Симметрии, рекурсии и интегралы для системы гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Томский государственный университет

РГ6 О Л На правах рукописи

УДК 517:519.46:514.8:530.1

ИШЬ МИХАИЛ Б0ШС0Б.1Ч

СИММЕТРИИ, РЕКУРСИИ И ИНТЕГРАЛЫ ДЛЯ СИСТЕМ ГЙДРОДИНАШЧЕСКОГО ВША

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации »а соискание ученой степени доктора физико-нптематических наук

ТОМСК - 1994

Рабоа_ выполнена в Северо-Западном заочном политехническом институте

Официальные оппоненты:

доктор физико-матема-чческих наук, профессор

(Институт математического моделирования РАН) Н.Х.Йбрагимов

доктор физико-математических наук, профессор

(Институт оптики атмосфер "СО РАН) . С.Д.Творогов

доктор физико-математических наук, профессор

(Тоиский государственный университет) А.В.Шаповалов

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики

Защи' з состоится 0$

На заседании специализированного совета Д 063.53.07 при Томском государственном университете в

Адрес: 634050, Томск, пр.Ленина1, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотека Томского государственного университета

Автореферат разослан "ОН 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, каццидат физик¿-математиче-

ских наук С/ЬРуЬ С.Л.Ляхович

- 3 -

ОЕДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ

Диссертация посвящена изложению результатов автора по применению методов современного группового анализа дифференциальных уравнений к системам уравнений гидродинамического типа, имеющих многочисленные физические приложения, и дальнейшему развитии этих методов. • •.

Актуальность темы. Основные принципы ¡юса-роения современных физических теорий включают в себя симметрии, законы сохранения (интегралы движения) й связи меяду ними, Математическим аппаратом для их изучения, а также для построения точных решений нелинейных полевых уравнений является современный групповой анализ. Имеются в виду не только очевидные "кинематические" симметрии, которые учитываются при построении гамильтониана или лагранжиана физической системы, но и "скрьгтые" (динамические) симметрии, которые обнаруживаются лишь при систематическом анализе динагшческих уравнений. Самой известной динамической симметрией является открытая В.А.Шоком четырехмерная вращательная симметрия атома водорода в киантовоЛ механике, которую моето вычислить регулярным образен, применяя теорш обобщенных симметрия. Эта теория основана на группах преобразований Ли-Беклунда, являющихся математическим аппаратом алгоритмического вычисления скринх симметрия и открытых Н.Х.Ибрагимовым и Р.Л.Андерсоном. Аналогичный математический аппарат разработан для алгоритмического вычисления законов сохранения без обращения к теореме Нётер, предполагающей лаграыову или га -мильтонову структуру уравнений движения.

В данной работе методы современного группового анализа получили дальнейшее развитие и применены для исследования пространственно одномерных систем гидродинамического типа (СНГ). Класс га-мильтоновмх СГТ был впервые выделен В.А.Дубровиным и С.П.Новлко-

вым. 5? о квазилинейные системы уравнений в частных производных первого порядка, обладающие гамильтоновой структурой. СГТ описывают разнообразные явления: динамику газа и идеальной жидкости, включая теорию волн №> мелкой воде; модели нелинейной упругости и фазовых переходов; уравнения хроматографии и электрофореза, описывающие проховдение многокомпонентной смеси через сорбирующую среду и динамику многокомпонентной заряженной среды; магнитную гидродинамику. Физически интересные нелинейные волновые уравнения второго порядка являются условиями интегрируемости СГТ: уравнения Эйлера и Пуассона нелинейной акустики, уравнение Борна-Инфельда нелинейной электродинамики с плоской, цилиндрической и сферической симметриями, системы уравнений релятивистской струны. Вследствие такого представления информация о симметрия*, законах сохранения, гамнльтсновых структурах и точных решениях СГТ переносится на указанные уравнения. Новейшие приложения СГТ связаны с теорией усреднения нелинейных уравнений теории солитонов. Усредненные уравнения являются СГТ и описываю? динамику медленных модуляций параметров конечноаонных решений, названных "солитонными решетками" и имеющих йй.ц простых и кратных бегущих волн. Изучение таких усредненных СГТ, в сущности, дает теорию возмущений, когда разложение по мало-:у параметру производится в окрестности физически важного решения ("конденсата") в противоположность разложению в окрестности тривиального решения ("вакуума").

Привлекательной особенностью СГТ является возможность их геометрического опием, лия, подобно уравнениям Гамильтона-Пкоби и эйконала механики и оптики. Групповой анализ этих систем обнаруживает связанные с ниш дифференциально-геометрические структуры'.связность, метрику, кривизну. Гамильгонопа структура, если она имеется , окап'.'т.астся лишь одним ич ас. зктов отой более обшей геометри-

ческой теории. Таким образом, здесь ясно видна связь групп преобразований с геометрией, которую имели в виду еье С.Ли и Ф.Клейн в своей эрлангеиской программа.

Для многокомпонентных СГТ, нэ зависящих явно от аргументов ~t . X , важные результаты были получены С,П.Царевым. ВэянеПшй из них это "обобщенное преобразование годографа", позволяющее линеаризовать СГТ, обладающие свойством "по.уга^лльтоновости".

Актуальная проблема интегрирования СГТ на является решенной. Для многокомпонентных СГТ, не зависящих явно от X , ~t , преобразование Царева сводит ее к проблеме интегрирования многомерных ли-неГшх систем' с переменными коэффициентами.

В данной работе развит ноша подход к отой проблема на основе систематического изучения высших сикметрий и операторов рекурсии. Получены также кз известные ранее лииеаризукцие преобразования для СГТ, явно зависящих от или от X .

Суть развитого здесь подхода состоит в следуетем. Выделяется класс СГТ, имевших бесконечное множество гидродинамических спп.тет--пи,Гп интеграло" с функциональны« произволом, определяемым системой ллнеЯных уравнений в частных производных. Зормулы для соответствующих инвариантных решений определяют лшсарязувзве преобразование, сводящее отыскание реиегай нелинейной СГТ к проблеме интегрирования линейной системы. Строятся операторы рекурсии, отобраташю симметрии снова в симметрии. Они порогядают рекурсии гддродинэмичв-ских симметрии и интегралов и, как следствие, репега \ соответстгу-тей линейной системы. Это дает ракурсионше формула, позволяйте размножать решения нелинейной СГТ. Действие операторов рекурси'л на гидродинамические симметрии, явно зависящие от X , ~t , пороздаот бесконечные серии высших симметрии, для которых имеются явные формулы для инвариантных решений. Погученше бесконечные серии точных решений СГТ оиалогиинч известным автомодельным редониям я мехяипгр

газа и жидкости и описывают физически интересные режимы.

Цель рэбо-1:. состояла в решении следующих задач:

1. Для двухкомпонентных систем гидродинамического типа, которые могут явно зависеть от ~Ь или от X , найти все гидродинамические симметрии с явной зависимостью от ~Ь и X , исследовать их алгебру Ли и построй ть инвариантные решения и линеаризующие преобразования.

2. Найти высшие симметрии и построить операторы рекурсии симметрия для этих систем.

3. Найти все гидродинамические интегралы и построить высшие законы со::ранения с плотностями, явно зависящими от X , ~Ь , для этих систем.

4. Конкретизировать эти результаты и получить явные формулы, дающие бесконечные серии точных решений для двух важных классов двух-комноиентных систем: обобщенных уравнений газовой динамики и се~ парабельных гамильтоновых систем, имеющих многочисленные физические приложения. Получить для них представление Лакса и исследовать их гачильтоновы структуры.

5. Пост; шть теорию операторов рекурсии первого и высших порядков

г

для многокомпонентных полугамильтоновых СГТ, показать их теоретико- групповое происхоздение и развить на ",той основе простой . метод их вычисления.

6. Построить высшие симметрии и высшие интегралы для многокомпонентных полугамильтоновых систем.

Изучить связи между симме :ри.ми и интегралами для этих систем ла основе обобщенной те о рот Нётер-Ибрагинова без предположения об их лагранжевой или гамильтоновой структуре, а также связи высших интегралов с гамильтоновыми структурами,

8, построить серчи точных и*.вариантных решений.

9. Пойти.гидродинамические симметрии и линеаризующие преобраэова-

ния для многокомпонентных СГТ, явно зависящих от ~t или от X . Развить для них обобщение дифференциально-геометрической теоряд полугамильтсновых и гамильтоношх систем. 10.Показать перспективы новых приложений группового анализа: группового подхода к теории дифференциальных связей, к построению представления Лакса метода обратной задачи рассеяния, к получению законов композиции решений нелгашй1' пс уравнений.

Обвей и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, г.еети глав, заключения я списка литературт; содертат 294 стрэ иицы !,;езинопис!вдго текста. Библиография: включает СЗ наин?гювг!"<",

bfatos ссд~::':;£ т/лотн

Зэ введении дается краткий обоор проблсгаткк!!, «згодов и -лолеллп группового анализа дг:jjepe; лрзлькл; ууа'леинн. ¿"епъ пела--зан Едренлп спектр лиеллес'слл пглло:«;лНл спстл- гпдрудннллртесксг: типа и указанн достилэнкл л пвобленл дл'1>10релц'ллл^~ггсн:етрл-;асл'~> ' теории отлл слетел. Дзиа краткая аклотлил;', пллгт::?1 ~ суть ло~:л'" л ллодз к игтегрлрпванил отих слет?;-, рогллпе, лгг> в лнел'ллаллл ■ 5ерлуллруател осноглле цел:! дг.ссе'ртшглонисл р^Ссти.

Пергая глзва диссертации поевязено илупск;» сн:г'етрли, спорт-торов р;л:урспн и законов сохранения для дллголольпыл Д1?уя7г:<псп"пг ю* просгргшс-оегаго-оддсмерш}: систем глдродлпаллчеслего типа ("Г?' которое могут ягою зависеть от времени t (гот коордштетч X ):

(гапзкго шедскса обозпзчею? частные производные).

3 5 I.I. на примерз таких спетом сфорлулирсваш оеповнле лсгч-тпя группового анализа. Симметрией систсан (I) называется ввятот пр?»<5рлэовзнио перемычных, пероведлшее лр^оо репенкв эюД систем-.! enorm п r-гтотъ и остаклящео тогоаризнлгоа сист?я? (I). Я ? «г

казана теорема, дашая бесконечное множество гидродинамических симметрия системы (I) с функциональным произволом, поровдаемых уравнениями Ли вида;

вместе с необходимыми и достаточными условиями их существования. При

эти услбвия следующие:

где

В § 1.3 изучена бесконечномерная алгебра Ли гидродинамических симметрия системы (I). Показано, что неоднородная по производным гидродинамическая симметрия

О) ) порождает

с помощью коммутатора Ли рекурсию однородных по производным гидродинамических симметрии. В § 1.4 изучены гидродинамические симметрии и условия их существования для диагональных СГТ с явной зависи-

-."■С1Ь'£ ОТ х:

(5)

^ 1.5 .показано, что формулы для инвариантных решен-.й '{'(У^А^—О определяют линеаризующее преобразование для системы Я) (или (5)), сводя решение системы (Р к интегрированию шчюйиой системы:

**> 5 1.6 доказана теорема, дашая для системы (X) все высшие сим-ммчии второго порядка с функциональным произволом вместе с необ-

и д статочными условиями их существования. Они яорождают-."'! уравнениями Ли вида:

, } > (¡1',) С»

§5 1.7, 1.3 посвящены операторам рекурсии К , отображающим всякую симметрию системы (I) снова в симметрию. В § 1.7 найдены операторы ^ первого порядка вида:

К = (Ан,уЗ)х Ь'1) ;

где/[- и ^ - (2x2) - матрицы, - опелтор полного дифференцирования по X • Предложена простая процедура их вычисления как гидродинамических спжетрий для гидродинамических симметрия сдс.тэ мы (I). В § 1.8 найдена операторы /{ второго поряшга вида:

где 1/4/.;3/ Р-(^КЛ)- матрица, зависящие от Ь^хЛ^/О*' с погюпыэ новой методики: как висшв симметрии второго порядка для гидродинамических симметрия системы (I). Доказано, что оператор« рекурсии первого порядка, порожденные симметрией и коммутатором Ли симметрии, совпадают. Доказано, что все высшие симметрии второго порядка можно получить дейстт-лем оператора Я второго порядка ня гидродинамические симметрии, явно зависшие от Х/? . §§ 1.9,1.10 посвящены,изучению законов сохранения (интегралов) системы (I). В § 1.9 доказана теорема., дашая бесконечное множество гидродинамике ских интегралов с плотностями Рс (7 } , я. ло зависящие от X ( и имеющими функциональный произвол, вместе с необходимыми » достаточными условиями их существования, включающими условие О). В 5 1.10 получено бесконечное множество высших интегралов первого порядка с плотностями вида Р(х,{; 5,*?,

при условиях (3) и функциях С1{$)/(\(ч 1 '»удоллетвошютвх рап<?кстрг:

и более общее выражение для р при ß — 0-

Главы 2 и 3 посвящены более детальному изучению двух важных классов двухкомпонентных СГТ, имеющих многочисленные физические приложения: обобщенных уравнений газовой динамики и сепарабельных гашшьтоновых систем. В § 2.1 изучены высшие симметрии второго порядка уравнений одномерной газовой динамики (ОГД) для плоского иззнтропического течения газа:

% + uux +d2(f) ffx ~0, ß, + (uj>)x = 0 . ™

Здесь показано, как анализ обобщенных симметрия алгоритмически приводит к переменным, в которых задача упрощается: к инвариантам Ри-мана, диагонализируюшы систему; к преобразованию от эйлеровых координат к лагранжевым для газа Чаплыгина. Дана групповая классификация уравнений (12) по произвольному элементу и показано,как она приводит к специальным случаям интегрируемости этой системы. В § 2.2 найден явный вид всех симметрия третьего порядка, не аави-сдадх явно от Х/с,для уравнений (12) к построен оператор рекурсии сим~1ьтрий первого порядка:

где |' — ¿-¿ад, (1,1); ^ ® j j " матрица Паули. Оператор

f{ пороедает бесконечную серию еысших симметрии любых порядков, действуя нп элемент (l,1) ( Т - транспонирование). Для политроп-лого газа получен более общий вид f{ . В § 2.3 рассматривается класс обобщенных уравнений газовой динамики (ОУГД) в инвариантах Рима на S .

• S^/s/O'S= (Ч + f) (14)

где '

% = % . (15)

8-ю бесконечная иерархия ко лути^ующих потоков гидродинамического тала, содержащая уравнения ОГД (12). Показано, что оператор f(

(13) является операторе-»-. рс-/.;.-{>о:и г-кмчетдл.т псех уравнений ОУГД. Получены рекурсии < чд;,:»дмь'>' <я:с< :■';•., е>..:;/е.<гриП> полутени PC« гидродина.чп^гекпе с;кмег;''"< ы, • т-»лспно с-п'-. р-тортто порл'тк'

явно завкеязнь Xj~t , Д'>я зеег. урог.и"чг,.\ 0"ГП7, (Ы). В £ 2.4 построена оаскоН'Зг:но;:ерчт1 •conny.a^.i'Jii^n :< р0дппа!:ическ!пс и чсегг'сс с. гидгcn::^ c^rri'jïv.:,, !.>6rv-0":v_'

:i;;cô:i. Построен сиратшЛ ол-аоптор irrypoim

. П ] построено v,;

сз т:гш Ибр:-;;-';':юл7-^лбааа ,г.::я ^чЛ -Т" ■? ТТ;"

стэп^пей

где спс

Г?

■ч /

. „„„ в которэ::

^R/jt-fR -f).

поте;; noc'jf-o;»:ïL'-

.¿гс

'Хс-Грзлсг- с r^-jr.j";-;--;-: ;; ллгегрллгеп, плот*"'

с:я so'iscas тагу? яхпз с-с - . - ~~;ocx:î» прл

ограничениях ¡"t е.;е?ему вкготся шггегр'л", ко заэк&шв «"ïho *>т y", В § 3.1 глаг* 3 nosaaana гакпльтотгз структура 07ГД. В § 3.2 плодится в расемотрениэ более, общий класс сетарзбеяыазе гамильтонс^ь"? систем,сбсуидая'.ся их различные физические приложения *.! ronpcvTT?-кичеекае интегралы. Эти системы имеют ряд:

где гамильтоновы плотности Н(и,]>) Удовлетворяют волновому уравнению с разделягаимися переменными:

(№)~*Н«и а?)

с произвольными фиксированными функциями ^Ш)/ сЦу) . Ту щ га-ыильтонову структуру (16) имеют гидродинамическио симметрии систеш 116) с тем же уравнением (X?) для гамильтонианов, которые совпадают с плотностями гидродинамических интегралов этой систеш, В § 3.3 с помощью конструкции Ю.И.Ыанина построены в явном виде две бесконечнее серии сепарабельных гамильтоновых плотностей Н ' Но) и Н¡о,1) ■

н = £ * -1 (^Щ и У; ш

где И - целая часть числа & 5/(, \/ = 0,1; /4+^-"/;/=-"//0,1,2^.., В § 3.4 показано, что гамильтоновы систеш (16) с гамильтонианами V. 1в> обладают оператором рекурсии и представлением Лакса. Построен оператор рекурсии второго порядка:

, ' (19)

131 i Ух, РФ*)' ( >

При 1 не существует оператора рекурсии первого порядка. При

^¡и) ~ '/ система (16) сводится к ОУГД^ Щх~Ц>х='Мх/ ,

где ¿с ~3Х ) ^ - оператор рекурсии первого порядка. В §3.5 найдены все гидродинамические и высшие симметрии второго порядка, в том числе с явной зависимостью от X¡1:, для систем (16), а также построены бесконечные серии высших симметрий второго порядка, порожаема е оператором £ (19). Достроена бесконечномерная некоммутативная алгебра Ли-Беклудда симметри, . Показано, что высшие симметрии, не загисялше от Ь яг.но, имеют только системы (16) с гамильтони-

•?л/ "1 I

где f~f( Y ) -гамильтонианы (18) ,£1./^)-произволь-

ные гладкие функции от t . В 5 3.6 получены формулы для инвариантных решений системы (16) относительно этих высших симметрии.При этом развит гамильтонов вариант новой методики, использующей представление Лакса и обратный оператор рекурсии. Эти формулы дают линеаризующее преобразование:

и м Hju\>)=i öwti-t j м

J о J О . pvl

сводящее проблему интегрирования системы (16) с гамильтонианом/-/

(21) к решению волнового уравнения (17) для Hlu,j>) . Интегралы по т£ берутся при постоянных (л, j> . Если определить гамильтонианы Подформулой (21) с заменой /у на W $■/{■) на произвольнг?-. константы Q , то фошулы (22) при для Уи-^АА/,.,.

определяют бесконечные серии инвариантных решений системы (16) с Н~ Н^/ч В § 3.7 формулируются основные понятия теории бига-мильтоновых систем. Показано, что всякая сепарабельная Гамильтоном система бигамильтонова. воспроизводя результат П.Олвера и Я.Кутку, но с более простил доказательством. Получена бигамильтонова форма уравнений политропной газодинамики (с исправлением ошибок указанных авторов). Доказано, что любая система ОУГД ( ß(u) ) с гамильтонианом

H["J(u/f/t) (21) обладает высшими интегралами первого по рядка с плотностями: ^ ^ ±

НЛМт'Г'-л-Е ZhMdtX'i1'^)«»

H=-1 vlro о

с точностью до прибавления плотности (У,t, u,ß ) гидродинамического интеграла.

В главе 4 рассматриваются многокомпонентные СГТ, не зависши? явно от £ , X , в диагональной форме:

ie=fdu)UCx (L = 1 <24)

В § 4.1 получены определяющие уравнения для симметрия и законов хранения систймы (24), а такте обшей эволюционной системы:

Приводятся результаты С.П.Царева о полугамильтоновых системах. Это системы (24), обладающие бесконечными множествами гидродинамических симметрия и интегралов с функциональным произволом. В §§ 4,2 - 4.7 построена теория операторов рекурсии для полугамильтоновых систем (24). Показано теоретико-групповое происхождение операторов рекурсии первого порядка вида:

где А (и) , " (и*и)- матрицы,

и геометрический сшсл условий их существования. Такие операторы порождаются гидродинамическими сим...етриями гидродинамических симметрия системы (24). В 5 4.3 показано, что условия их существования . эквивалентны существованию такой ортогональной системы криволиней -пых координат ^Г 7 1 ^ , для которой коэффициенты вращенияЕгорова-Дарбу зависят только от разностей координат £• Оператор вида (26) и условия его суиествования впервые получены В.М.Тешуковым без обсуждения его" происхождения и геометрического смысла. В §§ 4.2 - 4.7 предложена более простая методика получения операторов ^ первого и высших порядков, нежели их непосредственное вычисление. При этом стандартными методами группового анализа определяется действие операторов Ц на подпространстве гидродинамических симмеа^ий, а затем однозначно восстанавливается оператор в пространстве всех симметрии системы (24). Показано, что результат такой же, как и при непосредственном вычислении оператора $ , значительно более трудоемком. В §§ 4,5 - 4.7 этим методом впер-ри«! получен ог^ратор рекурсии второго пор*, ;ка:

к^аяг+вях + ру-и/1 ^

р'лесчё с нообходиАЩыи и достаточными условия!»?« его существования, мпн^ч ограничительными, чем для оператора р (26) первого порядка.

Показано, что источником происхоащения операторов рекурсия высших порядков Д/ = 2,3,... являются высшие симметрии порядка /V для гидродинамических симметрии системы (24). § 4.8 посвящен построению бесконечных серий инвариантных решений полугашльтоновых систем (24) с помощью операторов рекурсии /?. и /? первого и второ-

1 -2. л ^

го порядков. Показана их связь с операторам! сишетряи Ц; и Ц соответствующих порадков. Например,

где Г{к<") ' символы Кристоффеля связности Леви-Чивита, ассоциированной с системой (24), определены в тексте диссертации. Тогда имеем формулы для двух бесконечных серий инвариантных решений системы (24):

+ (29)

В §§ 4.9 - 4.12 систематически используется утвер^дениз, которое в работе названо обобщенной теоремой Нётер-Ибрагимова; канонический

А

оператор симметрии ')(^ с характеристикой £ системы (25), не

обязательно лагранаевой или гаыильтоновой, действуя на плотность

ее интеграла Р , порождает плотность интеграла этой системы: IX л

Г -Ху(г) • Объясняется, в каком смысле это утверждение аналогично теореме Нётер о связи симметрии и интегралов, справедливой лишь для лагракжевих или гамильтоновых систем. В § 4.10 обобщенная теорема Нётер испс яьзуется для получения рекурсий гидродинамических интегралов полугамильтоновой системы (24) с помощью ее высших симмет-рий. Эта рекурсии позволяют поройдать новые инпгралы по уае т-вестннм. Основной результат § 4.11 это - все высшие интеграла второго порядка с плотностями {<■<; их, игх вместе с необходимыми и достаточными условиями их существования. Интеграл первого поряд-

о с плотностью Р1(и,их ) получен С.П.Царевым. Показано, что ели существует оператор рекурсии (27) второго порядка, то, ействуя на характеристику интеграла , он порождает интеграл

В § 4.12 доказано,' п?о если для полугамильтоновой систеш 24) существует высший интеграл или Р , то это есть условие е только для данной систеш, но и для всей бесконечной иерархии равнений Ли ее гидродинамических симметрия. При этом существует' ифференциально-матричный оператор первого или третьего порядка, оответственно, отображающий любую гидродинамическую симметрию си-теш с характеристикой в гидродинамический интег-

ал этой систеш; например, если существует интеграл Царева ,

Р, ^

— 'есть интегРал систеш для всякой

имметрии: ц1' ) < М • Соответствующие операторы игра-

^ • ь д.

т ту же роль, что и симплектические операторы гамильтонова фор-ализыа. Поэтому существование высшего интеграла у полугамильтоно-ой систеш указывает на наличие скрытой гамильлоновой структуры у сей бесконечной иерархии уравнений, содержащей эту систему. В 4.13'сформулировано и доказано-расширение обобщенной теореш Нё-ер для произвольной эволюционной систеш. Она дает необходимые и остаточные условия, при которых канонический оператор симметрии истемы отображает функцию р в плотность интеграла этой системы, ребование, чтобы р было плотностью интеграла не является необходим. Возникает схема использования интегралов для симметрии си-.темн для получения интегралов систеш.

Глава,5 посвящена исследованию гидродинамических симметрии покомпонентных СГТ, явно зависящих от времени Ь (§5.1):

(ЕО)

ли от координата ЭС (5 5.2):

и^\Г{(и,у)и1х (с ¿1,?,..чи). (31)

Получены бесконечные множества симметрий■вида; ; :

с функциональным произволом вместе с необходимыми и достаточными условиями их существования. Для системы (30), например, для коэффициентов получаются условия С.П.Царева, а также:

* (33)

где р> - константа. В § 5.3 дифференциально-геометрическая тео-р; ^ .юлугамильтоновых систем обобщается для многокомпонентных СП (30) и (31), явно зависших от или X . Ассоциированные с эти ми системами семейства метрик и связностей зависят от или X ка: от параметров. Для гамильтоновых систем возникает явная зависимое1 от 'Ь или X структуры скобки Пуассона и гамильтоновых плотностей В § 5.4 показано, что для систем, изученных в §§ 5.1, 5.2, формул! для инвариантных решений определяют линеаризующие преобразования г линейной системе; .

а ¿У (") = (и^оЩ-Ъ [1Щ (34)

где г^м - ^ («>*)/(м} ->'.•: ' ^ .

Например, для системы (30) при р в условии (33) получается линеаризующее преобразование: ' . • ' '

аМ+ы^-^х {](35)

Глава б посвящена перспективам некоторых новых приложений-' группового анализа. В § 6.1 рассматриваются группы преобразований Ли-Беклунда, не допускаемые дифференциальными уравнениями, но оставляющие инвариантными некоторые' их частнне интегральные многообразия. Построена схема группового подхода к получению дифференциальных связей. В § 6.2 дана методика построения представления Лак-са (. етода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений с помощью группы Ли-Беклунда. § 6.3 посвящен существенной модификации группового анализа, необходимой для получения группернч !/е?о,-п--

конов композиции решений нелинейных уравнений; на примере уравне-

должения Уолквиста-Истабрука, т.е. связности в ассоциированном с дакгашк уравнениями расслоении. Условие инвариантности семейства связноетей относительна структурной группы отого расслоения приводит к локализации сихиещш: параметры группы становится зависимыми от аргументов аналогично кагтбровошп« гошга. Фору/да конечного преобразования слоя с помощью структурной групп;; даат ээкоп нелинейкой кошозицаи решений неходкого уравнения.

В ааклачэ'пп? представлены основное результат диссертации. Основе результата. адаэскше на эадату» слздуюзне.

1, Для пространст^аино-одноиерн'лх дпухкомпоненгт;;; с:;стсм гидродинамического типа (СГТ), которые могут явно затмоать от времен;; ~Ь пли о? коор;;;;;м;1к X , юйдегы гее их г:;дред;тмм'итескке с:м;мзтр;ш с Сс*»есц юлелтммм произволе;: к кеоС:;е;;;;мме г. дзстатэч1Г.:с условия их еум:.;тт:ете.м;;м. По;;ее*.мс а "¿о (¿ормумм /;гт т:.;г::р:;.;нт1г.::с репеигй задают мтее^ртеет:.:;:;:: х.ттт;:: ;Г>тм; СГТ,

2. Перче;;; елгс^Тч Г.: тт.м; емте ;тр;:1 ;; уст::;:":";;;;, что телм--дт.т м^сумермрмм:; го ;:р:;:м;;тр; мм г;р;ре/:м;мм:м?~е:мм с;-тетр;;т пор:;;;-деет пееререттем 1;см;лутмторе -Тс.; емурстммммм Гомтрму, рмче:пго;;;дкг;;у:о" реме::;;;; (ТТ. ~ осюжсса* г.з трмтматт:;-;; реттммт. перетремте:! бес--оксчже сер;;;; СГТ.

С. пес вмомле егее^етрмм т. тер зге ::ор;;;;;;а с гтн;;ц:!оналъ~

кмм произволом гтдзете с тюсбхсд;;;1".;;т к ;;еететуч:1имм услоги;с.!и их оргеетпозанид.

4. По новой ыогодипе построен;.; вое спер&тори реку кета первого к ггорого поряжз вместе с необходим*«:? к достаточныии условиям их суле.стр.овшшя8 позволяющие размнокзтъ рейггшя СГТ и порогдатаие б.^хс^гчнке сери» шсеих сятетрий в точгш кярарвзнтшх реаенпй

ни я

Предварительным этапом здесь является построение про-

ч

5. Установлены два источника происхождения операторов рекурсии первого порядка: гидродинамические симметрии гидродинамических симметрии и коммутатор Ли гидродинамических симметрии, неоднородно! и однородной по производным. Операторы рекурсии высших порядков порождаются высшими симметриями гидродинамических симметрия СГТ. Доказано, что все высшие симметрии второго порядка получаются действием оператора рекурсии второго порядка на гидродинамические симметрии, явно зависшие от X и ~Ь . Это сводит сложную проблему отекания высших, симметрия к более простой: построению операторов рекурсии.

6. Найдены все гидродинамические интегралы и все висше законы сохранения первого порядка с функциональным произволом вместе с необходимыми и достаточными условиями их существования.

7. Все перечисленные выше общие результаты конкретизируются для двух классов двухкомпонентных систем, важных для физических приложений: обобщенных уравнений газовой динамики и сепарабельшх гамильтоновых систем. '

8. Для этих систем получено коммутаторное представление Лакса ( А~/1-пара), используемое в новом еетоде построения бесконечной серии точных решений, инвариантных относительно высших симметрии.

9. Исследоваш гамильтонови и бигамильтонош структуры этих систем. Показано, что конструкция Ю.Й.Манина бесконечной серии коммутирующих гамильтонианов дает простой способ построения гамильтоновых СГТ, допускавших представление Лакса и обладающих оператором рекурсии второго порядка и высшими симметриями.

10. Для многокомпонентных полугамильтоноьых диагональных СГТ, не зависящих явно от X и , построена теория операторов рекурсии: пыяснено их теоретико-групповое про^схоядение и значительно упрошена процедура их вычисления. При этом операторы рекурсии перпого и рчсших порядков порождаются соответственно гидродинзмк-

ческими и высшими синметриями гидродинамических симметрии GTT. .

II. йляснен простой геометрический смысл условий существования операторов рекурсии первого порядка. Впервые построены все операторы рекурсии второго порядка■вместе с.необходимыми и достаточными условиями их существования. С их помощью построены высшие симметрии многокомпонентных СГТ и бесконечные серии их точных инвариантных решений.

т2. На основе обобщенной теореш Штер-йбрзгимова изучены связи между симметрия»! и интеграла;.® многокомпонентных СГТ без . предположения об их лагранжевой или гамильтоновой структуре. Получены рекурсионкые фораулн, позвояяакиз размножать гцдродииашче-сние закош сохранения,

13. Впервые найдеш все высшие интегралы второго порядка с плотностями, не зависящими явно от Xj t, и необходимые и достаточные условия их существования.

14. Доказано, что существование высшего интеграла у данной СГТ связс но с наличием скрытой гажяьтоновой структуры у всей бесконечной иерархии коммутирующих с ней потоков гидродинамического ■ыпа. Именно, если существует высший интеграл первого или второго порядка для данной СГТ, то-тогда существует матрично-дифференци-альный оператор первого или третьего порядка, отображающий любую гидродинамическую симметрию в гидродинамический интеграл аналогично симплектическим операторам% гамильтонова формализма.

15. Получено расширение обобщенной теоремы Иётер-Ибрагимова для произвольной пространственно-одномерной системы эволюционных уравнений любого.порядка. Эта теорема указывает необходимые и достаточные условия, при которых канонический оператор симметрии, аяйствуя на дифференциальную, функцию [~IlJ, порождает плотность ин-тсг^.чла данной систеш. Возникает механизм использования интегря-глг для сяжетряй систолы при стчсконии интегралов отой систоми.

16. Для многокомпонентных диагональных СГТ, явно зависящих от ~Ь или X , найдены бесконечные множества гидродинамических сим метрий с функциональным произволом и необходимые и достаточные уел вия их существования. Условий инвариантности решений дают линеаризующие преобразования для СГТ.

17. Для таких "полугамильтоновых" СГТ получено их дифференциально-геометрическое описание, где метрика, связность и кривизна образуют семейства, зависящие от параметров ~Ь или X . Гамильтоно-вы системы соответствуют равному нулю тензору кривизны и имеют гамильтонианы и структуру скобки Пуассона, явно зависящие от t imiX.

18. Показаны перспективы новых приложений группового анализа: группового подхода к теории дифференциальных связей, к построению представления Лакса метода обратной задачи рассеяния, к получению законов композиции решений нелинейных уравнений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ И ИХ ЗНАЧЕНИЕ

В диссертации получила дальнейшее развитие теория симметрий и законов сохранения для СГТ и теория интегрирования СГТ. Впервые выполнено систематическое исследование высших сю,метрий и интегралов и операторов рекурсии для СГТ. Уяснено теоретико-групповое происхождение операторов рекурсии и конкретные механизмы, их порождающие. Предложен новый менее трудоемкий метод их вычисления. Показана роль операторов рекурсии в решении проблемы интегрирования СГТ: получение рекурайонных формул, позволяющих размножать решения СГТ. Получены явные формулы для бесконечных серий точных решений этих систем. К важным конкретным новым результатам относятся следукш

I. Для двухкомпонентных СГТ, явно зависяяих. jt Ь (или X ), получены все гидродинамические и все высшие симметрии второго порядкэ вместе с необходимыми и достаточными условиями их существования, s тпкию все гидродинамические и высшие интеграла первого поряа J, кеч

ператоры рекурсии первого и второго порядка и условия их суиест-ования; построены линеаризующие преобразования.

2. Доказано, что все высшие симметрии второго порядка поровда-1тся операторами рекурсии второго порядка из гидродинамических сим-ютрий; правдоподобная гипотеза о справедливости соответствующего ¡езультата для высших симметрия и операторов рекурсии любых порадев сводит проблем отыскания всех выспшх сташрнй любого порядка

: значительно более простой проблеме построения операторов рекурсии даго ке порядка.

3. Для мюгокодоонетшх СГТ вперше получеки все оязраторы юкурсии второго порядка и все гаогле интеграла второго порядка •место с необходим:.»! п достаточна*.;! усдо&яяип их суцоелтова-шя.

4. Для шогокогхюигяп&х СГТ, явно затшсяцдас от Ь пди-7 , покроет ликзари^укчлу првобразевшгдя; для них нолучзиэ диф|-с-зв?щг1зльно-гво' чпрдчз.ское описание и, п чдетносгэт, гз?:::лъ*гоз!ов фор-;алггсм. Система с япкы совлспмостыс от кргумонтоя 'Ь г X яоз?ш-;аот з п?::»окепиях, тпр!;:-:ор, если рзссгатривать ресыит »югомор-

ураЕахни; с ц'гл:;ндр;гч-.осяо1; пдп сЪор/.ч^сксй

В диссертации погсазаш, «то лри.\'сиаг;:о обобзггшпЗ угорал Нё-тор-Ибрзгк;.:ога обна^тапает пошз вакнао езязя 1и/~ду си:кюгр:1я:й1 и интегралами бзз предположения о наличии лагранлзгой плп га«льтоно-гей структура язучаешх уравнений. В частности, доказано, что су-гсествоваше вастего интеграла у СГТ имеет следствие:-: из только условие Царева для данной систеш, но и условие на метрику п связность, глр-уч~эр>;зушие всю бзскспочную иорархиз кокцугир/вкис потоков в целом. Тогда существует опзраюр, отобратавдий любую годрэлшншчв-ску>. оих«стр:ш в гидродинамический закон сохранения, что указывает гг. ипяичий скрытой гамияьтоновой структуры у всей иерархии кошути-!■■< СГТ.

Г;сл"ч'?но р&сгахянио обобщенно!; тоорвш "ет.зр, позволяет по-

лучать интегралы данной системы, если известны интегралы для ее симметрий.

Намечены перспективы некоторых новых приложений современного группового анализа.

Таким образом, в диссертации создан теоретический базис для исследования широкого спектра физических задач: динамика одномерных движений газа и идеальной жидкости, моделей нелинейной упругости и фазовых переходов, магнитной гидродинамики, уравнений Борна-йнфельда нелинейной электродинамики с плоской, цилиндрической и сферической симметриями, уравнений релятивистской струны, уравнений Эйлера и Пуассона нелинейной акустики, усредненных солитонншс уравнений и т.д.

Развитая в диссертации теория операторов рекурсии позволяет перенести симметрично-алгебраический "одход к разделению переменных на нелинейные системы. Современный групповой анализ позволяет выделить среди них системы, "богатое симметриями"8 и линеаризовать их. Первым шагом метода разделения переменных в соответствующих

линейных уравнениях является изучение их симметрий» т.е. операторов • *

рекурсии для исходной нелинейной системы.

Перспективным представляется синтез методов группового анализа и разделения переменных: первый-линеаризует задачу, а второй решает проблему интегрирования соответствующих линейных уравнений. Теория операторов рекурсии есть первый шаг в этом направлении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных коллоквиумах "Современный групповой анализ1* (/фа, 1983 г.; Ленинград, 1987; Баку, 1986; Краспярск, 1989; Нижний Новгород, 1992; Самара, 1./93), Всесоюзных школах "Вычислительная математика и математическая физича" (Ми..ск, 1984; Шушенсхоа-Красноярск, 1986!, Ежегодных математических конференциях Те^це-

новские чтения" (Ленинград, ЛГПИ им.А.И.Герцена, 1988-1993), Семинарах Московского Гос.университета под руководством профессора

H.Х.Ибрагимова (1986, 1990, 1992) и профессора Е.М.Воробьева (1993), городском -семинаре ЛОШ под руководством профессора 0.А.Ладыженской (1982), городских семинарах по дифференциальным уравнениям ЛГПИ под руководством профессора Н.М.Матвеева(1982-92), на семинаре "Алгебраические и геометрические методы исследования нелинейных уравнений теории поля" (Тарту, Институт физики АН ЭССР, 1983), международном семинаре "Современный групповой анализ" (Уфа, 1991).международном симпозиуме "Методы симметрии в физике" памяти профессора Я.Л.Смородинского (Дубна, 1993), международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (Г.-Петербург, 1993).семинаре Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (Дубна, 1994).

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 статьях.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДОССЕРТАШ ОПУБЛИКОВАНО В СВДЩЩХ РАБОТАХ: . ■ .

I. Шефтель М.Б. 0 группах Ли-Веклунда, допускаемых уравнениями одномерной газовой динамики/УВестник ЛГУ. - 1982. - 3 7;~ с.37-41.

2. Шефтель М.Б. 0 бесконечномерной некоммутативной алгебре Ли-Веклунда, связанной с уравнениями одномерной газовой динамики//Тео-рет.и мат.физика. - 1983. - Т.56, I? 3. - с.368-386.

3. Шефтель М.Б. Об обобщении метода группового анализа для вывода нрсо(\.азований Беклуида и формул суперпозиции решений нелинейных уравнений с частными производными/УВестник ЛГУ. - 1984. - 1? 7. -с.¡¿4-126. '

4. Шефтель М.Б. 0 новом методе получения точных решений уравнений одномерной газовой диняшки//В кн.Динамика неоднородных и сжимаема срсд/'Гед.Н.Н.Полихой.- Л.: Ъд.ДГУ, 1984. - с.55-62.

5. Шефтель М.Б. Об интегрировании гамильтоновых систем гидродинамического типа с двумя зависимыми переменными с помощью группы Ли-БеклундаУУФункц.анализ и его прил. - 1986. - Т.20, вып.З. - c.70-7Ç

6. Л.И.Верещагина» К.Л.Гольдвирт, М.В.Шефтель/УЗ кн.Динамика однородных и неоднородных сред/Ред.Я.Н.Поляхов,- Л.: Изд. ЛГУ, 1987.

- С.36-40.

7. Шефтель М.Б. Групповой анализ и линеаризация квазилинейных си-стем//В кн.Современный групповой анализ; методы и приложения. -Баку: Злм, 1989. - С.244-250.

8. Шефтель М.Е. Линеаризация однородных квазилинейных систем методом группового анализа, дифференциальная геометрия и гамильтонов формализм/УВ кн.Современный групповой анализ: методы и приложения. Группы Ли-Бзклунда и квазилинейные системы. - Л.: Изд. ЛИИАН, 1989. - С.4-24.

9. ¡¿алых A.A., Шефтель М.Б. Группы, допускаемые на многообразиях,

и частично инвариантные решения/УВ кн.Современный групповой анализ: методы и приложения. Группы Ли-Беклунда и квззилийейкые системы. -Л.: Изд.ЛПЙАН, 1989. - С.36-44.

' s ,

10. Шефтель М.Б. О получении линейных уравнений метода обратной задачи с помощью группы Ли-БеклундауУВ кн.Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи математической физики сплошных сред. - Л.: Изд.ЛИИАН, 1990. - С.50-55.

11. Шефтель М.Б. Высшие интегралы и симметрии полугамильтоновых си-стем/УДифференц.уравнения. - 1993. - Т.29, № 10. - C.I782-I795.

12. Шефтель М.Б. Групповой анализ определяющих уравнений - метод отыскания оперзторов рекурсии/Дифференц.уравнения. - 19?*. - Т.30, № 3. - С.444-456.

/