Симметрии функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение .

Глава 1. Формальные операторы, допускаемые обобщенными дифференциальными уравнениями .

1.1. Основные понятия и определения .

1.2. Некоторые свойства операторов полной и частной производной .

1.3. Свойства инвариантов формального оператора.

1.4. Построение базиса пространства Зк\[у(П)=Р] .

1.5. Принцип факторизации .

1.6. Поиск инвариантов.

Глава 2. Обобщенные дифференциальные уравнения 1-го порядка .

2.1. Общие замечания .

2.2. Факторизация до обыкновенного дифференциального уравнения.

2.3. Редукция до обобщенного дифференциального уравнения

2.4. Факторизация функционально-дифференциальных уравнений 1-го порядка .

Глава 3. Обобщенные дифференциальные уравнения 2-го порядка .

3.1. Общие замечания .

3.2. Факторизация до обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка .

3.3. Факторизация до обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка .

3.4. Редукция до обобщенного дифференциального уравнения

11 12

15 23 49

56

56

57 60

70

74

74

75

79 85

3.5. Редукция функционально-дифференциальных уравнений

2-го порядка . — . 91

В диссертационной работе рассматривается класс обыкновенных функционально-дифференциальных уравнений вида

Р (х,У(х),уШ),у'(хЪу'{Ф)), .••,У{п)(х),у(п\<р(х)))=0. (0.1)

В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, дифференциально-разностными уравнениями, уравнениями с запаздыванием.

Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) встречаются уже в работах математиков XVIII века, например, в связи с решением задачи Л.Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако до 1940 года число работ, посвященных этим уравнениям, было сравнительно невелико. Укажем, что до 40-х гг. еще не были сформулированы основные теоремы теории ФДУ, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи [44]. В 50-60 гг. в связи с появлением многочисленных приложений интерес к теории ФДУ резко возрос.

Как известно [20,41,65], ФДУ возникают в теории автоматического регулирования, в теории колебаний, при изучении процессов I в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, а также в различных отраслях биологии [23,62].

Среди основных направлений исследований ФДУ следует отметить:

1) теоремы существования и приближенные методы;

2) теория линейных уравнений;

3) теория устойчивости;

4) исследование периодических решений, а также вариационные задачи с отклоняющимся аргументом и связанные с ними краевые задачи.

Нетрудно видеть, что проблема поиска точных решений в замкнутом аналитическом виде не входит в число основных направлений

- не в силу отсутствия ее актуальности, а по причине недостаточной общности подходов, что легко объясняется чрезвычайной сложностью задаваемых ФДУ многообразий.

Наиболее полный обзор методов построения точных решений ФДУ представлен в монографиях Э.Пинни [61], Л.Э.Эльсгольца [64], а также в литературе других авторов [19,21,35,43,63,66].

1. Метод интегральных преобразований (операционный метод, операторный метод). Э.Пинни считает его одним из наиболее сильных методов для решения ФДУ. Как правило, он применяется для линейных уравнений, в которых коэффициенты и отклонения аргумента являются линейными функциями независимой переменной.

Используя интегральные преобразования: +00

Р(г) = ! е гхЦх) ¿х (Лапласа), п*)

-оо +00 00 +00 е *х/(х) с1а(х) (Лапласа — Стильтьеса),

Р^) = I е~{гх/{х) йх (Фурье), оо Ь

Р(г) = ! е~гх${х) йх (Эйлера — Лапласа),

ФДУ в некоторых случаях можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению (без отклонения аргумента), к функциональным уравнениям и даже к алгебраическим, так как дифференцирование и сдвиг аргумента для функций /(х) переходят в простое умножение для образа Р^).

Модификацией метода интегральных преобразований является метод производящих функций: приведенные ранее интегралы заменяются интегральными суммами. Эти суммы вычисляются и далее свертываются для получения решений. Чаще всего этот метод применяется, когда интерес представляют лишь целочисленные значения переменной сдвига.

2. Метод интегрального представления или «метод определенных интегралов» по сути дела является эвристическим методом. Он основан на предположении, что решение у{(х) системы функционально-дифференциальных уравнений может быть представлено в виде где Vi - функции, имеющие ограниченную вариацию на измеримых множествах Х{ в пространстве х. Функциям G{ и Vi придана удобная форма. Задача состоит в определении функции Y(z). Наиболее удобными являются представление Лапласа-Стильтьеса (функции Gi состоят из экспонент), а также представление в виде степенного ряда.

3. Метод последовательного интегрирования (метод шагов). Рассмотрим основную начальную задачу для простейшего уравнения с запаздывающим аргументом где постоянное запаздывание г > О, у{х) = <ро(х) при хо - т ^ х < хо.

Непрерывное решение у(х) рассматриваемой задачи находится из дифференциальных уравнений без запаздывания у' = /(ж, у(х), <р0(х - г)) при х0 ^ х < х0 + г, у(хо) = (ро(х0), так как при хо ^ х ^ + т аргумент х — г изменяется на начальном множестве [жо — т, жо] и> следовательно, третий аргумент у(х — т) функции / равен начальной функции <ро{х — т). Предполагая существование решения у = <р\{х) этой начальной задачи на всем отрезке [хо,хо + г], аналогично получим дифференциальное уравнение без запаздывания у'(х) = f(x,y{x),y(x-r)) t/ = f(x,y(x),<pi(x - т)) на отрезке [жо + t,xq + 2т], и т.д.

Л.Э.Эльсгольц называет уравнения, к которым применим метод шагов, интегрирующимися в квадратурах [64].

4. Метод квазиполиномов (метод характеристических квазиполиномов) применим для линейных уравнений с постоянными коэффициентами и с постоянными отклонениями аргументов

771 п д=0 р=0 аря, т<? € К, 0 < то < 71 < . < тт. Ищутся частные решения в виде у(х) = екх. При этом для определения постоянного к получается характеристическое уравнение т п д=0 р=О

Левая часть этого уравнения называется характеристическим квазиполиномом.

Частные решения линейного неоднородного уравнения иногда легко подбираются или легко вычисляются операционными методами.

5. Метод, основанный на дискретных симметриях множества аргументов, широко представлен в работах Ю.Л.Майстрен-ко, Г.П.Пелюха, А.Н.Шарковского [40,49,50]. Авторы рассматривали функциональные и функционально-дифференциальные уравнения, содержащие несколько отклонений аргумента. Исследование таких уравнений можно свести к исследованию системы уравнений без отклонения аргумента, если группа преобразований аргумента (5 конечна (например, если неизвестная функция у{х) входит в уравнение при двух значениях аргумента х и —х). Покажем идею этого метода на простом примере - уравнении у'(х) = ау(—х), которое рассматривал Ч.Беббедж еще в начале XIX века. Аргументы неизвестной функции, входящей в это уравнение, образуют циклическую группу С2• Обозначим у(х) = у\(х), у{—х) = У2{%), в результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка У г = &У2) У2 = —аУъ что позволяет найти общее решение исходного уравнения в виде у(х) ~ Сет (ах + ^ , х

Если группа преобразований аргумента 0 бесконечна, но содержит бесконечную циклическую инвариантную подгруппу и фактор группа © ^ конечна, то исходное уравнение сводится к системе уравнений, содержащих меньшее число преобразований аргумента. Однако, заметим, возможности этого метода ограничиваются не только требованием конечности группы преобразований аргументов (или ее фактор-группы), но и требованием отсутствия инвариантности исходного уравнения относительно этой группы.

Идея редукции функционально-дифференциальных уравнений получила свое развитие в следующем методе той же группы украинских ученых.

6. Исследование ФДУ с позиции теории функциональных уравнений [42,49] можно охарактеризовать следующим образом. Каждому квазилинейному уравнению С(хМ*ЫФ)))Щ^ = й (0-2) с1х можно сопоставить уравнение Пфаффа

А(х, и, у)с1х + В(х, и, ю)(1и + С(х, ад, у)с1у = О, которое может оказаться вполне интегрируемым [42]. Например, так будет, если А = 0, а В и С не зависят от х. Уравнения вида (0.2), которым соответствует вполне интегрируемое уравнение Пфаффа, были названы вполне интегрируемыми. Такие уравнения «интегрированием» сводятся к однопараметрическому семейству функциональных уравнений Ф(х,у(х),у(<р(х))) = С. Можно рассматривать и более общие уравнения, когда имеется несколько отклонений аргумента или отклонение зависит от неизвестной функции, и выделить среди них вполне интегрируемые.

Легко видеть, что методы, основанные на непрерывных сим-метриях многообразий, предложенные еще в конце XIX века С.Ли [6,7,32,33,45,46], для исследования ФДУ практически не использовались. Некоторые попытки применения группового анализа можно найти в работах В.Р.Петухова [51-60]. Оказалось, что основной трудностью для перенесения классических результатов С.Ли на класс ФДУ является неоднозначность трактовки продолжения инфинитезималь-ного оператора на переменные типа <р(х), у(<р(х)) и их производные. Поэтому все предложенные подходы не получили практического продолжения и не составили сколько-нибудь цельной, содержательной теории.

Следует отметить, что в последнее время интерес к групповым методам снова возрос. Однако основным объектом исследования стали недоопределенные дифференциальные уравнения, например, обыкновенные дифференциальные уравнения относительно двух неизвестных функций. При введении фиксированной функциональной зависимости между неизвестными функциями такие уравнения превращаются в ФДУ [11,14,30]. Вместе с тем недоопределенные дифференциальные уравнения встречаются и сами по себе, а дополнительная неизвестная может трактоваться, например, как управление.

Недоопределенные дифференциальные уравнения рассматривались, например, И.М.Андерсоном с коллегами [1], а также Г.Н.Яковен-ко [67-69], В.И.Легеньким [5] и В.И.Елкиным [26], однако Андерсон рассматривал их просто как пример применения классического группового анализа и теории групп Ли-Беклунда, а отечественные математики рассматривали исключительно задачи управления: «лишние» переменные являлись в них компонентами вектора управления и не имели функциональной связи с основными неизвестными функциями. В.И.Легенький отмечал, в частности, что групповой анализ недоопре-деленных уравнений неэффективен в силу того, что допускаемые операторы имеют функциональный произвол (т.е. допускается бесконечномерная алгебра Ли), порожденный не реальными симметриями, а самой недоопределенностью уравнения. Естественно, при этом алгебра оказывается «пустой», т.е. упростить уравнение с ее помощью не удается.

Исследования, проведенные в последние годы [17,27], показали, что классы симметрии:, изучаемые в групповом анализе, могут быть значительно расширены. При этом выявляется групповая природа уравнений, разрешимых в замкнутой форме, но не интегрируемых классическим методом С.Ли [27]. Введение формального оператора позволило сформулировать теоремы, лежащие в русле общих идей декомпозиции моделей, одна из которых состоит в «погружении изучаемого объекта в класс, где определено понятие об изоморфизме объектов, и в отыскании среди объектов, изоморфных данному, такого, который является "представлением" исходного объекта с помощью семейства более простых в некотором смысле объектов. Примером "представления" о котором здесь идет речь, является ситуация, когда система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посредством диффеоморфизма сведена к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, каждое из которых первого порядка» [47].

Легко усмотреть аналог декомпозиции в групповом анализе -как известно, любое уравнение, допускающее точечный оператор, может быть записано в инвариантах этого оператора. Таким образом, во-первых, понижается порядок исходного уравнения, а во-вторых, оно представляется в виде «матрешки» двух более простых уравнений, одно из которых «вложено» в другое. Такое представление является обобщением факторизации линейных дифференциальных операторов.

Целью настоящей работы является исследование симметрийных свойств функционально-дифференциальных уравнений, основанное на использовании как классического подхода, так и теории формальных операторов. Идея формальных операторов применяется к изучению свойств обобщенных дифференциальных уравнений, под которыми мы будем понимать недоопределенные дифференциальные уравнения, имеющие дополнительную функциональную или дифференциальную связь между неизвестными функциями (тем самым автоматически включая в рассмотрение класс (0.1)).

Таким образом, можно сформулировать следующие задачи диссертационной работы: . :

- продолжение теории формальных операторов на класс операторов, допускаемых обобщенными дифференциальными уравнениями;

- исследование свойств инвариантов формальных операторов и распространение принципа факторизации, заключающегося в представлении уравнения в инвариантах допускаемого оператора, на класс обобщенных дифференциальных уравнений;

- разработка алгоритмов поиска симметрий обобщенных дифференциальных уравнений;

- приложение построенной теории и алгоритмов для класса функционально-дифференциальных уравнений.

Основная часть диссертации состоит из из введения, трех глав и приложения.

Первая глава посвящена теории формальных операторов, допускаемых обобщенными дифференциальными уравнениями п-го порядка, и применению ее для поиска симметрий обобщенных дифференциальных уравнений, в частности, функционально-дифференциальных уравнений. В п. 1.1 вводятся основные понятия и формулируются необходимые определения. В следующем п. 1.2 доказываются вспомогательные утверждения, касающиеся свойств оператора полной производной Де, и используемые при доказательстве теорем пп.1.3-1.4, в которых исследуются свойства и структура пространства инвариантов допускаемого формального оператора. Доказанные теоремы позволяют в п. 1.5 сформулировать и доказать принцип факторизации обобщенных дифференциальных уравнений. Так как задача поиска симметрий в общем виде не поддается решению, в последнем пункте первой главы (п. 1.6) особое внимание уделяется алгоритму поиска инвариантов допускаемого оператора, а также рассматриваются наиболее перспективные, с практической точки зрения, типы операторов.

В следующих двух главах диссертации результаты первой главы переносятся на класс обобщенных дифференциальных уравнений 1-го (глава 2) и 2-го (глава 3) порядка, и конкретизируются с учетом специфической структуры уравнений этих классов (пп.2.1, 3.1), а также исследуются типы факторсистем, к которым они могут быть сведены (пп.2.2-2.3, 3.2-3.4). В последних пунктах этих глав (пп.2.4, 3.5) принцип факторизации применяется непосредственно к функционально-дифференциальным уравнениям соответственно 1-го и 2-го порядка.

Приложение представляет собой пробный параграф справочника по функционально-дифференциальным уравнениям.

Список литературы содержит 69 наименований, результаты диссертации опубликованы в 15 работах [8-14,18,28-30,36-39].

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

- построены теоретический основы группового анализа обобщенных дифференциальных уравнений, в частности, функционально-дифференциальных уравнений, базирующегося на теории формальных операторов;

- на основе предложенного подхода сформулированы и доказаны теоремы о факторизации обобщенных дифференциальных уравнений;

- разработан регулярный алгоритм поиска симметрий обобщенных дифференциальных уравнений и функционально-диференциаль-ных уравнений;

- многочисленные примеры, приведенные в диссертационной работе, а также приложение являются предпосылкой создания справочника по функционально-дифференциальных уравнениям.

Заключение

1. Anderson 1.M., Kamran M., Olver P.J. Internal, External and Generalized Symmetries. - Preprint, 9/4/90, 51 pp.

2. Bluman G.W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations.- Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1974. 332 pp.

3. Hill J.M. Solution of differential equations by means of one-parameter groups // Res. Notes Math. №63, 1982. - P. 1-170.

4. Катке E. Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. -Chelsea, New York, 1948.

5. Lehenkyi V. The Integrability of some Underdetermined Systems // Proceedings of the 3-d International Conference «Symmetry in nonlinear mathematical physics»- Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2000, V.30, part 1, pp. 157-164.

6. Lie S. Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen / Bearbeitet und herausgegben von Dr. G.Scheffers. Leipzig: B.G.Teubner, 1981.

7. Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Leipzig: B.G.Teubner - Oslo: H.Aschehoug к Co.: Bd.l. - 1934; Bd.2 (Teil 1). - 1935; Bd.2 (Teil 2).- 1937; Bd.3 1922; Bd.4 - 1929; Bd.5 - 1924; Bd.6 - 1927.

8. Linchuk L.V. Factorization of functional differential equations // Electronic journal «Differential equations and control processes» №4, 2001. - P. 15-25. (http://www.neva.ru/journal)

9. Linchuk L.V. Local and nonlocal symmetries of functional differential equations // Abstracts of III International Conference «Differential equations and applications». Spb: SpbSTU, 2000. - P.65.

10. Linchuk L.V. On group analysis of functional differential equations // Abstracts of the International Conference MOGRAN 2000 «Modern group analysis fo the new millennium». Ufa: USATU, 2000. - P.48.

11. Linchuk L.V. On group analysis of functional differential equations // Proceedings of the International Conference MOGRAN 2000 «Moderngroup analysis fo the new millennium». Ufa: USATU, 2001. - P. 111-115.

12. Linchuk L.V. On invariants of formal operators // Abstracts of III International Conference «Tools for mathematical modelling». Spb: SpbSTU, 2001. - P.31.

13. Linchuk L.V. On invariants of formal operators // Proceedings of III International Conference «Tools for mathematical modelling». Spb: SpbSTU, 2001. - P.43-48.

14. Linchuk L.V. Symmetry analysis of functional-differentional equations // Proceedings of III International Conference «Differential equations and applications». Spb: SpbSTU, 2000. - P.93-99.

15. Stephani H. Differentialgleichungen. Symmetrien und Losungsmethoden. Heidelberg - Berlin - Oxford: Spektrum Akademischer Verlag, 1994. - 320 pp.

16. Zaitsev V.F. On the substantiation of the theory of formal operators // Abstracts of III International Conference «Tools for mathematical modelling». Spb: SpbSTU, 2001. - P.61.

17. Zaitsev V.F. Universal description of symmetries on a basis of the formal operators // Math. Research, vol.7. «Theory and practice of differential equations». St.Petersburg: SPbSTU, 2000, pp.39-45.

18. Азбелев H.B. Пермский семинар и развитие теории функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения Пермь, 1985. - С.3-12.

19. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: «Наука», 1964. - 360 с.

20. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. -М., 1967.

21. Бочаров А.В., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики.

22. Под ред. Виноградова A.M. и Красильщика И.С. М.: Изд-во «Факториал», 1997. - 464 с.

23. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., 1976.

24. Гребенча М.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Учпедгиз, 1937. 280 с.

25. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 360 с.

26. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: Дифференциально-геометрический подход. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 317 с.

27. Зайцев В.Ф. О современном групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды II Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения». СПб: Изд.СПбГТУ, 1998. - С.137-151.

28. Зайцев В.Ф., Линчук JI.B. О групповом анализе обобщенных дифференциальных уравнений // Тезисы докладов II Международной конференции «Средства математического моделирования». СПб: Изд.СПбГТУ, 1999. - С.177-178.

29. Зайцев В.Ф., Линчук Л.В. О факторизации обобщенных дифференциальных уравнений // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики»(МДОЗМФ-2000). Орел: ОГУ, 2000. - С.222-226.

30. Зайцев В.Ф., Линчук Л.В. Об алгоритме группового анализа обобщенных дифференциальных уравнений // Тезисы докладов II Международной конференции «Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании». -Минск: БГУ, 1999. С.51.

31. Зайцев В.Ф., Полянин А .Д. Справочник: обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «Физматлит», 2001. - 576 с.

32. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математическойфизике // Успехи математических наук, т. 47, вып. 4(286), 1992. С.84-144.

33. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: «Наука», 1983. - 280 с.

34. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: «Наука», 1966. - 260 с.

35. Кирьянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. СПб.: Изд. СПбГУ, 1994. - 240 с.

36. Линчук Л.В. О групповом анализе обобщенных дифференциальных уравнений второго порядка // Труды II Международной конференции «Средства математического моделирования». СПб: Изд.СПбГТУ, 1999. - С.194-199.

37. Линчук Л.В. Факторизация функционально-дифференциальных уравнений // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского, т.11. Проблемы современной математики Казань: Изд. «УНИПРЕСС», 2001. - С.175-178.

38. Линчук Л.В. Формальные операторы, допускаемые обобщенными дифференциальными уравнениями и принцип факторизации // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления»- №1, 2001. С.71-115. (http://www.neva.ru/journal)

39. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев:«Вища школа», 1979. - 248 с.

40. Митропольский Ю.А., Шарковский А.Н. Развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в институте математики АН УССР // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. - С.215-221.

41. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., 1972. - 352 с.

42. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: «Наука», 1965. - 356 с.

43. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: «Наука», 1978. - 400 с.

44. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: «Мир», 1989.

45. Павловский Ю.Н. Геометрическая теория декомпозиции и теоретико-групповой анализ // Симметрия и дифференциальные уравнения. Красноярск, 2000. - С. 170-172.

46. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами // Методы оптимизации и их приложения. -Новосибирск: «Наука», 1982. С.155-189.

47. Пелюх Г.П., Шарковский А.Н. Введение в теорию функци- ональ-ных уравнений. Киев: «Наукова думка», 1974. - 119 с.

48. Пелюх Г.П., Шарковский А.Н. О линейных разностных уравнениях с периодическими коэффициентами // Качественные методы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев: Изд-е Института математики АН УССР, 1977. - С.91-100.

49. Петухов В.Р. Геометрический дискретно-групповой анализ функциональных и дифференциальных уравнений. Препринт №39. М: ИТЭФ, 1980. - 12 с.

50. Петухов В.Р. Групповой анализ динамических систем. Некоторые задачи. Препринт №94. М: ИТЭФ, 1983. - 24 с.

51. Петухов В.Р. Групповой анализ динамических систем с трансформацией инвариантных групп. Препринт JVe34. М: ИТЭФ, 1984. -12 с.

52. Петухов В.Р. Групповой анализ дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Препринт №155. М: ИТЭФ, 1983.- 16 с.

53. Петухов В.Р. Динамические системы и инвариантные многопараметрические группы. Приложение к теории физических структур. Препринт №172. М: ИТЭФ, 1984. - 20 с.

54. Петухов В.Р. Некоторые аналитические результаты группового анализа динамических систем. Препринт №68. М: ИТЭФ, 1984.- 16 с.

55. Петухов В.Р. О случаях интегрируемости некоторых дифференциально-функциональных уравнений // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, т.З.- М., 1965. С. 133-145.

56. Петухов В.Р. Расширение групп преобразований с отклоняющимся аргументом. Препринт №99. М: ИТЭФ, 1985. -8 с.

57. Петухов В.Р. Теоретико-групповой анализ функциональных уравнений и его применения. Препринт №26. -М: ИТЭФ, 1979.-10 с.

58. Петухов В.Р. Функциональные уравнения и динамические системы. Препринт №102. М: ИТЭФ, 1979. - 6 с.

59. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально разностные уравнения. М.: Изд-во ин. лит., 1961. - 246 с.

60. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., 1978.

61. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.- М., 1984.

62. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: «Наука», 1964. - 128 с.

63. Эльсгольц Л.Э. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Трудысеминара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, т.1. М., 1962. - С.3-20.

64. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971.

65. Яковенко Г.Н. Нестационарные симметрии в системах с управлением // Современный групповой анализ. Методы и приложения. -Баку: Элм, 1989. С.258-265.

66. Яковенко Г.Н. Решение задачи управляемости с использованием симметрии // Прикладная механика и процессы управления. М.: МФТИ, 1991. - С. 17-31.

67. Яковенко Г.Н. Симметрии по состоянию в системах с управлением // Прикладная механика и математика: Межвед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1992. - С.155-176.