Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический (Ьа^'ш-тот.

Воронцов Александр Сергеевич />

.....

Инварианты и геометрические свойства

орбит коприсоединенного действия групп Ли

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

дисссртации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

2 4 МАР 2011

4841064

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: академик РАН Фоменко Анатолий Тимофеевич,

доктор физико-математических наук, профессор Болсинов Алексей Викторович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Нсцветаев Никита Юрьевич кандидат физико-математических наук Морозов Павел Валерьевич Ведущая организация: Московский государственный институт

электроники и математики (технический университет)

Защита диссертации состоится 25 марта 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д. 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 25 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация относится к такому разделу дифференциальной геометрии как геометрия однородных пространств и посвящена описанию орбит и инвариантов ^присоединенного действия групп Ли. Этот вопрос имеет приложение в теории вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Орбиты коприсосдинснного действия групп Ли являются естественным примером симплектичсских многообразий. Задание на 2п-мерной орбите коприсосдинснного действия группы Ли набора функций в инволюции, содержащего п независимых функций эквивалентно заданию на этой орбите вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в качестве гамильтониана можно взять любую из функций. В частности, многие классические динамические системы можно рассматривать как системы на орбитах коприсосдинснного действия групп Ли. A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко, рассматривая подобные системы ввели важное понятие интегрируемости алгебры Ли 1 2

Определение. Алгебра Ли g называется интегрируемой, если на двойственном пространстве д* существует q функционально независимых функций /ь •••,/(/ в инволюции относительно скобки Пуассона-Ли, причем q - j(dimg + indfl).

и сформулировали гипотезу Гипотеза 1. Любая алгебра Ли интегрируема в классе полиномов.

Эта гипотеза известна как гипотеза Мищенко-Фоменко. Сами авторы доказали ее для редуктивных алгебр Ли, позднее ими и другими авторами гипотеза была доказана для других классов алгебр Ли.

Для доказательства гипотезы A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко использовали конструкцию, получившую название метод сдвига аргумента. Сейчас

'A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли, Изв. АН СССР, сер. матем. 1978. 42, №2. 396-415

2А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко, Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли, ДАН СССР. 1976,т.231, No.3, с.536-538

наборы полиномов, получаемых таким образом играют важную роль в изучении алгебр Ли.3 4

А.В. Болсинов исследовал границы применимости метода сдвига аргумента, дав его переформулировку в терминах согласованных Пуассоновых структур5. Этот подход оказался крайне плодотворным для исследования свойств динамических систем на алгебрах Ли6.

Окончательная точка в доказательстве гипотезы Мищенко-Фоменко была поставлена С.Т. Садэтовым, доказавшем ее для произвольной алгебры Ли.7 Садэтов показал возможность построения полных коммутативных наборов по индукции, переходя на каждом шаге к алгебре Ли меньшей размерности.

В диссертации можно выделить три основных направления исследования: описание топологии и симплектической структуру на орбитах коприсо-единенного представления произвольных групп Ли, получение явных формул для инвариантов коприсоединенного представления в случае алгебр Ли типа полупрямых сумм; демонстрация возможности приложения теории бигамильтоновых структур в алгебраических задачах.

Цель работы

1. дать описание структуры орбит коприсоединенного действия для произвольной алгебры Ли,

2. описать орбиты и инварианты коприсоединенного действия для алгебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы классической полупростой алгебры Ли с коммутативным идеалом по представлению минимальной размерности,

3Л.Г. Рыбников, Метод сдвига инвариантов и модель Годена, Фупкц. анализ и его прилож., 40, N3 (2006) 30-43

4В.В. Шувалов, О пределах "подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли, Функд. алализ и его прилож., 36, N4 (2002) 298-305

5 А. В. Болсинов, Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 68-92

6А. V. Boísinov, A.A. Oshenikov, Bi-Hamütonian Structures and Singularitiesof integrable Systems, Regular and Chaotic Dynamics, 2009, Vol. 14

Садэтов, Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Докл. РАН. 2004. 397. №6. 751-754.

3. исследовать возможность применения бигамильтонова подхода для анализа свойств коприсоединенного представления алгебр Ли.

Научная новизна

1. решена задача описания топологии орбит коприсоединенного действия, а именно дано индуктивное описание структуры орбит коприсоединенного действия для произвольной алгебры Ли путем сведения к описанию орбиты в алгебре Ли меньшей размерности,

2. решена задача явного описания топологии орбит и инвариантов коприсоединенного дейевия в ряде частных случаев (алгебры Ли, предста-вимых в виде полупрямой суммы классической полупростой алгебры Ли с коммутативным идеалом по представлению минимальной размерности),

3. продемонстрирована эффективность бигамильтонова подхода для анализа свойств коприсоединенного представления алгебр Ли, в частности получены новые доказательства ряда классических теорем

4. доказана новая нижняя оценка на степени инвариантов коприсоединенного действия,

Основные методы исследования

В работе используются методы дифференциальной геометрии и аппарат групп и алгебр Ли. Идея редукции, применяемая при описании орбит, связана с методом С. Т. Садэтова, предложенным им для доказательства гипотезы Мищенко-Фоменко.

Явные формулы для инвариантов коприсоединенного представления для алгебр ли имеющих вид полупрямой суммы с коммутативным идеалом обобщают результаты, полученные A.B. Болсиновым, А.Ю. Браиловым, А. Гусейновым.

Для исследования свойств инвариантов используется бигамильтонов подход, теорема Кронекера-Жордана о каноническом виде пары форм и

идея сдвига аргумента, предложенная A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко.

Теоретическая и практическая ценность работы

Результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть полезны для описания топологии слоения Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем и для описания свойств кольца инвариантов алгебры Ли.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• многократно (в 2005 — 2010 годах) на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством академика РАН А.Т. Фоменко и проф., д.ф.-м.н. A.C. Мищенко (мех-мат МГУ),

• в 2006 году на семинаре Prof. Flenner в Ruhr-Universität Bochum, Германия,

• в 2010 году на семинаре Prof. Pidstrygach в Georg-August-Universität Göttingen, Германия,

• на Международной конференции "Александровские чтения", (Москва,2006),

• на международной конференции "Geometry, Dynamics and Integrable systems" (Белград, 2008),

• в 2010 году на "Городском топологическом семинаре" ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова.

Публикации

Результаты по теме диссертации опубликованы в 5 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата [1 - 5].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 3 глав и введения. Список литературы включает 28 наименований. Общий объем диссертации составляет 94 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются се результаты и содержание, вводятся основные понятия а так же освещается место данных результатов в современной теории интегрируемых систем.

В первой главе излагаются результаты Rawnslcy и Baguis о структуре орбит коприсоединенного действия групп Ли, которые затем обобщаются на случай, когда коммутативный идеал не выделяется в качестве полупрямого слагаемого.

Основной подход состоит в следующем: автор рассматривает алгебру Ли д, содержащую идеал I и соответствующую группу Ли G. Вложение Icq определяет естественную проекцию р: д* —> I*. Поскольку I является идеалом, действие, индуцируемое на I* коприсосдинснным действием группы является фактически действием группы Ли 0/1. Это действие обозначается Ф, а его дифференциал — ф. Проекция р превращает орбиты коприсоединенного действия группы Ли G в расслоения над орбитами этого действия. Автор доказывает следующие теоремы, описывающие структуру этих расслоений.

Теорема 1. Пусть алгебра Ли д содержит коммутативный идеал I. Тогда орбита элемента х при коприсоединенном действия соответствующей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита 0§(р(х)) с I* элемента р(х) при действии Ф, а слой над точкой а является прямым произведением орбиты коприсоединенного действия в Апп(а)* и линейного пространства V, причем dimV = dim 0$.

Теорема 2. Пусть (? — группа Ли, такая что алгебра Ли д содержит (2п + 1 )-мерный идеал Ь, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда существует подалгебра такая что 0 = Ь + £и1)П£ = ¿(1)), а орбита ко-присоединенного действия группы б представляет собой расслоение над базой Я2п, слоем которого является орбита коприсоединенного действия элемента тт(х) в 6*, где тт — проекция на второе слагаемое в разложении

Доказанные теоремы дают простую геометрическую интерпретацию коммутативного набора полиномов, построенного с помощью метода Сад-этова. Слоение Лиувилля, задаваемое полными коммутативными наборами полиномов, построенными по Садэтову согласовано со структурой расслоения, описанной в теоремах 1 и 2, при этом слои имеют вид К'1 х К, где К — слои, получаемые из аналогичного набора для меньшей алгебры Ли. Таким образом слоенис определяется набором полиномов для полупростой алгебры Ли, которые строятся методом сдвига аргумента.

В связи с этим приобретают интерес другие способы построения полных наборов полиномов, задающих более интересную динамику на орбитах коприсоединенного действия. Одним из возможных способов построения является метод цепочек подалгебр. В случае, если алгебра Ли 0 представляет собой полупрямую сумму алгебры Ли г с коммутативным идеалом V-, 0 = т +ф V, естественное вложение г С 0 позволяет воспользоваться этим методом. Приводится кратко описание метода цепочек подалгебр и доказываем критерий, показывающий когда его применение для полупрямой суммы даст полный набор функций:

Теорема 3. Набор функций па д*, получаемый с помощью цепочки г С д, будет полным, если полным будет набор функций на г*, получаемый ш цепочки Аппф(а) С г.

Во второй главе рассматриваются алгебры Ли вида полупрямой суммы классической алгебры Ли с коммутативным идеалом. Алгебры Ли такого вида возникают в прикладных задачах, например, алгебра Ли ез = 3) + К3 является естественным пространством для описания ди-

намики трехмерного твердого тела с закрепленной точкой в ноле силы тяжести. Алгебра Ли so(n) + К" соответствует n-мерному обобщению этой задачи.

Для алгебр Ли вида so{n) +р К", sl(n) +р R" и sp{n) +р R2" в явном виде выписаны инварианты и описана топология орбит коприсосдинснного действия для таких алгебр Ли.

Явный вид инвариантов позволяет применить метод сдвига аргумента и получить конкретные полные коммутативные наборы, соответствующие некоторым интегрируемым системам на двойственном пространстве к алгебре Ли.

Информация о топологии орбит может быть полезна при исследовании топологии соответствующих Лиувиллсвых слоений.

Третья глава диссертации посвящена исследованию бигамильтоновой структуры на алгебрах Ли. Опираясь на теорему Кронекера-Жордана о каноническом виде пучка кососиммстрических форм автор изучает пучок форм, порождаемый скобкой Пуассона-Ли и скобкой с замороженным аргументом.

В каноническом виде для пара форм приводится к блочно-диагональному виду с двумя типами блоков: жордановыми и кронекеровы-ми клетками. Для указанной пары форм разложение связано с естественными характеристиками алгебры Ли, например количество кронекеровых блоков равно индексу алгебры.

Применяя указанный подход автор получает элементарные доказательства критерия Волсинова, теоремы Костанта и теоремы Винберга

Теорема 4 (A.B. Болсинов). Пусть g — произвольная конечномерная комплексная алгебра Ли, S = {у € 0*| dim Ann(?/) > indß} — множество сингулярных элементов в д, а — регулярный элемент, то есть а S. Инволютивное семейство, полученное сдвигом инвариантов на элемент а полно на д* тогда и только тогда, когда codimS > 2.

Теорема 5 (Костант). Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть fi — канонические инварианты коприсоединенного представления. Тогда гра-

диенты независимы во всех регулярных точках 5*.

Теорема 6 (Э.Б.Винбсрг). Пусть д — конечномерная алгебра Ли, а € 0* — произвольный элемент. Тогда тс! Апп(а) > тс!д.

Также с помощью приведения пучка скобок к каноническому виду вводится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли, которые обобщают понятие показателей для полу простой алгебры Ли. При этом вычисление кронексровых индексов сводится к задачам линейной алгебры.

Автор доказывает новую оценку снизу на степени полиномиальных инвариантов алгебры Ли в терминах кронекеровых индексов:

Теорема 7. Пусть д — алгебра Ли, /1, • • •(й = тс!д,) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и с^ /] < с!е§ /2 <____Тогда

и > п,

где г\ < г2 < ■ ■ ■ < г„ — кронекеровы «пьексы алгебры Ли д. Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко и д.ф.-м.н., профессору Алексею Викторовичу Болсинову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит участников семинара "Современные геометрические методы" и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] А. С. Воронцов, Инварианты алгебр Ли, прсдставимых в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом Матсм. сб., 200:8 (2009), 45-62

[2] A.C. Воронцов, Кронекеровы индексы алгебры Ли и оценка степеней инвариантов, Вести, моек, ун-та, сер. 1, Математика. Механика, 2011, No. 1, 26-30

[3] A.C. Воронцов, Рациональная точность формы Ли-Кириллова на некоторых алгебрах Ли, Тезисы конференции "Александровские чтения-2006"

[4] A.C. Воронцов, О рациональном прообразе формы Кириллова, Тезисы конференции Суздаль-2006

[5] A.C. Воронцов, Форма Кириллова как дифференциал рациональной 1-формы, Тезисы воронежской школы им. С.Г. Крейна

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж \1 ©экз. Заказ № 9

Введение

1 Структура орбит

1.1 Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы

1.2 Симплектическая структура

1.3 Случай полупрямой суммы д $с.

1.4 Случай коммутативного идеала.

1.5 Симплектическая структура для случая коммутативного идеала

1.6 Случай идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга.

1.7 Симплектическая структура для случая идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга.

1.8 Теорема Садэтова и построение полных коммутативных наборов полиномов.

2 Инварианты и орбиты для полупрямых сумм

2.1 Группы 5р(п) К2п и 5о(п) +ср К" (общая конструкция)

2.2 Инварианты и орбиты коприсоединенного представления . 56 2.2.1 Инварианты для алгебры Ли зо(п) (Е7*)*1.

2.2.2 Орбиты для алгебры Ли зо(п) + Кп.

2.2.3 Инварианты для алгебры Ли зр(п) (Ш2п)к.

2.2.4 Орбиты для алгебры Ли зр(п) М2п.

2.2.5 Инварианты для алгебры «¿(п) (К")*.

2.2.6 Орбиты для алгебры з1{п) +1рк (Жп)к.

3 Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли

3.1 Теорема Кронекера—Жордана. Кронекеровы индексы алгебры

3.2 Критерий Болсинова и теорема Костанта.

3.3 Теорема Винберга.

3.4 Оценка степеней инвариантов коприсоединенного представления

Данная диссертация посвящена описанию орбит и инвариантов коприсоеди-ненного действия групп Ли. Этот вопрос имеет приложение в теории вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Орбиты коприсоединен-ного действия групп Ли являются естественным примером симплектических многообразий. Задание на 2п-мерной орбите коприсоединенного действия группы Ли набора функций в инволюции, содержащего п независимых функций, эквивалентно заданию на этой орбите вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в качестве гамильтониана можно взять любую из функций. В частности, многие классические динамические системы можно рассматривать как системы на орбитах коприсоединенного действия групп Ли.

Пусть С — конечномерная группа Ли (комплексная или вещественная), д — ее алгебра Ли, $* — пространство, двойственное к алгебре Ли. Определим действие группы на себе сопряжением, вд: С —> С, задаваемое формулой

Дифференциал этого действия в единице е группы С определяет действие С на касательном пространстве к группе в этой точке, то есть на алгебре Ли 0. Это действие называется присоединенным и обозначается д € С, £ е

Обозначим через АсГ действие (2 на пространстве д*, двойственное к присоединенному действию на 0, то есть удовлетворяющее условию ^

Аф.О = {х,Ай*д-1£),Чд 6 С,ж £ £ 0.

Угловые скобки здесь и далее обозначают спаривание элементов из основного и двойственного пространства. Это действие называется коприсоединенным действием алгебры Ли.

Нам понадобятся также соответствующие представления алгебры Ли. Присоединенное действие Ас! является отображением Ас1: (7 —»■ СЬ{д). Дифференциал этого отображения в единице группы определяет присоединенное представление алгебры Ли д, обозначаемое ас1: д —» д1{д).

Коприсоединенное представление алгебры Ли совпадает с коммутатором, то есть ас^?? = [£,77]. Для того чтобы ввести коприсоединенное представление алгебры Ли можно либо рассмотреть аналогичную конструкцию для Ас!*, либо, что эквивалентно, определить его соотношением ас^ж, 7]) = — (х, а <1^77).

Замечательное свойство орбит коприсоединенного действия состоит в том, что они являются симплектическими многообразиями с канонической сим-плектической структурой. Для того чтобы ее определить нам понадобится следующее простое утверждение, доказанное, например, в [24].

Утверждение 0.1. Касательное пространство к орбите коприсоединенного действия группы Ли д в точке х состоит из векторов вида ас^жо

Тогда для любых двух векторов у и г из касательного пространства к орбите в точке х мы можем выбрать такие 77 е д, что у = ас^ж, г — ас1*ж. Определим значение формы на векторах у и г формулой ш{у,г) = (х, [£,77]).

Это определение не зависит от выбора £ и 77, поскольку они определяются с точностью до С таких что = 0, но х, К + С, V]) = (х, а^+С7?) = -(Щ+с^ V) = — <ас1|я5, г}) = (х, [£, 77]).

Замкнутость полученной формы следует из тождества Якоби для коммутатора на д. Построенная форма называется в разных источниках формой Березина, формой Кириллова и формой Костанта. Мы будем называть ее формой Кириллова.

Можно смотреть на симплектическую структуру на орбитах с другой, в некоторых случаях более продуктивной точки зрения. Рассмотрим алгебру Ли д. На двойственном пространстве к алгебре Ли д* естественным образом вводится скобка Пуассона (ее обычно называют скобкой Пуассона—Ли). Для любых двух функций /, д е С°°(д*) рассмотрим их дифференциалы в точке х. Они будут линейными функционалами на д*, то есть элементами д. Определим значение скобки Пуассона—Ли функций / и д в точке х формулой здесь угловые скобки обозначают спаривание элементов из алгебры и коал-гебры. Можно записать это определение в координатах используя тензор структурных констант алгебры Ли г г -,/ ч г дд

Скобка Пуассона—Ли на д*, вообще говоря, вырождена. Симплектические листы скобки совпадают с орбитами коприсоединеиного действия соответствующей группы Ли G, а форма, обратная скобке Пуассона, ограниченной на симплектические листы совпадает с формой Кириллова, введенной выше.

Естественная симплектическая структура па орбитах коприсоединеиного действия группы Ли позволяет рассматривать гамильтоновы системы на этих орбитах. Один из первых примеров такого подхода — работы В.И. Арнольда, рассматривавшего системы на двойственном пространстве к алгебре Ли, обобщающие уравнения Эйлера динамики твердого тела.

A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко ([19], [21]) предложили идею "некоммутативного интегрирования" гамильтоновых систем. Дадим вначале важное определение.

Определение 1. Алгебра Ли q называется интегрируемой, если на двойственном пространстве q* существует q функционально независимых функций fi,.,fqe инволюции относительно скобки Пуассона—Ли, причем q = ^(dimg + indg).

Рассмотрим гамильтонову систему на симплектическом многообразии М. Рассмотрим алгебру Ли F) ее интегралов. Если ее можно включить в некоторую большую (вообще говоря некоммутативную) алгебру Ли g, такую что dimg + ind q = dim M мы будем говорить, что система интегрируема в некоммутативном смысле.

A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко доказали важную теорему:

Теорема 0.1 (А.С.Мищенко, А.Т. Фоменко, [ 18]). Пусть М — симплектическое многообразие, пусть 0 — алгебра Ли функционально независимых интегралов гамилыпоновой динамической системы и выполняется равенство dim 0 + ind q = dim M. Если алгебра JJu g интегрируема, то существует другая, коммутативная алгебра Ли до функционально независимых интегралов, причем 2 dimg0 = dim М.

Таким образом вопрос об эквивалентности понятий некоммутативной интегрируемости и интегрируемости по Лиувиллю сводится к вопросу об интегрируемости алгебр Ли.

A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко сформулировали гипотезу

Гипотеза 1. Любая алгебра Ли интегрируема в классе полиномов.

Эта гипотеза известна как гипотеза Мищенко—Фоменко. Сами авторы доказали ее для редуктивных алгебр Ли, позднее ими и другими авторами (подробный обзор приведен в [24]) гипотеза была доказана для других классов алгебр Ли.

Окончательная точка в доказательстве этого утверждения была поставлена С.Т. Садэтовым, доказавшем гипотезу Мищенко—Фоменко для произвольной алгебры Ли (см. [23]), более простое изложение доказательства Садэтова привел A.B. Болсинова в [ 14]. Ключевым соображением в доказательстве Садэтова является индукция по размерности, которая возможна благодаря следующей лемме:

Лемма 0.1 (см. [14]). Любая алгебра Лид над полемК характеристики 0 удовлетворяет одному из следующих условий: ß имеет коммутативный идеал I, не являющийся одномерным центром алгебры JIu q;

2. g имеет идеал Fjm изоморфный алгебре Гейзенберга, при этом центр q совпадает с центром идеала f)m;

3. 0 = L ф К, где L — полупроста;

4. q полупроста.

В первых двух случаях Садэтов приводит конструкции, позволяющие свести построение полного коммутативного набора полиномов для алгебры Ли 0 к построению полного коммутативного набора полиномов для некоторой алгебры меньшей размерности.

Первый случай содержит важный класс алгебр Ли, а именно алгебры Ли, представимые в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом. Rawnsley ([4]), а позднее Baguis ([3]) рассматривали топологию орбит ^присоединенного действия групп Ли, алгебра которых имеет вид полупрямой суммы. Оказывается, что в этом случае топологию орбит также можно описать, сводя ее к описанию орбит в некоторой меньшей алгебре Ли.

Мы покажем, что аналогичную редукцию можно провести для всех алгебр Ли, удовлетворяющих условию (1) леммы 1. Конструкцию можно также распространить на алгебры Ли, удовлетворяющие условию (2) леммы 1.

Случай (3) леммы 1 естественным образом сводится к случаю полупростой алгебры, а для полупростой алгебры Ли коммутативный набор строится с помощью конструкции, предложенной A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко, называемой методом сдвига аргумента

Теорема 0.2 (A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, [ 18]). Пусть д — конечномерная алгебра Ли. Пусть /г- — инварианты коприсоединенного действия. Возьмем произвольный элемент а е g*. Для каждого инварианта fi рассмотрим разложение функции f(x + А а) в ряд по степеням параметра А: fi(x + Аа) = ^J9ij(x)-j

Все функции gij находятся в инволюции относительно скобки Пуассона— Ли.

Таким образом метод сдвига аргумента позволяет строить наборы функций в инволюции на д*. Возникает естественный вопрос, в каком случае получаемый набор будет полным, то есть будет содержать ^(dirrig + ind g) независимых функций.

Окончательный ответ на этот вопрос для комплексного случая был получен A.B. Болсиновым ([13]):

Теорема 0.3. Пусть g — произвольная конечномерная комплексная алгебра Ли, S = {у е 0*| dimAnn(?/) > indg} —множество сингулярных элементов в g, а — регулярный элемент, то есть а S. Инволютивное семейство, полученное сдвигом инвариантов на элемент а полно на д* тогда и только тогда, когда codimS' > 2.

Доказательство критерия Болсинова использует другой взгляд на метод сдвига аргумента. Это взгляд связан с понятием бигамильтоновых систем. Пусть на М заданы две скобки Пуассона {, }i и {, }2. Скобки Пуассона называются согласованными, если любая их линейная комбинация А{, + также является скобкой Пуассона.

Иногда согласованные скобки называют пуассоновыми или гамильтоновы-ми парами. Обозначим пару согласованных скобок Пуассона Ли В и рассмотрим пучок скобок 3 — АЛ + ¡лВ, А, р е С. Для фиксированной точки х е М скобка Пуассона является кососимметрической 2-формой. Обозначим через г = тахх€м,с^ гк С(х). Будем называть скобку из пучка 7 регулярной, если ее ранг равен г почти всюду на М. Пара согласованных скобок Пуассона позволяет построить коммутативный набор функций благодаря следующему утверждению:

Утверждение 0.2. Пусть /,д — функции, лежащие в ядрах регулярных скобок Пуассона в пучке 3 (функции Казимира этих скобок). Тогда они находятся в инволюции относительно всех скобок Пуассона в пучке

Это значит, что объединение функций Казимира всех регулярных скобок пучка образует коммутативное семейство функций на М.

Семейство, получаемое сдвигом инварианта на вектор а£д* может быть получено как семейство, отвечающее паре согласованных скобок Пуассона: введенной ранее скобке Пуассона—Ли и скобке "с замороженным аргументов" {, }а, определяемой для данного а равенством (1)

Оказалось, что бигамильтонов подход к изучению динамических систем на двойственном пространстве к алгебре Ли дает новый взгляд на некоторые алгебраические свойства алгебр Ли.

Изложим содержание работы более подробно.

В первой главе в начале излагаются результаты Rawnsley и Baguis о структуре орбит коприсоединенного действия групп Ли, которые затем обобщаются на случай, когда коммутативный идеал не выделяется в качестве полупрямого слагаемого.

Основной подход состоит в следующем: рассмотрим алгебру Ли g, содержащую идеал I и соответствующую группу Ли G. Вложение leg определяет естественную проекциюр: д* —> /*. Поскольку I является идеалом, действие, индуцируемое на I* коприсоединенным действием группы является фактически действием группы Ли G/I. Обозначим это действие Ф, а его дифференциал — ф. Проекция р превращает орбиты коприсоединенного действия группы Ли G в расслоения над орбитами этого действия. Мы доказываем следующие теоремы, описывающие структуру этих расслоений.

Теорема 0.4. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I. Тогда орбита элемента х при коприсоединенном действия соответствующей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита 0$(р(х)) с I* элемента р(х) при действии Ф, а слой над точкой а является прямым произведением орбиты коприсоединенного действия в Апп(а)* и линейного пространства V, причем dim V = dim Оф.

Теорема 0.5. Пусть G — группа Ли, такая что алгебра Ли g содержит (2п + 1)-мерный идеал ij, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда существует подалгебра Ï, такая что g = + £ м fj n 6 = а орбита коприсоединенного действия группы <3 представляет собой расслоение над базой Я2п, слоем которого является орбита коприсоединенного действия элемента -к{х) в где тт — проекция на второе слагаемое в разлооюении $ = §

Доказанные теоремы дают простую геометрическую интерпретацию коммутативного набора полиномов, построенного с помощью метода Садэтова. Слоение Лиувилля, задаваемое полными коммутативными наборами полиномов, построенными по Садэтову согласовано со структурой расслоения, описанной в теоремах 0.5 и 0.6, при этом слои имеют вид М* х К, где К — слои, получаемые из аналогичного набора для меньшей алгебры Ли. Таким образом слоение определяется набором полиномов для полупростой алгебры Ли, которые строятся методом сдвига аргумента.

В связи с этим приобретают интерес другие способы построения полных наборов полиномов, задающих более интересную динамику на орбитах коприсоединенного действия. Одним из возможных способов построения является метод цепочек подалгебр. В случае, если алгебра Ли 0 представляет собой полупрямую сумму алгебры Ли г с коммутативным идеалом V: д = г +ф V, естественное вложение г с 0 позволяет воспользоваться этим методом. Мы приводим кратко описание метода цепочек подалгебр и доказываем критерий, показывающий когда его применение для полупрямой суммы дает полный набор функций.

Во второй главе рассматриваются алгебры Ли вида полупрямой суммы классической алгебры Ли с коммутативным идеалом. Алгебры Ли такого вида возникают в прикладных задачах, например, алгебра Ли ез = so(3) + R3 является естественным пространством для описания динамики трехмерного твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести. Алгебра Ли so(n) + Rn соответствует n-мерному обобщению этой задачи.

Для алгебр Ли вида so{n) Ч-^М", sl(n) H-^R" и sp(ri) Ч-^М2" в явном виде выписаны инварианты и описана топология орбит коприсоедипенного действия для таких алгебр Ли.

Явный вид инвариантов позволяет применить метод сдвига аргумента и получить конкретные полные коммутативные наборы, соответствующие некоторым интегрируемым системам на двойственном пространстве к алгебре Ли.

Третья глава диссертации посвящена исследованию бигамильтоновой структуры на алгебрах Ли. Опираясь на теорему Кронекера—Жордана о каноническом виде пучка кососимметрических форм мы изучаем пучок, порождаемый скобкой Пуассона—Ли и скобкой с замороженным аргументом (1).

Такой подход позволяет получить элементарное доказательство критерия Болсинова (см. Теорема 0.3), теоремы Костанта и теоремы Винберга

Теорема 0.6 (Костант). Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть ft канонические инварианты коприсоедипенного представления. Тогда градиенты dfc независимы во всех регулярных точках д*.

Теорема 0.7 (Э.Б.Винберг). Пусть g— конечномерная алгебра Ли, a G д* произвольный элемент. Тогда ind Ann(a) > ind g.

Также с помощью приведения пучка скобок к каноническому виду вводится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли, которые обобщают понятие показателей для полупростой алгебры Ли. При этом вычисление кронекеровых индексов сводится к задачам линейной алгебры.

Мы доказываем новую оценку снизу на степени полиномиальных инвариантов алгебры Ли в терминах кронекеровых индексов:

Теорема 0.8. Пусть д — алгебра Ли, /ь ., fs (s = гкд) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и deg/i < deg/2 <Пусть щ < г2 < ■ • • — кронекеровы индексы алгебры Ли д. Тогда deg fi >

Автор глубоко признателен своим научным руководителям, академику А.Т. Фоменко и д.ф.-м.н. A.B. Болсинову за внимание к работе, множество полезных замечаний и предложенных идей.

1. А. С. Воронцов, Инварианты алгебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом Матем. сб., 200:8 (2009), 45—62

2. А.С. Воронцов, Кронекеровы индексы алгебры Ли и оценка степеней инвариантов, Вестн. моек, ун-та, сер. 1, Математика. Механика, 2011, No. 1,26-30.

3. P. Baguis, Semidirect products and the Pukansky condition, J. Geom. Phys.,25,245-270,(1998).

4. J. H. Rawnsley, Representations of a semi-direct product by quantization. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 78, no. 2, 345-350, (1975).

5. A. V. Bolsinov, A.A. Oshemkov, Bi-Hamiltonian Structures and Singularitiesof Integrable Systems, Regular and Chaotic Dynamics, 2009, Vol. 14.

6. Ilya Zakharevich, Kjonecker webs, bihamiltonian structures, and the method of argument translation, arXiv:math/9908034v3

7. R.C. Thompson, Pencils of Complex and Real Symmetric and Skew Matrices, Linear Algebra Appl.,1991, vol. 147, pp. 323-371.

8. М. Rais, L'indice des produits semi-direct E xp g, C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. A 287 (1978), 195-197

9. A. V. Bolsinov, B. Jovanovic, Integrable geodesic flows on homogeneous spaces, Mat. Sb., 192:7 (2001), 21-40

10. J.-Y. Charbonnel, A. Moreau, The index of centralizers oi elements of reductive Lie algebras, http://arxiv.org/abs/0904.1778

11. R. Bott, The geometry and representation of compact Lie groups, London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 34, 65-90 (1979).

12. D.I. Panyushev, "On the coadjoint representation of Z2-contractions of reductive Lie algebras", Adv. Math., 213:1 (2007), 380-404

13. А. В. Болсинов, "Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции", Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 68-92

14. А. В. Болсинов, "Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоно-вых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко—Фоменко", Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, 26 (2005), 87—109

15. А. Гусейнов, Дипломная работа. Инварианты коприсоединенного представления алгебр Ли so(n) Rn, so(n) +<p (Mn)fc, gl(n) + (Rre)fc.

16. M.M. Жданова, Дипломная работа. Построение полных коммутативных наборов для полупрямых сумм методом Садэтова.

17. A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли, ДАН СССР. 1976, т.231, No.3, с.536-538.

18. A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем, Фупкц.анализ и его приложения, 1978, т. 12, No. 2, с.49-59.

19. A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, Групповые неинвариантные симплекти-ческие структуры и гамильтоновы потоки на симметрических пространствах, Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М., изд-во МГУ, 1983, вып. 21, с. 23-83.

20. A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями,Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, 20, 5-54

21. С. П. Новиков, И. Шмельцер, "Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника—Шнирельмана—Морса (ЛШМ). I", Функц. анализ и его прил., 15:3 (1981), 54—66

22. С.Т. Садэтов, Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко. Докл. РАН. 2004. 397. №6. 751-754.гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448с.

23. В.В. Трофимов , А.Т. Фоменко, Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли, УМН, 1984, т. 39, вып. 2, с.3-56.

24. В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко, Динамические системы на орбитах линейных представлений групп Ли и полная интегрируемость некоторых гидродинамических систем, Функц. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып.1, с. 31-39. Объем

25. В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко, Геометрия скобок Пуассона и методы интегрирования по Лиувиллю систем на симметрических пространствах. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 29, 1986 г.

26. О. С. Якимова, "Индекс централизаторов элементов в классических алгебрах Ли", Функц. анализ и его прил., 40:1 (2006), 52-64