Значения мультикососимметрических полиномов на простых алгебрах Ли и алгебрах матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

)СКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пм. М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

гч

.__ о-.

о ^

сс:

О На правах рукописи

УДК 512.55, 512.57

(\г

Кагарманов Альберт Аксанович

ЗНАЧЕНИЯ МУЛЬТИКОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ НА ПРОСТЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ И АЛГЕБРАХ МАТРИЦ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-

математических наук, в.н.с. Ю.П. Размыслов.

Официальные оппоненты - доктор физико-

математических наук, профессор С.П. Мищенко;

кандидат физико-математических наук, в.н.с. В.Т.Марков. Ведущая организация - Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится "_ ОШ0К_________

1997 г. в 16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико -математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан _________ 1997

г.

Ученый секретарь диссертационнго

совета Д 053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук

профессор В.Н. Чубариков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Мультикососимметрические полиномы, т.е. такие полиномы ¡(х\,..., хтк), все тк переменных которого можно разбить на к групп по т переменным таких, что /() кососимметричен по каждой такой группе переменных, возникают естественно в различных исследованиях тождественных соотношений простых алгебр. Следуя обозначениям Ю.П.Размыслова, полиномы такого типа мы будем называть полиномами Частный (и наиболее важный) случай мультшсососимметрического полинома - стандартный полином

...,Ут)= Е е(%«(1) • • • • • Уг(т) геЯ-п

получается при к = 1. Для ассоциативной алгебры пхп матриц хорошо известна теорема Амицура-Левицкого, о том что в Мп выполняется стандартное тождество степени 2п и не выполняется стандартное тождество степени 2п — 1. В современных терминах принято говорить, что минимальная степень стандартного толсдества на Мп равна 2п.

Известно,что простая ассоциативная алгебра Ац с тождеством после тензорного умножения на некоторое расширение К основного поля К является алгеброй Мп(К) всех пхп матриц некоторого порядка п над полем К:

А == К®А * Мп(К). (1)

Простые алгебры Ли с тождествами пока не имеют явного описания. До 1976г. даже существовала гипотеза, что

все они конечномерны. Первым контрпримером к этой гипотезе оказалась алгебра Ли W„(K) всех дифференцирований алгебры многочленов £п = К\х\,... ,жп] от п коммутирующих переменных. Мы также будем рассматривать алгебру Ли Wn всех дифференцирований алгебры степенных рядов К[[х\,... ,а;п]]. Независимо Е.Н.Суменковым, А.А.Кирилловым, Дж.Бергманом, Ю.П.Размысловым было показано, что в Wn выполняется тождество

Stln2+2n+\(yi, ■ • • )2/п*+2п+Г)Уо) =

= £ £(0)[У0,Уб(\),---,Уб(пЧ2п+1)] = О,

которое можно переписать как стандартное тождество степени n2 + 2n -f 1 на adWn:

SWn2+2n+i(ad(í/i),... ,ad(ynj+2n+i)) = 0 .

В настоящее время существует гипотеза о том, что простая алгебра Ли с тождеством является алгеброй Ли картановско-го типа, т.е. такой алгеброй Q, что для некоторого расширения К центроида Z алгебры Q в /f-алгебре

G == K®G (2)

содержится собственная /{"-подалгебра Ли конечной коразмерности 1. При этом известно 2, что алгебры картановско-го типа вкладываются в Wn, которая тоже проста и содержит единственную подалгебру коразмерности п, и считается (особенно это заметно на соответствии формул (1) и (2)),

'Размыслов 10.П. Тождества алгебр и их представлений. - М: Наука,1989.

2Cartan Е. Les groups de irnsformation continus, infinis, simpes. //Ann. Sei. Ecole Norm. - 1905. - V.26. - P. 93-161.

что в теории простых алгебр Ли с тождеством 1¥п играет ту же роль, что и Мп в теории простых ассоциативных Р1-алгебр, а именно, и та, и другая является универсальным простым объектом, содержащим произвольную простую алгебру в своем классе 1.

Вопрос о минимальном стандартном тождестве на ]¥п не решен до сих пор. В настоящее время существует гипотеза, что для полей нулевой характеристики эта степень равна п2 + 2п +1. Используя нетривиальные вычисления в супералгебре Ли типа ТУП, автору удалось подтверить эту гипотезу для п = 2.

В изучении алгебр с тождеством большую роль играют центральные полиномы, т.е. такие полиномы, которые, будучи нетождеством алгебры, принимают значения в центре алгебры. Усилиями ряда авторов (В.Н.Латышев, А.Л.Шмелькин, Э.Форманек, Ю.П.Размыслов) решена проблема Капланского о существовании центрального полинома для полной матричной алгебры Мп(К).

Известно, что центральные полиномы для простых конечномерных ассоциативных и лиевых алгебр А можно искать среди полиномов типа (т = (Нт^А < оо). В этом направлении в диссертации показано существование центрального полинома мультикососимметрического вида для полной матричной алгебры над полем произвольной характеристики и для присоединенного представления простых классических алгебр Ли над полем ненулевой характеристики.

Важную информацию содержат значения мультикососим-метрических полиномов вида Лщ^ для т = п2 + 2п яв исследованиях алгебры ]¥п. Кроме уже вышеупомянутой гипоте-

зы о том, что минимальная степень стандартного тождества на Wn равна п2 + 2п + 1, т.е. 5/„г+2п € ЯпЧ2п,1 таков, что

Stn2+2n |adw„7^ 05 ПОЛИНОМЫ ИЗ Rni+2n,k Над ПОЛЯМИ Нулевой

характеристики содержат полином, восстанавливающий из Wn = derEn само кольцо функций Еп (мы считаем, что Еп действует на Wn слева, посредством умножения на функцию, а поэтому Еп £ End[<Wn). Здесь автору удалось получить результат об отсутствии такого полинома для алгебры W\ над полем характеристики 2.

Цель диссертационной работы. Исследование значений мультикососцмметрических полиномов на простых алгебрах Ли и матричных алгебрах. Существование центральных полиномов присоединенных представлений и матричной алгебры над полями положительной характеристики. Нахождение минимальной степени стандартного тождества алгебры Ли Wi двумерных векторных полей над полями произвольной характеристики. Существование полиномов, позволяющих восстанавливать коммутативную алгебру бесконечно дифференцируемых функций гладкого n-мерного многообразия по алгебре Ли его векторных полей.

Методы исследования. В работе используются методы теории PJ-алгебр и алгебр Ли с тождеством, а-функция Размыслова, диаграммы Юнга, теория представлений простых классических групп, алгебра Грассмана.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Построен центральный полином мультикососимметри-ческого вида для полной матричной алгебры над полем не-

к

нулевой характеристики.

2) Построен центральный полином мультпкососимметри-ческого вида для присоединенного представления простых классических алгебр Ли над полем ненулевой характеристики.

3) Найдена минимальная степень стандартного полинома для алгебры Ли двумерных векторных полей.

4) Доказано, что не существует полилинейного восстановления коммутативной алгебры функций гладкого одномерного многообразия по алгебре Ли его векторных полей над полем характеристики 2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны для специалистов, занимающихся тождествами алгебр и их представлений, а также структурной теорией алгебр.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по алгебре в Новосибирске (1989г.), на 19-ой Всесоюзной алгебраической конференции во Львове (1987г.), на семинаре по теории колец в МГУ (1997г.).

Публикации. Основные результаты дхгссертации опубликованы в работах, список которых приведен в хсонце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 89 страницах. Список литературы содержит 23 наименования.

Содержание работы

Введение. Здесь описана постановка задач и дан краткий исторический очерк исследований по теории простых алгебр с тождеством. Там же описана структура и краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена центральным полиномам вида Ят^ для присоединенного представления простых классических алгебр Ли над полями положительной характеристики. Пусть 0 - /<Г-алгебра Ли, и - ее произвольная ассоциативная обертывающая алгебра над тем же полем К.

<п) = о

- тождество пары (С/,<?), если для любых д\,...,дп из О /(<7ь • • • >#п) = 0 в II. Если р : 0 —> Епс^У) - произвольное представление, то тождеством представления р естественно назвать тождество пары (II, 0), где [/ подалгебра в Епс1д-(У), порожденная действиями элементов из 0- Назовем ЯтД1У, (?) множество всех ассоциативных полиномов от т-к переменных вида

/(¿и,-.- , ...; ..., г к т)

кососимметричных по каждой группе

переменных .., г1т (г = 1,..., к). Будем называть полином /(¿1,... ,£„) центральным полиномом для пары (II, Я), если / = 0 - не тождество (II, 0) и для любых д\,... ,дп из С? /(<71) ■ • • 5 <7п) находится в центре Z(U) алгебры 17. Получена

Теорема 1. Пусть 0 простая классическая алгебра Ли из серий А5, -В5, С5, В8 над полем К характеристики р > 2.

б

Пусть п = гапк(0) - размерность естественного минимального представления 0, сИткО = т. Для некоторого натурального к в множестве Ит^ЕпйкЯ,ай{0)) существует центральный полином, если

п — 1, га, га + 1 ^ О (тос1р), в случае Q ■= А$\

п,п + 1,п4-2^0 (тос1р), в случае 0 = ; га — 2,п — 1,га, га + 4 О (тоёр), в случае 0 = В3,В3.

Вторая глава посвящена центральным полиномам вида для полной матричной алгебры над полями по-

ложительной характеристики. Техника доказательства Теоремы 1 позволяет получить следующий результат:

Теорема 2. Для алгебры матриц Мп над полем произвольной характеристики существует центральный полином вида

Третья глава посвящена стандартному полиному степени 8 на алгебре Ли И^.

Определение 1. Пусть (х) = (х\,... ,хп), (а) = (<*!,..., ап) - мультииндекс, Т>(а) = ~ смешанная производная порядка (а). Рассмотрим к функциональных столбцов длины т: Р = (/]',..., Гт), // 6 £п, г = 1,..., к,] = 1,..., т и к мультииндексов а^,..., <уп. Будем обозначать через [^^а,,..., матрицу ((^¡/])) •=!.....т.

При т = к определитель этой матрицы будем называть определителем Вронского порядка (а-) для функциональных

£

векторов Е1,..., Для сокращения записи суммы определителей матриц, имеющих общую подматрицу, введем операцию (*).

Определение 2. Для матриц А и В порядка тха и тхЬ обозначим через АиВ матрицу порядка тх(а + Ь), у которой первые а столбцов есть А, оставшиеся Ь столбцов есть В. При а + Ь = т положим А* В = с1&АиВ и распространим по дистрибутивности А * (В + С) = А * В + А * С.

ТеоремаЗ. Пусть Л,- = р,-^ + - произвольные элементы г = 1,. • •, 8 ;р = (рь...,р&) ; ? = (91,...,д8)- Тогда отображение 8^(ас1}ц,..., ас//^), являющееся 2х2-матрпцей Ь над Е2> в базисе щ) имеет вид:

a = [р>9,рх,ру,д«,ду] * ([<1ху,Ъу\ ~ \Рхх,Рху\), Ь = \РЛ,Рх,Ру, ЯхЛу] * {[РхуЛхх] - [qxx,qyy] - \Рхх,Чху]), С = [Pii»Px»P»>?®>9y] * {\Руу,Рхх\ + [Чуу,Рху] - [qxy,Pyy}). Если char К = 2, то минимальная степень стандартного тождества равна 7, а если char К = 5, то 8.

Четвертая глава. В этой главе доказывается отсутствие восстанавливающего полинома для W\ над полем характеристики 2. Определения специальных дифференцирований и структурные константы для Е[х\,..., хп] и Wn в

(3)

где

В

случае полей положительной характеристики можно посмотреть в работе А.И.Кострикина, И.Р.Шафаревича 3.

Пусть \¥п = с!ег.Бп - алгебра Ли дифференцирований кольца многочленов Еп = К[х^ ... , жп] от п коммутирующих переменных. Алгебру \Уп можно рассматривать как левый ¿'„-модуль и тогда Еп С Епс^И^. В работе Ю.П. Размы-слова 4 доказано, что над полями К нулевой характеристики существует такой ассоциативный полином ... ,£{), что для любых ..., д! 6 И7П значение /(ас!^),..., ас!(у;)) € Еп и отображение

/ : (асПУп)®' —♦ Еп

является эпиморфизмом. Этот полином позволяет достаточно конструктивно восстанавливать коммутативную алгебру бесконечно дифференцируемых функций гладкого п-мерного многообразия по алгебре Ли его векторных полей. Такие полиномы мы будем называть восстанавливающими полиномами.

Теорема 4. Если сЪагК = 2, то полинома /, восстанавливающего по алгебре Ли }¥\ специальных дифференцирований кольца Е\ — К[х] саму алгебру Е\, не существует.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить благодарность своему научному руководителю Ю.П. Размыслову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

3Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. Градупроеаиные алгебры Ли конечной характеристики. //Известия АН СССР, серия матем. - 1969г. - Т.ЗЗ - N.2 - С.251-322.

4Размыслов Ю.П. Центральные полиномы в неприводимых представлениях полу-

простой алгебры Ли. Матем. сб. - 1983. - Т.12(164) - N.1(9). - С.97 - 125.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Кагарманов A.A. Стандартный лиев полином степени 8 на алгебре Ли W%. Вестн. МГУ. Сер мат. мех. 1989. N.3. С.66-68.

[2] Кагарманов A.A. Вычисление стандартного полинома степени 8 на алгебре Ли Wi- Международная конференция по алгебре (Новосибирск, 21-26 августа 1989г.). Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск, 1989. С.58.

[3] Кагарманов A.A. Центральные полиномы присоединенных представлений простых классических алгебр Ли над полем положительной характеристики. XIX Всесоюзная алгебраическая конференция (Львов, 9-11 сентября 1987г.). Тезисы докладов. Львов, 1987. ч.2. С.115.

[4] Кагарманов A.A. Минимальное лиево стандартное тождество в алгебре Ли векторных полей двумерного гладкого многообразия. М:, МГУ, 1988. Деп. ВИНИТИ, N2441-В88. 11 С.

Ю