Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

2 М10Л «И РГ* 0Л

2 1 НОЙ 1994

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Широков Игорь Викторович

УДК 530.1: 51-72; 531.51

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фиоию-математических наук

Томск - 1994

Работа выполнена в Томсжом го суд ар ственн ом уиизгрсптете.

Официальные оппоненты: доктор фиоико-ыатеыатнческшс пауж,

«гаш-юрр. РАН ТЬорогоа С.Д.; дожтор фшзижо-математическнх наук, профессор Обухов В.В.; доктор фзошю-цатеыатЕчесхих наук, профессор Кайгородои В.Р.

Ведущая организация: 11нстцтут гпдродинамвжп им. М.Л. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится " " дегабря 1994- г. в 14 час. на оаседанш спецжшюнрованкого совета Д 063.53.07 в Томсгом государственном университете (634010, г. Тоисз, проспезт Ленина, 36).

С диссертацией мотам кооаагозлггься в Научной бЕбзпотеге Иш-сеого государстсошюго ушаюрсдтс а. ■

Автореферат разослал * "_1934 г.

Ученый секретарь спецнадпоарованного совета

^ /ЛУ— С.Л. Ляхович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. По мере раовития фиоики все большую роль играет теория симметрии. Принцип симметрии является основополагающим при построении единой теории фундаментальных взаимодействии. В частности, теория представлений группы Пуанкаре является основой для вывода уравнений, описывающих свободные поля в релятивистской квантовой-механике. Однако, кроме ноначальио оаг даваемой симметрии, хвантово-похевые уравнения могут иметь более широкую группу инвариантности. Характерным примером является конформная инвариантно ста свободных беомассовых волновых уравнений, Ткким образом, является актуальной проблема изучения сим-метрийных свойств фундаментальных уравнений теоретической фя-ошш.

Другим, не менее оначительным, приложением теории симметрия является вооможность построения на ее основе методов точного интегрирования. Нет необходимости говорить о важности точно интегрируемых модельных оадач. Отметим, в частности, их роль в исследовании квантово-полевых процессов в интенсивных внешних полях.

Знание алгебры симметрии недостаточно для нахождения всех решений дифференциального уравнения. Раовитие соответствующих методов является самостоятельной оадачей. Непосредственное использование алгебры симметрии в проблеме точного интегрировали* возможно лишь в случае обыкновенных дифференциальных уравнений п в случае линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) в частных производных. Заметим также, что наличие бесконечномерной алгебры симметрии является признаком интегрируемости нелинейных диффе-

з

унциальных уравнений, но методы интегрирования не основываются на вх сшшетрнйных свойствах.

Доя ЛДУ математической фионки в настоящее вреия наибодеерао-ввтыв подход х проблеме интегрирования реализован в рамках теории раодедення переменных (РП). Методом РП была проведена систематизация ¿фактически всех иовестных точных решении уравнений квантовой механики с внешними полями, а также найдены обшвр^е классы новых полей и соответствующих точных решений. Для скалярного уравнения второго порядка нахождение новых классов внешних полей, или риманавых пространств, допускающих применение метода РП, по крайней мере в его традиционной форме, на фоне выполнен-пых исследований представляется в оначительной мере исчерпанным. Поотоыу приобретает интерес разработка новых методов точного интегрирования ЛДУ, отличающихся от методов РП, На сегодняшний день существуют две принципиальные возможности выхода оа рамки теории РП. Во-первых, испольоуя для построения решении операторы симметрии иной структуры, чем в методе раоделения переменных, (т.е. операторы более высокого порядка, чем порядок уравнения, нелокальные операторы), во-вторых, с помощью наборов некоммутирующих операторов. Построение метода интегрирования, основанного на пс-польоовании некоммутативных алгебр, вскрывает также новые сваои с теорией представлений групп Лп, что представляет самостоятельный интерес.

Нсльоя не обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Существует общность алгебраических конструкций, свяоанных с сииметрийньшя сх сйстр.а гп точно интегрируемых квантовых уравнений и соответствующих ¿лассичсскпх гампльтоновых систем. Эта об-

щность прослеживается в теории РП (»частности, уравнения Клеяна-ГЬрдона со внешними электромагнитными и гравитационными полями интегрируются только тогда, когда интегрируются этим методом соответствующие уравнения Гамильтона-Якоби) и в дальнейших обобщениях, связанных с применением некоммутативных алгебр. Четкое осознание такс" взаимосвязи позволяет использовать вековой опыт интегрирования и качественного аналша уравнении классической механики в проблеме построения точных и приближенных решении линейных полевых уравнений, что открывает новые широкие перспективы.

Целью настоящей работы является

1) Исследовать алгебру локальных симметрии линейного дифференциального уравнения. Построить релятивистские волновые уравнения, описывающие частицы с произвольной массой и спином. Найти все локальные симметрии беамассовых волновых уравнений. Провести разделение переменных в волновом уравнении.

2) На основе некоммутативных алгебр симметрии построить новый метод точного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Решить проблему некоммутативной интегрируемости уравнений Клейна-Гордона-Фока и Дирака-Фока.

3) Исследовать возможность применения нелокальных симметрии для построения методов точного интегрирования, выходящих оа рамки метода разделения переменных. Используя приближенные симметрии, разработать теорию возмущений, являющуюся квантовым аналогом теории возмущений KAM (Колмогорова-Арнольда-Мозера).

Научная новпвна. В работе получены следующие оригинальные результаты.

б

Докапаны теоремы о структуре алгебры симметрии трансляционно инвариантных уравнений. Покапало, что все локальные симметрии линейных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве независимых переменных размерности больше двух — линейны.

Найдена алгебра локальных симметрии уравнения Лапласа-Бельтрамя.

/

Рассмотрела проблема рал деления переменных в волновом уравнении. Наиденные новые системы разделяющихся координат полностью исчерпывают проблему разделения переменных в уравнении Даламбера.

Построены релятивистски-инвариантные волновые уравнения, описывающие массивные и безмассовые частицы с произвольным спином (в том Числе и комплексным).

Показало, что алгебра локальных симметрии беомассовых волновых уравнений с любым оначением спина, принадлежит обертывающей алгебре алгебры конформной группы.

Иоучеи идеал обертывающей алгебры — тождества иа решениях конформно-инвариантных волновых уравнений с гроязвольным спином. Для беомассовых волновых уравнений Найдена размерность алгебры дифференциальных операторов симметрии произвольного порядка г.

Предложен новый метод точного интегрирования линейных полевых уравнений с помощью некоммутативных алгебр Ли симметрии и рассмотрены его различные приложения. Полностью решена проблема некоммутативной интегрируемости уравнений Клейна-ГЪрдона-Фока и Дпраха. в рнманогш: пространствах с группой движений. Проинтегрировано кЕантоиоа уравнение Эйлера на алгебре Ли зо(4).

Проведена классификация четырех- и пятимерных квадратичных алгебр, позволяющих решать уравнения с четырьмя независимыми пе-

ременными. Проинтегрированы уравнения Клейна-Гордона-Фога, допускающие квадратичные алгебры симметрии.

Предложен метод некоммутативной размерной редукции, позволяющий строить точно интегрируемые уравнения. Да но полное отселяв локальных симметрии уравнения Шредингера с кулоновым потенциалом.

Найден новый метод генерации точно решаемых потенциалов нестационарного уравнения Шредингера. Иовестный метод генергпдп — метод Дарбу, распространен на случал нестационарного уравнения Шредингера. Рапвит алгебраический подход, объединяющий ргяяхп-яые методы генерации точно интегрируемых потенциалов.

Предложен способ применения приближенных симметрии для интегрирования уравнения Шредингера. Разработан вариант квантового аналога теории воомущений KAM (Колмогорова-Арнольда-Мсрера).

Научная и практическая ценпость. Реоультаты, полученные

у

в диссертации, являются дальнейшим ралвитием теории симметрия основных уравнений релятивистской квантовой механики.

Проведенные исследования алгебры симметрии полевых уравнений пооволяют, с одной стороны, систематически подойти к проблеме нахождения симмстрий этих уравнений, а с другой стороны, — более глубокому геометрическому и фшзическому пониманию природы самих фиопческих полей.

Построенные в диссертации релятивистские волновые уравнения, в которые спин входит как параметр, пооволяют оффективно провести исследования алгебры симметриидля полевых уравнения с различными оначениами спина.

Предложенные -в работе новые методы точного интегрирования,

обобщают теорию разделения переменных, что, несомненно, приводит к дальнейшему стимулированию раовития методов интегрирования уравнений теоретической физики.

Зснопные положения диссертации, выносимые на оащиту, следующие:

1. Исследована структура алгебры симметрии линейных дифференциальных уравнений математической фшзшш. Описаны нетривиальные локальные симметрии волнового уравнения. Найдены тождества второго порядка на его решениях, играющие важную роль в проблеме разделения переменных.

2. .Предложена скалярная форма уравнений для беомассовых и массивных полей с произвольным спином (в том числе и комплексным).

3. Найдена алгебра всех локальных симметрии беомассовых волновых уравнений с произвольным спилом. Исследованы тождества на решениях атих уравнений.

4. Постросл метод интегрирования линейных тагевых уравнений с помощью некоммутативных алгебр Ли симметрии. Докапана теорема о необходимых и достаточных условиях интегрируемости с использованием некоммутативной алгебры Ли операторов симметрии. Рассмотрены различные приложения метода.' Полностью решена проблема некоммутативной интегрируемости уравнении Клейна-Гордона-Фока и Дирака в римановых пространствах с группой движений. Проинтегрировано квантовое уравнение Эйлера на алгебре Ли ло(4).

5. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений распространен на случаи квадратичных алгебр и Р-алгебр операторов симметрии. Проведена классификация четырех- и пятимерных квадратичных алгебр, позволяющих интегрировать ура-

«

вненяя с четырьмя неоавнсимьгми переменными. 11 рокпассифяциро-ваны метрики римановых пространств, для которых уравнения Косина-ГЬрдона-Фока допускают квадратичные алгебры симметрии.

в. Построен метод точного интегрирования многомерных полевых уравнений, основанный на некоммутативной раомерной редукции с помощью коммутативных подалгебр симметрии. Дано полное описание вокальных симметрии уравнения Щрсдингера с кулоповым потенциалом.

7. Раовит алгебраический подход, объединяющий раплнчпые методы генерации точно интегрируемых потенциалов уравнения Шре-дингера. Предложен способ применения приближенных симметрии для интегрирования уравнения Шредингера.

8. Предложен вариант квантового аналога теории воомущепий KAM (Колмогорова-Арнолт.да-Мооера).

Апроблцня работы. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзном совещании "Математические проблемы статической механики и квантовой теории поля" (Куйиьппев, 1987); на Всесоюоных коллоквиумах "Современный групповой анализ: теория и приложения," (Баку, 1988; Красноярск, 1989; Ленинград 1990; Уфа, 1991; Н. Новгород, 1992; Самара, 1993); на IX и X Всесоюоных рабочих совещаниях "Гравитация и олектромагнетиом" (Минск, 1989; Минск, 1991); на III и V Международных семинарах "Гравитационная энергия и гравитационные полны" (Дубна, 1990; Дубна, 1992); 18-ом Международном коллоквиуме "Теоретико-групповые методы в фиоике" (Москва, 1990); Все-союпной школе-семинаре "Основания финики" (Сочи, 1990); Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Каоань, 1992); Международной конференции "Квантовая теория поля и грави-

тация* (Тсжсх, 1994), а также на семинарах кафедры квантовой теории поля ТГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 .татьях. Всего по теме диссертации опубликовано 38 работ.

Объем п структура диссертации. Диссертация объемом 250 страниц машинописного текста состоит ко введения, пати глав, оа-ключеивя, 4 приложений и списка цитируемой литературы ко 203 ла-пмецозаиий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во сведении обозначены основные направления, поучаемые в par боте. Отпечено, что основное внимание в работе уделено проблеме интегрирования дифференциальных уравнении математической фпоики. Проблема интегрируемости связана с глубокими свойствами симметрии полевых теорий, математически реализуемыми в понятии алгебры симметрии динаикчссгах уравнений. В этой свази ярлоратет-пои Moiíuio считать^рробкаиу поучения алгебры симметрии полевых уравнений и псстросшш и-г той основа методов интегрирования.

Далее во введении проведан обзор конкретных проблей, рассмотренных в диссортахда. Сч-ериунаровацы основные положения, выносимые па оалциту.

. В первой главе рг.сс-лтг.ени общие вопросы теории симметрии дифференциальны:-: я. Б § 1 дан краткий обзор необходимых

понятий группового и впервые доказаны, тсорешд о струк-

туре алгебры слипе-хрии дифференциальных уравнений, обладающих

ю

трансляционной и дилатационной инвариантностью. Таким свойством обладают практически все линейные и нелинейные уравнения математической фиоики. Полученные в отом параграфе реоультаты существенно используются в диссертационной работе при изучении алгебры симметрии волновых уравнений, описывающих частицы с рао-личними оначеглями спина. _

5 2 посвящен поутснто структуры алгебры симметрии линейного дифференциального уравнения. Доказаны теоремы, из которых, в частности, следует отсутствие нелинейных локальных симметрии у линейных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве размерности > 2. Тем самым была закрыта проблема поиска нелинейных симметрии для линейных уравнений, поднимавшаяся рядом авторов.

В $ 3 найдены все локальные симметрии уравнения Лапласа-Бель т-рами в псевдоевклидовом пространстве И?«. Докапано, что все локальные симметрии отого уравнения принадлежат обертывающей алгебре и{кп) алгебры Ли кп конформной группы Кп.

В § 4 рассматривается частный случай уравнения Лапласа-Бельтра-ми (р — 1, д == 3) — уравнение Даламбера. В алгебре 11(к13) имеется идеал, состоящий из тривиальных операторов симметрии (тождества), не несущих информации о решении волнового уравнения. С помощью градуировок п алгебре впервые изучена структура отого иде-

ала и в явном виде найдены все тождества, состоящие из операторов второго порядка, которые играют важную роль при разделении переменных в уравнении Даламбера.

Икание алгебры симметрии недостаточно для построения базиса решений линейного уравнения. Рапвитие соответствующих методов

П

jiMíorca самостоятельной оадачей. В настоящее время наиболее рао-витый подход к проблеме интегрирования шшешцдх диффере'нццадь-иых уравнений реалиоовап в рамках теории разделения переменных. Тсирия раоделснЕя переменных в скалярном уравнении второго порядка кепараболичсского типа кратко положена в § 5. В отом же параграфе решается проблема раоделения переменных в волновом уравнении. При решении проблемы раоделения переменных в волноьом уравнения был развит тетрадный метод нахождения привилегированных систем координат.

' Во второй главе поучаются симметрии волновых уравнений с произвольным спином. § 6 посвящен построению волновых уравнении для частпц с произвольным спином, причем слип входит в уравнения как параметр. Это обстоятельство существенно используется в последующих параграфах, так как позволяет поучать симметрию одновременно для всех беомассовых волновых уравнений. Рассмотрим подробнее бсомассовын случай.

Теорема 6,1» Уравнения

+ 0; п = 0,1,2,3; ; (1)

описывают бозмассовую частяцу со слипом s.

Здесь pa = -i8/dxn;

/13 = »"(sin XÜk - a cos A), — »(cos A3* + s sin A),

¡13 —di, loi - U33, 'oa —»'и-

Для целых и полуцелых оначениях спина s ио уравнений (1) следуют общеиавестные матричные (2s+1) компонентные волновые уравнения для беомассовых частиц.

Теорема 6.2. Если в уравнении (1) ¡зафиксировать спив а как целое

или полуцелое число и лежать решение системы (1) в виде »

ы—

тогда оти уравнения будут эквивалентны матричному уравнению па (2л +1) комлон-ятную функцию <Рк(х).

§ 7 посвящен поучению локальных симметрии беомассовых волновых уравнений. Основное содержание параграфа заключено в следующих трех теоремах.

Теорема 7.1. Уравнения (1) допускают конформную алгебру симметрии к с генераторами конформной группы

. д , .. '

П = хкрк- г(з + 1), Кп = 2- г'Х;Рп - 2Ия}хК (3)

Отметим, что спиновая переменная Л входит в генераторы конформной группы только в составе операторов ¡¡п. Поотому конечнокомпо-нентиые волновые уравнения имеют тот же самый баоис (3) конформной алгебры симметрии, где дифференциальные операторы ¡¡л отменены соответствующими матрицами. Это эквивалентно ограничению всех дифференциальных операторов на функциональное пространство, определяемое формулой (2).

Теорема 7.2. Все нетривиальные локальные симметрия беомассовых волновых уравнений принадлежат обертывающей алгебре кап-формной группы V(к).

Теорема 7.3. Пространства нетривиальных операторов симметрия порядка г неприводимы относительно присоединенного представления конформной алгебры

В | 8 изучаются тождества в обертывающей алгебре на решениях конформно-инвариантных волновых уравнений с произвольным сли-v иом. Применение теории конечномерных представлений полупростых ш. ебр Ли Позволило указать размерность пространства нетривиальных симметрии произвольного порядка г. В параграфе явно были выписаны тождества второго порядка в обертывающей алгебре, обобщающие на случай произвольного спина тождества для уравнения Да-ламбера.

Основной результат второй главы формулируется в виде отдельной теоремы.

Теорема 8.1. Все дохалыше нетривиальные симметрии беомас-соаых волновых уравнении с любым значением спина в четырехмерной пространстве-времени принадлежат обертывающей алгебре алгебры конформной группы. Пространство А<г) нетривиальных дифференциальных операторов симметрии порядка г беомассовых волновых ур&внепии иеприводимо относительно присоединенного представления конформной алгебры и имеет размерность

dim А« = (г + 1)3(г + 2^(2г + 3)/12.

Третьи глава посвящена новому методу точного интегрирования линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) — методу некоммутативного интегрирования ЛДУ. Предложенный в этой главе метод представляет собой аналог метода некоммутативного интегрирования конечномерных гаипльтоьовых систем.

" В § 9 приведены необходимые стандартные определения и факты шз теории конечномернах rav ¡шла новых систем и кратко изложен метод некоммутативного интегрирования.

§ 10 посвящен методу некоммутативного интегрирования ЛДУ. Ме-

-Н

тод основан на введенном яамя специальном представлении алгебр Ля — "А-представленин". '

Определение 10.1. Пусть алгебра Ь со стружтурвымж юистая-тами с|7 реалиоована дифференциальными операторами I; первого порядка:

!'й У-44-

Операторы действуют в пространстве функция от а — ^(¿¿т Ь -¿) переменных А € С* и оависят от г = \ridL параметров / € Сг:

»«1

где о»(А,,7), Ь,(А, .7) — функции от А, 7 , причем

Здесь — операторы Кааямврл алгебры о»,(7) — фумцмг от 3 п ¿е%(дшр/д^) £ 0.. Ткгое представление алгебры £ вавовем А -представлением. ' Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

(4)

Имеет место

Теорема 10.1. Пусть оператор Н уравнения (4) допускает алгебру Ля линейных дифференциальных операторов первого порядка. Тогда уравнение (4) редуцируется х уравнению с числом пеоавясямых переменных тп - \(<Ит Ь + Ы<1 Ь).

(Индекс тйЬ алгебры Ь совпадает с числом независимых операторов Каоимира в универсальной обертывающей алгебре и(С)).

Следствие 10.1 (о некоммутативной интегрируемости). Пусть алгебра Ь операторов симметрии первого порррЛа уравнения (1) уд')вл-

\

творяет условию

Л'т £ + »'«<£«=. 2(т -1),

тогда ураваевяе (4) полностью интегрируемо, т.е. лостроеяяе баоисл решеяля сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уряляевмя.

Реапиэацм алгоритма интегрирования свдоаыа с решением системы, которая обобщает на некоммутативный случай оадачу на собственные оначсывя

Здесь— операторы симметрии уравнения (4).

В 111 рассмотрены некоторые характерные особенности А-предст-азаений различных алгебр Ли. Приведены нетривиальные примеры в псг&оана свяоь с теорией специальных функций. ■

В | 12 общий метод, развитый в предыдущих параграфах, применяется для интегрирования ^уравнения Клейна-Гордона-Фока Е<р(х) = -е)р(в) = 0 и Днрада Еф(х) & [{>гк(в/8хк- -ш] ф(х) = О в римаковом пространстве. В § 12 получен следующий результат — все римановы пространства с группой дее^шппя, позволяющей проинтегрировать уравнения Клейна-Гордоиа-Фдка и Дирака являются штеккелевьшя (т.е. допускают разделение переменных в уравнении IV млльтона-Якобн) о? исключением четырех случаев. Для этих четырех нештеккедевых метрик в параграфе предъявлены базисы решений уравнений К пенна-ГЬр дона-Фока и Дирака. Две метрики удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна.

Предложенный метод некоммутативного интегрирования в парат графе { 13 применяется для интегрирования квантовых уравнений Эй-аера на авгебре ло(4). Интегрируемость соответствующей классиче-

стой гамииьтоновой системы была установлена В.А. Стекловым п оз-тем переоткрывалась в различных видах. В квантовом случае такке существует полный набор коммутирующих операторов симметрии. В данном параграфе для решения совместной оадачн па собствезгткз оначения применен метод некоммутативного интегрирования. Вс-':г.д-ствии чего квантовые уравнения Эйлера на алгебре Ли 4) приводятся к уравнениям с меньшим чйслом неоавпсимых переменных, разделение переменных в которых уже не представляет труда. Дел галл: а классической гампльтоновой системы оадается вырожденной жптсЭлой скобкой Пуассона па коалгебре so"(А). Квантовой редукцсп з rznto-сическом случае соответствует ограничение гампльтоновой- система на орбиту коприсоединенного представления. При отом на орбзте :о-лрисосдянезпгого представления возникает невыролдеяяая оамкпуггя снмпдектдческаа 2-форма (форма Киршшзза).

Четзертая глава посвгзцепа дальнейшему рздяптшо метода п> коммутативного интегрирования ЛДУ. Целью этой главы является применение метода некоммутативного интегрирования ЛДУ для обобщенных алгебраических констругдин, т.п. функциональна алгебр (сокращение,.F-алгебр), для которых коммутатор образующих вяслентов является, в общем случае, нелинейной функцией образующих (аллейная функция соответсвует алгебре Лп).

В 5 14 рассматривается метод некоммутативного интегрирования ЛДУ с испольоованием F-алгебр симметрии. В качестве нетривиального примера с помощью четырехмерной квадратичной алгебры симметрии проинтегрировано сравнение Клейна-ГЬрдона-Фска. в римано-вом пространстве нештеккелева типа.

В S 1& вводится определение оквивалентности квадратичных алгебр

я в рамках этого определения проводите» классификация нееквива-пентных четырех- ж пятимерных квадратичных алгебр, содержащих в качестве подалгебры, соответственна, трех- я четырехмерные алгебры Ля. На ети квадратичные алгебры наложен дополнительное адге браичг сюе условие, пооволяющее интегрировать в некоммутативной смысле ДДУ в четырехмерном пространстве независимых переменных. С помощью полученной классификации квадратичных алгебр проклассифицированы метрики иештеккелева типа и в соответствующих римановых пространствах были найдены точные решения уравнений Клейиа-ГЬрдона-Фока.

В классической механике известен общий механизм вооникновения нелинейных скобок Пуассона на линейных: берется линейная скобка на коалгебре Ли в ограничивается на нелинейное подмногообраоие. Рассмотрим гамильтоноау систему, интегрируемую в некоммутативном смысле с помощью алгебры Ли интегралов движения. Ограничим ее на поверхность уровня некоторой подалгебры Ли. Редуцированная га-иильтонова система будет обладать нелинейной пуассоновой алгеброй интегралов движения. В $ 16 рассмотрен xвaнтoiвый аналог вооникновения нелинейных пуассоновых алгебр и укапан явный алгоритм построения точных решений редуцированного уравнения. Отметим, что прямое испольооваиие ^-алгебры операторов симметрии для интегрирования редуцированного уравнения в общем случае не представляется вооможным.

Метод раомерной редукции кроме построения интегрируемых уравнении и их точных решений может быть также применен для вычисления симметрии. Хорошо известно, что уравнение Шредингера с кудоновским потенциалом получается ни уравнения Шредингера с по-

тенцналоц четырехмерного изотропного гармонического осциллятора редукцией по некоторому оператору симметрия. Это обстоятельство используется в 517 для вычисления алгебры всех локальных симметрии уравнения Шредингера для атома водорода. Постольку многие дружно валпые уравнения теоретически фззпзз иогут быть получены путей редукция более простых уравнения, то методы, развиваемые в отом параграфе, имеют более ширезпе приложения, чем решение осповпсй задачи данного параграфа. В 517 докаоана теорема

Теорема 17.4. Все локальные ашистрпп уравлеляя Шредапгера с вулоновежим потенциалом принадлежат обертызАющей алгебре и(зо[Л,С)) алгебры so(4,C) с баоисом, состоящим во операторов вращений в трехмерном пространстве L& я операторов Рупге-Ленца 11+. Здесь

t>ik-4iPk-<lkPi, Рк = = +

В пятой главе на основе понятна алгебры симметрии обсулсдз-ится различные подходы s интегрированию ЛДУ, выходящие за рамки теории разделения переменных. В предыдущих двух главах методы интегрирования ЛДУ основывались на римененнз некоммута-ивкых алгебр стшетрии. В отой глава развиваются методы интегрирования ЛДУ, использующие нелокальные п приближенные алгебры операторов симметрии. у

В $ 13 предложен метод генерация точно раорешзшых потенциалов нестационарного уравнения Шредингера, основанный на процедуре "одевания". Суть метода заключается в следующем: берется оператор уравнения Шредингера с разделяющимся потенциалом и по частному решению уравнения строится нелокальное преобразование, в результате которого исходный оператор Шредингера переходит в

оператор Щрсдингера с другим не стационарным потенциалом. Это преобразование пооводяет явным образом по системе точных реше-' юга исходного уравнения Шредиигера построить баоис решений нового уравнения. Важным моментом является то, чт^ сгенерированное уравнение Шредингера невооможно решить методом разделения переменных, постольку соответствующие операторы симметрии являются нелокальными.

В 4 1® наряду с методом "одевания" рассмотрены в другие известные методы генерации. Показано, что все методы генераций могут быть объединены в рамках одной простой алгебраической конструкции и проклассифицированы. Именно, для любого известного метода генерации существует оператор преобразования 5, удовлетворяющий условию

М\ в вМ - М8 = ш(г,<)5 + РМ,

где М — оператор Шредвмгера, и>(г,<) — вещественная функция координат и времени; Р — линейный оператор, играющий роль множителя Лагранжа. Классификация методов генерации, таким образом, сводится к классификации операторов 5 (оператор 5 может быть нелокальным (метод Абрагама-Мооеса), дифференциальным оператором первого порядка (метод Дарбу), — второго а т.д.).

Используя эту конструкцию в параграфе, обобщен метод Дарбу на. нестационарный случай. В параграфе также показано, что все нелокальные операторы симметрии уравнения Шредингера со сгенерированными потенциалами имеют определенную структуру. На основе найденной структуры был предложен новый прямой метод интегрирования ЛДУ, испольоующий нелокальные симметрии и приведены нетривиальные призеры. --

В § 20 дм исследования гамильтоновых систем, блиоких к интегрируемым, применяются приближенные симметрии. Предложенный в параграфе метод аналогичен методу усреднения в кя&ссячесхой механике, но не испольоует канонические преобразования к перемеягым "действие-угол", что пооволяет применить его в некоторых случаях I квантовым уравнениям. Подробно рассмотрен нетривиальный пример.

В 5 21 построена теория воомущении, которую можно рассматривать как хвалтовыд аналог теории воомущении KAM (Колмогорова-Арнокьда-Мооера), суть которой сводится к следующему. Пусть в ба-оисе собственных функции {<fi} оператор уравнения Я имеет вид

{ipn, Н<рт) 3 Епт - 6птЕп + eVnm\ Vnn = 0, Vn*m= Vmn.

Основой предлагаемой теории воомущении является построенная специальным способом матрица перекода ж другому б апису так, что

Нфт) 5 Нпт = ¿птЁл + e'V.ml Vnn » 0, Vn'm = К™

После N итераций будем иметь

■ - тя^&р+^ш

Теория воомущении имеет рехкурентный вид и легко реализуется для численных расчетов. Эффективность предложенной теории продемонстрирована на примере ангармонического осциллятора с нелинейностью видака;4 и г8.

В оахлючепиа сформулированы основные реоудьтаты диссертации. ,

В Приложении А приведены трехмерные коммутативные подалгебры операторов симметрии уравнения Даламбера, включающие в себя оператор второго порядка.

В Приложении В содержатся полные наборы операторов симметрии уравнения Дадамбера типа (2.0).и (2.1).

В Приложениях С в D указаны, соответственно, четырех- и пятимериые не эквивалентные квадратичные алгебры.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах'.

1. Шалоьалба A.B., Широков И.В. Об алгебре симметрии линейного дифференциального уравнения. - В кн.: "Современный групповой анализ. Методы и приложения." (Препринт ЛИИ АН СССР 1990, N 116, С. 52-58.)

2. Шаповалов A.B., Широков И.В. Об алгебре симметрии линейного дифференциального уравнения // ТМФ, 1992, т. 92, N 1, С. 3-12.

3. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Алгебраические свойства волнового уравнения и проблема разделения переменных // Гравитация и опйктромагнетшш. Сб. статей. - Минск: Нод-во "Университетское". - 1989. - Вып. 4. - С. 2С-33.

4. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Тождества на решениях волнового уравнения в обертывающей алгебре конформной группы // ТМФ. - 1990. - Т. 83. - N 1. - С. 14-22. -

а. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Коммутативные подалгебры операторов симметрии первого порядка волнового уравнения. - Томск, 1988. - 47 с. - (Препринт / ТФ СО АН СССР, N31).

6. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Полные наборы операторов симметрии первого порядка и раоделепие переменных в волновом уравнении. - ТЬмск, 1988. - 18 с. - (Препринт / ТФ СО АН СССР, N 38).

7. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широхоа И.В. Подалгебры алгебры конформной группы с нетривиальным центром // йов.'вуоов. Фиоиха. - 1990. - N 5. - С. 45-48.

8. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Коммутативные подалгебры трех операторов симметрия первого порядка и разделение переменных в волновом уравнении // Иов. вузов. Физика. - 1990. - N 5. - С. 79-84.

9. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Коммутативные подалгебры операторов симметрии волнового уравнения, содержащие оператор зторого порядка о разделение переменных. - Томск, 1990. - 60 с. - (Препринт / ТФ СО АЙ СССР, N 27). ■

10. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаяов; лов A.B., Широков И.В. Симметрия н разделение переменных в уравнении Даламбера // Современный групповой анализ. Методы а приложения. Сб. статен. - Баку, 1989. - С. 32-33.

11. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов A.B., Широков И.В. Полные наборы операторов симметрии, содержащие оператор второго порядка и пробле? т. разделения переменных в волновом уравнении // Иов. вузов. Физика. - 1991. - N 4. - С. 115-119.

12. Широков И.В. Редя - пвистские скалярные уравнения для частицы

с произвольным ставом // Иов. вуоов. Фиоика. - 1992. - N б. - С. 39-44.

хЗ. Багров В.Г., Шаповалов A.B., Широков И.В. Тождества » обертывающей алгебре иа решениях конформно-инвариантных волновых уравнений // Иов. вуоов. Фшшка. -1991. - N 9. - С. 14-18.

14. Шаповалов A.B., Широков И.В. Представления алгебр Ли и проблема некоммутативного интегрирования линейного -дифференциального уравнения // Иов. вуоов. Физика. - 1991. - N 4. -С. 95-100.

15. Шаповалов A.B., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование уравнений Кпейна-ГЬрдона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Иов. вуоов. Физика.- 1991. - N 5. -С. 33-38.

16. Федосеев В.Г., Шаповалов A.B., Широков И.В. О некоммутативном интегрировании уравнения Дирака в римановых пространствах с группой движения // Иов. вутзов. Фиоика. - 1991. - N 9. -С. 43-~46.

17. Шаповалов A.B., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование уравнения Клейна-ГЪрдона в рамаповых пространствах с группой униженна // Труды III семинара "Гравитационная энергия п гравитационные волны". Дубна, 1991. - С. 105-111.

18. Лисицын В.А., Шаповалов A.B., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование квантовых уравнений Эйлера на алгебре Ла ло(4) // Иов. вуоов. Фииика. - 1992. - N 11. - С: 45 -50.

19. Лисицын В.А., Шаповалов A.B., Широков И.В. Метод яекяшу-тативного интегрирования в квантовые уравнения Эйлера аа алгебре Ля зо(4) // 1^УДы V семинара "Гравитационная оперт в гравитационные волны". Дубна, 1993. - С. 186-190.

20. Шаповалов A.B., Широков И.В. Нелинейные скобка Пуассона, F-алгебры а некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнении // Иов. вузов. Физика,- 1992. - N 7. - С. 92-98.

21. Варакснн О.Л., Фирстов В.В., Шаповалов A.B., Широков И.В. Классификац ия F-алгебр я некоммутативное интегрирование уравнений Клейна-Пзрдона в рималовых пространствах // Иов. ву-оов. Фиоика.- 1993. - N 1. - С. 45-50.

22. Вараксин О Л., Фирстов В.В., Шаповалов A.B., Широков И.В. Классификация четырехмерных квадратичных алгебр в ее приложение к проблеме некоммутативного интегрирования уравнения Клейна-Гордона в римановых пространствах // 'Л? уды XI коллоквиума. "Современный групповой анализ в оадачп математического моделирования". Иод-во "Саларсгий университет", 1993. С. 46-51.

23. Дроялн A.A., Шаповалов A.B., Широков И.В. Редукция и некоммутативное интегрирование интегрирование линейных дифференциальных уравнений // Иов. вуоов. Физика,- 1993. - N И.. - С. 114-117.

24. Багров В.Г., Шаповалов A.B., Широков И.В. Метод генерация новых точных решений одномерного уравнения Шрсдингера // Лов. вуоов. Физика. 19S9. - N 11. - С. 112-1М.

25. Багров В.Г., Шаповалов A.D., Широков И.В. Новый класс точных решения уравнения Шредалгера и нелокальные симметрия // Гравитация и едектромагнетиом. Сб. статей. - Минск: Иод-во "Университетское". - 1990/- Вып. 5.

2ö. Bagiov V.G., Shapovalov A.V., Shirokov I.V. The Method оГ New Exact solution generation for one-dimensinal Schrödinger equation // Phys. Lett. A. 1990. V. 147. N 7. P. 348-350.

27. Багров В.Г., Шаповалов A.B., Широков И.В. Генерация точно разрешимых потенциалов нестационарного уравнения Шредин-гера // ТМФ, 1391, т. 87, N 3, С. 426-433.

28. Багров В.Г., Шаповалов A.B., Широков И.В. Методы генерации интегрируемых потенциалов уравнения Шредингёра и нелокальные симметрии // Иов. вуоов. Фионка.- 1991. - N 9. - С. 19-25.

29. Шаповалов A.B., Широков И.В. Применение приближенных симметрии для построения решений классических и квантовых га-мильтсшовых систем // Иов. вуоов. Фишка.- 1993. - N 8. - С. 114-117.