Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли

Деркач, Мария Михайловна

Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Деркач, Мария Михайловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли»

Автореферат диссертации на тему "Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли"

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

Деркач Мария Михайловна

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ полных инволютивных НАБОРОВ ПОЛИНОМОВ НА ПОЛУПРЯМЫХ СУММАХ

АЛГЕБР ЛИ

01.01.04 — Геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

о з [,:.т

Москва, 2011

4856565

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: академик РАН Фоменко Анатолий Тимофееви*

доктор физико-математических наук, профессор Болсинов Алексей Викторович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Карасев Михаил Владимирович, кандидат физико-математических наук Морозов Павел Валерьевич.

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет.

Защита диссертации состоится 11 марта 2011 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 11 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию интегрируемости гамильтоновых систем алгебраическими и геометрическими методами. Как известно, многие классические уравнения механики (в частности, гамильтоновы системы) записываются как системы дифференциальных уравнений на евклидовом пространстве Еп. Для полной интегрируемости такой системы в общем случае необходимо (п — 1) независимых первых интегралов. Однако есть класс многообразий, называемых симплектическими многообразиями, где для полной интегрируемости системы иногда достаточно п/2 независимых первых интегралов.

Один из простейших примеров симплектического многообразия — это орбита конрисоединенного действия группы Ли. Если в ввести структуру алгебры Ли так, чтобы на орбите коприсоединенного действия векторное поле, задающее исследуемую систему, было гамильтоновым, то для полной интегрируемости системы достаточно найти набор интегралов, удовлетворяющих теореме Лиувилля. В таких случаях число независимых интегралов должно быть равно половине размерности орбиты.

Эта задача допускает естественное обобщение: вместо рассмотрения конкретной системы уравнений можно поставить вопрос об отыскании максимального коммутативного набора полиномов для произвольной алгебры Ли. Из таких наборов зачастую получаются интересные механические системы. А именно: взяв любую функцию из набора в качестве гамильтониана, можно получить гамильтонову систему, которая будет интегрируема ввиду наличия полного набора коммутирующих полиномиальных интегралов.

Напомним ряд необходимых определений.

Определение 1. Алгеброй Ли д над полем К называется линейное пространство, на котором введена билинейная, кососимметрическая операция коммутатор [-,-]: 0 х д —» 0, удовлетворяющая тождеству Якоби [Ы(] + + [[С,£],т?] = о для любых 7?,С,£ € 0. Если рассмат-

ривать конечномерные алгебры Ли, то двойственное пространство 0* (т.е. пространство линейных функционалов на д) будет конечномерным линейным пространством.

Ниже, если не оговорено противное, рассматриваются лишь веществен-

На двойственном пространстве д* рассматриваются гладкие функции /: 0* —> R. На множестве таких функций С°°(д*) существует скобка Пуассона-Ли

{•; .Jins'lxC'teV^tg*),

определяемая в каждой точке х € д* равенством

В механических системах первые интегралы чаще всего являются полиномиальными функциями на д*, например, полная энергия механической системы — это квадратичный полином от элементов самой алгебры. Для полиномиальных функций /ид скобку Пуассона-Ли можно определить следующим эквивалентным способом:

1). Если fug- линейные (т.е. /, д € д), то {/,д} = [/, д],

2)- {>} — билинейная,

3). {,} — кососимметричная,

4). Скобка удовлетворяет правилу Лейбница {fg, h} = {/, h}g + {g,h}f для любых полиномов /, д, h.

Определение 2. Говорят, что две функции находятся в инволюции (или коммутируют), если их скобка Пуассона-Ли равна нулю.

Еще одно важное понятие — это коприсоединенное действие группы. Пусть конечномерной алгебре Ли g соответствует группа Ли G, т.е. гладкое многообразие, имеющее структуру группы с гладкими операциями умножения и взятия обратного элемента. Тогда алгебра Ли — это касательное пространство в единице этой группы. На алгебре g естественно определено присоединенное действие ее группы Ad: G GL(g) по следующему правилу: пусть g(t) кривая в группе G, проходящая через единицу группы в начальный момент времени t — 0, касательный вектор к которой в единице группы совпадает с наперед заданным вектором f е д. Тогда для любого элемента h Е G, hg(t)h~l — тоже кривая в группе G, проходящая через единицу группы в начальный момент времени t = 0, а значит касательный вектор к ней в единице группы также лежит в алгебре д. Этот вектор и является результатом действия оператора Ad^ на вектор Действие, двойственное к присоединенному действию группы, называется коприсоединенным действием Ad*: G —> GL(g') и играет важную роль в теории гамильтоповых систем, а именно: орбиты О* коприсоединенного

действия являются симплектическими многообразиялш (т.е. многообразиями, на которых можно ввести замкнутую невырожденную 2-форму1). Для симплектических многообразий верна теорема Лиувилля, позволяющая уменьшить необходимое количество первых интегралов.

Теорема 1. Пусть на гладком сштлектическом многообразии М2п заданы гамилътонова система2 v = sgradЯ и набор гладких функций /ь • • • I /я со следующими свойствами:

• /ъ ■ ■ ■ > fn — первые интегралы системы,

• они функционально независимы на М2п,

• они попарно коммутируют относительно скобки Пуассона {/, у} = w(sgrad /, sgrad

• векторные поля sgrad/,: полны, т.е. естественный параметр вдоль интегральных т.раекторий полей опредыен на всей числовой прямой.

Пусть Tf — совместная поверхность уровня интегралов /ь •.., /п. Тогда

i) Ec,iu многообразие связно, регулярно и компактно, то оно диффео-морфно n-мерному тору. Этот тор называется тором Лиувилля

И) Слоение Лиувилля в окрестности тора. Лиувилгя тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению Тп х Dn.

Ш) В достаточно малой окрестности U = Тп х D" существует такая система координат si,..., sn, ipi,..., ipn (называемых переменными действие-угол), что

• sj,..., s„ — координаты на диске Dn, ipi,..., ip„ — координаты на торе Тп,

• симплектическая форма oj принимает в этих координатах канонический вид: и) = d^pi A dsi,

• В переменных действие-угол гамшътонов поток выпрямляется на каждом торе Лиувилля в окрестности U, т.е. гамильтоновы уравнения принимают вид

¿¿ = 0, ф{ =<7i(sb...,6'n), i= l,...,7i.

1Болсииов A.B., Фоменко А.Т. "Интегрируемые гамильтоновы системы", Геометрия. Топология. Классификация. Тома 1 и 2. - Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск, 1999.

Определение косого градиента функции sgrad и более подробную формулировку и доказательство теоремы Лиувилля можно найта, например, в книге Болсинов A.B., Фоменко А.Т. "Интегрируемые гамильтоновы системы", Геометрия. Топология. Классификация. Тома 1 и 2. - Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск, 199D.

Как было сказано выше, орбита О* является симплектическим многообразием, при этом симплектическая 2-форма w вводится каноническим образом. На пространстве гладких функций на любом симплектическом многообразии М можно ввести операцию скобки Пуассона по еле,дующему правилу: {/,<?} = w(sgrad/,sgrad <?). Оказывается, что если М — это орбита коприсоединенного действия О*, то ограничение скобки Пуассона-Ли, введенной формулой (1), на М совпадает со скобкой Пуассона, существующей на ней как на симплектическом многообразии с канонической формой U1.

Модельным примером описанной выше конструкции может служить система, описывающая движение твердого тела в трехмерном пространстве. Соответствующая система дифференциальных уравнений может быть записана в виде

Здесь К — кинетический момент, П — угловая скорость тела, а физический смысл векторов е и и определяется выбранной задачей. Эта система уравнений па R6(K, е) имеет два естественных первых интеграла: fi = (е, е), /2 = (К, е). Для полной интегрируемости системы (2) необходимо найти еще три интеграла. Однако введение на RG(A', е) структуры алгебры Ли позволяет уменьшить искомое число первых интегралов.

На пространстве е) можно ввести структуру алгебры Ли е(3). т.е. алгебры Ли группы движений трехмерного пространства. Совместная поверхность уровня М\2 первых интегралов /1 и /2 будет являться орбитой коприсоединенного действия группы Е{3), а значит ограничение скобки Пуассона-Лн (вырожденной на всей алгебре е(3)), на орбиту окажется невырожденным. Многообразие Ми в общем случае имеет размерность 4. Поскольку векторное поле (2) касается поверхности Ми и оказывается га-мильтоновым на Л/123, оно порождает гамильтонову систему на 4-мерном симплектическом многообразии, для интегрируемости которой по теореме Лиувилля необходимо два интеграла. Один из них — это гамильтониан системы, второй требуется найти.

3Фоменко А.Т. Сшямектическад геометрия. МетоОм и приложения. (Монография). - M.; год-во МГУ, 1988.

орбит требуется dim g — dim О* = codiin О" интегралов. Каждая орбита — это симплектичсское многообразие, поэтому для интегрируемости системы на нем необходимо еще dl™°*. функций. Следовательно, общее число функционально независимых полиномов для интегрируемости системы на всей алгебре Ли g равно

,. ... dim О* dim g + codim О* m = codimO -i---— =--—--. (3)

Определение 3. Коразмерность орбиты регулярного элемента для копри-соединенного действия называется индексом алгебры Ли д.

ind g = min(dim g — dim О*).

С использованием определения индекса алгебры формулу (3) можно переписать в виде: m = .

Определение 4. Коммутативный относительно скобки Пуассона набор функционально

независимых полиномов frn называется полным, ес-

ли

m — - ^dim g + ind g^. (4)

Таким образом, если на алгебре Ли найдется полный коммутативный набор полиномов fi,---,fm, то гамильтонова система на всей алгебре, с гамильтонианом / € {/i,..., /„.}, будет интегрируема.

Исследуя гамильтоновы системы на алгебрах Ли, А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко сформулировали важную гипотезу: на двойственном пространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики К всегда существует полный коммутативный набор полиномов. Следовательно, всегда существует интегрируемая гамильтонова система с полиномиальными интегралами. А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко доказали эту гипотезу для всех редуктивных алгебр Ли (определение см. ниже). Доказательство оказалось весьма нетривиальным и было основано на новом методе, предложенном авторами, и получившем в дальнейшем широкие применения и развитие во многих работах. Затем последовало большое число работ различных авторов, в которых гипотеза Мищенко-Фоменко доказывалась для других алгебр Ли. Окончательное доказательство гипотезы было получено С. Т. Садэтовым4. Более наглядное и геометрическое

4С.Т. Садэтов, Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Докл. РАН, 397:6 (2004), 751-754; акта, пер.: S. T. Satietov, "A proof of the Mishdienko-Fomenko conjecture", Dokl. Math., 1 (2004), 635-538.

доказательство, основанное на алгоритме Садэтова, приведено А. В. Болси-новым5. Таким образом, верно следующее фундаментальное утверждение.

Теорема 2 (Мищенко, Фоменко, Садэтов). На двойственном пространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики всегда существует полный инволютивный набор полиномов.

Наиболее изученный класс алгебр Ли — это полупростые и редуктив-ные алгебры Ли. Полупростой называется алгебра Ли, не имеющая нетривиальных разрешимых идеалов. Прямая сумма полупростой алгебры Ли с любой коммутативной алгеброй, называется редуктивной алгеброй Ли. Для случая редуктивных алгебр теорема 2 была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко. Полный инволютивный набор полиномов для такой алгебры может быть построен с помощью метода сдвига аргумента6.

Следующий важный класс алгебр — это полупрямые суммы алгебр Ли.

Определение 5. Пусть Ï) — алгебра Ли с коммутатором [•, •](,, а х: Ь gl(V) — произвольное линейное представление этой алгебры. Полупрямой суммой g = I) -f-x V называется алгебра Ли, которая как линейное пространство изоморфна прямой сумме пространств f) и V, а коммутатор определяется следующим образом: пусть € fy, V\, t'2 € V, тогда «2, «2)1 = X&)V2 - Xiévi)-

Вопрос построения полных наборов для полупрямых сумм алгебр Ли рассматривался многими авторами. Полупрямыми суммами простых алгебр Ли по неприводимому представлению занимались А. В. Болсинов7 и Б.Привитцер8. Кроме того, для сумм gl(2n) + V по представлению Агр (где А2р - вторая внешняя степень представления минимальной размерности), sl(2n) + V по представлению S2p (где S2p - вторая симметрическая степень представления минимальной размерности) и sp(n) + V по сумме представлений р + т (где р - представление минимальной размерности,

5Болсинов A.B. "Полные инволютивныс наборы полиномов а пуассоновш алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-ФоменкоТруды семинара по вект.н теиз.анализу. Вып.26. М.: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ. 2005, с.87-109.

6Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупросгпыз; алгебрах Ли Труды семинара по векторному и тензорному анализу.. Вып.19, М.; изд-во МГУ, 1979, с.3-94.

'A.B.Болотное, "Инволютивные семейства функций на двойственных пространствах к алгебрам Ли типа G +ф V", УМН, 42:6(258) (1987), 183-184.

А. V. Bolsinov "Commutative families of functions related to consistent Poisson brackets",// Acta Appi. Math., 24(1991), pp. 253-274.

8B. Привитцер, "Новые примеры интегрируемых гамидьтоиовых систем на полупрямых суммах алгебр Ли", Матем. сб., 184:10 (1993), 135-143.

а т — одномерное тривиальное представление) Т. А. Певцовой9 построены явные формулы для искомых полиномов. Наиболее полный список результатов приведен в обзоре В.В.Трофимова и А.Т.Фоменко10, а также во введении к кандидатской диссертации К.Шваи п. Общие результаты в этом направлении получены А.В. Браиловым (см. обзор Трофимова, Фоменко) и А. С. Теном12.

Определение 6. Инвариантом алгебры Ли называется функция /:£)*—> К, постоянная на орбитах коприсоединенного действия.

Теорема 3 (А.В.Браилов 13). Пусть д = !) +Д. V — полупрямая сумма комплексной алгебры Ли I) и линейного пространства V относительно неприводимого представления. х: Ь ёК^)- ^уепгъ 31,..., <?а: — инварианты алгебры д. Тогда сдвиги этих инвариантов1^ дт(х + \Ь) на элемент Ь £ [)*, совместно с линейными функциями на V*, образуют инволютив-ный набор функций на д*.

Пусть

= = V 6 V*. (5)

— стационарная подсиигебра в смысле представления х*-

Теорема 4 (А. В. Браилов). Набор, описанный в т-еореме 3, является полным тогда и только тогда, когда сдвиги инвариантов алгебры V дают полный набор функций на пространстве (Эй;)*, где V е V* — элемент общего положения.

Определение 7. Пусть ас1: д —> gl(g) — дифференциал присоединенного действия группы А<1: (7 —* СЦд). Полупростой компактной (или просто компактной) алгеброй Ли называется вещественная полупростая алгебра Ли, форма Киллинга (М, ЛГ) = Тга^/аЛл- на которой отрицательно определена.

9Певцова Т. А. Симплектическая структура, орбит киприсоединснного представления алгебр Ли

типа ЕхС, Матем. сб., 1984, 123(165):2, 276-286.

10Трофимов В.В., Фоменко А.Т. "Алгебра интегрируемых гамилътоновых дифференциальных уравнений". М.-Ижевск: Факториал и год-во "Просперус" Удмуртского гос. уи-та, 1995.

иКрыстьша Швая, Инварианты и полные шгво.иотпппии семейства полиномов некоторых алгебр Ли, Ц Кандидатская диссертация, МГУ, 1988.

псм,, например, статью [3]

13В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко. Геометрические и алгебраические механизмы интегрируемости гамилътоновглх систем па однородных пространствах и алгебрах Ли, Динамические системы - 7, Итоги пауки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, с.227-299.

А.В.Браилов, Некоторые свойства вполне интегрируемых гамильтоновых систем,// Кандидатская диссертация, МГУ, 2006.

14Т.е. функции, полупенные из инвариантов алгебры путем сдвига аргумента.

В виду компактности алгебры I) ее можно представить как подалгебру в бо(ш) для достаточно большого т. Тогда отождествление с ()* производится при помощи формы Тг: (А, В) — Тг АВ, здесь Л, В представлены кососимметрическими матрицами т х т.

Теорема 5 (А. С.Тен15). Пусть д = 1} V — полупрямая сумма компактной алгебры Ли 1) и линейного пространства V по произвольному представлению х: ёКЮ- Рассмотрим следующий набор функций на 0* = у + V*: £ АтЛЛт(М, г;) = IV (рга ь,(М+ХЬ))к, где Ь € (Д. А £ К, а ргд^А/ — проекция- элемента М 6 [}*, рассматриваемого как элемент {), на стационарную подалгебру БЬг» элемента V. Функции совместно с базисом пространства V, рассматриваемым как набор линейных функций на V*, будут образовывать полный инволютивный набор функций на 0*-

Поскольку результаты Тепа и Браилова получены независимо, возникает вопрос о сравнении наборов, получаемых методами Тена, Браилова и Садэтова.

Определение 8. По полному набору функций {Л;} можно определить подпространство Т>х{к^) с д, порожденное дифференциалами функций ¡1^{х) из набора в точке х.

Определение 9. Наборы полиномов и {дт} называются эквивалентными, если подпространства. Т>х{/к) и Т>х(дт) совпадают почти для всех точек х € 0*.

Как известно, два набора полиномов на алгебре Ли (и вообще на алгебраическом многообразии) эквивалентны в том п только в том случае, когда они алгебраически зависимы, т.е. полиномы одного набора полиномиально выражаются через полиномы другого набора.

Поскольку в наборах, построенных каждым из методов, присутствует матричный параметр сдвига, то естественно считать, что наборы эквивалентны, если возможно выбрать этот параметр так, чтобы полученные наборы оказались эквивалентными в смысле определения 9.

Определение 10. Набором Браилова называется следующий набор полиномов, состоящий из двух частей:

Первая часть — линейные функции на V* (т.е. базис пространства V), Вторая часть — функции <?т,£(я), полученные из сдвигов инвариантов д^х)

15см. статью [3]

коприсоединенного представления алгебры д на вектор Ь е [)*, путем разложения + АЬ) по степеням А.

Определение 11. Набором Тена называется следующий набор функций, состоящий из двух частей:

Первая часть — линейные функции на V* (т.е. базис пространства V), Вторая часть — функции /^¿(ж), полученные из сдвигов следов степеней Тг (рг31 ,ДМ + АЬ))1, путем разложения по степеням А (см. теорему 5).

Цель работы.

Исследовать и сравнить известные методы построения полных инволю-тивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, получить явные формулы для функций, входящих в набор, оценить степени получающихся полиномов.

Методы исследования.

В диссертации используются методы теории интегрируемых гамильто-новых систем, методы построения полных инволютивных наборов полиномов на алгебрах Ли, аппарат алгебр и групп Ли, методы функционального анализа и линейной алгебры.

Научная новизна работы.

Результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие результаты:

1. Решена задача сравнения трех основных методов построения полных инволютивных наборов полиномов на алгебрах Ли вида полупрямой суммы. Доказано, что при правильном выборе параметра сдвига, наборы, получаемые всеми тремя методами, эквивалентны. Указано соответствие между параметрами сдвига.

2. С использованием методов, исследованных в первой главе, получены явные формулы полиномов для трех бесконечных серий алгебр Ли.

3. Для алгебр Ли малой размерности из исследованных бесконечных серий формулы для полиномов значительно упрощены.

4. Найдена оценка сверху для степеней полиномов, получаемых в бесконечной серии е(п).

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории интегрируемых гамильтоновых систем и могут быть применены для продвижения в исследовании интегрируемых систем на алгебрах Ли.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством академика А.Т.Фоменко и др. (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) неоднократно в 2004 — 2010 гг.;

2. на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова), 2010 г.;

3. на семинаре кафедры «Прикладная математика-1» под руководством д: ф.-м. н., профессора А.Д. Мышкиса (МИИТ), 2008 г.;

4. на семинаре профессора Х.Фленнера в Университете г.Бохум (Германия), апрель 2007 г.;

5. на Международной конференции «Александровские чтения» (Москва), май 2006 г.;

6. на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, Россия), июль 2006 г.;

7. на Международной конференции «Геометрия, динамика, интегрируемые системы» (Белград, Сербия), сентябрь 2007 г.;

8. на Украинском математическом конгрессе, посвященном 100-летию со дня рождения Н.Н.Боголюбова, (Киев, Украина), август 2009 г.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата [1-8].

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объем диссертации 98 страниц.

Содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена сравнению наборов, получаемых методами Тена, Враилова и Садэтова. Главный результат первой главы сформулирован в теоремах А, В и С.

Теорема А. Пусть д = ¡3 +х V — полупрямая сумма компактной алгебры Ли \) и линейного пространства V по произвольному линейному представлению gl(V). Пусть вторые части наборов Тена и Бра-

това получены сдвигом на один и тот же вектор Ь. Тогда наборы Тена и Враилова эквивалентны.

Подобно описанным двум методам, метод Садэтова также использует коммутативный идеал, который дополняется до полного набора функциями следующего специального вида: рассматриваются рациональные отображения ф: V* —» д, такие что ф(и) 6 для любого V е V*, где ЭЪ г; — стационарная подалгебра в смысле представления (ас1|: 0 —> еК^*), двойственного ограничению ас!|у представления ас!: 0 —* на идеал V С д. Эти отображения будут являться сечениями расслоений стационарных подалгебр в 0. По сечениям ф строятся функции = ((М,у),ф(и)). Функции /ф и будут образовывать алгебру К, на которой необходимо построить полный инволютивный набор полиномов на втором шаге. Пусть можно построить полный инволютивный набор полиномов на алгебре К. «Вторая часть» искомого набора будет состоять из полиномов Я{ от элементов алгебры К, но поскольку сечения ф — рациональные, функции Д/, также будут рациональными, а значит Я, можно считать рациональными функциями от элементов 0. Оказывается, что полиномы, стоящие в знаменателях функций Я,:, зависят только от V. Домножив Я, на знаменатель и добавив первую часть набора Садэтова, можно получить полный инволютивный набор полиномов на алгебре 0.

Полный инволютивный набор на втором шаге метода Садэтова в рассматриваемом случае строится методом сдвига аргумента, причем вектор сдвига инвариантов Ри...Р„ алгебры К — это некоторое сечение ¡р из алгебры сечений Ф = {<р: V* € Бм Ун 6 V*}.

Определение 12. Первую часть набора Садэтова составляют линейные функции на V*, т.е. базис коммутативного идеала V. Вторая часть набора Садэтова состоит функций, полученных на втором шаге метода Садэтова.

Теорема В. Пусть в = +ХУ — полупрямая сумма компактной алгебры Ли Ц и линейного пространства V по произвольному представлению

Х- Ь —■► gl(V'). Пусть вторая часть набора Тена получена сдвигом функций fk на вектор L, а вторая часть набора Садэтова — сдвигами инвариантов Fi(ip) = Tï<p' на сечение <pi — prSt„L € Ф, где проекция prStv определена в теореме 5.

Тогда наборы Тена и Садэтова эквивалентны.

Теорема С. Пусть fl = ï) V — полупрямая сумма компактной а.чгеб-ры JIu f) и линейного пространства V по произвольному представлению X: f) —» gl(V). Пусть вторая часть набора Браилова получена сдвигом инвариантов <7ь..., дт на вектор L 6 I)*. Пусть ~ такой элемент пространства Ф*, двойственного алгебре сечений Ф, что для любого v S V tpi(v) — естественная проекция элемента L 6 f)* на (Stu)*, а вторая часть набора Садэтова получена из сдвигов инвариантов Fj : Ф* —► R(V*) на элемент ipi 6 Ф* (эти сдвиги рассматриваются как функции на g*).

Тогда наборы Браилова и Садэтова эквивалентны.

Вторая глава диссертации посвящена свойствам ипволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли. Здесь рассматриваются полупрямые суммы алгебр дпц = so(n) +Pk (R71)*, f)„fc = su(n) -f(fc (Cn)k и fnfc = u(n) (Cn)k (где pk, Çfc, Ç'k ~ k-ые степени представлений минимальной размерности, т.е. в каждом случае первая часть суммы действует независимо на каждой компоненте К" или С"). Для рассматриваемых алгебр найдены явные формулы для проекции на стационарную подалгебру Stu.

Теорема D. Пусть набор полиномиальных функций на g*k состоит из базиса щ,..., ипи пространства V — (R")*, рассматриваемого как линейные функции на V*, и функций

/№a(AÎ, ',;) = Г'К..., щ) ■ Tr(prSu,(M + Л В))1, (6)

I = 2,4,... ,2 ■ [(n — к)/2], где проекция prgivM задана явной формулой, T(v\,... ,Vk) — определитель матрицы Грома системы векторов vi,...,vk, а В — регулярный элемент so(n), выступающий в качестве параметра.

Эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре gnk = so(n) (К")*1' при к < п-1. Если к ^ n — 1, то полный инволютивный набор на g*fc образуют функции Ult..,,U„k.

Теорема Е. Пусть набор полиномиальных функций на состоит из базиса щ,..., и2Пк пространства V = (Сп)к, рассматриваемого как линейные функции на V*, и функций

квАМ,у) = Т21(уи...,ук)-Ъ(рг^и^к](М + ХВ))1, (7)

I = 2,3.. .п — к — 1, где проекция рг31гМ задана явной формулой, Г(г>1,..., У/с) — определитель матрицы Грама системы векторов VI,...,и/ц а В — регулярный элемент зи(гг), выступающий в качестве параметра.

Эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре 1)пк = зи(п) (С")*1 при к < п — 1. При к > п — 1 полный коммутативный набор образуют функции

Теорема Р. Пусть набор

полиномиальных функций на состоит из базиса щ,..., Щпк пространства V = (Сп)к, рассматриваемого как линейные функции наУ, и функций

кв,х{М,у) = Г2г(г?1, ...,ук)- Ъ(рг5,{У1^к)(М + \В))1, (8)

I = 1,2... п — к — 1, где проекция ргд^М задана явной формулой, Г(г>1,..., г^) — определитель матрицы Грама системы векторов У1,...,Ук, а В — регулярный элемент и(п), выступающий в качестве параметра.

Эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре = и(п) (С")к при к < п — 1. При к ^ п — 1 полный коммутативный набор образуют функции

Щ, ■ • • ,"2пк-

Для алгебр дпх также получена оценка на степени полиномов, входящих в построенный набор.

Теорема С. Степени полиномов, входящих в набор, описанный в теореме Б для к=1, не превосходят 2п.

Автор благодарит своих научных руководителей, академика РАН Анатолия Тимофеевича Фоменко и доктора физико-математических наук, профессора Алексея Викторовича Болсинова, за постановку задачи и плодотворные обсуждения. Автор благодарит коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений за поддержку.

Работы автора по теме диссертации.

1. М.М.Жданова (Деркач), "Новые интегрируемые случаи на конечномерных алгебрах Ли". Вестник Моск. Унив., Сер. Матем. Мех. N«4, 2006, 62-64.

2. М. М. Жданова (Деркач), "Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на полупрямых суммах алгебр Ли", Матем. сб., 200:5 (2009), 3-32.

3. М.М. Деркач, А.С.Тен, "Максимальные коммутативные подалгебры функций на двойственных пространствах к алгебрам Ли", Вестник Моск. Унив., Сер. Матем. Мех. №1, 2011, с.31-36.

4. М.М.Деркач "Анализ методов построения полных шшолютивных наборов полипомов на алгебрах Ли вида полупрямой суммы", депонирована в ВИНИТИ РАН, 29.11.2010, №667-В2010, 1-27.

5. М.М.Жданова (Деркач) "Интегрируемые случаи па полупрямых суммах классических алгебр Ли", Тезисы воронежской школы им. С.Г.Крейна, с.41.

6. М.М.Жданова (Деркач) "Новые интегрируемые случаи на конечномерных алгебрах Ли", Тезисы конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, с.97-99.

7. М.М.Жданова (Деркач) "Интегрируемые случаи на полупрямых суммах классических алгебр Ли", Тезисы конференции "Александровские чтения-2006", с.46.

8. М.М.Жданова (Деркач) "Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на полупрямых суммах алгебр Ли", Тезисы украинского математического конгресса, посвященного 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова (опубликована в Интернете).

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 12<3 экз. Заказ № ?

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Деркач, Мария Михайловна

Введение.

1 Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова

1.1 Анализ метода Тена.

1.2 Анализ метода Браилова.

1.3 Функции на двойственном пространстве к стационарной подалгебре.

1.4 Сравнение наборов, получаемых методами Тена и Браилова

1.5 Анализ метода Садэтова.

1.5.1 Строение алгебры рациональных сечений.

1.5.2 Строение алгебры рациональных функций Кф.

1.6 Полный набор полиномов на алгебре Ф.

1.6.1 Функции ^ как функции на 0*.

1.6.2 Сдвиги функций Г]^.

1.6.3 Общий случай.

2 Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.

2.1 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр дпк = во(п)(»")*.

2.2 Операторный вид формулы для проекции

2.3 Степени полиномов.

2.4 Алгебры малых размерностей.

2.4.1 Алгебра д2г = во(2) +р М2.

2.4.2 Алгебра д31 = е3 = во(3) +р К3.

2.4.3 Алгебра = е4 = во(4) М4.

2.5 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр

§пк = ви(п) +а (<СП)*.".

2.6 Алгебры семейства

2.6.1 Алгебра *)21.

2.6.2 Алгебра

2.7 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр ^ = и(гс) (Сп)к.

2.8 Операторный вид проекций (2.23) и (2.37).

Введение диссертация по математике, на тему "Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли"

Актуальность темы. Данная диссертация посвящена исследованию интегрируемости гамильтоновых систем алгебраическими и геометрическими методами. Как известно, многие классические уравнения механики (в частности, гамильтоновы системы) записываются как системы дифференциальных уравнений на евклидовом пространстве Мп. Для полной интегрируемости такой системы в общем случае необходимо (п— 1) независимых первых интегралов. Однако есть класс многообразий, называемых симплектическими многообразиями, где для полной интегрируемости системы иногда достаточно п/2 независимых первых интегралов.

Один из простейших примеров симплектического многообразия — это орбита коприсоединенного действия группы Ли. Если мы сможем в ввести структуру алгебры Ли так, чтобы на орбите коприсоединен-рюго действия векторное поле, задающее исследуемую систему, было гамильтоновым, то для полной интегрируемости системы достаточно найти набор интегралов, удовлетворяющих теореме Лиувилля. В таких случаях число независимых интегралов должно быть равно половине размерности орбиты.

Напомним ряд необходимых определений.

Определение 1. Алгеброй Ли в над полем К называется линейное пространство, на котором введена билинейная, кососимметрическая операция коммутатор [•,•]: 0 х в —> в, удовлетворяющая тождеству Якоби К,»7],С] + [[»7, С], Я + [[СМ = 0 для любых ту, С,^ 6 В- Если рассматривать конечномерные алгебры Ли, то двойственное пространство в* (т.е. пространство линейных функционалов на в) будет конечномерным линейным пространством.

Ниже, если не оговорено противное, мы рассматриваем лишь вещественные алгебры Ли.

На двойственном пространстве в* будем рассматривать гладкие функции /: в* —^ К- Заметим, что на множестве таких функций С°°(в*) существует скобка Пуассона—Ли определяемая в каждой точке £ € В* равенством = С-1)

В механических системах первые интегралы чаще всего являются полиномиальными функциями на в*, например, полная энергия механической системы — это квадратичный полином от элементов самой алгебры. Для полиномиальных функций / и д скобку Пуассона-Ли можно определить следующим эквивалентным способом: 1). Если / и д — линейные (т.е. /,д€ в), то {/,#} = [/,#],

2). {, } — билинейная,

3). {, } — кососимметричная,

4). Скобка удовлетворяет правилу Лейбница {fg, h} = {/, h}g+{g, h}f для любых полиномов /, g, h.

Еще одно важное понятие — это коприсоединенное действие группы. Пусть конечномерной алгебре Ли g соответствует группа Ли G, т.е. гладкое многообразие, имеющее структуру группы с гладкими операциями умножения и взятия обратного элемента. Тогда алгебра Ли — это касательное пространство в единице этой группы. На алгебре Q естественно определено присоединенное действие ее группы Ad: G —> GL(g) по следующему правилу: пусть g(t) кривая в группе (7, проходящая через единицу группы в начальный момент времени t = О, касательный вектор к которой в единице группы совпадает с наперед заданным вектором £ Е Q. Тогда для любого элемента h £ G, hgifjh'1 — тоже кривая в группе G, проходящая через единицу группы в начальный момент времени t — 0, а значит касательный вектор к ней в единице группы также лежит в алгебре 0. Этот вектор и является результатом действия оператора Adh на вектор Действие, двойственное к присоединенному действию группы, называется коприсоединен-ным действием Ad*: G —»■ GL(g*) и играет важную роль в теории гамильтоновых систем, а именно: орбиты О* коприсоединенного действия являются симплектическими многообразиями (т.е. многообразиями, на которых можно ввести замкнутую невырожденную 2-форму, см. [1, стр. 15-17]). Для симплектических многообразий верна теорема

Лиувилля, позволяющая уменьшить необходимое количество первых интегралов.

Теорема 1. Пусть на гладком симплектическом многообразии М2п заданы гамилътонова система} V = sgrad Н и набор гладких функций /ъ • • ■; /п со следующими свойствами:

• /1,., /п — первые интегралы системы,

• они функционально независимы на М2п,

• они попарно коммутируют относительно скобки Пуассона {/, д} — и^гас! /, sgrad

• векторные поля sgrad/г полны, т. е. естественный параметр вдоль интегральных траекторий полей определен на всей числовой прямой.

Пусть Т(: — совместная поверхность уровня интегралов /1,., /п. Тогда

1. Если многообразие Т^ связно, регулярно и компактно, то оно диффеоморфно п-мерному тору. Этот тор называется тором Лиувилля

2. Слоение Лиувилля в окрестности тора Лиувилля тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению Тп х И71.

3. В достаточно малой окрестности и = Тп х Б71 существует такая система координат 51,., зп,

1 > • • •»<Рп (называемых переменными действие-угол), что

1 Определение косого градиента функции sgrad можно найти, например, в ¡1, стр. 18).

• .,вп — координаты на диске И71, <р1,.,(рп — координаты на торе Тп,

• симплектическая форма со принимает в этих координатах канонический вид: ш = скр^ Л йвг,

• В переменных действие-угол гамилътонов поток выпрямляется на кааюдом торе Лиувилля в окрестности и, т.е. гамилътоновы уравнения принимают вид г = 0, фг= . . . ,5П), г = 1, . ,71.

Более подробную формулировку и доказательство теоремы Лиувилля можно найти в [1, стр.27-33]).

Как было сказано выше, орбита О* является симплектическим многообразием, при этом симплектическая 2-форма ьо вводится каноническим образом (см. [1, стр.17-18]). На пространстве гладких функций на любом симплектическом многообразии М можно ввести операцию скобки Пуассона по следующему правилу: {/, д} = ш^г&д. f,sgт&d д). Оказывается, что если М — это орбита коприсоединенного действия О*, то ограничение скобки Пуассона-Ли, введенной формулой (0.1), на М совпадает со скобкой Пуассона, существующей на ней как на симплектическом многообразии с канонической формой ш.

Здесь К — кинетический момент, Q — угловая скорость тела, а физический смысл векторов ей и определяется выбранной задачей. Эта система уравнений на М6(.?Г, е) имеет два естественных первых интеграла: fi = (е, е), /2 = (К, е). Для полной интегрируемости системы (0.2) необходимо найти еще три интеграла. Однако введение на е) структуры алгебры Ли позволяет уменьшить искомое число первых интегралов.

На пространстве К6 (if, е) можно ввести структуру алгебры Ли е(3), т.е. алгебры Ли группы движений трехмерного пространства. Совместная поверхность уровня Ми первых интегралов /1 и /2 будет являться орбитой коприсоединенного действия группы Е{3), а значит ограничение скобки Пуассоиа-Ли (вырожденной на всей алгебре е(3)), на орбиту окажется невырожденным. Многообразие М\2 в общем случае имеет размерность 4. Поскольку векторное поле (0.2) касается поверхности М\2 и оказывается гамильтоновым на М\2 ([2, стр.108]), получаем га-мильтонову систему на 4-мерном симплектическом многообразии, для интегрируемости которой по теореме Лиувилля необходимо два интеграла. Один из них — это гамильтониан системы, второй требуется найти.

Обобщение этой конструкции на случай произвольной алгебры 0 выглядит следующим образом: пусть размерность орбиты коприсоединенного действия О* общего положения равна dim О*. Тогда для «различения» орбит требуется dim g — dim О* = codim О* интегралов. Каждая орбита — это симплектическое многообразие, поэтому для интегрируемости системы на нем необходимо еще функций.

Следовательно, общее число функционально независимых полиномов для интегрируемости системы на всей алгебре Ли 3 равно dim О* dim q + codim О* , . т = codim О Н----=---. (0.3) j Z

Определение 3. Коразмерность орбиты регулярного элемента для коприсоединенного действия называется индексом алгебры Ли д. ind д = min(dim д — dim О*). о*

С использованием определения индекса алгебры формулу (0.3) можно переписать в виде: т = ^dim9+ind9^ .

Определение 4. Коммутативный относительно скобки Пуассона набор функционально независимых полиномов /1,., /т называется полным, если т = ^ ^Нт 0 + нк! о^. (0.4)

Таким образом, если на алгебре Ли найдется полный коммутативный набор полиномов /1,., /ш> т0 гамильтонова система на всей алгебре, с гамильтонианом / € {/1,., /п}, будет интегрируема.

Исследуя гамильтоновы системы на алгебрах Ли, А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко сформулировали важную гипотезу: на двойственном пространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики К всегда существует полный коммутативный набор полиномов. Следовательно, всегда существует интегрируемая гамильтонова система с полиномиальными интегралами. А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко доказали эту гипотезу для всех редуктивных алгебр Ли (определение см. ниже). Доказательство оказалось весьма нетривиальным и было основано на новом методе, предложенном авторами, и получившем в дальнейшем широкие применения и развитие во многих работах. Затем последовало большое число работ различных авторов, в которых гипотеза Мищенко-Фоменко доказывалась для других алгебр Ли. Окончательное доказательство гипотезы было получено С. Т. Садэтовым [3]. Более наглядное и геометрическое доказательство, основанное на алгоритме Садэтова, приведено А. В. Болсиновым в [4]. Таким образом, верно следующее фундаментальное утверждение.

Наиболее изученный класс алгебр Ли — это полупростые и редук-тивные алгебры Ли. Напомним, что полупростой называется алгебра Ли, не имеющая нетривиальных разрешимых идеалов. Если рассмотреть прямую сумму полупростой алгебры Ли с любой коммутативной алгеброй, получим редуктивную алгебру Ли. Для случая редуктивных алгебр теорема 2 была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в [8]-[14]. Полный инволютивный набор полиномов для такой алгебры может быть построен с помощью метода сдвига аргумента2, введенного в [8], [10], [16]—[19].

Следующий важный класс алгебр — это полупрямые суммы алгебр Ли.

2Подробнее о методе сдвига аргумента будет рассказано в главе 1.

Определение 5. Пусть f) — алгебра Ли с коммутатором [-,■]{), а хЬ —> gl(F) — произвольное линейное представление этой алгебры. Полупрямой суммой в = f) -f-x V называется алгебра Ли, которая как линейное пространство изоморфна прямой сумме пространств fj и V, а коммутатор определяется следующим образом: пусть £1,^2 £ vi, v2 G У, тогда [(6, Ш), (£2,^2)] = (Кь&Ь, x(£i>2

Вопрос построения полных наборов для полупрямых сумм алгебр Ли рассматривался многими авторами. Полупрямые суммы простых алгебр Ли по неприводимому представлению рассматривали A.B. Бол-синов [11, 29] и Б. Привитцер [12]. Кроме того, для сумм gl(2п) +7 по представлению А2р (где А2р - вторая внешняя степень представления минимальной размерности), з1(2гг)+У по представлению S2p (где S2p-вторая симметрическая степень представления минимальной размерности) и sp(n) + l/ по сумме представлений р+т (где р - представление минимальной размерности, а г — одномерное тривиальное представление) Т. А. Певцовой в [21] построены явные формулы для искомых полиномов. Наиболее полный список результатов приведен в обзоре В.В.Трофимова и А.Т.Фоменко [7, с.249], а также во введении к кандидатской диссертации К.Шваи [26]. Общие результаты в этом направлении получены A.B. Браиловым (см. обзор Трофимова, Фоменко [25]) и A.C. Теном (см. [23]).

Определение 6. Инвариантом алгебры Ли называется функция /: Q* К, постоянная на орбитах коприсоединенного действия.

Теорема 3 (А. В.Браилов [25, 24]). Пусть д = f) V — полупрямая сумма комплексной алгебры Ли f) и линейного пространства V относительно неприводимого представления, х' Ь ~5' ёК^О- Пусть 9ъ •' • -¡дк ~~ инварианты алгебры 0. Тогда сдвиги этих инвариантов3 9т{х + \Ь) на элемент Ь е (}* совместно с линейными функциями на V* образуют инволютивный набор функций на д*.

Введем обозначение для стационарной подалгебры в смысле представления х*'

0.5)

Теорема 4 (А. В.Браилов [25, 24]). Набор, описанный в теореме 3, является полным тогда и только тогда, когда сдвиги инвариантов алгебры Э1;г> дают полный набор функций на пространстве где V е V* — элемент общего полоэюения.

Определение 7. Обозначим через ас1: д —» ё1(£|) дифференциал присоединенного действия группы Ас1: (7 —» ОЬ(^). Полупростой компактной (или просто компактной) алгеброй Ли называется вещественная полупростая алгебра Ли, форма Киллипга (М, Л7") = Тг аф^аД/У на которой отрицательно определена.

В виду компактности алгебры I) ее можно представить как подалгебру в эо(т) для достаточно большого т. Тогда отождествление с производится при помощи формы Тг: (А, В) = Тг АВ, здесь А, В представлены кососимметрическими матрицами т х т.

Теорема 5 (А. С. Тен [23]). Пусть д = V — полупрямая сумма компактной алгебры Ли § и линейного пространства V по произвольному представлению X' Ь у Рассмотрим следующий набор функций над* = I)*+ £ Хт/кЛт{М, у) = Тг (рг8б ь{М + \Ь))к,

3Т.е. функции, полученные из инвариантов алгебры путем сдвига аргумента. Подробнее об этом будет рассказано в главе 1. где Ь Е А £ М, а рг31г,М — проекция элемента М 6 рассматриваемого как элемент на стационарную подалгебру элемента V. Функции /к,ь,т> совместно с базисом пространства V, рассматриваемым как набор линейных функций на V*, будут образовывать полный инволютивный набор функций на д*.

Поскольку результаты Тена и Браилова получены независимо, возникает вопрос о сравнении наборов, получаемых методами Тена, Браилова и Садэтова. Для начала определим, какие наборы полиномов мы называем совпадающими.

Определение 8. По полному набору функций {/г^} определим подпространство Т>Х{КС 0, порожденное дифференциалами функций из набора в точке х.

Определение 9. Будем говорить, что наборы полиномов {/&} и {дт} эквивалентны, если подпространства Т>х(/к) и Т>х(дт) совпадают почти для всех точек ж е 0*.

Отметим, как известно, что два набора полиномов на алгебре Ли (и вообще на алгебраическом многообразии) эквивалентны в том и только в том случае, когда они алгебраически зависимы, т.е. полиномы одного набора полиномиально выражаются через полиномы другого набора.

Определение 10. Набором Браилова назовем следующий набор полиномов, состоящий из двух частей:

Первая часть — линейные функции на V* (т.е. базис пространства V), Вторая часть — функции дт!ь{х), полученные из сдвигов инвариантов д{(х) коприсоединенного представления алгебры д на вектор Ь е ()*, путем разложения д^х + ХЬ) по степеням Л.

Определение 11. Набором Тена назовем следующий набор функций, состоящий из двух частей:

Первая часть — линейные функции на V* (т.е. базис пространства V), Вторая часть — функции /к,ь(х), полученные из сдвигов следов степеней Тг (рг84 у(М-{-АЬ))г, путем разложения по степеням Л (см. теорему

5).

Заметим, что набор Браилова определен для более широкого класса алгебр, чем набор Тена. Однако, для получения явного вида функций из набора Браилова требуется знать вид инвариантов алгебры д, что в общем случае является довольно сложной задачей. Поэтому набор Тена в определенном смысле построен «более явно», чем набор Браилова.

Структура диссертации.

Данная диссертация состоит из двух глав. Первая глава диссертации посвящена сравнению наборов, получаемых методами Тена, Браилова и Садэтова. Главный результат первой главы сформулирован в теоремах А,В и С.

Теорема А. Рассмотрим полупрямую сумму д = компактной алгебры Ли Ц и линейного пространства V по произвольному представлению х'- Ь > ёКЮ- Пусть вторые части наборов Тена и Браилова получены сдвигом на один и тот же вектор Ь. Тогда наборы Тена и Браилова эквивалентны.

Подобно описанным двум методам, метод Садэтова также использует коммутативный идеал, который дополняется до полного набора функциями следующего специального вида: рассматриваются рациональные отображения ф\ V* —0, такие что ф(у) € для любого V £ V*, где — стационарная подалгебра в смысле представления (ас!|у)*: 0 —, двойственного ограничению ас!|у представления ас1: д —> на идеал V С 0. Эти отображения будут являться сечениями расслоений стационарных подалгебр в 0. По сечениям ф строятся функции /ф(М,у) — ((М,у),ф(у)). Функции fф и будут образовывать алгебру К, на которой'необходимо построить полный инволю-тивпый набор полиномов на втором шаге. Пусть мы умеем строить полный инволютивный набор полиномов на алгебре К. Построенная «вторая часть» набора будет состоять из полиномов от элементов алгебры К, но поскольку сечения ф — рациональные, функции также будут рациональными, а значит Н\ можно считать рациональными функциями от элементов 0. Оказывается (и мы явно это покажем в нашем случае), что полиномы, стоящие в знаменателях функций зависят только от V. Домножив Щ на знаменатель и добавив первую часть набора Садэтова, получим полный инволютивный набор полиномов на алгебре 0.

Полный инволютивный набор на втором шаге метода Садэтова в нашем случае строится методом сдвига аргумента, причем вектор сдвига инвариантов ^,. Рп алгебры К — это некоторое сечение (р из алгебры сечений Ф = {(р: У* ^о{у) (Е.ЪЬуЧу е У*}4.

4 Связь между сечениями 1р и сечениями тр, описанными выше, будет объяснена в параграфе

5 главы 1.

Определение 12. Первой частью набора Садэтова назовем линейные функции на V*, т.е. базис коммутативного идеала V. Второй частью набора Садэтова назовем функции, полученные на втором шаге метода Садэтова.

Теорема В. Рассмотрим полупрямую сумму 0 = компактной алгебры Ли § и линейного пространства V по произвольному представлению х: Ь ~> ёК^О- Пусть вторая часть набора Тена получена сдвигом функций на вектор Ь, а вторая часть набора Садэтова — сдвигами инвариантов = Тпрг на сечение — ^ Ф; проекция ргд^ у определена в теореме 5.

Тогда наборы Тена и Садэтова эквивалентны.

Теорема С. Рассмотрим полупрямую сумму д = компактной алгебры Ли 5 и линейного пространства V по произвольному представлению х: Ь ~~ёК1^)- Пусть вторая часть набора Браилова получена сдвигом инвариантов . ,дт на вектор Ь £ . Пусть фь — такой элемент пространства Ф*; двойственного алгебре сечений Ф; что для любого V £ V — естественная проекция элемента

Ь £ ¡)* на (в!?;)*, а вторая часть набора Садэтова получена из сдвигов инвариантов ^: Ф* —» К(У*) на элемент фь £ Ф* (эти сдвиги рассматриваются как функции на д*).

Тогда наборы Браилова и Садэтова эквивалентны.

Заметим, что если в теореме С инварианты ^ брать в виде Р^ф) = Тг </2г, то из теорем А и В следует утверждение теоремы С. В параграфе 6 первой главы теорема С доказана в общем случае (то есть для любого максимального набора инвариантов).

50 сопоставлении тр н-+ ф(у) будет рассказано в параграфе б главы 1.

Вторая глава диссертации посвящена свойствам инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли. Здесь рассматриваются полупрямые суммы алгебр gnk — so(n) +Рк (Шп)к, fynk = su(n) (Сп)к и f„fc = u(n) (Cn)fc (где рк, Cfc, Ск — k-ые степени представлений минимальной размерности, т.е. в каждом случае первая часть суммы действует независимо на каждой компоненте Кп или Сп). Для рассматриваемых алгебр найдены явные формулы для проекции на стационарную подалгебру St v.

Теорема D. Рассмотрим набор полиномиальных функций на Q^k: базис щ,., ипк пространства V = рассматриваемый как линейные функции на V*, и функции

Ав,х(М, v)=rl(v1:., vk) ■ Tr(pr stv(M + XB))\ (0.6) l = 2,4,., 2 ■ [{n — k)/2], где проекция prStvM задана явной формулой, Г(г>1,., Vk) — определитель матрицы Грама системы векторов vi,.,vk, о, В — регулярный элемент so(п), выступающей в качестве параметра.

Эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре Qnk = so(n) +Pfc (Шп)к при к < п — 1. Если к ^ п — 1, то полный инволютивный набор на Q*nk образуют функции щ,., ипк.

Теорема Е. Рассмотрим набор полиномиальных функций на базис щ,., U2nk пространства V = (Сп)к, рассматриваемый как линейные функции на V*, и функции fi,B,\(M, v) = Г21 (vi, .,vk)- Tr(Pr St{viVk)(M + Л В))1, (0.7)

I = 2,3. п — к — 1, где проекция ргд^М задана явной формулой, у/с) — определитель матрицы Грама системы векторов У\,., у к, а В — регулярный элемент зи(п), выступающий в качестве параметра.

Эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре ¡)пк — ви(гг) (Сп)к при к < п — 1. При к ^ п — 1 полный коммутативный набор образуют функции щ,. .,и2пк

Теорема Г. Рассмотрим набор полиномиальных функций на базис щ,., и2пк пространства V — (<Сп)к, рассматриваемый как линейные функции на V*, и функции

Ав,х(М,у) = Г 21(уъ .,ук)- Т¥(рг + ХВ))1, (0.8)

I = 1, 2. п — к — 1, где проекция рг8^М задана явной формулой, Г(г»1,., Ук) — определитель матрицы Грама системы векторов г>х,., Ук, а В — регулярный элемент и(п); выступающий в качестве параметра.

Эти функции находятся в инволюции и образуют полный набор на двойственном пространстве к алгебре ^ = и(п) (Сп)к при к < тг — 1. При к ^ п —, 1 полный коммутативный набор образуют функции иъ . . . ,и2пк

Явные формулы для проекций мы приводить не будем в виду их громоздкости. Они приведены в соответствующих параграфах под номерами (2.10), (2.23) и (2.37) для алгебр $пк, §пк и ^пк соответственно.

Для алгебр также получена оценка на степени полиномов, входящих в построенный набор.

Теорема С. Степени полиномов, входящих в набор, описанный в теореме И для к—1, не превосходят 2п.

Научная новизна работы.

Результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие результаты.

1. Произведено сравнение трех методов построения полных инво-лютивных наборов полиномов. Доказано, что при правильном выборе параметра сдвига, наборы, получаемые всеми тремя методами, эквивалентны. Указано соответствие между параметрами сдвига.

2. С использованием методов, исследованных в главе 1, приведены явные формулы полиномов для трех бесконечных серий алгебр Ли.

4. Найдена оценка сверху для степеней полиномов, получаемых в бесконечной серии е(п).

Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [27], и [31] - [32].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Деркач, Мария Михайловна, Москва

1. Болсинов А. В., Фоменко А. Т., "Интегрируемые гамильтоновы системы", Геометрия. Топология. Классификация. Тома 1 и 2. -Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск, 1999.

2. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и прило-OtOCHU'.H. (Монография). М.; изд-во МГУ, 1988.

3. Садэтов С. Т., Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Докл. РАН, 397:6 (2004), 751-754; англ. пер.: S. T. Sadetov, "А proof of the Mishchenko-Fomenko conjecture", Dokl. Math., 1 (2004), 635-638.

4. Болсинов А. В., "Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах:доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко"// Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Вып.26. М.: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ. 2005, с.87-109.

5. Джекобсон Н. Алгебры Ли, — М., 1964.

6. Rais M. L'indice des produits semi-directs Expg. Comp. Rend. Acad. Sei. Paris. 1978 . 287, №4, p. 195-197.

7. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., "Алгебра интегрируемых гамилъ-тоновых дифференциальных уравнений". М.-Ижевск: Факториал и изд-во "Просперус" Удмуртского гос.ун-та, 1995.

8. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., "Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли" ДАН СССР. 1976, т.231, No.3, с.536-538.

9. Болсинов А. В., "Инволютивные семейства функций на двойственных пространствах к алгебрам Ли типа G +ф V", УМН, 42:6(258) (1987), с. 183-184.

10. Привитцер В., "Новые примеры интегрируемых гамильтоновых систем на полупрямых суммах алгебр Ли", Матем. сб., 184:10 (1993), с.135-143.

11. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., "Динамические системы на орбитах линейных представлений групп Ли и полная интегрируемость некоторых гидродинамических систем!''!/ Функц. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып.1, с.31-39.

12. Браилов А. В., Фоменко А. Т., " Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем"!I Матем. сборник, 1987, т. 133, N0.3, с.375-385.

13. Болсинов А. В., "Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли" // Канд. диссертация (1988).

14. Мищенко А. С., Фоменко А. Т.," Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем!\ Функц. анализ и его приложения, 1978, т. 12, N0.2, с.49-59.

15. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., "Некоммутативное интегрирование гамильтоновых систем и его приложения" Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1978, N0.4, с. 187-188.

16. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., "Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями", Труды семинара по векторному и тензорному анализу. вып.20, М.; изд-во МГУ, 1981. с.5-54.

17. Манаков С. В., "Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела", Функц. анализ и его прил., 10:4 (1976), с. 93-94.

18. Певцова Т. А., Симплектическая структура орбит коприсоеди-ненного представления алгебр Ли типа Е х G, Матем. сб., 1984, 123(165):2, с. 276-286. ?

19. Садэтов С. Т., Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли // Докт. диссертация (2004).

20. Тен А. С., Полные коммутативные семейства функций на полупрямых суммах алгебр Ли, Дипломная работа МГУ, механико-математический факультет, 2002.

21. Браилов А. В., Некоторые свойства вполне интегрируемых га-мильтоновых систем,// Кандидатская диссертация, МГУ, 2006.

22. Швая Крыстына, Инварианты и полные инволютивные семейства полиномов некоторых алгебр Ли, // Кандидатская диссертация, МГУ (1988).

23. Жданова M. M., 11 Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на полупрямых суммах алгебр Ли", Матем. сб., 200:5 (2009), с.3-32.

24. Воронцов А. С., "Инварианты алгебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом", Матем. сб., 200:8 (2009), с.45-62.

25. Bolsinov А. V., " Commutative families of functions related to consistent Poisson brackets"// Acta Appl. Math., 24(1991), pp. 253274.

26. Жданова (Деркач) M. M., "Новые интегрируемые случаи на конечномерных алгебрах Ли". Вестник Моск. Унив., Сер. Матем. Мех. №4, 2006, 62-64.

27. Деркач M. М., Тен А. С., "Максимальные коммутативные подалгебры функций на двойственных пространствах к алгебрам Ли", Вестник Моск. Унив., Сер. Матем. Мех. №1, 2011, с.31-36.

28. Деркач M. М., "Анализ методов построения полных инволютив-ных наборов полиномов на алгебрах Ли вида полупрямой суммы", депонирована в ВИНИТИ РАН, 29.11.2010, №667-В2010, 1-27.

29. Жданова (Деркач) M. М., "Интегрируемые случаи на полупрямых суммах классических алгебр Ли", Тезисы воронежской школы им. С.Г.Крейна, с.41.

30. Жданова (Деркач) M. М., "Новые интегрируемые случаи на конечномерных алгебрах Ли", Тезисы конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, с.97-99.Литература

31. Жданова (Деркач) М. М., "Интегрируемые случаи на полупрямых суммах классических алгебр Ли", Тезисы конференции "Александровские чтения-2006", с.46.