Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

САМОЙЛОВ ЛЕОНИД МИХАЙЛОВИЧ

Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемы

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математичеких наук

11 5 СЕН 207?^^

Москва — 2011

4852919

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений факультета математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Кемер Александр Робертович

доктор физико-математических наук, профессор Латышев Виктор Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Зубков Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Пихтильков Сергей Алексеевич

Институт математики имени С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится " 30" сентября 2011 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 9} 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук, ^ Л

профессор о. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена изучению ассоциативных алгебр с полиномиальными тождествами над полем, которое, как правило, будет предполагаться бесконечным.

Первое появление алгебр с полиномиальными тождествами (Р1-алгебр) связано с исследованием оснований проективной геометрии. PI-тсория берет свое начало в работе Дена1 1922 года, в которой он в связи с выполнимостью теоремы Дсзарга на проективной плоскости над телом исследовал вопросы, при каких условиях тело будет коммутативным. В 1937 году Вагнер2, также занимаясь основаниями проективной геометрии, установил, что алгебра матриц любого порядка над полем удовлетворяет полиномиальному тождеству. Следующим этапом становление Р7-теории явилась статья М. Холла3 1943 года, в которой помимо всего прочего доказано, что некоммутативная алгебра с делением, удовлетворяющая тождеству [[х, у}2, z] = О, где [х,у] = ху - ух, является четырехмерной над своим центром.

Переломной вехой в развитии PI-теории явилась статья Капланского4 1948 года, где доказан классический результат, что любая примитивная алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени d, является конечномерной простой алгеброй над своим центром размерности не выше d/2. Двумя годами позже, в 1950 году, Амицур и Левицкий5 нашли минимальную степень тождества, выполняющегося на алгебре матриц порядка п над полем. Это послужило началом нового направления в PI-теории, где основным объектом изучения является множество тождеств, выполняющихся на данной алгебре. Другим, число алгебраическим, источником PI-теории явилась проблема А.Г. Куроша (см. ниже). В конце 50-х - начале 60-х годов PI-теория быстро превратилась в самостоятельную содержательную ветвь современной алгебры.

Через F{X) и F(X}$ будем обозначать свободную ассоциативную алгебру (т.е. алгебру некоммутативных полиномов) без единицы и с единицей соответственно, порожденную счетным множеством X. Полином f(xi,...,xn) б F(X) называется тождеством (ассоциативной) алгебры А, если f(ai,...,an) = 0 для всех аь... ,,а„ £ А. Алгебра, удовлетворяющая

'М. Dehn, "Uber die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zalilsysteme", Math. Ann., 85 (1922), 184-193.

2W. Wagner, "Über die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme", Math. Z 113 (1937), 528-567.

3M. Hall, "Projective planes", Trans. Amer. Math. Soc., 54 (1943), 229-277.

41. Kaplansky, "Rings with polynomial identity", Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 575-580.

sS.A. Amitsur, J. Levitzki, "Minimal identities for algebras", Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), 449-463.

ненулевому тождеству, называется PI-алгеброй. Множество всех тождеств алгебры А будем обозначать Т[А]. Ясно, что Т[А] является идеалом свободной алгебры F(X). Этот идеал удовлетворяет дополнительному свойству: он замкнут относительно всех эндоморфизмов свободной алгебры. Иначе говоря, если f(x 1,..., хп) б Т[А], то для всех д\,...,дп £ F(X) выполнено /(<7i,... ,дп) € Идеалы, удовлетворяющие такому свойству, называются Т-идеалами (а также вербальными идеалами и вполне характеристическими идеалами). Можно показать, что любой Т-идеал Г является идеалом тождеств некоторой алгебры, например, алгебры F{X)/T.

Пусть Г - произвольный Т-идеал. Класс всех ассоциативных алгебр, удовлетворяющих всем тождествам из Г, называется многообразием алгебр. Между Т-идеалами и многообразиями существует взаимно-однозначное соответствие, обращающее включения. Теорема Биркгофа дает другую харак-теризацию многообразий: класс ассоциативных алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия декартовых произведений, подалгебр и гомоморфных образов. Отметим, что теорема Биркгофа верна не только для ассоциативных алгебр, но и для широкого класса алгебраических систем6. Класс PI-алгебр замкнут также относительно тензорного произведения (теорема Регева-Латышева7'8). Через Var(^) будем обозначать многообразие с идеалом тождеств Т[А\. Сама алгебра А называется носителем многообразия.

Если в алгебре F(X) дана некоторая система полиномов {/¿,г € I}, то наименьший Т-идеал, содержащий эту систему полиномов, будем обозначать {fi,i G 1}Т, и будем говорить, что этот Т-идеал порожден данной системой полиномов.

Таким образом, произвольный Т-идеал Г (а также соответствующее ему многообразие) может быть задан двумя способами:

1. указанием такой алгебры А, что Г = Т[А}\

2. указанием базиса, то есть такой системы полиномов {/¿,г € /}, что Г =

{fi,iei}T.

Эти два языка описания многообразий взаимно дополняют друг друга. Перевод описания многообразия с одного языка на другой является крайне нетривиальной задачей: скажем, для алгебры матриц порядка 3 над полем характеристики нуль неизвестен базис тождеств, и нет никаких гипотез о

6А.И. Мальцев, Алгебраические системы, М.; Наука, 1970.

7A. Regev, "Existence of identities in A ® B", Israel J. Math., 11 (1972), 131-152.

8B.H. Латышей, "К теореме Регева о тождествах тензорного произведения Pl-ajneGp", Успехи мат. наук., 27:4 (1972), 213-214.

том, как он мог бы выглядеть. С некоторым допущением можно сказать, что изучение такого перевода и является основным содержанием PI-теории. Исследованию тождеств ассоциативных алгебр посвящена обширная лите-ратура9,10,11'12,!3,ы. Особо отметим вышедшие в последнее время монографии15,16. Комбинаторным аспектам Р/-теории посвящены отдельные главы монографий 17'18.

Итак, среди задач РТ-теория можно выделить две «общие» задачи:

1) Как по заданной алгебре А найти ее базис тождеств или указать свойства этого базиса?

2) Как по заданной системе полиномов {/¿, i € 1} найти носитель соответствующего многообразия или указать его свойства?

Каждая из этих двух «общих» задач может быть конкретизирована многими разными способами. В настоящей работе решаются некоторые задачи как первого, так и второго типа.

Следует отметить, что наиболее существенный вклад в развитие ассоциативной Р/-теории внесли алгебраисты из Советского Союза, а позднее из России: А.И. Ширшов, В.Н. Латышев, Ю.П. Размыслов, А.Р. Кемер, А.Я. Белов и многие другие. В исследовании тождеств в других классах алгебр (прежде всего в алгебрах Ли, йордановых и альтернативных алгебрах) ведущая роль так же принадлежит алгебраистам из России, прежде всего представителям московской и новосибирской школ теории колец. В особой степени это относится к разработке комбинаторных методов изучения тождеств.

В развитии Р/-теории ключевой проблемой долгое время была проблема конечной базируемое™, поставленная В. Шпехтом19 в 1950 г.

проблема Шпехта. Верно ли, что любой Т-идеал свободной ассоциативной алгебры конечно базируем, то есть конечно порожден как Т-идеал?

°С. Procesi, Rings with Polynomial Identities, Pure Appl. Math (N.Y.), 17, Dekkcr, New York, 1973.

10L.h. Rowen, Polynomial Identities in Ring Theory, New York: Acad. Press, 1980.

11Ю.П. Размыслов, Тождества алгебр и ьх представлений, М..- Наука, 1989.

l2A.R. Kemer, Ideal of Identities of Associative Algebras, Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, 87, 1991.

13V. Drensky, Free algebras and PI-algebras, Springer, 2000.

UV. Drensky, E. Formanek Polynomial identity rings, Adv. Courses in Math., CRM Barselona, Birkhäuser, Basel-Boston, 2004.

l5L.H. Rowcn, A. Kenel-Belov, Computation Aspects of Polynomial Identities, Wellesley, Massachusetts, 2005.

16A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods, AMS Math. Surv. and Monogr., 122, 2005.

l7A. Belov, V. Boriscnko, V. Latyshev, Monomial Algebras, NY, Plenum, 1998.

18E. Zelmanov, Nil Rings and Periodic Groups, KMS Lect. Notes in Math., 1992.

l9W. Specht, "Gesetze in Ringen", Math. Z., 52 (1950), 557-589.

Сам В. Шпехт имел в виду случай алгебр над полем характеристики О, но проблема имеет смысл над произвольным полем. Кроме того, проблема конечной базируемое™ представляет чрезвычайный интерес для и для произвольных классов алгебр, например, лиевых, йордановых или альтернативных.

Проблематика конечной базируемое™ делится на локальную (рассматриваются идеалы тождеств в конечно порожденных свободных алгебрах) и глобальную (рассматриваются идеалы тождеств в счетнопорожденных свободных алгебрах). Кроме того, практически во всех вопросах- PI-теории, в том числе и в проблемах конечной базируемое™, в силу огромного количества причин надо отдельно рассматривать случай нулевой характеристики основного поля и случай положительной характеристики. Случай положительной характеристики естественным образом делится на два подслучая - бесконечного основного поля, когда все тождества следуют из полиоднородных тождеств, и конечного основного поля, когда появляются эффекты неоднородности. Также исследуются тождества в кольцах и в алгебрах над коммутативными (прежде всего нетеровыми) кольцами.

Одним из главных вдохновителей исследований по проблеме Шпехта был В.Н. Латышев, решивший проблему Шпехта во многих важных случаях20. Полное положительное решение проблемы Шпехта над полями нулевой характеристики было получено А.Р. Кемером21 в 1986 г. как следствие теоремы о том, что каждое нетривиальное многообразие порождается грассма-новой оболочкой конечномерной супералгебры. Над полями положительной характеристики примеры не конечно базируемых Г-идеалов были построены А.Я. Беловым, A.B. Гришиным и В.В. Щиголевым в 1999 г.22'23,24. Вскоре после этого рядом авторов были построены примеры не конечно базируемых Т'-идеалов, содержащих весьма сильные тождества. Упомянем только работу Е.В. Аладовой и А.Н. Красильникова25, в которой над полем характеристики р ^ 3 была построена система полиномов без конечного базиса тождеств, содержащая тождество х2р = 0.

При решении проблемы Шпехта ключевую роль играет теорема А.Р. Ке-

20В.Н. Латышев, Нематричные многообразия ассоциативных алгебр, Дис. ...д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1977.

21A.R. Kemer, Ideal of Identities of Associative Algebras, Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, 87, 1991.

22А.Я. Белов, "О пешпехтовых многообразиях", Ф-упд. и прикл. математика, 5:1 (1999), 47-66.

2ÍA.B. Гришин, "Примеры не конечной Палируемости Т-пространств и Г-идеалов в характеристике 2", Фунд. и прикл. математика, 5:1 (1999), 101-118.

24В.В. Щиголсв, "Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов", Фунд. и прикл. математика, 5:1 (1999), 307-313.

25E.V. Aladova, A.N. Krasil'nikov, "Polynomial identitiea in uil-algebra-s", Trans. Amer. Math. Soc., 361:11 (2009), 5629-5646.

мера о локальной представимости (см. ниже). Из нее при помощи короткой изящной конструкции А.Р. Кемер в 1990 г. получил положительное решение локальной проблемы Шпехта в характеристике р > 0: над бесконечным полем F характеристики р > 0 любой Т-идеал алгебры, F(xi,..., Xk) конечно базируем26.

Из локальной шпехтовости вытекает следующее утверждение: пусть поле F бесконечно и Т-идеал Г алгебры F(X) порожден системой полиномов {fi, г € /}, каждый из которых зависит не более чем от к переменных; тогда Г является конечно базируемым Т-идеалом. В такой формулировке локальная шпехтовость используется в главе 1 при решении проблемы ограниченности нильиндекса радикала относительно свободной алгебры над бесконечным полем положительной характеристики.

Локальную конечную базируемость над произвольным ассоциативно-коммутативным нетеровым кольцом доказал А.Я. Белов27.

В 1941 году А.Г. Курош28 сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр. Подобного рода проблемы в теории алгебр (не обязательно ассоциативных) принято называть проблемами бернсайдовского типа, или проблемами Куроша-Левицкого. Проблема Куроша-Левицкого состоит в следующем: 1) Верно ли, что конечно порожденная нильалгебра ограниченного индекса нильпотентна? 2) Верно ли, что конечно порожденная алгебраическая алгебра ограниченного индекса конечномерна?

Если не требовать ограниченности нильиндекса или степени алгебраич-ности, то обе эти проблемы в классе ассоциативных алгебр решаются отрицательно. Первый такой пример был простроен Е.С. Голодом29 в 1964 году (пример Голода-Шафаревича).

При условии ограниченности, а в этом случае соответствующие алгебры будут PI-алгебрами, проблема Куроша-Левицкого для ассоциативных алгебр была решена положительно Левицким30 структурными методами и Капланским31 комбинаторными средствами.

В 1957 г. А.И. Ширшов32 доказал чрезвычайно мощный результат, извест-

ил.р. Ксмср, "Тождества конечнопорожденных алгебр над бесконечным полем", Изв. АН СССР. Сер. машем., 54:4 (1990), 726-753.

27А.Я. Белов, Алгебры с полиномиальными тождествами: представления и комбинаторные методы, Дис. .. .д-ра физ.-мат. наук, Москва, 2002.

28А.Г. Курош, "Проблемы теории колец, связанные с проблемой Берсайда о пориодических группах", Изв. АН СССР. Сер. матем., 5 (1941), 233-240.

г9Е.С. Голод, "О ниль-шпгбрах и финитно-аппроксимируемых р-группах", Изв. АН СССР. Сер. матем., 28 (1964), 273-274.

30J. Luvitzkl, "On a problem of Kurosh", Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 1033-1035.

311. Kaplansky, "On a problem of Kurosh and Jacobson", Bull. Amer. Math. Soc., 52 (194G), 496-500.

32А.И. Ширшов, "О кольцах с тождественными соотношениями", Матем. сборник, 43:2 (1957), 277-283.

ный под названием «теорема о высоте».

Теорема А.И. Ширшова о высоте. Для любой конечно порожденной PI-алгебры А над коммутативным кольцом существуют натуральное число h и такие элементы ai,...,an g А, что любой элемент алгебры А может быть представлен в виде линейной комбинации элементов a'j... a[kk¡ где k <h.

А.И. Ширшов показал, что в качестве элементов ai,..., а„ можно взять множество всех слов степени < d над порождающим множеством, где d -степень тождества, пыполнсняющегося в алгебре А.

В дальнейшем были получены оценки на высоту алгебры h, доказаны многочисленные усиления и аналоги теоремы о высоте для различных классов неассоциативных алгебр. Подробный обзор результатов по теореме А.И. Ширшова о высоте содержится в работах33,34'35,36.

Из теоремы о высоте сразу же следует решение проблемы Куроша-Левицкого, причем в гораздо более сильной форме: конечномерность конечно порожденной PI-алгебры с тождеством степени d вытекает из алгебраично-сти всех слов от образующих степени меньше d.

Фундаментальные результаты в структурной теории многообразий ассоциативных алгебр над полями нулевой и положительной характеристики были получены А.Р. Кемером.

Конечномерная алгебра С над полем F называется конечномерной классической алгеброй, если С представима в виде прямой суммы подпространств С — Р © J, где J = Rad С - радикал Джекобсона алгебры С, Р является подалгеброй в С и Р = С/J (разложение Веддербарпа-Мальцева); кроме того, алгебра Р должна быть изоморфна прямой сумме матричных алгебр над полем F. Алгебра Р называется полупростой частью алгебры С.

Важнейший результат А. Р. Кемера о локальной представимости состоит в следующем.

Теорема о локальной представимости. Для любой конечно порожденной PI-алгебры U над бесконечным полем F найдется такая конечномерная классическая алгебра С, что идеалы тождеств алгебр U и С совпадают.

33A. Belov, V. Borisenko, V. Latyshev, Monomial Algebras, NY, Plenum, 1998.

31А.Я. Белов, Алгебры с полиномиальными тождествами: представления и комбинаторное методы, Дис. ... д-pa физ.-мат. наук, Москва, 2002.

35 A. Belov-Kanel, L.H. Rowen, "Perspectives on Shirshov's Heigth theorem", Selected worka of A J. Shirshov, Birkhauser, 2009,185-202.

36A. Ktaucr, "Comments on Shirshov's Hcigtli theorem", Selected works of A.I. Shirshov, Birkhauser, 2009, 223-229.

Эта теорема была доказана отдельно для полей нулевой характеристики37 (см. также38), и для бесконечных полей положительной характеристики39. Доказательство теоремы с рядом модификаций изложено в монографии40. Локальную представимость (в другом смысле, чем в вышесформулирован-ной теореме) над нетеровыми кольцами и многие другие комбинаторные и структурные вопросы о конечно порожденных и бесконечно порожденных алгебрах исследовал А.Я. Белов41.

Теорема о локальной представимости используется в настоящей работе следующим образом. Пусть Г - произвольный нетривиальный Т-идеал (т.е. Г ф (0) и Г ф F(X}). Обозначим

= F(xu.. .,хк)/{Г П F(x и хк}).

Алгебра является относительно свободной fc-порождешюй алгеброй в многообразии, которое соответствует Т-идеалу Г. По теореме о локальной представимости существует такая конечномерная классическая алгебра C¿, что T[Ff] = Т[Ск]. Из этого следует, что алгебра C¿ удовлетворяет следующему свойству: если полином / = f(x¡,...,xm) зависит от тп ^ к переменных и / € Т\Ск\, то / s Г. Таким образом, идеалы Т[Сц] аппроксимируют, идеал Г. Существуют ситуации, когда прямое доказательство включения fe Г наталкивается на непреодолимые трудности. Но при этом оказывается возможным доказать включение / е Т[Су для специфически выбранных k ^ т.

А.Р. Кемером была доказана теорема об ограниченности размерностей полупростых частей алгебр С к42.

теорема. Пусть поле F бесконечно. Тогда для любого нетривиального Т-идеала Г найдется такая константа m = т(Т), что для некоторых конечномерных классических алгебр Сь с условием T[F^} = Т[Су размерности полупростых частей алгебр Ck не превосходят т.

Теорема об ограниченности размерностей полупростых частей использо-

37А.Р. Кемер, "Представимость приведенно-свободньгх алгебр", Алгебра и логика, 27:3 (19S8), 274-294.

3SA.R. Кешег, Ideal of Identities of Associative Algebras, Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, 87, 1991.

39A.P. Кемер, "Тождества колечнопорожденных алгебр над бесконечным полем", Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:4 (1990), 72(1-753.

40L.H. Rowen, A. Kenel-Belov, Computation Aspects of Polynomial Identities, Wellesley, Massachusetts, 2005.

11 A.M. Белов, Алгебры с полиномиальными тождествами: преставления и комбинаторные методы, Дис. .. .д-ра физ.-мат. наук, Москва, 2002.

42А. Кешег, "Pi-algebras and nil algebras of bounded index", Trends in ring theory (Miscolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, Ш, 1998, 59-69.

валась А.Р. Кемером43 для доказательства следующего усиления проблемы И.Б. Воличенко.

ТЕОРЕМА. Пусть char i7 = р > 0. Тогда для любого нетривиального тождества / = 0 существует такая константа q, что для всех достаточно больших N следствиями тождества f = 0 являются все такие частичные линеаризации тождества xN — 0, каждая из которых имеет степень < N/q по любой переменной.

Сама проблема И.В. Воличенко состояла в доказательстве того факта, что каждое нетривиальное многообразие ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики удовлетворяет симметрическому тождеству некоторой степени (то есть полной линеаризации тождества xN — 0). Вышеприведенная теорема утверждает, что произвольное многообразие удовлетворяет не просто полной линеаризации тождества xN = 0, а всем достаточно глубоким линеаризациям. Отметим, что аналогичная проблема И.Б. Воличенко для алгебр Ли над полем положительной характеристики остается открытой. Из положительного решения проблемы И.Б. Воличенко и теоремы Размыслова-Прочези (см. ниже) вытекает, что каждая PI-алгебра над полем положительной характеристики удовлетворяет тождеству Каислли44. Тем самым ситуация в положительной характеристике принципиально отлична от ситуации в нулевой характеристике. Над полем характеристики 0, как показал А.Р. Кемер45, многообразие удовлетворяет тождеству Капелли тогда и только тогда, когда оно порождается конечномерной алгеброй.

Важнейшую роль в теории многообразий ассоциативных алгебр играют первичные многообразия (и соответствующие им вербальпо-первичные Т-идеалы). Т-идеал Г называется вербалъно-первичным (или Т-первичным), если для произвольных Т-идеалов Pi и Г2 из включения Ti • Г2 Ç Г вытекает, что Fi С Г или Гг С Г. Многообразие называется первичным, если соответствующий ему идеал тождеств вербально-первичен. Т-идеал Г называется вербально-полупервичным, если для произвольного Т-идеала Tj из включения Ti • Ti С Г вытекает, что Fi С Г.

Над полями пулевой характеристики все вербальпо-первичные Т-идеалы были описаны А.Р. Кемером. Будем обозначать через G алгебру Грассмана

43 A. Kemer, "Pi-algebras and nil algebras of bounded índex", Trends in ring theory {Miscolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, Ю, 1998, 59-69.

44A.R. Kemer, "Multilinear identities of the algebras over a ñeld of characteristic p\ Int. J. of Algebra and Computation, 5:2 (1997), 189-197.

45A.R. Kemer, Ideal of Identities of Associative Algebras, Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, 87, 1991.

счетного ранга с единицей: <7 = (е^ е2,... |е? = 0, = -е,-е,-). Алгебра Грассмана имеет естественную 22-градуировку (7 = (70 ф <?!, где С0 и Сч - подпространства алгебры 6?, порожденные всеми словами от образующих еь ег,... четной и нечетной длины соответственно. Для п, к > 0 рассмотрим в алгебре Мп+к(0) = Л/„+* ® С подмножество состоящее из блочных матриц вида

где А и И - квадратные матрицы размера пхпн кхк соответственно с элементами из Со, В и С - прямоугольные матрицы размера пхк и кхп соответственно с элементами из С?]. Легко проверить, что МП]к является подалгеброй алгебры Мп+1;(С). Алгебры Мп<ь называются матричными супералгебрами. Их исключительная роль объясняется следующей теоремой46.

Теорема о классификации первичных многообразий. Над полем характеристики 0 нетривиальный Т-идеал Г является вербальио-первич-ным тогда и только тогда, когда Г = Т[МП((7)] или Г = Т[Мп *] при п > к. Все эти Т-идеалы попарно различны.

Описание вербально-первичных Г-идеалов в характеристике р > 0 хотя бы на полилинейном уровне является важнейшей проблемой Р/-теории. В текущий момент она решена только в двух частных случаях: А.Р. Кеме-ром были описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(М2), и автором были описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(М1д). На полиоднородном уровне описание первичных многообразий отсутствует и в этих двух случаях.

Несложно показать, что над бесконечным нолем любой вербально-полупервичный Т-идеал является пересечением некоторого числа вербально-первичных Г-идеалов. А.Р. Кемером был доказан более сильный факт47.

Теорема о классификации полупервичных многообразий. Над полем характеристики 0 любой вербально-полупервичный Т-идеал является пересечением конечного числа вербально-первичных Т-идеалов.

Верно ли аналогичное утверждение (хотя бы на полилинейном уровне) в характеристике р > 0 - открытая проблема. Для подмногообразий в Уаг(М2) и Уаг(М1д) это верно, в остальных случаях - неизвестно.

46А.Р. Кемер, "Многообразия и /¡¡-градуированные алгебры", Иге. АН СССР. Сер. машем.. 48-5 »984) 1042-1059.

47А.Р. Камер, "Многообразия и 22-градуироаанные алгебры", Изв. АН СССР. Сер. матем., 48 5 (1984) 1042-1059. '

Фундаментальная роль первичных и полупервичных многообразий прояснятся следующей теоремой о нильпотентности^.

Теорема о нильпотентности. Пусть основное поле имеет характеристику 0. Если [I нетривиальный Т-идеал, N -■ пересечение всех Т-первичных Т-идеалов, содержащих ¡7, то идеал N нильпотентен по модулю и.

В терминах многообразий это утверждение формулируется так: любое многообразие V раскладывается в У-подпроизведение нильпсТентного многообразия и наибольшего полупервичного многообразия, содержащегося в V. Вопрос о том, верно ли (на полиодпородном или полилинейном уровне) аналогичное утверждение над полем положительной характеристики, является открытым.

Все три вышеприведенных теоремы Кемера (теорема о нильпотентности, теорема о классификации полупервичных многообразий и теорема о классификации первичных многообразий) при решении тех или иных проблем как правило используются совместно. Сначала проблема решается для первичных многообразий, затем для полупервичных, и, наконец, для произвольных многообразий, исходя из теоремы о нильпотентности. При помощи такого подхода были получены ответы на впечатляющее число разнообразных вопросов Р7-теории в нулевой характеристике. Именно этим мотивируется важность перенесения (хотя бы частичного) этих результатов в характеристику р > 0.

Важнейшим методом изучения первичных многообразий в характеристике 0 и единственно известным на текущий момент в характеристике р > 0 является подход, связанный с изучением тождеств со следом и тождеств с формами.

Понятие тождества со следом было введено Ю.П. Размысловым в 1974 году. Рассмотрим формальное выражение х2 - хТг(х) 4- ¿^(ж) = 0. Ясно, что оно обратится в равенство, если вместо переменной х подставить произвольную матрицу второго порядка. Линеаризуя это равенство, получаем выражение от двух переменных ху + ух - хЪ{у)- у Тг(х) ~Тт(ху) +Ъ(х)Ъ(у) = 0, которое обращается в верное равенство при подстановке вместо ж и у произвольных матриц второго порядка. Это пример полилинейного тождества со следом алгебры М%

48А.Р. Ксмер, "Многообразия и ¿^-градуированные алгебры", Изв. АН СССР. Сар. машем., 48:5 (1984), 1042-1059.

В общем случае линейное отображение Тг из алгебры А с единицей в ее центр называется следом, если Tr(aö) = Тг(Ьа) для произвольных а, 6 € А, Полином от некоммутирующих переменных Xi, х2,... и формальных символов Tr(u¿), где щ - слова над алфавитом Х\, сг2,..., называется полиномом со следом. При этом в определение полинома со следом закладывается выполнение равенств uTr(v) = Tr(»u, Tr(n)Tr(v) = Тг(и)Тг(и), Tr(uv) = Тг(ш). Полином со следом называется тождеством со следом алгебры А, если при подстановке в него вместо всех переменных произвольных элементов алгебры А получается 0. Как и для обычных тождеств, для тождеств со следом определяются полилинейность, полиоднородность, линеаризации, следствия и т.д.

Базис тождеств со следом алгебры Мп (при стандартном определении следа) над полем характеристики 0 был описан Ю.П. Размысловым49 в 1974 году и К.Прочези50 в 1976 (теорема Размыслова-Прочези). В 1995 А.Р. Кемер51 получил прямое комбинаторное доказательство этой важнейшей теоремы на полилинейном уровне^над полем произвольной характеристики.

Обозначим через Рт множество всех полилинейных полиномов со следом степени т, зависящих от переменных хи..., хт, с коэффициентами из поля F. Таким образом, каждый элемент из Рт является линейной комбинацией мономов щ Tr(ui) • • • Tr(u¡), где щ - слова, причем щ,..., щ ф 1, слово щ ■ щ ■ ■ ■ щ полилинейно. Пусть FSm+1 есть групповая алгебра симметрической группы 5m+i, действующей на множестве {0,1,..., т}. Определим ^-линейное отображение Am : Рт FSm+u полагая

\n{xh ---Xi, Ttfrfr ■ • ■ xjt) Tr(xkl ■ ■ ■ xkl) • ■ •) = «r e Sm+U

где a - перестановка, которая раскладывается на независимые циклы следующим образом:

а = (0, гь ... ,ís)(ii,... ..., ----

Отображение Хт является изоморфизмом пространств.

Обозначим

= (-I)V).

<r£Sn+1

49Ю.П. Раздшслов, "Тождества со следоы полной матричной алгебры над полем характеристики нучь" Изв. АН СССР. Сер. Матам., 37:3 (1973), 723-75G.

50С. Procesi, 'The invariant theory of ra x n-matrices", Advances in Math., 19:3 (1976), 306-381.

51 A.R. Kemer, "Multilinear identities of the algebras over a held of characteristic p'\ ha. J. of Atqebm and Compulation, 5:2 (19.97), 189-197.

Хорошо известно, что полином Хп{х\,... ,хп) является полной линеаризацией характеристического полинома Кэли-Гамильтона. Поэтому алгебра Мп удовлетворяет тождеству Хп(^ь • ■ •, хп) =0.

теорема Размыслова-Прочези. Пусть F - поле произвольной характеристики. Тогда каждое полилинейное тождество со следом алгебры Мп является следствием тождеств тг(1) —пи х„(жь • • - ,Хп) — 0.

Алгебра также превращается в алгебру со следом, если положить А В \

С D ) ~ ~ гДе Т^) и Tr(D) - суммы диагональных

элементов матриц А и D. Обозначим через D„+i,fc+i прямоугольную диаграмму Юнга из п + 1 строки и k + 1 столбца.

Идеал тождеств со следом алгебр Мп,к над полями нулевой характеристики был описан Ю.П. Размысловым52. А.Берсл53 получил доказательство теоремы Ю.П. Размыслова, используя подход К.Прочези для описания тождеств со следом матричных алгебр. Некоторое время назад автором было предложено более короткое доказательство, основанное на других идеях54.

теорема. Пусть поле F имеет нулевую характеристику. Тогда

1) для каждого m множество Хт(Т[МП)к]Г\Рт) является двусторонним идеалом алгебры FSm+i. Этот идеал является суммой минимальных двусторонних идеалов, соответствующих тем диаграммам Юнга, которые содержат Dn+itk+i в качестве поддиаграммы;

2) идеал T[Mn¿] порождается (как идеал тождеств со следом) тож-decmeoAt нулевой степени тг£1) = п-к и тождествами степени пк + п + к из пространства T[Mn¿] п Рпк+п+к-

В характеристике р > 0 множества Лm{T[Mn¿} П Рт) тоже являются двусторонними идеалами алгебры F5m+1. Вообще, нетривиальный идеал тождеств со следом Г называется -у-классическим, если он содержит полином Тг(1) - 7 и для любого m множество Ат(Г П Рт) является двусторонним идеалом алгебры FSm+i. Понятие 7-классического идеала было введено Ю.П. Размысловым. В характеристике 0 все они исчерпываются идеалами и являются вербально первичными, в характеристике р > 0 есть

52Ю.П. Размыслив, "Тождества со следом и центральные полиномы в матричных супералгебрах Мп ¡ь", Матем. сборник, 128:4 (1985), 194-215.

"A. Berele, "Tïace identities and Z/2Z-graded invariants", Trans of the Amer. Math. Sor... 309:2 (1988), 581-589.

54JI.M. Самойлов, "Новое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о тождествах матричной супералгебры", Фунд. и приял, матем., 6:4 (2000), 1121-1127.

55Ю.П. Размыслов, Тождества алгебр и их представлений, М.: Наука, 1989.

много других примеров 7-классических идеалов, которые уже могут не быть вербально первичными56.

А.Р. Кемером57 было доказано, что над полем характеристики р > 0 каждый нетривиальный Т-идеал содержит все полилинейные тождества алгебры матриц некоторого порядка. Наименьшее число к со свойством T[Mjt]nP С Г называется матричным типом Т-идеала Г. Вычисление матричного типа конкретного Т-пдеала является непростой задачей. Так, матричный тип алгебры Грассмана равен р58, но явно предъявить полином / е T[Mp_i] \ T\G\ при р > 3 крайне сложно.

Понятие матричного типа, введенное А.Р. Кемером59, оказалось весьма содержательным. Прежде всего благодаря взаимосвязи с понятием регулярности первичных многообразий. Полином f(x\,... ,хт) € F(X) называется киллеромТ-ндралаТ[Мк], если алгебра матриц Mk удовлетворяет тождеству со следом вида

f(xi,...,xm)Tr(y) = g(xu...,xmty), g е F(X).

Рассмотрим вербально первичный Т-идеал Г, матричный тип которого равен к. Назовем Г регулярным вербально первичным идеалом, если Г не содержит хотя бы один полилинейный киллер идеала Т[М*]. А.Р. Ксмср показал, что в этом случае Г является fc-классическим Т-идеалом, следовательно, при его изучении можно применять весь арсенал методов теории представлений симметрических групп над полями положительной характеристики. Такой подход к проблеме классификации вербально первичных многообразий был предложен А.Р. Кемером в цикле работ60,61,62'®3.

Другое приложение понятий матричного типа и регулярности состоит в следующем. А.Р. Кемер показал64, что если I - матричный тип какого-то нерегулярного первичного многообразия, то для некоторого числа тп < I проблема Прочези о ядре для алгебры матриц порядка m имеет отрицатель-

56Л.М. Самойлов, "О 7-классических многообразиях", Фунд. и прикл. матем, 8:3 (2002), 887-910.

57 A.R. Kemev, "Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p \ Int. J. of Algebra and Computation, 5:2 (1997), 189-197.

58A. Kemer, "On same problem in Pf-theory in characteristic p connected with dividing by p", Proceedings of the Third International Algebra Conference, Kluwer, 2003, 53-66.

59A. Kemcr, "Remarks on the prime varieties", Israel J. of Math., 96:2 (1996), 341-356.

60A. Kemer, "Remarks on the prime varieties", Israel J. of Math., 96:2 (1996), 341-356.

61 A. Kemer, "On the multilinear components of the regular prime varieties", Methods in ring theory: proc. of the Trento conference. Lect. Notes in pure and appl. math., 198, (1998), 171-183.

62A. Kemer, "Multilinear components of the prime subvarieties of the variety Var(M2(F))", Algebras and Representation Theory, 4:1 (2001), 87-104.

63A. Kemer, "On same problem in Pi-theory in characteristic p connected with dividing by p", Proceedings of the Third International Algebra Conference, Kluwer, 2003, 53-66.

64A, Kemer, "On same problem in Pi-theory in characteristic p connected with dividing by p", Proceedings of the Third International Algebra Conference, Kluwer, 2003, 53-66.

пое решение. Этот результат мотивирует вопрос о нахождении минимального значения матричного типа нерегулярного первичного многообразия. Примеры первичных многообразий, матричные типы которых были бы меньше р, отсутствуют.

Тождества со следом в характеристике 0 теснейшим образом связаны с инвариантами полной линейное группы GL(n). Эта группа действует сопряжениями на пространстве Хп,т = Мп х • • • х Мп, и это действие индуцирует

4 V '

т

действие на его координатном кольце

F\Xn<m] = F[xV |t,j = 1,2.....n; t = 1,2,... ,m].

Через Jn<m = -Fpfnim]GL(n) обозначим F-алгебру инвариантов при рассматриваемом действии. К.Прочези65 показал, что над полем характеристики О алгебра J„im порождается следами произведений общих матриц и выдвинул гипотезу о строении порождающей системы инвариантов над полями положительной характеристики. Гипотеза Прочези была доказана С. Донки-ным66. Обозначим через Xt,t= 1,2,... ,т, общую матрицу порядкап, в которой в г-й строке и j-м столбце стоит переменная х^. Тогда в качестве порождающих элементов F-алгебры Jn>ra можно взять элементы ■ ■ ■ Xik), s = 1,2,..., га, где ds(X) с точностью до знака есть s-й коэффициент характеристического многочлена матрицы X.

Для N ^ п имеет место естественный эпиморфизм Jw,m —>■ Jn,m, индуцированный отображением на общих N х iV-матрицах, при котором переменные Ху отображаются в нуль при г > п или при j > п. Таким образом, можно определить свободную алгебру инвариантов Jm как Jm = projlimn Jn,m, где projlim - проективный предел.

Пусть J — dirlirnmJm, где dirlim - прямой предел, а также Jn = dirlirnm Jnm. Имеется естественная проекция вп: J Jn, индуцированная проекциями Jm Зщт. Обозначим ядро проекции вп через Тп. Идеал Тп является Т-идеалом алгебры J, т.е. он инвариантен при ее эндоморфизмах. В характеристике 0 алгебра J изоморфна подалгебре свободной алгебре со следом, порожденной следами, и из теоремы Размыслова-Прочези можно вывести, что над полем нулевой характеристики Т„ порождается как Т-идеал полиномом Тг(хоХп( X1,..., хп )). То есть теорема Размыслова-Прочези описывает все соотношения в алгебре инвариантов полной линейной группы.

65С. Procesi, "The invariant theory of n x n-matrices", Advances in Math., 19:3 (1976), 306-381.

66S. Donkin, "Invariants of several matrices", Invent. Math., 110:2 (1992), 389-401.

В характеристике р > О аналог теоремы Размыслова-Прочези был доказан А.Н. Зубковым67. Им было показано, что Тп порождается как Т-идсал элементами dn+1(x),dn+2(x),... . Позже А.Н. Зубков значительно обобщил этот чрезвычайно важный результат для представлений колчанов68.

Аналогично тождествам со следом, можно рассматривать тождества с формами. Исследование тождеств с формами алгебры матриц в характеристике р > 0 играет важную роль в решении локальной проблемы Шпехта в положительной характеристике. Тождества с формами также тесным образом связаны с соотношениями в алгебре инвариантов полной линейной группы, но эта связь не такая прямая, как в характеристике 0. В частности, алгебра J и подалгебра свободной алгебры с формами, порожденная формами, не изоморфны. К исследованию тождеств с формами тесно примыкают работы К-А. Зубрилина69,70, связанные с исследованием алгебр, удовлетворяющих тождествам Капелли.

В 1956 году И.Капланский поставил вопрос о существовании центральных полиномов в алгебре матриц. Центральный полином, для Т-идеала Г -это такой полином / = f{%i, ■ ■ ■ ,хп), что / £ Г, но [/, у] € Г. Положительный ответ на вопрос Капланского дали Е.Форманек71 и Ю.П. Размыслов72. При этом Ю.П. Размыслов установил биекцию взаимосвязь между центральными полиномами и слабыми тождествами. Полилинейный полином / — f(xi,... ,хп) называется слабым тождеством Т-идеала Г, если / ^ Г, но Дз,-^] 6 Г. В.Н. Латышевым73,74,75 было введено понятие устойчивого Т-идеала, т.е. такого Т-идеала, множество полилинейных полиномов которого замкнуто относительно операторов отражения aajif,.a¿x6¡ —» Ylaa.i,bMxai для всех х. Примерами устойчивых Т-идеалов являются идеалы тождеств 7-классических многообразий. Для устойчивых Т-идеалов существование центральных полиномов'равносильно существованию слабых тождеств.

C.B. Охитин76 доказал, что над полем нулевой характеристики у каж-

67А.Н. Зубков, "Об обобщении теоремы Размыслова-Прочези", Алгебра и логика, 35:4 (1996), 433-457.

6ЭА.Н. Зубков, "Теорема Размыслова-Прочези для представлений колчанов", Фупд. и прикл. матем., 7:2 (2001), 387-421.

69К.А. Зубрилин, "Алгебры, удовлетворяющие тождествам Каиачли", Мат. сб., 86:3 (1995), 53-64.

70К.А. Зубрилин, "О классе нильпотентности препятствия для представимости алгебр, удовлетворяющих тождествам Каислди", Фунд. и щшк*г. матем., 1:2 (1995), 409-430.

71Е. Formanek, "Central polynomials for matrix rings", J. Algebra, 23 (1972), 129-132.

Т2Ю.П. Размыслов, "О одной проблеме Капланского", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 38:4 (1974), 483501.

"В.Н. Латышев, "О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр", Язв. АН СССР. Сер. матем., 37:5 (1973), 1010-1037.

74В.Н. Латышев, Нематричные лтогообразия ассоциативных алгебр, Дис. ...д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1977.

75В.Н. Латышев, "Устойчивые идеалы тождеств", Алгебра и логика, 20:5 (1981), 563-570.

76С.В. Охитин, "Об устойчивых Т-идеалах н центральных полиномах", Вести. МГУ. Сер. мат., мех.,

дого устойчивого Т-идеала есть слабые тождества, следовательно, есть и центральные полиномы. Метод доказательства является демонстрацией подхода, связанного с применением теорем А.Р. Кемера о классификации первичных и полупервичных многообразий и теоремы о нильпотентности. Над полями положительной характеристики устойчивость вербально первичных Т-идеалов, существование у них слабых тождеств и центральных полиномов было доказана А.Я. Беловым77 с помощью изучения тождеств с формами.

Цель работы и основные задачи. Цель данной диссертационной работы состоит в создании новых универсальных методов исследования ниль-проблем и первичных многообразий ассоциативных алгебр, позволяющих решать известные открытые проблемы, и установление взаимосвязи между свойствами вербальной первичности и иильпроблематикой. Основными задачами диссертации являются: перенесение теоремы Размыслова-Прочези с полилинейного уровня на полиоднородый для матриц порядка < р, описание базиса тождеств с формами для алгебры матриц произвольного порядка, доказательство ослабленной конечной базируемое™ идеала тождеств алгебры матриц и, как следствие, решение проблемы А.Р. Кемера о нильиндексе радикала относительно свободной ассоциативной алгебры над бесконечным полем положительной характеристики; решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности степени алгебраичности носителей многообразий в классе первичных многообразий, исследование унитарной замкнутости вербально первичных Т-идеалов; перенесение теоремы Левицкого на бесконечнопорож-дениые Р/-алгебры; оценки на матричные типы нерегулярных первичных многообразий; описание полилинейных компонент первичных подмногообразий многообразия Уах(М\1{) и доказательство теоремы о нильпотентности для подмногообразий этого многообразия; описание на полиоднородном уровне всех первичных подмногобразий многообразия Ю.П. Размыслова, построенного им в качестве контрпримера к проблеме глобальной нильпотентности (р — 2)-энгелевых алгебр Ли.

Основные методы исследования. В работе используются классические методы структурной и комбинаторной теории колец, теория инвариантов полной линейной группы, теории Р1-алгебр в нулевой и положительной характеристиках, теория тождеств со следом и тождеств с формами, теория представлений симметрических групп.

3 (1986), 85-89.

"А.Я. Белов, "Ассоциативных Я/-шп-ебр, совпадающих со своим коммутантом, не существует", Сиб. матем. журн., 44:6 (2003), 1239-1254.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Они заключаются в следующем.

• Получено положительное решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности нильиндекса радикала Джекобсона относительно свободной ассоциативной алгебры произвольного ранга над бесконечным полем характеристики р > 0 (теорема 1).

• В процессе решения этой проблемы теорема Размыслова-Прочези о тождествах со следом матричных алебр для алгебры матриц порядка < р перенесена с полилинейного уровня на общий полиоднородный (теорема 6). В общем случае описан базис тождеств с формами алгебры матриц произвольного порядка (теорема 4). Доказана ослабленная конечная базируемость идеала обычных тождеств алгебры матриц (теорема 3). В случае п < р доказан ее более специальный вариант (теорема 7).

• Получен положительный ответ на вопрос А.Р. Кемера о матричном типе нерегулярных первичных многообразий над полем характеристики р > 0: любое первичное многообразие матричного типа к при всех достаточно больших р является регулярным (теорема 8).

• Получен аналог теоремы Левицкого об ограниченности нильиндекса нильагебр для бесконечно порожденных Р1-алгебр над полем положительной характеристики (теорема 9).

• Получено частичное решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности степени алгебраичности носителей многообразий над бесконечным полем положительной характеристики в классе первичных многообразий (теорема 10 и следствие 4). Аналогичный результат получен для энге-левых многообразий (теорема 11).

• Исследован вопрос об унитарной замкнутости первичных многообразий над бесконечным полем на общем полиоднородном уровне: показано, что произвольное первичное многообразие или унитарно замкнуто, или удовлетворяет некоторому нильтождеству (теорема 13).

• Доказано, что энгелевы первичные многообразия остаются первичными при дополнительном наложении нильтождества достаточно высокой примарной степени (теорема 14). Описаны первичные подмногообразия многообразия Ю.П. Размыслова, впервые построенного им в качестве контрпримера к проблеме глобальной нильпотентности (р—2)-энгелевых алгебр Ли (теорема 15).

• Над бесконечным полем характеристики р ф 2 описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Var{M\j) (теорема 16). В этом многообразии на полилинейном уровне доказана теорема о разложении произвольного многообразия в подпроизведение наибольшего полупервичного подмногообразия и шшьпотентного (теорема 17).

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории ассоциативных алгебр с полиномиальными тождествами.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах: кафедральный семинар по алгебре кафедры Высшей алгебры МГУ; кафедральный семинар по алгебре кафедры Алгебро-геометрических вычислений УлГУ; семинар им. А.М. Ширшова «Теория колец» (ИМ СО РАН), семинар «Алгебра и логика» в НГУ; конференциях по алгебре: на Международной конференции по алгебре на Украине, Одесса, 2005; на Международной конференции по радикалам ICOR-2006, Киев, 2006; на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, Москва, 2008; на 7-ой Международной конференции по алгебре на Украине, Харьков, 2009; на Международной конференции «Мальцевские чтения», посвященной 70-летию академика Ю.Л. Ершова, Новосибирск, 2010; на Международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию A.B. Яковлева, Санкт-Петербург, 2010.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 работах автора из официального перечня ВАК, список которых приведен в конце автореферата. Совместных публикаций нет.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем сквозная) и списка литературы. Полный объем диссертации - 162 страницы. Список литературы включает 79 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена решению проблемы А.Р. Кемера о нильиндексе радикала относительно свободной алгебры над бесконечным полем положительной характеристики.

Рассмотрим нетривиальный Г-идеал Г и относительно свободную алгебру счетного ранга Р(Х)/Г. Через п обозначим наибольший порядок матричной алгебры Мп, содержащейся в Var (Fix)/?). Число п называется сложностью Т-идеала Г, а также сложностью соответствующего многообразия Var (F(X)/Г). Несложно показать, что сложность нетривиального многообразия всегда конечна. Ш.Амицур78 доказал, что над бесконечным полем радикалом Джекобсона алгебры F{X)/T является идеал Т[М„]/Г, где п - сложность Г, и что Raà{F(X)/r) является нильидеалом. Более того, Ra.à(F (X)/Г) является локально иильпотентным идеалом. Это немедленно вытекает из теоремы Размыслова-Кемера-Брауна79, утверждающей, что радикал конечно порожденной Р/-алгебры нильпотентен. Проблема нильпотентности радикала конечно порожденной Р/-алгебры была поставлена В.Н. Латышевым80. А. Р. Кемером81 сформулирована более тонкая но сравнению с теоремой Амицура проблема, специфическая для положительной характеристики.

проблема 1. Является ли радикал Джекобсона относительно свободной алгебры счетного ранга над бесконечным полем характеристики р > 0 нильидеалом ограниченного индекса?

В главе 1 получено положительное решение этой проблемы.

ТЕОРЕМА 1. Радикал Джекобсона относительно свободной алгебры счетного ранга над бесконечным полем характеристики р > 0 есть нилъидеал ограниченного индекса.

Легко понять, что из теоремы 1 вытекает ограниченность нильиндекса радикала произвольной относительно свободной алгебры (т.е. не обязательно счетного ранга) над бесконечным полем характеристики р > 0. Над полем

7SS.A. Amitsur, "A generalization of Hilbert's Nullstellensatz", Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 649-656.

79A. Braun, 'The nilpotency of the radical in a finitely generated PI-riug", J. Algebra, 89 (1984), 375-396.

В.Н. Латышев, Нематричные многообразия ассоциативных алгебр, Дис. ...д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1377.

81 А. Кешег, "Pi-algebras and nil algebras of bounded index", Trends in ring Lhcory (Miseolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, Ш, 1998, 59-69.

нулевой характеристики так же можно рассмотреть вопрос о нильиндексе радикала. Как показала И.Ю. Свиридова82, над полем характеристики 0 радикал алгебры F(X}/Г будет иметь ограниченный нильиндекс тогда и только тогда, когда Г является идеалом тождеств некоторой конечномерной алгебры или когда Г = (0). При этом радикал будет являться нильпотентным идеалом. Тем самым в нулевой и положительной характеристиках радикалы относительно свободных алгебр имеют принципиально разные нильсвойства.

А.Р. Кемер83 доказал, что если идеал Т[Мп] конечно базируем, то для любого Т-идеала Г сложности п проблема 1 имеет положительное решение. В частности, проблема 1 решается положительно для нематричных многообразий (т.е. многообразий сложности 1). При р > 2 конечная базируемость идеала Т[Мг] была доказана П. Кошлуковым84, откуда вытекает положительно решение проблемы 1 для многообразий сложности 2 при рф 2. При всех других п проблема конечной базируемое™ идеала Т[Мп] в характеристике р > 0 является открытой, и, по всей видимости, чрезвычайно сложной ввиду отрицательного решения проблемы Шпехта.

Приведенный выше результат А.Р. Кемера показывает, что решение проблемы 1 в той или иной форме должно опираться на некоторые ослабленные свойства конечной базируемое™ идеала Т[Мп]. При доказательстве теоремы 1 конечная базируемость используется в форме теоремы 3, которая является наиболее сложным в идейном и техническом плане результатом диссертации.

теорема 3. Для произвольных чисел пир существуют полином K{z\,...,zk) 0 Т[Мп] и конечно базируе.мый Т-идеал Г С Т[Мп), удовлетворяющие свойству:

если f(xu...,xm) еТ\Мп], mo f(xi,...,xm)K{zu...,zk) S Г.

В §1.1 содержится вывод теоремы 1 из теоремы 3. Полином K(z i,..., z¡¡) и Г-идеал Г находятся в явном виде. Полином K(z\,...,zk) равен некоторой (явно вычисляемой и не зависящей от р) степени полинома q{x,x2,...íxn,yu...,yn-}), где

q(x i, • ..,хп,уи..., г/„_ i) = (-íyx^i-jyiXv^ ■ • • Уп-

aesn

82I,Yu, Sviridova, "Varieties and algebraic algebras of bounded degree", J. of Pure and Appl. Algebra, 133 (1998), 233-240.

83A. Kemer, 'Tl-algebras and nil algebras of bounded index", Trends in ring theory (Miscolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, M, 1998, 59-69.

84P. Koshlukov, "Basis of the identities of the matrix algebra of order two over a field of characteristic p / 2", J. Algebra, 241:1 (2001), 410-434.

Т-идеал Г С Т[Мп] совпадает с Т-идеалом, порожденным всеми тождествами М„, зависящими не более чем от 2п(п\)21 + п + 2 переменных, где I = 2" ■ п2п-р. Конечная базируемость этого Т-идеала вытекает из локальной шпехтовости.

При п < р полином K(zu...,zk) и Т-идеал Г устроены гораздо более простым образом: в качестве полинома K(zu ..,, zk) можно взять полином Капелли порядка п2, а идеал Гп порождается пятью полиномами, которые имеют прозрачное строение (теорема 7). Случай п<р рассмотрен в диссертации в § 1.2 отдельно по трем причинам. Во-первых, при п < р полностью исчезает ряд идейных и технических трудностей, что позволяет наиболее выпукло продемонстрировать основные идеи доказательства теоремы 3, не погружаясь в многочисленные детали. Во-вторых, при рассмотрении случая п < р описывается базис тождеств со следом алгебры М„, что переносит теорему Размыслова-Прочези с полилинейного уровня на общий полиоднородный.

Теорема 6. Если п < р, то любое тождество со следом алгебры Мп над бесконечным полем характеристики р > 0 следует из тождества нулевой степени Тг(1) = п и полной линеаризации тождества К эли-Гамильтона Хп{хи...,хп) = 0.

В-третьих, при п < р явная конструкция полинома К(ги ...,zk)n идеала Гп позволяет дать положительный ответ на вопрос А.Р. Кемера о матричном типе нерегулярных первичных многообразий85. Это делается в §1.3.

Теорема 8. Для данного числа к и всех достаточно больших р каждое первичное многообразие матричного типа к над полем характеристики р > 0 является регулярным.

Опираясь на результаты А.Н. Зубкова86 об инвариантах полной линейной группы, при доказательстве теоремы 3 в §1.4-1.6 получено описание базиса тождеств с формами алгебры матриц порядка п. Обозначим через (X), (X)" свободные полугруппы без 1 и с 1, порожденные счетным множеством X, и через Q множество всех символов dn(u), dnM(uu..., um), n = 1,2,...; (P) = (Pi, ■■■ipm) ~ разбиение числа n; и,щ € (X)11. Пусть (Q) - свободная коммутативная полугруппа с единицей, порожденная множеством Q, F(Q) - полугрупповая алгебра. Профакторизуем F{Q) по определяющим соотношениям dn,(,)(«!,..., ип) = dni[ap)(ua(,h..., и,(т)), где ар = (Ра{1),.... Ра{т])-щ 6 (X)8. Полученную алгебру обозначим S. Положим F{X) = Fl(X) ®F S.

85A. Kernet, "On the multilinear components of the regular prime varieties", Methods in ring theory: proe. of the Trento conference. Lect. Notes in pure and appl. math., 198, (1998), 171-183. 8SA.H. Зубков, "Об обобщении теоремы Размыслова-Прочези", Алгебра и логика, 35:4 (1996), 433-457.

В §1.3 доказано, что над полем характеристики р > 0 любая частичная линеаризация с?т,(р)(х!,...,х3) формы йт на алгебре Мп является линейной комбинацией форм (1рк1 (щ)--- с?р*,(и(), где щ - мономы от переменных XI,..., х„ причем коэффициенты этой линейной комбинации не зависят от п:

(к),(и)

а[к),(и) ^ щ е ... ,хя), щ не являются р-ми степенями своих подслов. Профакторизуем Р(Х) по вербальному идеалу, порожденному всеми такими тождествами, а также тождествами ёр<(хр) = д.р<(х)р, ф(а:у) = йр,{ух). Получившуюся алгебру обозначим В\Х). Если в этой алгебре рассмотреть коммутативную F-пoдaлгeбpy без единицы, порожденную элементами йр,(и), и € (X), то эта алгебра окажется изоморфной свободной алгебре инвариантов J (лемма 8 из §1.6).

Рассмотрим в Р(Х) подалгебру с единицей Р(Х), порожденную множеством (X)8 и символами ^¡(ы), и 6 (X)8, при р' < п. Тогда Р{Х) содержит формы (1{{х), г ^ п, а также все их частичные линеаризации. В доказательстве теоремыиспользуются именно тождества с формами Мп в алгебре Р{Х), а не в Р(Х), где базис тождеств имеет более простое и красивое описание (предложение 2). Связано это с тем, что формы с1п+1, йп+2,..., будучи тождественно нулевыми на алгебре Мп, тем не менее при построении идеала Г в теореме 3 требует включения в него бесконечной системы тождеств. Поэтому приходится работать более сложным образом в алгебре Р^Х).

Рассмотрим отображение / /+ из алгебры Р{Х) в алгебру Р(Х), которое переводит в 0 все формы ¿р, при р$ > п, а далее продолжается по мультипликативности и линейности.

теорема 4. Над бесконечным полем характеристики р > 0 базис тождеств с формами алгебры Мп в алгебре Р(Х) образуют:

(г) тождества нулевой степени ¿р»(1) = , р* ^ п (С£ - биномиальный коэффициент);

(и) тождество К эли-Гамильтона Хп{х) = 0; (Ш) тождества от одной першенной — О, N > п; (т) тождества от двух переменных _Ах,у) = О, N > п,

0 < в < Ы;

(у) тождества от < п переменных ¿р*(Ьр(хп{х))), Р* ^ п.

В пунктах (ш) и (ги) теоремы рассматриваются формы при N > п и все их частичные линеаризации от двух переменных. Эти формы нулевые на

алгебре Мп, но, тем не менее, после применения отображения / /+ доставляют нетривиальные соотношения между формами di,... ,dn. В пункте (v) рассматриваются все линеаризации Lp{xn{x)) тождества Кэли-Гамильтона, и от этих линеаризаций берется форма dp.. Отметим, что указанная в теореме система тождеств является бесконечной. Однако - и это главное - базис тождеств с формами алгебры Мп образуют полиномы, в совокупности зависящие от конечного числа переменных, а именно, не более чем от п переменных (локальность базиса).

§1.7 содержит вспомогательные технические результаты о некоторых обычных тождествах и тождествах с формами алгебры Мп. Наиболее сложные рассуждения главы 1 содержатся в §1.8. Каждому тождеству с формами / алгебры Мп в алгебре F(X) мы сопоставляем полином R(f) е F(X}/r, где Т-идеал Г определен выше после формулировки теоремы 3. Этот полином R(f) строится индукцией по целому ряду параметров, и основные сложности состоят в доказательстве корректности конструкции. Весь смысл отображения R состоит в том, что оно должно «коммутировать» по модулю Г с операциями получения следствий (подстановками, линеаризациями, умножениями на формы и т.д.). К сожалению, за счет умножения на формы это неверно, однако имеет место некоторое ослабленное свойство коммутирования с операциями получения следствий (лемма 18), которого оказывается достаточным для доказательства теоремы 3.

Обсудим вопрос о том, что означает теорема 1 для произвольных (не обязательно относительно свободных) PI-алгебр над полем характеристики р > 0. Пусть идеал тождеств PI-алгебры А имеет сложность п. Тогда из теоремы 1 вытекает, что идеал значений

Т[Мп]{А) = {/(ai,..., ak)\ai е A, f 6 Т[Мп}}

алгебры А является нильидеалом ограниченного индекса. При этом в многообразии Уаг(Л) существует алгебра В (например, относительно свободная алгебра счетного ранга), для которых идеал Т[Мп}{В) является наибольшим нильидеалом ограниченного индекса. Например, в энгелевых алгебрах коммутаторный идеал всегда есть нильидеал ограниченного индекса, а любой строго больший идеал этим свойством обладать не обязан.

Теорема 1 имеет одно достаточно неожиданное следствие. Из теоремы А.И. Ширшова о высоте немедленно вытекает, что если PI-алгебра А порождается множеством {аь ..., ак} и любое слово от множества образующих {a¿} является нильпотентным степени не выше тп, то сама алгебра А явля-

ется нильалгеброй ограниченного индекса N. Число N зависит от степени тождества, тик.

В такой формулировке над полями нулевой характеристики убрать условие конечной порожденное™ нельзя даже для коммутативных алгебр. Следующая теорема, доказанная в §1.9, показывает, что над полями положительной характеристики условие конечной порожденное™ является лишним.

ТЕОРЕМА 9. Пусть А - ассоциативная алгебра над полем характеристики р > 0, удовлетворяющая тождеству / = 0. Тогда если А порождается множеством {а,, г € /}, и любое слово от элементов aj нилъпотентно степени не выше т, то А является нильалгеброй ограниченного индекса N. При этом N зависит от характеристики р, тождества f и числа m (и не зависит от мощности множества I).

Теорема 9 играет ключевую роль при исследовании следующей проблемы, поставленной А. Р. Кемером87.

ПРОБЛЕМА 2. Верно ли, что каждое собственное многообразие ассоциативных алгебр над бесконечным полем положительной характеристики порождается алгебраической алгеброй ограниченного индекса над некоторым расширением этого поля?

Глава 2 полностью посвящена положительному решению проблемы 2 для произвольных первичных многообразий с единицей, а именно, доказательству следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 10. Каждое собственное первичное многообразие ассоциативных алгебр с единицей над бесконечным полем положительной характеристики порождается алгебраической алгеброй ограниченного индекса над тем же полем.

На самом деле условие наличия единицы в формулировке теоремы 10 является избыточным. Это вытекает из результатов главы 3 (см. подробности ниже).

Предполагается, что проблема 2 имеет положительное решение и в общем случае. Ситуация с аналогом проблемы 2 для полей нулевой характеристики обстоит следующим образом. Используя структурную теорию многообразий ассоциативных алгебр над нолями нулевой характеристики, И. Ю. Свиридова88 доказала, что над полем характеристики 0 многообразие порождается

87А. Keiner, "Pi-algebras and nil algebras of bounded index", Trends in ring theory (Miscolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 59-69.

8sI.Yu. Sviridova, "Varieties and algebraic algebras of bounded degree", J. oj Pure and Appl. Algebra, 133 (1998), 233-240.

алгебраической алгеброй ограниченного индекса тогда и только тогда, когда оно порождается конечномерной алгеброй. Вместе с тем, в этой же работе было показано, что любое нетривиальное многообразие может быть порождено алгебраической алгеброй ограниченного индекса над некоторым коммутативным кольцом. Таким образом, свойства многообразия порождаться алгебраическими алгебрами ограниченного индекса над полем и над коммутативным кольцом оказываются принципиально различными.

Проблема 2 была решена И. Ю. Свиридовой в двух важных частных случаях. В работе 89 она была решена для энгелевых многообразий с единицей, а в работе00- для первичных нематричных многообразий с единицей.

Сделаем важное замечание. В теореме 10 многообразие порождается алгебраической алгеброй ограниченного индекса над тем же самым полем, а не над его расширением. Для энгелевых многообразий ситуация аналогична. Вообще говоря, И.Ю. Свиридовой было доказано, что энгелевы многообразия порождаются алгебраическими алгебрами ограниченного индекса над расширениями основного поля. В теореме 11 в §2.6 доказывается более сильный факт.

Теорема 11. Каокдое энгелево многообразие ассоциативных алгебр с единицей над бесконечным полем положительной характеристики порождается алгебраической алгеброй ограниченного индекса над тем же полем.

Таким образом, во всех известных случаях, когда проблема 2 решена положительно, многообразие может быть порождено алгебраической алгеброй ограниченного индекса над F, а не над расширением поля F. В этой связи возникает гипотеза, что в проблеме 2 можно требовать алгебраичности не над расширением основного поля, а над самим основным полем.

Несложно показать, что из положительного решения проблемы 2 вытекает положительное решение проблемы 1. Таким образом, формально проблему 2 можно рассматривать как усиление проблемы 1. Однако представляется, что едва ли возможно решение проблемы 2, не опирающееся на решение проблемы 1.

Материал главы 2 расположен следующим образом. §2.1 и §2.2 содержат формулировки необходимых для дальнейшего сведений и определение полупростой конечномерной алгебры ассоцированной с данным Т-идеалом Г. В §2.3 по Г строится алгебра SS и доказывается, что SS - алгебраическая

89I.Yu. Sviridova, "Varieties and algebraic algebras of bounded degree", J. of Pure and Avpl. Algebra, 133 (1998), 233-240.

80И.Ю. Свиридова, ' 'T-первичные многообразия и ассоциативные алгебры", Фунд и прикл матпем 8:1 (2002), 221-243.

алгебра ограниченного индекса алгебраичности над основным полем. При этом не используется условие, что Г - вербально первичный Т-идеал. §2.4 содержит определение критических параметров Т-идеала Г. Прежде всего, определяется параметр I и в нескольких леммах доказываются его свойства. Далее определяются fc-полные и насыщенные наборы идемпотентов и доказываются свойства этих наборов, прежде всего их существование. Исходя из этого доказывается ключевая техническая лемма главы 2 - лемма 27. В §2.5 доказывается, что идеал тождеств алгебры совпадает с Г, что завершает доказательство теоремы 10. В доказательстве используется-техника А.Р. Кемера работы с конечномерными классическими алгебрами, разработанная им для решения локальной проблемы Шпехта. Основное отличие состоит в том, что основные параметры определяются не только через центральные идемпотенты полупростой алгебры &, а через все диагональные матричные единички. Основная идея доказательства теоремы 10 состоит в переходе к обобщенным тождествам и сведению общей ситуации к рассмотрению некоторых подалгебр, в которых препятствие к энгслевоети аннулируется умножением на обобщенные слова с подходящими насыщенными наборами идемпотентов. Для последующего избавления от такого умножения требуется первичность. §2.6 содержит доказательство теоремы 11. Оно получается путем значительного упрощения доказательства теоремы 10, но, тем не менее, требует отдельного рассмотрения.

Глава 3 посвящена изучению взаимосвязи первичности и унитарной замкнутости. А.Р. Кемером91 и А.Я. Беловым92 разными способами было доказано, что каждый вербально первичный Т-идеал Г является унитарно замкнутым на полилинейном уровне. Это означает, если f{xi,... ,хт) € Г и полином f(xi,..., хт) полилинеен, то f(x\,..., im)Ui=i € Г.

На полиоднородном уровне вербально первичные Т-идеалы не обязаны быть унитарно замкнутыми, в качестве примера можно рассмотреть вербально первичный Т-идеал {[ж, у] = Q,xp = 0}т. Однако теорема 13 показывает, что для вербально первичных Т-идеалов Г, не содержащих полиномов хп, унитарная замкнутость на полиоднородном уровне выполняется.

теорема 13. Пусть поле F бесконечно и Г - вербально первичный Т-идеал. Тогда либо Г является унитарно замкнутым Т-идеалом, либо ж" 6 Г для некоторого п.

91 A. Kemer, "On the multilinear components of the regular prime varieties", Methods in Ting theory: proe. of the Trento conference. Lect. Notes in pure and appl. math., 198, (1998), 171-183.

92А.Я. Белов, "Ассоциативных Я/-алгебр, совпадающих со своим коммутантом, не существует", Сиб. матем. журн., 44:6 (2003), 1239-1254.

Таким образом, над бесконечным полем каждое нетривиальное первичное многообразие порождается или алгеброй с единицей, или нильалгеброй ограниченного индекса. Ясно, что эти альтернативы взаимно исключают друг друга. Доказательство теоремы 13 содержится в §3.2 и опирается на модификации технических лемм, доказанных в §2.4.

Вернемся к теореме 10. Если Т-идеал содержит тождество хп = 0, то относительно свободная алгебра F{X)/T является, очевидно, алгебраической алгеброй ограниченного индекса алгебраичности и порождает многообразие с идеалом тождеств Г. Следовательно, в теореме 10 можно отказаться от требования наличия единицы.

СЛЕДСТВИЕ 4. Каждое собственное первичное многообразие над бесконечным полем F порождается алгебраической алгеброй ограниченного индекса алгебраичности над F.

В §3.3 для энгелсвых первичных многообразий исследуется вопрос о том, остаются ли они первичными при наложении тождества xpN = 0 при больших N. Исходя из теоремы 13, доказано следующее утверждение.

теорема 14. Пусть F - бесконечное поле характеристики р > 0, Г - вер-балъно первичный Т-идеал, содержащий тождество энгелевости. Тогда для всех достаточно больших N (зависящих отГ) Т-идеал {Г, хр"}Т будет вер-бально первичным.

Теоремы 13 и 14 применяются для описания (на полиоднородном уровне) одного хорошо известного и интересного класса первичных многообразий. Рассмотрим при р > 5 в свободной ассоциативной алгебре со следом счетного ранга F{X) Т-идеал U, порожденный полиномами со следом

тг(1)-2, Х2(х,у), Рр-2(х!,..., Хр-2).

Здесь Х2(х, у) = ту + ух - хЩу) - уЪ(х) - Тг(хг/) + Тф) Tt(y) - полином Кэли-Гамильтона, рр-2(х!,...,жр_2) - симметрический полином Кэли-Гамильтона, равный сумме всех полилинейных мономов со следом от переменных х\,.. .,хр-2- Обозначим через U Т-идеал алгебры F(X), порожденный всеми обычными полилинейными полиномами из U: U = {U П Р}т, где Р - множество всех полилинейных полиномов из F(X). Ограничение р ^ 5 нужно для исключения тривиальных случаев р = 2 и р = 3, в которых рассматриваемое многообразие интереса не представляет.

Т-идеал U впервые был построен Ю.П. Размысловым93 совершенно другим способом. Ю.П. Размыслов показал (для использованного им определения U), что при р ^ 5 относительно свободная алгебра F{X)/U является (р - 1)-энгелевой (на самом деле (р - 2)-энгелевой), но не лиево нильпотент-ной. В силу теоремы Хиггинса эта алгебра будет неразрешимой. Это известный контрпример Ю.П. Размыслова к глобальной проблеме Бернсайда для алгебр Ли. То, что построенный Ю.П. Размысловым Т-идеал совпадает с U, следует, например, из полной классификации полилинейных компонент первичных подмногообразий многообразия, порожденного алгеброй матриц второго порядка. Эта классификация была получена А.Р. Кемером94.

А.Р. Кемером95 был рассмотрен Т-идеал Ü', порождаемый всеми тождествами со следом алгебры матриц второго порядка, а также полиномами (ж — \Тг{х))р и хр. Из классификации полилинейных компонент первичных подмногообразий многообразия Var(М2) снова вытекает, что Т-идеал {{/' П Р}т совпадает с U. Четвертая характеризация Т-идеала U состоит в том, что он порождается полилинейными тождествами единственного минимального 2-классического многообразия алгебр со следом90.

Следующая теорема описывает все вербально первичные Т-идеалы, полилинейная компонента которых совпадает с U С\Р.

теорема 15. Пусть F - бесконечное поле характеристики р > 5.

1) Если Г - вербально первичный Т-идеал иТПР = UnP, то или Г = U, или Г = {U, хр }7 для некоторого натурального N.

2) Т-идеалы U и {U,xp }Т, N > 1, попарно различны и являются вербально первичными.

Глава 4 содержит два результата о тождествах матричных супералгебр.

Первый результат, полученный в §4.1, представляет из себя описание полилинейных компонент первичных подмногообразий многоообразия Var(Mi,i).

теорема 16. Пусть р ф 2, U - Т-первичный Т-идеал, t[mu] с U. Тогда U п Р совпадает или с Т[Мг ij п Р, или с {[х,у, z] = 0}г г) Р, или с {[х,у]=Ъ}тПР.

Таким образом, при р > 2 структура полилинейных компонент первичных поДмногообразшГ многообразия Var(MiTl) такая же, как в характеристике

Размыслов, "Тождества со следом полной матричной алгебры над полом характеристики нуль", Язе. АН СССР. Сер. Матем., 37:3 (1973), 723-756.

МА. Ксшег, "Multilinear components of tile prime subvarieties of the variety Var{M2[F))'\ Algebras and Representation Theory, 4:1 (2001), 87-104.

S5A. Kemer, "Remarks on the prime varieties", Israel J. of Math., 96:2 (1996), 341-356.

9бЛ.М. Самойлов, "О 7-классических многообразиях", Фунд. и прикл. матем, 8:3 (2002), 887-910.

нуль. Интересно сравнить этот результат с описанием полилинейных компонент первичных подмногообразий многообразия Var(A/2) в характеристике р > 0 (понятно, что алгебры М% и в некотором смысле «похожи» друг на друга), которое было получено А.Р. Кемером97,98. Среди подмногообразий многообразия Var(M2) имеется бесконечная серия первичных подмногообразий, не имеющая аналогов в нулевой характеристике. Случай р = 2 в теореме 16 является прямым следствием этих результатов А.Р. Кемера, ведь при р = 2 алгебры М2 и имеют одинаковые полилинейные тождества. Несложно понять, что теорема 16 легко вытекает из следующего более сильного утверждения.

Теорема 17. Пусть р ф 2, и - произвольный Т-идеал со свойствами T[Mhl) с JJ, t[mu] ПР^ипР. Тогда дм некоторого т

- [^mi Ут 5 1 е и.

Из этой теоремы следует, что для произвольных подмногообразий многообразия Var(Mu) при р > 2 выполняется аналог теоремы А.Р. Кемера о нильпотентности идеала тождеств наибольшего полупервичного подмногообразия. В текущий момент времени это единственный нетривиальный случай в характеристике р > 0, в котором установлена справедливость теоремы о нильпотентности.

Для Т-идеала Г положим

Г' = {f(Xu ...,*„)€ nX)l/(Kyi], • ■ ■, К,Уп}) 6 Г}.

Элементы из Г' называются слабыми по всем переменным тождествами Т-идеала Г. По ходу доказательства теоремы 17 устанавливается, что полилинейные компоненты первичных многообразий однозначно определяются своими слабыми по всем переменным тождествами. Отметим, что для произвольных многообразий это неверно.

Теорема 18. Пусть ГЬГ2 - Т-первичные Т-идеалы и Г[ Г\ Р = Г'2 П Р. Тогда п Р = Г2 п Р.

Второй результат главы 4 является единственным результатом диссертации о тождествах в нулевой характеристике. Выше уже отмечалась исключительная роль матричных супералгебр M„ik в PI-теории над полями нулевой

97 А. Kemer, "Remarks on the prime varieties", Israel J. о/ Math., 96:2 (1Э96), 341-356 98A. Kemer,

"Multilinear components of tho prime subvarieties of lhe varicty Var(A{¿(F))", Algebras and Representation Theory, 4:1 (2001), 87-104.

характеристики. Однако, несмотря на это, о тождествах алгебр Мп¿ известно крайне мало. В частности, минимальная степень тождеств алгебр известна только в случаях Мп,о, Aío,*, Mi,i, Mi,2 и М2д. В двух последних случаях нижняя оценка для степени тождеств была получена путем компьютерных вычислений", верхняя вытекает из теоремы 19, доказываемой в §4.2.

Теорема 19. Над полем характеристики нуль у алгебры Mn¿ есть тождества степени 2(nk + п + к) — min{n, к}.

Можно выдвинуть гипотезу, что тождеств меньшей степени у алгебр Mn¡k в характеристике нуль нет. Эта гипотеза согласуется со всеми вышеперечисленными случаями, в которых минимальная степень тождеств известна.

Связь между нильпроблемами и первичными многообразиями.

Основные результаты диссертации получены при помощи использования «двойственного» подхода в исследовании нильпроблем и первичных многообразий. Он состоит в том, что нильпроблемы сводятся к исследованию первичных многообразий, и, наоборот, те или иные вопросы о первичных многообразиях сводятся к вопросам нильпотентности.

Так, решение проблемы о нильиндексе радикала относительно свободной алгебры над полем положительной характеристики практически полностью состоит в исследовании тождеств и тождеств с формами алгебры матриц порядка п, которая порождает первичное многообразие. Наоборот, доказательство теоремы 8 состоит в доказательстве нильпотентности некоторого идеала в относительно свободной алгебре многообразия Var(Мп). Основные соображения в доказательстве теоремы 9 так же связаны с рассмотрением тождеств и центральных полиномов в алгебре матриц. Решение проблемы алгебраичности носителей первичных многообразий (теорема 10) связано с доказательством нильпотентности некоторых идеалов в алгебре обобщенных тождеств. Аналогично, доказательство теоремы 17 тоже сводится к вопросам нильпотентности некоторых идеалов в относительно свободной алгебре. Подобного рода идеологию двойственности можно проследить в доказательстве всех основных результатов диссертации.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Получено положительное решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности нильиндекса радикала Джекобсона относительно свободной ассоциативной алгебры произвольного ранга над бесконечным полем характеристики р > 0 (теорема 1).

S9U. Vishne, "Polynomial identitie of M2(G)", Commun, in Algebra, 30:1 (2002), 443-454.

2. В процессе решения этой проблемы теорема Размыслова-Прочези о тождествах со следом матричных алебр для алгебры матриц порядка < р перенесена с полилинейного уровня на общий полиоднородный (теорема 6). В общем случае описан базис тождеств с формами алгебры матриц произвольного порядка (теорема 4). Доказана ослабленная конечная базируемость идеала обычных тождеств алгебры матриц (теорема 3). В случае п < р доказан ее более специальный вариант (теорема 7).

3. Получен положительный ответ на вопрос А.Р. Кемера о матричном типе нерегулярных первичных многообразий над полем характеристики р > 0: любое первичное многообразие матричного типа к при всех достаточно больших р является регулярным (теорема 8).

4. Получен аналог теоремы Левицкого об ограниченности нильиндекса нильагебр для бесконечно порожденных Р1-алгебр над полем положительной характеристики (теорема 9).

5. Получено частичное решение проблемы А.Р. Кемера об ограниченности степени алгебраичности носителей многообразий над бесконечным полем положительной характеристики в классе первичных многообразий (теорема 10 и следствие 4). Аналогичный результат получен для энге-левых многообразий (теорема 11).

0. Исследован вопрос об унитарной замкнутости первичных многообразий над бесконечным полем на общем полиоднородном уровне: показано, что произвольное первичное многообразие или унитарно замкнуто, или удовлетворяет некоторому нильтождеству (теорема 13).

7. Доказано, что энгелевы первичные многообразия остаются первичными при дополнительном наложении нильтождества достаточно высокой примерной степени (теорема 14). Описаны первичные подмногообразия многообразия Ю.П. Размыслова, впервые построенного им в качестве контрпримера к проблеме глобальной нильпотентности (р—2)-энгелевых алгебр Ли (теорема 15).

8. Над бесконечным полем характеристики р ф 2 описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мх1х) (теорема 16). В этом многообразии на полилинейном уровне доказана теорема о разложении произвольного многообразия в подпроизведение наибольшего полупервичного подмногообразия и нильпотентного (теорема 17).

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (из официального Перечня ВАК)

[1] Л.М. Самойлов, "О нильиндекее радикала относительно свободной ассоциативной алгебры", Мателг. заметки, 82:4 (2007), 583-592.

|2] Л.М. Самойлов, "О радикале относительно свободной ассоциативной алгебры над полями положительной характеристики", Матем. сборник, 199:5 (2008), 81-126.

[3] Л.М. Самойлов, "Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциативных алгебр", Матем. заметки, 86:1 (2009), 151-153.

[4] Л.М. Самойлов, "Алгебраические алгебры и первичные многообразия ассоциативных алгебр", Матем. сборник, 200:5 (2009), 99-128.

[5] Л.М. Самойлов, "Аналог теоремы Амипура-Левицкого для матричных супералгебр", Сиб. матем. журн., 51:3 (2010), 620-625.

[6] Л.М. Самойлов, "Об унитарной замкнутости первичных многообразий ассоциативных алгебр", Сиб. матем. журн., 51:4 (2010), 712-722.

[7] Л.М. Самойлов, "О полилинейных компонентах первичных подмногообразий многообразия Уаг(Ми)", Матем. заметки, 87:6 (2010), 919-933.

Подписано в печать 26.05.2011. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,0. Бумага книжно-журнальная. Тираж 120 экз. Заказ № 102

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Предварительные сведения.

Обзор результатов диссертации.

1 Ограниченность нильиндекса радикала относительно свободной алгебры

1.1 Сведение проблемы ограниченности нильиндекса радикала к теореме 3.

1.2 Доказательство теоремы 3 при п < р.

1.3 О матричном типе нерегулярных первичных многообразий.

1.4 Канонические формы на матричных алгебрах.

1.5 Чистые тождества с формами, выполняющиеся во всех алгебрах Мп.

1.6 Базис тождеств с формами алгебры матриц.

1.7 Некоторые тождества алгебры Мп.

1.8 Доказательство теоремы 3 в общем случае.

1.9 Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциативных алгебр.

2 Алгебраичность носителей первичных многообразий ассоциативных алгебр

2.1 Постановка проблемы.

2.2 Результаты А. Р. Кемера о локальной представимости.

2.3 Построение алгебры

2.4 Критические параметры Т-идеалов.

2.5 Доказательство предложения 5.

2.6 Доказательство теоремы 11.

3 Унитарная замкнутость первичных многообразий

3.1 Формулировка результатов.

3.2 Унитарная замкнутость Т-первичных идеалов.

3.3 Доказательство теоремы 14.

3.4 Доказательство теоремы 15.

4 О тождествах матричных супералгебр

4.1 Полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(М1д).

4.2 О минимальной степени тождеств матричных супералгебр.

Предварительные сведения.

Исторический обзор. Первое появление алгебр с полиномиальными тождествами (Р1-алгебр) связано с исследованием оснований проективной геометрии. Р1-теория берет свое начало в работе Дена [48] 1922 года, в которой он в связи с выполнимостью теоремы Дезарга на проективной плоскости над телом исследовал вопросы, при каких условиях тело будет коммутативным. В 1937 году Вагнер, также занимаясь основаниями проективной геометрии, установил в [78], что алгебра матриц любого порядка над полем удовлетворяет полиномиальному тождеству. Следующим важным этапом явилась статья М. Холла [54] 1943 года, в которой помимо всего прочего доказано, что некоммутативная алгебра с делением, удовлетворяющая тождеству [[х,у]2,г] = 0, где [х,у] = ху — ух, является четырехмерной над своим центром.

Переломной вехой в развитии Р1-теории явилась статья Капланского [57] 1948 года, где доказан классический результат, что любая примитивная алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени является конечномерной простой алгеброй над своим центром размерности не выше ¿/2. Двумя годами позже, в 1950 году, Амицур и Левицкий в [41] нашли минимальную степень тождества, выполняющегося на алгебре матриц порядка п над полем. Это послужило началом нового направления в Р1-теории, где основным объектом изучения является множество тождеств, выполняющихся на данной алгебре. Другим, число алгебраическим, источником Р1-теории явилась проблема А.Г. Куроша (см. ниже). В конце 50-х - начале 60-х годов Р1-теория быстро превратилась в самостоятельную содержательную ветвь современной алгебры.

Многообразия алгебр. В работе рассматриваются ассоциативные алгебры над полем Р, которое, как правило, будет предполагаться бесконечным.

Через -Р(Х) и Р(ХУ будем обозначать свободную ассоциативную алгебру (т.е. алгебру некоммутативных полиномов) без единицы и с единицей соответственно, порожденную счетным множеством X. Полином /(х±,., х„) £ F{X} называется тождеством (ассоциативной) алгебры А, если /(ах,. ,ап) = 0 для всех ах,., ап € А. Алгебра, удовлетворяющая ненулевому тождеству, называется Р1-алгеброй. Множество всех тождеств алгебры А будем обозначать Т[А]. Ясно, что Т[А] является идеалом свободной алгебры Р(Х). Этот идеал удовлетворяет дополнительному свойству: он замкнут относительно всех эндоморфизмов свободной алгебры. Иначе говоря, если /(э^,.,хп) 6 Т[А], то для всех дг, - ■ ■ ,дп £ Р'(Х) выполнено /(^1,., дп) £ Т[А]. Идеалы, удовлетворяющие такому свойству, называются Т-идеалами (а также вербальными идеалами и вполне характеристическими идеалами). Можно показать, что любой Т-идеал Г является идеалом тождеств некоторой алгебры, например, алгебры Т(Х)/Г.

Пусть Г - произвольный Т-идеал. Класс всех ассоциативных алгебр, удовлетворяющих всем тождествам из Г, называется многообразием алгебр. Между Т-идеалами и многообразиями существует взаимно-однозначное соответствие, обращающее включения. Теорема Биркгофа (см., например, [21]) дает другую харак-теризацию многообразий: класс ассоциативных алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия декартовых произведений, подалгебр и гомоморфных образов. Отметим, что теорема Биркгофа верна не только для ассоциативных алгебр, но и для широкого класса алгебраических систем (см. подробности в [21]). Класс Р1-алгебр замкнут также относительно тензорного произведения (теорема Регева-Латышева, см. [71], [17]). Через Уаг(Л) будем обозначать многообразие с идеалом тождеств Т[А]. Сама алгебра А называется носителем многообразия.

Если в алгебре дана некоторая система полиномов {/г,г € /}, то наименьший Т-идеал, содержащий эту систему полиномов, будем обозначать {/г, г € /}т, и будем говорить, что этот Т-идеал порожден данной системой полиномов.

Таким образом, произвольный Т-идеал Г (а также соответствующее ему многообразие) может быть задан двумя способами:

1. указанием такой алгебры А, что Г = Т[А];

2. указанием базиса, то есть такой системы полиномов {/г,г £ /}, что Г =

Эти два языка описания многообразий взаимно дополняют друг друга. Перевод описания многообразия с одного языка на другой является крайне нетривиальной задачей: скажем, для алгебры матриц порядка 3 над полем характеристики нуль неизвестен базис тождеств, и нет никаких гипотез о том, как он мог бы выглядеть. С некоторым допущением можно сказать, что изучение такого перевода и является основным содержанием Р1-теории. Исследованию тождеств ассоциативных алгебр посвящена обширная литература, см., например, монографии [50], [51], [59], [69], [27], [73]. Особо отметим вышедшие в последнее время монографии [74] и [53]. Комбинаторным аспектам Р/-теории посвящены отдельные главы монографий [44] и [79].

Итак, среди задач Р1-теория можно выделить две «общие» задачи:

1) Как по заданной алгебре А найти ее базис тождеств или указать свойства этого базиса?

2) Как по заданной системе полиномов {/г, г € 1} найти носитель соответствующего многообразия или указать его свойства?

Каждая из этих двух «общих» задач может быть конкретизирована многими разными способами.

В первой задаче речь может идти о том, порождается ли идеал тождеств заданной алгебры конечной системой полиномов; содержит ли заданный Т-идеал некоторый «естественный» полином (скажем, тождество Капелли, стандартное тождество, симметрическое тождество, тождество алгебраичности и т.п.); каковы нильсвойства заданной алгебры и ассоциированных с ней алгебр? каковы асимптотические свойства идеала тождеств заданной алгебры? какова минимальная степень тождеств заданной алгебры, есть ли у нее центральные полиномы и слабые тождества?

Вторая задача может иметь следующие конкретизации: при каких условиях на систему полиномов многообразие порождается, скажем, конечномерной или конечнопорожденной алгеброй? или алгебраической алгеброй? или алгеброй с какими-то другими естественными свойствами или понятным строением? верно ли, что конкретный полином следует из данной системы тождеств?

В настоящей работе решаются некоторые задачи как первого, так и второго типов.

Следует отметить, что наиболее существенный вклад в развитие ассоциативной Р/-теории внесли алгебраисты из Советского Союза, а позднее из России: А.И. Ширшов, В.Н. Латышев, Ю.П. Размыслов, А.Р. Кемер, А.Я. Белов и многие другие. В исследовании тождеств в других классах алгебр (прежде всего в алгебрах Ли, Йордановых и альтернативных алгебрах) ведущая роль так же принадлежит алгебраистам из России, прежде всего представителям московской и новосибирской школ теории колец. В особой степени это относится к разработке комбинаторных методов изучения тождеств.

Проблема Шпехта. В развитии Р/-теории ключевой проблемой долгое время была проблема конечной базируемости, поставленная В. Шпехтом в 1950 г в [75].

Проблема Шпехта. Верно ли, что любой Т-идеал свободной ассоциативной алгебры конечно базируем, то есть конечно порожден как Т-идеал?

Сам В. Шпехт имел в виду случай алгебр над полем характеристики 0, но проблема имеет смысл над произвольным полем. Кроме того, проблема конечной базируемости представляет чрезвычайный интерес для и для произвольных классов алгебр, например, лиевых, йордановых или альтернативных.

Проблематика конечной базируемости делится на локальную (рассматриваются идеалы тождеств в конечно порожденных свободных алгебрах) и глобальную (рассматриваются идеалы тождеств в счетнопорожденных свободных алгебрах).

Кроме того, практически во всех вопросах PI-теории, в том числе и в проблемах конечной базируемости, в силу огромного количества причин надо отдельно рассматривать случай нулевой характеристики основного поля, и случай положительной характеристики. Случай положительной характеристики естественным образом делится на два подслучая - бесконечного основного поля, когда все тождества следуют из полиоднородных тождеств, и конечного основного поля, когда появляются эффекты неоднородности. Также исследуются тождества в кольцах и в алгебрах над коммутативными (прежде всего нетеровыми) кольцами.

Одним из главных вдохновителей исследований по проблеме Шпехта был В.Н. Латышев, решивший проблему Шпехта во многих важных случаях (см. [19]). Полное положительное решение проблемы Шпехта над полями нулевой характеристики было получено А.Р. Кемером в 1986 г. как следствие построенной им структурной теории (изложение решения содержится в монографии [59]). Над полями положительной характеристики примеры не конечно базируемых Т-идеалов были построены А.Я. Беловым, A.B. Гришиным и В.В. Щиголевым в 1999 г. (см. [2], [5], [39]). Вскоре после этого рядом авторов были построены примеры не конечно базируемых Т-идеалов, содержащих весьма сильные тождества. Упомянем только работу Е.В. Аладовой и А.Н. Красильникова [40], в которой над полем характеристики р ^ 3 была построена система полиномов без конечного базиса тождеств, содержащая тождество х2р = 0.

При решении проблемы Шпехта ключевую роль играет теорема А.Р. Кемера о локальной представимости (см. ниже). Из нее при помощи короткой изящной конструкции А.Р. Кемер в 1990 г. получил положительное решение локальной проблемы Шпехта в характеристике р > 0: над бесконечным полем F характеристики р > 0 любой Т-идеал алгебры F(xi,., хконечно базируем (см. [13]).

Из локальной шпехтовости вытекает следующее утверждение: пусть поле F бесконечно и Т-идеал Г алгебры F(X) порожден системой полиномов {/¿,г £ I}, каждый из которых зависит не более чем от к переменных; тогда Г является конечно базируемым Т-идеалом. В такой формулировке локальная шпехтовость используется в главе 1 при решении проблемы ограниченности нильиндекса радикала относительно свободной алгебры счетного ранга.

Локальную конечную базируемость над произвольным ассоциативно-коммутативным нетеровым кольцом доказал А.Я. Белов в [3].

Проблемы бернсайдовского типа. В 1941 году А.Г. Курош в [15] сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр. Подобного рода проблемы в теории алгебр (не обязательно ассоциативных) принято называть проблемами бернсайдовского типа, или проблемами Куроша-Левицкого.

Проблема Куроша-Левицкого состоит в следующем: 1) Верно ли, что конечно порожденная нильалгебра ограниченного индекса нильпотентна? 2) Верно ли, что конечно порожденная алгебраическая алгебра ограниченного индекса конечномерна?

Если не требовать ограниченности нильиндекса или степени алгебраичности, то обе эти проблемы в классе ассоциативных алгебр решаются отрицательно. Первый такой пример был простроен Е.С. Голодом в 1964 году в [4] (пример Голода-Шафаревича).

При условии ограниченности, а в этом случае соответствующие алгебры будут PI-алгебрами, проблема Куроша-Левицкого для ассоциативных алгебр была решена положительно Левицким в [58] структурными методами и Капланским в [56] комбинаторными средствами.

В теореме 9 доказано, что в одной из переформулировок проблемы Куроша-Левицкого над полем положительной характеристики условие конечной порож-денности оказывается лишним.

Теорема А.И. Ширшова о высоте. В 1957 г. А.И. Ширшов доказал чрезвычайно мощный результат, известный под названием «теорема о высоте».

Теорема А.И. Ширшова о высоте ([38]). Для любой конечно порожденной PI-алгебры А над коммутативным кольцом существуют натуральное число h и такие элементы ai,. ,ап g А, что любой элемент алгебры А может быть представлен в виде линейной комбинации элементов а1гг . а[к, где к < к.

А.И. Ширшов показал, что в качестве элементов ai,.,an можно взять множество всех слов степени < d над порождающим множеством, где d - степень тождества, выполняющегося в алгебре А.

В дальнейшем были получены оценки на высоту алгебры к, доказаны многочисленные усиления и аналоги теоремы о высоте для различных классов неассоциативных алгебр. Подробный обзор результатов по теореме А.И. Ширшова о высоте содержится в [44], [45], [66], [3].

Из теоремы о высоте сразу же следует решение проблемы Куроша-Левицкого, причем в гораздо более сильной форме: конечномерность конечно порожденной PI-алгебры с тождеством степени d вытекает из алгебраичности всех слов от образующих степени меньше d.

Структурная теория многообразий. Фундаментальные результаты в структурной теории многообразий ассоциативных алгебр над полями нулевой и положительной характеристики были получены А.Р. Кемером. Сформулируем лишь те из них, которые используются в настоящей работе.

Конечномерная алгебра С над полем F называется конечномерной классической алгеброй, если С представима в виде прямой суммы подпространств С — Р © J, где J = Rad С - радикал Джекобсона алгебры С, Р является подалгеброй в С и Р = С/J (разложение Веддербарна-Мальцева); кроме того, алгебра Р должна быть изоморфна прямой сумме матричных алгебр над полем F. Алгебра Р называется полупростой частью алгебры С.

Важнейший результат А. Р. Кемера о локальной представимости состоит в следующем.

Теорема о локальной представимости. Для любой конечно порожденной Р1-алгебры V над бесконечным полем Р найдется такая конечномерная классическая алгебра С, что идеалы тождеств алгебр и и С совпадают.

Эта теорема была доказана для полей нулевой характеристики в работе [12] (см. также [59]), а для бесконечных полей положительной характеристики - в работе [13]. Доказательство теоремы с рядом модификаций изложено в монографии [74]. Локальную представимость (в другом смысле, чем в вышесформули-рованной теореме) над нетеровыми кольцами и многие другие комбинаторные и структурные вопросы о конечно порожденных и бесконечно порожденных алгебрах исследовал А.Я. Белов в [3].

Теорема о локальной представимости используется в настоящей работе следующим образом. Пусть Г - произвольный нетривиальный Т-идеал (т.е. Г ф (0) и Г ^ Р(Х)). Обозначим

Р^ = Р(х1.,.,хк)/(ТПР(х1,.1хк)).

Алгебра ^ является относительно свободной ^-порожденной алгеброй в многообразии, которое соответствует Т-идеалу Г. По теореме о локальной представимости существует такая конечномерная классическая алгебра С\., что Т[Ру) — Т[С\].

Из этого следует, что алгебра удовлетворяет следующему свойству: если полином / = /(^1,., хт) зависит от т < к переменных и / е Т[Ск], то / € Г. Таким образом, идеалы Т[Ск] аппроксимируют идеал Г. Существуют ситуации, когда прямое доказательство включения / € Г наталкивается на непреодолимые трудности. Но при этом оказывается возможным доказать включение / £ Т[Ск] для специфически выбранных к ^ т. Именно так в главе 2 доказывается одно из основных технических утверждений - предложение 5.

В работе [62] А.Р. Кемером была доказана теорема об ограниченности размерностей полупростых частей алгебр

Теорема ([62]). Пусть поле Р бесконечно. Тогда для любого нетривиального Т-идеала Г найдется такая константа т = га(Г)7 что для некоторых конечномерных классических алгебр с условием Т[Рр] = Т[С\] размерности полупростых частей алгебр не превосходят т.

Заметим, что если Т-идеал Г является унитарно замкнутым (то есть Г - идеал тождеств алгебры с единицей), то можно считать, что все алгебры из формулировки теоремы имеют единицу. В главе 2 при помощи этой теоремы корректно определяется параметр I - центральный параметр в доказательстве теоремы 10.

Теорема об ограниченности размерностей полупростых частей использовалась А.Р. Кемером для доказательства следующего усиления проблемы И.Б. Воличен-ко.

Теорема ([62]). Пусть char F = р > 0. Тогда для любого нетривиального тождества / = 0 существует такая константа q, что для всех достаточно больших N следствиями тождества f = 0 являются все такие частичные линеарипеременной.

Сама проблема И.Б. Воличенко состояла в доказательстве того факта, что каждое нетривиальное многообразие ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики удовлетворяет симметрическому тождеству некоторой степени (то есть полной линеаризации тождества хм = 0,). Вышеприведенная теорема утверждает, что произвольное многообразие удовлетворяет не просто полной линеаризации тождества хм = 0, а всем достаточно глубоким ли-неаризациям. Отметим, что аналогичная проблема И.Б. Воличенко для алгебр Ли над полем положительной характеристики остается открытой. Теорема о глубоких линеаризациях тождества хы = 0 применяется в работе при доказательстве теоремы 9. Из положительного решения проблемы И.Б. Воличенко и теоремы Размыслова-Прочези (см. ниже) вытекает, что каждая Р1-алгебра над полем положительной характеристики удовлетворяет тождеству Капелли, см. [61].

Первичные многообразия ассоциативных алгебр. Важнейшую роль в теории многообразий ассоциативных алгебр играют первичные многообразия (и соответствующие им вербально-первичные Т-идеалы). Т-идеал Г называется вербально-первичным (или Т-первичным), если для произвольных Т-идеалов Г\ и Г2 из включения Г1 • Г2 С Г вытекает, что Г1 С Г или Г2 С Г. Многообразие называется первичным, если соответствующий ему идеал тождеств вербально-первичен. Т-идеал Г называется вербально-полупервичным, если для произвольного Т-идеала Г\ из включения Гх • Гх С Г вытекает, что Гх С Г.

Над полями нулевой характеристики все вербально-первичные Т-идеалы были описаны А.Р. Кемером в [10] (см. также [59]). Будем обозначать через С алгебру Грассмана счетного ранга с единицей: С = (ех

Алгебра Грассмана имеет естественную Z2-гpaдyиpoвкy С = Со ® Сх, гДе ^о и Сх - подпространства алгебры С, порожденные всеми словами от образующих ех,в2,. четной и нечетной длины соответственно. Для п, к ^ 0 рассмотрим в алгебре Мп+ь(С) = Мп+к <8> С подмножество состоящее из блочных матриц вида где А и I) - квадратные матрицы размера пхпккх к соответственно с элементами из Со, В и С - прямоугольные матрицы размера п х к и к х п соответственно с элементами из Сх. Легко проверить, что является подалгеброй алгебры МП+^(С). Алгебры Мп± называются матричными супералгебрами. Их исключительная роль объясняется следующей теоремой. зации тождества xN = 0, каждая из которых имеет степень < N/q по любой

Теорема о классификации первичных многообразий ([10]). Над полем характеристики 0 нетривиальный Т-идеал Г является вербально-первичным тогда и только тогда, когда Г = Т[МП(6?)] или Г = Т[Мп,к] при п ^ к. Все эти Т-идеалы попарно различны.

Описание вербально-первичных Т-идеалов в характеристике р > 0 хотя бы на полилинейном уровне является важнейшей проблемой Р1-теории. В текущий момент она решена только в двух частных случаях: А.Р. Кемером были описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мг), и автором (см. главу 4) были описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мх.1). На полиоднородном уровне описание первичных многообразий отсутствует и в этих двух случаях. В §3.4 настоящей работы описываются полиоднородные компоненты одного хорошо известного первичного многообразия, впервые построенного Ю.П. Размысловым в качестве контрпримера к глобальной проблеме Бернсайда в алгебрах Ли (см. подробности ниже).

Несложно показать, что над бесконечным полем любой вербально-полупервичный Т-идеал является пересечением некоторого числа вербально-первичных Т-идеалов. А.Р. Кемером был доказан более сильный факт.

Теорема о классификации полупервичных многообразий ([10]). Над полем характеристики 0 любой вербально-полупервичный Т-идеал является пересечением конечного числа вербально-первичных Т-идеалов.

Верно ли аналогичное утверждение (хотя бы на полилинейном уровне) в характеристике р > 0 - открытая проблема. Для подмногообразий в Уаг(Мг) и Уаг(Мхд) это верно, в остальных случаях - неизвестно.

Фундаментальная роль первичных и полупервичных многообразий прояснятся следующей теоремой о нильпотентности.

Теорема о нильпотентности ([10]). Пусть основное поле имеет характеристику 0. Если и - нетривиальный Т-идеал, N - пересечение всех Т-первичных Т-идеалов, содержащих и, то идеал N нильпотентен по модулю и.

В терминах многообразий это утверждение формулируется так: любое многообразие V раскладывается в ^-произведение нильпотентного многообразия и наибольшего полупервичного многообразия, содержащегося в V. Вопрос о том, верно ли (на полиоднородном или полилинейном уровне) аналогичное утверждение над полем положительной характеристики, является открытым.

Все три вышеприведенных теоремы Кемера (теорема о нильпотентности, теорема о классификации полупервичных многообразий и теорема о классификации первичных многообразий) при решении тех или иных проблем как правило используются совместно. Сначала проблема решается для первичных многообразий, затем для полупервичных, и, наконец, для произвольных многообразий, исходя из теоремы о нильпотентности. При помощи такого подхода были получены ответы на впечатляющее число разнообразных вопросов Р1-теории в нулевой характеристике. Именно этим мотивируется важность перенесения (хотя бы частичного) этих результатов в характеристику р > 0. Нельзя не заметить параллелей между строением произвольного многообразия в характеристике 0 и строением произвольной конечномерной ассоциативной алгебры: теоремы А.Р. Кемера о классификации первичных и полупервичных многообразий являются аналогом двух частей теоремы Веддербарна-Артина, а теорема о нильпотентности является аналогом теоремы о нильпотентности радикала Джекобсона конечномерной алгебры.

Важнейшим методом изучения первичных многообразий в характеристике 0 и единственно известным на текущий момент в характеристике р > 0 является подход, связанный с изучением тождеств со следом и тождеств с формами.

Тождества со следом. Понятие тождества со следом было введено Ю.П. Размысловым в 1974 году. Рассмотрим формальное выражение х2 — жТг(х) + ёеЦх) = 0. Ясно, что оно обратится в равенство, если вместо переменной х подставить произвольную матрицу второго порядка. Линеаризуя это равенство, получаем выражение от двух переменных ху + ух — х Тг(?/) — у Тг(ж) — Тг(.ту) + Тг(ж) Тг(у) = 0, которое обращается в верное равенство при подстановке вместо х и у произвольных матриц второго порядка. Это пример полилинейного тождества со следом алгебры М2.

Определение тождеств со следом достаточно длинное, поэтому пока ограничимся неформальным определением. Линейное отображение Тг из алгебры А с единицей в ее центр называется следом, если Тг(аб) = Тт(Ьа) для произвольных а,Ь £ А. Полином от некоммутирующих переменных Х\,Х2,--- и формальных символов Тг(г^), где щ - слова над алфавитом х\. х'2, ■ - -, называется полиномом со следом. При этом в определение полинома со следом закладывается выполнение равенств мТг(г;) = Тг(г>)г/, Тг(гг) Тг(г>) = Тг(г;) Тг(гг), Тг(иь) = Тг(ьи). Полином со следом называется тождеством со следом алгебры А, если при подстановке в него вместо всех переменных произвольных элементов алгебры А получается 0. Как и для обычных тождеств, для тождеств со следом определяются полилинейность, полиоднородность, линеаризации, следствия и т.д.

Базис тождеств со следом алгебры Мп (при стандартном определении следа) над полем характеристики 0 был описан Ю.П. Размысловым в 1974 году в [23] и Прочези в 1976 году в [70] (теорема Размыслова-Прочези). В 1995 А.Р. Кемер в [61] получил прямое комбинаторное доказательство этой важнейшей теоремы на полилинейном уровне над полем произвольной характеристики.

Обозначим через Рт множество всех полилинейных полиномов со следом степени т, зависящих от переменных Х\,., хт, с коэффициентами из поля Т. Таким образом, каждый элемент из Рт является линейной комбинацией мономов -ио Тг(и1) • • ■ Тг(г^), где щ - слова, причем щ. /щ ^ 1, слово щ ■ щ ■ ■ ■ щ полилинейно. Пусть 1 есть групповая алгебра симметрической группы 5т+1, действующей на множестве {0,1,.,т}. Определим Т-линейное отображение ^т ■ Рт -> ^т+ъ полагая

Хт{хг1 • • • х»в Тг(а:л • • • хп) Тг(хк1 ■ ■ ■ хк1) ■■■) = а е £т+1, где а - перестановка, которая раскладывается на независимые циклы следующим образом: т = (0,гь ., 13)(]ь . ■ ■ ■ ---

Отображение Ат является изоморфизмом пространств. Обозначим

Ы^ь = А;1 ( £ (-1)"<т). сгб5п+1

Хорошо известно, что полином Хп(%1, ■ ■ ■, является полной линеаризацией характеристического полинома Кэли-Гамильтона. Поэтому алгебра Мп удовлетворяет тождеству Хп(хъ ■ ■ •, хп) = 0. теорема Размыслова-Прочези ([23], [70], [61]). Пусть Г - поле произвольной характеристики. Тогда каждое полилинейное тождество со следом алгебры Мп является следствием тождеств тг(1) — пи хп^ъ • • • 5 хп) = 0.

Алгебра также превращается в алгебру со следом, если положить

Тг ^ ^ £) ^ = Тг(^4)—Тг(1)), где Тг(А) и Тг(1)) - суммы диагональных элементов матриц А и I). При этом Тг(1) = п — к. Обозначим через 1)п+1)д.+1 прямоугольную диаграмму Юнга из п + 1 строки и к + 1 столбца.

Идеал тождеств со следом алгебр Мпк над полями нулевой характеристики был описан Ю.П. Размысловым в работе [26]. А.Берел в [46] получил доказательство теоремы Размыслова, используя подход Прочези для описания тождеств со следом матричных алгебр. В работе [28] автором было предложено более короткое доказательство, основанное на других идеях.

Теорема ([26],[46],[28]). Пусть поле Т имеет нулевую характеристику. Тогда

1) для каждого т множество Ат(Т[Мп^]Г\Рт) является двусторонним идеалом алгебры РБт+1. Этот идеал является суммой минимальных двусторонних идеалов, соответствующих тем диаграммам Юнга, которые содержат в качестве поддиаграммы;

2) идеал Т[Мп,к] порождается (как идеал тождеств со следом) тождеством нулевой степени Тг(1) = п — к и тождествами степени пк + п + к из пространства Т[Мп,к] П Рпк+п+к

В характеристике р > 0 множества Ат{Т[Мп^\ П Рт) тоже являются двусторонними идеалами алгебры Вообще, нетривиальный идеал тождеств со следом Г называется 7-классическим, если он содержит полином Тг(1) — 7 и для любого т множество Ат(Г П Рт) является двусторонним идеалом алгебры

FSm+i. Понятие 7-классического идеала было введено Ю.П. Размысловым в [23]. В характеристике 0 все они исчерпываются идеалами Т[Мп^\ (см. [23]) и являются вербально первичными, в характеристике р > 0 есть много других примеров 7-классических идеалов, которые уже могут не быть вербально первичными (см. [29]). Т-идеал называется 7-классическим, если он совпадает с множеством обычных тождеств некоторого 7-классического идеала тождеств со следом.

Регулярность первичных многообразий и матричные типы. В работе [61] А.Р. Кемером было доказано, что над полем характеристики р > 0 каждый нетривиальный Т-идеал содержит все полилинейные тождества алгебры матриц некоторого порядка. Наименьшее число к со свойством T[Mk] п Р с Г называется матричным типом Т-идеала Г. Вычисление матричного типа конкретного Т-идеала является непростой задачей. Так, матричный тип алгебры Грассма-на равен р (это один из результатов работы [65]), но явно предъявить полином / € T[Mp-i] \ T[G] при р > 3 крайне сложно.

Понятие матричного типа, введенное А.Р. Кемером в работе [60], оказалось весьма содержательным. Прежде всего благодаря взаимосвязи с понятием регулярности первичных многообразий.

Полином f(x 1,., хт) Е F(X) называется киллером Т-идеала Т[Месли алгебра матриц Мк удовлетворяет тождеству со следом вида f{xu .,xm) Tr (у) = д(хг, .,xm,y), д е F(X).

Рассмотрим вербально первичный Т-идеал Г, матричный тип которого равен к. Назовем Г регулярным вербально первичным идеалом, если Г не содержит хотя бы один полилинейный киллер идеала Т[Мк]. А.Р. Кемер показал, что в этом случае Г является классическим Т-идеалом (см. [60]), следовательно, при его изучении можно применять весь арсенал методов теории представлений симметриче-скх групп над пиолями положительной характеристики. Такой подход к проблеме классификации вербально первичных многообразий был предложен А.Р. Кемером в цикле работ [60], [63], [64], [65].

Другое приложение понятий матричного типа и регулярности состоит в следующем. В [65] А.Р. Кемер показал, что если I - матричный тип какого-то нерегулярного первичного многообразия, то для некоторого числа m ^ I проблема Про-чези о ядре для алгебры матриц порядка m имеет отрицательное решение. Этот результат мотивирует вопрос о нахождении минимального значения матричного типа нерегулярного первичного многообразия. Частичный ответ на него получен в теореме 8. Примеры первичных многообразий, матричные типы которых были бы меньше р, отсутствуют.

Связь с теорией инвариантов. Тождества со следом в характеристике 0 теснейшим образом связаны с инвариантами полной линейное группы GL(n). Эта группа действует сопряжениями на пространстве Xn m = Мп х • • • х Мп, и это

771 действие индуцирует действие на его координатном кольце

Т[Хп,га] = | г, 3 = 1,2,., п; I = 1, 2,., т].

Через Зп>т = обозначим Т1-алгебру инвариантов при рассматриваемом действии. В [70] Прочези показал, что над полем характеристики 0 алгебра </П)ТО порождается следами произведений общих матриц и выдвинул гипотезу о строении порождающей системы инвариантов над полями положительной характеристики. Гипотеза Прочези была доказана С. Донкиным в [49]. Обозначим через Хь, £ = 1,2,. ,т, общую матрицу порядка п, в которой в г-й строке и ]-м столбце стоит переменная х^. Тогда в качестве порождающих элементов Т-алгебры Зпт можно взять элементы д,3(Хч ■ ■ ■ Х1к), в = 1,2,. ,п, где 33(Х) с точностью до знака есть в-й коэффициент характеристического многочлена матрицы X.

Для N ^ п имеет место естественный эпиморфизм 3^,т Зпт-, индуцированный отображением на общих N х Д/'-матрицах, при котором переменные х^ отображаются в нуль при г > п или при ]> п. Таким образом, можно определить свободную алгебру инвариантов Зт как Зш = рго]Цтп Зп^т, где рго]Ит -проективный предел.

Пусть 3 = сПгНтт Зт, где сИгНт - прямой предел, а также Зп = (ИгНтш Зщт. Имеется естественная проекция в„: 3 —> Зп, индуцированная проекциями #П>Т7): ■Лп <Лгт- Обозначим ядро проекции вп через Тп. Идеал Тп является Т-идеалом алгебры 3, т.е. он инвариантен при ее эндоморфизмах. В характеристике 0 алгебра 3 изоморфна подалгебре свободной алгебре со следом, порожденной следами, и из теоремы Размыслова-Прочези можно вывести, что над полем нулевой характеристики Тп порождается как Т-идеал полиномом Тг(тоХп(^1> • ■ • ,хп)). То есть теорема Размыслова-Прочези описывает все соотношения в алгебре инвариантов полной линейной группы.

В характеристике р > 0 аналог теоремы Размыслова-Прочези был доказан А.Н. Зубковым. В работе [6] им было показано, что Тп порождается как Т-идеал элементами йп+\(х), Зп+2(х),. . Позже А.Н. Зубков значительно обобщил этот результат для представлений колчанов, см. [7].

Аналогично тождествам со следом, можно рассматривать тождества с формами. Исследование тождеств с формами алгебры матриц в характеристике р > 0 играет важную роль в решении локальной проблемы Шпехта в положительной характеристике (см. [13]). Тождества с формами тесным образом связаны с соотношениями в алгебре инвариантов полной линейной группы, но эта связь не такая прямая, как в характеристике 0. В частности, алгебра 3 и подалгебра свободной алгебры с формами, порожденная формами, не изоморфны. Прояснению этой связи посвящены §1.3-1.6.

К исследованию тождеств с формами тесно примыкают работы К.А. Зубрилина [8] и [9], связанные с исследованием алгебр, удовлетворяющих тождествам Капелли.

Центральные полиномы, слабые тождества и устойчивые многообразия. В 1956 году Капланский поставил вопрос о существовании центральных полиномов в алгебре матриц. Центральный полином для Т-идеала Г - это такой полином / = /(хi,.,xn), что / ^ Г, но [/,у] € Г. Положительный ответ на вопрос Капланского дали Форманек в [52] и Ю.П. Размыслов в [24]. При этом Ю.П. Размыслов обнаружил прямую взаимосвязь между центральными полиномами и слабыми тождествами. Полилинейный полином / = f(xi,., хп) называется слабым тождеством Т-идеала Г, если / ^ Г, но /\Xï=[y^ G Г. В работах [18], [19], [20] В.Н. Латышевым было введено понятие устойчивого Т-идеала, т.е. такого Т-идеала, множество полилинейных полиномов которого замкнуто относительно операторов отражения ^ а^.^а^хбг —>■ аа,,ьМхаг Для всех х■ Примерами устойчивых Т-идеалов являются идеалы тождеств 7-классических многообразий. Для устойчивых Т-идеалов существование центральных полиномов равносильно существованию слабых тождеств.

В [22] C.B. Охитин доказал, что над полем нулевой характеристики у каждого устойчивого Т-идеала есть слабые тождества, следовательно, есть и центральные полиномы. Метод доказательства является демонстрацией подхода, связанного с применением теорем А.Р. Кемера о классификации первичных и полупервичных многообразий и теоремы о нильпотентности. Над полями положительной характеристики устойчивость вербально первичных Т-идеалов, существование у них слабых тождеств и центральных полиномов было доказана А.Я. Беловым в [1] с помощью изучения тождеств с формами.

Обзор результатов диссертации.

1. А.Р. Кемер, "Тождества конечнопорожденных алгебр над бесконечным полем", Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:4 (1990), 726-753.

2. E.H. Кузьмин, "О теореме Нагаты-Хигмана", в кн. Математические структуры, София, 1975, 101-107.

3. А.Г. Курош, "Проблемы теории колец, связанные с проблемой Берсайда о периодических группах". Изв. АН СССР. Сер. матем., 5 (1941), 233-240.

4. В.Н. Латышев, "О конечной порожденности Т-идеала с элементом reí, .х2, жз,ж4.", Сиб. матем. журн., 6:6 (1965), 1432-1434.

5. В.Н. Латышев, "К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр", Успехи мат. наук., 27:4 (1972), 213-214.

6. В.Н. Латышев, "О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр", Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:5 (1973), 1010-1037.

7. В.Н. Латышев, Нематричные многообразия ассоциативных алгебр, Дис. . .д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1977.

8. В.Н. Латышев, "Устойчивые идеалы тождеств". Алгебра и логика, 20:5 (1981), 563-570.

9. А.И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.

10. C.B. Охитин, "Об устойчивых Т-идеалах и центральных полиномах", Вестн. МГУ. Сер. мат., мех., 3 (1986), 85-89.

11. Ю.П. Размыслов, "Тождества со следом полной матричной алгебры над полем характеристики нуль", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 37:3 (1973), 723-756.

12. Ю.П. Размыслов, "О одной проблеме Капланского", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 38:4 (1974), 483-501.

13. Ю.П. Размыслов, "Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 45:1 (1981), 143-166.

14. Ю.П. Размыслов, "Тождества со следом и центральные полиномы в матричных супералгебрах Матем. сборник, 128:4 (1985), 194-215.

15. Ю.П. Размыслов, Тождества алгебр и их представлений, М.: Наука, 1989.

16. Л.М. Самойлов, "Новое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о тождествах матричной супералгебрьт", Фунд. и прикл. матем., 6:4 (2000), 11211127.

17. Л.М. Самойлов, "О 7-классических многообразиях", Фунд. и прикл. матем, 8:3 (2002), 887-910.

18. Л.М. Самойлов, "Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциативных алгебр", Матем. заметки, 86:1 (2009), 151-153.

19. Л.М. Самойлов, "Алгебраические алгебры и первичные многообразия ассоциативных алгебр", Матем. сборник, 200:5 (2009), 99-128.

20. Л.М. Самойлов, "Аналог теоремы Амицура-Левицкого для матричных супералгебр", Сиб. матем. журн., 51:3 (2010), 620-625.

21. Л.М. Самойлов, "Об унитарной замкнутости первичных многообразий ассоциативных алгебр". Сиб. матем. журн., 51:4 (2010), 712-722.

22. Л.М. Самойлов, "О полилинейных компонентах первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мхд)", Матем. заметки, 87:6 (2010), 919-933.

23. И.Ю. Свиридова, "Т-первичные многообразия и ассоциативные алгебры", Фунд. и прикл. матем., 8:1 (2002), 221-243.

24. А.И. Ширшов, "О кольцах с тождественными соотношениями", Матем. сборник, 43:2 (1957), 277-283.139j В.В. Щиголев, "Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов", Фунд. и прикл. математика, 5:1 (1999), 307-313.

25. E.V. Aladova, A.N. Krasil'nikov, "Polynomial identitiea in nil-algebras", Trans. Amer. Math. Soc., 361:11 (2009), 5629-5646.

26. S.A. Amitsur, J. Levitzki, "Minimal identities for algebras", Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), 449-463.

27. S.A. Amitsur, "A generalization of Hilbert's Nullstellensatz", Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 649-656.

28. S.A. Amitsur, "On the characteristic polynomial of a sum of matrices", Linear and Multilinear Algebra, 8:3 (1980), 177-182.

29. A. Belov, V. Borisenko, V. Latyshev, Monomial Algebras, NY, Plenum, 1998.

30. A. Belov-Kanel., L.H. Rowen, "Perspectives on Shirshov's Heigth theorem", Selected works of A.I. Shirshov, Birkhauser, 2009, 185-202.

31. A. Berele, "Trace identities and Z/2Z-graded invariants", Trans of the Amer. Math. Soc., 309:2 (1988), 581-589.47| A. Braun, "The nilpotency of the radical in a finitely generated Pi-ring", J. Algebra, 89 (1984), 375-396.

32. M. Dehn, "Uber die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme", Math. Ann., 85 (1922), 184-193.

33. S. Donkin, "Invariants of several matrices", Invent. Math., 110:2 (1992), 389-401.

34. V. Drensky, Free algebras and Pi-algebras, Springer, 2000.

35. V. Drensky, E. Formanek Polynomial identity rings, Adv. Courses in Math., CRM Barselona, Birkhauser, Basel-Boston, 2004.

36. E. Formanek, "Central polynomials for matrix rings", J. Algebra, 23 (1972), 129132.

37. A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods, AMS Math. Surv. and Monogr., 122, 2005.54| M. Hall, "Projective planes", Trans. Amer. Math. Soc., 54 (1943), 229-277.

38. G.D. James, The representation theory of the symmetric groups, Lect. Notes in Math., 682, Springer, 1978.

39. I. Kaplansky, "On a problem of Kurosh and Jacobson". Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 496-500.57| I. Kaplansky, "Rings with polynomial identity", Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 575-580.

40. J. Levitzki, "On a problem of Kurosh", Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 10331035.

41. A.R. Kemer, Ideal of Identities of Associative Algebras, Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, 87, 1991.

42. A. Kemer, "Remarks on the prime varieties", Israel J. of Math., 96:2 (1996), 341356.

43. A.R. Kemer, "Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p", Int. J. of Algebra and Computation, 5:2 (1997), 189-197.

44. A. Kemer, "Pi-algebras and nil algebras of bounded index". Trends in ring theory (Miscolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 59-69.

45. A. Kemer, "On the multilinear components of the regular prime varieties", Methods in ring theory: proc. of the Trento conference. Led. Notes in pure and appl. math., 198, (1998), 171-183.

46. A. Kemer, "Multilinear components of the prime subvarietics of the variety Var(M2(F))". Algebras and Representation Theory, 4:1 (2001), 87-104.

47. A. Kemer, "On same problem in Pi-theory in characteristic p connected with dividing by p", Proceedings of the Third International Algebra Conference, Kluwer, 2003, 53-66.

48. A. Kemer, "Comments on Shirshov's Heigth theorem". Selected works of A.I. Shirshov, Birkhäuser. 2009, 223-229.

49. P. Koshlukov, "Basis of the identities of the matrix algebra of order two over a field of characteristic p ± 2", J. Algebra, 241:1 (2001), 410-434.

50. J. Levitzki, "On a problem of Kurosh", Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 10331035.

51. C. Procesi, Rings with Polynomial Identities, Pure Appl. Math (N.Y.), 17, Dekker, New York, 1973.

52. C. Procesi, "The invariant theory of n x n-matrices", Advances in Math., 19:3 (1976), 306-381.

53. A. Regev, "Existence of identities mA®B", Israel J. Math., 11 (1972), 131-152.

54. D. Riley, "PI-algebras generated by nilpotent elements of bounded index". J. of Algebra., 192:1 (1997), 1-13.

55. L.H. Rowen, Polynomial Identities m Ring Theory, New York: Acad. Press, 1980.

56. L.H. Rowen, A. Kenel-Belov, Computation Aspects of Polynomial Identities, Wellesley, Massachusetts, 2005.

57. W. Specht, "Gesetze in Ringen", Math. Z., 52 (1950), 557-589.

58. I.Yu. Sviridova. "Varieties and algebraic algebras of bounded degree", J. of Pure and Appl. Algebra, 133 (1998), 233-240.

59. U. Vishne. "Polynomial identitie of M2(<?)", Commun. in Algebra, 30:1 (2002), 443-454.

60. W. Wagner, "Über die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme". Math. Z., 113 (1937), 528-567.

61. E. Zelmanov, Nil'Rings and Periodic Groups, KMS Lect. Notes in Math., 1992.