суммируема со степенью р по первому аргументу и непрерывна по второму. Ясно, что если существует решение X уравнения с 4") , то ixct)\ ^ nxci,x(a)>. Обозначим через TL множество таких точек t t [сц &3 , для которых существует сходящаяся последовательность чисел ^ , tm^ = § , обладающая к оо К свойством

CL, = Сб)

Множество о О измеримо по Лебегу. Если mes п = 0 , то уравнение С4) вольтеррово приводимо (см. § 6.3) . Пусть rn.es ЧЬ > О и при почти каждом -t 6 <П существует не более конечного числа И точек ^ , для которых выполнено условие с6) . Сопоставим каждому такому *t ^ ЗХ множество точек, удовлетворяющих с б) , т.е. построим М-значную функцию ЕсЪ) . Существует М таких измеримых однозначных функций ш. : <7КЪ~> R , что Uvp.ct) = Set). L l L

Признак приводимости. Пусть для любого о(€ R существует такая конечная система множеств : Ue:=cft, г Q О ^ и такое положительное число £ , что при d <J каждом j и каждом L = 1,2,.,И либо

I -> при почти всех ЧЛ^, t^., либо luJ.Cb)-о( \ ъ, \ £ ,

Ч при почти всех tee. . a 4

Тогда равнение (4) вольтеррово приводимо. В [55] получены также условия канонической приводимости уравнения С4) , условия разрешимости краевых задач для уравнения с4) , использующие априорные неравенства ; разработаны эффективные метода построения априорных неравенств, отличные от предложенных нами в гл. 3. Эти методы расширяют область применения априорных неравенств ( в [55^ они использованы, в частности, для получения оценок длины промежутка неосцилляции решений линейного дифференциального уравнения второго порядка) .

Априорные неравенства нашли применение и при исследовании обыкновенного дифференциального уравнения

XOt) - 4ct>*ci)) в случае, когда функция ^ • R R не удовлетворяет условиям Каратеодори Скогда оператор суперпозиции Немыцкого не облгдает свойством непрерывности") . На основе использования априорных неравенств в [55] выделены множества ajTL с Dp, на которых уравнение С 7) приводимо, что позволило найти достаточные условия разрешимости задачи Коши и некоторых краевых задач для уравнения (7).

Приближенное построение решений для уравнений с запаздыванием аргумента, зависящим от решения

Специальный параграф работы [55] посвящен методу приближенного решения задачи Коши для уравнения (4) , являющемуся аналогом известного метода Тонелли Сем. здесь § 5.4) . Доказательство сходимости предлагаемого алгоритма использует результаты гл. 5 о предельном переходе. Алгоритм программно реализован, опробован и показал на модельных примерах хорошую сходимость £55, с.81] .

Исследование динамических моделей экономических систем

Отметим возрастающее значение уравнений вида СI) и их обобщений в современных исследованиях по математической экономике. Возникающую в настоящее время потребность в более совершенных: моделях ( переход от дифференциальных к функционально-дифференциальным уравнениям ) предсказывал еще в 1953 г. В.Леонтьев £81, с.101] : "Некоторые из структурных отставаний С лагов) , встречающихся в текущих описаниях эмпирических взаимоотношений между затратами производства и выпуском продукции, включают, например, наличие причинности, действующей в промежутке времени - некоторого мистического взаимоотношения, которое при более тонком и детальном рассмотрении может свестись к интуитивно более удовлетворительной и математически более удобной дифференциальной формулировке". Как показывают, в частности, исследования, проводимые в лаборатории экономической кибернетики Пермского университета, модели экономических систем с учетом распределенного запаздывания более адекватно описывают реальные экономические процессы, чем модели, игнорирующие запаздывание. При исследовании конкретных iлас-сов функционально-дифференциальных моделей Д.Л.Андрианов [II , с. 20473 использовал априорные неравенства и основанные на них теоремы о разрешимости задачи Коши С гл. 3, 4) . При этом степенной вид нелинейности, наиболее распространенный в моделях экономики, позволил записать априорные неравенства и априорные оценки в явном виде (см. п. 3.2.4) . Приведем здесь вид одной из простейших моделей - "модели одноотраслевой экономики с распределенным лагом": Q у

5 о ^

Хф=Ч>(£), если

Здесь Х(Ъ - основные производственные фонды экономики в момент , Л - коэффициент выбытия производственных фондов, О <-о<,^±„ C(-b - функция потребления, - доля капиталовложений года S, обеспечивающая ввод основных производственных фондов в году-Ь,

0,93

- промежуток влияния капиталовложении, Qcs> - функция трудовых ресурсов.

Разрешилость функционально-дифференциальных включений Одним из путей преодоления трудностей исследования функцио

• г— нально-дифференциального уравнения X - Ь X с оператором. Р: T>^-»Lp , не обладающим свойством непрерывности, является замена этого уравнения специально построенным функционально-дифференциальным включением к* фх, С8) решения которого называют обобщенными решениями уравнения х = Fx ^33 , 64] . При исследовании включения (8) оказалось возможным :л достаточно естественным использование априорных неравенств в сочетании с теоремами о неподвижных точках многозначных отображений . М.Р.Карибову [641 удалось воспользоваться априорными неравенствами и методами получения априорных оценок решений, предложенными нами в гл. 4, и получить эффективные признаки разрешимости некоторых краевых задач для функционально-дифференциальных включений.

Некоторые вопросы теории линейных систем

Результаты диссертации о матрице Коши (§ 1.2) использованы в монографии В.А.Тышкевича [130] и в диссертации В.В.Малыгиной (Свердловск, 1984 г.) об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений, а также в работах С.Ю.Култышева по теории управления функционально-дифференциальными системами. И.А. Смольникова [125] использовала результаты (§ 1.2) при исследовании игровых задач управления, в которых движение описывается фушщионально-дифференциальными уравнениями. Результат п.1.3.3 о полной непрерывности оператора использован в монографии С.Швабика, М.Твёрды, О.Вейводы [152] о краевых задачах для интегро-дифференциальных уравнений.

В заключение отметим некоторые обстоятельства, связанные с [рименением общей теории уравнения X - Fx к исследованию уравнений с запаздывающим аргументом С I") . В распространенных монографиях об уравнениях с запаздывающим аргументом (см.,например,[106,134}) юшение уравнения с запаздывающим аргументом определяется как неп-юрывное продолжение "начальной функции" Lf , которая считается гастыо решения. Таким образом появляется условие непрерывной сты-совки: ХСО-) - fCa). Такой подход к уравнениям с запаздывающим аргу-1ентом объясняется давно сложившейся традицией (восходящей, по-ви-щмому, к Е.Хипьбу [145]"), которая оказалась настолько сильной, что сохраняется большинством авторов и при рассмотрении функционально-дифференциальных уравнений (см.,например, монографию Дж.Хейла[143]). 1рименение теории уравнения X - Fx , предлагаемой в настоящей ра-юте, к изучению уравнений вида С I) основано на том, что решением газывается абсолютно непрерывная функция, определенная на £а.,8з и удовлетворяющая равенству С I) почти всюду. При этом выполнение ус-ювия XCcO-^fc) необязательно, начальные функции i| и ц) входят в фавую часть уравнения (в конструкцию оператора F » порождаемо-ю уравнением (I)). Такой подход к изучению уравнений с запаздыва-)щим аргументом, как отмечалось в [57], уже назревал в работах не-соторых авторов, однако четко был сформулирован только в работе [8], юложившей начало его развитию и систематическому использованию. эядом авторов ситуация без условия непрерывной стыковки долгое врет считалась надуманной и лишенной физического смысла. Отметим в 5вязи с этим, что задачи, в которых хса)±у(а.), возникают, в частнос-?и, в иммунологии (Г.И.Марчук) и математической экономике (В.Ле->нтьев). Приведем выдержку из книги [81, с. 108"] : "Эта дополнительная степень свободы неходких условий (имеется в виду отсутствие условия XCa)=if(oO окажется полезной в специальных случаях, ?аких, например, как сравнение различных альтернативных направлеий политики: прошлую историю нельзя изменить и ее принимают за анную ; какие-либо действия по изменению исходных условий могут ыть приняты в будущем, которое начинается в настоящем, т.е. при

-0 . Именно в этот момент, вероятнее всего, можно ожидать изме-ения и, следовательно, его разрыва в исходных условиях".

Отметим еще, что условие непрерывной стыковки ограничивает бласть применения результатов многочисленных работ, полученных ри этом условии. Действительно, любое сколь угодно малое возмуще-ие начального значения XCol) , с возможностью которого необходимо (читаться при математическом моделировании, приводит к нарушению гсловия непрерывной стыковки. Очевидно, что обсуждение и решение юпроса об устойчивости свойств модели, использующей условие нек->ерывной стыковки, по отношению к "толчкам" в начальный момент вре-iei-ш становятся возможными только после отказа от этого условия, 1ри используемом нами подходе указанные вопросы решаются естественным образом (часто автоматически) с помощью теорем о зависимости решения от правой части уравнения. Поясним сказанное на примере эдномерной модели взаимодействия двух равных по массе электрически заряженных тел:

XCh = >е г — , ,2 >t^[a,£],

2 xofc) - 1 если <9> х (сс)-сК>0} касо-ъ-.

•

Для этой задачи при условии непрерывной стыковки¥(<*-)^у-Ща.)) в работе [ИЗ) установлена ее локальная разрешимость. Вопрос о сохранении этого свойства при нарушении условия непрерывной стыковки не обсуждался. Как недавно показал С.А.Гусаренко, каковы бы ни были о( и тг , задача (9) локально разрешима и каждое положительное решение продолжаемо. Таким образом, указанные свойства модели сохраняются при возмущении начальных условий.

1. Абдуллаев А.Р. Оператор внутренней суперпозиции в пространствах суммируемых функций. - Пермь, 1981. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ, №982-81.

2. Азбелев Н.В. Краевая задача для одного класса квазилинейных уравнений. В кн.: Автоматизация химических производств на. базе математического моделирования: Сб.научн.тр./Моск. ин-т хим. машиностроения. - М.: МИХМ, 1975, с. 52-54.

3. Азбелев Н.В. Единственность решения задачи Коши для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения. В кн.: 1У Всесоюзная конференция по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Тезисы докладов.

4. Киев: Наукова думка, 1975, с.4-5.

5. Азбелев Н.В. О нелинейных функционально-дифференциальных уравнениях. Дифференц. уравнения, 1976, т.12,РП, с.1923-1932.

6. Азбелев Н.В. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. В кн.: Дифференциальные уравненияс отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка,1977,с.5-II.

7. Азбелев Н.В. Матрица Коши. В кн.: Краевые задачи: Сб. науч. тр./Пермский политехи, ин-т. - Пермь: Пермский политехи.ин-т, 1981, с.67-70.

8. Азбелев Н.В.,Березанский Л.М.,Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа. -Дифференц, уравнения, 1977, т.13, PII, с. I9I5-I925.

9. Азбелев Н.В.,Бердникова М.П.,Рахматуллина Л.Ф. Интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом. Докл. АН СССР, 1970, т. 192, Р 3, с. 479-482.

10. Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1976, т.12,1. Р 3, с. 417-427.

11. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задали Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 10, с. I731-1747.

12. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1982, т.18, №12, с.2027-2050.

13. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Об одном классе уравнений, возникающих в проблеме тяготения электрически заряженных тел с учетом запаздывания сил взаимодействия. В кн.: Гравитация и объединение фундаментальных полей. - Киев:Наукова думка,I&82.

14. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.©. Функционально-дифференциальные уравнения. УМН, 1981, т.36, №4, с. 205.

15. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. 0 функции Г£и-на общей линейной краевой задачи. УМН, 1982,т.37,№4, с.119-120.

16. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф.О приводимости функционально-дифференциальных уравнений. УМН, 1983, т.38, № 5, с.128-129.

17. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения. В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям: В 3-х томах/Под ред. Ю.А. Митропольского. - Киев: Наукова думка, 1984. - Т.2.

18. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. 0 линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом. Дифференц. уравнения, 1970, -т.6, №4,с.616-628.

19. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1972, т.8. №9, с. 1542-1552.

20. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.ф. Функционально-дифференциальные уравнения. Дифференц. уравнения, 1978, т.14, №5, с.771-797.

21. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф., Чигирев А.И. Существование, единственность и сходимость последовательных приближений для нелинейных интегральных уравнений с отклоняющимся аргументом.-Дифференц. уравнения, 1970, т.6, Р2, с. 223-229.

22. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. Об интегральных и дифференциальных неравенствах. В кн.: Труды Четвертого всесоюзного математического съезда. - М.-Л.: Наука, т.2, с. 384-391, 1964.

23. Анищенко Р.И. Об одной краевой задаче для уравнений Томаса-Ферми и Томаса-Ферми-Дирака. Докл. АН СССР, 1962, т.145, №3, с. 482-486.

24. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. К более общему понятию сопряженного уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом нейтрального типа. Изв. АН Аз.ССР, 1972, №3, с. 126-130.

25. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Садовский Б.Н. Уплотняющие операторы. В кн.: Математический анализ /Итоги науки и техники/. - М.: ВИНИТИ, 1980, с.189-254.

26. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа. В кн.: Математический анализ /Итоги науки и техники/. - М.: ВИНИТИ, 1982, с. 55-126.

27. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

28. Березанский Л.М. О спектральном радиусе оператора внутренней суперпозиции. В кн.: Краевые задачи: Сб.науч.тр/Пермский политехи, ин-т.- Пермь:Пермский ун-т, 1977, с.60-61.

29. Борисом В|Г|| Гшш Мч 1,!ьшп^ис Atflr J Обуховский в.в.

30. Многозначные отображения. В кн.: Математический анализ, т. 19 /Итоги науки и техники/. - М.: ВИНИТИ, 1982,с.127-230.

31. Булгаков А.И. Функциональные и функционально-дифференциальше включения с вольтерровыми операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Горький, 1979.

32. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором. Дифференц. уравнения, 1979, т.15,№5, с. 878-884.

33. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. 0 связности множества решений включения с вольтерровым оператором. В кн.: Краевые задачи: Сб. науч. тр./Пермский политехи, ин-т. - Пермь:Пермский политехи, ин-т, 1980, с. 146-149.

34. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами. -Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, Р8, с. 1362-1374.

35. Быкадоров Ю.А. 0 дифференциально-интегральном операторе. -Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, №5, с. 901-907.

36. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений. В кн.: Математический анализ, т.16 /Итоги науки и техники/. - М.: ВИНИТИ, 1979, с. 5-53.

37. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 624 с.

38. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1978. -184 с.

39. Ведь Ю.А., Пахыров 3. Об ограниченности и устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1969, т.5,№11, с.2050-2063!.

40. Габасов P., Кириллова Ф.М. Задачи теории оптимальных процессов в системах с последействием. В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. - Киев: Наукова думка, 1977, с. 93-102.

41. Раевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978, - 336 с.

42. Гамбош П. Статистическая теория атома и ее применения. Ы,:1. ИЛ, 1951. 397 с.

43. Гелбаум Б., Олмстед Де. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. - 275 с.

44. Грибанов ГО.И. Об измеримости ядер интегральных операторов. -Изв. вузов. Математика, 1972, №7, с. 31-34.

45. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. -534 с.

46. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. - 896 с.

47. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. -Киев: Наукова думка, 1977. 308 с.

48. Драйвер Р.Д. Топологии для уравнений нейтрального типа и классическая электродинамика. В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. - Киев: Наукова думка, 1977, с. II3-I27.

49. Драхлин М.Е. О некоторых топологических свойствах одного интегрального оператора. Дифференц. уравнения, 1972, т.8,4, с. 721-724.

50. Драхлин М.Е., Плышевская Т.К. К теории функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14,8, с. I347-1361.

51. Драхлин М.Е., Шшшевская Т.К. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения нейтрального типа. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, Р 6, с. 986-996.

52. Драхлин М.Е., Плышевская Т.К. 0 корректности краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, Р 2, с. 214-226.

53. Дядченко Ю.А. 0 локальной разрешимости операторных уравнений.-В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений: Сб.науч. тр./Ярославский ун-т. Ярославль: Ярославский ун-т, 1978, с. 48-61.

54. Дядченко Ю.А. 0 нелинейном операторном уравнении типа Вольтер-ра. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Киев, 1980.

55. Ешуков Л.Н., Веков А.А., Степанов А.Н. Проблемы и библиография теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды Рязанского радиотехнического ин-та, Рязань,1972, вып. 42, с. 164-192.

56. Жуковский Е.С. Операторные неравенства и функционально-дифференциальные уравнения. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Свердловск, I9ES4.

57. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. СМБ. М.: Наука, 1968, - 448 с.

58. Зверкин A.M. Некоторые вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений. В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. - Киев: Наукова думка, 1977, с. 127-139.

59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

60. Исламов Г.Г. К вопросу об интегральном уравнении с отклоняющимся аргументом. Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, РЗ, с. 521-530.

61. Каменский Г.А., Мышкис А.Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами. Дифференц. уравнения, 1974,т. 10, РЗ, с. 409-418.

62. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742 с.

63. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 548 с.

64. Карибов М.Р. Функционально-дифференциальные включения. -Дис. . канд. физ.-мат. наук, Горький, 1981.

65. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

66. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Тбилисский ун-т, 1975. - 352 с.

67. Клоков Ю.А. Некоторые краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дис. . д-ра физ.-мат. наук, Рига, 1967. - 249 с.

68. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е„ Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

69. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближеннное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.- 267

70. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

71. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

72. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

73. Крейн С.Г. /ред./ Функциональный анализ.СШ. М.: Наука, 1972. - 544 с.

74. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М,: Наука, 1971, - 104 с.

75. Култышев С.10., Макет,юв В.П. Управляемость линейных функционально-дифференциальных систем. В кн.: Автоматизация химических производств на базе математического моделирования: Сб.науч. тр./Моск. ин-т хим. машиностроения. М.: МИХМ, 1975, с. 23-26.

76. Култышева Л.М. Об уравнениях с оператором внутренней суперпозиции. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Алма-Ата, 1981.

77. Куратовский К. Топология, т. I. М.: Мир, 1966. - 594 с.

78. Курбатов В.Г. 0 спектре оператора с соизмеримыми отклонениямаргумента и постоянными коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 10, с. 1770-1775.

79. Курбатов В.Г. Линейные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа и запаздывающий спектр. Сиб.матем. ж-л, 1975, т. 16, №3, с. 538-550.

80. Ландо Ю.К. Краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений. Дис. . д-ра физ.-мат. наук, Минск, 1969.

81. Леонтьев В. Исследования структуры американской экономики. -М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.

82. Лепин А.Я., Мышкис А.Д. Об одном подходе к нелинейным краегым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, W II, с. II84-II88.

83. Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Непрерывная зависимость решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. -Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, №4, с. 626-629.

84. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

85. Максимов В.П. Свойства функции Коши системы уравнений с запаздывающим аргументом. В кн.: Автоматизация химических производств на базе математического моделирования:Сб.науч, тр./Моск. ин-т хим. машиностроения. - М.:МИШ, 1973, с.6-7.

86. Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Казань, 1974.

87. Максимов В.П. Нётеровость общей краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения. Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, №12, с. 2288-2291.

88. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференцигшь-ного уравнения. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, №4,с. 601-606.

89. Максимов В.П. О теореме Кнезера для функционально-дифференциальных уравнений. В кн.: Краевые задачи: Сб. науч. тр./ Пермский политехи, ин-т. - Пермь: Пермский ун-т,1977,с.64-65.

90. Максимов В.П. О связности множества решений функционально- 269 дифференциального уравнения. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, №7, с. II79-II85.

91. Максимов В.П. Априорные неравенства и разрешимость нелинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, №4, с.750-752.

92. Максимов В.П. К вопросу о зависимости решений краевых задач от параметров. В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям: В 3-х томах/Под ред. Ю.А.Митропольского.-Киев: Наукова думка, 1984. - Т.2, с. 248-251.

93. Максимов В.П. О предельном переходе в краевых задачах для функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, Ш, с. 1984-1994.

94. Максимов В.П. О некоторых нелинейных краевых задачах. -Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, №3, с. 396-414.

95. Максимов В.П. О поведении на бесконечности решений функционально-дифференциального уравнения. В кн.: Космические исследования на Украине. - Киев: Наукова думка, 1983, с.130.

96. Максимов В.П., Рахматуллина Л.©. О линейном дифференциальном уравнении с функциональным аргументом. В кн.: Материалы

97. I Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-Черновцы: Черновицкий ун-т, 1972, с. 134.

98. Максимов В.П., Рахматуллина Л.ш. О представлении решений линейных функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1973, т. 9, Р6, с. 1026-1036.

99. Мамедов Я.Д. Односторонние оценки в условиях исследования решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Баку: Элм, 1971. - 120 с.

100. Манжерон Д., Кривошеин Л.Е. Некоторые вопросы решения интег-ро-дифференциальных уравнений, An. stiinl.Vrilv. "3abi, I960, т.6, №, с. 605-616.

101. Мартынюк А.А., Гутовский Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1979. - 270 с.

102. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Изд. 2-е. М.: Наука, 1972, - 352 с.

103. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальны?: уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН, 1977, т.32, Р2, с. 173-202.

104. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Гостехиздат, 1957. 552 с.

105. Нгуен Тхе Хоан Об асимптотическом поведении решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц, уравнения, 1981, т.17, Р4, с. 624-628.

106. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. - 480 с.

107. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. - 354 с.

108. Пархимович И.В. О построении р-сопряженных операторов к интегро-дифференциальным. Дифференц. уравнения, 1972, т.8, №8, с. I486-1493.

109. Писаренко В.Г. Современное состояние и задачи релятивистской проблемы многих тяготеющих электрозаряженных тел, учитывающей запаздывание сил взаимодействия обзор . В кн.: Космические исследования на Украине. - Киев: Наукова думка, 1980,с. 3 35.

110. Покорный Ю.В. Вопросы качественной теории краевой задачи Валле-Пуссена. Дис. . д-ра физ.-мат. наук, JI.,1980.

111. Покорный Ю.В., Лялькина Г.Б. Краевая задача для обыкновенноголинейного дифференциального уравнения с нелинейными краевымиусловиями. В кн.: Краевые задачи: Сб. науч. тр./ Пермскийполитехи, ин-т. Пермь; Пермский политехи. ин-т,1979,с.136-140.

112. Рахматуллина Л.Ф. О канонических формах линейных функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 19755, т. II, № 12, с. 2143-2153.

113. Рахматуллина Л.Ф. Оператор Грина и регуляризация линейных краевых задач. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 3, с. 425-435.

114. Рахматуллина Л.Ф. О представлении решений линейных функционально-дифференциальных уравнений. В кн.: У Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений: Тезисы докладов. - Кишинев: Штиинца, 1979, с.145-146.

115. Рахматуллина Л.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения. Дис. . д-ра физ.-мат. наук, Киев, 1982.

116. Родкина А.Е. О продолжимости, единственности и непрерывнойзависимости от параметра решений уравнений нейтрального типа. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, №2, с. 268-279.

117. Родкина А.Е. О задаче Коши для уравнений нейтрального типа.-Дис. . канд. физ.-мат. наук, Киев, 1976.

118. Рудин У. Основы математического анализа. М.:Мир, 1976. -320 с.

119. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. I. -М.: ИЛ, 1953 ; т. 2. М.: ИЛ, 1954.

120. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 5. М.: шизматгиз, 1959.

121. Соболев C.JI. Некоторые замечания о численном решении интегральных уравнений. Изв.АН СССР, Сер. матем., 1956, т. 20, Р 4, с. 413-436.

122. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики. -Бюл. Московок, ун-та, Секция А, 1938, т. 1,вып.8, с. 1-25.

123. Тонков Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению. Прикл.матем. и мех.,1974,т.38,№4,с.599-606.

124. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.-496 с.

125. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. - 80 с.

126. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. Математичзс-кий анализ, т.15 /Итоги науки и техники/. - М.: ВИНИТИ,1977, с. J3I-I98.

127. Шиндяпин А.И. К вопросу о сингулярных функщонально-дифферен-щальных уравнениях. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Тбилиси, 1984.

128. Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингулярного уравнения. Дифференц. уравнения, 1984, т.20, !i°-3, с. 450-455.

129. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. -296 с.

130. Artstelru Z. C<mti.nuOu.S dependence o-f. sotutiorts cxf operator equ-atlons,. Trmbs. Amer. HatPt.Soc., 1977, v. 23.1, л/-° 1,p. 14-3» -166.

131. Ex^nks И.Т. Representation, |or so£ut£.on,s of <tinea,r ^an.ctcona£ (Liferentla,6 e^u.atlon.s". Ъl^erent. ec^u-at., 1969, v. 5", №2, p."2)99-^09.

132. Broum R.C. T#e. operator theory of %e.nera.tLze.cL gou-inctary. vaiu-e proSeerrus Ccua. Mat., 1976, v. 28, a/2 3 , p. 486512.

133. Вгу.а.ю. R.A/. A £lnea-r cU^eren/tlai system, urltк generai £ocmda-r^ corutltlorvs . — *J. 3) Ц4егеп-"Ь- E<^aa±., 1969, v. 5\ rf-L, p.33-48.

134. Corbtl R. Recent trends Ln. tfle tfteory. o{ £ou*ru£cur# vafae ргоёееггиь orcUna-rg. cU^fereriiCat . В1. U,rUone 1967, р.12>5-176.

135. Gaines R.E., Maureen-. Ordinary cU|feren±la-£ e<^ca±lorts- 274 honi-CnecLr iouundLcurty concUtcon-s г. 2>Щегегг±. Ec^tta-t., £977, v.26, л/22, p.200-222.

136. Ha£e Tfteor^ o^ ^nctlonoLi dl^erervtiai e^u-attovbS.

137. ЬегССгс: Springer , 4.977. 2>€5Гр.

138. Мегггд В. Тйе <xcijo«>.t of a. £lnear ^artcttonai di^reyitiat ec^u-cution. cun-d 6occrtctar^ voutu-e, pro6£em,s. — .Т>£.Цегеп4;.1971 , v. 9, л/М 5 p. 55-86.

139. HU&E. Zocr l~-fieonte cier-tunearen- ^lULktConai Dl^eren.-Hai^ecA-u-rujen,.- Maik. Ahn., 1917, V. 7fi, p. в0~*70.i46. K^am-ka.1. Contro££a£c£ltg nonCcnectr urcikdLsir С В cute.d detours in, control.- *Jn.t. Con-br., 1.960, V.bA., р.В11-8Ч9.

140. McuatPlUl rJ. Topo£ocj.i.ca£ decree metftocLs on nontinear

141. Sou-nctar^ va£u.e pro&£em-s{ Re£tona.£ conference sercescrt, maifte meet Сел , Л/-40), Amer.Soc., Providence ,1.979.-12;J>p.

142. Mcrz.cL K.B., \X/oma.ck ft.F. On,tfte corvtre££a6ce% e{. по|г--tcnear tCme defca^ ^sieirus.-IEEE Trarus. Au-tomat.Corttr., 1972 , v.17,/^6, р.В12-й14.

143. ScAu.ma.ch.er K. On* the uniqueness ^rucnxrcL coyitLnu,a±ion. Jj.or -ttme-Eag sijstem.s. ^ 3) l^ereafc. E^u-a,t.,1977, v. 25",p. 365-^76.

144. Sckura£uk.S.,Tvrd^ M., Velvodct 0. Duff ere n-UaC, аиЛ. Integra-^- Bou.ncta.rij. vatu.e pro&6e-m.& cutoL ac^ocrtts. РгаЛъа. : Ae-cufemi-a., 197 9.- 252. p.

145. Seda. V. (9л- a generaCcxattoiv of iAe. Thomas-Fermi. ec|u.atuoiL,

146. Acta MatA.UniTr. Corner., 1980, p.97-113.

147. Ttrrdij M.,V^LVOda 0. General 6ou,no(.ar^ v/aiae proems .for a^ucie£rocU^ereri.tca£ system- artel Lts сисЦоСпЛ: . — Ccls. pebtov. p.26'42.

148. Ck.". de la Vatee Poasscn. Sar te^ctCon. cLctferenUeite JUneatre da secqyicL ordire. Deiermtna-tCoirt d'aue Cyrtegra-Ce раит detox vafears a^Sc^nces ex-fcertbCon. au.x e^aatton.s dordre w,

149. Joam.Matfc. Pujr.et Appl, 1929,рЛ2.5-4М.

150. WexEer 2). On va£u.e profeCem-s ^or an ordtnary•linear cti.^eren.-tla£ system.- Лиц. cU Mat. para eel app£.? 196b, v. 80, p. 123-134.