Деформация скобок Пуассона и интегрируемые системы на алгебрах e(3) и so(4) тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На права» рукописи Вершилов Александр Владимирович

Деформации скобок Пуассона и интегрируемые системы на алгебрах е(3) и 5о(4)

01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

Санкт-Петербург 2014

005566451

005566451

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент, Цыганов Андрей Владимирович

Официальные оппоненты: Деркачев Сергей Эдуардович,

доктор физико-математических наук, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Мамаев Иван Сергеевич, доктор физико-математических наук, Удмуртский государственный университет, директор Института компьютерных исследований.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт машиноведения им. A.A. Благонравова Российской академии наук (ИМАШ РАН)

Защита состоится 23 апреля 2015 года в 16 часов 30 минут, на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета и на сайте http://spbu.ru/science/disser/.

Автореферат разослан « ^ » У^^Тй--2015 г.

Ученый секретарь ____Аксенова Е. В.

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы Метод разделения переменных широко применяется в классической мехаипке и математической физике. Например, хорошо известно, что многие классические специальные функции первоначально появились при решении волнового уравнения и уравнения Лапласа методом разделения переменных. В общем случае метод разделения переменных является геометрически не инвариантным и зависит от удачного выбора координат, в которых происходит разделение.

В настоящее время для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби используют инвариантные геометрические объекты, такие как тензора Киллинга. матрицы Лакса и отвечающие им функции Бейкера-Ахиезера и преобразования Бэклунда, операторы рекурсии и т.д. Несмотря на то, что единого алгоритма построения переменных по-прежнему не существует, создано несколько эффективных алгоритмов вычисления переменных разделения в нескольких частных случаях.

Для уравнений Гамильтона-Якоби, допускающих разделение переменных в одной из ортогональных криволинейных систем координат на римановых многообразиях, создана инвариантная геометрическая теория нахождения дополнительных интегралов движения, симметрий, переменных разделения и разделённых уравнений. Более того, создано программное обеспечение, которое позволяет находить все эти объекты, используя современные системы компьютерной алгебры [6].

Для уравнений движения, для которых известно представление Лакса, согласно работам Дубровина, Кричевера и Склянина, переменные разделения можно построить, используя функцию Бейкера-Ахиезера в подходящей нормировке [9]. Основным недостатком данной конструкции является отсутствие общего алгоритма построения матриц Лакса и подходящих нормировок функ-

ций Бейкера-Ахиезера для интегрируемых систем с известными интегралами движения.

В бигамильтоновой геометрии переменные разделения отождествляются с собственными значениями оператора рекурсии, который является инвариантным геометрическим объектом. Так как для построения оператора рекурсии используются деформации канонической скобки Пуассона, определяющей исходную гамильтонову структуру динамической системы, то исходная задача сводится к известной задаче о построении и классификации деформаций скобок Пуассона.

Изучение деформаций скобок Пуассона является одним из центральных алгебро-групповых вопросов теории интегрируемых систем, который напрямую связан с геометрическим квантованием, вычислением инвариантов Громова Виттена, теорией представлений бесконечномерных алгебр Ли, теорией квантовых деформаций алгебры Вирасоро и \У-алгебр. Следует также добавить, что развитие именно этого аспекта привело в свое время к одному из наиболее впечатляющих достижений в математике конца XX столетия открытию понятия квантовых групп.

Тем самым, для построения переменных разделения можно использовать весь современный математический аппарат теории деформаций скобок Пуассона после соответствующей адаптации, так как подавляющее большинство известных методов деформаций напрямую связано с геометрическими и топологическими особенностями самого многообразия и не зависит от конкретной динамической системы на многообразии. Деформации скобок, связанные с конкретными динамическими системами, можно использовать не только для построения интегралов движения или переменных разделения, но и для качественного анализа движения и, например, для записи условия устойчивости на инвариантном алгебраическом языке [7].

С технической точки зрения нахождение деформаций скобок Пуассона

для данной динамической системы связано с решением больших и сильно переопределённых систем алгебро-дифференциальных уравнений, которые заведомо имеют бесконечно много решений. В силу этого, для нахождения частных решений используют системы символьных вычислений и подстановки специального вида, позволяющие сузить пространство поиска решений. Использование компьютеров и современных систем символьных вычислений для сложных и объёмных расчётов оказалось ключевым моментом в прогрессе построения деформаций скобок Пуассона, связанных с конкретными динамическими системами.

Таким образом, современная бигамильтонова геометрия является одним из актуальных направлений исследования интегрируемых систем. Интерес к этим инвариантным геометрическим методам исследований определяется не только их практическим применением к конкретным механическим системам, но и возможностью заменить громоздкие координатные вычисления на некоторое небольшое число простых основных соотношений, позволяющих получать, изучать и классифицировать конечномерные интегрируемые системы.

Цель диссертационной работы заключается в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классической механики.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. формализация метода нахождения квадратично-линейных деформаций канонического тензора Пуассона;

2. применение исследуемых методов к классификации и исследованию полученных ранее другими методами интегрируемых систем;

3. применение исследуемых методов для вычисления переменных разделения и построения разделённых уравнений.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. построены бигамильтоновы структуры для интегрируемых возмущений гиростата Ковалевской на алгебрах е*(3) и ло*(4);

2. проведена полная классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона на алгебре ао*(4), имеющих общее симплектическое расслоение с каноническим тензором Пуассона;

3. найдены бигамильтоновы структуры и переменные Дарбу-Нийенхейса для системы Богоявленского на зо*(4);

4. найдены бигамильтоновы структуры и переменные Дарбу-Нийенхейса для гамильтоновых систем с кубическими интегралами движения на сфере;

5. доказано, что уравнения движения для ряда динамических систем линеаризуются на стратах якобиана тригональных кривых, а соответствующие механические системы не удовлетворяют критерию Ковалевской Пенлеве.

Теоретическая и практическая значимость Полученные в работе результаты могут быть полезны для развития современных методов интегрирования конечномерных гамильтоновых систем. Кроме этого, полученные автором результаты, касающиеся классификации полиномиальных скобок Пуассона и соответствующих переменных Дарбу-Нийенхейса, являются полезным источником нетривиальных примеров интегрирования систем с интегралами движения старших степеней методом разделения переменных.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. бигамильтоновы структуры для интегрируемых возмущений гиростата Ковалевской на алгебрах е*(3) и ао*(4);

2. классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона на алгебре ао*( 4);

3. бигамильтоновы структуры для систем Богоявленского на 5о*(4);

4. бигамильтоновы структуры и переменные разделения для динамических систем с кубическими интегралами движения на сфере, которые не удо-

влетворяют критерию Ковалевской Пенлеве.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XIII International Conference Symmetry Methods in Physics, Dubna, Russia, July 6-9, 2009;

2. на четырех международных конференциях Geometry, Dynamics Integrable Systems (GDIS), проходивших в Белграде (2008), Лиссабоне (2011), Ижевске (2013) и Триесте (2014);

3. IUTAM Symposium From Mechanical to Biological Systems: an Integrated Approach, Izhevsk, 2012.

а также на семинарах в СПбГУ и УдГУ.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 5 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций [1 5].

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав и библиографии. Общий объём диссертации 90 страниц. Библиография включает 86 наименований на 10 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые

на защиту научные положения.

В первой главе, которая носит вспомогательный характер, вводятся основные определения иуассоновой и бигамильтоновой геометрии, используемые в данной работе.

Во второй главе рассмотрена возможность использования тривиальных линейных деформаций скобок Пуассона на расширенных фазовых пространствах для построения нетривиальных деформаций канонических скобок Пуассона на исходных фазовых пространствах. Интегрируемые системы обычно обладают различными явными и неявными симметриями. Одним из способов описания симметрии и, соответственно, самих интегрируемых систем является гамильтоновость системы относительно одновременно двух скобок Пуассона, удовлетворяющих условию согласованности. Для построения таких совместных тензоров Пуассона обычно используют известные интегралы движения, переменные действие-угол, матрицы Лакса и другие заранее известные объекты, обеспечивающие интегрируемость динамической системы.

Например, если нам даны интегралы движения Н\, ...,Нп и канонический тензор Пуассона Р, то для нахождения совместного тензора Пуассона Р' нам необходимо найти решения следующих уравнений

\Р,Р' 1=0, 1Р',Р'1 = 0 {йНиР'йНк) = 0. (1)

Напомним, что скобкой Схоутена двух тензоров Р, ¿5 называется тензор третьего ранга (контравариантный кососимметричный тензор третьего ранга), компоненты которого равны:

(Р, ОТ* = - £ + + * к)) '

где сус/е(г, у, к) циклическая перестановка, а хт локальные переменные.

С другой стороны, можно непосредственно изучать деформации Р' кано-

нических тензоров Пуассона, т.е. решать уравнения

1Р,П = о, \р!,р'] = о,

и затем получать соответствующие интегралы движения Щ с помощью обобщённых цепочек Ленарда

п

р'ащ = ¿Г РцРйн,, з = \,...,п,

где Рц - элементы управляющей матрицы специального вида. Используя метод Лихнеровича, можно ограничиться изучением деформаций тензоров Пуассона вида

Р' = ЬГР

т.е. производных Ли от канонического тензора вдоль поля Лиувилля У.

Одним из способов получения более простых выражений для тензоров Пуассона является расширение (деформация) исходного фазового пространства, когда к нему добавляются переменные, которые играют роль функций Казимира для пуассоновых структур на расширенном фазовом пространстве. Основная выгода такого расширения состоит в том, что на расширенно}.! фазовом пространстве мы можем использовать удобные для нас «канонические» тензора Пуассона и изучать всевозможные их линейные деформации, которые после редукции становятся значительно более сложными функциями на фазовом пространстве.

Благодаря расширению фазового пространства и последующей редукции по Дираку мы смогли получить новые бигамильтоновы структуры для двухполевого гиростата Ковалевской на алгебре е*(3, 2), для системы Соколова на алгебре е*(3) и гиростата Ковалевской на алгебре йо*(4). В этом случае уравнения (2) образуют переопределённую систему из примерно 2000 квадратично-линейных уравнений относительно 45 неизвестных переменных,

решение которой находилось с помощью современных пакетов для символьных вычислений.

Так как известно достаточно много других примеров расширения фазовых пространств для описания бигамильтоновых структур ряда интегрируемых систем, то используемые в данной главе методы могут быть использованы для построения интегрируемых возмущений данных интегрируемых систем.

В третьей главе рассматривается задача о классификации квадратичных деформаций канонических тензоров Пуассона на алгебрах Ли е*(3) и во* (4), удовлетворяющих условиям

РйС1а = Р'ЛС^ . (3)

В этом случае Р' = ЬуР и векторное поле Лиувилля имеет вид

б

У = ' ^к е С •

¿=1

В результате решения уравнений (2,3) получена полная классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона, имеющих общее симплектическое слоение с каноническим тензором Пуассона. Исследованы соответствующие интегрируемые системы, построены интегралы движения и переменные разделения для соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби. Данный подход может быть использован для исследования полиномиальных деформаций старших степеней, если научиться выделять среди них деформации, полученные с помощью оператора рекурсии. В противном случае объём вычислений слишком велик для современных компьютерных технологий.

Так как среди полученных нами интегрируемых систем отсутствовали некоторые известные интегрируемые системы на зо*(4) с полиномиальными интегралами движения второй и четвертой степени, то деформации для одной из таких систем были построены с помощью решений уравнений (1,3), в

которые входят известные интегралы движения. Доказано, что для системы Богоявленского на во*(4) с гамильтонианом

Я = Мх + + Ыз2

2Ъ2-Ъ;

М-

2ЬХ - Ь3 гА

1*2 ~Ь3+ Ьх

И- к'

соответствующая деформация скобок Пуассона является квадратичной по одной части переменных и рациональной по другой части переменных несмотря на то, что интегралы движения являются однородными полиномами второй и четвертой степени по всем переменным. Тем самым здесь, как и во второй главе, доказано, что вид интегралов движения никоим образом не предопределяет вид отвечающих им деформаций скобок Пуассона.

В четвёртой главе исследуются системы с полиномиальными интегралами второй и третьей степени на единичной сфере. Соответствующее фазовое пространство является специальным симплектическим листом алгебры е*(3) при нулевом значении интеграла площадей. Решая уравнения (1) для полученных другими методами интегралов движения, мы построили деформации канонического тензора Пуассона натурального вида Р' = + Р{,, где

Рт =

Е, ч<ЭП¡к , .ЗПг*

к=1

др1

дРз

П,

\

—П;г

£

4=1

(дПк

V %

ч

5Пу ддг

^к(р)

Р' ~

Г у —

\

О

к=1

Лгу

9Ак] V % дЧг

Рк

/

Входящие в это определение матрицы Л(д), П(р) и функции х, у и ъ находятся из уравнений (1). Например, для рассматриваемых систем на сфере эти матрицы

П =

п I (а , Щв)\ 0 -5 ^ +

F =

и

Л <Л

*22 =

параметризуются двумя произвольными функциями д{9) и Н{9) от угла нутации.

Собственные значения оператора рекурсии N = Р'Р'1 являются переменными разделения, которые в общем случае удовлетворяют уравнению

Ф(з,х) = г3 + (а1х + а2)г2 + (н1х2 + ь1х+ь2)г + х4 + н2х3+с1х2 + 02х + сз = О,

которое определяет тригональную кривую (3,4)-типа. Здесь х,г- функции от переменных разделения, Я1)2 - интегралы движения, а Ьг, - произвольные константы, определяющие потенциал.

Полученные квадратуры позволили доказать, что уравнения движения для ряда механических систем линеризуются на стратах якобиана тригональ-ной кривой. Соответствующие решения уравнений движения заведомо не являются мероморфными функциями над комплексной плоскостью времени и, таким образом, рассматриваемые динамические системы не удовлетворяют критерию Ковалевской-Пенлеве. Тем не менее, решения могут быть получены аналогично решению стандартных систем на гиперэллиптических кривых, если использовать для этого так называемые сигма-функции Вейерштрасса. Эти результаты по обращению отображения Абеля-Якоби были получены Браденом, Энольским и Федоровым, которые использовали полученные нами квадратуры [8].

В заключении приведен список результатов, полученных нами в предыдущих главах, и даются оценки возможных направлений для дальнейшего исследования деформаций канонических скобок Пуассона и соответствующих им интегрируемых систем.

Таким образом, находя в том числе и из полученных результатов, мы можем повторить, что использование методов бигамильтоновой геометрии в целом и методов деформации в частности является весьма перспективным направлением в области изучения интегрируемых систем. Эти методы могут быть применены для исследования существующих и построения новых интегрируемых систем, а также для их классификации. Методы бигамильтоновой геометрии удобны тем, что их использование не требует введения дополнительных математических объектов или «угадывания» решения, так как все сводится к решению системы уравнений, записанной в инвариантной геометрической форме, т.е. эта система уравнений не зависит от выбора локальных переменных на фазовом пространстве, что может быть использовано для получения некоторых частных решений в явном виде.

Однако у данного метода есть и несколько отрицательных сторон, напрямую связанных с тем, что исследуемая система уравнений заведомо имеет континуум решений. Например, не решен вопрос о методах сужения пространства поиска решений, так как излишнее сужение пространства поиска может привести к тому, что решения в выбранном подпространстве могут отсутствовать, а излишнее расширение к'невозможности получить решение даже с привлечением всех средств современных компьютерных технологий. Кроме того при построении новых интегрируемых систем с помощью деформаций скобок Пуассона возникает вопрос, как именно в пространстве решений выбрать область отвечающую динамическим системам, имеющим физический смысл в исходных физических переменных.

Исходя из результатов исследования можно сделать заключение о возможных направлениях дальнейшего развития:

1. построение деформаций скобок Пуассона для известных интегрируемых систем и вычисление соответствующих переменных разделения;

2. исследование алгебраических и топологических свойств динамических си-

стем с целью нахождения закономерностей для описания соответствующих деформаций скобок Пуассона;

3. последовательное описание используемых алгоритмов для различных подпространств поиска решений и написание программного обеспечения, позволяющего ввести большую автоматизацию и интерактивность в процесс решения с использованием современных компьютерных математических пакетов.

Продолжая исследования, мы надеемся получить новые результаты для ряда известных интегрируемых систем и построить новые интегрируемые системы, осмысленные с точки зрения физики. Автоматизация технической стороны процесса исследования может привлечь к данной области новых исследователей, которые не являются специалистами в области би-гамильтоновой геометрии или в области современных компьютерных технологий.

Список публикаций

[1] Вершилов А. В., Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. Об одной интегрируемой деформации волчка Ковалевской // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 2. С. 223 236.

[2] Вершилов А. В., Цыганов А. В. О переменных Дарбу-Нийенхейса на пуассоновом многообразии so*(4) // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, № 2. С. 141 155.

[3] Vershilov А. V. On the bi-Hamiltonian structure of Bogoyavlensky system on so{4) // Regular and Chaotic Dynamics. — 2010. — Vol. 16, no. 6. — P. 670-676.

[4] Vershilov A. V., Tsiganov A. V. On bi-Hamiltonian geometry of some

integrable systems on the sphere with cubic integral of motion //J. Phys. A: Math, and Theor. - 2009. - Vol. 42, no. 10, — P. 105203 (12pp).

[5] Vershilov A. V., Tsiganov A. V. On one integrable system with a cubic first integral//Lett. Math. Phys. — 2012. - Vol. 101, no. 2. — P. 143-156.

Цитированная литература

[6] Цыганов А. В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных. Москва-Ижевск : РХД, 2005. 319 с.

[7] Bolsinov A., Izosimov A. Singularities of bi-Hamiltonian systems // Comm. Math. Phys. — 2014. - Vol. 331, no. 2. - P. 507-543.

[8] Braden H. W., Enolski V. Z., Fedorov Y. N. Dynamics on strata of trigonal Jacobians and some integrable problems of rigid body motion // Nonlinear-ity.- 2013. - Vol. 26, no. 7. - P. 1865-1889.

[9] Sklyanin E. K. Separation of variables-new trends // Progr. Theoret. Phys. Suppl. — 1995. — no. 118. — P. 35-60. — Quantum field theory, integrable models and beyond (Kyoto, 1994).

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ Лг 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 24.02.15 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз., Заказ Л» 1796. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-13-00.